Centralizers of linear and locally nilpotent derivations
UDC 512.715, 512.554.31 Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero, $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ be the polynomial algebra and $W_n(\mathbb{K})$ be the Lie algebra of all $\mathbb K$-derivations on $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n].$ For any derivation $D$ with linear component...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7529 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512686899462144 |
|---|---|
| author | Bedratyuk, L. Petravchuk, A. Chapovskyi, Ie. Бедратюк, Леонід Петравчук, Анатолій Чаповський, Євген |
| author_facet | Bedratyuk, L. Petravchuk, A. Chapovskyi, Ie. Бедратюк, Леонід Петравчук, Анатолій Чаповський, Євген |
| author_sort | Bedratyuk, L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:34Z |
| description | UDC 512.715, 512.554.31
Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero, $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ be the polynomial algebra and $W_n(\mathbb{K})$ be the Lie algebra of all $\mathbb K$-derivations on $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n].$ For any derivation $D$ with linear components,  we describe the centralizer of $D$ in $W_n(\mathbb{K}),$ and  propose an algorithm for finding the generators of this centralizer regarded as a module over the ring of constants of the derivation $D$ in the case where $D$ is a basic Weitzenboeck derivation. In a more general case where a finitely generated integral domain $A$ over the field $\mathbb{K}$ is considered instead of the polynomial algebra $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ and $D$ is a locally nilpotent derivation on $A,$ we prove that the centralizer ${\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ of $D$ in the Lie algebra ${\rm Der} A$ of all $\mathbb K$-differentiations on $A$ is a ``large'' subalgebra of ${\rm Der} A.$ Specifically, the rank of ${\rm C}_{{\rm Der} _A}(D)$ over $A$ is equal to the transcendence degree of the field of fractions $\mathrm{Frac}(A)$ over the field~$\mathbb K.$ |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i8.7529 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i8.7529
УДК 512.715, 512.554.31
Леонiд Бедратюк1 (Хмельницький нацiональний унiверситет),
Анатолiй Петравчук, Євген Чаповський (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка)
ЦЕНТРАЛIЗАТОРИ ЛIНIЙНИХ
I ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНИХ ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ
Let \BbbK be an algebraically closed field of characteristic zero, \BbbK [x1, . . . , xn] be the polynomial algebra and Wn(\BbbK ) be
the Lie algebra of all \BbbK -derivations on \BbbK [x1, . . . , xn]. For any derivation D with linear components, we describe the
centralizer of D in Wn(\BbbK ), and propose an algorithm for finding the generators of this centralizer regarded as a module
over the ring of constants of the derivation D in the case where D is a basic Weitzenboeck derivation. In a more general
case where a finitely generated integral domain A over the field \BbbK is considered instead of the polynomial algebra
\BbbK [x1, . . . , xn] and D is a locally nilpotent derivation on A, we prove that the centralizer \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A(D) of D in the Lie
algebra \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A of all \BbbK -differentiations on A is a “large” subalgebra of \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A. Specifically, the rank of \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A(D) over
A is equal to the transcendence degree of the field of fractions \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A) over the field \BbbK .
Нехай \BbbK — алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, \BbbK [x1, . . . , xn] — алгебра многочленiв, а Wn(\BbbK ) —
алгебра Лi всiх \BbbK -диференцiювань на \BbbK [x1, . . . , xn]. Для довiльного диференцiювання D з лiнiйними компонентами
описано централiзатор D в Wn(\BbbK ) i запропоновано алгоритм знаходження його твiрних як модуля над кiльцем
сталих диференцiювання D у випадку, коли D є базовим диференцiюванням Вейтценбека. У бiльш загальному
випадку, коли замiсть алгебри многочленiв \BbbK [x1, . . . , xn] розглядається скiнченнопороджена область цiлiсностi A
над полем \BbbK i D є локально нiльпотентним диференцiюванням на A, доведено, що централiзатор \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A(D)
диференцiювання D в алгебрi Лi \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A всiх \BbbK -диференцiювань на A є „великою” пiдалгеброю в \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A, а саме
ранг \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}A(D) над A дорiвнює степеню трансцендентностi поля часток \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A) над полем \BbbK .
1. Вступ. Нехай \BbbK — алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, \BbbK [x1, . . . , xn] — алгебра
многочленiв, а \BbbK (x1, . . . , xn) — поле рацiональних функцiй n змiнних над цим полем.
Нагадаємо, що \BbbK -диференцiюванням алгебри A називають \BbbK -лiнiйне вiдображення D :
A \rightarrow A, таке що D(fg) = D(f)g + fD(g) для довiльних f, g \in A. Кожне диференцiювання
D алгебри A однозначно продовжується на вiдповiдне поле часток R. Це продовження будемо
також позначати через D, якщо це не призводить до непорозумiнь. Всi \BbbK -диференцiювання
алгебри A утворюють алгебру Лi \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A над полем \BbbK щодо операцiї комутування. Позначимо
Wn(\BbbK ) := \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK \BbbK [x1, . . . , xn]. Кожен елемент iз Wn(\BbbK ) можна однозначно записати у виглядi
D = f1\partial 1+. . .+fn\partial n, де fi \in \BbbK [x1, . . . , xn] i \partial i :=
\partial
\partial xi
— частиннi похiднi на \BbbK [x1, . . . , xn]. Ал-
гебру Лi всiх \BbbK -диференцiювань поля \BbbK (x1, . . . , xn) будемо позначати через \widetilde Wn(\BbbK ); елементи
цiєї алгебри Лi однозначно записують у виглядi D = \varphi 1\partial 1 + . . .+ \varphi n\partial n, де \varphi i \in \BbbK (x1, . . . , xn)
i \partial i :=
\partial
\partial xi
— частиннi похiднi на \BbbK (x1, . . . , xn).
Структура алгебри Лi Wn(\BbbK ) викликає значний iнтерес, оскiльки з геометричної точки
зору Wn(\BbbK ) є алгеброю Лi векторних полiв на \BbbK n з полiномiальними коефiцiєнтами, а з
точки зору теорiї диференцiальних рiвнянь диференцiюванню D =
\sum n
i=1
fi\partial i вiдповiдає
автономна система диференцiальних рiвнянь \.x = f(x), де x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) i
f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)).
