Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces
UDC 517.98 We study an evolutionary equation with an operator $\varphi(i \partial /\partial x),$ where $\varphi$ is a smooth function  satisfying certain conditions.  As a special case of this equation, we get a partial differential equation of parabolic type w...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7443 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512679224934400 |
|---|---|
| author | Horodets’kyi, V. Petryshyn, R. Martynyuk, O. Городецький, Василь Петришин, Роман Мартинюк, Ольга Мартинюк, Ольга Василівна |
| author_facet | Horodets’kyi, V. Petryshyn, R. Martynyuk, O. Городецький, Василь Петришин, Роман Мартинюк, Ольга Мартинюк, Ольга Василівна |
| author_sort | Horodets’kyi, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-07-01T15:13:08Z |
| description | UDC 517.98
We study an evolutionary equation with an operator $\varphi(i \partial /\partial x),$ where $\varphi$ is a smooth function  satisfying certain conditions.  As a special case of this equation, we get a partial differential equation of parabolic type with derivatives of finite and infinite orders and a certain equation with operators of fractional differentiation. It is established that the restriction of the operator $\varphi(i \partial / \partial x)$ to some spaces of type $S$ coincides with a pseudodifferential operator constructed according to the function $\varphi$ as a symbol. We establish the correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for  an equation of this kind with an initial function, which is an element of the space of generalized functions of ultradistribution type. The properties of the fundamental solution to this problem are analyzed. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i6.7443 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i6.7443
УДК 517.98
Василь Городецький, Роман Петришин, Ольга Мартинюк1
(Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича)
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ
З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ У ПРОСТОРАХ ТИПУ \bfitS
We study an evolutionary equation with an operator \varphi (i\partial /\partial x), where \varphi is a smooth function satisfying certain conditions.
As a special case of this equation, we get a partial differential equation of parabolic type with derivatives of finite and
infinite orders and a certain equation with operators of fractional differentiation. It is established that the restriction of the
operator \varphi (i\partial /\partial x) to some spaces of type S coincides with a pseudodifferential operator constructed according to the
function \varphi as a symbol. We establish the correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for an equation of
this kind with an initial function, which is an element of the space of generalized functions of ultradistribution type. The
properties of the fundamental solution to this problem are analyzed.
Дослiджується еволюцiйне рiвняння з оператором \varphi (i\partial /\partial x), де \varphi — гладка функцiя, яка задовольняє певнi умови.
Таке рiвняння, як частковий випадок, мiстить рiвняння з частинними похiдними параболiчного типу скiнченного та
нескiнченного порядкiв, рiвняння з деякими операторами дробового диференцiювання. Встановлено, що звуження
оператора \varphi (i\partial /\partial x) на певнi простори типу S збiгається з псевдодиференцiальним оператором, побудованим
за функцiєю \varphi як за символом. Доведено коректну розв’язнiсть нелокальної багатоточкової за часом задачi для
такого рiвняння з початковою функцiєю, яка є елементом простору узагальнених функцiй типу ультрарозподiлiв.
Дослiджено властивостi фундаментального розв’язку такої задачi.
1. Вступ. У серединi минулого столiття синтез багатовимiрних сингулярних iнтегральних рiв-
нянь та рiвнянь з частинними похiдними привiв до поняття iнтегро-диференцiального оператора
(Кальдерон, Зигмунд). У результатi систематичних дослiджень таких операторiв за допомогою
перетворення Фур’є виникли псевдодиференцiальнi оператори, якi характеризуються своїми
символами аналогiчно тому, як диференцiальнi оператори характеризуються своєю характери-
стичною формою.
Впродовж останнiх кiлькох десятилiть ефективно розвивається теорiя псевдодиференцiаль-
них операторiв (ПДО) та рiвнянь з такими операторами. ПДО формально можна подати у
виглядi
F - 1
\sigma \rightarrow x[a(t, x, \sigma )Fx\rightarrow \sigma ], \{ x, \sigma \} \subset \BbbR n, t > 0,
де a — функцiя (символ), що задовольняє певнi умови, F, F - 1 — пряме та обернене пере-
творення Фур’є. До вказаного класу належать диференцiальнi оператори, оператори дробового
диференцiювання та iнтегрування, оператори згортки тощо. Поширення результатiв класичної
теорiї диференцiальних рiвнянь на випадок рiвнянь з ПДО та одержання нових результатiв дає
змогу використовувати такi рiвняння при розв’язуваннi складних i важливих задач аналiзу та
математичної фiзики, при математичному моделюваннi рiзноманiтних природничих процесiв.
Дослiдженням задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалося багато математикiв,
використовуючи при цьому рiзнi методи й пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М. А. Шу-
бiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, С. Д. Ейдельман, Я. М. Дрiнь, А. Н. Кочубей, М. В. Федорюк,
Ю. А. Дубiнський, Б. Й. Пташник, В. В. Городецький, О. В. Мартинюк та iн.). Одержано
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: o.martynyuk@chnu.edu.ua.
c\bigcirc ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6 753
754 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
важливi результати щодо розв’язностi задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах. При
цьому часто початковi функцiї мають особливостi в однiй або кiлькох точках i допускають
регуляризацiю у певних просторах узагальнених функцiй типу розподiлiв Соболєва – Шварца,
ультрарозподiлiв, гiперфункцiй тощо. Отже, задача Кошi для зазначених рiвнянь має природну
постановку й у рiзних класах узагальнених функцiй скiнченного та нескiнченного порядкiв.
Узагальненням задачi Кошi є нелокальна багатоточкова за часом задача, коли початкова
умова u(t, \cdot )| t=0 = f замiнюється умовою
\sum m
k=0
\alpha ku(t, \cdot )| t=tk = f, де t0 = 0, \{ t1, . . . , tm\} \subset
(0, T ], 0 < t1 < t2 < . . . < tm \leq T, \{ \alpha 0, \alpha 1, . . . , \alpha m\} \subset \BbbR , m \in \BbbN , — фiксованi числа (якщо
\alpha 0 = 1, \alpha 1 = . . . = \alpha m = 0, то маємо, очевидно, задачу Кошi). Вказана умова трактується в
класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f — узагальнена функцiя, тобто як граничне
спiввiдношення
m\sum
k=0
\alpha k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
\langle u(t, \cdot ), \varphi \rangle = \langle f, \varphi \rangle
для довiльної функцiї \varphi з основного простору (тут \langle f, \cdot \rangle позначає дiю функцiонала f на
основну функцiю). Нелокальна за часом задача вiдноситься до нелокальних крайових задач для
рiвнянь з частинними похiдними. Такi задачi виникають при моделюваннi багатьох процесiв
та задач практики крайовими задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними
умовами, при описi всiх коректних задач для конкретного оператора, при побудовi загальної
теорiї крайових задач. Огляд основних результатiв, пов’язаних з нелокальними задачами для
диференцiально-операторних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, див. у [1, 2].
У цiй роботi дослiджується нелокальна багатоточкова за часом задача для рiвняння
\partial u(t, x)/\partial t+ \varphi (i\partial /\partial x)u(t, x) = 0, (t, x) \in (0, T ]\times \BbbR , (1)
де \varphi — нескiнченно диференцiйовна на \BbbR функцiя, яка задовольняє певнi умови. Наведено
приклади, з яких випливає, що рiвняння (1) охоплює рiвняння з частинними похiдними пара-
болiчного типу, рiвняння з операторами диференцiювання „нескiнченного порядку”, рiвняння
з операторами дробового диференцiювання, побудованими за функцiєю \varphi .
При дослiдженнi зазначеної задачi використовуються простори типу S, введенi I. М. Гель-
фандом та Г. Є. Шиловим у [3]. Функцiї з таких просторiв на дiйснiй осi разом з усiма своїми
похiдними при | x| \rightarrow \infty спадають швидше, нiж \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| \alpha \} , a, \alpha > 0. У працях [4 – 8] вста-
новлено, що простори типу S та S\prime , топологiчно спряженi до просторiв типу S, є природними
множинами початкових даних задачi Кошi для рiвнянь з частинними похiдними параболiчного
типу, при яких розв’язки є нескiнченно диференцiйовними за просторовою змiнною функцiями.
Встановлено, що звуження оператора \varphi (i\partial /\partial x) на певнi простори типу S збiгається iз псев-
додиференцiальним оператором, який будується за функцiєю \varphi як за символом. Такий пiдхiд
дозволяє ефективно використати перетворення Фур’є при дослiдженнi багатоточкової за часом
задачi для рiвняння (1) у просторах типу S та S\prime (на сьогоднi така задача для рiвняння (1) у
просторах типу S та S\prime не дослiджена). Доведено коректну розв’язнiсть нелокальної багато-
точкової за часом задачi для рiвняння (1) з початковою функцiєю, яка є елементом простору
узагальнених функцiй типу S\prime , знайдено аналiтичне зображення розв’язку у виглядi згортки
фундаментального розв’язку з початковою узагальненою функцiєю, при цьому, попередньо,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 755
дослiдженi властивостi фундаментального розв’язку. За допомогою перетворення Фур’є вста-
новлено зв’язок операцiї згортки з операцiєю множення у просторах типу S та S\prime .
1. Простори типу \bfitS . I. М. Гельфанд i Г. Є. Шилов увели в [3] серiю просторiв, названих
ними просторами типу S. До таких просторiв вiдносяться простори S\alpha , S\beta , S\beta
\alpha .
Простiр S\alpha , \alpha > 0, складається з нескiнченно диференцiйовних на \BbbR функцiй, якi задо-
вольняють умову
\exists A > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists cn > 0 \forall k \in \BbbZ + \forall x \in \BbbR : | xk\varphi (n)(x)| \leq cnA
kkk\alpha (2)
(сталi cn, A > 0 залежать вiд функцiї \varphi ).
Наведене означення еквiвалентне такому [3]:
S\alpha =
\Biggl\{
\varphi \in C\infty (\BbbR ) : \exists a > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists c\prime n > 0 \forall x \in \BbbR :
| \varphi (n)(x)| \leq c\prime n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| x| 1/\alpha
\Bigr\}
, a =
\alpha
eA1/\alpha
\Biggr\}
. (3)
Топологiчна структура в S\alpha визначається так [3]. Символом S\alpha ,A позначимо сукупнiсть
функцiй з простору S\alpha , для яких виконуються нерiвностi
| xk\varphi (n)(x)| \leq cn,AA
k
kk\alpha , \{ k, n\} \subset \BbbZ +, x \in \BbbR ,
де A — довiльна стала, бiльша за A. S\alpha ,A перетворюється у повний злiченно-нормований
простiр, якщо норми в S\alpha ,A ввести за допомогою норм
\| \varphi \| n\delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
k\in \BbbZ +
| xk\varphi (n)(x)|
(A+ \delta )kkk\alpha
, n \in \BbbZ +, \delta \in \{ 1/k, k \in \BbbN \} .
