Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness
UDC 517.5 On the sets of $2\pi$-periodic functions $f$ specified by the $(\psi, \beta)$-integrals of the functions $\varphi$ from $L_{1},$ we establish Lebesgue-type inequalities in which the uniform norms of deviations of the Fourier sums are expressed via the best approximations by trigonome...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7411 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512677254660096 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна |
| author_facet | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна |
| author_sort | Serdyuk, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-05-14T15:30:13Z |
| description |
UDC 517.5
On the sets of $2\pi$-periodic functions $f$ specified by the $(\psi, \beta)$-integrals of the functions $\varphi$ from $L_{1},$ we establish Lebesgue-type inequalities in which the uniform norms of deviations of the Fourier sums are expressed via the best approximations by trigonometric polynomials of the functions  $\varphi$ in the mean. It is proved that obtained estimates are asymptotically unimprovable in the case where the sequences $\psi(k)$ approach zero faster than any power function.  In some important cases, we establish  asymptotic equalities for the exact upper boundaries of the uniform approximations by Fourier sums in the classes of  $(\psi, \beta)$-integrals of the functions  $\varphi$ that belong to the unit ball in the space  $L_{1}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i4.7411 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i4.7411
УДК 517.5
Анатолiй Сердюк, Тетяна Степанюк1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ВИСОКОЇ ГЛАДКОСТI
On the sets of 2\pi -periodic functions f specified by the (\psi , \beta )-integrals of the functions \varphi from L1, we establish Lebesgue-
type inequalities in which the uniform norms of deviations of the Fourier sums are expressed via the best approximations
by trigonometric polynomials of the functions \varphi in the mean. It is proved that obtained estimates are asymptotically
unimprovable in the case where the sequences \psi (k) approach zero faster than any power function. In some important
cases, we establish asymptotic equalities for the exact upper boundaries of the uniform approximations by Fourier sums in
the classes of (\psi , \beta )-integrals of the functions \varphi that belong to the unit ball in the space L1.
На множинах 2\pi -перiодичних функцiй f, що задаються (\psi , \beta )-iнтегралами вiд функцiй \varphi iз L1, встановлено
нерiвностi типу Лебега, в яких рiвномiрнi норми вiдхилень сум Фур’є виражаються через найкращi наближення
в середньому тригонометричними полiномами функцiй \varphi . Доведено асимптотичну непокращуванiсть одержаних
оцiнок за умови, коли послiдовностi \psi (k) спадають до нуля швидше за довiльну степеневу функцiю. В деяких
важливих випадках встановлено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж рiвномiрних наближень сумами
Фур’є на класах (\psi , \beta )-iнтегралiв вiд функцiй \varphi , що належать одиничнiй кулi з простору L1.
1. Вступ. Нехай L1 — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на [0, 2\pi ) функцiй f, в якому нор-
ма задається формулою \| f\| 1 =
\int 2\pi
0
| f(t)| dt; L\infty — простiр вимiрних i суттєво обмежених
2\pi -перiодичних функцiй f з нормою \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t | f(t)| ; C — простiр неперервних 2\pi -
перiодичних функцiй f з нормою \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t | f(t)| .
Нехай \psi (k) — довiльна фiксована послiдовнiсть дiйсних невiд’ємних чисел i \beta — фiксоване
дiйсне число. Позначимо через C\psi \beta L1 множину 2\pi -перiодичних функцiй, якi при всiх x \in \BbbR
зображуються у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
\Psi \beta (x - t)\varphi (t)dt, a0 \in \BbbR , \varphi \in L1, \varphi \bot 1, (1)
з твiрним ядром \Psi \beta вигляду
\Psi \beta (t) =
\infty \sum
k=1
\psi (k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \psi (k) \geq 0, \beta \in \BbbR , (2)
таким, що
\infty \sum
k=1
\psi (k) <\infty . (3)
Якщо функцiї f i \varphi пов’язанi рiвнiстю (1), то функцiю f в цьому спiввiдношеннi називають
(\psi , \beta )-похiдною функцiї f i позначають через f\psi \beta . З iншого боку, функцiю f у рiвностi (1)
називають (\psi , \beta )-iнтегралом функцiї \varphi i позначають через \scrJ \psi
\beta \varphi . Поняття (\psi , \beta )-похiдної i
(\psi , \beta )-iнтеграла введенi О. I. Степанцем [23 – 25].
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: stepaniuk.tet@gmail.com.
c\bigcirc АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК, 2023
542 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 543
Пiдмножину функцiй f з C\psi \beta L1 таких, що f\psi \beta \in B1, де B1 — одинична куля в просторi L1,
тобто
B1 := \{ \varphi : | | \varphi | | 1 \leq 1\} ,
будемо позначати через C\psi \beta ,1. Зрозумiло, що умова (3) гарантує неперервнiсть твiрного ядра
\Psi \beta (t) вигляду (2), а отже, й iстиннiсть вкладення C\psi \beta L1 \subset C (C\psi \beta ,1 \subset C).
У випадку, коли \psi (k) = e - \alpha k
r
, \alpha > 0, r > 0, ядра \Psi \beta (t) вигляду (2) є узагальненими
ядрами Пуассона, тобто \Psi \beta (t) = P\alpha ,r,\beta (t), де
P\alpha ,r,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
e - \alpha k
r
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \alpha > 0, r > 0, \beta \in \BbbR .
При цьому множини C\psi \beta L1 i C\psi \beta ,1 позначатимемо вiдповiдно через C\alpha ,r\beta L1 i C\alpha ,r\beta ,1 i називатимемо
множинами узагальнених iнтегралiв Пуассона, а вiдповiднi (\psi , \beta )-похiднi f\psi \beta i (\psi , \beta )-iнтеграли
\scrJ \psi
\beta \varphi позначатимемо через f\alpha ,r\beta i \scrJ \alpha ,r
\beta \varphi вiдповiдно.
Простiр усiх тригонометричних полiномiв tn - 1 порядку не вищого за n - 1 будемо позна-
чати через \scrT 2n - 1. Нехай En(f)L1 — найкращi наближення в середньому тригонометричними
полiномами tn - 1 \in \scrT 2n - 1, тобто
En(f)L1 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT 2n - 1
\| f - tn - 1\| 1.
Позначимо через \rho n(f ;x) вiдхилення вiд функцiї f з L1 її частинної суми Фур’є Sn - 1(f ; \cdot )
порядку n - 1:
\rho n(f ;x) := f(x) - Sn - 1(f ;x).
Норми \| \rho n(f ; \cdot )\| C можна оцiнити зверху через найкращi рiвномiрнi наближення En(f)C =
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}tn - 1\in \scrT 2n - 1 \| f - tn - 1\| C за допомогою нерiвностi Лебега
\| \rho n(f ; \cdot )\| C \leq (1 + Ln - 1)En(f)C , n \in \BbbN , f \in C, (4)
де величини Ln - 1 — константи Лебега сум Фур’є
Ln - 1 =
2
\pi
\pi
2\int
0
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2n - 1)t|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
dt.
При цьому, як встановив Фейєр [3], для констант Лебега Ln має мiсце асимптотична рiвнiсть
Ln =
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n+\scrO (1), n\rightarrow \infty , (5)
де \scrO (1) — рiвномiрно обмежена по n величина.
Бiльш точнi оцiнки для рiзниць Ln - 4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}(n + a), a > 0, при n \in \BbbN можна знайти в
роботах [1, 2, 4, 5, 10].
З урахуванням (5) нерiвнiсть (4) можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
544 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
\| \rho n(f ; \cdot )\| C \leq
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n+\scrO (1)
\biggr)
En(f)C , f \in C. (6)
Незважаючи на загальнiсть, нерiвнiсть (6) на всьому просторi C є точною за порядком. I
навiть бiльше, вона є асимптотично непокращуваною в тому сенсi, що константу
4
\pi 2
у формулi
(6) зменшити не можна.
Разом з тим використання нерiвностей (4) i (6) для функцiй f iз функцiональних множин
C\psi \beta L1 чи C\psi \beta ,1 може виявитись неефективним, i навiть бiльше, iснують послiдовностi \psi такi, що
для f \in C\psi \beta L1 зазначенi нерiвностi є неточними навiть за порядком. Щоб у цьому переконатись,
покладемо \psi (k) = e - \alpha k i розглянемо породженi такими послiдовностями класи C\psi \beta ,1 = C\alpha ,1\beta ,1 .
Як показано в [12], при всiх \alpha > 0, \beta \in \BbbR справджується асимптотична при n\rightarrow \infty рiвнiсть
\scrE n(C\alpha ,1\beta ,1 )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,1\beta ,1
\| \rho n(f ; \cdot )\| C = e - \alpha n
\biggl(
1
\pi (1 - e - \alpha )
+
\scrO (1)
n
e - \alpha
(1 - e - \alpha )2
\biggr)
, (7)
в якiй \scrO (1) — рiвномiрно обмежена по \alpha , \beta i n величина.
Крiм того (див., наприклад, [26, c. 48]), для найкращих наближень En(C
\alpha ,1
\beta ,1 )C справедливi
точнi за порядком оцiнки
K(1)e - \alpha n \leq En(C
\alpha ,1
\beta ,1 )C \leq K(2)e - \alpha n, (8)
в яких K(1) i K(2) — деякi додатнi сталi.
Тодi для f \in C\alpha ,1\beta ,1 на пiдставi (7) виконується нерiвнiсть
\| \rho n(f ; \cdot )\| C \leq e - \alpha n
\biggl(
1
\pi (1 - e - \alpha )
+
\scrO (1)
n
e - \alpha
n(1 - e - \alpha )2
\biggr)
,
а використання класичної нерiвностi Лебега та оцiнки (8) дозволяє записати бiльш грубу за
порядком оцiнку
\| \rho n(f ; \cdot )\| C \leq e - \alpha n
\Biggl(
4K(2)
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n+\scrO (1)
\Biggr)
.
