Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers:
UDC 511.7+517.5 We consider finite continued fractions whose elements are numbers  $\dfrac{1}{2}$ and $1$ (the so-called $A_2$-continued fractions): $1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n=[0;a_1,a_2,\ldots,a_n],$ $a_i\in A_2=\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}.$ We study the stru...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7413 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512676391682048 |
|---|---|
| author | Pratsiovytyi, M. Goncharenko, Ya. Lysenko, I. Ratushniak, S. Працьовитий, Микола Працьовитий, Микола Гончаренко, Яніна Лисенко, Ірина Ратушняк, Софія |
| author_facet | Pratsiovytyi, M. Goncharenko, Ya. Lysenko, I. Ratushniak, S. Працьовитий, Микола Працьовитий, Микола Гончаренко, Яніна Лисенко, Ірина Ратушняк, Софія |
| author_sort | Pratsiovytyi, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-07-02T07:08:18Z |
| description | UDC 511.7+517.5
We consider finite continued fractions whose elements are numbers  $\dfrac{1}{2}$ and $1$ (the so-called $A_2$-continued fractions): $1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n=[0;a_1,a_2,\ldots,a_n],$ $a_i\in A_2=\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}.$ We study the structure of the set $F$ of values of all these fractions and the problem of the number of representations of numbers from the segment $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ by fractions of this kind. It is proved that the set $F\subset\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ has a scale-invariant structure and is dense in the segment $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$;  the set of its elements that are greater than 1 is the set of terms of two decreasing sequences approaching 1, while the set of its elements that are smaller than $\dfrac{1}{2}$  is the set of terms of two increasing sequences approaching $\dfrac{1}{2}.$ The fundamental difference between the representations of numbers with the help of finite and infinite $A_2$-fractions is emphasized. The following hypothesis is formulated: every rational number of the segment $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ can be represented in the form of a finite $A_2$-continued fraction. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i6.7413 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i6.7413
УДК 511.7+517.5
Микола Працьовитий1 (Iнститут математики НАН України, Київ; Український державний унiверситет iменi
Михайла Драгоманова, Київ),
Янiна Гончаренко, Iрина Лисенко (Український державний унiверситет iменi Михайла Драгоманова,
Київ),
Софiя Ратушняк (Iнститут математики НАН України, Київ; Український державний унiверситет iменi Михайла
Драгоманова, Київ)
СКIНЧЕННI ЛАНЦЮГОВI \bfitA \bftwo -ДРОБИ
В ЗАДАЧАХ РАЦIОНАЛЬНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ
We consider finite continued fractions whose elements are numbers
1
2
and 1 (the so-called A2 -continued fractions):
1/a1 +1/a2 + . . .+1/an = [0; a1, a2, . . . , an], ai \in A2 =
\biggl\{
1
2
, 1
\biggr\}
. We study the structure of the set F of values of all
these fractions and the problem of the number of representations of numbers from the segment
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
by fractions of this
kind. It is proved that the set F \subset
\biggl[
1
3
; 2
\biggr]
has a scale-invariant structure and is dense in the segment
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
; the set of its
elements that are greater than 1 is the set of terms of two decreasing sequences approaching 1, while the set of its elements
that are smaller than
1
2
is the set of terms of two increasing sequences approaching
1
2
. The fundamental difference between
the representations of numbers with the help of finite and infinite A2 -fractions is emphasized. The following hypothesis is
formulated: every rational number of the segment
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
can be represented in the form of a finite A2 -continued fraction.
Розглядаються скiнченнi ланцюговi дроби, елементами яких є числа
1
2
i 1 (так званi ланцюговi A2 -дроби): 1/a1 +
1/a2 + . . . + 1/an = [0; a1, a2, . . . , an], ai \in A2 =
\biggl\{
1
2
, 1
\biggr\}
. Вивчається структура множини F значень усiх таких
дробiв, а також питання про кiлькiсть зображень чисел з вiдрiзка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
такими дробами. Доведено, що множина
F \subset
\biggl[
1
3
; 2
\biggr]
має автомодельну структуру i є щiльною у вiдрiзку
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
; множина її елементiв, бiльших 1, є
множиною членiв двох спадних послiдовностей, збiжних до 1, а менших
1
2
— множиною членiв двох зростаючих
послiдовностей, збiжних до
1
2
. Акцентовано увагу на принципову вiдмiннiсть зображень чисел скiнченними та
нескiнченними A2 -дробами. Сформульовано гiпотетичне твердження: кожне рацiональне число вiдрiзка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
має зображення скiнченним ланцюговим A2 -дробом.
1. Вступ. Нагадаємо, що ланцюговим (неперервним) дробом називається вираз вигляду
a0 + b1/a1 + . . .+ bn/an + . . . = a0 +
b1
a1 +
b2
a2 + . . .
