On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations
UDC 517.5 We consider the problem of local behavior of solutions of the Beltrami equations in arbitrary domains.  We have found sufficient conditions for the complex coefficient of the Beltrami equation guaranteeing the existence of its Hölder conti...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7464 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512679143145472 |
|---|---|
| author | Ryazanov, V. Salimov, R. Sevost’yanov, E. Рязанов, Володимир Салімов, Руслан Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_facet | Ryazanov, V. Salimov, R. Sevost’yanov, E. Рязанов, Володимир Салімов, Руслан Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_sort | Ryazanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-05-14T15:30:13Z |
| description |
UDC 517.5
We consider the problem of local behavior of solutions of the Beltrami equations in arbitrary domains.  We have found sufficient conditions for the complex coefficient of the Beltrami equation guaranteeing the existence of its Hölder continuous solution in an arbitrary domain.  These results can be used in the boundary-value problems for the Beltrami equation, as well as in the hydromechanics of strongly anisotropic and inhomogeneous media.
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i4.7464 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i4.7464
УДК 517.5
Володимир Рязанов (Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Слов’янськ Донецької обл.;
Черкаський нацiональний унiверситет iменi Богдана Хмельницького),
Руслан Салiмов (Iнститут математики НАН України, Київ),
Євген Севостьянов1 (Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка; Iнститут прикладної мате-
матики i механiки НАН України, Слов’янськ Донецької обл.)
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ
We consider the problem of local behavior of solutions of the Beltrami equations in arbitrary domains. We have found
sufficient conditions for the complex coefficient of the Beltrami equation guaranteeing the existence of its Hölder continuous
solution in an arbitrary domain. These results can be used in the boundary-value problems for the Beltrami equation, as
well as in the hydromechanics of strongly anisotropic and inhomogeneous media.
Розглядається задача про локальну поведiнку розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi в довiльних областях. Знайдено достатнi
умови на комплексний коефiцiєнт рiвняння Бельтрамi, що забезпечують iснування її розв’язку в довiльнiй областi,
який є в нiй неперервним за Гельдером. Цi результати можна застосовувати до крайових задач для рiвняння Бельтрамi
та в гiдромеханiцi в сильно анiзотропних i неоднорiдних середовищах.
1. Вступ. Нехай D — область комплексної площини \BbbC тобто, зв’язна вiдкрита пiдмножина \BbbC ,
i \mu : D \rightarrow \BbbC — вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с. (майже
скрiзь) у D. Рiвнянням Бельтрамi називається рiвняння
f\=z = \mu (z)fz, (1)
де f\=z = \partial f = (fx+ ify)/2, fz = \partial f = (fx - ify)/2, z = x+ iy, а fx i fy — частиннi похiднi вiд
f по x та y вiдповiдно. Функцiя \mu називається комплексним коефiцiєнтом цього рiвняння, а
K\mu (z) =
1 + | \mu (z)|
1 - | \mu (z)|
— максимальною дилатацiєю рiвняння (1). Рiвняння Бельтрамi (1) називається виродженим,
якщо \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} K\mu (z) = \infty . Iснування гомеоморфних W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язкiв нещодавно було встанов-
лено для багатьох вироджених рiвнянь Бельтрамi (див., наприклад, вiдповiднi посилання в
монографiях [1, 2] та обзорах [3, 4]).
Для заданої точки z0 \in \BbbC дотичною дилатацiєю рiвняння (1) по вiдношенню до точки
z0 \in \BbbC називається величина
KT
\mu (z, z0) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - z - z0
z - z0
\mu (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2
1 - | \mu (z)| 2
.
У подальшому будемо вважати, що K\mu i KT
\mu продовженi тотожною одиницею зовнi областi D.
Покладемо B(z0, r) :=
\bigl\{
z \in \BbbC : | z0 - z| < r
\bigr\}
, \BbbD = B(0, 1), S(z0, r) :=
\bigl\{
z \in \BbbC : | z0 - z| = r
\bigr\}
i A(z0, r1, r2) :=
\bigl\{
z \in \BbbC : r1 < | z - z0| < r2
\bigr\}
. Найбiльш важливими результатами статтi є такi
твердження.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: esevostyanov2009@gmail.com.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4 511
512 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
Теорема 1. Нехай D — обмежена область в \BbbC i \mu : D \rightarrow \BbbC — вимiрна за Лебегом функцiя,
яка задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с., до того ж K\mu \in L1(D). Припустимо також, що
1
\pi \varepsilon 2
\int
B(z0,\varepsilon )
KT
\mu (z, z0) dm(z) < K <\infty \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ), (2)
де \delta — евклiдiв дiаметр областi D.
