Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials
UDC 517.5 We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities for $2\pi$-periodic functions $f$ that can be represented in the form of generalized Poisson integrals of  functions $\varphi$ from the space $L_p,$ $1\leq p\leq \infty.$ ...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7523 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512685609713664 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна |
| author_facet | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна |
| author_sort | Serdyuk, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T15:57:32Z |
| description | UDC 517.5
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities for $2\pi$-periodic functions $f$ that can be represented in the form of generalized Poisson integrals of  functions $\varphi$ from the space $L_p,$ $1\leq p\leq \infty.$  In these inequalities, the moduli of deviations of the interpolation Lagrange polynomials $|f(x)- \tilde{S}_{n-1}(f;x)|$ for every $x\in\mathbb{R}$ are expressed via the best approximations $E_{n}(\varphi)_{L_{p}}$ of the functions $\varphi$ by trigonometric polynomials in the $L_{p}$-metrics. We also deduce asymptotic equalities for the exact upper bounds of pointwise approximations  of the  generalized Poisson integrals of functions that belong to the unit balls in the spaces $L_p,$ $1\leq p\leq\infty,$ by interpolating trigonometric polynomials on the classes $C^{\alpha,r}_{\beta,p}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i7.7523 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i7.7523
УДК 517.5
Анатолiй Сердюк, Тетяна Степанюк1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА
IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities for 2\pi -periodic functions f
that can be represented in the form of generalized Poisson integrals of functions \varphi from the space Lp, 1 \leq p \leq \infty . In
these inequalities, the moduli of deviations of the interpolation Lagrange polynomials | f(x) - \~Sn - 1(f ;x)| for every x \in \BbbR
are expressed via the best approximations En(\varphi )Lp of the functions \varphi by trigonometric polynomials in the Lp -metrics.
We also deduce asymptotic equalities for the exact upper bounds of pointwise approximations of the generalized Poisson
integrals of functions that belong to the unit balls in the spaces Lp, 1 \leq p \leq \infty , by interpolating trigonometric polynomials
on the classes C\alpha ,r
\beta ,p .
Встановлено асимптотично непокращуванi iнтерполяцiйнi аналоги нерiвностей типу Лебега для 2\pi -перiодичних
функцiй f, якi зображуються узагальненими iнтегралами Пуассона функцiй \varphi з простору Lp, 1 \leq p \leq \infty . В зазна-
чених нерiвностях модулi вiдхилень | f(x) - \~Sn - 1(f ;x)| iнтерполяцiйних полiномiв Лагранжа при кожному x \in \BbbR
оцiнюються через найкращi наближення En(\varphi )Lp функцiй \varphi тригонометричними полiномами в Lp -метриках.
Знайдено також асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж поточкових наближень iнтерполяцiйними тригоно-
метричними полiномами на класах C\alpha ,r
\beta ,p узагальнених iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям
просторiв Lp, 1 \leq p \leq \infty .
1. Вступ. Нехай Lp, 1 \leq p < \infty , — простiр 2\pi -перiодичних сумовних у p-му степенi на [0, 2\pi )
функцiй f з нормою
\| f\| Lp = \| f\| p :=
\left( 2\pi \int
0
| f(t)| pdt
\right)
1
p
;
L\infty — простiр вимiрних i суттєво обмежених 2\pi -перiодичних функцiй f з нормою
\| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
| f(t)| ;
C — простiр неперервних 2\pi -перiодичних функцiй f з нормою
\| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| .
Через C\alpha ,r
\beta \frakN , \alpha > 0, r > 0, \frakN \in L1, позначимо множину 2\pi -перiодичних функцiй f(x),
якi при всiх x \in \BbbR можна зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
P\alpha ,r,\beta (x - t)\varphi (t)dt, a0 \in \BbbR , \varphi \in \frakN , \varphi \bot 1, (1)
з фiксованими ядрами вигляду
P\alpha ,r,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \alpha , r > 0, \beta \in \BbbR . (2)
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: stepaniuk.tet@gmail.com.
c\bigcirc АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК, 2023
946 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 947
Функцiю f у рiвностi (1) називають узагальненим iнтегралом Пуассона функцiї \varphi i позначають
через \scrJ \alpha ,r
\beta \varphi . З iншого боку, функцiю \varphi у рiвностi (1) називають узагальненою похiдною
функцiї f i позначають через f\alpha ,r
\beta (тобто \varphi (\cdot ) = f\alpha ,r
\beta (\cdot )). Ядра P\alpha ,r,\beta (\cdot ) вигляду (2) називають
узагальненими ядрами Пуассона.
Зрозумiло, що якщо для заданої функцiї \varphi виконується рiвнiсть (1), то ця ж рiвнiсть вико-
нуватиметься i для довiльної iншої функцiї з L1, яка може вiдрiзнятись вiд \varphi (\cdot ) на множинi
мiри нуль. Тому далi рiвнiсть \varphi = f\alpha ,r
\beta будемо розумiти в тому сенсi, що серед усiх похiдних
f\alpha ,r
\beta є конкретна функцiя \varphi .
При довiльних r > 0 множини C\alpha ,r
\beta \frakN належать до множини D\infty нескiнченно диференцi-
йовних 2\pi -перiодичних функцiй, тобто C\alpha ,r
\beta \frakN \subset D\infty (див., наприклад, [19, c. 139; 23, c. 1408]).
При r = 1 множини C\alpha ,r
\beta \frakN є множинами звичайних iнтегралiв Пуассона i складаються iз функ-
цiй, що допускають регулярне продовження у смугу | \mathrm{I}\mathrm{m} z| < \alpha комплексної площини (див.,
наприклад, [19, c. 142]). При r > 1 класи C\alpha ,r
\beta \frakN складаються з функцiй, регулярних в усiй
комплекснiй площинi (див., наприклад, [19, c. 142]). Крiм того, як випливає з теореми 1 роботи
[24], при кожному r > 0 має мiсце вкладення C\alpha ,r
\beta \frakN \subset J1/r, де Ja, a > 0, — вiдомi класи
Жевре
Ja =
\left\{ f \in D\infty : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\Biggl(
\| f (k)\| C
(k!)a
\Biggr) 1/k
< \infty
\right\} .
Ми вивчаємо апроксимативнi властивостi множин узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta \frakN ,
коли роль \frakN вiдiграють або всi простори C чи Lp, 1 \leq p \leq \infty , або одиничнi кулi просторiв
Lp, тобто множини Up = \{ \varphi \in Lp : | | \varphi | | p \leq 1\} (далi для зручностi класи C\alpha ,r
\beta Up будемо по-
значати через C\alpha ,r
\beta ,p ), а в якостi агрегатiв наближення використовують класичнi iнтерполяцiйнi
тригонометричнi полiноми Лагранжа, що заданi непарним числом рiвномiрно розподiлених
вузлiв.
Для будь-якої функцiї f(x) iз C через \widetilde Sn - 1(f ;x) будемо позначати тригонометричний
полiном порядку n - 1, що iнтерполює f(x) у вузлах x
(n - 1)
k =
2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , тобто такий, що
\~Sn - 1(f ;x
(n - 1)
k ) = f(x
(n - 1)
k ), k = 0, 1, . . . , 2n - 2. (3)
Полiноми \widetilde Sn - 1(f ; \cdot ) однозначно задаються iнтерполяцiйними умовами (3), називаються
iнтерполяцiйними полiномами Лагранжа i можуть бути зображенi в явному виглядi через ядра
Дiрiхле
Dn - 1(t) =
1
2
+
n - 1\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
t
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
t
2
таким чином:
\~Sn - 1(f ;x) =
2
2n - 1
2n - 2\sum
k=0
f(x
(n - 1)
k )Dn - 1(x - x
(n - 1)
k ). (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
948 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Нехай \scrT 2n - 1 — простiр усiх тригонометричних полiномiв tn - 1 порядку n - 1 i En(f)Lp —
найкраще наближення функцiї f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , в Lp-метрицi тригонометричними полiно-
мами tn - 1 \in \scrT 2n - 1, тобто величина
En(f)Lp = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT 2n - 1
\| f - tn - 1\| p,
а En(f)C — найкраще рiвномiрне наближення функцii f \in C тригонометричними полiномами
tn - 1, тобто величина
En(f)C = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT 2n - 1
\| f - tn - 1\| C .
Позначимо через \~\rho n(f ; \cdot ) вiдхилення вiд функцiї f \in C її iнтерполяцiйного полiнома Ла-
гранжа \~Sn - 1(f ; \cdot ):
\~\rho n(f ;x) = f(x) - \~Sn - 1(f ;x). (5)
Для модулiв величин вигляду (5) виконується нерiвнiсть (див., наприклад, [2, 20])\bigm| \bigm| \bigm| f(x) - \~Sn - 1(f ;x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq (1 + \=Ln(x))En(f)C , f \in C, x \in \BbbR , (6)
де
\=Ln(x) =
2
2n - 1
2n - 2\sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| Dn - 1(x - x
(n - 1)
k )
\bigm| \bigm| \bigm| . (7)
Нерiвнiсть (6) є iнтерполяцiйним аналогом класичної нерiвностi Лебега, а функцiю \=Ln(x)
вигляду (7) називають функцiєю Лебега оператора \~Sn - 1 вигляду (4).