Якщо A1 < A2, то простiр S\alpha ,A1 неперервно вкладається в S\alpha ,A2 , тому S\alpha = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}A\rightarrow +\infty \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}S\alpha ,A\Bigl(
S\alpha =
\bigcup
A>0
S\alpha ,A
\Bigr)
. Отже, послiдовнiсть \{ \varphi \nu , \nu \geq 1\} \subset S\alpha збiгається до нуля в S\alpha при
\nu \rightarrow +\infty , якщо \{ \varphi \nu , \nu \geq 1\} \subset S\alpha ,A при деякому A > 0 i \{ \varphi \nu , \nu \geq 1\} збiгається до нуля
при \nu \rightarrow +\infty за топологiєю цього простору. Це рiвносильно тому [3], що: 1) послiдовнiсть
\{ \varphi (n)
\nu , \nu \geq 1\} рiвномiрно збiгається до нуля при \nu \rightarrow +\infty на довiльному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR
(при кожному n \in \BbbZ +); 2) при цьому виконуються нерiвностi
| \varphi (n)
\nu (x)| \leq c\prime ne
- a| x| 1/\alpha , n \in \BbbZ +, x \in \BbbR ,
з деякими сталими c\prime n, a > 0, не залежними вiд \nu .
Функцiя g \in C\infty (\BbbR ) називається мультиплiкатором у просторi S\alpha , якщо g\varphi \in S\alpha для
довiльної функцiї \varphi \in S\alpha i вiдображення \varphi \rightarrow g\varphi є лiнiйним i неперервним оператором у
просторi S\alpha . Мультиплiкатором у просторi S\alpha є кожна функцiя g \in C\infty (\BbbR ), яка задовольняє
умову
\forall \varepsilon > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists cn\varepsilon > 0 \forall x \in \BbbR : | \varphi (n)(x)| \leq cn\varepsilon e
\varepsilon | x| 1/\alpha
або умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
756 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
\forall \varepsilon > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists c\prime n\varepsilon > 0 \forall x \in \BbbR : | \varphi (n)(x)| \leq c\prime n\varepsilon .
Зокрема, мультиплiкатором у S\alpha є кожна функцiя в S\alpha .
Множина M \subset S\alpha називається обмеженою, якщо M повнiстю мiститься в деякому S\alpha ,A i
в ньому обмежена, тобто для всiх функцiй \varphi \in M виконуються оцiнки (2) або (3) з деякими
сталими cn, A > 0 (c\prime n, a > 0).
У просторах S\alpha , \alpha > 0, визначено i неперервнi оператори множення на незалежну змiнну,
диференцiювання та зсуву Tx : \varphi (\xi ) \rightarrow \varphi (\xi +x), \varphi \in S\alpha , при цьому операцiя зсуву є диференцi-
йовною (навiть нескiнченно диференцiйовною) у тому розумiннi, що граничнi спiввiдношення
вигляду
(\varphi (x+ h) - \varphi (x))h - 1 \rightarrow \varphi \prime (x), h\rightarrow 0,
виконуються в сенсi збiжностi за топологiєю простору S\alpha [3].
Простiр S\beta , \beta > 0, складається з функцiй \varphi \in C\infty (\BbbR ), якi задовольняють умову
\exists B > 0 \forall k \in \BbbZ + \exists ck > 0 \forall n \in \BbbZ + \forall x \in \BbbR : | xk\varphi (n)(x)| \leq ckB
nnn\beta
(сталi ck, B > 0 залежать вiд функцiї \varphi ).
Якщо \beta > 1, то серед функцiй \varphi \in S\beta є фiнiтнi [3, 4]. Якщо 0 < \beta < 1, то кожна функцiя
\varphi \in S\beta аналiтично продовжується в усю комплексну площину i задовольняє нерiвнiсть
| xk\varphi (x+ iy)| \leq c\prime k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ b| y| 1/(1 - \beta )\} , k \in \BbbZ +, \{ x, y\} \subset \BbbR , b >
1 - \beta
e
(Be)1/(1 - \beta ).
Якщо \beta = 1, то функцiя \varphi \in S1 може бути аналiтично продовжена в деяку смугу | \mathrm{I}\mathrm{m}z| < \delta ,
z = x + iy, комплексної площини, де \delta = \delta (\varphi ) > 0. Отже, простiр S\beta при \beta \in (0, 1] фiнiтнi
функцiї не мiстить.
Символом S\beta
\alpha , \alpha , \beta > 0, позначимо сукупнiсть функцiй \varphi \in C\infty (\BbbR ), якi задовольнять
умову
\exists c > 0 \exists A > 0 \exists B > 0 \forall \{ k, n\} \subset \BbbZ + \forall x \in \BbbR : | xk\varphi (n)(x)| \leq cAkBnkk\alpha nn\beta .
Простори S\beta
\alpha можна охарактеризувати ще й так [3].
S\beta
\alpha складається з тих i лише тих функцiй \varphi \in C\infty (\BbbR ), якi задовольняють нерiвностi
| \varphi (n)(x)| \leq cBnnn\beta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| 1/\alpha \} , c, a, B > 0, x \in \BbbR , n \in \BbbZ +.
Якщо 0 < \beta < 1 i \alpha \geq 1 - \beta , то S\beta
\alpha складається з функцiй \varphi \in C\infty (\BbbR ), якi аналiтично
продовжуються в комплексну площину i для яких
| \varphi (x+ iy)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| 1/\alpha + b| y| 1/(1 - \beta )\} , c, a, b > 0, \{ x, y\} \subset \BbbR .
Простiр S1
\alpha , \alpha > 0, складається з функцiй \varphi \in C\infty (\BbbR ), якi аналiтично продовжуються
в деяку смугу | \mathrm{I}\mathrm{m} z| < \delta , z = x + iy (залежну вiд \varphi ) комплексної площини, при цьому
справджується нерiвнiсть
| \varphi (x+ iy)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| 1/\alpha \} , c, a > 0, | y| < \delta , x \in \BbbR .
Простори S\alpha , S
\beta нетривiальнi при \alpha , \beta > 0. Простори S\beta
\alpha нетривiальнi, якщо \alpha , \beta > 0,
\alpha + \beta \geq 1 i утворюють щiльнi в L2(\BbbR ) множини. В [4] доведено, що S\beta
\alpha = S\alpha
\bigcap
S\beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 757
Топологiчна структура просторiв S\beta , S\beta
\alpha аналогiчна топологiчнiй структурi просторiв S\alpha .
У просторах S\beta , S\beta
\alpha визначенi тi ж операцiї, що i в просторах S\alpha . Зауважимо, що простори
типу S є досконалими, тобто просторами, всi обмеженi множини яких компактнi.
Зупинимося ще на просторах S\beta
\alpha , де \{ \alpha , \beta \} \subset (0, 1), \alpha \geq 1 - \beta . Сукупнiсть функцiй, якi
є продовженням функцiй з таких просторiв у всю комплексну площину, позначимо символом
S\beta
\alpha (\BbbC ). Iз результатiв, наведених у [9], випливає, що S\beta
\alpha (\BbbC ) =W\Omega
M , де W\Omega
M — один iз просторiв
типу W, введених Б. Л. Гуревичем [10], який будується за функцiями M(x) = x1/\alpha , 0 < \alpha < 1,
\Omega (y) = y1/(1 - \beta ), 0 < \beta < 1, x, y \geq 0. У просторах W\Omega
M вводиться топологiя iндуктивної
границi певних просторiв W\Omega ,b
M,a, a, b > 0. Зокрема, у випадку просторiв W\Omega
M , побудованих за
вказаними функцiями, система норм визначається формулами
\| \varphi \| \delta \rho = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC
(| \varphi (z)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ a(1 - \delta )| x| 1/\alpha - (b+ \rho )| y| 1/(1 - \beta )\} ), \{ \rho , \delta \} \subset \{ 1/n, n \geq 2\} .
Звiдси та з результатiв, отриманих у [9], випливає, що послiдовнiсть \{ \varphi \nu (x), \nu \geq 1\} \subset S\beta
\alpha ,
x \in \BbbR , \{ \alpha , \beta \} \subset (0, 1), \alpha + \beta \geq 1, збiгається в S\beta
\alpha до нуля при \nu \rightarrow +\infty тодi й лише
тодi, коли послiдовнiсть \{ \varphi \nu (z), \nu \geq 1\} \subset S\beta
\alpha (\BbbC ), z = x + iy \in \BbbC , збiгається до нуля при
\nu \rightarrow +\infty у просторi S\beta
\alpha (\BbbC ), тобто [9] рiвномiрно збiгається до нуля в кожнiй обмеженiй
областi комплексної площини i при цьому справджуються нерiвностi
| \varphi \nu (z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| 1/\alpha + b| y| 1/(1 - \beta )\} , z = x+ iy \in \BbbC ,
зi сталими c, a, b > 0, не залежними вiд \nu .
Мультиплiкатором у такому просторi S\beta
\alpha (\BbbC ) є кожна цiла функцiя f(z), z \in \BbbC , яка задо-
вольняє умову
\forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC : | f(x+ iy)| \leq c\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varepsilon | x| 1/\alpha + \varepsilon | y| 1/(1 - \beta )\} ,
при цьому f(x), x \in \BbbR , — мультиплiкатор у просторi S\beta
\alpha .
У просторах типу S клас лiнiйних обмежених операторiв збiгається з класом лiнiйних
неперервних операторiв [3].
Простори типу S пов’язанi мiж собою перетворенням Фур’є, а cаме, правильними є фор-
мули [3]
F [S\alpha ] = S\alpha , \alpha > 0; F [S\beta ] = S\beta , \beta > 0; F [S\beta
\alpha ] = S\alpha
\beta , \alpha > 0, \beta > 0, \alpha + \beta \geq 1.
При цьому оператор F є неперервним
\Biggl(
тут F [X], X = S\alpha , S
\beta , S\beta
\alpha , позначає простiр Фур’є-
образiв
F [X] =
\left\{ \psi (\sigma ) :=
\int
\BbbR
\varphi (x)ei\sigma xdx, \varphi \in X
\right\}
\right) .
2. Псевдодиференцiальнi оператори у просторах типу \bfitS . Нехай \varphi : \BbbR \rightarrow [0,\infty ) — не-
скiнченно диференцiйовна функцiя, яка задовольняє умови:
а) \exists \alpha > 0 \exists c > 0 \forall \sigma \in \BbbR : \varphi (\sigma ) \geq c| \sigma | \alpha ;
б) \varphi — мультиплiкатор у просторi S1/\alpha , тобто (див. [3, c. 224])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
758 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
\forall \varepsilon > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists cn\varepsilon > 0 \forall x \in \BbbR : | \varphi (n)(x)| \leq cn\varepsilon e
\varepsilon | x| 1/\alpha .
Сукупнiсть функцiй, якi задовольняють умови а), б), позначатимемо символом H\alpha .