, (1)
де (an)
\omega
n=0 i (bn)
\omega
n=1 — скiнченнi або нескiнченнi числовi послiдовностi. Iснують рiзнi види
ланцюгових дробiв та їх узагальнення. Вираз (1) при умовi, що bn = 1 для всiх n \in N, назива-
ється простим ланцюговим дробом, а при додатковiй умовi a0 \in Z0, an \in N — елементарним
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: prats4444@gmail.com.
c\bigcirc МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6 849
850 МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК
ланцюговим дробом. Простий ланцюговий дрiб a0 + 1/a1 + . . . + 1/an + . . . скорочено (сим-
волiчно) позначають так: [a0; a1, a2, . . . , an, . . .], при цьому числа an називаються елементами
останнього. Якщо елементами простого ланцюгового дробу є числа 0 та 1, то вiн називається
ланцюговим дробом Данжуа [2]. Iснують iншi рiзновиди ланцюгових дробiв. Теорiя ланцю-
гових дробiв є добре розвиненою i має багато рiзнопланових застосувань [4]. Насамперед це
стосується елементарних ланцюгових дробiв, тобто таких, що мають своїми елементами нату-
ральнi числа. Вiдносно новi застосування ланцюгових дробiв стосуються теорiї сингулярних
розподiлiв випадкових величин [1, 11], фрактального аналiзу та фрактальної геометрiї, а також
теорiї функцiй зi складною несамоподiбною локальною структурою [10, 17].
Далi вважатимемо, що a0 = 0. Ланцюговий дрiб, всi елементи якого належать двоелемент-
нiй множинi \{ e0, e1\} , 0 < e0 < e1, називається ланцюговим A2-дробом (A2-дробом). Основи
теорiї нескiнченних A2-дробiв закладено в роботi [3]. Подальший розвиток вони отримали в
роботах [5 – 7, 17]. Зрозумiло, що кожен з нескiнченних A2-дробiв є збiжним (має скiнченне
значення) згiдно з вiдомою теоремою Зейделя, оскiльки розбiгається вiдповiдний ряд, складе-
ний з елементiв A2-дробу. Нас цiкавить структура i властивостi множини E(e0, e1) значень усiх
таких дробiв i її пiдмножин: F — скiнченних A2-дробiв i H \equiv E \setminus F. Очевидно, що найменшим
значенням нескiнченного A2-дробу є число r1, а найбiльшим — число r2 :
r1 =
\sqrt{}
e20e
2
1 + 4e0e1 - e0e1
2e1
, r2 =
\sqrt{}
e20e
2
1 + 4e0e1 - e0e1
2e0
.
Тому E \setminus F \equiv H \subset [r1; r2]. Як вiдомо, за умови e0 \cdot e1 >
1
2
множина H є нiде не щiльною
множиною нульової мiри Лебега. Зокрема, такою вона є, коли e0 = 1, e1 = 2. У цьому випадку
проблема розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича множини H, наскiльки вiдомо авторам, до кiнця
не розв’язана. За умови e0 \cdot e1 \leq
1
2
виконується рiвнiсть H = [r1; r2]. При e0 \cdot e1 =
1
2
система
зображення чисел вiдрiзка [r1; r2] нескiнченними A2-дробами має нульову надлишковiсть, тоб-
то кожне число цього вiдрiзка має не бiльше двох зображень, причому тих чисел, що мають два
зображення, лише злiченна множина. Нинi теорiя нескiнченних ланцюгових A2-дробiв включає
геометричну складову (позицiйну та метричну, зокрема властивостi цилiндричних та хвостових
множин, розв’язки ряду метричних задач тощо), вiдповiдну ймовiрнiсну теорiю, застосування
в теорiї функцiй, теорiї сингулярних розподiлiв випадкових величин, фрактальнiй геометрiї та
фрактальному аналiзi. Досi поза увагою залишились питання наближення чисел скiнченними
ланцюговими A2-дробами (проблема апроксимацiї iррацiональних чисел рацiональними), тоб-
то питання рацiональних наближень дiйсних чисел їхнiми пiдхiдними A2-дробами. Невiдомим
також сьогоднi є критерiй рацiональностi числа за його розкладом у A2-дрiб. Гiпотетичне твер-
дження про те, що для кожного рацiонального числа iснує розклад у скiнченний ланцюговий
A2-дрiб, поки що не вдалось нi довести, нi спростувати.
Дану роботу присвячено скiнченним ланцюговим A2-дробам. Нас цiкавлять структурнi i
топологiчнi властивостi множини F значень усiх скiнченних A2-дробiв.
2. Базиснi поняття i факти теорiї ланцюгових \bfitA \bftwo -дробiв. Нехай задано алфавiт A2 \equiv \biggl\{
1
2
; 1
\biggr\}
i простiр послiдовностей елементiв алфавiту L \equiv A2 \times A2 \times . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
СКIНЧЕННI ЛАНЦЮГОВI A2 -ДРОБИ В ЗАДАЧАХ РАЦIОНАЛЬНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ 851
Вiдомо [3], що для будь-якого x \in
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
iснує (ak) \in L така, що
x =
1
a1 +
1
a2+. . .
= [0; a1, a2, . . . , ak, . . .] \equiv \Delta A2
a1a2...ak...
.
Символiчний запис \Delta A2
a1a2...ak...
називається A2-зображенням числа x. Iснують числа, що ма-
ють два A2-зображення, оскiльки
\biggl[
0; a1, . . . , am,
1
2
,
\biggl(
1
2
, 1
\biggr) \biggr]
=
\biggl[
0; a1, . . . , am, 1,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) \biggr]
. Вони
називаються A2-бiнарними (тут круглi дужки символiзують перiод). Кожне A2-бiнарне число є
рацiональним. Решта чисел мають єдине A2-зображення, вони називаються A2-унарними.