У роботi [27] О. I. Степанець, розглядаючи послiдовностi \psi (k), що спадають до нуля
повiльнiше за будь-яку геометричну прогресiю, встановив аналоги нерiвностей Лебега для
множин (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй C\psi \beta C \subset C\psi \beta L1 (C\psi \beta C — множина 2\pi -перiодичних
функцiй f(x), якi при всiх x \in \BbbR зображуються у виглядi (1), де \varphi \in C ), в яких норми
вiдхилень \| \rho n(f ; \cdot )\| C виражаються через найкращi наближення En(f
\psi
\beta )C . Одержанi в [27]
нерiвностi виявились асимптотично точними не тiльки на всiх множинах C\psi \beta C, але i на деяких
важливих пiдмножинах iз C\psi \beta C, зокрема на класах C\psi \beta C
0 =
\Bigl\{
f \in C\psi \beta C : \| f\psi \beta \| C \leq 1
\Bigr\}
. Згодом
дослiдження по встановленню асимптотично точних нерiвностей типу Лебега на множинах
(\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй були продовженi в роботах [8, 9, 14, 21, 22, 28, 29].
У цiй роботi ми встановимо нерiвностi типу Лебега на множинах C\psi \beta L1, в яких норми
\| \rho n(f ;x)\| C виражаються через En(f
\psi
\beta )L1 , i доведемо їх асимптотичну непокращуванiсть у
випадку, коли
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 545
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\sum \infty
k=1
k\psi (k + n)\sum \infty
k=n
\psi (k)
= 0. (9)
Також за умови (9) буде знайдено розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для сум Фур’є
на класах C\psi \beta ,1, яка полягає у вiдшуканнi асимптотичних рiвностей величин
\scrE n(C\psi \beta ,1)C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta ,1
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C . (10)
Проблеми, пов’язанi зi знаходженням розв’язку задачi Колмогорова – Нiкольського для сум
Фур’є на класах згорток, дослiджувались у роботах [6, 11 – 13, 15, 16, 20, 23, 25, 32 – 35].
2. Основнi результати. Справджується таке твердження.
Теорема 2.1. Нехай
\sum \infty
k=1
k\psi (k) < \infty , \psi (k) \geq 0, k = 1, 2, . . . , \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi для
довiльної функцiї f \in C\psi \beta L1 виконується нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq 1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k)En(f
\psi
\beta )L1 . (11)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\psi \beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\psi \beta L1 таку, що En(\scrF \psi
\beta )L1 = En(f
\psi
\beta )L1 i має мiсце рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF ; \cdot )\| C =
\Biggl(
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\xi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
\Biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 . (12)
У (12) величина \xi = \xi (f ;n;\psi ;\beta ) є такою, що - 2 \leq \xi \leq 0.
Доведення. Нехай f \in C\psi \beta L1. Тодi згiдно з (1) в кожнiй точцi x \in \BbbR має мiсце iнтегральне
зображення
\rho n(f ;x) = f(x) - Sn - 1(f ;x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f\psi \beta (t)\Psi \beta ,n(x - t)dt, (13)
де
\Psi \beta ,n(t) :=
\infty \sum
k=n
\psi (k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \beta \in \BbbR . (14)
Функцiя \Psi \beta ,n(t) ортогональна до будь-якого тригонометричного полiнома tn - 1 порядку не
вищого за n - 1. Тодi для довiльного полiнома tn - 1 \in \scrT 2n - 1 отримуємо
\rho n(f ;x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
\delta n(t)\Psi \beta ,n(x - t)dt, (15)
де
\delta n(\cdot ) = \delta n(\psi , \beta , tn - 1; \cdot ) := f\psi \beta (\cdot ) - tn - 1(\cdot ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
546 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Виберемо в якостi tn - 1 у формулi (15) полiном t\ast n - 1 найкращого наближення функцiї f\psi \beta у
просторi L1, тобто такий, що
\| f\psi \beta - t\ast n - 1\| 1 = En(f
\psi
\beta )L1 .
Тодi, використовуючи нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\pi \int
- \pi
K(t - u)\varphi (u)du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
\leq \| K\| p\prime \| \varphi \| p, \varphi \in Lp, K \in Lp\prime , 1 \leq p \leq \infty ,
1
p
+
1
p\prime
= 1
(див., наприклад, [7, c. 43]), отримуємо
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\pi
\pi \int
- \pi
(f\psi \beta (t) - t\ast n - 1(t))\Psi \beta ,n(\cdot - t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
\leq 1
\pi
\| \Psi \beta ,n\| CEn(f\psi \beta )L1 . (16)
Знайдемо двостороннi оцiнки норми \| \Psi \beta ,n\| C . Покажемо, що при всiх n \in \BbbN i \beta \in \BbbR
справедливою є оцiнка
\infty \sum
k=n
\psi (k) - \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n) \leq \| \Psi \beta ,n\| C \leq
\infty \sum
k=n
\psi (k). (17)
Оцiнка зверху для \| \Psi \beta ,n\| C в (17) випливає безпосередньо з (14).
Для оцiнки \| \Psi \beta ,n\| C знизу запишемо функцiю \Psi \beta ,n(t), яка означена формулою (14), у
виглядi
\Psi \beta ,n(t) = g\psi ,n(t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt - \beta \pi
2
\biggr)
+ h\psi ,n(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - \beta \pi
2
\biggr)
, (18)
де
g\psi ,n(t) :=
\infty \sum
k=0
\psi (k + n) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt, (19)
h\psi ,n(t) := -
\infty \sum
k=0
\psi (k + n) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt. (20)
Оскiльки величина \| \Psi \beta ,n\| C перiодична з перiодом 2 за параметром \beta , то, не зменшуючи
загальностi, можна вважати, що \beta \in [0, 2].
Позначимо t0 :=
\beta \pi
2n
, \beta \in [0, 2]. На пiдставi (18) \Psi \beta ,n(t0) = g\psi ,n(t0). Тодi
\| \Psi \beta ,n\| C \geq | \Psi \beta ,n(t0)| = | g\psi ,n(t0)| = | g\psi ,n(0) + (g\psi ,n(t0) - g\psi ,n(0))|
\geq | g\psi ,n(0)| -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( g\psi ,n\biggl( \beta \pi 2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \infty \sum
k=n
\psi (k) -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( g\psi ,n\biggl( \beta \pi 2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (21)
Використовуючи теорему про середнє, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 547\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( \beta \pi 2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| g\prime
\psi ,n\| C
\beta \pi
2n
\leq \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n). (22)
Iз (21) i (22) випливає шукана оцiнка знизу для норм \| \Psi \beta ,n\| C у спiввiдношеннi (17):
\| \Psi \beta ,n\| C \geq
\infty \sum
k=n
\psi (k) - \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n).
Оцiнку (17) можна записати у виглядi
\| \Psi \beta ,n\| C =
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\Theta 1\pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n), (23)
де для величини \Theta 1 = \Theta 1(n, \beta , \psi ) виконуються нерiвностi
- 1 \leq \Theta 1 \leq 0. (24)
Отже, iз (16) i (23) випливає нерiвнiсть (11).
Доведемо другу частину теореми 2.1. Для цього необхiдно для довiльної функцiї \varphi \in L1
знайти функцiю \Phi (\cdot ) = \Phi (\varphi , \cdot ) \in L1 таку, що En(\Phi )L1 = En(\varphi )L1 i виконується рiвнiсть
1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
\bigl(
\Phi (t) - t\ast n - 1(t)
\bigr)
\Psi \beta ,n(0 - t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\Biggl(
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\xi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
\Biggr)
En(\varphi )L1 , (25)
де t\ast n - 1 — полiном найкращого наближення порядку n - 1 функцiї \Phi у просторi L1.
У цьому випадку для функцiї f \in C\psi \beta L1 iснує функцiя \Phi (\cdot ) = \Phi (f\psi \beta ; \cdot ) така, що En(\Phi )L1 =
En(f
\psi
\beta )L1 , i має мiсце формула (25), де роль \varphi вiдiграє функцiя f\psi \beta .
Розглянемо функцiю
\scrF (\cdot ) = \scrJ \psi
\beta
\Bigl(
\Phi (\cdot ) - a0
2
\Bigr)
,
де
a0 = a0(\Phi ) :=
1
\pi
\pi \int
- \pi
\Phi (t)dt.
Функцiя \scrF є шуканою, оскiльки \scrF \in C\psi \beta L1,
En(\scrF \psi
\beta )L1 = En
\Bigl(
\Phi - a0
2
\Bigr)
L1
= En(\Phi )L1 = En(f
\psi
\beta )L1 ,
i на пiдставi (15) i (25) має мiсце оцiнка (12).
Доведемо (25). Нехай t\ast — точка з промiжку T =
\biggl[
\pi (1 - \beta )
2n
, 2\pi +
\pi (1 - \beta )
2n
\biggr)
, в якiй функ-
цiя | \Psi - \beta ,n(t)| набуває свого найбiльшого значення, тобто
| \Psi - \beta ,n(t
\ast )| = \| \Psi - \beta ,n\| C = \| \Psi \beta ,n\| C .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
548 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Покладемо \Delta n
k :=
\biggl[
(k - 1)\pi
n
+
\pi (1 - \beta )
2n
,
k\pi
n
+
\pi (1 - \beta )
2n
\biggr)
, k = 1, . . . , 2n. Через k\ast позна-
чимо таке число, що t\ast \in \Delta n
k\ast . Оскiльки функцiя \Psi - \beta ,n є абсолютно неперервною, то для
довiльного \varepsilon > 0 iснує сегмент \ell \ast = [\xi \ast , \xi \ast + \delta ] \subset \Delta n
k\ast такий, що для довiльного t \in \ell \ast
виконується нерiвнiсть | \Psi \beta ,n(t)| > \| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon . Зрозумiло, що \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \ell \ast = | \ell \ast | = \delta <
\pi
n
.