Асимптотичну поведiнку функцiї Лебега \=Ln(x) при n \rightarrow \infty описує формула
\=Ln(x) =
2
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n}n+\scrO (1), x \in \BbbR , (8)
в якiй \scrO (1) — величина, що рiвномiрно обмежена по x i n.
З урахуванням (8) нерiвнiсть (6) можна записати у виглядi
| \~\rho n(f ;x)| \leq
\biggl(
2
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n}n+\scrO (1)
\biggr)
En(f)C , f \in C, x \in \BbbR . (9)
Незважаючи на загальнiсть, ця оцiнка є асимптотично точною для кожного фiксованого
x \not = 2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , на вiдомих класах W r, r \in \BbbN , 2\pi -перiодичних функцiй, що мають
абсолютно неперервнi похiднi f (k) до (r - 1)-го порядку включно i такi, що \| f (r)\| \infty \leq 1. Цей
факт випливає iз роботи C. М. Нiкольського [3], в якiй на основi (9) при r \in \BbbN встановлено
асимптотичну формулу
\widetilde \scrE n(W r
\infty ;x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\infty
\bigm| \bigm| \bigm| f(x) - \~Sn - 1(f ;x)
\bigm| \bigm| \bigm| = 2Kr
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}n
nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +\scrO
\biggl(
1
nr
\biggr)
, (10)
де Kr =
4
\pi
\sum \infty
v=0
( - 1)v(r+1)
(2v + 1)r+1
— константи Фавара, а величина \scrO рiвномiрно обмежена по
x i n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 949
Однак при подальшому збiльшеннi гладкостi, зокрема для класiв нескiнченно диференцi-
йовних, аналiтичних чи цiлих функцiй, оцiнки вiдхилень | \~\rho n(f ;x)| , що базуються на вико-
ристаннi (6) (чи (9)), вже не є асимптотично точними i навiть можуть бути не точними за
порядком.
Точнi порядковi оцiнки \| \~\rho n(f ;x)\| C на класах
C(\varepsilon ) = \{ f \in C : Ek(f)C \leq \varepsilon k, k \in \BbbN \}
i
Lp(\varepsilon ) =
\bigl\{
f \in Lp : Ek(f)Lp \leq \varepsilon k, k \in \BbbN
\bigr\}
, 1 < p < \infty ,
\infty \sum
k=1
\varepsilon k+1
k
1 - 1
p
< \infty ,
якi задаються послiдовностями \varepsilon = \{ \varepsilon k\} \infty k=1 невiд’ємних чисел, що монотонно прямують до
нуля, було знайдено в роботах [4, 27].
У данiй роботi для функцiй з множин узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta Lp, \alpha > 0, r \in
(0, 1), \beta \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty , встановлено iнтерполяцiйнi аналоги нерiвностей типу Лебега, в яких
оцiнки зверху величин | \~\rho n(f ;x)| виражаються через найкращi наближення En(f
\alpha ,r
\beta )Lp . Також
в нiй доведено асимптотичну непокращуванiсть отриманих нерiвностей на множинах C\alpha ,r
\beta Lp.
Слiд зауважити, що при p = \infty такi нерiвностi було встановлено в роботi [7] (теорема 3).
Крiм того, в данiй роботi при всiх x \in \BbbR , \alpha > 0, \beta \in \BbbR , r \in (0, 1), 1 \leq p \leq \infty розв’язано за-
дачу Колмогорова – Нiкольського для iнтерполяцiйних полiномiв Лагранжа \~Sn - 1(f ;x) вигляду
(4) на класах узагальнених iнтегралiв Пуассона, тобто встановлено асмиптотичнi при n \rightarrow \infty
рiвностi для величин
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,r
\beta ,p
| \~\rho n(f ;x)| . (11)
Зазначимо, що при r \geq 1, 1 \leq p \leq \infty , асимптотичнi рiвностi для зазначених величин було
знайдено в роботах [5, 6, 8, 21].
У роботi [21] показано, що якщо r = 1, p = \infty , \alpha > 0, \beta \in \BbbR , x \in \BbbR , то при n \rightarrow \infty
справджується асимптотична рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,1
\beta ,\infty ;x) = e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 16
\pi 2
\bfK (e - \alpha ) +\scrO (1)
e - \alpha n
n(1 - e - \alpha n)
\biggr)
, (12)
в якiй \bfK (q) =
\int \pi
2
0
du\sqrt{}
1 - q2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 u
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а \scrO (1) —
величина, рiвномiрно обмежена по n, x, \alpha i \beta .
Як випливає з [6], для величин вигляду (11) при всiх \alpha > 0 i \beta \in \BbbR у випадку r = 1 i
1 < p \leq \infty виконується асимптотична при n \rightarrow \infty рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,1
\beta ,p ;x)
= e - \alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime F 1/p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; e - 2\alpha
\biggr)
+\scrO (1)
e - \alpha
n(1 - e - \alpha )s(p)
\biggr)
, x \in \BbbR ,
(13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
950 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
в якiй
1
p
+
1
p\prime
= 1, F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса
F (a, b; c; z) = 1 +
\infty \sum
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
,
(y)k := y(y + 1)(y + 2) . . . (y + k - 1),
s(p) задається формулою
s(p) =
\left\{ 1, p = \infty ,
2, 1 \leq p < \infty ,
а у випадку r = 1 i p = 1 — рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,1
\beta ,1 ;x) = e - \alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi
1
1 - e - \alpha
+\scrO (1)
e - \alpha
n(1 - e - \alpha )2
\biggr)
, x \in \BbbR . (14)
У формулах (13) i (14) величини \scrO (1) рiвномiрно обмеженi щодо параметрiв x, n, \beta , \alpha i p.
Оскiльки при p = \infty (p\prime = 1) \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime = \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 1 = 4 i
F
1
p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; e - 2\alpha
\biggr)
= F
\biggl(
1
2
,
1
2
; 1; e - 2\alpha
\biggr)
=
2
\pi
\bfK (e - \alpha ),
то з (13) випливає (12).
Зауважимо також, що в роботi [9] для величини вигляду (11) при r = 1, p = 2, \alpha > 0,
\beta \in \BbbR i n \in \BbbN встановлено рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,2 ;x)
= e - \alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2\sqrt{}
\pi (1 - e - 2\alpha )
\Biggl(
1 + e - 2\alpha (2n - 1)
1 - 2e - 2\alpha (2n - 1) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2n - 1)x+ e - 4\alpha (2n - 1)
\Biggr) 1
2
, x \in \BbbR .
(15)
I навiть бiльше, як випливає з [9, 10], при p = 2 та всiх r > 0, \alpha > 0, \beta \in \BbbR i n \in \BbbN для
величин \~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,2 ;x) справджується рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,2 ;x) =
2\surd
\pi
\left( \infty \sum
m=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
(2n - 1)mx
2
m(2n - 1)+n - 1\sum
k=m(2n - 1) - n+1
e - 2\alpha kr
\right) 1
2
, x \in \BbbR , (16)
що є справедливою при всiх \beta \in \BbbR i n \in \BbbN .
У випадку r > 1, як випливає з [6, 8], для величин \~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x), \alpha > 0, \beta \in \BbbR при p = \infty
має мiсце асимптотична при n \rightarrow \infty рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,\infty ;x)
= e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 8
\pi
+\scrO (1)
\biggl(
e2\alpha n
r
e2\alpha (n+1)r
+
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 2)r - 1
\biggr)
e\alpha n
r
e\alpha (n+1)r
\biggr) \biggr)
, x \in \BbbR ,
(17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 951
а при 1 \leq p < \infty — рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x)
= e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime +\scrO (1)
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 1)r - 1
\biggr)
e\alpha n
r
e\alpha (n+1)r
\biggr)
, x \in \BbbR . (18)
У формулах (17) i (18) величини \scrO (1) рiвномiрно обмеженi по x, n, r, \alpha , \beta i p.
Зазначимо також, що в роботi [11] для класiв C\alpha ,r
\beta ,1 , \alpha > 0, r > 1, \beta \in \BbbR , встановлено
асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж вiдхилень iнтерполяцiйних полiномiв \~Sn - 1(f ; \cdot )
в довiльних Lp-метриках (1 \leq p \leq \infty ).
Що стосується випадку 0 < r < 1, то асимптотичнi рiвностi для величин \~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x),
\alpha > 0, \beta \in \BbbR , за винятком наведеного вище випадку p = 2, були вiдомi лише при p = \infty
завдяки роботам [7, 22], з яких випливає, що при n \rightarrow \infty
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,\infty ;x) = e - \alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 8
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n1 - r +\scrO (1)
\biggr)
, x \in \BbbR , (19)
де \scrO (1) — величина, рiвномiрно обмежена по x, n i \beta .