Нагадаємо, що i\partial /\partial x — самоспряжений у L2(\BbbR ) оператор зi щiльною у L2(\BbbR ) областю
визначення
\scrD (i\partial /\partial x) = \{ \psi \in L2(\BbbR ) : \exists \psi \prime \in L2(\BbbR )\} .
Якщо E\lambda , \lambda \in \BbbR , — спектральна функцiя оператора i\partial /\partial x, то внаслiдок основної спектральної
теореми для самоспряжених операторiв та операцiйного числення для таких операторiв
\varphi (i\partial /\partial x)\psi =
+\infty \int
- \infty
\varphi (\lambda )dE\lambda \psi , \psi \in \scrD (i\partial /\partial x).
При цьому \varphi (i\partial /\partial x) — невiд’ємний самоспряжений у L2(\BbbR ) оператор. Вiдомо [11], що
E\lambda \psi =
1
2\pi
\lambda \int
- \infty
\left\{
+\infty \int
- \infty
\psi (\tau )ei\sigma \tau d\tau
\right\} e - it\sigma d\sigma =
1
2\pi
\lambda \int
- \infty
F [\psi ](\sigma )e - it\sigma d\sigma .
Отже, dE\lambda \psi =
1
2\pi
F [\psi ](\lambda )e - it\lambda d\lambda , тобто
\varphi (i\partial /\partial x)\psi =
1
2\pi
+\infty \int
- \infty
\varphi (\lambda )F [\psi ](\lambda )e - it\lambda d\lambda = F - 1[\varphi (\lambda )F [\psi ]].
Якщо \psi \in S1/\alpha \subset \scrD (i\partial /\partial x), то F [\psi ] \in S1/\alpha . Оскiльки \varphi — мультиплiкатор у просторi S1/\alpha ,
то \varphi F [\psi ] \in S1/\alpha , а F - 1[\varphi F [\psi ]] \in S1/\alpha . Нехай A := \varphi (i\partial /\partial x)| S1/\alpha — звуження оператора
\varphi (i\partial /\partial x) на простiр S1/\alpha . Iз властивостей перетворення Фур’є у просторах типу S випливає,
що A: S1/\alpha \rightarrow S1/\alpha — лiнiйний i неперервний оператор, який збiгається iз псевдодиференцi-
альним оператором у просторi S1/\alpha , побудованим за функцiєю \varphi \in H\alpha як за символом.
Зауважимо, що якщо \varphi — мультиплiкатор у просторi S\beta
1/\alpha \subset S1/\alpha , \alpha > 1, при певному \beta >
0, то в просторi S1/\alpha
\beta \subset S1/\alpha оператор диференцiювання „нескiнченного порядку” визначений
коректно. Для того щоб довести вiдповiдне твердження, наведемо таке означення: у просторi
S
1/\alpha
\beta задано оператор диференцiювання нескiнченного порядку
B :=
\infty \sum
k=0
c2k( - 1)kD2k
x , Dx := i\partial /\partial x,
побудований за функцiєю
\varphi (\sigma ) =
\infty \sum
k=0
c2k\sigma
2k \geq 0, \sigma \in \BbbR , \varphi \in C\infty (\BbbR ),
якщо для довiльної функцiї \psi \in S
1/\alpha
\beta ряд
g(x) \equiv B\psi (x) :=
\infty \sum
k=0
c2k( - 1)k\psi (2k)(x)
зображує деяку функцiю з простору S1/\alpha
\beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 759
Теорема 1. Якщо функцiя \varphi — мультиплiкатор у просторi S1 - 1/\alpha
1/\alpha , \alpha > 1, то в просторi
S
1/\alpha
1 - 1/\alpha визначено i неперервний оператор B, при цьому
B\psi = F - 1[\varphi (\sigma )F [\psi ]] = A\psi \forall \psi \in S
1/\alpha
1 - 1/\alpha .
Доведення. Враховуючи спiввiдношення
Dk
x\psi = F - 1[( - i\sigma )kF [\psi ]] \forall \psi \in S
1/\alpha
1 - 1/\alpha , k \in \BbbN ,
отримуємо
g(x) =
\infty \sum
k=0
c2k( - 1)kD2k
x \psi (x) =
\infty \sum
k=0
c2k( - 1)kF [( - i\sigma )2kF [\psi ]](x)
=
\infty \sum
k=0
c2kF
- 1[\sigma 2kF [\psi ]](x).
Iз властивостей перетворення Фур’є в просторах типу S випливає, що для доведення тверджен-
ня достатньо встановити, що F [g] \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha . Запишемо (поки що формально) спiввiдношення
F [g] = F
\Biggl[ \infty \sum
k=0
c2kF
- 1[\sigma 2kF [\psi ]]
\Biggr]
= F
\Biggl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
k=0
c2kF
- 1[\sigma 2kF [\psi ]]
\Biggr]
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
F
\Biggl[
n\sum
k=0
c2kF
- 1[\sigma 2kF [\psi ]]
\Biggr]
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\sum
k=0
c2k\sigma
2kF [\psi ]
= \varphi (\sigma )F [\psi ](\sigma ). (4)
Оскiльки F [\psi ] \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha , а \varphi — мультиплiкатор у просторi S1 - 1/\alpha
1/\alpha , то \varphi F [\psi ] \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha . Отже,
залишилося довести коректнiсть проведених перетворень i обґрунтувати правильнiсть форму-
ли (4).
Функцiя \varphi F [\psi ] допускає аналiтичне продовження в усю комплексну площину, при цьому
\varphi (z)F [\psi ])(z) \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha (\BbbC ), z = x+ iy \in \BbbC . Для доведення твердження достатньо встановити,
що
rn(z) :=
\infty \sum
k=n+1
c2kz
2kF [\psi ](z) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ,
у просторi S1 - 1/\alpha
1/\alpha (\BbbC ). Iншими словами, потрiбно довести, що: 1) rn(z) \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha (\BbbC ) при
кожному n \in \BbbN ; 2) послiдовнiсть \{ rn(z), n \geq 1\} збiгається рiвномiрно до нуля при n \rightarrow \infty у
кожнiй обмеженiй областi Q \subset \BbbC , при цьому виконується нерiвнiсть
| rn(z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| x| \alpha + b| y| 1/\alpha \} , z = x+ iy \in \BbbC , n \in \BbbN ,
зi сталими c, a, b > 0, не залежними вiд n.
Коефiцiєнти Тейлора c2k, k \in \BbbZ +, функцiї \varphi обчислюються за формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
760 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
c2k =
1
2\pi i
\int
\Gamma R
\varphi (z)
z2k+1
dz,
де \Gamma R — коло радiуса R з центром у точцi 0. Звiдси та з умови теореми (\varphi — мультиплiкатор
в S1 - 1/\alpha
1/\alpha ) випливає (див. п. 1), що
| c2k| \leq c\varepsilon (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
(R - k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}R\alpha ))2.
Зазначимо, що вказаний iнфiмум досягається. Для цього розглянемо функцiю \gamma k(R) =
R - k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}R\alpha , R \in (0,+\infty ). Ця функцiя диференцiйовна на (0,\infty ), до того ж
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +\infty
\gamma k(R) = +\infty , k \in \BbbZ +, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +0
\gamma k(R) =
\Biggl\{
+\infty , k \in \BbbN ,
1, k = 0.
Оскiльки \gamma k(R) > 0, R \in (0,+\infty ), то ця функцiя досягає свого iнфiмуму, який знаходимо за
допомогою методiв диференцiального числення:
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \gamma k(R) = \omega kk - k/\alpha , \omega = (\alpha \varepsilon e)1/\alpha .
Отже,
| c2k| \leq c\varepsilon \omega
2kk - 2k/\alpha = c\varepsilon L
k\varepsilon 2k/\alpha k - 2k/\alpha , L = (\alpha e)2/\alpha .
Далi оцiнимо функцiю
\alpha 2k(z) := | c2kz2kF [\psi ](z)| , z \in \BbbC .
Оскiльки F [\psi ](z) \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha (\BbbC ), то
\exists c, a, b > 0 \forall z = \sigma + i\tau \in \BbbC : | F [\psi ](z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a| \sigma | \alpha + b| \tau | \alpha \} .
Крiм того,
| z| 2k = (\sigma 2 + \tau 2)k \leq (2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \sigma 2, \tau 2\} )k \leq 2k(| \sigma | 2k + | \tau | 2k).
Отже,
\alpha 2k(z) \leq cc\varepsilon L
k
1\varepsilon
2k/\alpha k - 2k/\alpha (| \sigma | 2k + | \tau | 2k)e - a| \sigma | \alpha +b| \tau | \alpha
= cc\varepsilon L
k
1e
2k/\alpha
\bigl(
k - 2k/\alpha | \sigma | 2ke - a| \sigma | \alpha +b| \tau | \alpha
+ k - 2k/\alpha | \tau | 2ke - a| \sigma | 2k+b| \tau | \alpha \bigr) = cc\varepsilon L
k
1\varepsilon
2k/\alpha (\Delta \prime
k(z) + \Delta \prime \prime
k(z)),
де L1 = 2L. Далi застосовуючи нерiвнiсть
| \sigma | 2ke -
a
2
| \sigma | \alpha \leq Mk
1 k
2k/\alpha , M1 =
\biggl(
4
\alpha ae
\biggr) 2/\alpha
,
отримуємо
\Delta \prime
k(z) = k - 2k/\alpha | \sigma | 2ke - a| \sigma | \alpha eb| \tau |
\alpha \leq Mk
1 e
- a
2
| \sigma | \alpha eb| \tau |
\alpha
.
Оцiнимо \Delta \prime \prime
k(z). Маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 761
| \tau | 2keb| \tau | \alpha = | \tau | 2ke - | \tau | \alpha \cdot e(b+1)| \tau | \alpha \leq Mk
2 k
2k/\alpha e(b+1)| \tau | \alpha , M2 =
\biggl(
2
\alpha e
\biggr) 2/\alpha
.
Тодi
\Delta \prime \prime
k(z) \leq k - 2k/\alpha | \tau | 2ke - a| \sigma | \alpha \cdot eb| \tau | \alpha \leq Mk
2 e
- a| \sigma | \alpha e(b+1)| \tau | \alpha .