Пiдхiдним дробом порядку n числа x = [0; a1, a2, . . . , an, . . .] називається рацiональне число
pn
qn
, що є значенням скiнченного ланцюгового дробу [0; a1, a2, . . . , an] =
pn
qn
. Добре вiдомим
є загальний закон утворення пiдхiдних дробiв ланцюгового дробу [0; a1, a2, . . . , an, . . .], який
має вигляд pn+1 = an+1pn + pn - 1, qn+1 = an+1qn + qn - 1, де p0 = 0, p1 = 1, q0 = 1, q1 = a1,
an \in
\biggl\{
1
2
, 1
\biggr\}
.
A2-цилiндром рангу m з основою c1c2 . . . cm у множинi H називається множина
\Delta A2
c1c2...cm =
\Bigl\{
x : x = \Delta A2
c1c2...cm\beta 1...\beta n...
, (\beta n) \in L
\Bigr\}
всiх чисел x \in
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
, що мають нескiнченне A2-зображення, першi m цифр яких вiдповiдно
дорiвнюють c1, c2, . . . , cm. Очевидно, що \Delta A2
c1...cm = \Delta A2
c1...cm
1
2
\cup \Delta A2
c1...cm1.
1. A2-цилiндр \Delta A2
c1...cm є вiдрiзком з кiнцями: \Delta A2
c1...cm( 1
2
,1)
i \Delta A2
c1...cm(1, 12)
, причому який з
них лiвий, а який правий залежить вiд парностi та непарностi числа m.
2. Довжина цилiндра \Delta A2
c1...cm обчислюється за формулою
\bigm| \bigm| \Delta A2
c1...cm
\bigm| \bigm| = 1
(qm - 1 + qm)(qm - 1 + 2qm)
\leq 1
q2m - 1
,
де qm — знаменник m-го порядку пiдхiдного дробу, тобто знаменник рацiонального числа,
що є значенням виразу [0; c1, c2, . . . , cm], який обчислюється за формулами q0 = 1, q1 = c1,
qn+1 = cn+1qn + qn - 1, де cn \in A2.
3. Основне метричне вiдношення для A2-зображення чисел має вигляд
| \Delta A2
c1...cmc|
| \Delta A2
c1...cm |
=
1 + c
qm - 1
qm
2c2 + 1 + 2c
qm - 1
qm
, c \in A2.
Зокрема,
| \Delta A2
c1...cm
1
2
|
| \Delta A2
c1...cm |
=
2 +
qm - 1
qm
3 + 2
qm - 1
qm
,
| \Delta A2
c1...cm1|
| \Delta A2
c1...cm |
=
1 +
qm - 1
qm
3 + 2
qm - 1
qm
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
852 МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК
звiдки
| \Delta A
c1...cm
1
2
| \bigm| \bigm| \Delta A
c1...cm1
\bigm| \bigm| = 2 +
qm - 1
qm
1 +
qm - 1
qm
= 1 +
1
1 +
qm - 1
qm
.
4. x =
\infty \bigcap
k=1
\Delta A2
c1...ck
= [0; c1, c2, . . . , ck, . . .] \in
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
.
Система A2-цилiндрiв є системою довiрчих покриттiв при обчисленнi фрактальної розмiр-
ностi Гаусдорфа – Безиковича пiдмножин вiдрiзка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
.
Вказанi метричнi вiдношення дозволяють вiдносно легко встановити нормальну властивiсть
чисел в їхнiх A2-зображеннях. Властивiсть B A2-зображення числа x \in
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
називається
нормальною, якщо множина HB чисел, що мають цю властивiсть, є множиною повної мiри
Лебега, тобто \lambda
\biggl( \biggl[
1
2
; 1
\biggr]
\setminus HB
\biggr)
= 0.
Теорема 1 [10]. Нехай (c1, . . . , cp) — впорядкований набiр елементiв алфавiту
\biggl\{
1
2
; 1
\biggr\}
.
Множина D0 =
\bigl\{
x : x = \Delta A2
\alpha 1\alpha 2...\alpha n..., \alpha k+1\alpha k+2 . . . \alpha k+p \not = c1 . . . cp \forall k \in N
\bigr\}
всiх чисел вiдрiз-
ка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
, A2-зображення яких не мiстить набору c1 . . . cp в якостi послiдовних цифр зобра-
ження, має нульову мiру Лебега.
Наслiдок 1. Рiвнiсть \lambda
\bigl(
D0 \cap \Delta A2
c1...cm
\bigr)
= 0 виконується для довiльного набору c1 . . . cm.
Теорема 2 [10]. Нехай (a1, . . . , am) — довiльний впорядкований набiр елементiв алфавiту\biggl\{
1
2
; 1
\biggr\}
. Множина H всiх чисел вiдрiзка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
, в A2-зображеннi яких даний набiр використо-
вується в якостi набору послiдовних цифр зображення нескiнченну кiлькiсть разiв, є множиною
повної мiри, тобто \lambda
\biggl( \biggl[
1
2
; 1
\biggr]
\setminus H
\biggr)
= 0.
Зауважимо, що сьогоднi не розв’язана задача для нескiнченних ланцюгових A2-дробiв, що
є аналогом задачi Гаусса – Кузьмiна для елементарних ланцюгових дробiв — однiєї з перших
задач метричної теорiї динамiчних систем [12, 13].
A2-зображення легко перекодовується засобами алфавiту A = \{ 0, 1\} , а саме,
x = [0; a1, a2, . . . , ak, . . .] \equiv \Delta A
\alpha 1\alpha 2...\alpha k...