В данiй роботi буде доведено, зокрема, що для довiльних 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR i x \in \BbbR
при 1 < p < \infty та n \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x)
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+\scrO (1)
1
n
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r, 1 - r
p
\}
\Biggr)
, (20)
де
1
p
+
1
p\prime
= 1, F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса, \scrO (1) — величина, рiвномiрно
обмежена по x, n i \beta , а при p = 1 — рiвнiсть
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,1 ;x) = e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi \alpha r
+\scrO (1)
1
n\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r,1 - r\}
\biggr)
. (21)
При цьому в роботi в явному виглядi записано оцiнки залишкового члена у формулах (20),
(21) через параметри задачi, що може бути корисним для практичного застосування отриманих
в нiй результатiв. Отже, на класах узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta ,p при всiх \alpha > 0,
r > 0, \beta \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty повнiстю розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для
iнтерполяцiйних полiномiв Лагранжа, яка полягає у встановленнi для кожного x \in \BbbR сильної
асимптотики величин \~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) вигляду (11) при n \rightarrow \infty .
Головний член An в асимптотичному розкладi величини (11), записаному у виглядi
\widetilde \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) = e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| (An + o(An)),
природно назвати константою Колмогорова – Нiкольського для iнтерполяцiйних полiномiв
Лагранжа на класах C\alpha ,r
\beta ,p . У таблицi наведено точнi значення зазначених констант в залежностi
вiд спiввiдношень мiж параметрами r i p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
952 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
\bfitr
An
(\bfzero , \bfone ) \bfone (\bfone ,\infty )
Степанець, Сердюк [22] Степанець, Сердюк [5]
\infty Сердюк [7] Сердюк [21] Степанець,
Сердюк [21]
8
\pi 2
(1 - r) \mathrm{l}\mathrm{n}n
16
\pi 2
\bfK (e - \alpha )
8
\pi
\bfitp
Результати авторiв роботи Сердюк [6] Сердюк,
Войтович [8]
(\bfone ,\infty ) \bfitn
\bfone - \bfitr
\bfitp
\bftwo \| \bfc \bfo \bfs \bfitt \| \bfitp \prime
\bfitpi
\bfone + \bfone
\bfitp \prime (\bfitalpha \bfitr )
\bfone
\bfitp
2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
\times \bfitF
\bfone
\bfitp \prime
\biggl(
\bfone
\bftwo
,
\bfthree - \bfitp \prime
\bftwo
;
\bfthree
\bftwo
; \bfone
\biggr)
\times F
1
p\prime
\biggl(
p\prime
2
,
p\prime
2
; 1; e - 2\alpha
\biggr)
Результати авторiв роботи Сердюк [6] Сердюк,
\bfone Войтович [8]
\bfitn \bfone - \bfitr
\bftwo
\bfitpi \bfitalpha \bfitr
2
\pi (1 - e - \alpha )
2
\pi
2. Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних полiномiв Лагранжа на множинах
узагальнених iнтегралiв Пуассона. При довiльних фiксованих \alpha > 0, r \in (0, 1) i 1 \leq p \leq \infty
позначимо через n\ast = n\ast (\alpha , r, p) найменший з номерiв n такий, що
\mathrm{l}\mathrm{n}\pi n
\alpha rnr
+
\alpha r\chi (p)
n1 - r
\leq
\left\{
1
14
, p = 1,
1
(3\pi )3
p - 1
p
, 1 < p < \infty ,
1
(3\pi )3
, p = \infty ,
(22)
де \chi (p) = p при 1 \leq p < \infty i \chi (p) = 1 при p = \infty .
Теорема 2.1. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0, 1 < p < \infty , \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi для всiх x \in \BbbR i
довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta Lp при n \geq n\ast (\alpha , r, p) виконується нерiвнiсть
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \gamma \ast n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp . (23)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta Lp можна вказати функцiю \scrF (\cdot ) = \scrF (f ;n;x, \cdot )
таку, що En(\scrF \alpha ,r
\beta )Lp = En(f
\alpha ,r
\beta )Lp i для n \geq n\ast (\alpha , r, p) справджується рiвнiсть
| \~\rho n(\scrF ;x)| = 2e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 953
+ \gamma \ast n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp . (24)
В (23) i (24) величини \gamma \ast n,p = \gamma \ast n,p(\alpha , r, \beta , f, x) такi, що | \gamma \ast n,p| < 20\pi 4.
Доведення. Згiдно з лемою 1 роботи [21], для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta Lp, 1 \leq p \leq \infty ,
\alpha > 0, r > 0, \beta \in \BbbR , у кожнiй точцi x \in \BbbR має мiсце iнтегральне зображення величини
\~\rho n(f ;x):
\~\rho n(f ;x) =
2
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2n - 1
2
x
\pi \int
- \pi
\delta n(t+ x)
\Biggl( \infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n) + rn(t)
\Biggr)
dt, (25)
в якому \delta n(\tau ) = f\alpha ,r
\beta (\tau ) - tn - 1(\tau ), tn - 1 — довiльний тригонометричний полiном iз множини
\scrT 2n - 1, а rn i \gamma n означенi за допомогою рiвностей
rn(t) = rn(\alpha ; r;\beta ;x; t) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
\nu =(2k+1)n - k
e - \alpha \nu r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
\nu t+
\biggl(
k +
1
2
\biggr)
(2n - 1)x+
\beta \pi
2
\biggr)
, (26)
\gamma n = \gamma n(\beta ;x) =
(2n - 1)x+ \pi (\beta - 1)
2
. (27)
Для знаходження оцiнки зверху модуля залишкового члена rn(t) у формулi (25) буде корис-
ним таке твердження.
Лема 2.1. Нехай \alpha > 0, r \in (0, 1), а номер n, n \in \BbbN , такий, що виконується нерiвнiсть
1
\alpha rnr
+
\alpha r
nr - 1
\leq 1
14
. (28)
Тодi
\infty \sum
k=1
\infty \sum
v=(2k+1)n - k
e - \alpha vr <
636
169
n1 - r
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r . (29)
Доведення леми 2.1 наведено у пунктi 4 даної роботи.
Зiставивши нерiвностi (22) i (28), легко переконатись, що якщо n \geq n\ast (\alpha , r, p) при довiль-
них фiксованих \alpha > 0, r \in (0, 1) i 1 \leq p \leq \infty , то при вказаних n, \alpha i r умова (28) також
виконується, а разом з нею i нерiвнiсть (29).
Тому, з урахуванням (26) при n \geq n\ast (\alpha , r, p), 1 \leq p \leq \infty , одержуємо
| rn(t)| \leq
\infty \sum
k=1
\infty \sum
v=(2k+1)n - k
e - \alpha vr <
636
169
n1 - r
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r . (30)
Покажемо, що при довiльних n \geq n\ast (\alpha , r, p), r \in (0, 1), \alpha > 0, 1 \leq p \leq \infty ,
n1 - r
\alpha r
<
1
\pi
e\alpha ((3n - 1)r - nr). (31)
Справдi, на пiдставi (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
954 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
\mathrm{l}\mathrm{n}(\pi n)
\alpha rnr
\leq 1
14
,
n1 - r
\alpha r
\geq 14, (32)
а отже,
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n
\alpha rnr
\alpha rnr
<
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n
\alpha rnr
+ \mathrm{l}\mathrm{n}\alpha rnr
\alpha rnr
=
\mathrm{l}\mathrm{n}\pi n
\alpha rnr
\leq 1
14
,
звiдки
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n
\alpha rnr
\leq \alpha rnr
14
,
або, що те саме,
\pi n
\alpha rnr
\leq e
\alpha rnr
14 . (33)
Оскiльки
r
21 - r
< 2r - 1 < r, r \in (0, 1),
то
e
\alpha rnr
14 < e
\alpha rnr
21 - r < e\alpha n
r(2r - 1) \leq e\alpha n
r((3 - 1
n
)r - 1) = e\alpha ((3n - 1)r - nr). (34)
Об’єднуючи (33) i (34), отримуємо (31).