Для довiльного \varphi \in L1 i \varepsilon > 0 розглянемо функцiю \Phi \varepsilon (t), яка на промiжку T означена за
допомогою рiвностей
\Phi \varepsilon (t) =
\left\{
En(\varphi )L1
1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\delta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
, t \in \ell \ast ,
En(\varphi )L1\varepsilon \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
, t \in \mathrm{T} \setminus \ell \ast .
(26)
Для функцiї \Phi \varepsilon (t) при достатньо малих значеннях \varepsilon > 0
\biggl(
\varepsilon \in
\biggl(
0,
1
2\pi
\biggr) \biggr)
має мiсце рiвнiсть
\| \Phi \varepsilon \| 1 = En(\varphi )L1
1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\delta
\int
\ell \ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\biggl( nt+ \beta \pi
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt
+ En(\varphi )L1\varepsilon
\int
\mathrm{T}\setminus \ell \ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\biggl( nt+ \beta \pi
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt
= En(\varphi )L1
\biggl(
1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\delta
\delta + \varepsilon (2\pi - \delta )
\biggr)
= En(\varphi )L1 . (27)
Крiм того, згiдно з (26)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi \varepsilon (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
. (28)
Оскiльки для довiльного тригонометричного полiнома tn - 1 \in \scrT 2n - 1
2\pi \int
0
tn - 1(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
dt = 0,
то з урахуванням (28) виконується рiвнiсть
2\pi \int
0
tn - 1(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\Phi \varepsilon (t) - 0)dt = 0, tn - 1 \in \scrT 2n - 1.
Згiдно з теоремою 1.4.5 роботи [7, с. 28], полiном t\ast n - 1 \equiv 0 є полiномом найкращого
наближення функцiї \Phi \varepsilon в метрицi простору L1, тобто En(\Phi \varepsilon )L1 = \| \Phi \varepsilon \| 1. Отже, з (27) випливає
рiвнiсть En(\Phi \varepsilon )L1 = En(\varphi )L1 .
Крiм того, для функцiї \Phi \varepsilon маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 549
1
\pi
\pi \int
- \pi
(\Phi \varepsilon (t) - t\ast n - 1(t))\Psi \beta ,n( - t)dt =
1
\pi
\pi \int
- \pi
\Phi \varepsilon (t)\Psi - \beta ,n(t)dt
=
1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\pi \delta
En(\varphi )L1
\int
\ell \ast
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
\Psi - \beta ,n(t)dt
+
\varepsilon
\pi
En(\varphi )L1
\int
\mathrm{T}\setminus \ell \ast
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
\Psi - \beta ,n(t)dt. (29)
Враховуючи, що \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi \varepsilon (t) = ( - 1)k, t \in \Delta
(n)
k , k = 1, . . . , 2n, а також вкладення \ell \ast \subset \Delta
(n)
k\ast ,
отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\pi \delta
En(\varphi )L1
\int
\ell \ast
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
\Psi - \beta ,n(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ( - 1)k
\ast 1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\pi \delta
En(\varphi )L1
\int
\ell \ast
\Psi - \beta ,n(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\geq 1 - \varepsilon (2\pi - \delta )
\pi
En(\varphi )L1(\| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon ) >
1 - 2\pi \varepsilon
\pi
En(\varphi )L1(\| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon )
=
1
\pi
En(\varphi )L1
\bigl(
\| \Psi \beta ,n| C - 2\pi \varepsilon \| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon + 2\pi \varepsilon 2
\bigr)
> En(\varphi )L1
\biggl(
1
\pi
\| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon
\biggl(
2\| \Psi \beta ,n\| C +
1
\pi
\biggr) \biggr)
. (30)
Крiм того, неважко переконатись, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\varepsilon
\pi
En(\varphi )L1
\int
\mathrm{T}\setminus \ell \ast
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt+
\beta \pi
2
\biggr)
\Psi - \beta ,n(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq \varepsilon
\pi
En(\varphi )L1\| \Psi \beta ,n\| C(2\pi - \delta ) < 2\varepsilon En(\varphi )L1\| \Psi \beta ,n\| C . (31)
З формул (29) – (31) випливає оцiнка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
1
\pi
(\Phi \varepsilon (t) - t\ast n - 1(t))\Psi \beta ,n( - t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > En(\varphi )L1
\biggl(
1
\pi
\| \Psi \beta ,n\| C - \varepsilon
\biggl(
4\| \Psi \beta ,n\| C +
1
\pi
\biggr) \biggr)
. (32)
Виберемо \varepsilon настiльки малим, щоб
\varepsilon <
\pi
\sum \infty
k=1
k\psi (k + n)
n
\Bigl(
1 + 4\pi
\sum \infty
k=n
\psi (k)
\Bigr) , (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
550 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
i для цього \varepsilon покладемо \Phi (t) = \Phi \varepsilon (t). Функцiя \Phi (t) є шуканою, оскiльки En(\Phi )L1 = En(\varphi )L1 ,
i згiдно з (17), (32) i (33)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\pi \int
- \pi
(\Phi (t) - t\ast n - 1(t))\Psi \beta ,n( - t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\geq
\Biggl(
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) - 1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n) - \varepsilon
\Biggl(
4
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
1
\pi
\Biggr) \Biggr)
En(\varphi )L1
\geq
\left( 1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) - 1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n) -
\pi
\sum \infty
k=1
k\psi (k + n)
n
\Bigl(
1 + 4\pi
\sum \infty
k=n
\psi (k)
\Bigr) \Biggl( 4 \infty \sum
k=n
\psi (k) +
1
\pi
\Biggr) \right) En(\varphi )L1
\geq
\Biggl(
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) - 2
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
\Biggr)
En(\varphi )L1 . (34)
З формул (34), (16) i (17) випливає (25).
Теорему 2.1 доведено.
Зрозумiло, що формулу (11) можна записати однотипно з формулою (12) у виглядi
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq
\Biggl(
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\Theta 1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
\Biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 , (35)
де \Theta 1 = \Theta 1(n, \beta , \psi ) задовольняє нерiвностi (24).
Теорема 2.2. Нехай
\sum \infty
k=1
k\psi (k) < \infty , \psi (k) \geq 0, k = 1, 2, . . . i \beta \in \BbbR . Тодi при всiх
n \in \BbbN має мiсце формула
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\Theta 2
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n), (36)
де для величини \Theta 2 = \Theta 2(n, \beta , \psi ) виконуються нерiвностi - 1 \leq \Theta 2 \leq 0.
Доведення. Згiдно з (10) i (13) отримуємо
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\pi \int
- \pi
\varphi (t)\Psi \beta ,n(x - t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
, (37)
де \Psi \beta ,n(\cdot ) означена рiвнiстю (14), а B0
1 := \{ \varphi \in L1 : | | \varphi | | 1 \leq 1, \varphi \bot 1\} .
Беручи до уваги iнварiантнiсть множини B0
1 щодо зсуву аргументу, з (37) одержуємо
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\pi \int
- \pi
\varphi (t)\Psi \beta ,n(t)dt. (38)
На основi спiввiдношення двоїстостi (див., наприклад, [7]) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 551
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\pi \int
- \pi
\Psi \beta ,n(t)\varphi (t)dt = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\| \Psi \beta ,n(t) - \lambda \| C . (39)
Для знаходження двосторонньої оцiнки величини \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\lambda \in \BbbR \| \Psi \beta ,n(t) - \lambda \| C буде корисним
наступне твердження, яке може мати i самостiйне застосування.
Лема 2.1. Нехай \psi (k) \geq 0,
\sum \infty
k=1
k\psi (k) < \infty . Тодi при всiх \beta \in \BbbR i n \in \BbbN для кожної з
величин
I(1)n = I(1)n (\psi , \beta ) := \| \Psi \beta ,n\| C , (40)
I(2)n = I(2)n (\psi , \beta ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\| \Psi \beta ,n(t) - \lambda \| C , (41)
I(3)n = I(3)n (\psi , \beta ) :=
1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi \beta ,n
\Bigl(
t+
\pi
n
\Bigr)
- \Psi \beta ,n(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
(42)
справджуються формули
I(j)n =
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\Theta j\pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n), j = 1, 2, 3, (43)
в яких для будь-якої з величин \Theta j = \Theta j(n, \beta , \psi ), j = 1, 2, 3, виконуються двостороннi оцiнки
- 1 \leq \Theta j \leq 0, j = 1, 2, 3.
Доведення. Оскiльки
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\| \Psi \beta ,n(t) - \lambda \| C \leq \| \Psi \beta ,n\| C
i
1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi \beta ,n
\Bigl(
t+
\pi
n
\Bigr)
- \Psi \beta ,n(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
\leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\| \Psi \beta ,n(t) - \lambda \| C ,
то
I(3)n \leq I(2)n \leq I(1)n ,
i, отже, необхiдна оцiнка зверху для кожної з величин I(j)n , j = 1, 2, 3, випливає з (17).
Залишилося знайти оцiнку знизу для I(3)n . На пiдставi (18) – (20) i (42)
I(3)n =
1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi \beta ,n
\Bigl(
t+
\pi
n
\Bigr)
- \Psi \beta ,n(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
\geq 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \Psi \beta ,n
\Bigl(
t0 +
\pi
n
\Bigr)
- \Psi \beta ,n(t0)
\bigm| \bigm| \bigm|
=
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\Bigl( t0 + \pi
n
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
n
\Bigl(
t0 +
\pi
n
\Bigr)
- \beta \pi
2
\biggr)
+ h\psi ,n
\Bigl(
t0 +
\pi
n
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
n
\Bigl(
t0 +
\pi
n
\Bigr)
- \beta \pi
2
\biggr)
-
\biggl(
g\psi ,n(t0) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nt0 -
\beta \pi
2
\biggr)
+ h\psi ,n(t0) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt0 -
\beta \pi
2
\biggr) \biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
552 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
=
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| - g\psi ,n\Bigl( t0 + \pi
n
\Bigr)
- g\psi ,n(t0)
\bigm| \bigm| \bigm| = 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( \beta \pi - 2\pi
2n
\biggr)
+ g\psi ,n
\biggl(
\beta \pi
2n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2g\psi ,n(0) + \biggl( g\psi ,n\biggl( (\beta - 2)\pi
2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\biggr)
+
\biggl(
g\psi ,n
\biggl(
\beta \pi
2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\geq | g\psi ,n(0)| -
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( (\beta - 2)\pi
2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( \beta \pi 2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (44)
де, як i ранiше, t0 =
\beta \pi
2n
, \beta \in [0, 2].
