On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble
UDC 517.9 We present a survey of works of the Kyiv School of Mathematicians published in Soviet journals in the 1940–70s. The main results are presented in the language of contemporary methods  of infinite-dimensional analysis, which significantly simplifies their pro...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7504 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512684025315328 |
|---|---|
| author | Pogorelov, Yu. Rebenko, A. Погорєлов, Юрiй Ребенко, Олексій Rebenko, Alexei |
| author_facet | Pogorelov, Yu. Rebenko, A. Погорєлов, Юрiй Ребенко, Олексій Rebenko, Alexei |
| author_sort | Pogorelov, Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-05-30T15:41:16Z |
| description |
UDC 517.9
We present a survey of works of the Kyiv School of Mathematicians published in Soviet journals in the 1940–70s. The main results are presented in the language of contemporary methods  of infinite-dimensional analysis, which significantly simplifies their proofs.  Nonlinear (in the density parameter) Kirkwood–Salzburg-type equations  are obtained for the correlation functions of  canonical ensemble. The existence and uniqueness of  solution is established under the conditions of high temperature and low density. The material presented in our survey is supplemented by the original research of one of the authors [A. L. Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble,  Preprint arXiv:2205.07095 [math-ph], https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095] in which new expansions  in  the density parameter are constructed for the correlation functions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i5.7504 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i5.7504
УДК 517.9
Юрiй Погорєлов (IFIMUP-IN, Факультет фiзики та астрономiї, Унiверситет Порту, Португалiя),
Олексiй Ребенко1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ.
КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ
We present a survey of works of the Kyiv School of Mathematicians published in Soviet journals in the 1940–70s. The
main results are presented in the language of contemporary methods of infinite-dimensional analysis, which significantly
simplifies their proofs. Nonlinear (in the density parameter) Kirkwood – Salzburg-type equations are obtained for the
correlation functions of canonical ensemble. The existence and uniqueness of solution is established under the conditions of
high temperature and low density. The material presented in our survey is supplemented by the original research of one of
the authors [A. L. Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble, Preprint arXiv:2205.07095
[math-ph], https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095] in which new expansions in the density parameter are constructed
for the correlation functions.
Наведено короткий огляд праць Київської школи математикiв, якi були опублiкованi в радянських журналах
40 – 70-х рокiв минулого столiття. Основнi результати подано на мовi сучасних методiв нескiнченновимiрного
аналiзу, що значно спрощує їх доведення. Виведено нелiнiйнi за параметром густини рiвняння типу Кiрквуда –
Зальцбурга для кореляцiйних функцiй канонiчного ансамблю. Доведено iснування та єдинiсть їх розв’язкiв у
режимi високої температури та низької густини. Огляд доповнено оригiнальним дослiдженням одного з авторiв
[A. L. Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble, Preprint arXiv:2205.07095 [math-ph],
https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095], в якому побудовано новi розклади кореляцiйних функцiй за параметром
густини.
1. Вступ. Розклади кореляцiйних функцiй, тиску та густини за параметром активностi z (Mayer
expansions) були детально описанi в роботах Рюеля [26, 27]. Складнiшою є задача побудови
розкладiв для кореляцiйних функцiй у канонiчному ансамблi, а також розклади для тиску за
параметром густини (вiрiальнi розклади), якi базуються на дослiдженнях Лебовiца, Пенроуза
[18] i Грюнвельда [10].
Але ще в 1946 роцi М. М. Боголюбов [3] розробив теорiю розкладiв за параметром густини
частинок у системi, якi, хоч i не були строго математично обґрунтованi, але базувалися на
фундаментальних принципах статистичної механiки i включали всi вiдомi на той час вирази
теорiї Урсела – Майєра на основi виведеного ним iнтегро-диференцiального рiвняння для m-
частинкових функцiй розподiлу. Основи строгого математичного опису нескiнченних систем у
статистичнiй механiцi були розробленi для позитивних потенцiалiв взаємодiї в 1949 роцi (див.
[4]). Детальний виклад результатiв було опублiковано у 1956 роцi [13, 14]. Цi результати були
узагальненi в роботi [5] на випадок стiйких регулярних потенцiалiв. Були виведенi рiвняння
типу Кiрквуда – Зальцбурга для m-частинкових функцiй розподiлу, в яких роль активностi z
вiдiгравала деяка функцiя густини a(\varrho ), яка, в свою чергу, залежала вiд усiх m-частинкових
функцiй розподiлу, що зумовлює нелiнiйнiсть цих рiвнянь. Але, контролюючи малий iнтервал
змiни цiєї функцiї при низьких густинах, їх розглядали як нескiнченну систему лiнiйних рiвнянь
операторним методом Рюеля. В роботi [20] тi ж самi рiвняння були виведенi безпосередньо iз
рiвнянь Боголюбова [3] у просторi \BbbR d i розглядалися як нелiнiйне операторне рiвняння в
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: rebenkoo@ukr.net.
c\bigcirc ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО, 2023
650 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 651
банаховому просторi. За теоремою про нерухому точку було встановлено iснування та єдинiсть
розв’язку для малих значень параметра густини. Працi [5, 20] покладено в основу оглядової
частини цiєї роботи.
Сьогоднi спостерiгається значне пожвавлення iнтересу до цiєї тематики. Так, в роботi [17]
автори зауважили, що проблема iснування термодинамiчної границi для функцiй розподiлу
або кореляцiйних функцiй у канонiчному ансамблi „є бiльш тонкою, нiж для термодинамiчних
величин логарифмiчного масштабу, таких як тиск i вiльна енергiя”. Ще Лебовiц i Пенроуз [18]
показали, що збiжнiсть цих розкладiв у термiнах густини для вiльної енергiї можна довести
на строго математичному рiвнi. Було встановлено оцiнку радiуса збiжностi. Звичайно ж, ми
повиннi згадати пiдхiд Грюнвельда [10] та його подальший розвиток (див. [12]). Важливу роль
у доведеннi збiжностi вiрiальних рядiв вiдiграє технiка кластерних розкладiв. Пiсля 60-х рокiв
вони отримали подальший розвиток, i їхню ефективнiсть було встановлено для великого класу
рiзних систем, наприклад введення абстрактної полiмерної моделi [11, 16] (див. також роботи
[2, 8] та наведену в них бiблiографiю).
Справжня мета огляду — познайомити читачiв захiдних країн iз працями Київської школи
математикiв, якi були опублiкованi в радянських журналах у 40 – 70-х роках минулого столiття.
Ми спробували надати бiльш прозорий опис основних результатiв. Крiм того, запропоновано
нову схему побудови вiрiальних розкладiв для кореляцiйних функцiй у канонiчному ансамблi.
Статтю побудовано таким чином. У пунктi 2 наведено поняття i формули, в яких здiй-
снюється виклад статтi. Третiй пункт присвячено побудовi рiвнянь для кореляцiйних функцiй
в термодинамiчнiй границi та рiвнянь для m-частинкових функцiй розподiлу безпосередньо
в просторi \BbbR d з рiвнянь Боголюбова [3]. Крiм того, тут наведено основнi моменти доведень
теорем з двох рiзних точок зору. I, нарештi, в останньому пунктi запропоновано новий пiдхiд
для побудови розкладiв за параметром густини.
2. Деякi математичнi поняття. В роботi будемо розглядати нескiнченну систему тотож-
них точкових частинок у просторi \BbbR d, взаємодiю яких будемо описувати парним потенцiалом
V2(x, y) = \phi (| x - y| ), x, y \in \BbbR d, d \in \BbbN .
2.1. Конфiгурацiйнi простори. Нескiнченна множина координат системи частинок \gamma :=
\{ xi\} i\in \BbbN є точкою конфiгурацiйного простору \Gamma , який визначається як множина всiх локально
скiнченних пiдмножин простору \BbbR d. Це визначення цiлком природне з точки зору фiзики,
бо нескiнченна кiлькiсть частинок не може перебувати в обмеженому об’ємi. Множину всiх
скiнченних конфiгурацiй простору \Gamma позначимо через \Gamma 0, а простiр конфiгурацiї з фiксованою
кiлькiстю точок — через \Gamma (n). Якщо всi такi конфiгурацiї знаходяться в деякому обмеженому
об’ємi \Lambda \subset \BbbR d, то вiдповiдний простiр буде \Gamma
(n)
\Lambda .