Враховуючи цi нерiвностi, одержуємо
\alpha 2k(z) \leq \~cLk
2\varepsilon
2k/\alpha e - a1| \sigma | \alpha +b1| \tau | \alpha ,
де \~c = cc\varepsilon , L2 = L1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ M1,M2\} , a1 = a/2, b1 = b + 1, причому сталi \~c, L2, a1, b1 > 0 не
залежать вiд k. Вiзьмемо \varepsilon = (2L2)
- \alpha /2. Тодi
\infty \sum
k=n+1
Lk
2\varepsilon
2k/\alpha =
1
2n
,
| rn(z)| \leq
\~c
2n
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a1| \sigma | \alpha + b1| \tau | \alpha \} , z \in \BbbC . (5)
З нерiвностi (5) випливає, що rn \in S
1 - 1/\alpha
1/\alpha при кожному n \in \BbbN , а послiдовнiсть \{ rn, n \geq 1\}
збiгається до нуля при n\rightarrow \infty рiвномiрно у кожнiй обмеженiй областi Q \subset \BbbC . Крiм того,
| rn(z)| \leq \~c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - a1| \sigma | \alpha + b1| \tau | \alpha \} , z \in \BbbC , n \in \BbbN ,
де сталi \~c, a1, b1 > 0 не залежать вiд n. Отже, умови 1, 2 виконуються. Цим доведено, що
оператор B визначений на S
1/\alpha
1 - 1/\alpha , кожну обмежену множину цього простору переводить в
обмежену множину цього ж простору. Отже, вказаний оператор є неперервним, при цьому
iз спiввiдношення (4) випливає, що оператор диференцiювання нескiнченного порядку збiга-
ється iз псевдодиференцiальним оператором A у просторi S1/\alpha
1 - 1/\alpha , побудованим за функцiєю-
символом \varphi за допомогою перетворення Фур’є (прямого та оберненого).
Теорему 1 доведено.
Наведемо деякi приклади функцiй iз класу H\alpha i, вiдповiдно, приклади операторiв \varphi (i\partial /\partial x).
1. Нехай
\varphi (x) =
p\sum
k=0
akx
2k, x \in \BbbR ,
де p \in \BbbN фiксоване, ap > 0, ak \geq 0, k \in \{ 0, 1, . . . , p - 1\} . Функцiя \varphi \in C\infty (\BbbR ), \varphi (x) \geq apx
2p,
x \in \BbbR , тобто \varphi задовольняє умову а) з параметром \alpha = 2p. Iз властивостей просторiв типу S
випливає, що \varphi — мультиплiкатор у просторi S1/(2p). Отже, \varphi \in H2p.
Полiному \varphi вiдповiдає оператор
\varphi
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
= A0I +
p\sum
k=1
ak( - 1)k
\partial 2k
\partial x2k
(I — одиничний оператор).
2. Розглянемо функцiю
\varphi (x) = \mathrm{c}\mathrm{h}x =
\infty \sum
k=0
x2k
(2k)!
, x \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
762 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
Оскiльки \varphi (x) \geq x2
2
, x \in \BbbR , то \varphi задовольняє умову а) з параметром \alpha = 2. Переконаємося в
тому, що \varphi — мультиплiкатор у просторi S1/2. Справдi, \varphi допускає аналiтичне продовження в
усю комплексну площину i
| \mathrm{c}\mathrm{h} z| \leq e| z| , z = x+ iy \in \BbbC .
Зауважимо, що для довiльного \varepsilon > 0 виконується нерiвнiсть
| z| \leq \varepsilon | z| 2 + c\varepsilon \forall z \in \BbbC , c\varepsilon =
1
4\varepsilon
.
Використовуючи цю нерiвнiсть, маємо
| \mathrm{c}\mathrm{h} z| \leq e| z| \leq e\varepsilon | z|
2+c\varepsilon = \~c\varepsilon e
\varepsilon | z| 2 = c\varepsilon e
\varepsilon x2+\varepsilon y2 , z \in \BbbC .
З останньої нерiвностi випливає, що \mathrm{c}\mathrm{h}x, x \in \BbbR , — мультиплiкатор у просторi S1/2
1/2 (див. п. 1
або теорему 3 в [3, c. 248]). Отже, \varphi \in H2. Звiдси та з теореми 1 випливає, що в просторi
S
1/2
1/2 \subset S1/2 визначено коректно оператор диференцiювання нескiнченного порядку
\infty \sum
k=0
( - 1)kD2k
x
(2k)!
= F - 1[\mathrm{c}\mathrm{h}\sigma \cdot F ].
3. Нехай
\varphi \beta (x) =
\infty \sum
k=0
x2k
((2k)!)\beta
, x \in \BbbR ,
де \beta \in [1,+\infty ) — фiксоване число. Очевидно, \varphi \beta (x) \geq
x2
2\beta
, x \in \BbbR , тобто \varphi \beta задовольняє умову
а) з параметром \alpha = 2.
Iз формули Стiрлiнга випливає оцiнка k! \geq kke - k. Тодi
1
((2k)!)\beta
\leq 22k\beta
(2k)2k\beta
=
L2k
k2k\beta
, L =
\Bigl( e
2
\Bigr) \beta
,
| \varphi \beta (z)| \leq
\infty \sum
k=0
| z| 2k
((2k)!)\beta
\leq
\infty \sum
k=0
L2k
k2k\beta
| z| 2k
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
(
\surd
2L)2k| z| 2k
k2k\beta
\infty \sum
k=0
1
2k
=
2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
k2k\beta
| L1z| 2k
, L1 =
\surd
2L, z \in \BbbC .
Використовуючи вiдому нерiвнiсть з [3, с. 204]
e -
\alpha
e
| \xi | 1/\alpha \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
kk\alpha
| \xi | k
\leq ce -
\alpha
e
| \xi | 1/\alpha , c = e
\alpha e
2 ,
при \alpha = 2\beta , | \xi | = | z| 2 одержуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
| L1z| 2k
k2k\beta
\leq ec1| z|
1/\beta
, c1 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 763
Отже, | \varphi \beta (z)| \leq 2ec1| z|
1/\beta
, z \in \BbbC . Оскiльки | z| 1/\beta \leq 1 + | z| , z \in \BbbC , при \beta \geq 1, то
c1| z| 1/\beta \leq c1 + c1| z| \leq c1 + \varepsilon | z| 2 + c1
4\varepsilon
= \varepsilon x2 + \varepsilon y2 + c2, c2 = c1
\biggl(
1 +
1
4\varepsilon
\biggr)
,
для довiльного \varepsilon > 0. Тодi звiдси випливає, що \varphi \beta — мультиплiкатор у просторi S1/2
1/2 \subset S1/2,
тобто \varphi \beta \in H2. Зауважимо також, що \varphi 1(x) = \mathrm{c}\mathrm{h}x, x \in \BbbR . Отже (див. теорему 1), у просторi
S
1/2
1/2 визначено коректно оператор
\infty \sum
k=0
( - 1)kD2k
x
((2k)!)\beta
= F - 1[\varphi \beta F ], \beta \geq 1.
4. Розглянемо функцiю
\varphi \omega ,p(x) =
\Biggl(
p\sum
k=0
x2k
\Biggr) \omega
2p
, x \in \BbbR ,
де \omega \in (0, 1], p \in \BbbN довiльно фiксованi. Функцiя \varphi \omega ,p \in C\infty (\BbbR ), \varphi \omega ,p(x) \geq | x| \omega , x \in \BbbR .
Доведемо, що \varphi \omega ,p — мультиплiкатор у просторi S1/\omega . Якщо | x| \leq 1, то
\varphi \omega ,p(x) \leq (p+ 1)\omega /(2p) \leq (p+ 1) \leq (p+ 1)e\varepsilon | x|
\omega
для довiльного \varepsilon > 0. Якщо | x| > 1, то
\varphi \omega ,p(x) \leq (p+ 1)| x| \omega \leq 1
\varepsilon
(p+ 1)e\varepsilon | x|
\omega
.
Отже,
\forall \varepsilon > 0 \forall x \in \BbbR : \varphi \omega ,p(x) \leq c\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varepsilon | x| \omega \} , c\varepsilon = (p+ 1)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1,
1
\varepsilon
\biggr\}
.
Крiм того, безпосередньо переконуємося в тому, що
\exists c0, B0 > 0 \forall n \in \BbbN \forall x \in \BbbR : | Dn
x\varphi \omega ,p(x)| \leq c0B
n
0n!, (6)
де сталi c0, B0 > 0 залежать вiд p. Звiдси випливає, що \varphi \omega ,p — мультиплiкатор у просторi
S1/\omega . Справдi, вiзьмемо довiльну функцiю \psi \in S1/\omega . Тодi
\exists a > 0 \forall n \in \BbbZ + \exists cn > 0 \forall x \in \BbbR : | Dn
x\psi (x)| \leq cne
- a| x| \omega . (7)
З (6), (7) випливають нерiвностi
| (\varphi \omega ,p(x)\psi (x))
n| \leq
n\sum
k=0
Ck
n| \varphi (k)
\omega ,p(x)| | \psi (n - k)(x)|
\leq | \varphi \omega ,p(x)| | \psi (n)(x)| +
n\sum
k=1
Ck
n| \varphi (k)
\omega ,p(x)| | \psi (n - k)(x)|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
764 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
\leq c\varepsilon cne
- (a - \varepsilon )| x| \omega | + c0
n\sum
k=1
Ck
ncn - kB
k
0k!e
- a| x| \omega .
Вiзьмемо \varepsilon = a/2. Тодi
| (\varphi \omega ,p(x)\psi (x))
(n)| \leq bne
- a1| x| \omega , a1 = a/2, bn = c\varepsilon cn + c0
n\sum
k=1
Ck
nB
k
0k!cn - k.
Звiдси випливає також, що оператор S1/\omega \ni \psi \rightarrow \varphi \omega ,p\psi \in S1/\omega кожну обмежену множину
простору S1/\omega переводить в обмежену множину цього ж простору, тобто вказаний оператор
є неперервним. Цим доведено, що \varphi \omega ,p — мультиплiкатор у просторi S1/\omega , тобто \varphi \omega ,p \in H\omega .
Оператор, який будується за функцiєю \varphi \omega ,p, має вигляд
\varphi \omega ,p(i\partial /\partial x) =
\Biggl(
I +
p\sum
k=1
( - 1)k
\partial 2k
\partial x2k
\Biggr) \omega
2p
(тут I — одиничний оператор). Наприклад,
\varphi 1,1
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
=
\biggl(
I - \partial 2
\partial x2
\biggr) 1/2
.
Такий оператор використовується в теорiї дробового диференцiювання i називається операто-
ром Бесселя дробового диференцiювання порядку 1/2 [12]. Iншi приклади:
\varphi 2/7,1
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
=
\biggl(
I - \partial 2
\partial x2
\biggr) 1/7
, \varphi 2/3,2
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
=
\biggl(
I - \partial 2
\partial x2
+
\partial 4
\partial x4
\biggr) 1/6
,
\varphi 4/5,3
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
=
\biggl(
I - \partial 2
\partial x2
+
\partial 4
\partial x4
- \partial 6
\partial x6
\biggr) 2/15
.
Оператор \varphi \omega ,p
\biggl(
i
\partial
\partial x
\biggr)
природно називати оператором дробового диференцiювання.
3. Простори узагальнених функцiй типу \bfitS \prime . Простори типу S (простори S\alpha , S
\beta , S\beta
\alpha )
називатимемо далi просторами основних функцiй.