Iз (30) i (31) випливає оцiнка для | rn(t)| :
| rn(t)| <
636
169\pi
e - \alpha nr
, n \geq n\ast (\alpha , r, p), \alpha > 0, r \in (0, 1), 1 \leq p \leq \infty . (35)
Беручи в (25) в якостi tn - 1 полiном t\ast n - 1 найкращого наближення у просторi Lp функцiї
f\alpha ,r
\beta (\cdot ), тобто такий, що
\| f\alpha ,r
\beta - t\ast n - 1\| p = En(f
\alpha ,r
\beta )Lp = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT 2n - 1
\| f\alpha ,r
\beta - tn - 1\| p, 1 \leq p \leq \infty , (36)
i застосовуючи нерiвнiсть Гельдера
\pi \int
- \pi
| h(t)g(t)| dt \leq \| h\| p\| g\| p\prime , h \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , g \in Lp\prime ,
1
p
+
1
p\prime
= 1, (37)
та оцiнку (35), для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta Lp при n \geq n\ast (\alpha , r, p) отримуємо
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( 1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
+ \theta n,pe
- \alpha nr
\right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , (38)
де \gamma n означена формулою (27), а для величини \theta n,p = \theta n,p(\alpha , r, \beta , x) виконується оцiнка | \theta n,p| <
1272
169\pi
, 1 \leq p \leq \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 955
Iз [13 – 15] випливає, що при довiльних r \in (0, 1), \alpha > 0, \xi \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty i n \geq n0(\alpha , r, p),
де n0(\alpha , r, p) — найменший з номерiв n, такий, що
1
\alpha rnr
+
\alpha r\chi (p)
n1 - r
\leq
\left\{
1
14
, p = 1,
1
(3\pi )3
p - 1
p
, 1 < p < \infty ,
1
(3\pi )3
, p = \infty ,
(39)
мають мiсце оцiнки
1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+ \gamma (1)n,p
\Biggl(
1
(\alpha r)
1+ 1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
1
nr
+
1
n
1 - r
p
\Biggr) \Biggr)
,
(40)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi ) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+ \gamma (2)n,p
\Biggl(
1
(\alpha r)
1+ 1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
1
nr
+
1
n
1 - r
p
\Biggr) \Biggr)
,
(41)
в яких
1
p
+
1
p\prime
= 1, Is(v) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\surd
1 + t2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Ls[0,v]
,
Is(v) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\surd
1 + t2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Ls[0,v]
=
\left\{
\biggl( \int v
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\surd
1 + t2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| sdt\biggr) 1
s
, 1 \leq s < \infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,v]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\surd
1 + t2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , s = \infty ,
(42)
а для величин \gamma
(i)
n,p = \gamma
(i)
n,p(\alpha , r, \xi ), i = 1, 2, виконуються нерiвностi | \gamma (i)n,p| \leq (14\pi )2.
Враховуючи, що згiдно з (22) i (39) n0(\alpha , r, p) \leq n\ast (\alpha , r, p), то, застосовуючи формулу (40)
при \xi = \gamma n, де \gamma n означена формулою (27), iз (37) i (38) при n \geq n\ast (\alpha , r, p) отримуємо
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
\gamma
(1)
n,p
(\alpha r)
1+ 1
p
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
1
nr
+
\Bigl(
\gamma (1)n,p + \theta n,p
\Bigr) 1
n
1 - r
p
\Biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , 1 \leq p \leq \infty .
(43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
956 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Як встановлено в [15], при 1 < p < \infty i n \geq n0(\alpha , r, p)
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
= F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
\Theta
(1)
\alpha ,r,p,n
p\prime - 1
\Bigl( \alpha r
\pi n1 - r
\Bigr) p\prime - 1
, (44)
де | \Theta (1)
\alpha ,r,p,n| < 2, i, крiм того,
Ip\prime
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
< p
1
p\prime . (45)
Iз (44), (45), а також з очевидної нерiвностi
1
n
1 - r
p
>
1
n(1 - r)(p\prime - 1)
випливає, що при n \geq n0(\alpha , r, p), 1 < p < \infty , \xi \in \BbbR спiввiдношення (40) i (41) приводять до
оцiнок
1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \=\gamma (1)n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) ,
(46)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi ) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \=\gamma (2)n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) ,
(47)
де
1
p
+
1
p\prime
= 1, а для величин \=\gamma
(i)
n,p = \=\gamma
(i)
n,p(\alpha , r, \xi ) виконуються нерiвностi | \=\gamma (i)n,p| \leq (14\pi )2.
Застосовуючи формулу (46) при \xi = \gamma n, де \gamma n означена рiвнiстю (27), i враховуючи, що
n0(\alpha , r, p) \geq n\ast (\alpha , r, p), iз (35) при n \geq n\ast (\alpha , r, p), 1 < p < \infty , маємо
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
\left( \=\gamma (1)n,p
\left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) + \theta n,p
\right) 1
n
1 - r
p
+ \=\gamma (1)n,p
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp . (48)
Оскiльки | \=\gamma (1)n,p + \theta n,p| < 20\pi 4, то з (48) випливає оцiнка (23).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 957
Далi доведемо справедливiсть другої частини теореми 2.1. Використовуючи iнтегральне
зображення (25) та беручи до уваги ортогональнiсть функцiї rn(t) вигляду (26) до будь-якого
тригонометричного полiнома tn \in \scrT 2n - 1, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta Lp, 1 \leq p \leq \infty , в
кожнiй точцi x \in \BbbR можемо записати
\~\rho n(f ;x) = f(x) - \~Sn(f ;x)
= 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2n - 1
2
x
\left( 1
\pi
\pi \int
- \pi
f\alpha ,r
\beta (t+ x)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt+
1
\pi
\pi \int
- \pi
\delta n(t+ x)rn(t)dt
\right) ,
(49)
де \delta n(\cdot ) = f\alpha ,r
\beta (\cdot ) - tn - 1(\cdot ), tn - 1 — довiльний полiном з \scrT 2n - 1, а rn(t) i \gamma n = \gamma n(\beta ;x) означенi
за допомогою рiвностей (26) та (27) вiдповiдно. Для функцiї
gx(\cdot ) :=
1
\pi
\pi \int
- \pi
f\alpha ,r
\beta (t+ x)
\infty \sum
k=1
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt, (50)
яка належить множинi C\alpha ,r
2\gamma n/\pi
Lp, при фiксованому x \in \BbbR вiдхилення її частинних сум Фур’є
Sn - 1(gx, \cdot ) порядку n - 1 пiдпорядкованi рiвностi
\rho (gx; \cdot ) = gx(\cdot ) - Sn - 1(gx, \cdot ) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f\alpha ,r
\beta (t+ \cdot )
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt, (51)
i, зокрема,
\rho (gx;x) = gx(x) - Sn - 1(gx, x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f\alpha ,r
\beta (t+ x)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt. (52)
У вiдповiдностi з теоремою 1 роботи [16] для функцiї gx(\cdot ) при кожному n \in \BbbN знайдеться
функцiя G(\cdot ) = G(f ;n;x; \cdot ) така, що
En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)Lp = En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , 1 < p < \infty , (53)
i при n \geq n0(\alpha , r, p)
\| \rho n(G; \cdot )\| C = \| f(x) - Sn(f ;x)\| C
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \gamma n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , (54)
1
p
+
1
p\prime
= 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
958 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
де \gamma n,p = \gamma n,p(\alpha , r, \beta , x) пiдпорядкована нерiвностi | \gamma n,p| \leq (14\pi )2.
Виберемо точку x0 таким чином, щоб справджувалась рiвнiсть
| \rho n(G;x0)| = \| \rho n(G; \cdot )\| C . (55)
Покладемо
\scrF (t) := \scrJ \alpha ,r
\beta G\alpha ,r
2\gamma n/\pi
(t - x+ x0). (56)
За означенням \scrF (t) \in C\alpha ,r
\beta Lp. Покажемо, що вона є шуканою функцiєю. Справдi, оскiльки
згiдно з (56) \scrF \alpha ,r
\beta (t) = G\alpha ,r
2\gamma n/\pi
(t - x + x0), то з урахуванням (54) та iнварiантностi Lp-норми
щодо зсуву аргументу отримуємо
En(\scrF \alpha ,r
\beta )Lp = En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)Lp = En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , 1 < p < \infty . (57)
Крiм того, на пiдставi (49), (53) – (55), (30) i (38) для довiльного заданого значення аргументу
x \in \BbbR при n \geq n\ast (\alpha , r, p) маємо
| \~\rho n(\scrF ;x)|
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( 1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
G\alpha ,r
2\gamma n/\pi
(x0 + t)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \theta n,pe
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )Lp
\right)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( | \rho n(G;x0)| + \theta n,pe
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )Lp
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \| \rho n(G; \cdot )\| C + \theta n,pe
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )Lp
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e - \alpha nr
n
1 - r
p
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \gamma n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) +
\theta n,p
n
1 - r
p
\right) En(f
\alpha ,r
\beta )Lp , (58)
де для величин \gamma n,p i \theta n,p виконуються оцiнки | \gamma n,p| \leq (14\pi )2, | \theta n,p| <
1272
169\pi
i | \theta n,p + \gamma n,p| <
20\pi 4. Iз рiвностей (58) випливає (24).
Теорему 2.1 доведено.
Теорема 2.2. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR i n \in \BbbN . Тодi для будь-якого x \in \BbbR i довiльної
функцiї f \in C\alpha ,r
\beta L1 при n \geq n\ast (\alpha , r, 1) виконується нерiвнiсть
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
\pi \alpha r
+ \gamma \ast n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (59)
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta L1 можна вказати функцiю \scrF (\cdot ) = \scrF (f ;n;x, \cdot ) з
множини C\alpha ,r
\beta L1 таку, що En(\scrF \alpha ,r
\beta )L1 = En(f
\alpha ,r
\beta )L1 i при n \geq n\ast (\alpha , r, 1) справджується
рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 959
| \~\rho n(\scrF ;x)| = 2e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
\pi \alpha r
+ \gamma \ast n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (60)
В (59) i (60) величини \gamma \ast n,1 = \gamma \ast n,1(\alpha , r, \beta , f, x) такi, що | \gamma \ast n,1| < 20\pi 4.