Тодi рiвняння Бельтрамi (1) має неперервний за Гельдером гомеоморфний W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок у
D, який має неперервне за Гельдером продовження в D.
Зауваження 1. Нехай qTz0(t) i qx0(t) — iнтегральнi середнi по колу S(z0, t) вiд KT
\mu (z, z0) та
K\mu (z) вiдповiдно i
MT
z0(\varepsilon , \delta ) : =
1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\delta \int
\varepsilon
qTz0(t)d \mathrm{l}\mathrm{n} t, Mz0(\varepsilon , \delta ) : =
1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\delta \int
\varepsilon
qz0(t)d \mathrm{l}\mathrm{n} t
— логарифмiчнi середнi вiд qTz0(t) i qx0(t).
Тодi висновок теореми 1 є правильним, якщо в (2) замiнити KT
\mu на K\mu або умову (2)
замiнити однiєю з умов: MT
z0(\varepsilon , \delta ) < K або Mz0(\varepsilon , \delta ) < K для всiх z0 \in D i \varepsilon \in (0, \delta ).
Теорема 2. Нехай D — обмежена область в \BbbC , \delta — її евклiдiв дiаметр, \mu : D \rightarrow \BbbC —
вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с., до того ж K\mu (z) \in L1(D).
Припустимо, що для деякого \alpha \in (0, 1] виконується умова
\delta \int
\varepsilon
\biggl(
\alpha - 1
qTz0(t)
\biggr)
dt
t
< C <\infty \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ), (3)
де qTz0(t) позначає iнтегральне середнє функцiї KT
\mu (z, z0) по колу S(z0, t).
Тодi рiвняння Бельтрамi (1) має гомеоморфний W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок у D, який є неперервним за
Гельдером з показником \alpha та має \alpha -неперервне за Гельдером продовження в D.
Наслiдок 1. Зокрема, висновок теореми 2 є справедливим, якщо для деякого \alpha \in (0, 1]
виконується умова
\delta \int
\varepsilon
\biggl(
\alpha - 1
qz0(t)
\biggr)
dt
t
< C <\infty \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ),
де qz0(t) позначає iнтегральне середнє функцiї K\mu (z) по колу S(z0, t).
Теорема 3. Нехай D — обмежена область в \BbbC , \delta — її евклiдiв дiаметр, \mu : D \rightarrow \BbbC —
вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с., до того ж K\mu (z) \in L1(D).
Припустимо, що
\delta \int
\varepsilon
\biggl(
1 - 1
qTz0(t)
\biggr)
dt
t
< C <\infty \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ),
де qTz0(t) — iнтегральне середнє функцiї KT
\mu (z, z0) по колу S(z0, t).
Тодi рiвняння Бельтрамi (1) має гомеоморфний W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок у D, який є неперервним за
Лiпшицем та має неперервне за Лiпшицем продовження в D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ 513
Наслiдок 2. Зокрема, висновок теореми 3 є правильним, якщо виконується умова
\delta \int
\varepsilon
\biggl(
1 - 1
qz0(t)
\biggr)
dt
t
< C <\infty \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ),
де qz0(t) — iнтегральне середнє функцiї K\mu (z) по колу S(z0, t).
Теорема 4. Нехай D — обмежена область в \BbbC , \delta — її евклiдiв дiаметр, \mu : D \rightarrow \BbbC —
вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с., до того ж K\mu (z) \in L1(D).
Припустимо, що виконується спiввiдношення\int
\varepsilon <| z - z0| <\delta
KT
\mu (z, z0)
| z - z0| 2
dm(z) < C \mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ).
Тодi рiвняння Бельтрамi (1) має гомеоморфний W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок у D, який є неперервним за
Гельдером з показником \alpha та має \alpha -неперервне за Гельдером продовження в D, до того ж
\alpha = 2\pi /C.
Наслiдок 3. Зокрема, твердження теореми 4 справджується, якщо\int
\varepsilon <| z - z0| <\delta
K\mu (z)
| z - z0| 2
dm(z) < C \mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ).