2.2. Деякi мiри на просторах конфiгурацiй. Нехай \sigma — мiра Лебега в \BbbR d. Стан iдеального
газу в рiвноважнiй статистичнiй механiцi в рамках великого канонiчного ансамблю описується
мiрою Пуассона \pi z\sigma на конфiгурацiйному просторi \Gamma , де z > 0 — активнiсть (фiзичний пара-
метр, який пов’язаний з густиною частинок у системi). Для систем, що знаходяться в деякому
обмеженому об’ємi, спершу вводять мiру, яку iнколи називають мiрою Лебега – Пуассона (див.,
наприклад, [1]) \lambda z\sigma = \lambda \Lambda z\sigma на просторi скiнченних конфiгурацiй \Gamma \Lambda (або \Gamma 0), за формулою\int
\Gamma \Lambda
F (\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ) =
\infty \sum
n=0
zn
n!
\int
\Lambda
. . .
\int
\Lambda
Fn(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn. (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
652 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
На мовi iнтегралiв за мiрою \lambda z\sigma наведемо одну вiдому тотожнiсть (див., наприклад, [15]), яка
значно скорочує громiздкi обчислення i буде використана нижче.
Лема 1. Для всiх вимiрних функцiй G : \Gamma 0 \mapsto \rightarrow \BbbR i H : \Gamma 0 \times \Gamma 0 \mapsto \rightarrow \BbbR таких, що G(\xi \cup
\gamma )H(\xi , \gamma ) \in L1(\Gamma 0 \times \Gamma 0, \lambda \sigma \otimes \lambda \sigma ), справджується рiвнiсть\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
G(\xi \cup \gamma )H(\xi , \gamma )\lambda \sigma (d\xi )\lambda \sigma (d\gamma ) =
\int
\Gamma 0
G(\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
H(\xi , \gamma \setminus \xi )\lambda \sigma (d\gamma ). (2)
Доведення. Нехай \xi \upharpoonright \Gamma
(k)
0 = \{ x1, . . . , xk\} := \{ x\} k1, \gamma \upharpoonright \Gamma
(m)
0 = \{ xk+1, . . . , xk+m\} :=
\{ x\} k+mk+1 . Тодi \int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
G(\xi \cup \gamma )H(\xi , \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi )
=
\infty \sum
k,m=0
1
k!m!
\int
\BbbR dk
\int
\BbbR dm
G(\{ x\} k+m1 )H(\{ x\} k1, \{ x\} k+mk+1 )\sigma (dx)k+m
=
\infty \sum
n=0
1
n!
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr) \int
\BbbR dn
G(\{ x\} n1 )H(\{ x\} k1, \{ x\} nk+1)\sigma (dx)
n
=
\int
\Gamma 0
G(\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
H(\xi , \gamma \setminus \eta )\lambda \sigma (d\gamma ).
В рамках канонiчного ансамблю мiра Лебега – Пуассона i тотожнiсть (2) будуть використанi
як технiчний елемент за допомогою формули
1
N !
\int
\BbbR dN
F (\{ y1, . . . , yN\} )dy1 . . . dyN :=
1
N !
\int
\Gamma (N)
F (\gamma )d\gamma =
\int
\Gamma 0
F (\gamma )11N (\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), (3)
де
11N (\gamma ) :=
\left\{ 1, | \gamma | = N,
0, | \gamma | \not = N.
2.3. Умови на потенцiал взаємодiї . Енергiя взаємодiї частинок довiльної конфiгурацiї
\gamma \in \Gamma 0 через потенцiал є
U(\gamma ) = U\phi (\gamma ) :=
\sum
\{ x,y\} \subset \gamma
\phi (| x - y| ), (4)
а взаємодiя W (\eta ; \gamma ) частинок конфiгурацiї \eta \in \Gamma 0 з частинками конфiгурацiї \gamma \in \Gamma 0 —
W (\eta ; \gamma ) :=
\sum
x\in \eta
y\in \gamma
\phi (| x - y| ), \eta \cap \gamma = \varnothing .
На потенцiал взаємодiї накладемо умови (A):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 653
1) умову стiйкостi:
U(\gamma ) \geq - B| \gamma | , B \geq 0, \gamma \in \Gamma 0, (5)
2) умову регулярностi:
C(\beta ) =
\int
\BbbR d
dx| e - \beta \phi (| x| ) - 1| < +\infty , \beta =
1
kT
. (6)
2.4. Кореляцiйнi функцiї . Основою дослiдження систем статистичної механiки є опис
середнього значення спостережуваних величин, якi є функцiями на конфiгурацiйному просторi
\Gamma \Lambda i обчислюються за мiрою Гiббса. В канонiчному ансамблi мiра Гiббса рiвноважних систем
N тотожних частинок в обмеженому контейнерi \Lambda , що має скiнченний об’єм V, є абсолютно
неперервною щодо мiри Лебега в \BbbR dN , а її щiльнiсть має вигляд
D\Lambda (\gamma ) =
1
Q\Lambda (N, \beta )
e - \beta U(\gamma ), \gamma = \{ x1, . . . , xN\} \in \Gamma
(N)
\Lambda ,
де
Q\Lambda (N, \beta ) =
\int
\Gamma
(N)
\Lambda
e - \beta U(\gamma )d\gamma , d\gamma = dx1 . . . dxN ,
— конфiгурацiйний iнтеграл.
У 1946 р. М. М. Боголюбов (див. [3]) увiв до розгляду функцiї розподiлу F
(N)
\Lambda (\eta ) таким
чином, що V - | \eta | F
(N)
\Lambda (\eta )d\eta — ймовiрнiсть того, що група m частинок знаходиться в нескiнченно
малому фазовому об’ємi d\eta з координатами x1, . . . , xm, m = | \eta | \leq N. В результатi цього
визначення очевидно, що
F
(N)
\Lambda (\eta ) = V m
\int
\Gamma
(N - m)
\Lambda
D\Lambda (\eta \cup \gamma )d\gamma , d\gamma = dxm+1 . . . dxN . (7)
Фiзичнi спостережуванi — це функцiї на конфiгурацiйному просторi \Gamma . Вони мають суматорну
форму A(\gamma ) =
\sum
\eta \Subset \gamma
H(\eta ) (див., наприклад, (4)). Їхнi середнi значення визначаються iнтегра-
лами за мiрою Гiббса \mu , а у випадку, який ми розглядаємо, можна записати таким чином:
A =
\int
\Gamma
\sum
\eta \Subset \gamma
H(\eta )\mu (d\gamma ) =
\int
\Gamma 0
H(\eta )\rho (\eta )\lambda \sigma (d\eta ). (8)
У формулi (8) \rho (\eta )\lambda \sigma (d\eta ) є мiрою кореляцiї, яка абсолютно неперервна щодо мiри Лебега –
Пуассона \lambda \sigma , а вiдповiдна похiдна Радона – Нiкодима визначає кореляцiйну функцiю \rho (\eta ) (див.,
наприклад, [15], розд. 4). Кореляцiйнi функцiї канонiчного ансамблю в обмеженому об’ємi
визначаються формулою
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) :=
\left\{
1
Z\Lambda (\beta ,N)
\int
\Gamma
(N - m)
\Lambda
d\gamma
(N - m)!
e - \beta U(\eta \cup \gamma ), | \eta | = m \leq N,
0, | \eta | = m > N,
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
654 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
де
Z\Lambda (\beta ,N) =
1
N !
\int
\Gamma
(N)
\Lambda
e - \beta U(\gamma )d\gamma (10)
— статистична сума канонiчного ансамблю. Функцiї розподiлу Боголюбова та кореляцiйнi функ-
цiї пов’язанi спiввiдношеннями
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) =
N !
(N - m)!
1
V m
F
(N)
\Lambda (\eta ), | \eta | = m.