За теоремою про середнє значення маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( (\beta - 2)\pi
2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| g\prime
\psi ,n\| C
| \beta - 2| \pi
2n
\leq \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n). (45)
Аналогiчно (див. (22)) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g\psi ,n\biggl( \beta \pi 2n
\biggr)
- g\psi ,n(0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n). (46)
Об’єднуючи (44) – (46), одержуємо шукану оцiнку знизу для I(3)n :
I(3)n \geq
\infty \sum
k=n
\psi (k) - \pi
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n).
Лему 2.1 доведено.
З формул (38), (39), (41) i (43) випливає, що
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\Theta 2
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n).
Теорему 2.2 доведено.
Зазначимо, що оцiнки (11), (12) i (36) є асимптотичними рiвностями при n \rightarrow \infty , якщо
виконується граничне спiввiдношення (9), тобто коли
1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n) = o
\Biggl( \infty \sum
k=n
\psi (k)
\Biggr)
, n\rightarrow \infty . (47)
Умова (47), як буде показано нижче, має мiсце у деяких важливих випадках, зокрема, коли
послiдовнiсть \psi (k) спадає до нуля при k \rightarrow \infty швидше за довiльну степеневу послiдовнiсть
1
kr
, k = 1, 2, . . . , r > 1.
3. Наслiдки з теореми 2.2 для класiв аналiтичних i цiлих функцiй. Наведемо приклади
важливих функцiональних компактiв C\psi \beta ,1, для яких формула (36) дозволяє записати асимпто-
тичнi рiвностi для \scrE n(C\psi \beta ,1)C при n\rightarrow \infty .
Розглянемо випадок, коли послiдовностi \psi (k) задовольняють умову Даламбера \scrD q, q \in
[0, 1):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 553
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\psi (k + 1)
\psi (k)
= q, \psi (k) > 0. (48)
Якщо \psi (k) задовольняє умову (48) при деякому q \in [0, 1), то будемо писати \psi \in \scrD q. Нехай
спочатку q = 0.
Згiдно з теоремою 5 роботи [31], твердження про iснування послiдовностi \psi \in \scrD 0 такої,
що для функцiї f правильним є включення f \in C\psi \beta L1 при будь-якому \beta \in \BbbR , еквiвалентне
твердженню про включення f \in \scrE , де \scrE — множина всiх 2\pi -перiодичних дiйснозначних на
дiйснiй осi функцiй, якi допускають аналiтичне продовження на всю комплексну площину.
Отже, класи C\psi \beta ,1 при \psi \in \scrD 0 належать до множини 2\pi -перiодичних дiйснозначних на \BbbR цiлих
функцiй.
Наслiдок 3.1. Нехай
\sum \infty
k=n+1
k\psi (k) < \infty , \psi (k) \geq 0, k = 1, 2, . . . , n \in \BbbN i \beta \in \BbbR . Тодi
має мiсце рiвномiрна щодо всiх параметрiв оцiнка
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\psi (n) +
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=n+1
k\psi (k). (49)
Якщо, крiм того, \psi \in \scrD 0, то оцiнка (49) є асимптотичною рiвнiстю при n\rightarrow \infty .
Доведення. Використовуючи формулу (36), записуємо
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\psi (n) +\scrO (1)
\Biggl( \infty \sum
k=1
\psi (k + n) +
1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
\Biggr)
=
1
\pi
\psi (n) +
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=1
(k + n)\psi (k + n) =
1
\pi
\psi (n) +
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=n+1
k\psi (k),
що й доводить оцiнку (49).
Покажемо, що при \psi \in \scrD 0
1
n
\infty \sum
k=n+1
k\psi (k) = o(\psi (n)), n\rightarrow \infty . (50)
Виберемо значення n так, щоб
\psi (k + 1)
\psi (k)
<
1
2
, k = n, n+ 1, . . . . (51)
Тодi з урахуванням (51) маємо
1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k) =
\biggl(
1 +
1
n
\biggr)
\psi (n+ 1) +
\psi (n+ 1)
n
\infty \sum
j=2
(n+ j)
j - 1\prod
\ell =1
\psi (n+ \ell + 1)
\psi (n+ \ell )
< \psi (n+ 1)
\left( 2 +
1
n
\infty \sum
j=2
2j
2j - 1
\right)
< \psi (n+ 1)
\left( 2 +
4
n
\infty \sum
j=1
j
2j
\right) < 10\psi (n+ 1). (52)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
554 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Оскiльки на пiдставi того, що \psi \in \scrD 0,
\psi (n+ 1) = o(\psi (n)), n\rightarrow \infty , (53)
то з (52) i (53) випливає (50).
Наслiдок 3.1 доведено.
Зауважимо, що асимптотичну рiвнiсть (49) iз залишковим членом, записаним в iншiй формi,
було отримано в [12, 13]. При \psi \in \scrD 0 оцiнки залишкового члена в [12, 13] є бiльш точними,
нiж у формулi (49).
Типовими представниками послiдовностей, що задовольняють умову \scrD 0, є послiдовностi
\psi (k) = e - \alpha k
- r
, r > 1, \alpha > 0. Для породжуваних такими послiдовностями класiв C\psi \beta ,1 = C\alpha ,r\beta ,1
одержуємо таке твердження.
Наслiдок 3.2. Нехай r > 1, \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq
\biggl(
3
\alpha r
\biggr) 1
r
- 1, n \in \BbbN , має мiсце
рiвномiрна за всiма розглядуваними параметрами оцiнка
\scrE n(C\alpha ,r\beta ,1 )C = e - \alpha n
r
\biggl(
1
\pi
+\scrO (1)e - \alpha rn
r - 1
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr) \biggr)
. (54)
Доведення. З формули (49) випливає, що
\scrE n(C\alpha ,r\beta ,1 )C =
1
\pi
e - \alpha n
r
+
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=n+1
ke - \alpha k
r
. (55)
Легко переконатись, що при значеннях n таких, що (n+ 1)r >
1
\alpha r
, виконується нерiвнiсть
1
n
\infty \sum
k=n+1
ke - \alpha k
r
<
1
n
\left( (n+ 1)e - \alpha (n+1)r +
\infty \int
n+1
te - \alpha t
r
dt
\right) . (56)
Iнтегруючи частинами, отримуємо
\infty \int
n+1
te - \alpha t
r
dt =
\infty \int
n+1
t2
1
\alpha rtr
\bigl(
- e - \alpha tr
\bigr) \prime
dt \leq 1
\alpha r(n+ 1)r
\infty \int
n+1
t2
\bigl(
- e - \alpha tr
\bigr) \prime
dt
=
1
\alpha r(n+ 1)r
\left( (n+ 1)2e - \alpha (n+1)r + 2
\infty \int
n+1
te - \alpha t
r
dt
\right) .
З останньої нерiвностi маємо
\biggl(
1 - 2
\alpha r(n+ 1)r
\biggr) \infty \int
n+1
te - \alpha t
r
dt \leq (n+ 1)2e - \alpha (n+1)r
\alpha r(n+ 1)r
.
Це рiвносильно тому, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 555
\infty \int
n+1
te - \alpha t
r
dt \leq e - \alpha (n+1)r
\alpha r(n+ 1)r - 2
\alpha r(n+ 1)r
\alpha r(n+ 1)r - 2
=
e - \alpha (n+1)r
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggl(
1 +
2
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr)
. (57)
Зi спiввiдношень (56) i (57) випливає, що
1
n
\infty \sum
k=n+1
ke - \alpha k
r
= \scrO (1)
\Biggl(
e - \alpha (n+1)r +
e - \alpha (n+1)r
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggl(
1 +
2
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr) \Biggr)
. (58)
Об’єднуючи (55) i (58), одержуємо, що при всiх значеннях n таких, що (n+ 1)r >
3
\alpha r
,
\scrE n(C\alpha ,r\beta ,1 )C =
1
\pi
e - \alpha n
r
+\scrO (1)
\Biggl(
e - \alpha (n+1)r +
e - \alpha (n+1)r
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggl(
1 +
2
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr) \Biggr)
= e - \alpha n
r
\Biggl(
1
\pi
+\scrO (1)
\Biggl(
e - \alpha rn
r - 1
+
e - \alpha rn
r - 1
\alpha r(n+ 1)r - 2
\Biggr) \Biggr)
.
Наслiдок 3.2 доведено.
Формулу (54) iз залишковим членом, записаним дещо в iншому виглядi, отримано в [12, 13].
При цьому оцiнки з [12, 13] мiстять бiльш точнi оцiнки залишкового члена, нiж у (54).
Нехай далi q \in (0, 1). Згiдно з теоремою 3 роботи [31], твердження про iснування послi-
довностi \psi \in \scrD q, q \in (0, 1), такої, що для функцiї f правильним є включення C\alpha ,1\beta L1 при
будь-якому \beta \in \BbbR , еквiвалентне твердженню про включення f \in \scrA , де \scrA — множина всiх 2\pi -
перiодичних дiйснозначних на дiйснiй осi функцiй, якi допускають аналiтичне продовження на
деяку смугу | \mathrm{I}\mathrm{m}z| < c, c > 0, комплексної площини. Отже, класи C\psi \beta ,1, \psi \in \scrD q, 0 < q < 1,
складаються з перiодичних, аналiтичних у смузi | \mathrm{I}\mathrm{m} z| < c функцiй, при цьому c = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q
(див.,
наприклад, [24, c. 32]).