Теорема 5. Нехай D — обмежена область в \BbbC , \delta — її евклiдiв дiаметр, \mu : D \rightarrow \BbbC —
вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову | \mu (z)| < 1 м. с., до того ж K\mu (z) \in L1(D).
Припустимо, що виконується спiввiдношення\int
\varepsilon <| z - z0| <\delta
KT
\mu (z, z0)
| z - z0| 2
dm(z) < 2\pi \mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ).
Тодi рiвняння Бельтрамi (1) має гомеоморфний W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок, неперервний за Лiпшицем у
D, який має неперервне за Лiпшицем продовження в D.
Наслiдок 4. Зокрема, твердження теореми 5 справджується, якщо\int
\varepsilon <| z - z0| <\delta
K\mu (z)
| z - z0| 2
dm(z) < 2\pi \mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
\forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ).
2. Ємностi кiлець, конформний модуль, вiдповiднi означення та факти. Для заданої
областi D i множин E i F у \BbbC := \BbbC \cup \{ \infty \} позначимо через \Delta (E,F,D) сiм’ю всiх кривих \gamma :
[a, b] \rightarrow \BbbC , якi з’єднують E i F у D, iншими словами, \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in D при
a < t < b. Покладемо \Delta (E,F ) := \Delta (E,F,\BbbC ).
Кiльцевою областю (або скорочено кiльцем) у \BbbC називається двозв’язна область R у \BbbC .
Нехай R — кiльце в \BbbC . Якщо C1 i C2 — компоненти \BbbC \setminus R, будемо записувати це у виглядi
R = R(C1, C2). Як вiдомо, 2-ємнiсть i модуль сiмей кривих \Delta (C1, C2, R) збiгаються, тобто
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} R(C1, C2) =M
\bigl(
\Delta (C1, C2, R)
\bigr)
(4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
514 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
(див., наприклад, [5 – 7], а також додаток A.1 у [2]). Зауважимо, що
M(\Delta (C1, C2, R)) =M
\bigl(
\Delta (C1, C2)
\bigr)
(див., наприклад, теорему 11.3 у [8]).
Нагадаємо також означення так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв, адаптоване до комплекс-
ної площини \BbbC . Нехай D — область в \BbbC , z0 \in D, r0 \leq dist(z0, \partial D) i Q : B(z0, r0) \rightarrow [0,\infty ] —
вимiрна функцiя. Згiдно з [2, 3], гомеоморфiзм f : D \rightarrow \BbbC будемо називати кiльцевим Q-
гомеоморфiзмом у точцi z0, якщо спiввiдношення
M
\Bigl(
\Delta
\bigl(
f(S1), f(S2), f(D)
\bigr) \Bigr)
\leq
\int
A
Q(z)\eta 2
\bigl(
| z - z0|
\bigr)
dxdy (5)
виконується для довiльного кругового кiльця A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < r0, межових кiл
Si = S(z0, ri), i = 1, 2, i довiльної вимiрної функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
r2\int
r1
\eta (r)dr = 1.
3. Оцiнки спотворення вiдстанi. Доведення наступної леми випливає з означення кiльце-
вого Q-гомеоморфiзму, якщо в (5) функцiя \eta (t) := \psi (t)/I(\varepsilon ).
Лема 1. Нехай f : D \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q-гомеоморфiзм у точцi z0 \in D, Q : B(z0, r0) \rightarrow
[0,\infty ], r0 \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (z0, \partial D), i \psi : [0,\infty ] \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна функцiя, така що
0 < I(\varepsilon ) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty , \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), \varepsilon 0 < r0.
Тодi для кiльця A(\varepsilon ) := A(z0, \varepsilon , \varepsilon 0) i його межових компонент C i C0 виконується спiввiд-
ношення
M
\Bigl(
\Delta
\bigl(
f(C), f(C0), f(D)
\bigr) \Bigr)
\leq \omega (\varepsilon ) :=
1
I2(\varepsilon )
\int
A(\varepsilon )
Q(z)\psi 2
\bigl(
| z - z0|
\bigr)
dm(z).
У подальшому будемо дотримуватися таких домовленостей: a/\infty = 0 при a \not = \infty , a/0 = \infty
при a > 0 i 0 \cdot \infty = 0 (див., наприклад, роздiл I.3 в [9]).