В термодинамiчнiй границi
\Lambda \uparrow \BbbR d, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
V\rightarrow \infty
N\rightarrow \infty
V
N
= v,
1
v
= \varrho (11)
цей зв’язок має вигляд
\rho (\eta ) = \varrho mF (\eta ), m = | \eta | . (12)
Щоб отримати спiввiдношення, яке в термодинамiчнiй границi перетворилось у рiвняння для
кореляцiйних функцiй, скористаємось формулою (3) i виразимо кореляцiйнi функцiї (9) через
iнтеграл за мiрою Лебега – Пуассона:
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) =
1
Z\Lambda (\beta ,N)
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \gamma )11N - m(\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), | \eta | \leq N. (13)
3. Рiвняння для кореляцiйних функцiй у термодинамiчнiй границi. Такi рiвняння отри-
мано в [5] на основi визначення (7) i пiзнiше в [20] безпосередньо в нескiнченному об’ємi
на основi iнтегро-диференцiальних рiвнянь Боголюбова (див. [3]). Використовуючи наведену
вище технiку, коротко продемонструє їх виведення.
3.1. Метод Боголюбова – Петрини – Хацета – Рюеля. 3.1.1. Рiвняння для кореляцiйних
функцiй канонiчного ансамблю. Введемо позначення \eta (\^x) := \eta \setminus \{ x\} . Нехай у конфiгурацiї
\eta = \{ x1, . . . , xm\} координата x1 є такою, що справджується нерiвнiсть
W (x1; \eta
(\^x1)) =
m\sum
k=2
\phi (| x1 - xk| ) \geq - B, B \geq 0.
Iснування такої координати випливає з (5) (див. [27]). Тодi з розкладу
U(\eta \cup \gamma ) =W (x1; \eta
(\^x1)) +W (x1; \gamma ) + U(\eta (\^x1) \cup \gamma )
i
e - \beta W (x1;\gamma ) =
\prod
y\in \gamma
\Bigl[
(e - \beta \phi (| x1 - y| ) - 1) + 1
\Bigr]
=
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi ), (14)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 655
K(x1; \xi ) :=
\left\{
\prod
y\in \xi
(e - \beta \phi (| x1 - y| ) - 1), | \xi | \geq 1,
1, \xi = \varnothing ,
отримуємо
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) =
e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
Z\Lambda (\beta ,N)
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta (\^x1)\cup \gamma )11N - m(\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )11\Lambda (\gamma \setminus \xi )\lambda \sigma (d\gamma ). (15)
Застосуємо до iнтеграла (15) лему 1 (тотожнiсть (2)) з
G(\gamma ) = e - \beta U(\eta (\^x1)\cup \gamma )11N - m(\gamma ) i H(\xi ; \gamma \setminus \xi ) = K(x1; \xi )11\Lambda (\gamma \setminus \xi ).
Тодi
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) =
e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
Z\Lambda (\beta ,N)
\int
\Gamma \Lambda
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta (\^x1)\cup \xi \cup \gamma )
\times 11N - m(\xi \cup \gamma )K(x1; \xi )11\Lambda (\gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ). (16)
Запишемо праву частину формули (16) таким чином:
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))Z\Lambda (\beta ,N - 1)
Z\Lambda (\beta ,N)
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )
\times
\left[ 1
Z\Lambda (\beta ,N - 1)
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta (\^x1)\cup \xi \cup \gamma )11N - m - | \xi | (\gamma )\lambda \sigma (d\gamma )
\right] \lambda \sigma (d\xi ).
Враховуючи (13) (N - m - | \xi | = N - 1 - (m - 1 + | \xi | )), отримуємо
\rho
(N)
\Lambda (\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))a\Lambda N
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )\rho
(N - 1)
\Lambda (\eta (\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), (17)
де | \eta | = m, \eta = \{ x1, . . . , xm\} , 1 \leq m \leq N, i
a\Lambda N =
Z\Lambda (\beta ,N - 1)
Z\Lambda (\beta ,N)
. (18)
Подiбне спiввiдношення має мiсце для \rho (N - l)
\Lambda при 0 \leq l < N :
\rho
(N - l)
\Lambda (\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))a\Lambda N - l
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )\rho
(N - l - 1)
\Lambda (\eta (\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ). (19)
На вiдмiну вiд великого канонiчного ансамблю, спiввiдношення (17), (19) не є рiвняннями
для кореляцiйних функцiй в обмеженому об’ємi. Щоб отримати рiвняння, необхiдно виконати
термодинамiчний граничний перехiд (11). Про математично строге доведення iснування границi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
656 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
йдеться в наступному пiдпунктi. Дотримуючись роботи [5], ми припускаємо, що така границя
iснує. Крiм цього скористаємось результатом М. М. Боголюбова [3] (див. гл. I, розд. 2), в якому
було обчислено граничне значення вiдношення конфiгурацiйних iнтегралiв. Маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
V=N/\varrho
N\rightarrow \infty
Z\Lambda (\beta ,N - 1)
Z\Lambda (\beta ,N)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
V=N/\varrho
N\rightarrow \infty
NQ\Lambda (\beta ,N - 1)
Q\Lambda (\beta ,N)
= \varrho a(\varrho ), V = \sigma (\Lambda ). (20)
Тодi граничнi кореляцiйнi функцiї будуть задовольняти рiвняння
\rho (\eta ) = \varrho a(\varrho )e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )\rho (\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), (21)
що вiдповiдає границi рекурентного спiввiдношення (17), i
\rho (l) = \varrho al(\varrho )e
- \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )\rho
(l+1)(\eta (\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), (22)
що вiдповiдає границi рекурентного спiввiдношення (19). Враховуючи (11), (12), для функцiй
розподiлу F (\eta ) отримуємо
F (\eta ) = a(\varrho )e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )F (\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \varrho \sigma (d\xi ). (23)
З умови F (\{ x1\} ) = F (\varnothing ) = 1 випливає, що
a(\varrho ) =
1\widetilde Q(F )
, \widetilde Q(F ) =
\int
\Gamma 0
K(0; \xi )F (\xi )\lambda \varrho \sigma (d\xi ). (24)
Справедливiсть (20) i (24) випливає з умови iснування граничних функцiй розподiлу (7), якi
задовольняють рiвняння (23).
3.1.2. Розв’язок рiвняння (21). Рiвняння (21) мають такий самий вигляд, як i рiвняння
для кореляцiйних функцiй у великому канонiчному ансамблi. Вiдмiннiсть в тому, що роль
активностi z вiдiграє функцiя \varrho a(\varrho ), яка (див. (24)) залежить вiд F (\eta ), а отже, i вiд \rho (\eta ).
Це означає, що рiвняння (21) є нелiнiйним. Але якщо \varrho a(\varrho ) набуває значення, близького до
нуля, то ми можемо використовувати тi самi методи, що й у [27]. Але отриманий розклад не є
розкладом за параметром щiльностi.
Як i в [27], розглянемо це рiвняння в банаховому просторi E\xi \ni f з нормою
\| f\| E\xi
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\eta \in \Gamma 0
\eta \not =\varnothing
\xi - | \eta | | f(\eta )| , \xi > 0. (25)
Позначимо через E(n)
\xi банахiв простiр, що складається зi стовпцiв f, у яких fk = 0 для
k > n, з нормою (25). Цей простiр є технiчним елементом при доведеннi деяких тверджень.
Визначимо оператор
(Kf)(\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )(1 - \delta 0,| \eta (\^x1)\cup \xi | )f(\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ). (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 657
Систему (21) можна записати у стандартному операторному виглядi за допомогою оператора
K та оператора симетризацiї \Pi (див. [27]):
\rho = \varrho a(\varrho )\Pi K\rho + \rho 0, (27)
\rho =
\left(
\rho 1(x1)
...
\rho N (x1, . . . , xN )
...
\right) , \rho 0 =
\left( \varrho a(\varrho )0
...
\right) . (28)
Розв’язок цього рiвняння визначає така теорема.
Теорема 1. Рiвняння (27) у просторi E\xi має єдиний розв’язок у виглядi ряду
\rho =
\infty \sum
n=0
(\varrho a(\varrho )\Pi K)n\rho 0,
який є рiвномiрно збiжним, якщо
| a(\varrho )| < 2, | \varrho | <
\Bigl(
2e2\beta B+1C(\beta )
\Bigr) - 1
. (29)
Доведення. З визначення норми у просторi E\xi , iнтеграла (1) i умови (5) отримуємо
\| \Pi Kf\| E\xi
\leq e2\beta B+C(\beta )\xi
\xi
\| f\| E\xi
.
Ця оцiнка свiдчить про справедливiсть твердження теореми при \xi = C(\beta ) - 1.