, де \alpha k = 2ak - 1, k \in \BbbN , \alpha k \in \{ 0; 1\} .
Останнє називається A-зображенням числа x. Таке перекодування створює додатковi зручностi
у формальному аспектi для розвитку теорiї локально складних, зокрема, сингулярних функ-
цiй [10].
3. Структура множини значень скiнченних ланцюгових \bfitA \bftwo -дробiв. Далi основним
об’єктом розгляду є скiнченний ланцюговий A2-дрiб [0; a1, a2, . . . , an] i його значення x, тобто
рацiональне число x =
pn
qn
, обчислене за наведеними вище формулами. Очевидно, що най-
бiльшим значенням такого дробу є число 2 =
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
, а найменшим —
1
3
=
\biggl[
0; 1,
1
2
\biggr]
, тобто
F \subset
\biggl[
1
3
; 2
\biggr]
.
Значення \bfitA \bftwo -дробiв, якi меншi \bfzero , \bffive . Розглянемо число x = [0; a1, a2, . . . , an] <
1
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
СКIНЧЕННI ЛАНЦЮГОВI A2 -ДРОБИ В ЗАДАЧАХ РАЦIОНАЛЬНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ 853
Лема 1. Послiдовнiсть vn \equiv
\biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n\biggr]
, n \in N, значень скiнченних A2-дробiв є зро-
стаючою i прямує до
1
2
, причому для довiльного натурального n \in N
vn =
4n - 1
2 \cdot 4n + 1
<
1
2
. (2)
Доведення. Використаємо метод математичної iндукцiї. При n = 1 маємо v1 =
1
3
. При-
пустимо, що рiвнiсть (2) виконується при n = k, тобто vk =
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) k
\Biggr]
=
4k - 1
2 \cdot 4k + 1
, i
розглянемо її при n = k + 1:
vk+1 =
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) k+1
\Biggr]
=
1 + 2vk
3 + 2vk
=
1 + 2 \cdot 4k - 1
2 \cdot 4k + 1
3 + 2 \cdot 4k - 1
2 \cdot 4k + 1
=
4k+1 - 1
2 \cdot 4k+1 + 1
.
Отже, рiвнiсть (2) виконується для довiльного натурального n. При цьому очевидно, що
vn <
1
2
i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
vn =
1
2
.
Лема 2. Послiдовнiсть \omega n \equiv
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n - 1
,
1
2
,
1
2
\Biggr]
, n \in N, значень скiнченних ланцюгових
A2-дробiв є зростаючою i прямує до
1
2
, причому для довiльного натурального n \in N
\omega n =
1 + 2\omega n - 1
3 + 2\omega n - 1
=
7 \cdot 4n - 1 - 1
14 \cdot 4n - 1 + 1
. (3)
Доведення. Перша з рiвностей (3) є очевидною, оскiльки \omega k =
\biggl[
0; 1,
1
2
+ \omega k - 1
\biggr]
. Для дове-
дення другої скористаємось методом математичної iндукцiї. При n = 1 маємо \omega 1 =
\biggl[
0;
1
2
,
1
2
\biggr]
=
2
5
<
1
2
. При n = 2 маємо \omega 2 =
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
,
1
2
\biggr]
=
1 + 2\omega 1
3 + 2\omega 1
=
9
19
<
1
2
.
Припустимо iстиннiсть твердження для n = k, тобто
\omega k =
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) k - 1
,
1
2
,
1
2
\Biggr]
=
1 + 2\omega k - 1
3 + 2\omega k - 1
=
7 \cdot 4k - 1 - 1
14 \cdot 4k - 1 + 1
,
i розглянемо його при n = k + 1. Оскiльки
\omega k+1 =
1 + 2\omega k
3 + 2\omega k
=
1 + 2
7 \cdot 4k - 1 - 1
14 \cdot 4k - 1 + 1
3 + 2 \cdot 7 \cdot 4n - 1 - 1
14 \cdot 4n - 1 + 1
=
7 \cdot 4k - 1
14 \cdot 4k + 1
,
то твердження виконується для довiльного n \in N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
854 МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК
Теорема 3. Якщо x — значення скiнченного ланцюгового A2-дробу, яке менше
1
2
, то x \in
M \equiv \{ (vn), (\omega n)\} , де vn =
\biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n\biggr]
, \omega n =
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n - 1
,
1
2
,
1
2
\Biggr]
, n \in N.
Доведення. Нехай x = [0; a1, . . . , an]. 1. Доведемо, що коли a1 =
1
2
, то x = \omega 1 =
2
5
.
Оскiльки
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
= 2 >
1
2
,
\biggl[
0;
1
2
, 1
\biggr]
=
2
3
>
1
2
, то розглянемо число x =
\biggl[
0;
1
2
, 1, a3, . . . , an
\biggr]
=\biggl[
0;
1
2
, 1 + r
\biggr]
, де r = [0; a3, . . . , an]. Умова x =
2(1 + r)
3 + r
<
1
2
рiвноcильна нерiвностi r <
- 1
3
,
що суперечить умовi r \in F. Отже, a2 \not = 1, тобто a2 =
1
2
. Розглянемо ланцюговий дрiб\biggl[
0;
1
2
,
1
2
, a3, . . . , an
\biggr]
=
\biggl[
0;
1
2
,
1
2
+ r
\biggr]
=
4r + 2
2r + 5
, де r = [0; a3, . . . , an].