Послiдовностi \psi (k) = e - \alpha k, \alpha > 0, належать до множини \scrD q при q = e - \alpha , а вiдповiднi
класи C\psi \beta ,1 = C\alpha ,1\beta ,1 породжуються ядрами Пуассона
P\alpha ,1,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
e - \alpha k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \alpha > 0, \beta \in \BbbR .
Iз теореми 2.2 для класiв C\alpha ,1\beta ,1 отримуємо таке твердження.
Наслiдок 3.3. Нехай \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при всiх n \in \BbbN має мiсце рiвнiсть
\scrE n(C\alpha ,1\beta ,1 )C = e - \alpha n
\biggl(
1
\pi
1
1 - e - \alpha
+
\Theta
n
e - \alpha
(1 - e - \alpha )2
\biggr)
, (59)
де для величини \Theta = \Theta (n, \alpha , \beta ) виконуються нерiвностi - 1 \leq \Theta \leq 0.
Доведення. Покладемо q = e - \alpha . Тодi з теореми 2.2 випливає, що при всiх n \in \BbbN
\scrE n(C\alpha ,1\beta ,1 )C =
1
\pi
\infty \sum
k=n
qk +
\Theta
n
\infty \sum
k=0
kqk+n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
556 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
=
1
\pi
qn
1 - q
+
\Theta
n
\Biggl( \infty \sum
k=n
kqk - n
\infty \sum
k=n
qk
\Biggr)
=
1
\pi
qn
1 - q
+
\Theta
n
\biggl(
nqn(1 - q) + qn+1
(1 - q)2
- nqn
1 - q
\biggr)
=
1
\pi
qn
1 - q
+
\Theta
n
qn+1
(1 - q)2
,
де використано рiвнiсть
\infty \sum
k=n
kqk =
nqn(1 - q) + qn+1
(1 - q)2
, q \in (0, 1), n \in \BbbN .
Наслiдок 3.3 доведено.
Оцiнка (59) уточнює асимптотичнi рiвностi для величин \scrE n(C\alpha ,r\beta ,1 )C , якi встановлено в
[12, 13]. Асимптотичнi рiвностi для величин \scrE n(C\psi \beta ,1)C при \psi \in \scrD q, q \in (0, 1), мiстяться
у такому твердженнi.
Наслiдок 3.4. Нехай \psi \in \scrD q, q \in (0, 1), \beta \in \BbbR , n \in \BbbN . Тодi при всiх значеннях n таких,
що
1
n
+ \varepsilon n <
1 - q
2
, (60)
де
\varepsilon n := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (k + 1)
\psi (k)
- q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (61)
має мiсце рiвномiрна щодо всiх розглядуваних параметрiв оцiнка
\scrE n(C\psi \beta ,1)C = \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\biggl(
q
n(1 - q)2
+
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr) \biggr)
. (62)
Доведення. З леми 1 роботи [29] випливає, що при \psi \in \scrD q, 0 < q < 1, n \in \BbbN має мiсце
рiвнiсть
\infty \sum
k=n
\psi (k) = \psi (n)
\Biggl(
1
qn
\infty \sum
k=n
qk + rn
\Biggr)
, (63)
де для залишку rn при всiх значеннях n таких, що
\varepsilon n <
1 - q
2
, (64)
виконується оцiнка
| rn| \leq
\varepsilon n
(1 - q - \varepsilon n)(1 - q)
\leq 2\varepsilon n
(1 - q)2
. (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 557
Очевидно, що якщо \psi \in \scrD q, 0 < q < 1, то i послiдовнiсть k\psi (k) також задовольняє умову \scrD q,
а тому знову ж таки за лемою 1 iз [29]
\infty \sum
k=n+1
k\psi (k) = (n+ 1)\psi (n+ 1)
\Biggl(
1
qn+1
\infty \sum
k=n+1
qk + r\ast n+1
\Biggr)
, (66)
де для залишку r\ast n+1 при всiх значеннях n таких, що
\varepsilon \ast n+1 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq n+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (k + 1)(k + 1)
\psi (k)k
- q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1 - q
2
, (67)
виконується оцiнка \bigm| \bigm| r\ast n+1
\bigm| \bigm| \leq 2\varepsilon \ast n+1
(1 - q)2
. (68)
Iз означень величин \varepsilon n i \varepsilon \ast n+1 (див. (61) i (67)) маємо
\varepsilon \ast n+1 \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq n+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (k + 1)
\psi (k)
- q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 1
n+ 1
= \varepsilon n+1 +
1
n+ 1
< \varepsilon n +
1
n
. (69)
Iз (69) видно, що виконання нерiвностi (60) гарантує виконання нерiвностей (64) i (67), а отже
i оцiнок (65), (68) для залишкiв у рiвностях (63) i (66).
Тодi на пiдставi оцiнки (36) i рiвностей (63), (66) при всiх значеннях n, якi задовольняють
умову (60), справджуються спiввiдношення
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) +
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
=
\psi (n)
\pi
\Biggl(
1
qn
\infty \sum
k=n
qk + rn
\Biggr)
+
\scrO (1)
n
\infty \sum
k=n+1
(k - n)\psi (k)
=
\psi (n)
\pi
\biggl(
1
1 - q
+\scrO (1)
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr)
+\scrO (1)
\Biggl(
1
n
\infty \sum
k=n+1
k\psi (k) -
\infty \sum
k=n+1
\psi (k)
\Biggr)
= \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr)
+\scrO (1)\psi (n+ 1)
\Biggl(
n+ 1
n
\Biggl(
1
qn+1
\infty \sum
k=n+1
qk +
\varepsilon \ast n+1
(1 - q)2
\Biggr)
- 1
qn+1
\infty \sum
k=n+1
qk +
\varepsilon n+1
(1 - q)2
\Biggr)
= \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr)
+\scrO (1)\psi (n+ 1)
\Biggl(
1
n(1 - q)
+
\varepsilon n +
1
n
(1 - q)2
\Biggr)
= \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\biggl(
\varepsilon n
(1 - q)2
+
\psi (n+ 1)
\psi (n)
1
n(1 - q)2
\biggr) \biggr)
= \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\biggl(
\varepsilon n
(1 - q)2
+
q
n(1 - q)2
\biggr) \biggr)
.
Наслiдок 3.4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
558 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Асимптотичнi рiвностi (62) вперше було встановлено в роботах [12, 13].
4. Наслiдки з теореми 2.2 для класiв нескiнченно диференцiйовних функцiй. У цьому
пунктi будемо вважати, що послiдовностi \psi (k), що породжують множини C\psi \beta L1 i C\psi \beta ,1, є зву-
женням на множину натуральних чисел деяких додатних неперервних опуклих донизу функцiй
\psi (t) неперервного аргументу t \geq 1, якi прямують до нуля при t \rightarrow \infty . Множину всiх таких
функцiй \psi позначають через \frakM :
\frakM =
\Bigl\{
\psi \in C[1,\infty ) :\psi (t)>0, \psi (t1) - 2\psi ((t1 + t2)/2) + \psi (t2) \geq 0 \forall t1, t2 \in [1,\infty ), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\psi (t)=0
\Bigr\}
.
Наслiдуючи О. I. Степанця (див., наприклад, [25, с. 160]), кожнiй функцiї \psi \in \frakM поставимо
у вiдповiднiсть характеристики
\eta (t) = \eta (\psi ; t) = \psi - 1
\biggl(
1
2
\psi (t)
\biggr)
,
\mu (t) = \mu (\psi ; t) =
t
\eta (t) - t
,
де \psi - 1 — обернена до \psi функцiя, i покладемо
\frakM +
\infty = \{ \psi \in \frakM : \mu (t) \uparrow , t\rightarrow \infty \} .
Через \frakM \alpha позначимо пiдмножину всiх функцiй \psi \in \frakM , для яких величина
\alpha (t) = \alpha (\psi ; t) :=
\psi (t)
t| \psi \prime (t)|
, \psi \prime (t) := \psi \prime (t+ 0), (70)
спадає до нуля при t\rightarrow \infty :
\frakM \alpha =
\Bigl\{
\psi \in \frakM : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\alpha (\psi ; t) = 0
\Bigr\}
.
Згiдно з теоремою 2 роботи [30], твердження про iснування послiдовностi \psi \in \frakM \alpha (або
\psi \in \frakM +
\infty ) такої, що для функцiї f правильним є включення f \in C\psi \beta L1 при будь-якому \beta \in
\BbbR , еквiвалентне твердженню про включення f \in D\infty , де D\infty — множина всiх нескiнченно
диференцiйовних 2\pi -перiодичних дiйснозначних функцiй. Отже, класи C\psi \beta ,1 при \psi \in \frakM \alpha (або
\psi \in \frakM +
\infty ) є класами нескiнченно диференцiйовних перiодичних функцiй. В тiй же роботi було
показано, що має мiсце включення
\frakM +
\infty \subset \frakM \alpha \subset \frakM \infty =
\Bigl\{
\psi \in \frakM : \forall r > 0 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
tr\psi (t) = 0
\Bigr\}
, (71)
яке означає, що функцiї \psi (t) iз \frakM \alpha спадають до нуля швидше за довiльну степеневу функцiю.
Для величин \scrE n(C\psi \beta ,1)C , \psi \in \frakM +
\infty , за умови \eta (n) - n > 2 мають мiсце точнi порядковi
рiвностi
\scrE n(C\psi \beta ,1)C \asymp \psi (n)(\eta (n) - n), (72)
якi збiгаються з точними порядковими рiвностями для найкращих рiвномiрних наближень
тригонометричними полiномами порядку n - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 559
En(C
\psi
\beta ,1)C = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT
\| f - tn - 1\| C ,
а саме (див., наприклад, [17])
En(C
\psi
\beta ,1)C \asymp \scrE n(C\psi \beta ,1)C \asymp \psi (n)(\eta (n) - n)
(тут i далi запис A(n) \asymp B(n) для додатних послiдовностей A(n) i B(n) означає iснування
додатних сталих K1 i K2 таких, що K1B(n) \leq A(n) \leq K2B(n), n \in \BbbN ).