Нехай z, \zeta \in \BbbC . Хордальну (сферичну) вiдстань h(z, \zeta ) мiж точками z i \zeta визначимо з
огляду на спiввiдношення
h(z, \zeta ) =
| z - \zeta |
(1 + | z| 2)
1
2 (1 + | \zeta | 2)
1
2
при z \not = \infty \not = \zeta ,
h(z,\infty ) =
1
(1 + | z| 2)
1
2
при z \not = \infty .
Для заданої множини E \subset \BbbC позначимо через h(E) її хордальний дiаметр, визначений
спiввiдношенням
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ 515
h(E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z,\zeta \in E
h(z, \zeta ).
Зауважимо, що для всiх z, \zeta \in \BbbC h(z, \zeta ) \leq | z - \zeta | , до того ж для всiх z, \zeta \in \BbbD виконується
нерiвнiсть
h(z, \zeta ) \geq 1
2
| z - \zeta | , (6)
яка переходить у рiвнiсть на \partial \BbbD .
Основне смислове навантаження мiстить у собi наступна лема, яка забезпечує доведення
основних результатiв статтi.
Лема 2. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо також, що iснує невiд’ємна вимiрна функцiя \psi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) така,
що спiввiдношення \int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)\psi
2
\bigl(
| z - \zeta |
\bigr)
dm(z) \leq CIp(\varepsilon ), \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
, (7)
виконано при деякому p \leq 2 у кожнiй точцi \zeta \in S, де
0 < I(\varepsilon ) =
d(S)\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty , \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
.
Тодi iснує стала L > 0, можливо, залежна вiд f, така що для всiх \eta , \zeta \in S
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
2 - p\right) .
Доведення. Без обмеження загальностi можна вважати, що образ компакта S при вiдобра-
женнi f належить одиничному кругу \BbbD =
\bigl\{
z \in \BbbC : | z| < 1
\bigr\}
. Покладемо
A =
\bigl\{
z \in \BbbC : | \eta - \zeta | < | z - \zeta | < d(S)
\bigr\}
.
Для \zeta \in S позначимо через E\zeta компоненту \BbbC \setminus f(A), що мiстить f(\zeta ), а через F\zeta компоненту
цiєї ж множини, що мiстить \infty . За вiдомою лемою Герiнга отримуємо, що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}R(E\zeta , F\zeta ) \geq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} RT
\biggl(
1
h(E\zeta )h(F\zeta )
\biggr)
, (8)
де RT (t) — кiльце Тейхмюлера
RT (t) = \BbbC \setminus
\bigl(
[ - 1, 0] \cup [t,\infty ]
\bigr)
, t > 1
(див., наприклад, [7] або наслiдок 7.37 у [10]). Зауважимо, що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} RT (t) =
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \Phi (t)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
516 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
де \Phi — деяка функцiя, що задовольняє оцiнки
t+ 1 \leq \Phi (t) \leq 16(t+ 1) < 32t, t > 1
(див., наприклад, [7, с. 225, 226] або спiввiдношення (7.19) i лему 7.22 у [10]). З огляду на
спiввiдношення (8) отримуємо, що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} R(E\zeta , F\zeta ) \geq
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
32
h(E\zeta )h(F\zeta )
i, отже,
h(E\zeta ) \leq
32
h(F\zeta )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 2\pi
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}R(E\zeta , F\zeta )
\biggr)
. (9)
Далi, застосовуючи спiввiдношення (4), (5) i лему 1, приходимо до оцiнки
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} R(E\zeta , F\zeta ) \leq
1
I2
\bigl(
| \eta - \zeta |
\bigr) \int
| \eta - \zeta | <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)\psi
2
\bigl(
| z - \zeta |
\bigr)
dm(z).
У такому випадку з огляду на спiввiдношення (7) маємо нерiвнiсть
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} R(E\zeta , F\zeta ) \leq C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
p - 2
. (10)
Поєднуючи тепер (9) i (10), одержуємо, що
h(E\zeta ) \leq 32
h(F\zeta )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
2 - p \right)
i, отже,
h(f(\eta ), f(\zeta )) \leq 32
h(F\zeta )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
2 - p \right) .
Зауважимо, що S \subset T :=
\bigcup
\zeta \in S
B(\zeta , d(S)) i T є компактом у \BbbC . Тодi f(T ) також є компактом
у \BbbC , оскiльки f — гомеоморфiзм. Отже, h(f(V )) > 0, де V := \BbbC \setminus T. I навiть бiльше,
f(V ) \subseteq F\zeta = f
\bigl(
\BbbC \setminus B(\zeta , d(S))
\bigr)
\forall \zeta \in S.