Припускаючи, що
4r + 2
2r + 5
<
1
2
, отримуємо r <
1
6
, що суперечить умовi r \in F. Отже, x = \omega 1.
2. Нехай a1 = 1. Доведемо, що тодi a2 =
1
2
. Припустимо супротивне, тобто що a2 = 1.
Оскiльки [0; 1, 1] =
1
2
i [0; 1, 1, a3, . . . , an] = [0; 1, 1 + r] >
1
2
, де r = [0; a3, . . . , an] \in F, то
a2 =
1
2
i x =
\biggl[
0; 1,
1
2
\biggr]
= v1 або x =
\biggl[
0; 1,
1
2
, a3, . . . , an
\biggr]
.
Доведемо, що коли a3 =
1
2
, то a4 =
1
2
i x =
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
,
1
2
\biggr]
= \omega 2. Припускаючи супротивне,
тобто що a4 = 1, маємо
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
, 1
\biggr]
=
7
13
>
1
2
або x =
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
, 1 + r
\biggr]
>
7
13
. Розглянемо
число x =
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
, 1 + r
\biggr]
<
1
2
, де r \in F. Тодi x =
7 + 5r
13 + 7r
<
1
2
, що рiвносильно r < - 1
3
.
А це суперечить умовi r \in F. Отже, a4 =
1
2
i x = \omega 2 або x =
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
,
1
2
+ r
\biggr]
, де r \in F.
Але умова
\biggl[
0; 1,
1
2
,
1
2
,
1
2
+ r
\biggr]
=
9 + 10r
19 + 14r
<
1
2
рiвносильна умовi r <
1
6
, що суперечить r \in F.
Отже, x = \omega 2.
Оскiльки умова x =
\biggl[
0; 1,
1
2
+ r
\biggr]
<
1
2
, де r = [0; a3, . . . , an] \in F, рiвносильна умовi r <
1
2
,
то x = v2 або x = \omega 3, x =
\Biggl[
0;
\biggl(
1,
1
2
\biggr) 2
, a5, . . . , an
\Biggr]
. Iндуктивно мiркуючи далi, приходимо до
висновку, що x \in (vn) або x \in (\omega n).
Зауваження 1. Якщо число x <
1
2
є значенням скiнченного ланцюгового A2-дробу, то
кiлькiсть елементiв його A2-зображення є парним числом.
Значення \bfitA \bftwo -дробiв, якi бiльшi за \bfone . Очевидно, що коли значення A2-дробу [0; a1, a2, . . . , an]
бiльше 1, то a1 =
1
2
.
Лема 3. Послiдовностi un \equiv
\biggl[
0;
1
2
,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n\biggr]
i sn =
\Biggl[
0;
1
2
,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n - 1
,
1
2
,
1
2
\Biggr]
, n \in N,
значень скiнченних A2-дробiв спаднi i збiгаються до 1, причому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
СКIНЧЕННI ЛАНЦЮГОВI A2 -ДРОБИ В ЗАДАЧАХ РАЦIОНАЛЬНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ 855
un =
1
1
2
+ vn
=
4n+1 + 2
4n+1 - 1
> 1, sn =
1
1
2
+ \omega n
=
7 \cdot 4n + 2
7 \cdot 4n - 1
.
Доведення. Скористаємось методом математичної iндукцiї. При n = 1 маємо
u1 \equiv
\biggl[
0;
1
2
, 1,
1
2
\biggr]
=
1
1
2
+
1
1 + 1
1
2
=
6
5
=
42 + 2
42 - 1
=
18
15
,
s1 =
\biggl[
0;
1
2
,
1
2
,
1
2
\biggr]
=
1
1
2
+
1
1
2 + 1
1
2
=
10
9
=
7 \cdot 4 + 2
7 \cdot 4 - 1
=
30
27
.
Припустимо, що формула для обчислення un є правильною для всiх n \leq k, i розглянемо
випадок n = k + 1:
uk+1 =
\Biggl[
0;
1
2
, 1,
1
2
,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) k
\Biggr]
=
\biggl[
0;
1
2
, 1 + uk
\biggr]
=
1
1
2
+
1
1 + 4k+1+2
4k+1 - 1
=
=
1
1
2
+
4k+1 - 1
2 \cdot 4k+1 + 1
=
4k+2 + 2
4k+2 - 1
=
4(k+1)+1 + 2
4(k+1)+1 - 1
> 1.
Отже, формула для обчислення un справджується для довiльного n \in N. Рiвнiсть un =\biggl[
0;
1
2
+ vn
\biggr]
є очевидною.
Якщо
1
2
> r \in F, то очевидно, що 1 < x =
\biggl[
0;
1
2
+ r
\biggr]
i x \in F. Тому 1 < sn =
1
1
2
+ \omega n
\in F.
Тодi, пiдставляючи вираз \omega n в останню рiвнiсть, отримуємо формулу для обчислення sn.
Теорема 4. Якщо 1 < x — значення скiнченного A2-дробу, то x \in B \equiv \{ 2, (un), (sn)\} , де
un \equiv 4n+1 + 2
4n+1 - 1
=
\biggl[
0;
1
2
,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n\biggr]
, sn \equiv 7 \cdot 4n + 2
7 \cdot 4n - 1
=
\Biggl[
0;
1
2
,
\biggl(
1,
1
2
\biggr) n - 1
,
1
2
,
1
2
\Biggr]
, n \in N.