Символом S\prime
\alpha ((S\beta )\prime , (S\beta
\alpha )\prime ) позначимо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв
на S\alpha ( S\beta , S\beta
\alpha ) зi слабкою збiжнiстю. Елементи просторiв S\prime
\alpha , (S\beta )\prime , (S\beta
\alpha )\prime називатимемо
узагальненими функцiями типу S\prime . Якщо f — узагальнена функцiя типу S\prime , то узагальненою
функцiєю типу S\prime є кожна похiдна f (p), p \in \BbbN , де f (p) визначається за допомогою формули
\langle f (p), \psi \rangle = ( - 1)p\langle f, \psi (p)\rangle
для довiльної основної функцiї \psi .
Якщо g — мультиплiкатор у просторi основних функцiй, f — узагальнена функцiя типу S\prime ,
то gf також узагальнена функцiя типу S\prime , яка визначається формулою
\langle gf, \psi \rangle := \langle f, g\psi \rangle
для довiльної основної функцiї \psi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 765
Оскiльки в просторах типу S визначено операцiю зсуву Tx, то згортку узагальненої функцiї
f з основною функцiєю \psi задамо формулою
(f \ast \psi )(x) := \langle f\xi , T - x
\v \psi (\xi )\rangle \equiv \langle f\xi , \psi (x - \xi )\rangle , \v \psi (\xi ) := \psi ( - \xi )
(iндекс \xi у f\xi означає, що функцiонал f дiє на основну функцiю T - x
\v \psi (\xi ) як функцiю аргументу
\xi ). Iз властивостi нескiнченної диференцiйовностi операцiї зсуву аргументу у просторах типу
S випливає, що згортка f \ast \psi є звичайною нескiнченно диференцiйовною на \BbbR функцiєю.
Перетворення Фур’є узагальненої функцiї f \in S\prime
\alpha означимо за допомогою спiввiдношення
\langle F [f ], \psi \rangle := \langle f, F [\psi ]\rangle \forall \psi \in S\alpha .
Iз наведеного означення випливає, що F [f ] \in (S\alpha )\prime . Аналогiчно, F [(S\beta )\prime ] = S\prime
\beta , F [(S
\beta
\alpha )\prime ] =
(S\alpha
\beta )
\prime .
Нехай f \in S\prime
\alpha . Якщо f \ast \psi \in S\alpha \forall \psi \in S\alpha i зi спiввiдношення \psi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty за
топологiєю простору S\alpha випливає, що f \ast \psi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty за топологiєю простору S\alpha ,
то функцiонал f називається згортувачем у просторi S\alpha . Аналогiчно визначається згортувач у
просторах S\beta , S\beta
\alpha . Наприклад, \delta -функцiя Дiрака (\langle \delta , \psi \rangle := \psi (0)) — згортувач у просторах типу
S, оскiльки (\delta \ast \psi )(x) = \langle \delta \xi , \psi (x - \xi )\rangle = \psi (x) для довiльної основної функцiї \psi .
Теорема 2. Якщо узагальнена функцiя f — згортувач у просторi S\alpha (згортувач у просто-
рах S\beta , S\beta
\alpha ), то правильною є формула
F [f \ast \psi ] = F [f ]F [\psi ].
Доведення. Нехай, наприклад, узагальнена функцiя f — згортувач у просторi S\alpha , тобто
f \ast \psi \in S\alpha для довiльної функцiї \psi \in S\alpha . Використовуючи означення перетворення Фур’є
узагальненої функцiї з простору S\prime
\alpha з основною та означення згортки узагальненої функцiї з
основною, записуємо такi спiввiдношення:
\forall \gamma \in S\alpha : \langle F [f \ast \psi ], \gamma \rangle =
+\infty \int
- \infty
(f \ast \psi )(x)F [\gamma ](x)dx = \langle f \ast \psi ,F [\gamma ]\rangle
=
+\infty \int
- \infty
\langle f\xi , \psi (x - \xi )\rangle F [\gamma ](x)dx =
\Biggl\langle
f\xi ,
+\infty \int
- \infty
\psi (x - \xi )F [\gamma ](x)dx
\Biggr\rangle
(8)
(тут f \ast \psi розумiємо як регулярну узагальнену функцiю).
Нехай
I(\xi ) :=
+\infty \int
- \infty
\psi (x - \xi )F [\gamma ](x)dx.
Тодi, на пiдставi теореми Фубiнi,
I(\xi ) =
+\infty \int
- \infty
\psi (x - \xi )
\left( +\infty \int
- \infty
\gamma (\sigma )ei\sigma xd\sigma
\right) dx =
+\infty \int
- \infty
+\infty \int
- \infty
\psi (x - \xi )\gamma (\sigma )ei\sigma xdx
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
766 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
=
+\infty \int
- \infty
+\infty \int
- \infty
\psi (t)\gamma (\sigma )ei\sigma tei\sigma \xi d\sigma dt =
+\infty \int
- \infty
\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )ei\sigma \xi d\sigma = F [F [\psi ] \cdot \gamma ](\xi ) \in S\alpha .
Отже,
\langle F [f \ast \psi ], \gamma \rangle = \langle f, F [F [\psi ]\gamma ]\rangle = \langle F [f ], F [\psi ]\gamma \rangle = \langle F [f ]F [\psi ], \gamma \rangle \forall \gamma \in S\alpha .
Звiдси отримуємо рiвнiсть F [f \ast \psi ] = F [f ]F [\psi ].
Залишилось обґрунтувати коректнiсть спiввiдношень (8). Введемо позначення
Ir(\xi ) :=
r\int
- r
\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )ei\sigma \xi d\sigma , r > 0.
Для доведення (8) достатньо встановити, що Ir(\xi ) \rightarrow I(\xi ) при r \rightarrow +\infty у просторi S\alpha , тобто
\alpha r(\xi ) := I(\xi ) - Ir(\xi ) \rightarrow 0 при r \rightarrow +\infty за топологiєю простору S\alpha . Це означає, що: 1) сiм’я
функцiй \{ \alpha (n)
r (\xi ), r > 0\} , n \in \BbbZ +, збiгається до нуля при r \rightarrow +\infty рiвномiрно на кожному
вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR ; 2) | \alpha (n)
r (\xi )| \leq cne
- a| \xi | 1/\alpha , n \in \BbbZ +, де сталi cn, a > 0 не залежать вiд r.
Iнтеграл
+\infty \int
- \infty
Dn
\xi (\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )e
i\sigma \xi )d\sigma =
+\infty \int
- \infty
(i\sigma )n\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )ei\sigma \xi d\sigma
збiгається рiвномiрно щодо \xi , оскiльки
\forall \xi \in \BbbR : | Dn
\xi (\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )e
i\sigma \xi )| \leq | \sigma n\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )| , \sigma \in \BbbR ,
+\infty \int
- \infty
| \sigma n\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )| d\sigma < +\infty
(бо \sigma n\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma ) \in S\alpha при кожному n \in \BbbZ +). Тодi
| \alpha (n)
r (\xi )| \leq
\int
| \sigma | \geq r
| \sigma n\gamma (\sigma )F [\psi ](\sigma )| d\sigma \rightarrow 0, r \rightarrow +\infty ,
рiвномiрно по \xi як залишок збiжного iнтеграла. Отже, умова 1 виконується.
Перевiримо виконання умови 2. Оскiльки
Dn
\xi \alpha r(\xi ) = Dn
\xi I(\xi ) - Dn
\xi Ir(\xi ),
то
| Dn
\xi \alpha r(\xi )| \leq | Dn
\xi I(\xi )| + | Dn
\xi Ir(\xi )| .
Розглянемо функцiї
Dn
\xi Ir,+(\xi ) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(Dn
\xi Ir(\xi ), 0), Dn
\xi Ir, - (\xi ) := - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Dn
\xi Ir(\xi ), 0),
якi є невiд’ємними, i врахуємо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 767
| Dn
\xi Ir(\xi )| = Dn
\xi Ir,+(\xi ) +Dn
\xi Ir, - (\xi ) \leq 2| Dn
\xi I(\xi )| .
Тодi
| Dn
\xi \alpha r(\xi )| \leq 3| Dn
\xi I(\xi )| \leq 3| Dn
\xi F [F [\psi ] \cdot \gamma ]| \forall r > 0. (9)
Оскiльки F [F [\psi ] \cdot \gamma ] \in S\alpha \forall \psi \in S\alpha , \gamma \in S\alpha , то звiдси та з (9) випливає оцiнка
| Dn
\xi \alpha r(\xi )| \leq 3cne
- a| \xi | 1/\alpha \forall n \in \BbbZ +, \xi \in \BbbR ,
де сталi cn, a > 0 не залежать вiд r. Таким чином, умова 2 також виконується. Iншi випадки
розглядаються аналогiчно.
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 1. Якщо узагальнена функцiя f — згортувач у просторах типу S, то її перетво-
рення Фур’є — мультиплiкатор у вiдповiдних просторах F [S].
4. Багатоточкова за часом задача. Розглянемо еволюцiйне рiвняння
\partial u(t, x)/\partial t+Au(t, x) = 0, (t, x) \in (0, T ]\times \BbbR , (10)
де
A = \varphi (i\partial /\partial x))| S\alpha = F - 1[\varphi (\sigma )F ], \varphi \in H\alpha ,
— оператор, побудований у п. 2. Пiд розв’язком рiвняння (10) розумiємо функцiю u(t, x),
(t, x) \in \Omega , яка має такi властивостi: 1) u(t, \cdot ) \in C1(0, T ] при кожному x \in \BbbR ; 2) u(\cdot , x) \in S1/\alpha
при кожному t \in (0, T ]; 3) u(t, x), (t, x) \in \Omega , задовольняє рiвняння (10).
Для рiвняння (10) сформулюємо нелокальну багатоточкову за часом задачу: знайти розв’язок
рiвняння (10), який задовольняє умову
\mu u(0, x) - \mu 1u(t1, x) - . . . - \mu mu(tm, x) = f(x), x \in \BbbR , f \in S1/\alpha , (11)
де u(0, x) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +0 u(t, x), x \in \BbbR , \{ \mu , \mu 1, . . . , \mu m\} \subset (0,+\infty ), \{ t1, . . . , tm\} \subset (0, T ], m \in \BbbN
— фiксованi числа, 0 < t1 < t2 < . . . < tm \leq T, \mu >
\sum m
k=1
\mu k.
Розв’язок задачi (10), (11) шукаємо за допомогою перетворення Фур’є, ввiвши позначення
F [u(t, \cdot )] = v(t, \cdot ). Для функцiї v: \Omega \rightarrow \BbbR отримаємо задачу з параметром \sigma :
dv(t, \sigma )
dt
+ \varphi (\sigma )v(t, \sigma ) = 0, (t, \sigma ) \in \Omega , (12)
\mu v(0, \sigma ) -
m\sum
k=1
\mu kv(tk, \sigma ) = \~f(\sigma ), \sigma \in \BbbR , (13)
де \~f(\sigma ) = F [f ](\sigma ). Загальний розв’язок рiвняння (12) має вигляд
v(t, \sigma ) = c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t\varphi (\sigma )\} , (t, \sigma ) \in \Omega , (14)
де c = c(\sigma ) визначається з умови (13). Пiдставляючи (14) у (13), одержуємо
c = \~f(\sigma )
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - tk\varphi (\sigma )\}
\Biggr) - 1
, \sigma \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
768 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
Введемо позначення: G(t, x) = F - 1[Q(t, \sigma )], Q(t, \sigma ) = Q1(t, \sigma )Q2(\sigma ), Q1(t, \sigma ) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - t\varphi (\sigma )\} , Q2(\sigma ) =
\Bigl(
\mu -
\sum m
k=1
\mu k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - tk\varphi (\sigma )\}
\Bigr) - 1
.