Доведення. Для встановлення нерiвностi (59) використаємо формулу (43) при p = 1, згiдно
з якою при довiльних x \in \BbbR , f \in C\alpha ,r
\beta L1 i n \geq n\ast (\alpha , r, 1)
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| \infty
\pi \alpha r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\surd
t2 + 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\infty [0,\pi n1 - r
\alpha r
]
+
\gamma
(1)
n,1
(\alpha r)2
1
nr
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\surd
t2 + 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\infty [0,\pi n1 - r
\alpha r
]
+ (\gamma
(1)
n,1 + \theta n,1)
1
n1 - r
\Biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1
= 2e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
1
\pi \alpha r
+
\gamma
(1)
n,1
(\alpha r)2
1
nr
+ (\gamma
(1)
n,1 + \theta n,1)
1
n1 - r
\Biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 ,
(61)
де | \gamma n,1| \leq (14\pi )2, | \theta n,1| <
1272
169\pi
. Оскiльки | \gamma (1)n,1 + \theta n,1| < 20\pi 4, то з (61) випливає оцiнка (59).
Доведемо другу частину теореми 2.2. Для довiльної f \in C\alpha ,r
\beta L1 i довiльного фiксованого
x \in \BbbR має мiсце рiвнiсть (49), в якiй f\alpha ,r
\beta \in L1. Розглянемо функцiю gx(\cdot ) вигляду (50), що
належить множинi C\alpha ,r
2\gamma n/\pi
L1. Для вiдхилень частинних сум Фур’є Sn - 1(gx; \cdot ) порядку n - 1
вiд функцiї gx(\cdot ) виконується рiвнiсть (51) (а отже, i (52)). Вiдповiдно до теореми 2 роботи [16]
для функцiї gx(\cdot ) при кожному n \in \BbbN знайдеться функцiя G(\cdot ) = G(f, n;x; \cdot ) така, що
En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)L1 = En(f
\alpha ,r
\beta )L1 (62)
i при n \geq n0(\alpha , r, 1)
\| \rho n(G, \cdot )\| C = \| G(\cdot ) - Sn - 1(G; \cdot )\| C
= e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+ \gamma n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L1 , (63)
де \gamma n,1 = \gamma n,1(\alpha , r, \beta , x) пiдпорядкована умовi | \gamma n,1| \leq (14\pi )2.
Виберемо точку x0 таким чином, щоб виконувалась рiвнiсть (55). Розглянемо функцiю
\scrF (t), означену рiвнiстю (56), яка належить множинi C\alpha ,r
\beta L1, i покажемо, що ця функцiя є
шуканою. Для функцiї \scrF (t) з урахуванням формул (62), (56) та iнварiантностi L1-норми щодо
зсуву аргументу маємо
En(\scrF \alpha ,r
\beta )L1 = En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)L1 = En(f
\alpha ,r
\beta )L1 . (64)
Крiм того, на пiдставi (49), (62), (63), (55), (35) i (37) для довiльного заданого значення аргу-
менту x \in \BbbR при n \geq n\ast (\alpha , r, 1) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
960 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
| \~\rho n(\scrF ;x)| = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\times
\left( 1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
G\alpha ,r
2\gamma n/\pi
(x0 + t)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \theta n,1e
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )L1
\right)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( | \rho n(G, x0)| + \theta n,1e
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )L1
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \| \rho n(G, \cdot )\| C + \theta n,1e
- \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )L1
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+ \gamma n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr)
+
\theta n,1
n1 - r
\biggr)
En(\varphi )L1 ,
(65)
де для величин \gamma n,1 i \theta n,1 виконуються оцiнки | \gamma n,1| \leq (14\pi )2, | \theta n,1| <
1272
169\pi
i | \gamma n,1 + \theta n,1| <
20\pi 4. Iз рiвностi (65) випливає (60).
Теорему 2.2 доведено.
Теорема 2.3. Нехай r \in (0, 1), \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi для всiх x \in \BbbR i довiльної функцiї
f \in C\alpha ,r
\beta L\infty при p = \infty i n \geq n\ast (\alpha , r,\infty ) виконується нерiвнiсть
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \gamma \ast n,\infty
\biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L\infty , (66)
де для величини \gamma \ast n,\infty (\alpha , r, \beta , x) має мiсце оцiнка | \gamma \ast n,\infty | < 20\pi 4.
Крiм того, для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta C можна вказати функцiю \scrF (x) = \scrF (f ;n;x; \cdot ) з
множини C\alpha ,r
\beta C таку, що En(\scrF \alpha ,r
\beta )C = En(f
\alpha ,r
\beta )C i для n \geq n\ast (\alpha , r,\infty ) виконується рiвнiсть
| \~\rho n(\scrF ;x)| = 2e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \gamma \ast \ast n,\infty
\biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )C . (67)
У формулi (67) для величини \gamma \ast \ast n,\infty = \gamma \ast \ast n,\infty (\alpha , r, \beta , f, x) має мiсце оцiнка | \gamma \ast \ast n,\infty | < 1951.
Зрозумiло, що якщо в умовах теореми 2.3 f \in C\alpha ,r
\beta C, то в нерiвностi (66) величину
En(f
\alpha ,r
\beta )L\infty можна замiнити на En(f
\alpha ,r
\beta )C .
Доведення. Для встановлення нерiвностi (66) скористаємось оцiнкою (43) при p = \infty , а
також оцiнкою (див. формулу (112) iз [14])
I1
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
=
\pi n1 - r
\alpha r\int
0
dt\surd
1 + t2
= \mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n, 0 < \Theta \alpha ,r,n < 1, (68)
де I1(v) означена формулою (42) при s = p\prime = 1.
Отже, як випливає з (43) i (68), при n \geq n\ast (\alpha , r,\infty ) для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta L\infty
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 961
| \~\rho n(f ;x)| \leq 2e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+
4
\pi 2
\Theta \alpha ,r,n
+ \gamma (1)n,\infty
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n
\biggr)
1
\alpha rnr
+ \gamma (1)n,\infty + \theta n,\infty
\biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )L\infty . (69)
Оскiльки при n \geq n\ast (\alpha , r,\infty )
4
\pi 2
(\mathrm{l}\mathrm{n}\pi +\Theta \alpha ,r,n) + | \gamma (1)n,\infty |
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n
\biggr)
1
\alpha rnr
+ | \gamma (1)n,\infty + \theta n,\infty |
<
4(1 + \mathrm{l}\mathrm{n}\pi )
\pi 2
+
2(14\pi )2
(3\pi )3
+ (14\pi )2 +
1272
169\pi
< 20\pi 4, (70)
то з (69) i (70) випливає оцiнка (66).
Доведемо другу частину теореми 2.3. Для довiльної функцiї f \in C\alpha ,r
\beta C i будь-якого фiксо-
ваного значення x \in \BbbR виконується рiвнiсть (49), в якiй f\alpha ,r
\beta \in C. Розглянемо функцiю gx(\cdot )
вигляду (50) з множини C\alpha ,r
2\gamma n/\pi
C. Для вiдхилень \rho n(gx, \cdot ) частинних сум Фур’є Sn - 1(gx; \cdot ) по-
рядку n - 1 вiд функцiї gx(\cdot ) виконується рiвнiсть (51) (а отже, i (52)). Вiдповiдно до теореми
1 роботи [17] для функцiї gx при будь-якому n \in \BbbN знайдеться функцiя G(\cdot ) = G(f ;n;x; \cdot ) з
множини C\alpha ,r
2\gamma n/\pi
C така, що
En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)C = En(f
\alpha ,r
\beta )C (71)
i при всiх n \geq n1(\alpha , r), де n1(\alpha , r) — найменше натуральне число, що задовольняє нерiвнiсть
1
\alpha rnr
\biggl(
1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
\alpha r
n1 - r
<
1
(3\pi )3
, \alpha > 0, r \in (0, 1), (72)
виконується рiвнiсть
\| \rho n(G, \cdot )\| C = \| G(\cdot ) - Sn - 1(G, \cdot )\| C = e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma n,\infty
\biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )C , (73)
де \=\gamma n,\infty = \=\gamma n,\infty (\alpha , r, \beta , x) пiдпорядкована умовi | \=\gamma n,\infty | \leq 20\pi 4.