Доведення. Справдi, якщо 1 < x \in F, то очевидно, що a1 =
1
2
, а отже, x =
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
= 2
або x =
\biggl[
0;
1
2
+ r
\biggr]
, де
1
2
> r \in F. Тодi згiдно з теоремою 3 або r \in (vn), або r \in (\omega n). Тому
x \in (un) або x \in (sn).
Функцiя \delta i, означена на множинi F рiвнiстю \delta i(x = [0; a1, . . . , an]) = [0; i, a1, . . . , an],
називається оператором правостороннього зсуву з параметром i \in A2.
Теорема 5. Множина F значень усiх скiнченних ланцюгових A2-дробiв має автомодельну
структуру (структурну фрактальнiсть), є злiченною, щiльною у вiдрiзку
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
множиною.
Множина D \equiv F \setminus
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
є злiченною множиною iзольованих точок, граничними точками якої
є
1
2
i 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
856 МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК
Доведення. Оскiльки F = F0 \cup F1, де Fi = \delta i(F ), i = 0, 1, то F є автомодельною
множиною, тобто структурно фрактальною.
Злiченнiсть множини F очевидна, оскiльки значення скiнченного ланцюгового A2-дробу є
рацiональним числом. З огляду на теореми 3 i 4 залишилося довести щiльнiсть множини F у
вiдрiзку
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
, тобто що мiж будь-якими двома точками цього вiдрiзка мiститься принаймнi
одна точка множини F.
Оскiльки для довiльних двох точок з вiдрiзка
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
легко вказати A2-цилiндр, який цiлком
лежить мiж цими точками, то для доведення твердження достатньо для довiльного A2-цилiндра
\Delta A2
c1...cm вказати точку множини F, що йому належить. Такою є точка
\biggl[
0; c1, . . . , cm,
1
2
, 1
\biggr]
=\biggl[
0; c1, . . . , cm,
1
2
+ 1
\biggr]
. Це легко бачити, оскiльки кiнцями цилiндра \Delta A2
c1...cm є значення ланцю-
гових дробiв [0; c1, . . . , cm - 1, cm + 1] i
\biggl[
0; c1, . . . , cm - 1, cm +
1
2
\biggr]
.
Лема 4. Для кожного натурального n пiдхiдний дрiб
pn
qn
= [0; a1, . . . , an] нескiнченного
ланцюгового A2-дробу [0; a1, . . . , an, . . .] не належить цилiндру \Delta A2
a1...an .
Доведення. Справдi, якщо число n непарне, то \Delta A2
a1...an =
\biggl[
\Delta A2
a1...an(1, 12)
; \Delta A2
a1...an( 1
2
,1)
\biggr]
i
дрiб
pn
qn
= [0; a1, . . . , an] < \Delta A2
a1...an(1, 12)
.
Якщо ж число n парне, то
\Delta A2
a1...an =
\biggl[
\Delta A2
a1...an( 1
2
,1)
; \Delta A2
a1...an(1, 12)
\biggr]
i дрiб
pn
qn
= [0; a1, . . . , an] > \Delta A2
a1...an(1, 12)
.
Це на перший погляд парадоксальне твердження має наступне просте пояснення.
Тополого-метричнi властивостi A2-цилiндрiв, що вiдповiдають зображенням чисел скiнчен-
ними та нескiнченними A2-дробами (у множинi E ), принципово вiдрiзняються вiд властивос-
тей цилiндрiв у множинi H. Зупинимось на цьому дещо детальнiше.
Введемо розширення поняття цилiндра \Delta
A2
c1...cm як множини всiх чисел x \in E, що мають
A2-зображення скiнченним A2-дробом [0; c1, . . . , cm, \alpha 1, . . . , \alpha i] або нескiнченним [0; c1, . . . , cm,
\alpha 1, . . . , \alpha n, . . .]. Тодi для цилiндрiв 1-го рангу маємо
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Delta
A2
1
2
=
2
5
, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\Delta
A2
1
2
= 2, \Delta
A2
1
2
\subset
\biggl[
2
5
; 2
\biggr]
,
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Delta
A2
1 =
1
3
, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\Delta
A2
1 = 1, \Delta
A2
1 \subset
\biggl[
1
3
; 1
\biggr]
.
З того, що E = M\cup
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
\cup B, i автомодельностi множини E випливає, що кожен \Delta
A2 -цилiндр
не є вiдрiзком, а є об’єднанням цилiндра \Delta
A2
c1...cm i множини iзольованих точок. При цьому
x = [0; c1, c2, . . . , cm, . . .] =
\infty \bigcap
m=1
\Delta
A2
c1...cm =
\infty \bigcap
m=1
\Delta c1...cm ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
СКIНЧЕННI ЛАНЦЮГОВI A2 -ДРОБИ В ЗАДАЧАХ РАЦIОНАЛЬНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ 857
x = [0; c1, c2, . . . , cm] =
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Delta
A2
c1...cm , якщо m непарне,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\Delta
A2
c1...cm , якщо m парне.
4. Кiлькiсть рiзних скiнченних \bfitA \bftwo -зображень рацiональних чисел. Легко довести, що
числа 2 i
1
3
мають єдине скiнченне A2-зображення, тодi як число 1 має їх нескiнченну кiлькiсть:
1 = [0; 1] =
\biggl[
0;
1
2
, 1, 1
\biggr]
=
\biggl[
0;
1
2
, 1,
1
2
, 1, 1
\biggr]
= . . . =
\biggl[
0;
\biggl(
1
2
, 1
\biggr) n
, 1
\biggr]
= . . . .