Далi, мiркуючи формально, приходимо до спiввiдношення
u(t, x) =
\int
\BbbR
G(t, x - \xi )f(\xi )d\xi = G(t, x) \ast f(x).
Справдi,
u(t, x) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )
\left( \int
\BbbR
f(\xi )ei\sigma \xi d\xi
\right) e - i\sigma xd\sigma
=
\int
\BbbR
\left( (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )e - i\sigma (x - \xi )d\sigma
\right) f(\xi )d\xi
=
\int
\BbbR
G(t, x - \xi )f(\xi )d\xi = G(t, x) \ast f(x). (15)
Коректнiсть проведених тут перетворень, а отже правильнiсть формули (15), випливає з
властивостей функцiї Q, якi наведемо нижче.
Лема 1. Для похiдних функцiї Q1(t, \sigma ), (t, \sigma ) \in \Omega , правильними є оцiнки
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq cs \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - at| \sigma | \alpha \} , s \in \BbbN , (16)
де a > 0, cs = cs(t) > 0.
Доведення. Для оцiнювання похiдних функцiї Q1(t, \sigma ) скористаємось формулою Фаа де
Бруно диференцiювання складеної функцiї
Ds
\sigma F (g(\sigma ))=
s\sum
p=1
dpF (g)
dgp
\sum s!
p1! . . . pl!
\biggl(
d
d\sigma
g(\sigma )
\biggr) p1
. . .
\biggl(
1
l!
dl
d\sigma l
g(\sigma )
\biggr) pl
(17)
(знак суми поширюється на всi розв’язки в цiлих невiд’ємних числах рiвняння p1+2p2+ . . .+
lpl = s, p1 + p2 + . . .+ pl = p), де покладемо F = eg, g = - t\varphi (\sigma ). Оскiльки \varphi \in H\alpha , то \varphi —
мультиплiкатор у просторi S1/\alpha , тобто \varphi задовольняє умову
\forall \varepsilon > 0 \forall s \in \BbbZ + \forall \sigma \in \BbbR : | Ds
\sigma \varphi (\sigma )| \leq cs\varepsilon e
\varepsilon | \sigma | \alpha . (18)
Тодi
Ds
\sigma e
- t\varphi (\sigma ) = e - t\varphi (\sigma )
s\sum
p=1
\sum s!
p1! . . . pl!
\Lambda , s \in \BbbN ,
де символом \Lambda позначено вираз
\Lambda :=
\biggl(
d
d\sigma
( - t\varphi (\sigma ))
\biggr) p1\biggl( 1
2!
d2
d\sigma 2
( - t\varphi (\sigma ))
\biggr) p2
. . .
\biggl(
1
l!
dl
d\sigma l
( - t\varphi (\sigma ))
\biggr) pl
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 769
Враховуючи (18) i нерiвнiсть \varphi (\sigma ) \geq a1| \sigma | \alpha , \sigma \in \BbbR , одержуємо
| \Lambda | \leq cp11\varepsilon . . . c
pl
l\varepsilon e
\varepsilon (p1+...+pl)| \sigma | \alpha tp1+...+pl \leq \~css\varepsilon
\~T se\varepsilon s| \sigma |
\alpha
,
де \~cs\varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, c1\varepsilon , . . . , cs\varepsilon \} , \~T = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, T\} . Тодi
| Ds
\sigma e
- t\varphi (\sigma )| \leq \~bs\varepsilon e
- a1t| \sigma | \alpha +\varepsilon s| \sigma | \alpha .
Беручи \varepsilon =
a1t
2s
, отримуємо оцiнку
| Ds
\sigma e
- t\varphi (\sigma )| \leq \beta se
- at| \sigma | \alpha , s \in \BbbN ,
де a = a1/2, \beta s = \beta s(t) > 0.
Лему 1 доведено.
З оцiнок (16) випливає, що Q1(t, \cdot ) \in S1/\alpha при кожному t \in (0, T ].
Лема 2. Функцiя Q2 — мультиплiкатор у просторi S1/\alpha .
Доведення. Для встановлення твердження проведемо оцiнювання похiдних функцiї Q2.
Для цього знову скористаємося формулою (17), в якiй покладемо F = \varphi - 1, \varphi = R, де
R(\sigma ) = \mu -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - tk\varphi (\sigma )\} = \mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \sigma ).
Тодi Q2(\sigma ) = F (\varphi ) = R - 1 i
| Ds
\sigma Q2(\sigma )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s\sum
p=1
dpR - 1
dRp
\sum s!
p1! . . . pl!
\biggl(
d
d\sigma
R(\sigma )
\biggr) p1
. . .
\biggl(
1
l!
dl
d\sigma l
R(\sigma )
\biggr) pl
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , s \in \BbbN .
Враховуючи оцiнки (16), одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1j! djd\sigma jR(\sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
j!
m\sum
k=1
\mu k| Dj
\sigma e
- tk\varphi (\sigma )| \leq
m\sum
k=1
\mu kcje
- atk| \sigma | \alpha \leq \beta 0\beta s, j \in \{ 1, . . . , l\} ,
дe \beta s = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, c1, . . . , cs\} , \beta 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
1,
\sum m
k=1
\mu k
\Bigr\}
. Тодi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
1!
d
d\sigma
R(\sigma )
\biggr) p1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
2!
d2
d\sigma 2
R(\sigma )
\biggr) p2\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . . . \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
l!
dl
d\sigma l
R(\sigma )
\biggr) pl\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq (\beta 0\beta s)
p1 . . . (\beta 0\beta s)
pl \leq \beta s0\beta
s
s .
Крiм того,
dpR - 1
dRp
= ( - 1)pp!R - (p+1),
R - 1(\sigma ) \leq
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k\}
\Biggr) - 1
\leq \gamma 0 > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
770 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК\Bigl(
тут враховано, що \mu >
\sum m
k=1
\mu k
\Bigr)
. Отже,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dpR - 1
dRp
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \gamma p+1
0 p!, | Ds
\sigma Q2(\sigma )| \leq s!
s\sum
p=1
\gamma p+1
0 p!\beta s0\beta
s
s \equiv ds > 0, s \in \BbbN .
З останньої нерiвностi, а також обмеженостi функцiї Q2 на \BbbR випливає, що Q2 — мультиплi-
катор у просторi S1/\alpha .
Наслiдок 2. При кожному t \in (0, T ] функцiя Q(t, \sigma ) = Q1(t, \sigma )Q2(\sigma ), \sigma \in \BbbR , є елементом
простору S1/\alpha , при цьому справджуються оцiнки
| Ds
\sigma Q(t, \sigma )| \leq \~cs \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \~at| \sigma | \alpha \} , (t, \sigma ) \in \Omega ,
де \~a > 0, \~cs = \~cs(t) > 0.
Враховуючи властивостi перетворення Фур’є (прямого та оберненого) у просторах типу S,
переконуємося, що функцiя G(t, x) = F - 1[Q(t, \cdot )] є елементом простору S1/\alpha = F - 1[S1/\alpha ]
при кожному t \in (0, T ]. Наведемо ще деякi властивостi функцiї G.
Лема 3. Функцiя G(t, \cdot ), t \in (0, T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями в
просторi S1/\alpha , диференцiйовна по t.
Доведення. З властивостi неперервностi перетворення Фур’є випливає, що для встановлен-
ня твердження достатньо показати, що функцiя F [G(t, \cdot )] = Q(t, \cdot ), як абстрактна функцiя
параметра t iз значеннями у просторi S1/\alpha , диференцiйовна по t. Iншими словами, потрiбно
довести, що граничне спiввiдношення
\Phi \Delta t(\sigma ) :=
1
\Delta t
[Q(t+\Delta t, \sigma ) - Q(t, \sigma )] \rightarrow \partial
\partial t
Q(t, \sigma ), \Delta t\rightarrow 0,
виконується в тому розумiннi, що:
1) Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) - \rightarrow Ds
\sigma ( - \varphi (\sigma )Q(t, \sigma )), \Delta t\rightarrow 0, рiвномiрно на довiльному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR ;
2) | Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )| \leq \=cs \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \=a| \sigma | \alpha \} , s \in \BbbZ +, де сталi \=cs, \=a > 0 не залежать вiд \Delta t, якщо \Delta t
достатньо мале.
Функцiя Q(t, \sigma ) диференцiйовна по t у звичайному розумiннi, тому за теоремою Лагранжа
про скiнченнi прирости
\Phi \Delta t(\sigma ) = - \varphi (\sigma )e - (t+\theta \Delta t)\varphi (\sigma ), 0 < \theta < 1,
\Psi \Delta t(\sigma ) := \Phi \Delta t(\sigma ) -
\partial
\partial t
Q(t, \sigma ) = - \varphi (\sigma )[e - (t+\theta \Delta t)\varphi (\sigma ) - e - t\varphi (\sigma )]
= \varphi 2(\sigma )e - (t+\theta 1\Delta t)\varphi (\sigma )\theta 1\Delta t, 0 < \theta 1 < 1.
Тодi
Ds
\sigma \Psi \Delta t(\sigma ) =
s\sum
k=0
Ck
sD
k
\sigma \varphi
2(\sigma )Ds - k
\sigma e - (t+\theta 1\Delta t)\varphi (\sigma )\theta 1\Delta t,
| Ds
\sigma \Psi \Delta t(\sigma )| \leq 2
s\sum
k=0
Ck
s
\Biggl(
k - 1\sum
i=0
Ci
k - 1| Di
\sigma \varphi (\sigma )| Dk - i
\sigma \varphi (\sigma )
\Biggr) (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 771
\times | Ds - k
\sigma e - (t+\theta 1\Delta t)\varphi (\sigma )| | \Delta t| .
Оскiльки, за умовою, \varphi \in H\alpha , то
\forall \varepsilon > 0 \forall s \in \BbbZ + \exists cs\varepsilon > 0 \forall \sigma \in \BbbR : | Ds
\sigma \varphi (\sigma )| \leq cs\varepsilon e
\varepsilon | \sigma | \alpha . (20)
З (19), (20) та оцiнок (16), якi задовольняють похiднi функцiї Q(t, \sigma ), випливає, що Ds
\sigma \Psi \Delta t(\sigma ) \rightarrow
0 при \Delta t \rightarrow 0 рiвномiрно на довiльному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR , що рiвносильно виконанню
умови 1.