Покажемо, що
n1(\alpha , r) \leq n\ast (\alpha , r,\infty ), (74)
тобто при будь-яких \alpha > 0 i r \in (0,\infty ) з умови
\mathrm{l}\mathrm{n}\pi n
\alpha rnr
+
\alpha r
n1 - r
\leq 1
(3\pi )3
(75)
випливає нерiвнiсть (72). Справдi, iз (75) безпосередньо отримуємо, що
\alpha rnr \geq (3\pi )3 \mathrm{l}\mathrm{n}\pi n \geq (3\pi )3 \mathrm{l}\mathrm{n}\pi ,
а тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
962 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
1 - \mathrm{l}\mathrm{n}\alpha rnr \leq 1 - \mathrm{l}\mathrm{n}(3\pi )3 \mathrm{l}\mathrm{n}\pi < 0. (76)
Отже, за виконання (75) з урахуванням (76) можемо записати
1
\alpha rnr
\biggl(
1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
\alpha r
n1 - r
=
1
\alpha rnr
(1 - \mathrm{l}\mathrm{n}\alpha rnr + \mathrm{l}\mathrm{n}\pi n) +
\alpha r
n1 - r
<
\mathrm{l}\mathrm{n}\pi n
\alpha rnr
+
\alpha r
n1 - r
\leq 1
(3\pi )3
,
звiдки випливає (72). Тим самим нерiвнiсть (74) доведено.
Виберемо точку x0 таким чином, щоб виконувалась рiвнiсть (55). Розглянемо, як i ранiше,
функцiю \scrF , що задається формулою (56). Ця функцiя з множини C\alpha ,r
\beta C i буде шуканою. Для
неї з урахуванням (71) та iнварiантностi рiвномiрної норми щодо зсуву аргументу маємо
En(\scrF \alpha ,r
\beta )C = En(G
\alpha ,r
2\gamma n/\pi
)C = En(f
\alpha ,r
\beta )C . (77)
Крiм того, на пiдставi (49), (77), (73), (55), (35) – (37) i (74) для довiльного значення аргументу
x \in \BbbR при n \geq n\ast (\alpha , r,\infty ) отримуємо
| \~\rho n(\scrF ;x)| = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\times
\left( 1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
G\alpha ,r
2\gamma n/\pi
(x0 + t)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \theta n,\infty e - \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )C
\right)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( | \rho n(G;x0)| + \theta n,\infty e - \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )C
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \| \rho n(G; \cdot )\| C + \theta n,\infty e - \alpha nr
En(f
\alpha ,r
\beta )C
\Bigr)
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma n,\infty + \theta n,\infty
\biggr)
En(f
\alpha ,r
\beta )C , (78)
де для величин \=\gamma n,\infty i \theta n,\infty виконуються оцiнки | \=\gamma n,\infty | \leq 20\pi 4, | \theta n,\infty | < 1272
169\pi
i | \=\gamma n,\infty +\theta n,\infty | <
1951.
Теорему 2.3 доведено.
3. Розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для iнтерполяцiйних полiномiв
Лагранжа на класах узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta ,p . Iз теорем 2.1 – 2.3 даної
роботи випливає, що нерiвностi (23), (59) i (66) є асимптотично непокращуваними на множи-
нах узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta Lp при всiх x \in \BbbR , \beta \in \BbbR , \alpha > 0, r \in (0, 1) i
1 \leq p \leq \infty . Зрозумiло, що зазначенi нерiвностi мають мiсце i для довiльних пiдмножин iз
C\alpha ,r
\beta Lp, якими є множини C\alpha ,r
\beta \frakN , \frakN \subset Lp i, зокрема, класи
C\alpha ,r
\beta ,p = C\alpha ,r
\beta Up, Up = \{ \varphi \in Lp : | \varphi \| p \leq 1\} .
Розглядаючи точнi верхнi межi в обох частинах кожної з нерiвностей (23), (59) i (66) по
класу C\alpha ,r
\beta ,p при p \in (1,\infty ), p = 1 та p = \infty вiдповiдно i враховуючи, що для довiльної
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 963
f \in C\alpha ,r
\beta ,p , 1 \leq p \leq \infty , En(f
\alpha ,r
\beta )Lp \leq 1, отримуємо, що при n \geq n\ast (\alpha , r, p) i всiх x \in \BbbR
виконуються нерiвностi
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) \leq 2e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \=\gamma \ast n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) , 1 < p < \infty ,
1
p
+
1
p\prime
= 1,
(79)
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,1 ;x) \leq 2e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1
\pi \alpha r
+ \=\gamma \ast n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
, (80)
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,\infty ;x) \leq 2e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma \ast n,\infty
\biggr)
, (81)
де | \=\gamma \ast n,p| < 20\pi 4 при 1 \leq p \leq \infty .
Виявляється, що в (79) – (81) знак \leq можна замiнити на знак =. Цей факт випливатиме з
такого твердження.
Теорема 3.1. Нехай r \in (0, 1), \alpha > 0, \beta \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty i x \in \BbbR . Тодi при n \geq n\ast (\alpha , r, 1)
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,1 ;x) = e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi \alpha r
+ \delta \ast n,1
\biggl(
1
n1 - r
+
1
(\alpha r)2nr
\biggr) \biggr)
, (82)
при n \geq n\ast (\alpha , r, p) i 1 < p < \infty
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) = e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ \delta \ast n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) , (83)
а при n \geq n\ast (\alpha , r,\infty )
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,\infty ;x) = e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 8
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \delta \ast n,\infty
\biggr)
. (84)
У формулах (82) – (84) для величин \delta \ast n,p = \delta \ast n,p(\alpha , r, \beta , x) виконується оцiнка | \delta \ast n,p| < 40\pi 4.
Доведення. Будемо вiдштовхуватись вiд iнтегрального зображення (25), в якому f \in C\alpha ,r
\beta ,
1 \leq p \leq \infty . Розглядаючи точнi верхнi межi модулiв обох частин рiвностi (25) при tn - 1 \equiv 0 по
класу C\alpha ,r
\beta ,p та враховуючи iнварiантнiсть множини
U0
p =
\left\{ \varphi \in Lp : \| \varphi \| p \leq 1,
\pi \int
- \pi
\varphi (t)dt = 0
\right\} , 1 \leq p \leq \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
964 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
щодо зсуву аргументу при всiх \alpha > 0, \beta \in \BbbR , x \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty i n \in \BbbN маємо
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,r
\beta ,p
| \~\rho n(f ;x)|
= 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in U0
p
1
\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (t)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt+ \xi n\| rn(\cdot )\| C
\right) , (85)
де \gamma n i rn(t) означенi рiвностями (27) i (26) вiдповiдно, а для величини \xi n = \xi n(\alpha , r, \beta , p)
виконується нерiвнiсть | \xi n| \leq 2.
Iз спiввiдношень двоїстостi (див., наприклад, [2, с. 27]) отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in U0
p
1
\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (t)
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n)dt =
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \gamma n) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
,
1
p
+
1
p\prime
= 1.
(86)
Розглянемо випадок p = 1. Iз [13 – 15] випливає, що при довiльних r \in (0, 1), \alpha > 0, \xi \in \BbbR
i n \geq n0(\alpha , r, 1), де n0(\alpha , r, 1) — найменший з номерiв n такий, що задовольняє нерiвнiсть (39)
при p = 1, мають мiсце оцiнки\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
= e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+ \=\gamma
(1)
n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
, (87)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi ) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\prime
= e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+ \=\gamma
(2)
n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
, (88)
в яких для величин \=\gamma
(i)
n,1 = \=\gamma
(i)
n,1(\alpha , r, \xi ), i = 1, 2, виконуються нерiвностi | \=\gamma (i)n,1| \leq (14\pi )2.
Застосовуючи формулу (88) при \xi = \gamma n, де \gamma n означена рiвнiстю (27), i враховуючи, що
n0(\alpha , r, 1) \leq n\ast (\alpha , r, 1), iз (85), (86), (88) i (35) для n \geq n\ast (\alpha , r, 1) маємо
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,1 ;x) = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+ \=\gamma
(2)
n,1
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr)
+ \theta n,1e
- \alpha nr
\biggr) \biggr)
= e - \alpha nr
n1 - r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 2
\pi \alpha r
+ 2\=\gamma
(2)
n,1
1
(\alpha r)2
1
nr
+ 2
\Bigl(
\=\gamma
(2)
n,1 + \theta n,1
\Bigr) 1
n1 - r
\biggr)
, (89)
де | \theta n,1| <
1272
169\pi
. Оскiльки 2
\Bigl(
| \=\gamma (2)n,1| + | \theta n,1|
\Bigr)
< 40\pi 4, то iз (89) випливає (82).
Нехай p \in (0, 1). В цьому випадку має мiсце оцiнка (47), що справджується при всiх
n \geq n0(\alpha , r, p), 1 < p < \infty . Застосовуючи (47) при \xi = \gamma n, де \gamma n означена формулою (27),
i враховуючи, що n0(\alpha , r, p) \leq n\ast (\alpha , r, p), 1 < p < \infty , iз (85), (86) i (35) при n \geq n\ast (\alpha , r, p)
отримуємо
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x) = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( e - \alpha nr
n
1 - r
p
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 965
+ \=\gamma (2)n,p
\left( \left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) 1
n
1 - r
p
+
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
pnr
\right) \right) + \theta n,pe
- \alpha nr
\right)
= e - \alpha nr
n
1 - r
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( 2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi
1+ 1
p\prime (\alpha r)
1
p
F
1
p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+ 2\=\gamma (2)n,p
p
1
p\prime
(\alpha r)
1+ 1
p
1
nr
+
\left( 2\=\gamma (2)n,p
\left( 1 +
(\alpha r)
p\prime - 1
p
p\prime - 1
\right) + 2\theta n,p
\right) 1
n
1 - r
p
\right) , (90)
де | \theta n,p| <
1272
169\pi
.