Зауваження 1. Для вiрiальних розкладiв вiльної енергiї технiка абстрактних полiмерних
розкладiв i нерiвностi деревоподiбного графа забезпечує вдвiчi бiльший радiус збiжностi (див.
[23], розд. 4, i [22]).
3.1.3. Iснування кореляцiйних функцiй у термодинамiчнiй границi. Щоб встановити iсну-
вання термодинамiчної границi (11) для функцiй (17), розглянемо спiввiдношення (17) – (19) в
банаховому просторi E\xi . Почнемо з доведення (20), яке є наслiдком такої леми.
Лема 2. Виконується нерiвнiсть
a\Lambda N =
Z\Lambda (\beta ,N - 1)
Z\Lambda (\beta ,N)
<
\varrho
1 - \varrho C(\beta )
. (30)
Доведення. Маємо
Q\Lambda (\beta ,N) =
\int
\Lambda N - 1
(dx)N - 1e - \beta U(\gamma \setminus \{ xN\} )
\int
\Lambda
dxNe
- \beta W (xN ;\gamma \setminus \{ xN\} )
=
\int
\Lambda N - 1
(dx)N - 1e - \beta U(\gamma \setminus \{ xN\} )
\int
\Lambda
dxN
N - 1\prod
i=1
(Cxi,xN + 1)
\geq Q\Lambda (\beta ,N - 1)(V - (N - 1)C(\beta )),
де використано нерiвнiсть
\prod N - 1
i=1
(1 + ai) \geq 1 -
\sum N - 1
i=1
| ai| , якщо 1 + ai \geq 0 i ai = Cxi,xN =
e - \beta \phi (| xi - xN | ) - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
658 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
Наслiдок 1. Iз нерiвностi (30) випливає, що якщо умова \varrho < 1/2C(\beta ) виконується, то по-
слiдовнiсть обмежена числом 2. Це означає, що iснує така пiдпослiдовнiсть Ni, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}Ni\rightarrow \infty a\Lambda Ni
= \varrho a(\varrho ) при умовi, що V = Ni/\varrho .
Визначимо оператор Km, який дiє на вектор f \in E\xi таким чином:
(Kmf)(\eta ) = (\Pi Kf)(\eta ), якщо \eta \in \Gamma (m), i (Kmf)(\eta ) = 0, якщо \eta \in \Gamma (n), n \not = m.
Визначимо також у просторi E\xi оператори K(N - l)
m i K(N - l) :
(K(N - l)
m f)(\eta ) =
\left\{
a\Lambda N - l\Pi e
- \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )(1 - \delta 0,| \eta (\^x1)\cup \xi | )
\times 11| \xi | +m - 1\leq N - l - 1(\xi )f(\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), | \eta | = m,
0, | \eta | \not = m,
K(N - l) = K
(N - l)
1 +K
(N - l)
2 + . . .+K
(N - l)
(N - l) ,
K
(N - l)
[n] = K
(N - l)
1 +K
(N - l)
2 + . . .+K(N - l)
n , n < N - l,
K[n] = K1 +K2 + . . .+Kn.
Оператори Km i K(N - l)
m дiють з E\xi в пiдпростори E(n)
\xi . Вони визначенi для доведення промiж-
них оцiнок основних теорем.
Лема 3. Нехай виконується нерiвнiсть (29). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
V=N/\varrho
N\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \chi \Lambda
\Bigl(
\varrho a(\varrho )Km - K(N - l)
m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| = 0, V = \sigma (\Lambda ). (31)
Доведення. Враховуючи дiю операторiв Km, K
(N - l)
m , записуючи мiру \lambda \sigma (d\xi ) в (26) у
виглядi
\lambda \sigma (d\xi ) = 11| \xi | +m - 1\leq N - l - 1(\xi )\lambda \sigma (d\xi ) + 11| \xi | +m - 1>N - l - 1(\xi )\lambda \sigma (d\xi )
i враховуючи наслiдок 1, отримуємо (31) (див. деталi в роботi [5]).
Наступним кроком є узагальнення леми 3 на послiдовнiсть операторiв \chi \Lambda
\bigl(
\varrho a(\varrho )K[n] -
K
(N - l)
[n]
\bigr)
. Цi оператори є скiнченною сумою операторiв у лемi 3, вони дiють iз простору E\xi
у простiр E(n)
\xi , а їхнi норми меншi за одиницю, якщо виконується нерiвнiсть (29), i тому для
них справедливi подiбнi оцiнки. Але це не стосується операторiв \chi \Lambda
\bigl(
\varrho a(\varrho )K - K(N - l)\bigr) , тому
важливо зауважити наступне.
Зауваження 2. На вiдмiну вiд операторiв у лемi 3, для операторiв \chi \Lambda
\bigl(
\varrho a(\varrho )K - K(N - l)\bigr)
ця лема не є справедливою. Справдi, оператор \chi \Lambda K
(N - l) дiє з простору E\xi в простiр E(N - l)
\xi
на тих елементах f \in E\xi , на яких fm = 0 для m \leq N - l, \chi \Lambda K
(N - l)f = 0. Тому для
довiльних великих N iснує такий елемент f, що \chi \Lambda K
(N - l)f = 0, \chi \Lambda \varrho a(\varrho )Kf \not = 0, а норма
цього елемента є скiнченною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 659
Використовуючи оператори K(N - l) i стовпчики \rho (N - l) (див. (28)) з \rho (N - l)
k = 0 для k >
N - l, вираз (19) можна записати у виглядi
\rho (N - l) = K(N - l)\rho (N - l - 1) + \rho 0(N - l),
де \rho 0(N - l)
k = a\Lambda N - l\delta k1. Iтерацiя цього спiввiдношення приводить до виразу
\rho (N - l) =
3\prod
M=N - l
K(M)\rho (M - 1) +
N - l - 1\sum
i=0
\left( i\prod
j=0
K(N - l - j)
\right) \rho 0(N - l - i - 1) + \rho 0(N - l). (32)
Спiввiдношення (32) дозволяє довести таку теорему.
Теорема 2. Для довiльного фiксованого l > 0 i густини \varrho з круга | \varrho | <
\bigl(
2e2B+1C(\beta )
\bigr) - 1
послiдовнiсть \chi \Lambda
\bigl(
\rho (N - l) - \rho (l)
\bigr)
прямує до нуля за нормою простору E\xi при N \rightarrow \infty , V = N/\varrho
i V = \sigma (\Lambda ).
Доведення базується на розкладi (32) та подiбному розкладi для функцiй \rho (l) :
\rho (l) =
\infty \sum
i=0
i\prod
j=0
(al+j)(\Pi K)i\rho (0),
якi з’являються внаслiдок iтерацiї рiвняння (22).
Деталi доведення див. у [5].
Наслiдок 2. З теореми 2 випливає, що послiдовностi \rho (N)
\Lambda (\eta ) i \rho (N - l)
\Lambda (\eta ) збiгаються до
функцiй \rho (\eta ) i \rho (l)(\eta ), якi задовольняють рiвняння (21) i (22).
Питання єдиностi розв’язку i рiвностей al(\varrho ) = a(\varrho ) i \rho (l)(\eta ) = \rho (\eta ) детально висвiтленi в
[5] (розд. 4.).
3.2. Рiвняння для кореляцiйних функцiй в \BbbR \bfitd . 3.2.1. Виведення рiвнянь (23) з рiвнянь Бо-
голюбова. У цьому пiдпунктi будемо розглядати рiвняння (див. [20]), в яких значення фiзичних
параметрiв температури i густини є такими, що iснує термодинамiчна границя (11). Граничнi
функцiї розподiлу F (\eta ) = F (\{ x1, . . . , xm\} ) = Fm(x1, . . . , xm) є трансляцiйно iнварiантними
симетричними функцiями, для яких виконується умова спадання кореляцiй у виглядi [21]
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta 1,\eta 2)\rightarrow \infty
F (\eta 1 \cup \eta 2) = F (\eta 1)F (\eta 2), (33)
а рiвняння Боголюбова для рiвноважних функцiй розподiлу у просторi \BbbR d мають вигляд
\partial F (\eta )
\partial x
(1)
1
= - \beta \partial U(\eta )
\partial x
(1)
1
F (\eta ) - \beta \varrho
\int
dy
\partial \phi (| x1 - y| )
\partial x
(1)
1
F (\eta \cup \{ y\} ), (34)
де \eta = \{ x1, . . . , xm\} , а iнтегрування виконується по всьому простору \BbbR d.