Числа
3
7
i
10
9
теж мають єдине A2-зображення:
\biggl[
0;
1
2
,
1
2
,
1
2
\biggr]
=
10
9
,
\biggl[
0; 1, 1, 1, 1,
1
2
\biggr]
=
3
7
.
Лема 5. Якщо скiнченне A2-зображення числа закiнчується цифрою 1, то воно має злi-
ченну множину рiзних скiнченних A2-зображень.
Доведення. Справдi, якщо x = [0; a1, . . . , an - 1, 1], то x =
\biggl[
0; a1, . . . , an - 1,
1
2
, 1, 1
\biggr]
i x =\biggl[
0; a1, . . . , an
\biggl(
1
2
, 1
\biggr) n
, 1
\biggr]
для будь-якого натурального n.
Наслiдок 2. Кожне A2-бiнарне число має злiченну множину рiзних зображень.
Лема 6. Число a має єдине скiнченне A2-зображення, якщо iснує його зображення, яке
закiнчується числом
1
2
.
Доведення. Скористаємось методом математичної iндукцiї.
Для чисел 2 =
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
,
2
5
=
\biggl[
0;
1
2
,
1
2
\biggr]
i
1
3
=
\biggl[
0; 1,
1
2
\biggr]
єдинiсть зображення очевидна.
Припустимо, що число a =
\biggl[
0; a1, . . . , ak,
1
2
\biggr]
має єдине скiнченне A2-зображення.
Розглянемо число b =
\biggl[
0; b1, . . . , bk, bk+1,
1
2
\biggr]
. Оскiльки b =
1
b1 + c
, де c =
\biggl[
0; b2, . . . , bk,
1
2
\biggr]
,
згiдно з припущенням число c має єдине зображення i згiдно з законом утворення пiдхiдних
дробiв b єдиним чином виражається, то b має єдине A2-зображення.
Наслiдок 3. Кожне число множини D = F \setminus
\biggl[
1
2
; 1
\biggr]
має єдине A2-зображення.
Дане твердження випливає з леми 6 i теореми 5.
Таким чином, числа множини E або не мають скiнченних A2-зображень (їх множина має
повну мiру Лебега множини E ), або мають єдине скiнченне зображення (їх множина злiченна),
або мають їх безлiч, таких теж злiченна множина.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. S. Albeverio, Y. Kulyba, M. Pratsiovytyi, G. Torbin, On singularity and fine spectral structure of random continued
fractions, Math. Nachr., 288, 1803 – 1813 (2015); DOI: 10.1002/mana.201500045.
2. A. Denjoy, Compláment \`a la notice publi\`ee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann,
Paris (1942).
3. S. O. Dmytrenko, D. V. Kyurchev, M. V. Prats’ovytyi, A2 -continued fraction representation of real numbers and its
geometry, Ukr. Math. J., 61, № 4, 541 – 555 (2009); https://doi.org/10.1007/s11253-009-0236-7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
858 МИКОЛА ПРАЦЬОВИТИЙ, ЯНIНА ГОНЧАРЕНКО, IРИНА ЛИСЕНКО, СОФIЯ РАТУШНЯК
4. W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Cambridge Univ. Press (1984).
5. M. Pratsiovytyi, D. Kyurchev, Properties of the distribution of the random variable defined by A2 -continued fraction
with independent elements, Random Oper. and Stoch. Equat., 17, № 1, 91 – 101 (2009).
6. M. V. Pratsiovytyi, A. S. Chuikov, Continuous distributions whose functions preserve tails of A-continued fraction
representation of numbers, Random Oper. and Stoch. Equat., 27, № 3, 199 – 206 (2019).
7. M. V. Pratsiovytyi, O. P. Makarchuk, A. S. Chuikov, Approximation and estimates in the periodic representation of
real numbers of the closed interval [0, 5; 1] by A2 -continues fractions, J. Numer. and Appl. Math., № 1(130), 71 – 83
(2019).
8. M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, N. V. Dyvliash, S. P. Ratushniak, Inversor of digits of Q\ast
2 -representation of
numbers, Mat. Stud., 55, № 1, 37 – 43 (2021).
9. M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, I. M. Lysenko, S. P. Ratushniak, Fractal functions of exponential type that
is generated by the Q\ast
2 -representation of argument, Mat. Stud., 56, № 2, 133 – 143 (2021).
10. M. V. Pratsiovytyi, Y. V. Goncharenko, I. M. Lysenko, S. P. Ratushniak, Continued A2 -fractions and singular
functions, Mat. Stud., 58, № 1, 3 – 12 (2022); DOI: 10.30970/ms.58.1.
11. M. V. Pratsiovytyi, Singularity of distributions of random variables given by distributions of elements of the
corresponding continued fraction, Ukr. Mat. Zh., 48, № 8, 1086 – 1095 (1996).
12. О. I. Бородiн, Теорiя чисел, Вища шк., Київ (1970).
13. М. Кац, Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, Изд-во иностр.
лит., Москва (1963).
14. М. В. Працьовитий, Двосимвольнi системи кодування дiйсних чисел та їх застосування, Наук. думка, Київ
(2022).
15. М. В. Працьовитий, Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв, НПУ iм. М. П. Драгоманова,
Київ (1998).