Враховуючи, що 2
\Bigl(
| \=\gamma (2)n,p| + | \theta n,p|
\Bigr)
< 40\pi 4, iз (90) одержуємо (83).
Нехай, нарештi, p = \infty . На пiдставi (68) i формул (46), (47), застосованих при p = \infty , для
всiх номерiв n \geq n0(\alpha , r,\infty ) i довiльних \alpha > 0, r \in (0, 1), \gamma \in \BbbR мають мiсце оцiнки
1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
= e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+
4
\pi 2
\Theta \alpha ,r,n + \gamma (1)n,\infty
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n
\biggr)
1
\alpha rnr
+ \gamma (1)n,\infty
\biggr)
, (91)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi ) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
= e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+
4
\pi 2
\Theta \alpha ,r,n + \gamma (2)n,\infty
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n
\biggr)
1
\alpha rnr
+ \gamma (2)n,\infty
\biggr)
, (92)
де | \gamma (i)n,\infty | \leq (14\pi )2, i = 1, 2, а 0 < \Theta \alpha ,r,n < 1.
При n \geq n1(\alpha , r), де n1(\alpha , r) — найменше натуральне число, яке задовольняє нерiв-
нiсть (72), мають мiсце оцiнки
4
\pi 2
(\mathrm{l}\mathrm{n}\pi +\Theta \alpha ,r,n) + | \gamma (i)n,\infty |
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\pi n1 - r
\alpha r
+\Theta \alpha ,r,n
\biggr)
1
\alpha rnr
+ | \gamma (i)n,\infty |
<
4(1 + \mathrm{l}\mathrm{n}\pi )
\pi 2
+ (14\pi )2
\biggl(
1
(3\pi )3
+ 1
\biggr)
< 1938. (93)
Iз (91), (92) з урахуванням нерiвностi n1(\alpha , r) > n0(\alpha , r,\infty ) отримуємо, що при \alpha > 0,
r \in (0, 1), \gamma \in \BbbR i n \geq n1(\alpha , r)
1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
= e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma (1)n,\infty
\biggr)
, (94)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kt+ \xi ) - \lambda
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
= e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma (2)n,\infty
\biggr)
, (95)
де | \=\gamma (i)n,\infty | < 1938, i = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
966 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
Застосовуючи формулу (95) при \xi = \gamma n, де \gamma n означена рiвнiстю (27), i враховуючи (74), iз
(85), (86) i (35) для n \geq n\ast (\alpha , r,\infty ) маємо
\~\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,\infty ;x) = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ \=\gamma (2)n,\infty
\biggr)
+ \theta n,\infty e - \alpha nr
\biggr)
= e - \alpha nr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 8
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n1 - r
\alpha r
+ 2
\Bigl(
\=\gamma (2)n,\infty + \theta n,\infty
\Bigr) \biggr)
, (96)
де | \theta n,\infty | < 1272
169\pi
.
Враховуючи, що 2
\Bigl(
| \=\gamma (2)n,\infty | + | \theta n,\infty |
\Bigr)
< 40\pi 4, iз (96) отримуємо (84).
Теорему 3.1 доведено.
Зауважимо, що оцiнка (84) уточнює оцiнку (45) роботи [7].
Також зазначимо, що оцiнки (82) – (84), з яких випливають асимптотичнi рiвностi величин\widetilde \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x), 1 \leq p \leq \infty , \alpha > 0, \beta \in \BbbR , r \in (0, 1), при n \rightarrow \infty , є iнтерполяцiйними аналогами
отриманих в [14] (див. також [13, 15, 18]) вiдповiдних оцiнок для величин
\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,r
\beta ,p
\| f - Sn - 1(f)\| C , (97)
де Sn - 1(f) — частиннi суми Фур’є порядку n - 1 функцiї f.
Зiставляючи формули (82) – (84) з оцiнками (17), (18), (30) роботи [14], переконуємось у
виконаннi граничного спiввiдношення для величин (11) i (97) при n \rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\widetilde \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p ;x)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )C
= 2, 1 \leq p \leq \infty , \alpha > 0, r \in (0, 1), \beta \in \BbbR . (98)
Для класiв функцiй скiнченної гладкостi ситуацiя принципово iнша.
Нехай, як i ранiше, W r
\infty — клас 2\pi -перiодичних функцiй f таких, що їхнi похiднi f (k) до
(r - 1)-го порядку включно абсолютно неперервнi, а \| f (r)\| \infty \leq 1. Як показав А. М. Колмо-
горов [1],
\scrE n(W r
\infty )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\infty
\| f - Sn - 1(f)\| C =
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}n
nr
+\scrO
\biggl(
1
nr
\biggr)
, r \in \BbbN . (99)
Зiставлення оцiнки Колмогорова (99) для сум Фур’є з оцiнкою Нiкольського (10) для iнтер-
поляцiйних полiномiв дозволяє записати при x \not = 2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , граничне спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\widetilde \scrE n(W r
\infty ;x)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrE n(W r
\infty )C
= 2
\infty \sum
v=0
( - 1)v(r+1)
(2v + 1)r+1
, r \in \BbbN . (100)
Як видно iз (100), границя спiвiдношення
\widetilde \scrE n(W r
\infty ;x)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrE n(W r
\infty )C
при n \rightarrow \infty залежить вiд
показника гладкостi.
Стосовно уточнень та узагальнень оцiнки (99) див., наприклад, [12, 19, 25, 26].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 967
4. Доведення леми 2.1. Нехай n \in \BbbN таке, що виконується нерiвнiсть (28). Покажемо, що
при вказаних n має мiсце оцiнка
\infty \sum
k=1
\infty \sum
v=(2k+1)n - k
e - \alpha vr <
636
169
n1 - r
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r .
Насамперед зауважимо, що для довiльної додатної i спадної функцiї \xi (u) такої, що\int \infty
m
\xi (u)du < \infty , виконується спiввiдношення
\infty \sum
j=m
\xi (j) < \xi (m) +
\infty \int
m
\xi (u)du. (101)
У роботi [14] (формула (22)) було встановлено оцiнку
\infty \int
m
e - \alpha tr t\delta dt =
e - \alpha mr
\alpha r
m\delta +1 - r
\biggl(
1 + \Theta r,\delta
\alpha ,m
| \delta + 1 - r|
\alpha r
1
mr
\biggr)
, | \Theta r,\delta
\alpha ,m| \leq 14
13
, (102)
яка виконується при всiх \alpha > 0, r > 0, \delta \in \BbbR i номерах m таких, що m \geq
\biggl(
14| \delta + 1 - r|
\alpha r
\biggr) 1
r
.
На пiдставi (101), (102) i умови (28)
\infty \sum
v=(2k+1)n - k
e - \alpha vr < e - \alpha ((2k+1)n - k)r +
\infty \int
(2k+1)n - k
e - \alpha trdt
\leq e - \alpha ((2k+1)n - k)r
\alpha r
((2k + 1)n - k)1 - r
\biggl(
\alpha r
((2k + 1)n - k)1 - r
+ 1 +
14
13
1 - r
\alpha r((2k + 1)n - k)r
\biggr)
<
14
13
e - \alpha ((2k+1)n - k)r
\alpha r
(2k + 1)n - k)1 - r. (103)
Внаслiдок (28) i монотонного спадання функцiї e - \alpha tr t1 - r на [n,\infty ) при n, що задовольня-
ють умову (28), з урахуванням (103) i рiвностi (102), застосованої при \delta = 1 - r, одержуємо
\infty \sum
k=1
\infty \sum
v=(2k+1)n - k
e - \alpha vr <
14
13
1
\alpha r
\infty \sum
k=1
e - \alpha ((2k+1)n - k)r(2k + 1)n - k)1 - r
<
14
13
1
\alpha r
\left( e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r +
\infty \int
1
e - \alpha ((2n - 1)u+n)r(2n - 1)u+ n)1 - rdu
\right)
=
14
13
1
\alpha r
\left( e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r +
1
2n - 1
\infty \int
3n - 1
e - \alpha tr t1 - rdt
\right)
\leq 14
13
1
\alpha r
\Biggl(
e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r +
1
2n - 1
e - \alpha (3n - 1)r
\alpha r
(3n - 1)2(1 - r)
\biggl(
1 +
14
13
2(1 - r)
\alpha r(3n - 1)r
\biggr) \Biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
968 АНАТОЛIЙ СЕРДЮК, ТЕТЯНА СТЕПАНЮК
<
14
13
1
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r
\biggl(
1 +
(3n - 1)1 - r
(2n - 1)\alpha r
\biggl(
1 +
14
13
2
\alpha r(3n - 1)r
\biggr) \biggr)
=
14
13
1
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r
\biggl(
1 +
3n - 1
2n - 1
1
\alpha r(3n - 1)r
\biggl(
1 +
28
13
1
\alpha r(3n - 1)r
\biggr) \biggr)
<
14
13
1
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r(3n - 1)1 - r
\biggl(
1 + 2 \cdot 1
14
\biggl(
1 + 2 \cdot 14
13
\cdot 1
14
\biggr) \biggr)
=
212
169
e - \alpha (3n - 1)r (3n - 1)1 - r
\alpha r
<
636
169
n1 - r
\alpha r
e - \alpha (3n - 1)r .