З останнього спiввiдношення випливає, що h(F\zeta ) \geq h(f(V )) > 0 при всiх \zeta \in S, тому
h(f(\eta ), f(\zeta )) \leq 32
h(f(V ))
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
2 - p\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ 517
Враховуючи включення f(S) \subset \BbbD i нерiвнiсть (6), отримуємо, що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right)
2 - p\right) ,
де L =
64
h(f(V ))
.
Лемму 2 доведено.
Наступний важливий наслiдок випливає з леми 2 при p = 1.
Наслiдок 5. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що iснує невiд’ємна функцiя \psi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) така, що при всiх
\zeta \in S \int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)\psi
2(| z - \zeta | )dm(z) \leq CI(\varepsilon ), \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
,
де
0 < I(\varepsilon ) =
d(S)\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty , \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S))
\bigr]
.
Тодi iснує стала L > 0, залежна, можливо, вiд f, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 2\pi
C
d(S)\int
| \eta - \zeta |
\psi (t) dt
\right) \forall \eta , \zeta \in S.
Наступне твердження випливає безпосередньо з леми 2 при p = 1 i \psi (t) =
1
t
.
Теорема 6. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що\int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) \leq C \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr)
\forall \zeta \in S, \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
.
Тодi iснує стала L > 0, можливо, залежна вiд f, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L| \eta - \zeta |
2\pi
C \forall \eta , \zeta \in S,
тобто вiдображення f є неперервним за Гельдером з показником \alpha = 2\pi /C .
Наслiдок 6. Зокрема, вiдображення f з теореми 6 є неперервним за Лiпшицем, якщо
C = 2\pi .
Наступну iнтегральну рiвнiсть можна знайти в [11] (лема 10.4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
518 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
Твердження 1. Нехай \varphi — вимiрна за Лебегом функцiя, визначена в крузi B(z0, \varepsilon 0), i
\eta \varphi (t) =
1
\pi t2
\int
B(z0,t)
\varphi (z) dm(z), 0 < t \leq \varepsilon 0.
Тодi виконується спiввiдношення
\int
A(z0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
\varphi (z)
| z - z0| 2
dm(z) = \pi (\eta \varphi (\varepsilon 0) - \eta \varphi (\varepsilon )) + 2\pi
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\eta \varphi (t)
t
dt.
Ґрунтуючись на твердженнi 1, встановимо такий факт.
Лема 3. Нехай Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя, така що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in (0,d(S)]
1
\pi r2
\int
B(\zeta ,r)
Q\zeta (z) dm(z) < K <\infty . (11)
Тодi \int
A(\zeta ,\varepsilon ,d(S))
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) \leq 2\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
e d(S)
\varepsilon
\biggr)
\forall \varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
.
Доведення. Нехай \varepsilon \in (0, d(S)]. З огляду на твердження 1 отримуємо
J =
\int
A(\zeta ,\varepsilon ,d(S))
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) = \pi (\eta Q(d(S)) - \eta Q(\varepsilon )) + 2\pi
d(S)\int
\varepsilon
\eta Q(t)
t
dt,
де \eta Q(t) :=
1
\pi t2
\int
B(\zeta ,t)
Q\zeta (z) dm(z).
Застосовуючи нерiвнiсть трикутника i використовуючи умову (11), одержуємо
J = | J | \leq \pi | \eta Q(d(S)) - \eta Q(\varepsilon )| + 2\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
d(S)\int
\varepsilon
\eta Q(t)
t
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq \pi (| \eta Q(d(S)| + | \eta Q(\varepsilon )| ) + 2\pi K
d(S)\int
\varepsilon
dt
t
\leq 2\pi K + 2\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr)
= 2\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
ed(S)
\varepsilon
\biggr)
,
Лему 3 доведено.
Теорема 7. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ 519
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in (0,d(S)]
1
\pi r2
\int
B(\zeta ,r)
Q\zeta (z) dm(z) < K <\infty \forall \zeta \in S. (12)
Тодi iснує стала L > 0, можливо, залежна вiд f, така що при всiх \eta i \zeta \in S
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L| \eta - \zeta |
1
2K .
Доведення. З огляду на спiввiдношення (12) та за лемою 3 отримуємо, що для всiх \zeta \in S i
\varepsilon \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr]
виконується нерiвнiсть\int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) \leq 2\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
ed(S)
\varepsilon
\biggr)
\leq 4\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr)
.