Аналогiчно, з нерiвностi
| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )| \leq
s\sum
k=0
Ck
s | Dk
\sigma \varphi (\sigma )| | Ds - k
\sigma e - (t+\theta \Delta t)\varphi (\sigma )|
випливає, що умова 2 також виконується.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Правильною є формула
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = f \ast \partial G(t, \cdot )
\partial t
, f \in (S1/\alpha )\prime , t \in (0, T ].
Доведення. За означенням згортки узагальненої функцiї з основною
f \ast G(t, \cdot ) = \langle f\xi , T - x
\v G(t, \xi )\rangle , \v G(t, \xi ) = G(t, - \xi ).
Тодi
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
[(f \ast G(t+\Delta t, \cdot )) - (f \ast G(t, \cdot ))]
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
\biggl\langle
f\xi ,
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x
\v G(t, \xi )]
\biggr\rangle
.
На пiдставi леми 3 граничне спiввiдношення
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x
\v G(t, \xi )] - \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \xi )
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору S1/\alpha . Тому, з урахуванням неперервностi
функцiонала f,
\partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) =
\biggl\langle
f\xi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
[T - x
\v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x
\v G(t, \xi )]
\biggr\rangle
=
\biggl\langle
f\xi ,
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
=
\biggl\langle
f\xi , T - x
\partial
\partial t
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
= f \ast \partial
\partial t
G(t, \cdot ),
що й потрiбно було довести.
Лема 5. У просторi (S1/\alpha )\prime виконуються такi спiввiдношення:
1) G(t, \cdot ) \rightarrow F - 1[Q2], t\rightarrow +0;
2) \mu G(t, \cdot ) -
\sum m
k=1
\mu kG(tk, \cdot ) \rightarrow \delta , t\rightarrow +0 (тут \delta — дельта-функцiя Дiрака).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
772 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
Доведення. 1. З огляду на властивiсть неперервностi перетворення Фур’є (прямого та обер-
неного) у просторах типу S\prime , для встановлення твердження достатньо показати, що
F [G(t, \cdot )] = Q1(t, \cdot )Q2(\cdot ) \rightarrow Q2(\cdot ), t\rightarrow +0,
у просторi (S1/\alpha )
\prime . Для цього вiзьмемо довiльну функцiю \psi \in S1/\alpha i, скориставшись тим, що
Q2 — мультиплiкатор у просторi S1/\alpha , а також теоремою Лебега про граничний перехiд пiд
знаком iнтеграла Лебега, отримаємо
\langle Q1(t, \cdot )Q2(\cdot ), \psi \rangle = \langle Q1(t, \cdot ), Q2(\cdot )\psi (\cdot )\rangle
=
\int
\BbbR
Q1(t, \sigma )Q2(\sigma )\psi (\sigma )d\sigma - \rightarrow
t\rightarrow +0
\int
\BbbR
Q2(\sigma )\psi (\sigma )d\sigma = \langle 1, Q2(\cdot )\psi (\cdot )\rangle = \langle Q2, \psi \rangle ,
звiдси й випливає твердження 1 леми 5.
2. З урахуванням твердження 1 маємо
\mu G(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu kG(tk, \cdot ) - \rightarrow
t\rightarrow +0
\mu F - 1[Q2] -
m\sum
k=1
\mu kG(tk, \cdot )
= \mu F - 1[Q2] -
m\sum
k=1
\mu kF
- 1[Ql(tk, \cdot )Q2(\cdot )]
= F - 1
\Biggl[
\mu Q2 -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )Q2(\cdot )
\Biggr]
= F - 1
\Biggl[ \Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr)
Q2(\cdot )
\Biggr]
= F - 1
\left[ \Biggl( \mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr) \Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr) - 1
\right] = F - 1[1] = \delta .
Отже, твердження 2 виконується у просторi (S1/\alpha )\prime .
Лему 5 доведено.
Зауваження 1. Якщо \mu = 1, \mu 1 = . . . = \mu m = 0, то задача (10), (11) — задача Кошi для
рiвняння (10). У цьому випадку Q2(\sigma ) = 1, \sigma \in \BbbR , G(t, \cdot ) = F - 1[e - t\varphi (\sigma )] i G(t, \cdot ) \rightarrow F - 1[1] = \delta
у просторi (S1/\alpha )\prime .
Лема 6. Нехай
\omega (t, x) = f \ast G(t, x), f \in (S
1/\alpha
\ast )\prime , (t, x) \in \Omega
(тут (S
1/\alpha
\ast )\prime — клас згортувачiв у просторi S1/\alpha ). Тодi у просторi (S1/\alpha )\prime виконується гра-
ничне спiввiдношення
\mu \omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k\omega (tk, \cdot ) \rightarrow f, t\rightarrow +0.
Доведення. Для встановлення твердження достатньо показати, що граничне спiввiдношення
F
\Biggl[
\mu \omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k\omega (tk, \cdot )
\Biggr]
\rightarrow F [f ], t\rightarrow +0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 773
виконується у просторi (S1/\alpha )
\prime = F [(S1/\alpha )\prime ]. Згiдно з умовою, узагальнена функцiя f — згор-
тувач у просторi S1/\alpha , G(t, \cdot ) \in S1/\alpha при кожному t \in (0, T ], тому
F [\omega (t, \cdot )] = F [f \ast G(t, \cdot )] = F [f ]Q(t, \cdot ).
Оскiльки Q(t, \cdot ) \rightarrow Q2(\cdot ) при t \rightarrow +0 у просторi S\prime
1/\alpha (див. доведення твердження 1 ле-
ми 5), а F [f ] — мультиплiкатор у просторi S1/\alpha , то в просторi S\prime
1/\alpha виконується граничне
спiввiдношення
F
\Biggl[
\mu \omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k\omega (tk, \cdot )
\Biggr]
= F [f ]
\Biggl(
\mu Q(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu kQ(tk, \cdot )
\Biggr)
- \rightarrow
t\rightarrow +0
F [f ]
\Biggl(
\mu Q2(\cdot ) -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )Q2(\cdot )
\Biggr)
= F [f ]
\Biggl( \Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr)
Q2(\cdot )
\Biggr)
= F [f ]
\left[ \Biggl( \mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr) \Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kQ1(tk, \cdot )
\Biggr) - 1
\right] = F [f ].
Лему 6 доведено.
Функцiя \omega (t, x), (t, x) \in \Omega , є розв’язком рiвняння (10). Справдi, оскiльки f — згортувач у
просторi S1/\alpha , то
A\omega (t, \cdot ) = F - 1[\varphi (\sigma )F [f \ast G(t, \cdot )]] = F - 1[\varphi (\sigma )F [f ]Q(t, \cdot )]
= - F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \cdot )F [f ]
\biggr]
= - F - 1
\biggl[
F
\biggl[
\partial
\partial t
G(t, \cdot )
\biggr]
F [f ]
\biggr]
= - F - 1
\biggl[
F
\biggl[
f \ast \partial
\partial t
G(t, \cdot )
\biggr] \biggr]
= - f \ast \partial
\partial t
G(t, \cdot ).
З iншого боку (див. лему 4),
\partial
\partial t
\omega (t, \cdot ) = \partial
\partial t
(f \ast G(t, \cdot )) = f \ast \partial
\partial t
G(t, \cdot ).
Звiдси випливає, що функцiя \omega (t, x), (t, x) \in \Omega , задовольняє рiвняння (10).
З леми 6 випливає, що для рiвняння (10) нелокальну багатоточкову за часом задачу можна
сформулювати так: знайти розв’язок рiвняння (10), який задовольняє умову
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
u(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu ku(tk, \cdot ) = f, f \in (S
1/\alpha
\ast )\prime , (21)
де граничне спiввiдношення (21) розглядається в просторi (S1/\alpha )\prime (обмеження на параметри \mu ,
\mu 1, . . . , \mu m, t1, . . . , tm такi ж, як i у випадку задачi (10), (11)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
774 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
Iз доведеного ранiше випливає, що функцiя u(t, x) = f \ast G(t, x), (t, x) \in \Omega , є розв’язком
рiвняння (10). Якщо f = \delta \in (S
1/\alpha
\ast )\prime , то f \ast G(t, x) = G(t, x), тобто G(t, x) також є розв’язком
рiвняння (10). Урахувавши цей факт, а також спiввiдношення 2 з леми 5, функцiю G(t, x)
називатимемо фундаментальним розв’язком задачi (10), (21).
Теорема 3. Задача (10), (21) коректно розв’язна, розв’язок дається формулою
u(t, x) = f \ast G(t, x), (t, x) \in \Omega .
Доведення. Функцiя f \ast G(t, x) задовольняє рiвняння (10). Розв’язок неперервно залежить
вiд f в умовi (21) у тому розумiннi, що якщо \{ f, fn, n \geq 1\} \subset (S
1/\alpha
\ast )\prime i fn \rightarrow f при n \rightarrow \infty у
просторi (S1/\alpha )\prime , то
un = fn \ast G(t, x) \rightarrow u = f \ast G(t, x), n\rightarrow \infty ,
у просторi (S1/\alpha )\prime . Ця властивiсть випливає з властивостi неперервностi згортки.
Переконаємося в тому, що задача (10), (21) має єдиний розв’язок. Для цього розглянемо
задачу Кошi
\partial v
\partial t
= A\ast v, (t, x) \in [0, t0)\times \BbbR , 0 \leq t < t0 \leq T, (22)
v(t, \cdot )| t=t0 = \psi , \psi \in (S
1/\alpha
\ast )\prime , (23)
де A\ast — звуження спряженого оператора до оператора A на простiр S1/\alpha \subset (S
1/\alpha
\ast )\prime . Умову
(23) розумiємо в слабкому сенсi. Задача Кошi (22), (23) є розв’язною при кожному t \in [0, t0).
Нехай Qt
t0 : (S1/\alpha
\ast )\prime \rightarrow S1/\alpha — оператор, який зiставляє функцiї \psi \in (S
1/\alpha
\ast )\prime розв’язок задачi
(22), (23). Оператор Qt
t0 є лiнiйним i неперервним, вiн визначений для довiльних 0 \leq t < t0 \leq T
i має такi властивостi:
\forall \psi \in (S
1/\alpha
\ast )\prime :
dQt
t0\psi
dt
= A\ast Qt
t0\psi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
Qt
t0\psi = \psi
(границя розглядається у просторi (S1/\alpha )\prime ).
Розв’язок u(t, x), (t, x) \in \Omega , розумiтимемо як регулярний функцiонал iз простору (S
1/\alpha
\ast )\prime \supset
S1/\alpha . Доведемо, що задача (10), (21) може мати лише єдиний розв’язок у просторi (S1/\alpha
\ast )\prime . Для
цього достатньо встановити, що єдиним розв’язком рiвняння (10) при нульовiй початковiй
умовi може бути лише функцiонал u(t, x) = 0 при кожному t \in (0, T ]. Застосуємо функцiонал
u до функцiї Qt
t0\psi , де \psi — довiльний елемент з простору S1/\alpha \subset (S
1/\alpha
\ast )\prime . Диференцiюючи по
t i використовуючи рiвняння (10), (22), отримуємо
\partial
\partial t
\bigl\langle
u(t, \cdot ), Qt
t0\psi
\bigr\rangle
=
\biggl\langle
\partial u
\partial t
,Qt
t0\psi
\biggr\rangle
+
\biggl\langle
u,
\partial Qt
t0\psi
\partial t
\biggr\rangle
= \langle - Au,Qt
t0\psi \rangle + \langle u,A\ast Qt
t0\psi \rangle
= \langle - Au,Qt
t0\psi \rangle + \langle Au,Qt
t0\psi \rangle = 0, t \in [0, t0).
Звiдси випливає, що \langle u(t, \cdot ), Qt
t0\psi \rangle є сталою величиною. Iз властивостей абстрактних функцiй
випливає спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
ЕВОЛЮЦIЙНI ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ . . . 775
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow t0
\langle u(t, \cdot ), Qt
t0\psi \rangle = \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = c0 \equiv c0(t0)
у довiльнiй точцi t0 \in (0, T ]. Отже, якщо в (21) f = 0, то
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle u(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
k=1
\mu k\langle u(tk, \cdot ), \psi \rangle = \mu c0 -
m\sum
k=1
\mu kck = 0.
Звiдси випливає, що c0 = c1 = . . . = cm = 0.
Справдi, нехай це не так. Наприклад, c0 \not = 0. Тодi маємо спiввiдношення
\mu -
m\sum
k=1
\mu k\beta k = 0,
де \beta k = ck/c0, тобто \mu =
\sum m
k=1
\mu k\beta k. Оскiльки, за умовою, \mu >
\sum m
k=1
\mu k, де \mu 1, . . . , \mu m
фiксованi, то одержана суперечнiсть доводить, що c0 = 0. Аналогiчно переконуємося в тому,
що c1 = . . . = cm = 0. Таким чином, \langle u(t0, \cdot ), \psi \rangle = 0 для довiльного \psi \in S1/\alpha , тобто u(t0, \cdot ) —
нульовий функцiонал iз простору (S
1/\alpha
\ast )\prime . Оскiльки t0 \in (0, T ] i t0 вибрано довiльним чином,
то u(t, x) = 0 для всiх t \in (0, T ].
Теорему 3 доведено.
Наведемо приклад узагальненої функцiї з простору (S
1/\alpha
\ast )\prime , де 1/\alpha > 1. Нехай
f\gamma (x) =
\Biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ | x| - \gamma \} , x \in [ - 1, 1] \setminus \{ 0\} , \gamma > 0,
0, | x| > 1.
Вiдомо [13], що f допускає регуляризацiю у просторi (S\beta )\prime , де 1 < \beta < 1 + 1/\gamma , тобто f є
регулярною узагальненою функцiєю з простору (S\beta )\prime . Якщо покласти \beta = 1/\alpha , то
1
\gamma
> \beta - 1 =
1
\alpha
- 1 =
1 - \alpha
\alpha
.
Отже, якщо \gamma <
\alpha
1 - \alpha
, то f\gamma \in (S1/\alpha )\prime . Для прикладу вiзьмемо \alpha = 1/2, тодi \gamma < 1. Отже,
функцiя
f1/2(x) =
\Biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ | x| - 1/2\} , x \in [ - 1, 1] \setminus \{ 0\} ,
0, | x| > 1,
породжує регулярний функцiонал з простору (S2)\prime . Оскiльки носiй (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f1/2) — вiдрiзок
[ - 1, 1], то f1/2 — фiнiтна узагальнена функцiя, а отже, f1/2 — згортувач у просторi S2, оскiль-
ки кожна фiнiтна функцiя з (S2)\prime є згортувачем у просторi S2. Ця властивiсть випливає iз
загального результату, який вiдноситься до теорiї досконалих просторiв [3, с. 173]: якщо \Phi
— досконалий простiр iз диференцiйовною операцiєю зсуву, то кожний фiнiтний функцiонал
є згортувачем у просторi \Phi . Фiнiтнi узагальненi функцiї утворюють досить широкий клас.
Зокрема, кожна обмежена замкнена множина F \subset \BbbR є носiєм деякої узагальненої функцiї
(див., наприклад, [6, с. 118]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
776 ВАСИЛЬ ГОРОДЕЦЬКИЙ, РОМАН ПЕТРИШИН, ОЛЬГА МАРТИНЮК
Висновки. Формального розширення класу рiвнянь з частинними похiдними параболiчного
типу можна домогтися, приєднавши до класу таких рiвнянь рiвняння з оператором \varphi (i\partial /\partial x),
побудованим за певними функцiями. Звуження таких операторiв на простори типу S (простори
S1/\alpha ) збiгається з псевдодиференцiальними операторами у таких просторах, побудованими
за функцiями \varphi — мультиплiкаторами у просторах типу S. Такий пiдхiд дозволяє ефективно
використовувати метод перетворення Фур’є для дослiдження багатоточкової за часом задачi
(зокрема, задачi Кошi) для еволюцiйних рiвнянь з операторами диференцiювання нескiнченного
порядку та операторами дробового диференцiювання i початковою функцiєю, яка може мати у
певнiй точцi особливiсть навiть „експоненцiального” характеру.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальна за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнте-
ресiв.
Лiтература
1. В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Параболiчнi псевдодиференцiальнi рiвняння з аналiтичними символами у
просторах типу S , Технодрук, Чернiвцi (2019).
2. В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Задача Кошi та нелокальнi задачi для еволюцiйних рiвнянь першого
порядку за часовою змiнною, Видавничий дiм „Родовiд”, Чернiвцi (2015).
3. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, Москва (1958).
4. В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений, Наук. думка,
Киев (1984).
5. М. Л. Горбачук, П. И. Дудников, О начальных данных задачи Коши для параболических уравнений, при которых
решения бесконечно дифференцируемы, Докл. АН УССР. Сер. А, № 4, 9 – 11 (1981).
6. В. В. Городецький, Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу, Рута, Чернiвцi
(1998).
7. В. В. Городецький, Множини початкових значень гладких розв’язкiв диференцiально-операторних рiвнянь
параболiчного типу, Рута, Чернiвцi (1998).
8. В. В. Городецький, Еволюцiйнi рiвняння в злiченно нормованих просторах нескiнченно диференцiйовних функ-
цiй, Рута, Чернiвцi (2008).
9. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, Москва
(1958).
10. Б. Л. Гуревич, Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-
разностных схем, Докл. АН СССР, 99, № 6, 893 – 896 (1954).
11. В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида, П. П. Настасиев, Методы решения задач по функциональному анализу,
Высш. шк., Киев (1990).
12. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения, Наука и техника, Минск (1987).
13. В. В. Городецький, Я. М. Дрiнь, М. I. Нагнибiда, Узагальненi функцiї. Методи розв’язування задач, Книги-ХХI,
Чернiвцi (2011).
Одержано 26.02.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-7443 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:37Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ae/00ee34fdfc8dc2e13bf9dc566c238fae.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-74432023-07-01T15:13:08Z Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces Еволюційні псевдодиференціальні рівняння з гладкими символами у просторах типу $S$ Horodets’kyi, V. Petryshyn, R. Martynyuk, O. Городецький, Василь Петришин, Роман Мартинюк, Ольга Мартинюк, Ольга Василівна псевдодиференціальний оператор; узагальнені функції; нелокальна багатоточкова за часом задача; коректна розв'язність; фундаментальний розв'язок; рівняння параболічного типу pseudo-differential operator; generalized functions; non-local multipoint in time problem; correct solvability; fundamental solution; parabolic equation UDC 517.98 We study an evolutionary equation with an operator $\varphi(i \partial /\partial x),$ where $\varphi$ is a smooth function&nbsp; satisfying certain conditions.&nbsp;&nbsp;As a special case of this equation, we get a partial differential equation of parabolic type with derivatives of finite and infinite orders and a certain equation with operators of fractional differentiation.&nbsp;It is established that the restriction of the operator $\varphi(i \partial / \partial x)$ to some spaces of type $S$ coincides with a pseudodifferential operator constructed according to the function $\varphi$ as a symbol.&nbsp;We establish the correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for&nbsp; an equation of this kind with an initial function, which is an element of the space of generalized functions of ultradistribution type.&nbsp;The properties of the fundamental solution to this problem are analyzed. УДК 517.98 Досліджується еволюційне рівняння з оператором $\varphi(i \partial /\partial x),$ де $\varphi$ - гладка функція, яка задовольняє певні умови. Таке рівняння, як частковий випадок, містить рівняння з частинними похідними параболічного типу скінченного та нескінченного порядків, рівняння з деякими операторами дробового диференціювання. Встановлено, що звуження оператора $\varphi(i \partial / \partial x)$ на певні простори типу $S$ збігається з псевдодиференціальним оператором, побудованим за функцією $\varphi$ як за символом. Доведено коректну розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі для такого рівняння з початковою функцією, яка є елементом простору узагальнених функцій типу ультрарозподілів. Досліджено властивості фундаментального розв'язку такої задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-06-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7443 10.37863/umzh.v75i6.7443 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 6 (2023); 753 - 776 Український математичний журнал; Том 75 № 6 (2023); 753 - 776 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7443/9403 Copyright (c) 2023 Ольга Василівна Мартинюк, Василь Городецький, Роман Петришин |
| spellingShingle | Horodets’kyi, V. Petryshyn, R. Martynyuk, O. Городецький, Василь Петришин, Роман Мартинюк, Ольга Мартинюк, Ольга Василівна Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title | Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title_alt | Еволюційні псевдодиференціальні рівняння з гладкими символами у просторах типу $S$ |
| title_full | Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title_fullStr | Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title_full_unstemmed | Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title_short | Evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $S$-type spaces |
| title_sort | evolutionary pseudodifferential equations with smooth symbols in the $s$-type spaces |
| topic_facet | псевдодиференціальний оператор узагальнені функції нелокальна багатоточкова за часом задача коректна розв'язність фундаментальний розв'язок рівняння параболічного типу pseudo-differential operator generalized functions non-local multipoint in time problem correct solvability fundamental solution parabolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7443 |
| work_keys_str_mv | AT horodetskyiv evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT petryshynr evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT martynyuko evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT gorodecʹkijvasilʹ evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT petrišinroman evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT martinûkolʹga evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT martinûkolʹgavasilívna evolutionarypseudodifferentialequationswithsmoothsymbolsinthestypespaces AT horodetskyiv evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT petryshynr evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT martynyuko evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT gorodecʹkijvasilʹ evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT petrišinroman evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT martinûkolʹga evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus AT martinûkolʹgavasilívna evolûcíjnípsevdodiferencíalʹnírívnânnâzgladkimisimvolamiuprostorahtipus |