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: LeonidBedratyuk@khmnu.edu.ua.
c\bigcirc ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8 1043
1044 ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ
Для довiльного диференцiювання D \in Wn(\BbbK ) позначимо через \mathrm{C}Wn(\BbbK )(D) множину всiх
елементiв iз алгебри Лi Wn(\BbbK ), якi комутують з D (далi будемо скорочено позначати \mathrm{C}Wn(D)).
Очевидно, що \mathrm{C}Wn(D) — пiдалгебра алгебри Лi Wn(\BbbK ), яка мiстить D. Опис централiзаторiв
диференцiювань D \in Wn(\BbbK ) є важливою задачею, яка тiсно пов’язана з деякими проблемами
iз теорiї диференцiальних рiвнянь i диференцiальної геометрiї. Цю задачу розв’язано лише для
окремих класiв диференцiювань (див., наприклад, [2, 3, 8, 10, 11]).
Опишемо коротко структуру статтi. У другому пунктi ми розглядаємо централiзатори лi-
нiйних диференцiювань, тобто диференцiювань вигляду D =
\sum n
i=1
fi\partial i, fi =
\sum n
j=1
aijxj ,
aij \in \BbbK . Такому диференцiюванню вiдповiдає матриця A = (aij)
n
i,j=1, а комутатору диферен-
цiювань D i D\prime =
\sum n
i,j=1
bijxj\partial i з матрицею B = (bij) — матриця [A,B] = AB - BA. Тому
алгебра Лi всiх лiнiйних диференцiювань iзоморфна повнiй матричнiй алгебрi Лi gln(\BbbK ). Для
простоти будемо позначати алгебру Лi всiх лiнiйних диференцiювань на \BbbK [x1, . . . , xn] через
gln(\BbbK ) i вважати, що gln(\BbbK ) \subset Wn(\BbbK ).
Для лiнiйного диференцiювання D =
\sum n
i,j=1
aijxj\partial i можна розглядати два централiзато-
ри: C0 := \mathrm{C}gln(\BbbK )(D) i C := \mathrm{C}Wn(\BbbK )(D) (очевидно, C0 \subseteq C ). Структура централiзатора C0 є
вiдомою, оскiльки C0 складається з диференцiювань, визначених матрицями, що комутують з
A = (aij). Задачу опису таких матриць (задачу Фробенiуса) розв’язано давно (див., наприклад,
[5]). Виявилося, що в деякому сенсi пiдалгебра C близька до C0. Це показано в теоремi 1, де
доведено, що C = (FC0) \cap Wn(\BbbK ), де F — поле сталих диференцiювання D в \BbbK (x1, . . . , xn).
На жаль, ця теорема не дає можливостi знаходити \mathrm{C}Wn(D), оскiльки перетин (FC0) \cap Wn(\BbbK )
дуже важко знаходити. Тому в третьому пунктi для найважливiшого випадку, коли матриця
лiнiйного диференцiювання має жорданову нормальну форму у виглядi однiєї жорданової клi-
тини, вказано метод знаходження системи твiрних централiзатора C як модуля над ядром \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D
в \BbbK [x1, . . . , xn] (теорема 3). Для розв’язання цiєї задачi було знайдено опис ядер степенiв Dn
диференцiювання Вейтценбека за умови, що вже знайдено систему твiрних \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D (теорема 2).
Зауважимо, що побудовi системи твiрних \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D, тобто кiлець сталих локально нiльпотентних
диференцiювань D, присвячено багато робiт (див., наприклад, [1, 7, 9]).
Четвертий пункт присвячено вивченню централiзаторiв локально нiльпотентних диференцi-
ювань D скiнченнопороджених областей цiлiсностi A над довiльним полем \BbbK характеристики
нуль. У випадку, коли D має слайс в A, тобто такий елемент s, що D(s) = 1, доведено, що
\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) \simeq C( - ) \rightthreetimes \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}C, де C = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D в A, C( - ) — векторний простiр над \BbbK з нульовим
множенням, тобто абелева алгебра Лi й елементи iз \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK C дiють на C( - ) як диференцiювання
кiльця C (див. твердження 2). У загальному ж випадку показано, що для локально нiльпо-
тентного диференцiювання D областi цiлiсностi A над \BbbK зi степенем транцендентностi n
централiзатор \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) має ранг n над A (див. теорему 4). Зауважимо, що з iншої точки
зору централiзатори локально нiльпотентних диференцiювань вивчалися в роботi [10].
Позначення у статтi стандартнi. Якщо L — пiдалгебра в алгебрi Лi \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK (A) i R — поле
часток для A, то рангом L над A називають розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R RL. Iндексом диференцiювання
D будемо називати найменший з номерiв ненульових коефiцiєнтiв у записi D = f1\partial 1 + . . . +
fn\partial n. Диференцiювання D називають локально нiльпотентним, якщо для кожного a \in A iснує
таке k = k(a), що Dk(a) = 0. Найменше натуральне k таке, що Dk(a) \not = 0, але Dk+1(a) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ЦЕНТРАЛIЗАТОРИ ЛIНIЙНИХ I ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНИХ ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ 1045
називають D-порядком елемента a i позначають \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}D(a). Для скорочення запису будемо писати
\mathrm{C}Wn(D) i \mathrm{C}gln(D), не вказуючи фiксоване основне поле \BbbK .
2. Централiзатори лiнiйних диференцiювань. Скрiзь у цьому пунктi A = \BbbK [x1, . . . , xn].
Лема 1. Нехай D \in Wn(\BbbK ), f \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D i \theta — довiльний автоморфiзм алгебри A. Тодi
\theta - 1D\theta \in Wn(\BbbK ) i
1) \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta
- 1D\theta ) = \theta - 1(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D);
2) \theta - 1(fD)\theta = \theta - 1(f)\theta - 1D\theta ;
3) \mathrm{C}Wn(D) = \theta (\mathrm{C}Wn(\theta
- 1D\theta ))\theta - 1.
Лема 2. Диференцiювання D =
\sum n
i=1
fi\partial i, T =
\sum n
i=1
gi\partial i алгебри A, де fi, gi \in A,
комутують тодi й лише тодi, коли D(gi) = T (fi), i = 1, . . . , n.