У такому випадку бажаний висновок випливає з теореми 6 при C = 4\pi K.
Теорему 7 доведено.
Iнший наслiдок з теореми 6 може бути сформульований у термiнах логарифмiчного серед-
нього функцiї Q\zeta над кiльцем A(\varepsilon ) = A(\zeta , \varepsilon , d(S)) =
\bigl\{
z \in \BbbC : \varepsilon < | z - \zeta | < d(S)
\bigr\}
, яке
визначено з використанням спiввiдношення
M
Q\zeta
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} (\varepsilon ) :=
1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr) d(S)\int
\varepsilon
q\zeta (t) d \mathrm{l}\mathrm{n} t,
де q\zeta (t) позначає iнтегральне середнє значення функцiї Q\zeta по колу \{ z \in \BbbC : | z - \zeta | = t\} .
Наслiдок 7. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що
M
Q\zeta
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} (\varepsilon ) \leq K <\infty \forall \zeta \in S, \varepsilon \in (0, d(S)]. (13)
Тодi iснує стала L > 0, можливо, залежна вiд f, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L| \eta - \zeta |
1
K \forall \eta , \zeta \in S. (14)
Доведення. За теоремою Фубiнi отримуємо
\int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) = 2\pi
d(S)\int
\varepsilon
q\zeta (t)
dt
t
= 2\pi M
Q\zeta
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} (\varepsilon ) \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr)
.
I навiть бiльше, використовуючи спiввiдношення (13), одержуємо\int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z)
| z - \zeta | 2
dm(z) \leq 2\pi K \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
d(S)
\varepsilon
\biggr)
.
Остаточно, застосовуючи теорему 6 при C = 2\pi K, приходимо до (14).
Наступна лема стосується верхнiх оцiнок спотворення евклiдової вiдстанi при вiдображен-
нях з використанням середнiх функцiї Q\zeta по колу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
520 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
Лема 4. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Тодi iснує стала L > 0, можливо, залежна вiд f, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
d(S)\int
| \eta - \zeta |
dt
tq\zeta (t)
\right) \forall \eta , \zeta \in S, (15)
де q\zeta (t) — iнтегральне середнє значення функцiї Q\zeta по колу S(\zeta , t), t \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr)
.
Доведення. Справдi, вибираючи функцiю
\psi (t) =
\left\{
1
tq\zeta (t)
, t \in
\bigl(
0, d(S)
\bigr)
,
0, t \in
\bigl[
d(S),\infty
\bigr)
,
i застосовуючи теорему Фубiнi до наведеного нижче iнтеграла, отримуємо
\int
\varepsilon <| z - \zeta | <d(S)
Q\zeta (z) \cdot \psi 2(| z - \zeta | ) dm(z) = 2\pi
d(S)\int
\varepsilon
q\zeta (t)\psi
2(t)tdt = 2\pi
d(S)\int
\varepsilon
dt
tq\zeta (t)
.
Використовуючи наслiдок 5 зi сталою C = 2\pi , одержуємо бажану оцiнку (15).
Наступна теорема мiстить у собi твердження щодо неперервностi за Гельдером для вiдпо-
вiдних вiдображень.
Теорема 8. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що iснує \alpha \in (0, 1] таке, що
d(S)\int
\varepsilon
\biggl(
\alpha - 1
q\zeta (t)
\biggr)
dt
t
\leq K <\infty \forall \zeta \in S, \varepsilon \in (0, d(S)). (16)
Тодi знайдеться стала L \prime > 0, залежна, можливо, вiд f, \alpha i K, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \prime | \eta - \zeta | \alpha \forall \eta , \zeta \in S. (17)
Iншими словами, вiдображення f є неперервним за Гельдером з показником \alpha на S .