Як показано в [26, с. 166], для довiльної функцiї \psi iз \frakM +
\infty має мiсце порядкова рiвнiсть
\eta (t) - t \asymp \lambda (t), t \geq 1, (73)
де \lambda (t) — характеристика вигляду
\lambda (t) = \lambda (\psi ; t) :=
\psi (t)
| \psi \prime (t)|
. (74)
З урахуванням (73) порядкову оцiнку (72) можна записати у виглядi
\scrE n(C\psi \beta ,1)C \asymp \psi (n)\lambda (n).
Наступне твердження мiстить сильну асимптотику величин \scrE n(C\psi \beta ,1)C , \psi \in \frakM \alpha , при деяких
природних обмеженнях на \alpha (t) i \lambda (t).
Теорема 4.1. Нехай \beta \in \BbbR , \psi \in \frakM i характеристики (70), (74) задовольняють умови
\alpha (t) \downarrow 0, (75)
\lambda (t) \uparrow \infty , t\rightarrow \infty . (76)
Тодi для всiх n \in \BbbN таких, що
\alpha (n) \leq 1
4
, (77)
виконується оцiнка
\scrE n(C\psi \beta ,1)C = \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1
\pi
+
\xi 1
\lambda (n)
+ \xi 2\alpha (n)
\biggr)
, (78)
де - 1 \leq \xi 1 \leq 1 +
1
\pi
i - 4 \leq \xi 2 \leq
4
3
\biggl(
1 +
1
\pi
\biggr)
.
Доведення. Для оцiнки величини \scrE n(C\psi \beta ,1)C використаємо формулу (36). При цьому необ-
хiдно буде знайти оцiнки рядiв \Sigma 1 =
\sum \infty
k=n
\psi (k) i \Sigma 2 =
\sum \infty
k=n
k\psi (k).
Внаслiдок монотонного спадання функцiї \psi \in \frakM
\infty \int
n
\psi (t)dt \leq
\infty \sum
k=n
\psi (k) \leq \psi (n) +
\infty \int
n
\psi (t)dt,
а отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
560 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
\infty \sum
k=n
\psi (k) =
\infty \int
n
\psi (t)dt+\Theta 4\psi (n), 0 \leq \Theta 4 \leq 1. (79)
Оцiнка iнтеграла
\int \infty
n
\psi (t)dt випливає з наступного твердження, яке може мати i самостiй-
ний iнтерес.
Лема 4.1. Нехай \psi \in \frakM , \lambda (t) монотонно не спадає, а \alpha (t) монотонно не зростає на
[1,\infty ). Тодi при всiх a \geq 1 таких, що \alpha (a) < 1, виконуються оцiнки
\lambda (a)\psi (a) \leq
\infty \int
a
\psi (t)dt \leq \lambda (a)\psi (a)
\biggl(
1 +
\alpha (a)
1 - \alpha (a)
\biggr)
. (80)
Доведення. Оскiльки на пiдставi включення \psi \in \frakM функцiя \psi (t) є локально абсолютно
неперервною на [1,\infty ), то, враховуючи монотонне неспадання \lambda (t), одержуємо шукану оцiнку
знизу:
I1 :=
\infty \int
a
\psi (t)dt =
\infty \int
a
- \psi \prime (t)\lambda (t)dt \geq \lambda (a)
\infty \int
a
( - \psi \prime (t))dt = \psi (a)\lambda (a). (81)
З iншого боку, враховуючи монотонне незростання функцiї \alpha (t) i застосовуючи метод
iнтегрування частинами, маємо
I1 =
\infty \int
a
\psi (t)dt =
\infty \int
a
\alpha (t)( - \psi \prime (t)t)dt \leq \alpha (a)
\infty \int
a
( - \psi \prime (t)t)dt
= \alpha (a)
\left( \psi (a)a+ \infty \int
a
\psi (t)dt
\right) = \psi (a)\lambda (a) + \alpha (a)I1. (82)
З (82) одержуємо
I1 \leq
\lambda (a)\psi (a)
1 - \alpha (a)
= \lambda (a)\psi (a)
\biggl(
1 +
\alpha (a)
1 - \alpha (a)
\biggr)
. (83)
Iз (81) i (83) випливає (80).
Лему 4.1 доведено.
Застосування леми 4.1 при a = n, n \in \BbbN , за умови (77) дозволяє записати, що
I1 =
\infty \int
a
\psi (t)dt = \psi (n)\lambda (n)(1 + \Theta 5\alpha (n)), 0 \leq \Theta 5 \leq
4
3
. (84)
Отже, з урахуванням (79) i (84) при \alpha (n) \leq 1
4
отримуємо
\infty \sum
k=n
\psi (k) = \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1 +
\Theta 4
\lambda (n)
+ \Theta 5\alpha (n)
\biggr)
, 0 \leq \Theta 5 \leq
4
3
, 0 \leq \Theta 4 \leq 1. (85)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 561
Далi знайдемо оцiнку для \Sigma 2 =
\sum \infty
k=n
k\psi (k). На пiдставi (77) функцiя t\psi (t) спадає на
[n,\infty ), а тому
\infty \int
n
t\psi (t)dt \leq
\infty \sum
k=n
k\psi (k) \leq n\psi (n) +
\infty \int
n
t\psi (t)dt (86)
i, отже,
\infty \sum
k=n
k\psi (k) =
\infty \int
n
t\psi (t)dt+\Theta 6n\psi (n), 0 \leq \Theta 6 \leq 1. (87)
Для оцiнки iнтеграла I2 =
\infty \int
n
t\psi (t)dt знову використаємо метод iнтегрування частинами i
врахуємо (71) та умову незростання \alpha (n):
I2 =
\infty \int
n
t\psi (t)dt =
\infty \int
n
t2
\psi (t)
- t\psi \prime (t)
( - \psi \prime (t))dt \leq \alpha (n)
\infty \int
n
t2( - \psi \prime (t))dt
= \alpha (n)
\bigl(
n2\psi (n) + 2I2
\bigr)
.
З останнiх спiввiдношень i умови (77) отримуємо
I2(1 - 2\alpha (n)) \leq \alpha (n)n2\psi (n)
i, отже, з урахуванням умови (77) маємо
I2 \leq \psi (n)n2\alpha (n)
1
1 - 2\alpha (n)
= \psi (n)n2\alpha (n)
\biggl(
1 +
2\alpha (n)
1 - 2\alpha (n)
\biggr)
\leq \psi (n)n2\alpha (n)(1 + 4\alpha (n)) = \psi (n)n\lambda (n)(1 + 4\alpha (n)). (88)
З iншого боку, з урахуванням умови (84)
I2 =
\infty \int
n
t\psi (t)dt \geq n
\infty \int
n
\psi (t)dt \geq \psi (n)n\lambda (n). (89)
Об’єднуючи (88) i (89), при \alpha (n) \leq 1
4
одержуємо
\infty \int
n
t\psi (t)dt = \psi (n)n\lambda (n)(1 + \Theta 7\alpha (n)), 0 \leq \Theta 7 \leq 4. (90)
Iз формул (87) i (90) випливає, що за умов (74) i (77)
\infty \sum
k=n
k\psi (k) = \psi (n)n\lambda (n)
\biggl(
1 + \Theta 7\alpha (n) +
\Theta 6
\lambda (n)
\biggr)
, 0 \leq \Theta 7 \leq 4, 0 \leq \Theta 6 \leq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
562 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Використовуючи оцiнки (86) i (85), маємо
1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n) =
1
n
\infty \sum
k=0
k\psi (k + n)
=
1
n
\Biggl( \infty \sum
k=n
k\psi (k) - n
\infty \sum
k=n
\psi (k)
\Biggr)
=
1
n
\infty \sum
k=n
k\psi (k) -
\infty \sum
k=n
\psi (k)
= \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1 + \Theta 7\alpha (n) +
\Theta 6
\lambda (n)
\biggr)
- \psi (n)n\lambda (n)
\biggl(
1 + \Theta 5\alpha (n) +
\Theta 4
\lambda (n)
\biggr)
= \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
(\Theta 7 - \Theta 5)\alpha (n) +
\Theta 6 - \Theta 4
\lambda (n)
\biggr)
. (91)
На пiдставi формули (36) i оцiнок (85), (91) отримуємо, що для всiх значень n таких, що
виконується нерiвнiсть (77),
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\infty \sum
k=n
\psi (k) + \Theta 2
1
n
\infty \sum
k=1
k\psi (k + n)
=
1
\pi
\psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1 +
\Theta 4
\lambda (n)
+ \Theta 5\alpha (n)
\biggr)
+\Theta 2\psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1 +
\Theta 6 - \Theta 4
\lambda (n)
+ (\Theta 7 - \Theta 5)\alpha (n)
\biggr)
= \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1
\pi
+
\Theta 4/\pi +\Theta 2(\Theta 6 - \Theta 4)
\lambda (n)
+
\biggl(
\Theta 5
\pi
+\Theta 2(\Theta 7 - \Theta 5)
\biggr)
\alpha (n)
\biggr)
. (92)
Оскiльки для величини \xi 1 =
\Theta 4
\pi
+\Theta 2(\Theta 6 - \Theta 4) виконується нерiвнiсть
- 1 \leq \xi 1 \leq 1 +
1
\pi
,
а для \xi 2 =
\Theta 5
\pi
+\Theta 2(\Theta 7 - \Theta 5) — нерiвнiсть
- 4 \leq \xi 2 \leq
4
3
\biggl(
1 +
1
\pi
\biggr)
,
то iз (92) випливає (78).
Теорему 4.1 доведено.