Доведення. Достатньо зауважити, що fi = D(xi), gi = T (xi), i = 1, . . . , n.
Лема 3. Нехай D =
\sum n
i=1
fi\partial i \in Wn(\BbbK ) — таке диференцiювання, що f1, . . . , fk \in
\BbbK [x1, . . . , xk] i fk+1, . . . , fn \in \BbbK [xk+1, . . . , xn]. Якщо T =
\sum n
i=1
gi\partial i \in \mathrm{C}Wn(D), то дифе-
ренцiювання T1 =
\sum k
i=1
gi\partial i i T2 =
\sum n
i=k+1
gi\partial i належать \mathrm{C}Wn(D) i T = T1 + T2.
Доведення. Запишемо T1 =
\sum n
i=1
ti\partial i, де ti = gi, i = 1, . . . , k i ti = 0, i = k + 1, . . . , n,
i покажемо, що [T1, D] = 0. Для цього за лемою 2 достатньо довести, що T1(fi) = D(ti),
i = 1, . . . , n. Нехай спочатку i = 1, . . . , k. Тодi ti = gi i T1(fi) = T (fi) = D(gi) = D(ti).
Нехай тепер i = k + 1, . . . , n. Тодi T1(fi) = 0 згiдно з умовою f1, . . . , fk \in \BbbK [x1, . . . , xk] i
D(ti) = D(0) = 0. Таким чином, D(ti) = T1(fi) для i = 1, . . . , n i за лемою 2 [D,T1] = 0.
Аналогiчно можна показати, що [D,T2] = 0.
Зауваження 1. Легко бачити, що твердження лем 2 та 3 залишаються справедливими i для
диференцiювань поля рацiональних функцiй R = \BbbK (x1, . . . , xn), тобто елементiв алгебри Лi\widetilde Wn(\BbbK ).
Теорема 1. Нехай D =
\sum n
i,j=1
aijxj\partial i \in Wn(\BbbK ) — лiнiйне диференцiювання, F = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}R D —
поле сталих для D в R. Тодi \mathrm{C}Wn(D) = (F\mathrm{C}gln(D)) \cap Wn(\BbbK ).
Доведення. Без обмеження загальностi можна вважати, що матрицю A = (aij) диферен-
цiювання D записано у жордановiй нормальнiй формi:
A =
t\bigoplus
i=1
Jni - ni - 1(\lambda i) для деяких 0 = n0 < n1 < . . . < nt = n, \lambda 1, . . . , \lambda t \in \BbbK (1)
(розглядаємо нижньотрикутнi жордановi блоки). Справдi, для цього достатньо скористатися
лемою 1. Далi, оскiльки сума (1) пряма, то D = D1 + . . .+Dt, де Di \in Wn(\BbbK ), i визначається
матрицею
On1 \oplus . . .\oplus Oni - 1 - ni - 2 \oplus Jni - ni - 1(\lambda i)\oplus Oni+1 - ni \oplus . . .\oplus Ont - nt - 1 .
Тут Oj — квадратна нульова матриця порядку j. Нехай T \in \mathrm{C}Wn(D) — довiльний елемент
централiзатора. Тодi за лемою 3, яку легко перенести на скiнченне число доданкiв, має мiсце
рiвнiсть T = T1 + . . . + Tt, де Ti =
\sum ni
s=ni - 1+1
gs\partial s лежать в \mathrm{C}Wn(D) (зауважимо, що в
загальному випадку многочлени gj залежать вiд усiх змiнних x1, . . . , xn). Покажемо спочатку,
що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1046 ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ
T1 =
n1\sum
s=1
gs\partial s \in (F\mathrm{C}gln(D)) \cap Wn(\BbbK ).
Тут диференцiювання D1 визначене матрицею вигляду Jn1(\lambda 1)\oplus On2 - n1 \oplus . . .\oplus Ont - nt - 1 , де
Jn1(\lambda 1) =
\left(
\lambda 1 0 . . . 0 0
1 \lambda 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 \lambda 1 0
0 0 . . . 1 \lambda 1
\right) .
За лемою 2 з умови [D,T1] = 0 випливає, що
D(g1) = \lambda 1g1, D(g2) = \lambda 1g2 + g1, . . . , D(gn1) = \lambda 1gn1 + gn1 - 1.
Нехай r — iндекс диференцiювання T1, тобто найменше натуральне число, таке що gr \not = 0.
Тодi gr - 1 = 0 i тому D(gr) = \lambda 1gr. З iншого боку, очевидно, що
D(x1) = \lambda 1x1, D(x2) = \lambda 1x2 + x1, . . . , D(xn1) = \lambda 1xn1 + xn1 - 1.
Враховуючи, що за зазначеним вище gr \not = 0, отримуємо, що gr/x1 \not = 0 i D(gr/x1) = 0, тобто
gr/x1 \in F, де F = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}R D — поле сталих для D в R.
Далi розглянемо лiнiйне диференцiювання D1 \in gln(\BbbK ) \subset Wn(\BbbK ), яке визначене матрицею
Jn1(\lambda 1)\oplus On2 - n1 \oplus . . .\oplus Ont - nt - 1 .
Очевидно, [D1, D] = 0 i D1 = W1 + V1, де лiнiйнi диференцiювання W1, V1 визначенi дiаго-
нальною i нижньотрикутною матрицями
dn1(\lambda 1)\oplus On2 - n1 \oplus . . .\oplus Ont - nt - 1
i
M1 = Jn1(0)\oplus On2 - n1 \oplus . . .\oplus Ont - nt - 1
вiдповiдно. Легко бачити, що [W1, D] = 0, а тому також [V1, D] = 0. Можна безпосередньо
перевiрити, що лiнiйне диференцiювання V
(r - 1)
1 , яке визначене матрицею M r - 1
1 , має вигляд
x1\partial r + . . .+ xn1 - r+1\partial n1 i комутує з D. Тодi
T
(2)
1 :=
\biggl(
T1 -
gr
x1
V
(r - 1)
1
\biggr)
\in F\mathrm{C}Wn(D) \subset \widetilde Wn(\BbbK )
(нагадаємо, що gr/x1 \in F ). Але тодi T
(2)
1 має бiльший iндекс, нiж T1 (за означенням iн-
декс — найменший з номерiв ненульових коефiцiєнтiв диференцiювання). Повторюючи цi мiр-
кування достатню кiлькiсть разiв, з урахуванням зауваження 1 отримуємо деяке диференцi-
ювання T
(s)
1 , s \geq 2, яке комутує з D i має вигляд hn1\partial n1 для деякої рацiональної функцiї
hn1 \in FA \subset \BbbK (x1, . . . , xn). Але тодi з умови [D,hn1\partial n1 ] = 0 випливає, що D(hn1) = 0, тобто
hn1\partial n1 \in F\mathrm{C}gln(D). Звiдси випливає, що диференцiювання T1 є сумою деяких диференцiювань
iз F\mathrm{C}gln(D), бо на кожному кроцi ми вiднiмали вiд T1 деяке диференцiювання iз F\mathrm{C}gln(D).
Тому T1 \in (F\mathrm{C}gln(D)) \cap Wn(\BbbK ).
Аналогiчно можна показати, що Ti \in (F\mathrm{C}gln(D)) \cap Wn(\BbbK ) для i = 2, . . . , t, що завершує
доведення теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ЦЕНТРАЛIЗАТОРИ ЛIНIЙНИХ I ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНИХ ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ 1047
3. Централiзатор базисного диференцiювання Вейтценбека. Лiнiйне диференцiюван-
ня D на A := \BbbK [x1, . . . , xn] називають базисним диференцiюванням Вейтценбека, якщо во-
но задане матрицею Jn(0), яка складається з єдиної жорданової клiтини з власним числом
\lambda = 0 (розглядаємо нижньотрикутнi жордановi клiтини). У координатнiй формi маємо D =
x1\partial 2 + . . . + xn - 1\partial n. Тодi за лемою 2 для довiльного диференцiювання T =
\sum n
i=1
gi\partial i, яке
комутує з D, маємо
D(g1) = 0, D(g2) = g1, . . . , D(gn) = gn - 1.
Для довiльного многочлена f \in A позначимо через Df диференцiювання кiльця многочленiв
вигляду
Df = Dn - 1(f)\partial 1 +Dn - 2(f)\partial 2 + . . .+D(f)\partial n - 1 + f\partial n.
Має мiсце такий зручний критерiй для перевiрки того, чи буде диференцiювання T \in Wn(\BbbK )
комутувати з диференцiюванням Вейтценбека.
Твердження 1. Диференцiювання T \in Wn(\BbbK ) комутує з базисним диференцiюванням
Вейтценбека D тодi й лише тодi, коли T = Df для деякого многочлена f \in A D-порядку не
вище нiж n - 1.
Доведення. Нехай T =
\sum n
i=1
gi\partial i для деяких многочленiв gi \in A i T \in \mathrm{C}Wn(D). Тодi з
умови [T,D] = 0 за лемою 2 одержимо рiвностi D(g1) = 0, D(g2) = g1, . . . , D(gn) = gn - 1, а
тому gn — многочлен D-порядку \leq n - 1. Поклавши f = gn, отримаємо T = Df i \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}D(f) \leq
n - 1. Навпаки, якщо T =
\sum n - 1
i=1
Dn - i(f)\partial i + f\partial n i \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}D(f) \leq n - 1, то знову за лемою 2
[T,D] = 0.
Диференцiювання Вейтценбека D на A = \BbbK [x1, . . . , xn] визначає фiльтрацiю
0 = A0 \subset A1 \subset . . . \subset An \subset . . . ,
де
A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D, Ai = \{ f \in A | D(f) \in Ai - 1\} , i = 2, . . . .
Тодi з твердження 1 випливає, що для опису \mathrm{C}Wn(D) достатньо дослiдити члени фiльтрацiї Ai
з i \leq n - 1, бо всi T \in \mathrm{C}Wn(D) мають вигляд T =
\sum n
i=1
Dn - i(f)\partial i для f \in An - 1. Зауважимо,
що An - 1 — модуль над алгеброю сталих A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D диференцiювання D.
Для вивчення An - 1 скористаємося методом iз роботи [1], де диференцiювання Вейтцен-
бека D було вкладено в тривимiрну пiдалгебру L = \BbbK \langle D, \widehat D,H\rangle \subset Wn(\BbbK ), яка iзоморфна
тривимiрнiй простiй алгебрi Лi sl2(\BbbK ).
Лiнiйнi диференцiювання \widehat D i H на A визначимо за правилом
\widehat D(xi) = i(n - i)xi+1, H(xi) = (n - 2i+ 1)xi.
Безпосередньо можна перевiрити (див. [1]), що виконуються комутаторнi спiввiдношення
[D, \widehat D] = H, [H,D] = 2D, [H, \widehat D] = - 2 \widehat D, (2)
тобто L \simeq sl2(\BbbK ).
Диференцiювання \widehat D, очевидно, локально нiльпотентне. \widehat D-порядок многочлена f \in A
будемо позначати \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(f) i називати просто порядком. Легко перевiрити, що довiльний моном
x\alpha 1
1 . . . x\alpha n
n \in A є власним вектором для H з власним значенням
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1048 ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ
\lambda (\alpha 1,...,\alpha n) = n
n\sum
i=1
\alpha i -
\bigl(
\alpha 1 + 3\alpha 2 + . . .+ (2i - 1)\alpha i + . . .+ (2n - 1)\alpha n
\bigr)
.
Це власне значення називають вагою цього монома. Многочлен f \in A називають iзобарним,
якщо всi його мономи мають одну i ту ж вагу. Оскiльки мономи утворюють базис векторного
простору A = \BbbK [x1, . . . , xn] над \BbbK , тобто A =
\bigoplus
(\alpha 1,...,\alpha n)
\BbbK x\alpha 1
1 . . . x\alpha n
n , то H дiагоналiзу-
ється в цьому базисi. Але тодi A =
\bigoplus
\lambda (\alpha 1,...,\alpha n)
A\lambda (\alpha 1,...,\alpha n)
— пряма сума пiдпросторiв, де
A\lambda (\alpha 1,...,\alpha n)
— лiнiйна оболонка всiх мономiв ваги \lambda (\alpha 1,...,\alpha n), тобто A\lambda (\alpha 1,...,\alpha n)
складається з
iзобарних многочленiв ваги \lambda (\alpha 1,...,\alpha n).
Твердження наступної технiчної леми безпосередньо випливають iз властивостей модулiв
над алгеброю Лi sl2(\BbbK ) (див., наприклад, [6]).
Лема 4. Нехай D — диференцiювання Вейтценбека на \BbbK [x1, . . . , xn] i f, g \in A — iзобарнi
многочлени ваги \lambda i \mu вiдповiдно. Тодi:
1) D(f) — iзобарний многочлен ваги \lambda + 2, а \widehat D(f) — iзобарний многочлен ваги \lambda - 2;
2) fg — iзобарний многочлен ваги \lambda + \mu ;
3) якщо f \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D i f = f\lambda 1 + . . .+ f\lambda k
— розклад f у суму iзобарних многочленiв попарно
рiзної ваги, то f\lambda i
\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D, i = 1, . . . , k.
З вiдомої теореми Вейтценбека [12] випливає, що алгебра сталих \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D диференцiювання
Вейтценбека алгебри многочленiв \BbbK [x1, . . . , xn] скiнченнопороджена. Збiльшуючи, якщо по-
трiбно, кiлькiсть твiрних, можна за лемою 4 завжди вважати, що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D має скiнченну систему
твiрних iз iзобарних многочленiв. Наступна лема вказує на поведiнку елементiв iз фiльтрацiї
0 = A0 \subset A1 \subset . . . \subset An \subset . . . , яку побудовано з ядер лiнiйних вiдображень \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Di пiд дiєю
диференцiювань D i \widehat D.
Лема 5. Нехай b \in Ak \setminus Ak - 1 — iзобарний многочлен, k \geq 2. Тодi:
1) \widehat D(D(b)) \in Ak \setminus Ak - 1;
2) Ds - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= \widehat DDs(b) + \lambda Ds - 1(b) для довiльного s \geq 2 i деякого \lambda = \lambda (s) \in \BbbK .
Доведення. 1. Нехай \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} b = t i V — множина всiх многочленiв iз A степеня не бiльшого
нiж t. Оскiльки D, \widehat D i H = [D, \widehat D] — лiнiйнi диференцiювання на A, то V — iнварiантний
пiдпростiр щодо алгебри Лi L = \BbbK \langle D, \widehat D,H\rangle \simeq sl2(\BbbK ). При цьому b \in V i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V < \infty .
Тодi L-модуль V розкладається в пряму суму V = V1 \oplus . . . \oplus Vm незвiдних L-модулiв i b =
b1+. . .+bm, де bi \in Vi. Оскiльки Dk - 1(b) \not = 0, Dk(b) = 0, то хоча б один iз доданкiв, наприклад
bi, має таку саму властивiсть, тобто Dk - 1(bi) \not = 0, Dk(bi) = 0. Виберемо в незвiдному L-модулi
Vi стандартний базис v0, . . . , vni (див., наприклад, [6]), позначимо e := D, f := \widehat D, h := H i
запишемо bi = \alpha 0v0 + . . .+ \alpha k - 1vk - 1. Тодi, як неважко переконатися, Dk - 1( \widehat DD(bi)) \not = 0, але
Dk( \widehat DD(bi)) = 0. Звiдси випливає, що Dk
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= 0, Dk - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
\not = 0, тобто \widehat DD(b) \in
Ak \setminus Ak - 1.
2. Застосуємо iндукцiю по s. Якщо s = 2, то D \widehat DD(b) = \widehat DD2(b) +HD(b) = \widehat DD2(b) +
\lambda D(b) для деякого \lambda \in \BbbK , бо D(b) за лемою 4 є також iзобарним многочленом (нагадаємо, що
за умовою леми b — iзобарний многочлен). Припустимо, що твердження 2 леми справедливе
для s - 1, i доведемо його для s. Маємо Ds - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= D
\bigl(
Ds - 2 \widehat DD(b)
\bigr)
= D
\bigl( \widehat DDs - 1(b) +
\mu Ds - 2(b)
\bigr)
для деякого \mu \in \BbbK за iндуктивним припущенням. Тодi
Ds - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= D \widehat DDs - 1(b) + \mu Ds - 1(b) = ( \widehat DD +H)Ds - 1(b) + \mu Ds - 1(b)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ЦЕНТРАЛIЗАТОРИ ЛIНIЙНИХ I ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНИХ ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ 1049
= \widehat DDs(b) +HDs - 1(b) + \mu Ds - 1(b) = \widehat DDs(b) + \alpha Ds - 1(b) + \mu Ds - 1(b)
= \widehat DDs(b) + (\alpha + \mu )Ds - 1(b).
Тут використано те, що Ds - 1(b) є iзобарним многочленом з деяким власним значенням \alpha
для H.
Лему доведено.
Далi, нехай a1, . . . , ak — сиcтема твiрних ядра A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D (як пiдалгебри алгебри A),
яка складається з iзобарних многочленiв. Для зручностi будемо вважати, що \widehat D0(ai) = 1,
i = 1, . . . , k. Розглянемо систему пiдмножин iз A вигляду
Si =
\biggl\{ \widehat Dk1(ai1)\times . . .\times \widehat Dkt(ait)
\bigm| \bigm| \bigm| aij \in \{ a1, . . . , ak\} , kj \geq 0,
t\sum
j=1
kj \leq i - 1
\biggr\}
, i = 1, 2, . . . .
За нашими домовленостями, очевидно, S1 = \{ 1\} , S2 = \{ 1, \widehat D(a1), . . . , \widehat D(ak)\} , а за лемою 4 всi
елементи iз множин Si є iзобарними многочленами.
Теорема 2. Нехай D — диференцiювання Вейтценбека на A = \BbbK [x1, . . . , xn]. Виберемо
будь-яку систему iзобарних твiрних a1, . . . , ak для ядра A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D як пiдалгебри алгебри A
i позначимо Ai = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Di, i \geq 1. Тодi кожне Ai, i \geq 1, є A1-модулем з системою твiрних (як
модуля)
Si =
\biggl\{ \widehat Dk1(ai1)\times . . .\times \widehat Dkt(ait)
\bigm| \bigm| \bigm| aij \in \{ a1, . . . , ak\} ,
t\sum
j=1
kj \leq i - 1
\biggr\}
.
Доведення. Проведемо iндукцiю по i. Для i = 1 все очевидно, оскiльки A1, як модуль над
A1, породжений елементом 1. Припустимо, що твердження теореми справедливе для i - 1, i
доведемо його для i. Нехай b — довiльний елемент iз Ai \setminus Ai - 1. Тодi b = b1 + . . .+ bt, де bs —
iзобарнi многочлени попарно рiзної ваги, bs \in Ai, s = 1, . . . , t, i хоча б один iз многочленiв bs
належить множинi Ai\setminus Ai - 1. Тому, не втрачаючи загальностi, можна вважати, що b — iзобарний
многочлен.
За лемою 5 має мiсце включення \widehat DD(b) \in Ai \setminus Ai - 1 i за тiєю ж лемою
Di - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= \widehat DDi(b) + \lambda Di - 1(b) (3)
для деякого \lambda \in \BbbK . Оскiльки b \in Ai, то Di(b) = 0, i тому iз рiвностi (3) отримуємо, що
Di - 1
\bigl( \widehat DD(b)
\bigr)
= \lambda Di - 1(b) для деякого \lambda \in \BbbK . Оскiльки за лемою 5 \widehat DD(b) \in Ai \setminus Ai - 1, то \lambda \not =
0. Отже, одержали рiвнiсть Di - 1
\bigl( \widehat DD(b) - \lambda b
\bigr)
= 0. Це означає, що d := \widehat DD(b) - \lambda b \in Ai - 1. За
iндуктивним припущенням d є лiнiйною комбiнацiєю елементiв множини Si - 1 з коефiцiєнтами
iз A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D. Далi, D(b) \in Ai - 1, звiдки за iндуктивним припущенням також
D(b) =
\sum
sj\in Si - 1
cjsj , cj \in A1.
Тому виконується рiвнiсть \widehat DD(b) =
\sum
sj\in Si - 1
\bigl( \widehat D(cj)sj + cj \widehat D(sj)
\bigr)
. (4)
Зауважимо, що \widehat D(sj) є лiнiйною комбiнацiєю елементiв iз Si з цiлочисловими коефiцiєнтами.
Крiм того, для cj \in A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D маємо, що cj = cj(a1, . . . , ak) — многочлен твiрних a1, . . . , ak
ядра \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D = A1. Тому, як неважко переконатися,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1050 ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ
\widehat D(cj) =
k\sum
s=1
\partial cj
\partial as
(a1, . . . , ak) \widehat D(as),
а отже, \widehat D(cj) є лiнiйною комбiнацiєю елементiв iз S2 з коефiцiєнтами iз A1. Iз рiвностi (4)
отримуємо, що \widehat DD(b) є лiнiйною комбiнацiєю елементiв iз Si з коефiцiєнтами з A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D.
Але b = \lambda - 1
\bigl( \widehat DD(b) - d
\bigr)
. Це означає, що Si — система твiрних A1-модуля Ai.
Теорему доведено.
Теорема 3. Нехай D — диференцiювання Вейтценбека на A = \BbbK [x1, . . . , xn], a1, . . . , ak —
система твiрних ядра A1 = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D (як пiдалгебри з A) i
Sn =
\biggl\{ \widehat Dk1(ai1)\times . . .\times \widehat Dkt(ait)
\bigm| \bigm| \bigm| aij \in \{ a1, . . . , ak\} ,
t\sum
j=1
kj \leq n - 1
\biggr\}
.
Тодi \mathrm{C}Wn(\BbbK )(D), як модуль над \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D, має систему твiрних \{ Ds | s \in Sn\} .
Доведення. Для довiльного s \in Sn маємо Dn(s) = 0. За твердженням 1 диференцiювання
Ds має вигляд
Ds =
n - 1\sum
i=1
Dn - i(s)\partial i + s\partial n \in \mathrm{C}Wn(D).
Нехай T — довiльний елемент iз \mathrm{C}Wn(D). Тодi за твердженням 1 T = Db для деякого b \in
An. Але за теоремою 2 b =
\sum
s\in Sn
rss, де rs \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D для кожного s \in Sn. Тому Db =\sum
s\in Sn
rsDs. Звiдси випливає, що Ds, де s пробiгає Sn, є системою твiрних для \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D-модуля
\mathrm{C}Wn(D).
Приклад 1. Побудуємо систему твiрних для централiзатора \mathrm{C}W3(\BbbK )(D3) як модуля над
ядром диференцiювання Вейтценбека D3 кiльця многочленiв \BbbK [x1, x2, x3].
Ядро D3 породжують iзобарнi многочлени a1 = x1, a2 = x1x3 - (1/2)x22 (див., наприклад,
[1]). Зауважимо, що
\widehat D(x1) = x2, \widehat D(x1x3 - (1/2)x22) = 0, \widehat D2(x1) = x3, \widehat D2(x1x3 - (1/2)x22) = 0.
Тодi для A1-модулiв A1, A2, A3 вiдповiдно маємо системи твiрних
S1 = \{ 1\} , S2 = \{ 1, x2\} , S3 = \{ 1, x2, 2x3, 4x22\} .
За теоремою 3 маємо таку систему твiрних централiзатора \mathrm{C}W3(\BbbK )(D3) як A1-модуля:
\partial 3, x1\partial 2 + x2\partial 3, 2x1\partial 1 + 2x2\partial 2 + 2x3\partial 3, 8x21\partial 1 + 8x1x2\partial 2 + 4x22\partial 3.
Зауваження 2. Системи твiрних, якi побудованi в теоремах 2 i 3, не обов’язково мiнiмальнi.
4. Централiзатори локально нiльпотентних диференцiювань. Нижче A — область цi-
лiсностi над довiльним полем \BbbK характеристики нуль. У наведенiй нижче лемi зiбрано деякi
властивостi локально нiльпотентних диференцiювань областей цiлiсностi над полями характе-
ристики нуль.
Лема 6 (див., наприклад, [4]). Нехай D \not = 0 — локально нiльпотентне диференцiювання
областi цiлiсностi A над полем \BbbK характеристики нуль i C = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D. Тодi:
1) C — пiдкiльце iз A, яке iнварiантне щодо довiльного T \in \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A, такого що [T,D] = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ЦЕНТРАЛIЗАТОРИ ЛIНIЙНИХ I ЛОКАЛЬНО НIЛЬПОТЕНТНИХ ДИФЕРЕНЦIЮВАНЬ 1051
2) якщо D має слайс s в A, тобто iснує s \in A такий, що D(s) = 1, то A \simeq C[s] — кiльце
многочленiв вiд s;
3) якщо D не має слайсiв в A, то iснують такi h0 \in C, h1 \in A, що в кiльцi A[h - 1
0 ]
елемент s = h1/h0 є слайсом для продовження D на A[h - 1
0 ] i ядро D в A[h - 1
0 ] збiгається з
C[h - 1
0 ].
Твердження 2. Нехай D \not = 0 — локально нiльпотентне диференцiювання областi цiлiснос-
тi A над \BbbK , C = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D в A. Якщо D має слайс в A, то \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) \simeq C \rightthreetimes \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK C, де C
розглядаємо як алгебру Лi над \BbbK з нульовим множенням, \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK C — алгебра Лi диференцiювань
асоцiативної алгебри C i дiя \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK C на C природна.
Доведення. За лемою 6 A \simeq C[s]. Нехай T — довiльний елемент iз \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D). Тодi з
умови [T,D] = 0 випливає, що T (s) \in C. Позначимо c0 := T (s). Легко бачити, що T - c0D \in
\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) i при цьому (T - c0D)(s) = 0. Позначимо через L i M пiдмножини iз \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D)
вигляду
L = \{ T \in \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) | T (s) = 0\} i M = \{ T \in \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) | T (C) = 0\} .
Легко бачити, що L — пiдалгебра iз \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D), а M — абелевий iдеал iз \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D). Неважко
переконатися, що M = C \cdot D i \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) \simeq M \rightthreetimes L — напiвпряма сума. Зауважимо, що
L \simeq \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK C, оскiльки кожне диференцiювання алгебри C над \BbbK однозначно продовжується
до деякого диференцiювання T кiльця A, такого що T \in \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) (для цього достатньо
покласти T (s) = 0).
Теорема 4. Нехай A — скiнченнопороджена область цiлiсностi над полем \BbbK характерис-
тики нуль, а D \not = 0 — локально нiльпотентне диференцiювання на A. Тодi \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) має
ранг n над A, де n = \mathrm{t}\mathrm{r}.\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\BbbK A.
Доведення. Нехай спочатку диференцiювання D має слайс s в A. Легко бачити, що
для степеня трансцендентностi C = \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) над \BbbK маємо рiвнiсть \mathrm{t}\mathrm{r}.\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}C = n - 1 за
лемою 6. Виберемо будь-який базис трансцендентностi c1, . . . , cn - 1 в C (над полем \BbbK ) i на
пiдкiльцi \BbbK [c1, . . . , cn - 1] \subseteq C розглянемо частиннi похiднi
\partial
\partial ci
, i = 1, . . . , n - 1. Тодi, як
вiдомо, цi диференцiювання однозначно продовжуються на поле часток \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(C)
\biggl(
зберiгаємо
тi самi позначення для
\partial
\partial ci
\biggr)
. Нехай S = C \setminus \{ 0\} i A[S - 1] — кiльце часток. Оскiльки A = C[s],
то A[S - 1] = \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(C)[s].
Продовжимо диференцiювання
\partial
\partial ci
, i = 1, . . . , n - 1, на A[S - 1], поклавши
\partial
\partial ci
(s) = 0,
i = 1, . . . , n - 1. Нехай a1, . . . , ak — довiльна система твiрних алгебри A i
\partial
\partial ci
(aj) = eij/dij для
деяких eij \in A, dij \in S = C \setminus \{ 0\} , i = 1, . . . , n - 1, j = 1, . . . , k. Позначимо d =
\prod
i,j
dij . Тодi
очевидно, що d \in C i d
\partial
\partial ci
(aj) \in A, i = 1, . . . , n - 1, j = 1, . . . , k. Це означає, що d
\partial
\partial ci
(A) \subseteq A,
i = 1, . . . , n - 1, i, як легко бачити, всi диференцiювання d
\partial
\partial ci
комутують з диференцiюванням
D на A
\biggl(
зауважимо, що диференцiювання
\partial
\partial ci
були розширенi на A[S - 1]
\biggr)
. Легко бачити, що
диференцiювання D, d
\partial
\partial ci
, i = 1, . . . , n - 1, областi цiлiсностi A лiнiйно незалежнi над R i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1052 ЛЕОНIД БЕДРАТЮК, АНАТОЛIЙ ПЕТРАВЧУК, ЄВГЕН ЧАПОВСЬКИЙ
утворюють базис векторного простору R\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) над полем R = \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A). Це означає, що
\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) має ранг n над A.
Нехай тепер D не має слайсiв в A. Тодi за лемою 6 iснує локальний слайс h1 \in A такий,
що D(h1) = h0 \not = 0, h0 \in C i s = h1/h0 — слайс для розширення D диференцiювання D на
кiльце часток A[h - 1
0 ].
Кожне диференцiювання T кiльця C = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D можна однозначно продовжити до дифе-
ренцiювання T кiльця A[h - 1
0 ], якщо покласти T (s) = 0, бо A[h - 1
0 ] = C[h - 1
0 ][s] i випадок
iснування слайсу вже розглянуто вище. Легко бачити, що [T ,D] = 0, де D — продовження
D на кiльце A[h - 1
0 ], причому очевидно, що D — локально нiльпотентне диференцiювання i
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D = C[h - 1
0 ]). Для системи твiрних a1, . . . , ak алгебри A маємо T (ai) = bi/h
ki
0 для деяких
bi \in A i ki \geq 0. Нехай k = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} ki. Тодi hk0T комутує з D i при цьому виконується включення
hk0T (A) \subseteq A. Оскiльки домноження на степенi h0 диференцiювань iз \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) не змiнює
ранг \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) над R = \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A), то, повторюючи мiркування iз випадку iснування слайса,
отримуємо рiвнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R R\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK A(D) = n.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. L. P. Bedratyuk, Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements, Ukr. Math. J., 62, № 4, 495 – 517
(2010).
2. Y. Chapovskyi, D. Efimov, A. Petravchuk, Centralizers of elements in Lie algebras of vector fields with polynomial
coefficients, Proc. Int. Geom. Cent., 14, № 4, 257 – 270 (2021).
3. D. R. Finston, S. Walcher, Centralizers of locally nilpotent derivations, J. Pure and Appl. Algebra, 120, № 1, 39 – 49
(1997).
4. G. Freudenburg, Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Encyclopedia Math. Sci., vol. 136, Springer, Berlin
(2006).
5. F. R. Gantmacher, The theory of matrices, vols. 1, 2, Chelsea Publ. Co., New York (1959).
6. J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Grad. Texts in Math., vol. 9, Springer, New
York (1972).
7. M. Miyanishi, Normal affine subalgebras of a polynomial ring, Algebraic and Topological Theories (Kinosaki, 1984),
Kinokuniya, Tokyo (1986), p. 37 – 51.
8. J. Nagloo, A. Ovchinnikov, P. Thompson, Commuting planar polynomial vector fields for conservative Newton
systems, Commun. Contemp. Math., 22, № 4, Article 1950025 (2020).
9. A. Nowicki, M. Nagata, Rings of constants for k-derivations in k[x1, . . . , xn], J. Math. Kyoto Univ., 28, № 1,
111 – 118 (1988).
10. D. I. Panyushev, Two results on centralisers of nilpotent elements, J. Pure and Appl. Algebra, 212, № 4, 774 – 779
(2008).
11. A. P. Petravchuk, O. G. Iena, On centralizers of elements in the Lie algebra of the special Cremona group \mathrm{S}\mathrm{A}2(k),
J. Lie Theory, 16, № 3, 561 – 567 (2006).
12. R. Weitzenböck, Über die Invarianten von linearen Gruppen, Acta Math., 58, № 1, 231 – 293 (1932).
Одержано 12.03.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7529 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:44Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/049f3a23f9f7cf6cddc1106289923662.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75292024-06-19T00:34:34Z Centralizers of linear and locally nilpotent derivations Централізатори лінійних і локально нільпотентних диференціювань Bedratyuk, L. Petravchuk, A. Chapovskyi, Ie. Бедратюк, Леонід Петравчук, Анатолій Чаповський, Євген Lie algebra, locally nilpotent differentiation, basic Weitzenbeck differentiation, centralizer, kernel of differentiation алгебра Лі, локально нільпотентне диференціювання, базисне диференціювання Вейтценбека, централізатор, kядро диференціювання UDC 512.715, 512.554.31 Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero, $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ be the polynomial algebra and $W_n(\mathbb{K})$ be the Lie algebra of all $\mathbb K$-derivations on $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n].$ For any derivation $D$ with linear components,&nbsp; we describe the centralizer of $D$ in $W_n(\mathbb{K}),$ and&nbsp; propose an algorithm for finding the generators of this centralizer regarded as a module over the ring of constants of the derivation $D$ in the case where $D$ is a basic Weitzenboeck derivation. In a more general case where a finitely generated integral domain $A$ over the field $\mathbb{K}$ is considered instead of the polynomial algebra $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ and $D$ is a locally nilpotent derivation on $A,$ we prove that the centralizer ${\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ of $D$ in the Lie algebra ${\rm Der} A$ of all $\mathbb K$-differentiations on $A$ is a ``large'' subalgebra of ${\rm Der} A.$ Specifically, the rank of ${\rm C}_{{\rm Der} _A}(D)$ over $A$ is equal to the transcendence degree of the field of fractions $\mathrm{Frac}(A)$ over the field~$\mathbb K.$ УДК 512.715, 512.554.31 Нехай $\mathbb{K}$ – алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$ – алгебра многочленів, а $W_n(\mathbb{K})$ – алгебра Лі всіх $\mathbb K$-диференціювань на $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n].$ Для довільного диференціювання $D$ з лінійними компонентами описано централізатор $D$ в $W_n(\mathbb{K})$ і запропоновано алгоритм знаходження його твірних як модуля над кільцем сталих диференціювання $D$ у випадку, коли $D$ є базовим диференціюванням Вейтценбека. У більш загальному випадку, коли замість алгебри многочленів $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$ розглядається скінченнопороджена область цілісності $A$ над полем $\mathbb{K}$ і $D$ є локально нільпотентним диференціюванням на $A,$ доведено, що централізатор ${\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ диференціювання $D$ в алгебрі Лі ${\rm Der} A$ всіх $\mathbb K$-диференціювань на $A$ є ,,великою'' підалгеброю в ${\rm Der} A,$ а саме ранг $ {\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ над $A$ дорівнює степеню трансцендентності поля часток $\mathrm{Frac} (A)$ над полем $\mathbb K.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-08-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7529 10.3842/umzh.v75i8.7529 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 8 (2023); 1043 - 1052 Український математичний журнал; Том 75 № 8 (2023); 1043 - 1052 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7529/9453 Copyright (c) 2023 Леонід Бедратюк |
| spellingShingle | Bedratyuk, L. Petravchuk, A. Chapovskyi, Ie. Бедратюк, Леонід Петравчук, Анатолій Чаповський, Євген Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title | Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title_alt | Централізатори лінійних і локально нільпотентних диференціювань |
| title_full | Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title_fullStr | Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title_full_unstemmed | Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title_short | Centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| title_sort | centralizers of linear and locally nilpotent derivations |
| topic_facet | Lie algebra locally nilpotent differentiation basic Weitzenbeck differentiation centralizer kernel of differentiation алгебра Лі локально нільпотентне диференціювання базисне диференціювання Вейтценбека централізатор kядро диференціювання |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7529 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyukl centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT petravchuka centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT chapovskyiie centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT bedratûkleoníd centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT petravčukanatolíj centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT čapovsʹkijêvgen centralizersoflinearandlocallynilpotentderivations AT bedratyukl centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ AT petravchuka centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ AT chapovskyiie centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ AT bedratûkleoníd centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ AT petravčukanatolíj centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ AT čapovsʹkijêvgen centralízatorilíníjnihílokalʹnonílʹpotentnihdiferencíûvanʹ |