Доведення. Справдi, за лемою 4 маємо
| f(\eta ) - f(\zeta )|
| \eta - \zeta | \alpha
\leq
L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\int d(S)
| \eta - \zeta |
dt
tq\zeta (t)
\Biggr)
| \eta - \zeta | \alpha
\forall \eta , \zeta \in S. (18)
I навiть бiльше, шляхом безпосереднiх обчислень отримуємо
| \eta - \zeta | \alpha = d\alpha (S) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - \alpha
d(S)\int
| \eta - \zeta |
dt
t
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ БЕЛЬТРАМI ЗА ГЕЛЬДЕРОМ 521
Тодi з огляду на спiввiдношення (18) одержуємо
| f(\eta ) - f(\zeta )|
| \eta - \zeta | \alpha
\leq
L \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\int d(S)
| \eta - \zeta |
dt
tq\zeta (t)
\Biggr)
d\alpha (S) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
- \alpha
\int d(S)
| \eta - \zeta |
dt
t
\Biggr) =
L
d\alpha (S)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( d(S)\int
| \eta - \zeta |
\biggl(
\alpha - 1
q\zeta (t)
\biggr)
dt
t
\right) .
Остаточно, з урахуванням (16) приходимо до оцiнки (17), в якiй L \prime =
LeK
d\alpha (S)
.
Наступне твердження стосується неперервностi вiдображень за Лiпшицем i може бути отри-
мано як наслiдок з теореми 8 при \alpha = 1.
Наслiдок 8. Нехай S — компактна пiдмножина \BbbC , d(S) > 0 — евклiдiв дiаметр S i f :
\BbbC \rightarrow \BbbC — кiльцевий Q\zeta -гомеоморфiзм у кожнiй точцi \zeta \in S, де Q\zeta : \BbbC \rightarrow [0,\infty ] — деяка
функцiя. Припустимо, що
d(S)\int
\varepsilon
\biggl(
1 - 1
q\zeta (t)
\biggr)
dt
t
\leq K <\infty \forall \zeta \in S, \varepsilon \in (0, d(S)).
Тодi iснує стала L \prime > 0, залежна, можливо, вiд f i K, така що
| f(\eta ) - f(\zeta )| \leq L \prime | \eta - \zeta | \forall \eta , \zeta \in S.
4. Доведення основних результатiв. Доведення теореми 1. За теоремою 7.2 в [1] рiвняння
Бельтрамi (1) має W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок f : \BbbC \rightarrow \BbbC , який є кiльцевим Q\zeta -гомеоморфiзмом у кожнiй
точцi \zeta \in \BbbC при Q\zeta (z) = KT
\mu (z, \zeta ), z \in \BbbC , де \mu вважається продовженою нулем зовнi областi
D. Отже, твердження теореми 1 безпосередньо випливає з теореми 7 при \zeta = z0 i S := D.
Зауваження 1 випливає з наслiдку 7 шляхом мiркувань, аналогiчних тим, що були викори-
станi при доведеннi теореми 7.4 в [1].
Доведення теореми 2. З огляду на (3)
\delta \int
\varepsilon
dt
tqTz0(t)
> \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
\delta
\varepsilon
- C \forall z0 \in D, \varepsilon \in (0, \delta ). (19)
З (19) випливає, що
\int \delta
0
dt
tqTz0(t)
= \infty . Отже, за теоремою 7.5 в [1] рiвняння Бельтрамi (1)
має W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -розв’язок f : \BbbC \rightarrow \BbbC , який є кiльцевим Q\zeta -гомеоморфiзмом у кожнiй точцi \zeta \in \BbbC
при Q\zeta (z) = KT
\mu (z, \zeta ), z \in \BbbC , де \mu вважається продовженою нулем зовнi областi D. Отже,
твердження теореми 2 випливає з теореми 8 при S := D, \zeta = z0 i Q\zeta := KT
\mu (z, z0).
Доведення наслiдку 1 безпосередньо випливає з теореми 2 за нерiвнiстю KT
\mu (z, z0) \leq
K\mu (z), виконаною при майже всiх z \in D i всiх z0 \in \BbbC .
Доведення теореми 3 i наслiдку 2 безпосередньо випливає з теореми 2 i наслiдку 1 вiдпо-
вiдно.
Доведення теореми 4. За лемою 7.1 в [1] з \psi (t) = 1/t рiвняння Бельтрамi (1) має W 1,1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c} -
розв’язок f : \BbbC \rightarrow \BbbC , який є кiльцевим Q\zeta -гомеоморфiзмом у кожнiй точцi \zeta \in \BbbC при Q\zeta (z) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
522 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, РУСЛАН САЛIМОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
KT
\mu (z, \zeta ), z \in \BbbC , де \mu вважається продовженою нулем зовнi областi D. Отже, твердження
теореми 1 безпосередньо випливає з теореми 6 при \zeta = z0, S := D i Q\zeta := KT
\mu (z, z0).