Наведемо наслiдок з теореми 4.1 у випадку, коли \psi (t) = e - \alpha t
- r
, \alpha > 0, 0 < r \leq 1, тобто
коли класи C\psi \beta ,1 є класами узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r\beta ,1 . Легко переконатись, що для
вказаних \psi (t) при всiх t \geq 1
\lambda (t) =
t1 - r
\alpha r
, \alpha (t) =
1
\alpha rtr
. (93)
Iз (93) видно, що умови (75) i (76) виконуються. При цьому виконання нерiвностi
1
\alpha rnr
\leq 1
4
рiвносильне виконанню умови (77). Отже, з теореми 4.1 випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 563
Наслiдок 4.1. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR , n \in \BbbN . Тодi при всiх n \geq
\biggl(
4
\alpha r
\biggr) 1
r
має мiсце
рiвномiрно обмежена за всiма розглядуваними параметрами оцiнка
\scrE n(C\alpha ,r\beta ,1 )C = e - \alpha n
r
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+\scrO (1)
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
. (94)
Зазначимо, що оцiнку вигляду (94) при дещо жорсткiших обмеженнях на n було знайдено
у роботах [18 – 20]. У зазначених роботах мiстяться двостороннi оцiнки величини \scrO (1) через
абсолютнi сталi.
Наведемо ще кiлька прикладiв застосування теореми 4.1 для рiзних функцiй \psi iз \frakM , якi
задовольняють умови (75), (76).
Будемо розглядати такi функцiї \psi (t):
\psi (t) = (t+ 2) - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(t+2), t \geq 1, (95)
\psi (t) = e - \mathrm{l}\mathrm{n}2(t+1), t \geq 1, (96)
\psi (t) = e
- t+2
\mathrm{l}\mathrm{n}(t+2) , t \geq 1. (97)
Для зазначених функцiй \psi (t) знайдемо характеристики \lambda (t) i \alpha (t). Результати обчислень на-
ведено в таблицi.
\psi (t) \alpha (t) \lambda (t)
(t+ 2) - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(t+2) t+ 2
t
1
1 + \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 2)
t+ 2
1 + \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 2)
e - \mathrm{l}\mathrm{n}2(t+1) t+ 1
t
1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 1)
t+ 1
2 \mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 1)
e
- t+2
\mathrm{l}\mathrm{n}(t+2)
\mathrm{l}\mathrm{n}2(t+ 2)
t(\mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 2) - 1)
\mathrm{l}\mathrm{n}2(t+ 2)
\mathrm{l}\mathrm{n}(t+ 2) - 1
Iз теореми 4.1 i наведених в таблицi значень \alpha (t) i \lambda (t) отримуємо асимптотичнi при
n\rightarrow \infty рiвностi для величин \scrE n(C\psi \beta ,1)C у випадку, коли функцiї \psi мають вигляд (95) – (97).
Наслiдок 4.2. Нехай \psi (k) = (k + 2) - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(k+2), k = 1, 2, . . . , \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi при
n\rightarrow \infty виконується асимптотична рiвнiсть
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\psi (n)
n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 2)
+\scrO (1)\psi (n)
n
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 2))2
.
Наслiдок 4.3. Нехай \psi (k) = e - \mathrm{l}\mathrm{n}2(k+1), k = 1, 2, . . . , \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi при n\rightarrow \infty має
мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
2\pi
\psi (n)n
\mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 1)
+\scrO (1)\psi (n)
n
\mathrm{l}\mathrm{n}2(n+ 1)
.
Наслiдок 4.4. Нехай \psi (k) = e
- k+2
\mathrm{l}\mathrm{n}(k+2) , k = 1, 2, . . . , \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi при n \rightarrow \infty має
мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE n(C\psi \beta ,1)C =
1
\pi
\psi (n) \mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 2) +\scrO (1)\psi (n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
564 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Зауважимо, що у випадку, коли \psi \in \frakM i \alpha (t) \rightarrow 0 i \lambda (t) \rightarrow \infty при t \rightarrow \infty за додаткової
умови, що функцiя \psi (t) є диференцiйовною скрiзь на [1,\infty ), граничне спiввiдношення (9), яке
гарантує той факт, що оцiнки (12) i (36) є асимптотичними рiвностями, завжди виконується.
Справдi, застосовуючи правило Лопiталя, маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\int \infty
n
\psi (t)dt
\psi (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\psi (n)
| \psi \prime (n)|
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (n) = \infty , (98)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\int \infty
n
t\psi (t)dt
n\psi (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
- n\psi (n)
\psi (n) + n\psi \prime (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda (n)
1 - \alpha (n)
= \infty . (99)
Тодi з урахуванням (79) i (87) мають мiсце асимптотичнi рiвностi
\infty \sum
k=n
\psi (k) =
\infty \int
n
\psi (t)dt+\scrO (1)\psi (n), (100)
\infty \sum
k=n
k\psi (k) =
\infty \int
n
t\psi (t)dt+\scrO (1)n\psi (n). (101)
Використовуючи формули (98) – (101) i застосовуючи правило Лопiталя, отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\sum \infty
k=1
k\psi (k + n)\sum \infty
k=n
\psi (k)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\sum \infty
k=1
k\psi (k) -
\sum \infty
k=n
\psi (k)\sum \infty
k=n
\psi (k)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\sum \infty
k=1
k\psi (k)\sum \infty
k=n
\psi (k)
- 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
n
\int \infty
n
t\psi (t)dt\int \infty
n
\psi (t)dt
- 1
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
- n\psi (n)\int \infty
n
\psi (t)dt - n\psi (n)
- 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
-
\int \infty
n
\psi (t)dt\int \infty
n
\psi (t)dt - n\psi (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\psi (n)
- 2\psi (n) - n\psi \prime (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\psi (n)
- n\psi \prime (n)
1 - 2\psi (n)
- n\psi \prime (n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (n)
1 - \alpha (n)
= 0,
що й доводить рiвнiсть (9).
5. Коментарi щодо нерiвностей Лебега. У пунктах 3 i 4 наведено наслiдки з теореми 2.2
для швидко спадних послiдовностей \psi (k), для яких формула (36) є асимптотичною рiвнiстю,
або, що те саме, коли справджується (9). Зрозумiло, що у всiх розглянутих у пунктах 3 i 4
частинних випадках для \psi (\cdot ) легко одержати й асимптотично непокращуванi нерiвностi типу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 565
Лебега вигляду (35). Ми обмежимось лише формулюванням деяких тверджень, якi випливають
iз теореми 2.1. Спочатку сформулюємо вiдповiднi твердження для \psi (t) = e - \alpha t
r
, \alpha > 0 i r > 0.
Випадки r > 1, r = 1 i r \in (0, 1) розглядаються окремо.
Наслiдок 5.1. Нехай r > 1, \alpha > 1 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq
\biggl(
3
\alpha r
\biggr) 1
r
- 1 для довiльної функцiї
f \in C\alpha ,r\beta L1 має мiсце нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq e - \alpha n
r
\biggl(
1
\pi
+\scrO (1)e - \alpha n
r - 1
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (102)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r\beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\alpha ,r\beta L1 таку, що En(\scrF
\alpha ,r
\beta )L1 = En(f
\alpha ,r
\beta )L1 i має мiсце рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF (\cdot ); \cdot )\| C = e - \alpha n
r
\biggl(
1
\pi
+\scrO (1)e - \alpha n
r - 1
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 1)r - 2
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (103)
У (102) i (103) \scrO (1) — рiвномiрно обмежена за всiма параметрами величина.
Аналоги нерiвностi (102) i формули (103), яка доводить асимптотичну непокращуванiсть
зазначеної нерiвностi, в яких залишковi члени записано в дещо iншiй формi, отримано в [9].
Наслiдок 5.2. Нехай \alpha > 0, \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi для довiльної функцiї f \in C\alpha ,1\beta L1 має
мiсце нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq 1
\pi
e - \alpha n
1 - e - \alpha
En(f
\alpha ,1
\beta )L1 . (104)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,1\beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\alpha ,1\beta L1 таку, що En(\scrF
\alpha ,1
\beta )L1 = En(f
\alpha ,1
\beta )L1 i має мiсце рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF (\cdot ); \cdot )\| C = e - \alpha n
\biggl(
1
\pi
1
1 - e - \alpha
+
\xi
n
1
(1 - e - \alpha )2
\biggr)
En(f
\alpha ,1
\beta )L1 , (105)
де для величини \xi = \xi (f ;n;\alpha ;\beta ) виконується нерiвнiсть - 2 \leq \xi \leq 0.
Оцiнки (104) i (105) уточнюють оцiнки рiвномiрних вiдхилень сум Фур’є на множинах
iнтегралiв Пуассона C\alpha ,1\beta L1, що були одержанi в роботах [8, 14].
Наслiдок 5.3. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi при всiх n \geq
\biggl(
4
\alpha r
\biggr) 1
r
для
довiльної функцiї f \in C\alpha ,r\beta L1 має мiсце нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq e - \alpha n
r
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+\scrO (1)
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (106)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r\beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\alpha ,r\beta L1 таку, що En(\scrF
\alpha ,r
\beta )L1 = En(f
\alpha ,r
\beta )L1 i має мiсце рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF (\cdot ); \cdot )\| C = e - \alpha n
r
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+\scrO (1)
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (107)
У (106) i (107) \scrO (1) — величина, рiвномiрно обмежена за всiма параметрами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
566 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
При дещо жорсткiших обмеженнях на n формули вигляду (106) i (107) встановлено в [21].
Наслiдок 5.4. Нехай \psi \in \scrD q, q \in (0, 1), \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi при всiх n таких, що
виконується нерiвнiсть (61), для довiльної функцiї f \in C\psi \beta L1 має мiсце нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\biggl(
q
n(1 - q)2
+
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr) \biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 . (108)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\psi \beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\psi \beta L1 таку, що En(\scrF
\psi
\beta )L1 = En(f
\psi
\beta )L1 i при виконаннi (60) має мiсце рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF (\cdot ); \cdot )\| C = \psi (n)
\biggl(
1
\pi (1 - q)
+\scrO (1)
\biggl(
q
n(1 - q)2
+
\varepsilon n
(1 - q)2
\biggr) \biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 . (109)
У (108) i (109) величина \varepsilon n означена рiвнiстю (61), а \scrO (1) — величина, що рiвномiрно обмежена
за всiма параметрами.
Теорема 5.1. Нехай \beta \in \BbbR , \psi \in \frakM i характеристики \alpha (t) i \lambda (t) вигляду (70) i (74)
задовольняють умови (75) i (76). Тодi для всiх n \in \BbbN таких, що \alpha (n) <
1
4
, для будь-якої
функцiї f \in C\psi \beta L1 виконується нерiвнiсть
\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )\| C \leq \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1
\pi
+
\xi 3
\lambda (n)
+ \xi 4\alpha (n)
\biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 , (110)
де 0 \leq \xi 3 \leq
4
3\pi
, 0 \leq \xi 4 \leq
1
\pi
.
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\psi \beta L1 можна знайти функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n, x) з
множини C\psi \beta L1 таку, що En(\scrF
\psi
\beta )L1 = En(f
\psi
\beta )L1 i при n \in \BbbN таких, що \alpha (n) <
1
4
, має мiсце
рiвнiсть
\| \scrF (\cdot ) - Sn - 1(\scrF (\cdot ); \cdot )\| C = \psi (n)\lambda (n)
\biggl(
1
\pi
+
\xi 5
\lambda (n)
+ \xi 6\alpha (n)
\biggr)
En(f
\psi
\beta )L1 , (111)
де - 2 \leq \xi 5 \leq 2 +
1
\pi
, - 8 \leq \xi 6 \leq
4
3
\biggl(
2 +
1
\pi
\biggr)
.
Нерiвнiсть (110) є наслiдком формул (11) i (85), а рiвнiсть (111) випливає iз (12), (85) i (91).
Лiтература
1. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Мир, Москва (1965).
2. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
3. L. Fejer, Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen, J. reine und angew. Math., 138, 22 – 53 (1910).
4. П. В. Галкин, Оценки для констант Лебега, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 109, 3 – 5 (1971).
5. В. В. Жук, Г. И.Натансон, Тригонометрические ряды и элементы теории аппроксимации, Изд-во Ленинград.
ун-та (1983).
6. A. Kolmogoroff, Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbaren Funktionen, Ann. Math.
(2), 36, № 2, 521 – 526 (1935).
7. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
8. А. П. Мусiєнко, А. С. Сердюк, Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах аналiтичних
функцiй, Укр. мат. журн., 65, № 4, 522-537 (2013).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
РIВНОМIРНI НАБЛИЖЕННЯ СУМАМИ ФУР’Є НА МНОЖИНАХ ЗГОРТОК . . . 567
9. А. П. Мусiєнко, А. С. Сердюк, Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цiлих функцiй,
Укр. мат. журн., 65, № 5, 642 – 653 (2013).
10. Г. И. Натансон, Об оценке констант Лебега сумм Валле – Пуссена, Геометрические вопросы теории функций
и множеств, Калинин (1986).
11. С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР. Сер.
мат., 10, № 3, 207 – 256 (1946).
12. А. С. Сердюк, Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi, Укр. мат. журн.,
57, № 8, 1079 – 1096 (2005).
13. А. С. Сердюк, Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp , Укр. мат.
журн., 57, № 10, 1395 – 1408 (2005).
14. А. С. Сердюк, А. П. Мусiєнко, Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближеннi iнтегралiв
Пуассона, Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання, 7, № 1, 298 – 316 (2010).
15. A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Approximation by Fourier sums in classes of differentiable functions with high
exponents of smoothness, Methods Funct. Anal. and Top., 25, № 4, 381 – 387 (2019).
16. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Наближення сумами Фур’є на класах диференцiйовних у сенсi Вейля – Надя
функцiй iз високим показником гладкостi, Укр. мат. журн., 74, № 5, 685 – 700 (2022).
17. А. С. Сердюк, Оцiнки найкращих наближень класiв нескiнченно диференцiйовних функцiй у рiвномiрнiй та
iнтегральнiй метриках, Укр. мат. журн., 66, № 9, 1244 – 1256 (2014).
18. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на класах згорток з iнтегралами
Пуассона, Доп. НАН України, № 11, 10 – 16 (2016).
19. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Наближення класiв узагальнених iнтегралiв Пуассона сумами Фур’є в метриках
просторiв Ls , Укр. мат. журн., 69, № 5, 695 – 704 (2017).
20. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals,
Anal. Math., 45, № 1, 201 – 236 (2019).
21. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Asymptotically best possible Lebesque-type inequalities for the Fourier sums on sets
of generalized Poisson integrals, Filomat, 34, № 14, 4697 – 4707 (2020).
22. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, About Lebesgue inequalities on the classes of generalized Poisson integrals, Jaen J.
Approx., 12, 25 – 40 (2021).
23. А. И. Степанец, Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье, Изв. АН
СССР. Сер. мат., 50, № 1, 101 – 136 (1986).
24. А. И. Степанец, Классификация и приближение периодических функций, Наук. думка, Киев (1987).
25. А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч., Пр. Iнституту математики НАН України, 40, ч. 1 (2002).
26. А. И.Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч., Пр. Iнституту математики НАН України, 40, ч. 2 (2002).
27. A. I. Stepanets, On the Lebesgue inequality on classes of (\psi , \beta )-differentiable functions, Ukr. Math. J., 41, № 4,
435 – 443 (1989).
28. А. И. Степанец, А. C. Сердюк, Неравенства Лебега для интегралов Пуассона, Укр. мат. журн., 52, № 6,
798-808 (2000).
29. А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналити-
ческих функций, Укр. мат. журн., 52, № 3, 375 – 395 (2000).
30. О. I. Степанець, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлiч, Про деякi новi критерiї нескiнченної диференцiйовностi
перiодичних функцiй, Укр. мат. журн., 59, № 10, 1399 – 1409 (2007).
31. А. И. Степанец, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлич, Классификация бесконечно дифференцируемых функций, Укр.
мат. журн., 60, № 12, 1686 – 1708 (2008).
32. С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций. Приближение функций полино-
мами и сплайнами, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 145, 126 – 151 (1980).
33. С. А. Теляковский, О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций
линейными средними их рядов Фурье. I, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 62, 61 – 97 (1961).
34. С. А. Теляковский, Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье, Мат.
заметки, 4, № 3, 291 – 300 (1968).
35. С. А. Теляковский, О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости, Укр. мат. журн., 41, № 4,
510 – 518 (1989).
Одержано 13.12.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7411 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:35Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e7/149475375c7266003863dbf3d418e6e7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-74112023-05-14T15:30:13Z Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на множинах згорток перiодичних функцiй високої гладкостi Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна суми Фур'є, нерівності типу Лебега класи згорток UDC 517.5 On the sets of $2\pi$-periodic functions $f$ specified by the $(\psi, \beta)$-integrals of the functions $\varphi$ from $L_{1},$ we establish Lebesgue-type inequalities in which the uniform norms of deviations of the Fourier sums are expressed via the best approximations by trigonometric polynomials of the functions&nbsp; $\varphi$ in the mean.&nbsp;It is proved that obtained estimates are asymptotically unimprovable in the case where the sequences $\psi(k)$ approach zero faster than any power function.&nbsp;&nbsp;In some important cases, we establish&nbsp; asymptotic equalities for the exact upper boundaries of the uniform approximations by Fourier sums in the classes of&nbsp; $(\psi, \beta)$-integrals of the functions&nbsp; $\varphi$ that belong to the unit ball in the space&nbsp; $L_{1}.$ УДК 517.5 На множинах $2\pi$-періодичних функцій $f,$ що задаються $(\psi, \beta)$-інтегралами від функцій $\varphi$ із $L_{1},$ встановлено нерівності типу Лебега, в яких рівномірні норми відхилень сум Фур'є виражаються через найкращі&nbsp; наближення в середньому тригонометричними поліномами функцій&nbsp; $\varphi.$ Доведено асимптотичну непокращуваність&nbsp; одержаних оцінок за умови, коли послідовності $\psi(k)$ спадають до нуля швидше за довільну степеневу функцію.&nbsp; В деяких важливих випадках встановлено асимптотичні рівності для точних верхніх меж рівномірних наближень сумами Фур'є на класах $(\psi, \beta)$-інтегралів&nbsp; від функцій $\varphi,$ що належать одиничній кулі з простору $L_{1}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-05-10 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7411 10.37863/umzh.v75i4.7411 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 4 (2023); 542 - 567 Український математичний журнал; Том 75 № 4 (2023); 542 - 567 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7411/9390 Copyright (c) 2023 Анатолій Сердюк, Тетяна Степанюк |
| spellingShingle | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title | Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title_alt | Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на множинах згорток перiодичних функцiй високої гладкостi |
| title_full | Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title_fullStr | Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title_full_unstemmed | Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title_short | Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| title_sort | uniform approximations by fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| topic_facet | суми Фур'є, нерівності типу Лебега класи згорток |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7411 |
| work_keys_str_mv | AT serdyuka uniformapproximationsbyfouriersumsonthesetsofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT stepaniukt uniformapproximationsbyfouriersumsonthesetsofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT serdûkanatolíj uniformapproximationsbyfouriersumsonthesetsofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT stepanûktetâna uniformapproximationsbyfouriersumsonthesetsofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT serdyuka rivnomirninabližennâsumamifurênamnožinahzgortokperiodičnihfunkcijvisokoígladkosti AT stepaniukt rivnomirninabližennâsumamifurênamnožinahzgortokperiodičnihfunkcijvisokoígladkosti AT serdûkanatolíj rivnomirninabližennâsumamifurênamnožinahzgortokperiodičnihfunkcijvisokoígladkosti AT stepanûktetâna rivnomirninabližennâsumamifurênamnožinahzgortokperiodičnihfunkcijvisokoígladkosti |