16. М. В. Працьовитий, Т. В. Iсаєва, Фрактальнi функцiї, пов’язанi з \Delta \mu -зображенням чисел, Буковин. мат. журн.,
3, № 3 – 4, 160 – 169 (2015).
17. М. В. Працьовитий, А. С. Чуйков, Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах нега-трiйкових
i ланцюгових A2 -дробiв, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 15, № 1, 147 – 161 (2018).
Одержано 14.12.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-7413 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:34Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/b1943f945202954b7518eb42cfba970e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-74132023-07-02T07:08:18Z Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: Скінченні ланцюгові $A_2$-дроби в задачах раціональних наближень дійсних чисел: Pratsiovytyi, M. Goncharenko, Ya. Lysenko, I. Ratushniak, S. Працьовитий, Микола Працьовитий, Микола Гончаренко, Яніна Лисенко, Ірина Ратушняк, Софія Ланцюговий $A_2$-дріб $A_2$-зображення числа $A_2$-бінарне число циліндр основне метричне відношення підхідний дріб нормальна властивість числа автомодельність множини раціональне наближення $A_2$-continued fraction $A_2$-representation of number $A_2$-binary numbers cylinder basic metric relation convergent normal property of number scale-invariant set rational approximation UDC 511.7+517.5 We consider finite continued fractions whose elements are numbers&nbsp;&nbsp;$\dfrac{1}{2}$ and $1$ (the so-called $A_2$-continued fractions): $1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n=[0;a_1,a_2,\ldots,a_n],$ $a_i\in A_2=\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}.$&nbsp;We study the structure of the set $F$ of values of all these fractions and the problem of the number of representations of numbers from the segment $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ by fractions of this kind.&nbsp;It is proved that the set $F\subset\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ has a scale-invariant structure and is dense in the segment&nbsp;$\left[\dfrac{1}{2};1\right]$;&nbsp;&nbsp;the set of its elements that are greater than 1 is the set of terms of two decreasing sequences approaching 1, while the set of its elements that are smaller than $\dfrac{1}{2}$&nbsp; is the set of terms of two increasing sequences approaching $\dfrac{1}{2}.$&nbsp;The fundamental difference between the representations of numbers with&nbsp;the help of finite and infinite $A_2$-fractions is emphasized.&nbsp;The following hypothesis is formulated: every rational number of the segment $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ can be represented in the form of a finite $A_2$-continued fraction. УДК 511.7+517.5 Розглядаються скінченні ланцюгові дроби, елементами яких є числа $\dfrac{1}{2}$ і $1$ (так звані ланцюгові $A_2$-дроби): $1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n=[0;a_1,a_2,\ldots,a_n],$ $a_i\in A_2=\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}.$&nbsp;Вивчається структура множини $F$ значень усіх таких дробів, а також питання про кількість зображень чисел з відрізка $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ такими дробами.&nbsp;Доведено, що множина $F\subset\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ має автомодельну структуру і є щільною у відрізку&nbsp;$\left[\dfrac{1}{2};1\right]$; множина її елементів, більших $1,$ є множиною членів двох спадних послідовностей, збіжних до $1,$ а менших $\dfrac{1}{2}$ – множиною членів двох зростаючих послідовностей, збіжних до $\dfrac{1}{2}.$&nbsp;Акцентовано увагу на принципову відмінність зображень чисел скінченними та нескінченними $A_2$-дробами.&nbsp;Сформульовано гіпотетичне твердження: кожне раціональне число відрізка $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ має зображення скінченним ланцюговим $A_2$-дробом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-06-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7413 10.37863/umzh.v75i6.7413 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 6 (2023); 849 - 858 Український математичний журнал; Том 75 № 6 (2023); 849 - 858 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7413/9411 Copyright (c) 2023 Микола Вікторович Працьовитий, Яніна Гончаренко, Ірина Лисенко, Софія Ратушняк |
| spellingShingle | Pratsiovytyi, M. Goncharenko, Ya. Lysenko, I. Ratushniak, S. Працьовитий, Микола Працьовитий, Микола Гончаренко, Яніна Лисенко, Ірина Ратушняк, Софія Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title | Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title_alt | Скінченні ланцюгові $A_2$-дроби в задачах раціональних наближень дійсних чисел: |
| title_full | Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title_fullStr | Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title_full_unstemmed | Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title_short | Finite $A_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| title_sort | finite $a_2$-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers: |
| topic_facet | Ланцюговий $A_2$-дріб $A_2$-зображення числа $A_2$-бінарне число циліндр основне метричне відношення підхідний дріб нормальна властивість числа автомодельність множини раціональне наближення $A_2$-continued fraction $A_2$-representation of number $A_2$-binary numbers cylinder basic metric relation convergent normal property of number scale-invariant set rational approximation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7413 |
| work_keys_str_mv | AT pratsiovytyim finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT goncharenkoya finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT lysenkoi finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT ratushniaks finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT pracʹovitijmikola finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT pracʹovitijmikola finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT gončarenkoânína finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT lisenkoírina finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT ratušnâksofíâ finitea2continuedfractionsintheproblemsofrationalapproximationsofrealnumbers AT pratsiovytyim skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT goncharenkoya skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT lysenkoi skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT ratushniaks skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT pracʹovitijmikola skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT pracʹovitijmikola skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT gončarenkoânína skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT lisenkoírina skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel AT ratušnâksofíâ skínčennílancûgovía2drobivzadačahracíonalʹnihnabliženʹdíjsnihčisel |