Доведення наслiдку 3 безпосередньо випливає з теореми 4 за нерiвнiстю KT
\mu (z, z0) \leq
K\mu (z), виконаною при майже всiх z \in D i всiх z0 \in \BbbC .
Доведення теореми 5 i наслiдку 4 безпосередньо випливає з теореми 4 i наслiдку 3 вiдпо-
вiдно.
Лiтература
1. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation. A geometric approach, Dev. Math., 26,
Springer, New York (2012).
2. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer,
New York (2009).
3. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On recent advances in the degenerate Beltrami equations, Ukr.
Mat. Visn., 7, № 4, 467 – 515 (2010).
4. U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation, Handb. Complex Anal. Geom. Funct. Theory, 2, 555 – 597 (2005).
5. F. W. Gehring, Extremal length definitions for the conformal capacity of rings in space, Comment. Math. Helv., 36,
42 – 46 (1961).
6. F. W. Gehring, Extremal length definitions for the conformal capacity in space, Michigan Math. J., 9, 137 – 150
(1962).
7. F. W. Gehring, Quasiconformal mappings, Complex Analysis and its Applications (Lectures, Internat. Sem., Trieste,
1975), 2, 213 – 268 (1976).
8. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
9. S. Saks, Theory of the integral, Dover Publ. Inc., New York (1964).
10. M. Vuorinen, Conformal geometry and quasiregular mappings, Lect. Notes Math., 1319, Springer-Verlag, Berlin etc.
(1988).
11. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, O. Martio, V. Ryazanov, Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz
mappings in the plane, EMS Tracts Math., 19, Eur. Math. Soc., Zürich (2013).
Одержано 23.01.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7464 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:37Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/329766407e1a425f727033c2e205028b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-74642023-05-14T15:30:13Z On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations Про неперервність розв'язків рівнянь Бельтрамі за Гельдером Ryazanov, V. Salimov, R. Sevost’yanov, E. Рязанов, Володимир Салімов, Руслан Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович рівняння Бельтрамі, неперервність за Гельдером Beltrami equations Holder continuity UDC 517.5 We consider the problem of local behavior of solutions of the&nbsp;Beltrami equations in arbitrary domains.&nbsp;&nbsp;We have found sufficient conditions for the complex coefficient of the Beltrami equation guaranteeing the existence of its Hölder continuous solution in an arbitrary domain.&nbsp;&nbsp;These results can be used in the boundary-value problems for the Beltrami equation, as well as in the hydromechanics of strongly anisotropic and&nbsp;inhomogeneous media. УДК 517.5 Розглядається задача про локальну поведінку розв'язків рівнянь Бельтрамі в довільних областях. Знайдено достатні умови на комплексний коефіцієнт рівняння Бельтрамі, що забезпечують існування її розв'язку в довільній області, який є в ній неперервним за Гельдером. Ці результати можна застосовувати до крайових задач для рівняння Бельтрамі та в гідромеханіці в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-05-10 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7464 10.37863/umzh.v75i4.7464 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 4 (2023); 511 - 522 Український математичний журнал; Том 75 № 4 (2023); 511 - 522 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7464/9388 Copyright (c) 2023 Євген Олександрович Севостьянов, Володимир Рязанов, Руслан Салімов |
| spellingShingle | Ryazanov, V. Salimov, R. Sevost’yanov, E. Рязанов, Володимир Салімов, Руслан Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title | On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title_alt | Про неперервність розв'язків рівнянь Бельтрамі за Гельдером |
| title_full | On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title_fullStr | On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title_full_unstemmed | On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title_short | On Hölder continuity of solutions of the Beltrami equations |
| title_sort | on hölder continuity of solutions of the beltrami equations |
| topic_facet | рівняння Бельтрамі неперервність за Гельдером Beltrami equations Holder continuity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7464 |
| work_keys_str_mv | AT ryazanovv onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT salimovr onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT sevostyanove onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT râzanovvolodimir onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT salímovruslan onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT sevostʹânovêvgen onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič onholdercontinuityofsolutionsofthebeltramiequations AT ryazanovv proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT salimovr proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT sevostyanove proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT râzanovvolodimir proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT salímovruslan proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT sevostʹânovêvgen proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič proneperervnístʹrozv039âzkívrívnânʹbelʹtramízagelʹderom |