Лему 2.1 доведено.
Роботу чaстково пiдтримано грантом H2020-MSCA-RISE-2019, номер проєкту 873071
(SOMPATY: Spectral Optimization: From Mathematics to Physics and Advanced Technology), а
також фондом Фольксвагена (VolkswagenStiftung), програмою “From Modeling and Analysis to
Approximation”.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальна за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнте-
ресiв.
Лiтература
1. A. Kolmogoroff, Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbarer Funktionen, Ann. Math.
(2), 36, № 2, 521 – 526 (1935).
2. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
3. С. М. Никольский, Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами, Тр. Мат. ин-та
АН СССР, 15 (1945).
4. K. I. Oskolkov, Inequalities of the “large size” type and applications to problems of trigonometric approximation,
Anal. Math., 12, 143 – 166 (1986).
5. А. С. Сердюк, Про асимптотично точнi оцiнки похибки наближення iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами функцiй високої гладкостi, Доп. НАН України, № 8, 29 – 33 (1999).
6. А. С. Сердюк, Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами на класах перiодичних аналi-
тичних функцiй, Укр. мат. журн., 64, № 5, 698 – 712 (2012).
7. А. С. Сердюк, Наближення нескiнченно диференцiйовних перiодичних функцiй iнтерполяцiйними тригономет-
ричними полiномами, Укр. мат. журн., 56, № 4, 495 – 505 (2004).
8. А. С. Сердюк, В. А. Войтович, Наближення класiв цiлих функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена, Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання, 7, № 1, 274 – 297 (2010).
9. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Наближення класiв (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй iнтерполяцiйними триго-
нометричними полiномами, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 13, № 1, 289 – 299 (2016).
10. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй лiнiйними методами, побудо-
ваними на основi коефiцiєнтiв Фур’є – Лагранжа, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 14, № 1, 238 – 248
(2017).
11. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами в метриках
просторiв Lp на класах перiодичних цiлих функцiй, Укр. мат. журн., 71, № 2, 283 – 292 (2019).
12. А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, Наближення сумами Фур’є на класах диференцiйовних у сенсi Вейля – Надя
функцiй iз високим показником гладкостi, Укр. мат. журн., 74, № 5, 685 – 700 (2022).
13. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на класах згорток з iнтегралами
Пуассона, Допов. НАН України, № 11, 10 – 16 (2016).
14. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals,
Anal. Math., 45, № 1, 201 – 236 (2019).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НАБЛИЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 969
15. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Наближення класiв узагальнених iнтегралiв Пуассона сумами Фур’є в метриках
просторiв, Укр. мат. журн., 69, № 5, 695 – 704 (2017).
16. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Asymptotically best possible Lebesque-type inequalities for the Fourier sums on sets
of generalized Poisson integrals, Filomat, 34, № 14, 4697 – 4707 (2020).
17. A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, About Lebesgue inequalities on the classes of generalized Poisson integrals, Jaen J.
Approx., 12, 25 – 40 (2021).
18. А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на множинах згорток перiодичних
функцiй високої гладкостi, Укр. мат. журн., 75, № 4, 542 – 567 (2023).
19. А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч., Пр. Iн-ту математики НАН України, 40, ч. I (2002).
20. А. И. Степанец, Методы теории приближений: В 2 ч., Пр. Iн-ту математики НАН України, 40, ч. II (2002).
21. А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Приближение периодических аналитических функций интерполяционными
тригонометрическими многочленами, Укр. мат. журн., 59, № 12, 1689 – 1701 (2000).
22. О. I. Степанець, А. С. Сердюк, Оцiнка залишку наближення iнтерполяцiйними тригонометричними многочле-
нами на класах нескiнченно диференцiйовних функцiй, Теорiя наближення функцiй та її застосування, Працi
Iн-ту математики НАН України, 31, 446 – 460 (2000).
23. О. I. Степанець, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлiч, Про деякi новi критерiї нескiнченної диференцiйовностi
перiодичних функцiй, Укр. мат. журн., 59, № 10, 1399 – 1409 (2007).
24. А. И. Степанец, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлич, О связи классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций с классами
Жевре, Укр. мат. журн., 61, № 1, 140 – 145 (2009).
25. С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций, Приближение функций полино-
мами и сплайнами, Тр. МИАН СССР, 145, 126 – 151 (1980).
26. С. А. Теляковский, О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости, Укр. мат. журн., 41, № 4,
510 – 518 (1989).
27. I. I. Sharapudinov, On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation, Anal. Math., 9,
223 – 234 (1983).
Одержано 09.03.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7523 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:43Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d6/fb3ecec914b063faa3b10d47709b5ed6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75232023-08-15T15:57:32Z Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials Наближення узагальнених інтегралів Пуассона інтерполяційними тригонометричними поліномами Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна Generalized Poisson integrals; interpolation Lagrange polynomials; best approximations; Lebesgue inequalities; Fourier sums UDC 517.5 We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities for $2\pi$-periodic functions $f$ that can be represented in the form of generalized Poisson integrals of&nbsp; functions $\varphi$ from the space $L_p,$ $1\leq p\leq \infty.$&nbsp;&nbsp;In these inequalities, the moduli of deviations of the interpolation Lagrange polynomials $|f(x)- \tilde{S}_{n-1}(f;x)|$ for every $x\in\mathbb{R}$ are expressed via the best approximations $E_{n}(\varphi)_{L_{p}}$ of the functions $\varphi$ by trigonometric polynomials in the $L_{p}$-metrics.&nbsp;We also deduce asymptotic equalities for the exact upper bounds of pointwise approximations&nbsp; of the&nbsp; generalized Poisson integrals of functions that belong to the unit balls in the spaces $L_p,$ $1\leq p\leq\infty,$ by interpolating trigonometric polynomials on the classes $C^{\alpha,r}_{\beta,p}.$ УДК 517.5 Встановлено асимптотично непокращувані інтерполяційні аналоги нерівностей типу Лебега для $2\pi$-періодичних функцій $f,$ які зображуються узагальненими інтегралами Пуассона функцій $\varphi$ з простору $L_p,$ $1\leq p\leq \infty.$ В зазначених нерівностях модулі відхилень $|f(x)- \tilde{S}_{n-1}(f;x)|$ інтерполяційних поліномів Лагранжа при кожному $x\in\mathbb{R}$ оцінюються через найкращі наближення $E_{n}(\varphi)_{L_{p}}$ функцій $\varphi$ тригонометричними поліномами в $L_{p}$-метриках. Знайдено також асимптотичні рівності для точних верхніх меж поточкових наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах $C^{\alpha,r}_{\beta,p}$ узагальнених інтегралів Пуассона функцій, що належать одиничним кулям просторів $L_p,$ $1\leq p\leq\infty.$&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7523 10.37863/umzh.v75i7.7523 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 7 (2023); 946 - 969 Український математичний журнал; Том 75 № 7 (2023); 946 - 969 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7523/9419 Copyright (c) 2023 Анатолій Сердюк, Тетяна Степанюк |
| spellingShingle | Serdyuk, A. Stepaniuk, T. Сердюк, Анатолій Степанюк, Тетяна Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title | Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title_alt | Наближення узагальнених інтегралів Пуассона інтерполяційними тригонометричними поліномами |
| title_full | Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title_fullStr | Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title_full_unstemmed | Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title_short | Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| title_sort | approximation of generalized poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials |
| topic_facet | Generalized Poisson integrals; interpolation Lagrange polynomials; best approximations; Lebesgue inequalities; Fourier sums |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7523 |
| work_keys_str_mv | AT serdyuka approximationofgeneralizedpoissonintegralsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT stepaniukt approximationofgeneralizedpoissonintegralsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT serdûkanatolíj approximationofgeneralizedpoissonintegralsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT stepanûktetâna approximationofgeneralizedpoissonintegralsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT serdyuka nabližennâuzagalʹnenihíntegralívpuassonaínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT stepaniukt nabližennâuzagalʹnenihíntegralívpuassonaínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT serdûkanatolíj nabližennâuzagalʹnenihíntegralívpuassonaínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT stepanûktetâna nabližennâuzagalʹnenihíntegralívpuassonaínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami |