Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges
UDC 517.9 We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at vertices of a parallelepiped. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic solutions...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/741 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507095975067648 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:43Z |
| description | UDC 517.9
We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at vertices of a parallelepiped. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of Lyapunov's central theorem. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i10.741 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i10.741
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ
ЗАРЯДIВ У ПОЛI ФIКСОВАНИХ ЧОТИРЬОХ РIВНИХ ДОДАТНИХ ЗАРЯДIВ
We found periodic solutions of the Coulomb d-dimensional (d = 1, 2, 3) equation of motion for two equal negative point
charges in the field of four equal positive point charges fixed at vertices of a parallelepiped. These systems possess an
equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of Lyapunov’s central theorem.
Знайдено перiодичнi розв’язки d-вимiрних (d = 1, 2, 3) рiвнянь руху Кулона двох вiд’ємних точкових однакових
зарядiв у полi чотирьох однакових додатних зарядiв, зафiксованих у вершинах прямокутника. Цi системи мають
рiвноважний стан. Перiодичнi розв’язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова.
1. Вступ. У цiй статтi знайдено рiвновагу у системi Кулона двох вiд’ємних однакових заря-
дiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0, зафiксованих у вершинах
прямокутника зi сторонами 2a, 2b. Це дає змогу знайти у нiй перiодичнi розв’язки лiнiйного,
площинного та просторового рiвняння руху Кулона. В лiнiйнiй системi рiвновага є стiйкою.
Ранiше автором були знайденi перiодичнi та квазiперiодичнi розв’язки рiвнянь руху Кулона
двох та трьох вiд’ємних однакових зарядiв у полi двох однакових додатних зарядiв [1 – 4].
Цi результати були отриманi так само, як i у цiй статтi, завдяки тому, що для симетричної
матрицi U0 частинних других похiдних потенцiальної енергiї у рiвновазi було знайдено в яв-
ному виглядi власнi значення, серед яких були виявленi додатнi, що породжують перiодичнi чи
квазiперiодичнi розв’язки. Iснування перiодичних розв’язкiв випливає з центральної теореми
Ляпунова [5 – 9], якщо немає нульoвих та вироджених власних значень U0. При цьому потен-
цiальна енергiя повинна бути дiйсно аналiтичною функцiєю в околi рiвноваги. Саме такою є
кулонiвська потенцiальна енергiя.
Iснування квазiперiодичних розв’язкiв було доведено у випадку наявностi нульового власно-
го значення U0 за допомогою методу небесної механiки виключення вузла [8] та центральної
теореми Ляпунова [3 – 4]. При цьому враховувалось, що нульове власне значення є наслiдком
обертальної iнварiантностi системи. Площинна та просторова системи цiєї статтi не мають
обертальної iнварiантностi, а також нульового власного значення U0.
Виникає питання: чи можливо довести iснування перiодичних розв’язкiв в кулонiвських
системах, коли немає рiвноваги? В статтi [10] автор дав ствердну вiдповiдь на це питання,
довiвши їхнє iснування у нейтральнiй системi n однакових вiд’ємних зарядiв у полi n однакових
додатних зарядiв. Метод доведення цього результату ґрунтується на узагальненнi видатного
методу мажорант Зiгеля [11], що застосовувався ним для знаходження розв’язкiв задачi трьох
тiл небесної механiки.
Центральна теорема Ляпунова має справу з системами Гамiльтона, рiвновага яких збiгається
з початком координат i формулюється так [10].
Теорема 1.1. Нехай n-вимiрна гамiльтонова система визначається дiйсно аналiтичним
гамiльтонiаном, розклад Тейлора якого збiгається абсолютно та рiвномiрно в околi почат-
ку координат i починається з квадратичних доданкiв. Нехай також \lambda 1, . . . , \lambda 2n — власнi
c\bigcirc В. I. СКРИПНИК, 2020
1432 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1433
значення матрицi, що визначає лiнiйну частину гамiльтонового векторного поля, такi що
\lambda s, s = 1, . . . , k, є уявними i нерезонансними: \lambda j \not = n\prime \lambda s, s = 1, . . . , k, j = 1, . . . , 2n, j \not =
\not = s, де n\prime — довiльне цiле число. Тодi рiвняння Гамiльтона допуcкає iснування k перiодичних
розв’язкiв, таких що кожен iз них залежить вiд дiйсного вiдмiнного параметра cj для деякого
j = 1, . . . , k. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), . . . , \tau k(ck) є дiйсно аналiтичними функцiями
цих параметрiв в околi нуля та \tau j(0) =
2\pi
| \lambda j |
.
Piвняння руху d-вимiрної систем N точкових зарядiв з масами mj , j = 1, . . . , N, є рiвнян-
ням руху електромеханiчної системи частинок iз потенцiальною енергiєю U, заданою парним
кулонiвським потенцiалом, i має вигляд
mj
d2xj
dt2
= -
\partial U(x(N))
\partial xj
, j = 1, . . . , N,
(N) = (x1, . . . , xN ) \in \BbbR dN , xj =
\Bigl(
x1j , . . . , x
d
j
\Bigr)
.
(1.1)
Вiдомо [12], що для (1.1) з mj = m власнi значення з теореми 1.1 збiгаються з \lambda j =
= \pm
\sqrt{}
- m - 1\sigma j , j = 1, . . . , dN, де \sigma j — власнi значення U0. Таким чином, iснування перiодич-
них розв’язкiв (1.1) можна отримати з теореми 1.1, що ми i зробимо в цiй статтi.
Отриманi у цiй статтi результати, як i у попереднiх, можна використовувати в теорiї плазми
та квантових моделей iонiзованих молекул у наближеннi Борна – Оппенгеймера, в якому неру-
хомi додатнi та рiвнi вiд’ємнi заряди асоцiюються вiдповiдно з важкими ядрами та легкими
електронами [13].
Ця стаття органiзована таким чином. У другому, третьому та четвертому пунктах знайдено
перiодичнi розв’язки вiдповiдно в лiнiйних, площинних та просторових системах. Цi результати
сформульовано у виглядi теорем наприкiнцi цих пунктiв.
2. Лiнiйна динамiка. Ми розглядаємо динамiку на (координатнiй) прямiй двох однакових
вiд’ємних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0, зафiксованих
у вершинах прямокутника зi сторонами 2a, 2b, який симетрично розташований на площинi
вiдносно двох координатних осей (див. наступний пункт).
Потенцiальна енергiя цiєї системи має вигляд
U(x(2)) = e20| x1 - x2| - 1 -
- 2e0e
\prime
2\sum
j=1
\Biggl[ \biggl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\biggr) - 1
+
\biggl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\biggr) - 1
\Biggr]
, xj \in \BbbR . (2.1)
Рiвноважнi рiвняння мають вигляд
\partial
\partial xj
U(x(2)) = 0, j = 1, 2. Пiдставимо рiвностi
\partial
\partial x1
| x1 - x2| - k = - k
x1 - x2
| x1 - x2| k+2
,
\partial
\partial x1
\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) - k
= - k
x1 - a\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) k+2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1434 В. I. СКРИПНИК
в них при k = 1. Отже,
\partial
\partial xj
U(x(2)) = - e20
xj - xk
| x1 - x2| 3
+
+2e0e
\prime
\left[ xj - a\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 3 +
xj + a\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 3
\right] , k \not = j = 1, 2.
В результатi ми отримуємо рiвноважне спiввiдношення для рiвноваги x0, x1 = x01 = a, x2 =
= x02 = - a:
e0
(2a)3
=
2e\prime \Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 .
Важливу iнформацiю про рiвновагу надає матриця частинних похiдних U. Її недiагональнi
елементи визначаються функцiєю
\partial U(x(2))
\partial x1\partial x2
=
\partial U(x(2))
\partial x2\partial x1
= - 2e20| x1 - x2| - 3.
Нехай U0
1,2 збiгається з нею в станi рiвноваги. Тодi U0
1,2 = - e20
4a3
= - u\prime . Її дiагональнi елементи
визначаються функцiєю
\partial 2
\partial x2j
U(x(2)) =
2e20
| x1 - x2| 3
+ 2e0e
\prime
\left[ 1\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3(xj - a)2\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 5+
+
1\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3(xj + a)2\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 5
\right] .
Нехай U0
j,j збiгаються з нею в станi рiвноваги. Тодi
U0
1,1 = U0
2,2 =
e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\left[ b - 3 +
1\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3(2a)2\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 5
\right] .
З рiвноважного спiввiдношення випливає, що\Bigl( e0
2e\prime
\Bigr) 1
3 1
2a
=
1\sqrt{}
(2a)2 + b2
, 2a = (1 - \eta ) -
1
2
\surd
\eta b, \eta =
\Bigl( e0
2e\prime
\Bigr) 2
3
< 1. (2.2)
В результатi
2e0e
\prime b - 3 = (2a) - 3e20(1 - \eta ) -
3
2 =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 ,
2e0e
\prime \Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 = 2e0e
\prime e0
2e\prime
\biggl(
1
2a
\biggr) 3
=
u\prime
2
, (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1435
6e0e
\prime (2a)2\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 5 = 6e0e
\prime
\Bigl( e0
2e\prime
\Bigr) 5
3
(2a) - 3 =
3u\prime
2
\eta ,
U0
1,1 = U0
2,2 =
3u\prime
2
+
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 3u\prime
2
\eta = v.
Нехай U0 є матрицею з елементами U0
1,1, U0
2,2, U0
1,2 = U0
2,1. Її власнi значення \zeta 1, \zeta 2 легко
знаходяться як коренi \lambda = \zeta 1, \zeta 2 рiвняння
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
U0 - \lambda I
\bigr)
= (v - \lambda )2 - u\prime 2 = 0,
\zeta 1 = v - u\prime = u\prime \zeta \prime 1, \zeta 2 = v + u\prime = u\prime \zeta \prime 2,
де
\zeta \prime 1 =
1
2
(1 - \eta ) -
3
2 +
1
2
- 3
2
\eta , \zeta \prime 2 =
1
2
(1 - \eta ) -
3
2 +
5
2
- 3
2
\eta .
Очевидно, що \zeta \prime 2 > 0, бо \eta < 1. Розглянемо тепер \zeta \prime 1. Ми бачимо, що \zeta 1 > 0, якщо \eta \leq 1
3
.
При \eta \leq 2
3
сума двох останнiх доданкiв бiльша за - 1
2
< 0. Але перший додатний доданок
бiльший за модуль цього числа. При \eta < 1 сума двох останнiх доданкiв бiльша за - 1. Для
першого доданка ми маємо при \eta \geq 2
3
нерiвностi
(1 - \eta ) -
3
2 > 3
3
2 =
\surd
27 > 5, \zeta \prime 1 >
3
2
.
Таким чином, \zeta \prime 1 > 0.
Наступний результат випливає з теореми про стiйкiсть Лагранжа – Дiрiхле, бо потенцiальна
енергiя має мiнiмум у станi рiвноваги.
Теорема 2.1. Якщо
e0
e\prime
< 2, то лiнiйна система двох рiвних негативних зарядiв з потен-
цiальною енергiєю (2.1) має стiйку рiвновагу x0 = (a, - a) з додатним числом a, визначеним
спiввiдношенням (2.2). Умова нейтральностi 2e\prime = e0 не виконується в цiй рiвновазi.
Для застосування центральної теореми Ляпунова необхiдно вилучити квадратичнi резонан-
си в коренях \zeta j . Один резонанс вiдсутнiй:
\zeta 1
\zeta 2
\not = k2, k \in \BbbZ , бо \zeta 2 > \zeta 1. Ми також маємо
\zeta 2 = \zeta 1 + 2u\prime ,
\zeta 2
\zeta 1
= 1 +
2
\zeta \prime 1
.
Отже, для вилучення квадратичного резонансу для \zeta 1 необхiдно довести, що \zeta \prime 1 >
2
3
. Ми
доведемо цю нерiвнiсть на кiлькох iнтервалах, якi накривають iнтервал \eta \in [0, 1):
\eta \geq 2
3
, \zeta \prime 1 >
3
2
, \eta = 0, \zeta \prime = 1,
1
2
\leq \eta \leq 2
3
, \zeta \prime 1 \geq
\surd
2 - 1
2
> 1, 4 - 0, 5 = 0, 9 >
2
3
,
\eta =
1
2
, \zeta \prime 1 =
\surd
2 - 1
4
> 1 >
2
3
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1436 В. I. СКРИПНИК
3
7
\leq \eta \leq 1
2
, \zeta \prime 1 \geq 2 - 1
\biggl(
7
4
\biggr) 3
2
- 1
4
= 2 - 1
\surd
343
8
- 1
4
> 2 - 1 18
8
- 1
4
=
7
8
>
2
3
,
1
3
\leq \eta \leq 3
7
, \zeta \prime 1 \geq 2 - 1
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
- 1
7
> 2 - 1 5
3
- 1
7
=
29
42
>
2
3
,
\eta =
1
3
, \zeta \prime 1 = 2 - 1(1 - \eta ) -
3
2 = 2 - 1
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
> 2 - 1
\biggl(
25
9
\biggr) 1
2
=
5
6
>
2
3
,
\eta =
1
4
, \zeta \prime 1 = 2 - 1(1 - \eta ) -
3
2 +
1
8
= 2 - 1 8\surd
27
+
1
8
> 2 - 1 8\surd
36
+
1
8
=
2
3
+
1
8
,
1
4
\leq \eta \leq 1
3
, \zeta \prime 1 \geq 2 - 1(1 - \eta ) -
3
2 \geq 2 - 1 8\surd
27
> 2 - 1 8\surd
36
=
2
3
,
1
5
\leq \eta \leq 1
4
, \zeta \prime 1 \geq 2 - 1
\biggl(
5
4
\biggr) 3
2
+
1
8
= 2 - 1
\surd
125
8
+
1
8
>
11
16
+
1
8
=
13
16
>
2
3
,
\eta \leq 1
5
, \zeta \prime 1 \geq 2 - 1(1 - \eta ) -
3
2 +
1
5
>
1
2
+
1
5
=
7
10
>
2
3
.
Отже, \zeta \prime 1 >
2
3
.
Порядок зарядiв на прямiй зберiгається завдяки необмеженому вiдштовхуванню мiж ними,
i тому ми можемо замiнити потенцiал | xj - xk| - 1 на дiйсно аналiтичну функцiю (xj - xk)
- 1
в околi рiвноваги.
З центральної теореми Ляпунова випливає така теорема.
Теорема 2.2. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 1, N = 2, m1 =
= m2 = m з потенцiальною енергiєю (2.1) має два перiодичнi розв’язки, кожен з яких залежить
вiд дiйсного вiдмiнного параметра cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2)
є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля та \tau j(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \sqrt{}
\zeta j
\bigr) - 1
.
3. Площинна динамiка. У цьому пунктi ми розглядаємо динамiку на площинi двох одна-
кових вiд’ємних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0, зафiксо-
ваних у вершинах прямокутника bj , 1 \leq j \leq 4, bj =
\Bigl(
b1j , b
2
j
\Bigr)
\in \BbbR 2 зi сторонами 2a, 2b, який
симетрично розташований на площинi вiдносно двох координатних осей, тобто
b1 = (a, b), b2 = (a, - b), b3 = ( - a, b), b4 = ( - a, - b).
Потенцiальна енергiя динамiки визначається таким чином:
U(x(2)) = e20| x1 - x2| - 1 - e0e
\prime
\sum
j=1,2
4\sum
k=1
| xj - bk| - 1, xj =
\bigl(
x1j , x
2
j
\bigr)
\in \BbbR 2, (3.1)
де
| x| 2 =
\bigl(
x1j
\bigr) 2
+
\bigl(
x2j
\bigr) 2
.
Частиннi похiднi потенцiальної енергiї визначено так:
\partial
\partial x\alpha 1
U(x(2)) = - e20
x\alpha 1 - x\alpha 2
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
4\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| x1 - bk| 3
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1437
\partial
\partial x\beta 2
U(x(2)) = - e20
x\beta 2 - x\beta 1
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
4\sum
k=1
x\beta 2 - b\beta k
| x2 - bk| 3
.
Рiвновагу x01, x02 знаходимо, прирiвнюючи до нуля правi частини цих рiвностей при умовi
x011 = a, x012 = - a, x021 = x022 = 0. З першої рiвностi маємо
4\sum
k=1
x011 - b1k\bigm| \bigm| x01 - bk
\bigm| \bigm| 3 =
4a\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 ,
4\sum
k=1
x021 - b2k\bigm| \bigm| x01 - bk
\bigm| \bigm| 3 = -
4\sum
k=1
b2k\bigm| \bigm| x01 - bk
\bigm| \bigm| 3 = 0.
При цьому ми скористались рiвностями\bigm| \bigm| x01 - b1
\bigm| \bigm| 2 = \bigm| \bigm| x01 - b2
\bigm| \bigm| 2 = b2,
\bigm| \bigm| x01 - b3
\bigm| \bigm| 2 = \bigm| \bigm| x01 - b4
\bigm| \bigm| 2 = (2a)2 + b2,\bigm| \bigm| x02 - b1
\bigm| \bigm| 2 = \bigm| \bigm| x02 - b2
\bigm| \bigm| 2 = (2a)2 + b2,
\bigm| \bigm| x02 - b3
\bigm| \bigm| 2 = \bigm| \bigm| x02 - b4
\bigm| \bigm| 2 = b2.
Це приводить до рiвноважного спiввiдношення з попереднього пункту, якщо врахувати, що
x011 - x012 = 2a:
e0
(2a)3
=
2e\prime \Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 .
Такий же результат отримуємо з виразу частинної похiдної U по x2.
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї (3.1) мають вигляд
\partial U(x(2))
\partial x\alpha 1\partial x
\beta
2
=
\partial U(x(2))
\partial x\beta 2\partial x
\alpha
1
= e20
\left[ \delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
- 3
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )
\Bigl(
x\beta 1 - x\beta 2
\Bigr)
| x1 - x2| 5
\right] , \alpha , \beta = 1, 2,
\partial 2U(x(2))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
= -
e20\delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
4\sum
k=1
\left[ \delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
\Bigl(
x\alpha j - b\alpha k
\Bigr) \Bigl(
x\beta j - b\beta k
\Bigr)
| xj - bk| 5
\right] +
+3e20
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )
\Bigl(
x\beta 1 - x\beta 2
\Bigr)
| x1 - x2| 5
.
Знайдемо рiвноважнi значення усiх доданкiв у цих виразах. Нехай \eta , u\prime є такими, як i у
попередньому пунктi. Тодi, використовуючи рiвностi (2.3), отримуємо
e0e
\prime
4\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta \bigm| \bigm| \bigm| x0j - bk
\bigm| \bigm| \bigm| 3 = \delta \alpha ,\beta 2e0e
\prime
\Bigl(
b - 3 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 3
2
\Bigr)
= \delta \alpha ,\beta
\biggl[
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 +
u\prime
2
\biggr]
. (3.2)
Нехай
Tj(\alpha , \beta ) =
4\sum
k=1
\Bigl(
x\alpha j - b\alpha k
\Bigr) \Bigl(
x\beta j - b\beta k
\Bigr)
| xj - bk| 5
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1438 В. I. СКРИПНИК
Нехай також T 0
j (\alpha , \beta ) є рiвноважним значенням Tj(\alpha , \beta ). Тепер ми доведемо рiвнiсть
T 0
j (\alpha , \beta ) = \delta \alpha ,\beta
\Bigl[
8a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,1 + 2b2
\Bigl(
b - 5 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr)
\delta \alpha ,2
\Bigr]
(3.3)
за допомогою рiвностей
T 0
1 (1, 2) = -
\Bigl[
b - 5
\bigl( \bigl(
a - b11
\bigr)
b21 +
\bigl(
a - b12
\bigr)
b22
\bigr)
+
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\bigl( \bigl(
a - b13
\bigr)
b23 + (a - b14)b
2
4
\bigr) \Bigr]
= 0,
T 0
2 (1, 2) = -
\Bigl[ \bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl( \bigl(
- a - b11
\bigr)
b21 +
\bigl( \bigl(
- a - b12
\bigr)
b22
\bigr)
+
+b - 5
\bigl(
- a - b13
\bigr)
b23 +
\bigl(
- a - b14
\bigr)
b24
\Bigr) \Bigr]
= 0,
T 0
1 (1, 1) = b - 5
\Bigl[ \bigl(
a - b11
\bigr) 2
+
\bigl(
a - b12
\bigr) 2\Bigr]
+
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[ \bigl(
a - b13
\bigr) 2
+
\bigl(
a - b14
\bigr) 2\Bigr]
= 8a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 ,
T 0
2 (1, 1) =
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[ \bigl(
- a - b11
\bigr) 2
+
\bigl(
- a - b12
\bigr) 2\Bigr]
+
+b - 3
\Bigl[ \bigl(
- a - b13
\bigr) 2
+
\bigl(
- a - b14
\bigr) 2\Bigr]
= 8a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 ,
T 0
j (2, 2) =
4\sum
k=1
\bigl(
b2k
\bigr) 2\bigm| \bigm| \bigm| x0j - bk
\bigm| \bigm| \bigm| 5 , T 0
1 (2, 2) = T 0
2 (2, 2) = 2b2
\Bigl[
b - 5 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
.
Таким чином, (3.3) доведено. В результатi, використовуючи (3.2), (3.3), отримуємо
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta
\biggl\{
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 6e0e
\prime
\Bigl[
4a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,1+
+b2
\Bigl(
b - 5 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr)
\delta \alpha ,2
\Bigr]
+ 3
e20
(2a)3
\delta \alpha ,1
\biggr\}
=
= \delta \alpha ,\beta
\bigl(
v\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast
\bigr)
, v\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 .
Перший та останнiй доданки утворенi вiдповiдно першими двома та останнiм доданками у
виразi для
\partial 2U(x(2))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
. Легко бачити, що
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
З рiвноважного спiввiдношення, (2.2) та рiвностей (2.3) одержуємо
u\prime \ast +
3e20
(2a)3
= 6e0e
\prime (2a)2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 = 6e0e
\prime (2a)2
\Bigl( e0
2e\prime
\Bigr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
=
3u\prime
2
\eta ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1439
6e0e
\prime b - 3 =
3u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 ,
6e0e
\prime b2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 = 6e0e
\prime (2a)2(1 - \eta )\eta - 1
\Bigl( e0
2e\prime
\Bigr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
=
3u\prime
2
(1 - \eta ).
Цi рiвностi показують, що
u\prime \ast =
3u\prime
2
\eta - 3u\prime
2
, u\prime \prime \ast =
3u\prime
2
\Bigl[
1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2
\Bigr]
.
Матрицю U0 можна виразити за допомогою двох двовимiрних матриць U0
s , s = 1, 2, за прави-
лом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k, (3.4)
якщо перенумерувати iндекси координат за правилом
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (1, 2) = 3, (2, 2) = 4, (3.5)
де перший та другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми та верхнiми iндексами
координат. Таким чином,
U0 = U0
1 \oplus U0
2 .
Елементи симетричних матриць U0
1 , U
0
2 мають вигляд
U0
1;1,1 = U0
1,1;1,1 = U0
1;2,2 = U0
2,1;2,1 = v\prime - u\prime \ast ,
U0
2;1,1 = U0
1,2;1,2 = U0
2;2,2 = U0
2,2;2,2 = v\prime - u\prime \prime \ast ,
U0
1;1,2 = U0
1,1;2,1 = - u\prime , U0
2;1,2 = U0
1,2;2,2 =
u\prime
2
.
Отже, матрицю U0 можна записати у виглядi
U0 =
\biggl(
v\prime - u\prime \ast - u\prime
- u\prime v\prime - u\prime \ast
\biggr)
\oplus
\left( v\prime - u\prime \prime \ast
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - u\prime \prime \ast
\right) .
Характеристичний полiном U0 визначається так:
p(\lambda ) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
U0 - \lambda I
\bigr)
=
\Bigl( \bigl(
v\prime - u\prime \ast - \lambda
\bigr) 2 - u\prime 2
\Bigr) \biggl( \bigl(
v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda
\bigr) 2 - u\prime 2
4
\biggr)
=
=
\bigl(
v\prime - u\prime \ast - \lambda - u\prime
\bigr) \bigl(
v\prime - u\prime \ast - \lambda + u\prime
\bigr) \biggl(
v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda - u\prime
2
\biggr) \biggl(
v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda +
u\prime
2
\biggr)
.
Його чотири коренi \zeta j мають вигляд
\zeta 1 = v\prime - u\prime \ast - u\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 3u\prime
2
\eta +
u\prime
2
,
\zeta 2 = v\prime - u\prime \ast + u\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - u\prime \ast + u\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 3u\prime
2
\eta +
5u\prime
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1440 В. I. СКРИПНИК
\zeta 3 = v\prime - u\prime \prime \ast -
u\prime
2
=
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 - 3u\prime
2
\Bigl(
1 - \eta + (1 - \eta ) -
3
2
\Bigr)
- u\prime
2
= - u\prime (1 - \eta ) -
3
2 +
3u\prime
2
\eta - 2u\prime ,
\zeta 4 = v\prime - u\prime \prime \ast +
u\prime
2
= - u\prime (1 - \eta ) -
3
2 +
3u\prime
2
\eta - u\prime .
Очевидно, що коренi \zeta 1, \zeta 2 є тими, що i в попередньому пунктi, i при 0 < \eta < 1
\zeta 4 < 0, - \zeta 3 > - \zeta 4 > 0.
З центральної теореми Ляпунова випливає така теорема, яка є аналогом теореми 2.1.
Теорема 3.1. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 2, N = 2, m1 =
= m2 = m з потенцiальною енергiєю (3.1) має два перiодичнi розв’язки, кожен з яких залежить
вiд дiйсного вiдмiнного параметра cj при j = 1, 2. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2)
є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля i \tau j(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \sqrt{}
\zeta j
\bigr) - 1
.
4. Просторова динамiка. У цьому пунктi ми розглядаємо динамiку у просторi \BbbR 3 двох
однакових вiд’ємних зарядiв - e0 < 0 в полi чотирьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0,
зафiксованих у вершинах прямокутника bj , 1 \leq j \leq 4, bj =
\Bigl(
b1j , b
2
j , 0
\Bigr)
\in \BbbR 3, зi сторонами
2a, 2b, який симетрично розташований на площинi вiдносно двох перших координатних осей,
тобто
b1 = (a, b, 0), b2 = (a, - b, 0), b3 = ( - a, b, 0), b4 = ( - a, - b, 0).
Потенцiальна енергiя динамiки визначається таким чином:
U(x(2)) = e20| x1 - x2| - 1 - e0e
\prime
\sum
j=1,2
4\sum
k=1
| xj - bk| - 1, xj =
\bigl(
x1j , x
2
j , x
3
j
\bigr)
\in \BbbR 3, (4.1)
де
| x| 2 =
\bigl(
x1j
\bigr) 2
+
\bigl(
x2j
\bigr) 2
+
\bigl(
x3
\bigr) 2
.
Легко бачити, що матриця U0 других похiдних потенцiальної енергiї в рiвновазi на прямiй,
x011 = a, x012 = - a, x0\alpha 1 = x0\alpha 2 = 0, \alpha = 2, 3, як i у попереднiх пунктах, має тi ж елементи, що
i на площинi:
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta
\bigl(
v\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast
\bigr)
, \alpha , \beta = 1, 2, 3,
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1), \alpha , \beta = 1, 2, 3.
Матрицю U0 можна виразити з допомогою трьох двовимiрних матриць U0
s , s = 1, 2, 3, за
правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k, (4.2)
якщо перенумерувати iндекси координат за правилом
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (1, 2) = 3, (2, 2) = 4, (1, 3) = 5, (2, 3) = 6, (4.3)
де перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми i верхнiми iндексами
координат. Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1441
U0 = U0
1 \oplus U0
2 \oplus U0
3 .
Елементи двох перших матриць визначено у попередньому пунктi. Третя матриця визначається
своїми елементами так:
U0
3;1,1 = U0
1,3;1,3 = U0
3;2,2 = U0
2,3;2,3 = v\prime ,
U0
3;1,2 = U0
1,3;2,3 = U0
3;2,1 = U0
2,3;1,3 =
u\prime
2
.
Це означає, що
U0
3 =
\left( v\prime
u\prime
2
u\prime
2
v\prime
\right) , v\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 .
В результатi
U0 =
\biggl(
v\prime - u\prime \ast - u\prime
- u\prime v\prime - u\prime \ast
\biggr)
\oplus
\left( v\prime - u\prime \prime \ast
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - u\prime \prime \ast
\right) \oplus
\left( v\prime
u\prime
2
u\prime
2
v\prime
\right) .
Шiсть власних значень \zeta j , 1 \leq j \leq 6, цiєї матрицi збiгаються з \zeta j , 1 \leq j \leq 4, з попереднього
пункту та з \zeta 5 = \zeta \prime 5u
\prime = v\prime - u\prime
2
> 0, \zeta 6 = \zeta \prime 6u
\prime = v\prime +
u\prime
2
> 0.
Резонансу по \zeta 2 немає, бо \zeta 2 > \zeta l, l \not = 2, 0 < \eta < 1. Квадратичного резонансу немає по \zeta 1,
бо
\zeta 6 = \zeta 1 +
3\eta
2
u\prime ,
\zeta 6
\zeta 1
= 1 +
3
2\zeta \prime 1
\eta < 1 +
9
4
< 4, \zeta \prime 1 >
2
3
,
\zeta 5 = \zeta 1 +
3\eta
2
u\prime - u\prime ,
\zeta 5
\zeta 1
<
\zeta 6
\zeta 1
< 4.
Крiм того, \zeta \prime 1 \not = \zeta \prime 5, якщо \eta \not = 2
3
. Квадратичного резонансу немає i по \zeta 6, бо
\zeta \prime 6 > 1, \zeta 1 = \zeta 6 -
3\eta
2
u\prime ,
\zeta 1
\zeta 6
< 1,
\zeta 2 = \zeta 6 + 2u\prime - 3\eta
2
u\prime ,
\zeta 2
\zeta 6
< 1 + 2 < 3.
Справджуються також рiвностi
\zeta 1 = \zeta 5 + u\prime - 3\eta
2
u\prime ,
\zeta 1
\zeta 5
< 1 +
1
\zeta \prime 5
,
\zeta 2 = \zeta 5 + 3u\prime - 3\eta
2
u\prime ,
\zeta 2
\zeta 5
< 1 +
3
\zeta \prime 5
.
З цих нерiвностей i \eta \geq 2
3
отримуємо
\zeta \prime 5 > 2,
\zeta 2
\zeta 5
< 1 +
3
\zeta \prime 5
< 1 +
3
2
,
\zeta 1
\zeta 5
<
3
2
,
\zeta 6
\zeta 5
= 1 +
1
\zeta \prime 5
<
3
2
.
Таким чином, ми довели наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1442 В. I. СКРИПНИК
Твердження 4.1. Якщо 0 < \eta < 1, то немає квадратичного резонансу по \zeta j , j = 2, 6.
Якщо додатково \eta \not = 2
3
чи \eta >
2
3
, то квадратичного резонансу немає по \zeta 1 чи \zeta 1 та \zeta 5.
З цього твердження та центральної теореми Ляпунова випливає така теорема.
Теорема 4.1. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1 та виконується одна з трьох умов \eta =
2
3
, \eta <
2
3
чи
\eta >
2
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 3, N = 2, m1 = m2 = m з потенцiальною
енергiєю (4.1) має два, три та чотири перiодичнi розв’язки, кожен з яких залежить вiд
вiдповiдного дiйсного вiдмiнного параметра cj j, j = 1, 2, j = 1, 2, 3 та j = 1, 2, 3, 4. Цi
розв’язки та їхнi перiоди \tau j , j = 1, 2, 3, 4, є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв
в околi нуля та \tau 1(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \surd
\zeta 2
\bigr) - 1
, \tau 2(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \surd
\zeta 6
\bigr) - 1
, \tau 3(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \surd
\zeta 1
\bigr) - 1
,
\tau 4(0) = 2\pi
\surd
m
\bigl( \surd
\zeta 5
\bigr) - 1
.
Лiтература
1. W. Skrypnik, Periodic and bounded solutions of the Coulomb equation of motion of two and three point charges with
equilibrium on line, Ukr Math. J., 66, № 5, 668 – 682 (2014).
2. В. Скрипник, Кулонiвська динамiка двох та трьох рiвних вiд’ємних зарядiв на площинi у полi фiксованих двох
рiвних додатних зарядiв, Укр. мат. журн., 68, № 11, 1528 – 1539 (2016).
3. W. Skrypnik, Coulomb dynamics near equilibrium of two equal negative charges in the field of fixed two equal
positive charges, Ukr. Math. J., 68, № 9, 1273 – 1285 (2016).
4. W. Skrypnik, Coulomb dynamics of three equal negative charges in field of fixed two equal positive charges, J. Geom.
and Phys., 127, 101 – 111 (2018).
5. A. Lyapunov, General problem of stability of motion, Moscow (1950); English translation: Internat. J. Control, 55,
№ 3, 521 – 790 (1992).
6. M. S. Berger, Nonlinearity and functional analysis, Lect. Nonlinear Problems in Math. Analysis, Acad. Press, New
York etc. (1977).
7. J. Marsden, M. Mc. Cracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York (1976).
8. C. Siegel, J. Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971).
9. В. Немыцкий, В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, Москва, Ленинград (1947).
10. W. Skrypnik, Coulomb planar periodic motion of n equal charges n the field of n equal positive charges
fixed at a line and constant magnetic field, Adv. Math. Phys., 2018, Article ID 2548074, (2018), 10 p.
https://doi.org/10.1155/2548074.
11. C. Siegel, Über die normalformen analytischer Differentialgleichungen in der Nöhe einer Gleichgewichtslösung,
Nachr. Akad. Wiss. Math. Phys. K1, IIa, 21 – 30 (1952).
12. W. Skrypnik, Mechanical systems with singular equilibrium and Coulomb dynamics of three charges, Ukr. Math. J.,
70, № 4, 519 – 533 (2018).
13. G. A. Hagedorn, A time dependent Born – Oppenheimer approximation, Commun. Math. Phys., 77, 1 – 19 (1980).
Одержано 24.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-741 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:52Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/40db45c28adfd79ba1814cfa7fad2401.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7412025-03-31T08:49:43Z Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges Періодична кулонівська динаміка двох рівних від’ємних зарядів у полі фіксованих чотирьох рівних додатних зарядів Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. UDC 517.9 We found periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of four equal positive point charges fixed at vertices of a parallelepiped. These systems possess an equilibrium configuration. The periodic solutions are obtained with the help of Lyapunov's central theorem. УДК 517.9 Знайдено періодичні розв'язки $d$-вимірних$(d=1,2,3)$ рівнянь руху Кулона двох від'ємних точкових однакових зарядів у полі чотирьох однакових додатних зарядів, зафіксованих у вершинах прямокутника.Ці системи мають рівноважний стан.Періодичні розв'язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/741 10.37863/umzh.v72i10.741 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 10 (2020); 1432 - 1442 Український математичний журнал; Том 72 № 10 (2020); 1432 - 1442 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/741/8766 Copyright (c) 2020 Volodymyr Skrypnyk |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Skrypnik, Volodymyr Скрипник , В. І. Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title_alt | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges Періодична кулонівська динаміка двох рівних від’ємних зарядів у полі фіксованих чотирьох рівних додатних зарядів |
| title_full | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title_fullStr | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title_full_unstemmed | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title_short | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| title_sort | periodic coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of four equal positive fixed charges |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/741 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldoffourequalpositivefixedcharges AT skrypnikvolodymyr periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldoffourequalpositivefixedcharges AT skripnikví periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldoffourequalpositivefixedcharges AT skrypnikwi períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihdodatnihzarâdív AT skrypnikvolodymyr períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihdodatnihzarâdív AT skripnikví períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihčotirʹohrívnihdodatnihzarâdív |