Зауваження 3. Умову (33) можна довести подiбно до аналогiчної властивостi кореляцiйних
функцiй великого канонiчного ансамблю (див. [6]).
Виконуючи замiну
F (\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))C(x1; \eta
(\^x1)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
660 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
визначаємо новi функцiї, для яких рiвняння (34) набирають вигляду
\partial C(x1; \eta
(\^x1))
\partial x
(1)
1
= \varrho
\int
dy
\partial f(| x1 - y| )
\partial x
(1)
1
C(x1; \eta
(\^x1) \cup \{ y\} ), (35)
де
f(| x1 - y| ) = e - \beta \phi (| x1 - y| ) - 1.
Позначимо через x1(z) вектор
x1(z) := (x
(1)
1 , . . . , x
(d)
1 )|
x
(1)
1 =z
та зiнтегруємо обидвi частини рiвняння (35), врахувавши властивiсть (33). В результатi отри-
маємо iнтегральне рiвняння
C(x1; \eta
(\^x1)) = F (\eta (\^x1)) - \varrho
\infty \int
x
(1)
1
dz1
\int
dy1
\partial f(| x1(z1) - y1| )
\partial z1
C(x1(z1); \eta
(\^x1) \cup \{ y1\} ). (36)
Записуючи те саме спiввiдношення для функцiї C(x1(z1); \eta (\^x1) \cup \{ y1\} ) i пiдставляючи його в
(36), маємо
C(x1; \eta
(\^x1)) = F (\eta (\^x1)) - \varrho
\infty \int
x
(1)
1
dz1
\int
dy1
\partial f(| x1(z1) - y1| )
\partial z1
F (\eta (\^x1) \cup \{ y1\} )
+ \varrho 2
\infty \int
x
(1)
1
dz1
\int
dy1
\partial f(| x1(z1) - y1| )
\partial z1
\times
\infty \int
z1
dz2
\int
dy2
\partial f(| x1(z2) - y2| )
\partial z2
C(x1(z2); \eta
(\^x1) \cup \{ y1, y2\} ).
Продовжуючи цей процес до нескiнченностi, отримуємо
F (\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\left[ F (\eta (\^x1)) + \infty \sum
n=1
( - \varrho )n
\infty \int
x
(1)
1
dz1
\int
dy1
\partial f(| x1(z1) - y1| )
\partial z1
. . .
\infty \int
zn - 1
dzn
\int
dyn
\partial f(| x1(zn) - yn| )
\partial zn
F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn\} )
\right] .
Справедливою є така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 661
Лема 4. Нехай потенцiал \phi задовольняє умову (6), а функцiї F задовольняють умову (33).
Тодi вираз
In = ( - 1)n
\infty \int
x
(1)
1
dz1
\int
dy1
\partial f(| x1(z1) - y1| )
\partial z1
. . .
\infty \int
zn - 1
dzn
\int
dyn
\partial f(| x1(zn) - yn| )
\partial zn
F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn\} ) (37)
задовольняє рекурентне рiвняння
In = -
n\sum
k=1
In - kak + bn, (38)
де
ak =
1
k!
\int
dy1 . . .
\int
dyk
k\prod
i=1
f(| yi| )F (\{ y1, . . . , yk\} ), (39)
bn =
1
n!
\int
dy1 . . .
\int
dyn
n\prod
k=1
f(| x1 - yk| )F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn\} ). (40)
Доведення базується на тому фактi, що в останньому iнтегралi за змiнною dzn у виразi
(37) можна виконати iнтегрування шляхом розгляду iнтеграла в границях вiд zn - 1 до L. Потiм,
переходячи до границi L\rightarrow \infty та поступово видаляючи iнтегрування за допомогою формули
\infty \int
z
dz\prime
\int
dyn - k+1 . . . dyn
\partial f(| x1(z\prime ) - yn - k+1| )
\partial z\prime
f(| x1(z\prime ) - yn - k+2| )
. . . f(| x1(z\prime ) - yn| )F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn\} )
= F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn - k\} )
1
k
\int
dyn - k+1 . . . dyn
k\prod
i=1
f(| yn - k+i| )F (\{ yn - k+1, . . . , yn\} )
- 1
k
\int
dyn - k+1 . . . dyn
k\prod
i=1
f(| x1(z) - yn - k+i| )F (\eta (\^x1) \cup \{ y1, . . . , yn\} ),
отримуємо формулу (38).
Рекурентне вiдношення (38) означає (див. [9], формула 0.313), що In є коефiцiєнтом розкла-
ду за параметром густини \varrho =
1
v
, який виник в результатi операцiї дiлення двох нескiнченних
рядiв
\infty \sum
k=0
Ik\varrho
k =
\sum \infty
k=0
bk\varrho
k\sum \infty
k=0
ak\varrho
k
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
662 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
Iз урахуванням цього факту рiвняння (39) набере остаточного вигляду
F (\eta ) = \widetilde Q(F ) - 1e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )F (\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \varrho \sigma (d\xi ), (41)
тобто матиме такий самий вигляд, як (23) з \widetilde Q(F ) (24).
3.2.2. Iснування розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь (41). Рiвняння (41) можна розглядати як
операторне рiвняння в E\xi :
F = AF, F = F (\eta ) = F (\{ x1, . . . , xm\} ) = Fm(x1, . . . , xm),
а нелiнiйний оператор A задається таким чином:
(A\varphi )(x1) = 1, (A\varphi )m(x1, . . . , xm) = \widetilde Q(\varphi ) - 1(K\varphi )m(x1, . . . , xm), m \geq 2,
де K — лiнiйний оператор в E\xi :
(K\varphi )(x1) = 0, (K\varphi )(\eta ) = e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\int
\Gamma \Lambda
K(x1; \xi )\varphi (\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \varrho \sigma (d\xi ). (42)
Дiючи оператором симетрiї \Pi на рiвняннi (42), отримуємо нелiнiйне операторне рiвняння в E\xi :
F = \Pi AF, F = F (\eta ) = F (\{ x1, . . . , xm\} ) = Fm(x1, . . . , xm). (43)
Сформулюємо таку теорему.
Теорема 3. Припустимо, що для фiзичних параметрiв \beta i \varrho iснує таке \xi , що виконуються
умови
e\xi \varrho C(\beta ) - 1 < \xi
й
AS =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[2\beta B + \xi \varrho C(\beta )]
\xi + 1 - e\xi \varrho C(\beta )
< 1.
Тодi рiвняння (43) має єдиний розв’язок у просторi E\xi .
Доведення. Розглянемо в E\xi множину
S =
\bigl\{
\varphi : \varphi 1(x1) = 1, | \varphi m(x1, . . . , xm)| \leq \xi m - 1, m \geq 2
\bigr\}
.
Тодi для \varphi \in S отримуємо оцiнку
| (\Pi K\varphi )(x1, . . . , xm)| \leq \xi m - 2e2\beta B+\varrho C(\beta )\xi , | \widetilde Q(\varphi )| \geq \xi + 1 - e\varrho C(\beta )\xi
\xi
, (44)
з якої випливає, що
| (\Pi A\varphi )(x1, . . . , xm)| \leq AS\xi
m - 1 < \xi m - 1.
Таким чином, (\Pi A\varphi )(x1, . . . , xm) \subset S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 663
Множина S є замкненою i випуклою, тобто мiстить разом з довiльними двома векторами
\varphi 1 i \varphi 2 сегмент, що їх мiстить: \varphi (\alpha ) = \alpha \varphi 1 + (1 - \alpha )\varphi 2, 0 \leq \alpha \leq 1.
Визначимо вiдстань мiж векторами в S : d(\varphi 1, \varphi 2) = \| \varphi 1 - \varphi 2\| \xi i вiзьмемо два нескiнченно
близьких вектори \varphi 1 = \varphi i \varphi 2 = \varphi + \delta \varphi з \| \delta \varphi \| \xi < \varepsilon . Тодi для достатньо малих \varepsilon , враховуючи,
що \widetilde Q(\varphi + \delta \varphi ) = \widetilde Q(\varphi ) + \widetilde Q(\delta \varphi ) (див. (24)), та оцiнок (44) маємо
d(\Pi A\varphi 1,\Pi A\varphi 2) \leq a\varphi \| \delta \varphi \| \xi = a\varphi d(\varphi 1, \varphi 2)
з a\varphi < 1. Тому \Pi A — стискаючий оператор в S. Тодi за теоремою про нерухому точку [7]
(Exercise 3.1) рiвняння (43) має єдиний розв’язок в S, який визначається як границя послiдов-
ностi
F = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
F (n), F (n) = \Pi AF (n - 1),
а за F (0) можна вибрати будь-який вектор з S.
Наступним кроком у цьому описi є оптимальний вибiр \xi , тобто простору E\xi , так, щоб для
заданого \beta густина \varrho мала максимальне значення.
4. Побудова розкладу для кореляцiйних функцiй за параметром густини \bfitvarrho . У цьому
пунктi ми побудуємо розклад за параметром густини \varrho , виходячи з рiвняння (21) як нелiнiйного
рiвняння.
Iдея побудови розкладу полягає в тому, щоб записати лiву частину рiвняння (21) у виглядi
добутку двох твiрних функцiоналiв, привiвши вирази для \widetilde Q(\rho j) та \rho j(\eta ) до такого ж вигляду,
i прирiвняти аргументи правої та лiвої частини утворених твiрних функцiоналiв.
Для множини довiльних функцiй \psi \in C0(\Gamma 0) визначимо твiрний функцiонал
\widetilde F\psi (j) = \infty \sum
N=0
1
N !
\int
\BbbR dN
(dx)Nj(x1) . . . j(xN )\psi (x1, . . . , xN ) =
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )\psi (\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ),
де функцiонал \chi (j; \gamma ) визначено формулою
\chi (j; \gamma ) :=
\left\{ 1, \gamma = \varnothing ,\prod
x\in \gamma
j(x), \gamma \in \Gamma 0 \setminus \{ \varnothing \} ,
а j \in C0(\BbbR d) — обмежена, неперервна, невiд’ємна функцiя.
Легко пiдрахувати, скориставшись, наприклад, лемою 1 (див. також [27], гл. 4), що
\widetilde F\psi 1(j)
\widetilde F\psi 2(j) =
\widetilde F\psi 1\ast \psi 2(j) =
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )(\psi 1 \ast \psi 2)(\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ),
де \psi 1 \ast \psi 2 є добутком \psi 1 i \psi 2 в комутативнiй алгебрi \scrA , яка була введена Рюелем:
(\psi 1 \ast \psi 2)(\gamma ) =
\sum
\xi \subseteq \gamma
\psi 1(\xi )\psi 2(\gamma \setminus \xi ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
664 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
4.1. Рекурентне спiввiдношення для ядра. Запишемо рiвняння (21), (24) у виглядi
\widetilde Q(\rho j)\rho j(\eta ) = \varrho e - \beta W (x1;\eta (\^x1))j(x1)
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )\rho j(\eta
(\^x1) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), (45)
\widetilde Q(\rho j) =
\int
\Gamma 0
K(x1; \xi )\rho j(\xi )\lambda \sigma (d\xi ). (46)
Дотримуючись роботи [19], будемо розглядати рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга для неперерв-
ного функцiонала \rho j(\eta ), де вводиться додатна обмежена функцiя j : \BbbR d \rightarrow \BbbR + така, що
\rho (\eta ) = \rho j(\eta )| j=1, а розв’язок шукатимемо у виглядi
\rho j(\eta ) = \chi (j; \eta )
\int
\Gamma 0
T (\eta | \gamma )\chi (j; \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ). (47)
Таким чином, пiдставляючи в (46) вiдповiдний вираз для \rho j(\xi ), отримуємо
\widetilde Q(\rho j) =
\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
\chi (j; \xi \cup \gamma )K(x1; \xi )T (\xi | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ). (48)
Застосуємо до iнтеграла в правiй частинi (48) лему 1 з
G(\xi \cup \gamma ) = \chi (j; \xi \cup \gamma ) i H(\xi ; \gamma ) = K(x1; \xi )T (\xi | \gamma ).
Тодi
\widetilde Q(\rho j) = \widetilde F\psi 1(j) =
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )\psi 1(\gamma )\lambda \sigma (d\gamma )
з
\psi 1(\gamma ) =
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )T (\xi | \gamma \setminus \xi ).
Запишемо (47) у виглядi твiрного функцiонала
\rho j(\eta ) = \widetilde F\psi 2(j) =
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )\psi 2(\gamma )\lambda \sigma (d\gamma )
з
\psi 2(\gamma ) = \chi (j; \eta )T (\eta | \gamma ).
Лiва частина (45) є такою:
\widetilde Q(\rho j)\rho j(\eta ) = \widetilde F\psi 1(j)
\widetilde F\psi 2(j) =
\widetilde F\psi 1\ast \psi 2(j) =
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )(\psi 1 \ast \psi 2)(\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 665
де
(\psi 1 \ast \psi 2)(\gamma ) =
\sum
\xi \subseteq \gamma
\psi 1(\xi )\psi 2(\gamma \setminus \xi ) =
\sum
\xi \subseteq \gamma
\psi 2(\gamma \setminus \xi )\psi 1(\xi )
= \chi (j; \eta )
\sum
\xi \subseteq \gamma
T (\eta | \gamma \setminus \xi )
\sum
\zeta \subseteq \xi
K(x1; \zeta )T (\zeta | \xi \setminus \zeta ).
Права частина (45) пiсля пiдстановки \rho j(\eta (\^x1) \cup \xi ) (47) набирає вигляду
\varrho e - \beta W (x1;\eta (\^x1))\chi (j; \eta )
\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
\chi (j; \xi \cup \gamma )K(x1; \xi )T (\eta
(\^x1) \cup \xi | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ).
Знову використаємо лему 1 з
G(\xi \cup \gamma ) = \chi (j; \xi \cup \gamma ) i H(\xi ; \gamma ) = K(x1; \xi )T (\eta
(\^x1) \cup \xi | \gamma ).
Тодi права частина (45) матиме вигляд
\varrho e - \beta W (x1;\eta (\^x1))\chi (j; \eta )
\int
\Gamma 0
\chi (j; \gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )T (\eta
(\^x1) \cup \xi | \gamma \setminus \xi )\lambda \sigma (d\gamma ). (50)
Прирiвняємо вирази бiля \chi (j; \gamma ) пiд iнтегралами виразiв (49) i (50) i, скоротивши множники
\chi (j; \eta ), отримаємо спiввiдношення\sum
\xi \subseteq \gamma
T (\eta | \gamma \setminus \xi )
\sum
\zeta \subseteq \xi
K(x1; \zeta )T (\zeta | \xi \setminus \zeta )
= \varrho e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )T (\eta
(\^x1) \cup \xi | \gamma \setminus \xi ). (51)
Видiляючи член з \xi = \varnothing у лiвiй частинi спiввiдношення (51) i враховуючи, що T (\varnothing | \varnothing ) = 1 та
T (\varnothing | \gamma ) = 0, якщо \gamma \not = \varnothing , отримуємо нелiнiйне рекурентне спiввiдношення
T (\eta | \gamma ) = \varrho e - \beta W (x1;\eta (\^x1))
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )T (\eta
(\^x1) \cup \xi | \gamma \setminus \xi )
-
\sum
\xi \subseteq \gamma
\xi \not =\varnothing
T (\eta | \gamma \setminus \xi )
\sum
\zeta \subseteq \xi
\zeta \not =\varnothing
K(x1; \zeta )T (\zeta | \xi \setminus \zeta ). (52)
Початковi умови мають вигляд
T (\varnothing | \varnothing ) = 1, T (\varnothing | \gamma ) = 0, якщо \gamma \not = \varnothing , (53)
T (\{ \eta | \gamma ) = 0, якщо \eta \cap \gamma \not = \varnothing . (54)
4.2. Графiчна iнтерпретацiя розв’язкiв. Як i у випадку рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга для
великого канонiчного ансамблю (див. деталi в [24]), аналiтичний вираз ядра T (\eta | \gamma ) можна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
666 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
подати за допомогою внескiв графiв-лiсiв. Число N(m| n), m = | \eta | , n = | \gamma | усiх графiв-лiсiв
можна обчислити, розв’язавши рекурентне рiвняння
N(m| n) =
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
N(m+ k - 1| n - k) +
n\sum
k=1
\biggl(
n
k
\biggr)
N(m| n - k)
k\sum
l=1
\biggl(
k
l
\biggr)
N(l| k - l). (55)
Якщо вилучити нелiнiйний доданок, рекурентне рiвняння (55) можна розв’язати точно:
N(m| n) = m(m + n)n - 1 (див. [24]). Ця формула дозволяє довести збiжнiсть iнтеграла (47)
при j = 1 i малих значеннях густини. Але нелiнiйний член, очевидно, значно збiльшує кiль-
кiсть лiсових графiв. Проте, згiдно з формулою (52), кожен внесок лiсового графа, який мiстить
дерево з внеском множника K(x1; \xi ), \xi \in \gamma , що з’являється у другiй сумi в (52), включається
зi знаком мiнус. Наприклад, обчислення
T (x1| y) = \varrho 2[K(x1; y) - K(x1; y)] = 0. (56)
Це легко визначити. Тому необхiдно бiльш детально проаналiзувати цей рекурентний зв’язок.
Справедливою є така пропозицiя.
Пропозицiя 1. З початкових умов (53), (54) випливає, що
T (x1| \varnothing ) = \varrho , T (x1| \gamma ) = 0 для \gamma \not = \varnothing ,
що забезпечує рiвнiсть \rho (x1) = \varrho . Крiм того, T (\eta | \varnothing ) = \varrho | \eta | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[ - \beta U(\eta )].
Доведення випливає з (52) i (56) за iндукцiєю.
Щоб отримати розв’язок (52) мовою графiв [10, 28], визначимо множини \scrD (\eta ; \gamma ).
Зауваження 4. Множина \scrD (\eta ; \gamma ) є множиною кореневих графiв, зв’язнi компоненти яких
є двозв’язними графами щодо конфiгурацiї \gamma . Будь-який граф G \in \scrD (\eta ; \gamma ) має m = | \eta | вершин
конфiгурацiї \eta i n = | \gamma | вершин конфiгурацiї \gamma . Кожна вершина з \eta може бути вiльною вiд
лiнiй або з’єднуватися лише з вершинами y конфiгурацiї \gamma . Кожна вершина y \in \gamma сполучається
з вершинами x або y принаймнi двома лiнiями. Якщо до експоненти \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[ - \beta U(\eta )] застосувати
розклад (14), то множина \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[ - \beta U(\eta )]\scrD (\eta ; \gamma ) буде збiгатись з множиною \scrD (W ;B) з роботи
[12] (розд. 2). Роль коренiв графа вiдiграє конфiгурацiя \eta . Одноточковий граф G \in \scrD (x1;\varnothing ).
Внесок будь-якої вершини дорiвнює \varrho . Внесок лiнiї w(lxy), яка з’єднує двi вершини x та y або
yi та yj , це K(x; y).
Зауваження 5. Вiдповiдно до (47) iнтегрування виконується в точках конфiгурацiї \gamma , а
згiдно з рiвнянням (52), в ядрах T (\theta ; \xi ) конфiгурацiї \xi \subseteq \gamma i \theta можуть мiстити обидвi змiннi
вiд \eta i \gamma . Тому вiдповiднi графи множин \scrD (\theta ; \xi ) можуть мiстити лише вершини конфiгурацiї \gamma .
Основним твердженням цього пункту є така пропозицiя.
Пропозицiя 2. Розв’язок рекурентного спiввiдношення (52) можна записати внесками вiд
графiв множини \scrD (\eta ; \gamma ):
T (\eta | \gamma ) = \varrho | \eta | +| \gamma | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[ - \beta U(\eta )]
\sum
G\in \scrD (\eta ;\gamma )
wG(\eta , \gamma ).
Доведення базується на процедурi iндукцiї. Легко побачити скорочення вкладiв вiдповiдних
графiв, наприклад, для ядер T (x1, x2| y1) i T (x1, x2| y1, y2). Пiсля припущення справедливостi
леми для T (\eta (\^x1) \cup \xi | \gamma \setminus \xi ) T (\eta | \gamma \setminus \xi ) i T (\zeta | \xi \setminus \zeta ) необхiдно подати вiдповiднi експоненти у
виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
ПРО ВIРIАЛЬНI РОЗКЛАДИ КОРЕЛЯЦIЙНИХ ФУНКЦIЙ. КАНОНIЧНИЙ АНСАМБЛЬ 667
e - \beta W (x1;\eta (\^x1))e - \beta U(\eta (\^x1)\cup \xi ) = e - \beta U(\eta )e - \beta U(\xi )
m\prod
i=2
k\prod
j=1
[K(xi; yj) + 1], (57)
де m = | \eta | , k = | \xi | .
Для k = 0 (\xi = \varnothing ) у першому рядку формули (52) вираз T (\eta (\^x1)| \gamma ) вiдповiдає аналiтичному
вкладу всiх графiв \scrD (\eta ; \gamma ), у яких вершина x1 не має ребер. Для k \geq 1 (\xi \not = \varnothing ) вершини \xi
стають коренями в множинi графiв вiд \scrD (\eta (\^x1)\cup \xi | \gamma \setminus \xi ). Деякi множини \zeta \subseteq \xi (нехай | \zeta | = l) не
мають ребер, а iншi \xi \setminus \zeta мають принаймнi одне ребро з вершинами в \gamma \setminus \xi , i пiсля iнтегрування\int
(dy)lK(x1; \{ y\} l1) ця операцiя залишає цей граф у множинi \scrD (\eta ; \gamma ). Але вершини з першої
групи отримують лише одну лiнiю, яка з’єднує їх з вершиною x1. Цi вершини не сполучаються
мiж собою та вершинами \xi \setminus \zeta . Тому вони належать \scrD (\zeta ; \xi \setminus \zeta ) i всiм графам з \scrD (\eta (\^x1)\cup \xi | \gamma \setminus \xi ),
якi мають структуру wG1(\eta ; \gamma \setminus \xi )K(x1; \zeta )wG2(\zeta ; \xi \setminus \zeta ). Отже, такi графи не належать \scrD (\eta ; \gamma ),
i їх потрiбно скоротити. Це забезпечується наявнiстю аналогiчного внеску у другому рядку
формули (52). Вiдповiдно, ми застосовуємо такий самий розклад експоненти e - \beta U(\xi ), що й у
(57), i пiдсумовування за всiма можливими \zeta \subseteq \xi .
4.3. Висновок про збiжнiсть розкладу. Iснування єдиного розв’язку нелiнiйного рiвнян-
ня (21) як операторного рiвняння в банаховому просторi E\xi було доведено в [20] i коротко
викладено у попередньому пунктi. Узагальнена версiя критерiю збiжностi Грюневелда для вiрi-
ального розкладу та рекурентне спiввiдношення для твiрних функцiоналiв двозв’язних графiв
описанi в роботi [12]. Тому ми не обговорюємо це питання у цьому оглядi. Можливо бiльш
ґрунтовне дослiдження спiввiдношення (52) може внести деякi коригування.
Виконано за часткової фiнансової пiдтримки за проєктом „Симетрiя та iнтегровнiсть рiвнянь
сучасної математичної фiзики” на 2020 – 2024 рр. (номер державної реєстрацiї III-03-20) Бюро
Вiддiлення математики НАН України (протокол № 5 вiд 25.06.2020 р.).
Лiтература
1. S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, M. Röckner, Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal., 154,
№ 2, 444 – 500 (1998).
2. R. Bissacot, R. Fernandez, A. Procacci, On the convergence of cluster expansions for polymer gases, J. Stat. Phys.,
139, № 4, 598 – 617 (2010).
3. N. N. Bogolyubov, Problems of dynamical theory in statistical physics (in Russian), Gostekhteorizdat, Moscow
(1946); Translation: N. N. Bogoliubov, Problems of a dynamical theory in statistical physics, Studies in Statistical
Mechanics, J. Boer, G. E. Uhlenbeck (eds.), 1, 1 – 118 (1962).
4. N. N. Bogolyubov, B. I. Khatset, On some mathematical problems of the theory of statistical equilibrium, Dokl.
Akad. Nauk SSSR (N.S.), 66, 321 – 324 (1949).
5. N. N. Bogolyubov, D. Ya. Petrina, B. I. Khatset, Mathematical description of the equilibrium state of classical systems
on the basis of the canonical ensemble formalism, Teor. Mat. Fiz., 1, № 2, 251 – 274 (1969).
6. T. C. Dorlas, A. L. Rebenko, B. Savoie, Correlation of clusters: partially truncated correlation functions and their
decay, J. Math. Phys., 61, № 3, 033301-30 (2020).
7. R.E. Edwards, Functional analysis, New York (1965).
8. W. G. Faris, Combinatorics and cluster expansions, Probab. Surv., 7, 157 – 206 (2010).
9. I. S. Gradstein, I. M. Ryzhik, TABLES of integrals, sums, series and products (in Russian), Nauka, Moscow (1971).
10. J. Groeneveld, Estimation methods for Mayer’s graphical expansions, PhD Diss., Holland-Breumelhof (Grote Wi-
ttenburgerstraat 97) (1967).
11. C. Gruber, H. Kunz, General properties of polymer systems, Commun. Math. Phys., 22, 133 – 161 (1971).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
668 ЮРИЙ ПОГОРЄЛОВ, ОЛЕКСIЙ РЕБЕНКО
12. S. Jansen, Revisiting Groeneveld’s approach to the virial expansion, J. Math. Phys., 62, № 2, 023302 (2021);
https://doi.org/10.1063/ 5.0030148.
13. B. I. Khatset, Asymptotic expansions by degrees of density of the distribution function of systems in the state of
statistical equilibrium (in Ukrainian), Nauk. Zap. Zhitom. Pedag. Inst., Fizmat Ser., 3, 113 – 138 (1956).
14. B. I. Khatset, Asymptotic expansions by degrees of density of the distribution function of systems in the state of
statistical equilibrium (in Ukrainian), Nauk. Zap. Zhitom. Pedag. Inst., Fizmat Ser., 3, 139 – 157 (1956).
15. Yu.G. Kondratiev, T. Kuna, Harmonic analysis on configuration spaces. I. General theory, Infin. Dimens. Anal.
Quantum Probal. and Relat. Top., 5, № 2, 201 – 233 (2002).
16. R. Koteckiy, D. Preiss, Cluster expansion for abstract polymer models, Commun. Math. Phys., 103, 491 – 498 (1986).
17. T. Kuna, D. Tsagkarogiannis, Convergence of density expansions of correlation functions and the Ornstein – Zernike
equation, Ann. Henri Poincaré, 19, № 4, 1115 – 1150 (2018).
18. J. L. Lebowitz, O. Penrose, Convergence of virial expansions, J. Math. Phys., 5, 841 (1964); https://doi.org/10.1063/
1.1704186.
19. R. A. Minlos, S. K. Pogosyan, Estimates of Ursell functions, group functions, and their derivatives, Theor. Math.
Phys., 31, № 2, 408 – 418 (1977).
20. Yu. G. Pogorelov, Convergence of virial expansions for a classical canonical ensemble, Theor. and Math. Phys., 24,
№ 2, 808 – 812 (1975); https://doi.org/10.1007/BF01029066.
21. Yu. G. Pogorelov, Cluster property in a classical canonical ensemble, Theor. and Math. Phys., 30, № 3, 227 – 232
(1977); https://doi.org/10.1007/BF01036715.
22. S. Poghosyan, D. Ueltschi, Abstract cluster expansion with applications to statistical mechanical systems, J. Math.
Phys., 50, 053509 (2009); https://doi.org/10.1063/1.3124770.
23. E. Pulvirenti, D. Tsagkarogiannis, Cluster expansion in the canonical ensemble, Commun. Math. Phys., 316, № 2,
289 – 306 (2012).
24. O. L. Rebenko, On the connection of some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations, Ukr. Math. J.,
73, № 3, 93 – 106 (2021).
25. A. L. Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble, Preprint arXiv:2205.07095 [math-
ph], https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095.
26. D. Ruelle, Correlation functions of classical gases, Ann. Phys., 25, № 1, 109 – 120 (1963).
27. D. Ruelle, Statistical mechanics (rigorous results), W. A. Benjamin, Inc., New York, Amsterdam (1969).
28. G. Stell, Cluster expansions for classical systems in equilibrium, The Equilibrium Theory of Classical Fluids,
H. L. Frisch and J. L. Lebowitz, eds., Benjamin, New York (1964), p. 171 – 261.
Одержано 25.02.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-7504 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:42Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/b67faa0158eff2b9f331676d8d95ab54.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75042023-05-30T15:41:16Z On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble Про віріальні розклади кореляційних функцій. Канонічний ансамбль Pogorelov, Yu. Rebenko, A. Погорєлов, Юрiй Ребенко, Олексій Rebenko, Alexei канонічний ансамбль, кореляційні функції, рівняння Кірквуда-Зальцбурга, віріальні розклади UDC 517.9 We present a survey of works of the Kyiv School of Mathematicians published in Soviet journals in the 1940–70s. The main results are presented in the language of contemporary methods&nbsp;&nbsp;of infinite-dimensional analysis, which significantly simplifies their proofs.&nbsp;&nbsp;Nonlinear (in the density parameter) Kirkwood–Salzburg-type equations&nbsp; are obtained for the correlation functions of&nbsp; canonical ensemble. The existence and uniqueness of&nbsp; solution is established under the conditions of high temperature and low density. The material presented in our survey is supplemented by the original research of one of the authors [A. L. Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble,&nbsp; Preprint arXiv:2205.07095 [math-ph], https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095] in which new expansions&nbsp; in&nbsp; the density parameter are constructed for the correlation functions. УДК 517.9 Наведено короткий огляд праць Київської школи математиків, які були опубліковані в радянських журналах 40–70-х років минулого століття. Основні результати подано на мові сучасних методів нескінченновимірного аналізу, що значно спрощує їх доведення. Виведено нелінійні за параметром густини рівняння типу Кірквуда–Зальцбурга для кореляційних функцій канонічного ансамблю. Доведено існування та єдиність їх розв'язків у режимі високої температури та низької густини. Огляд доповнено оригінальним дослідженням одного з авторів [A.~L.~Rebenko, Virial expansions for correlation functions in canonical ensemble,&nbsp; Preprint arXiv:2205.07095 [math-ph], https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.07095], в якому побудовано нові розклади кореляційних функцій за параметром густини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7504 10.37863/umzh.v75i5.7504 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 5 (2023); 650 - 668 Український математичний журнал; Том 75 № 5 (2023); 650 - 668 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7504/9396 Copyright (c) 2023 Олексій Лукич Ребенко |
| spellingShingle | Pogorelov, Yu. Rebenko, A. Погорєлов, Юрiй Ребенко, Олексій Rebenko, Alexei On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title | On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title_alt | Про віріальні розклади кореляційних функцій. Канонічний ансамбль |
| title_full | On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title_fullStr | On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title_full_unstemmed | On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title_short | On virial expansions of correlation functions. Canonical ensemble |
| title_sort | on virial expansions of correlation functions. canonical ensemble |
| topic_facet | канонічний ансамбль кореляційні функції рівняння Кірквуда-Зальцбурга віріальні розклади |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7504 |
| work_keys_str_mv | AT pogorelovyu onvirialexpansionsofcorrelationfunctionscanonicalensemble AT rebenkoa onvirialexpansionsofcorrelationfunctionscanonicalensemble AT pogorêlovûrij onvirialexpansionsofcorrelationfunctionscanonicalensemble AT rebenkooleksíj onvirialexpansionsofcorrelationfunctionscanonicalensemble AT rebenkoalexei onvirialexpansionsofcorrelationfunctionscanonicalensemble AT pogorelovyu províríalʹnírozkladikorelâcíjnihfunkcíjkanoníčnijansamblʹ AT rebenkoa províríalʹnírozkladikorelâcíjnihfunkcíjkanoníčnijansamblʹ AT pogorêlovûrij províríalʹnírozkladikorelâcíjnihfunkcíjkanoníčnijansamblʹ AT rebenkooleksíj províríalʹnírozkladikorelâcíjnihfunkcíjkanoníčnijansamblʹ AT rebenkoalexei províríalʹnírozkladikorelâcíjnihfunkcíjkanoníčnijansamblʹ |