On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument
UDC 517.9 We consider linear differential equations of the first order with delayed arguments in a Banach space. We establish conditions for the operator coefficients necessary for the existence of  exponential dichotomy on the real axis. It is proved that the analyzed differential equa...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7576 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512690798067712 |
|---|---|
| author | Chaikovs'kyi, A. Lagoda, O. Чайковський, Андрій Лагода, Оксана |
| author_facet | Chaikovs'kyi, A. Lagoda, O. Чайковський, Андрій Лагода, Оксана |
| author_sort | Chaikovs'kyi, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:34Z |
| description | UDC 517.9
We consider linear differential equations of the first order with delayed arguments in a Banach space. We establish conditions for the operator coefficients necessary for the existence of  exponential dichotomy on the real axis. It is proved that the analyzed differential equation is equivalent to a difference equation in a certain space. It is shown that, under the conditions of existence and uniqueness of a solution  bounded on the entire real axis, the condition of exponential dichotomy is also satisfied for any bounded known function. The explicit formula for projectors, which form the dichotomy, is found for the case of a single delay. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i8.7576 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i8.7576
УДК 517.9
Андрiй Чайковський1 (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка),
Оксана Лагода (Київський нацiональний унiверситет технологiй та дизайну)
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ ДИХОТОМIЮ ДЛЯ АБСТРАКТНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ АРГУМЕНТУ
We consider linear differential equations of the first order with delayed arguments in a Banach space. We establish conditions
for the operator coefficients necessary for the existence of exponential dichotomy on the real axis. It is proved that the
analyzed differential equation is equivalent to a difference equation in a certain space. It is shown that, under the conditions
of existence and uniqueness of a solution bounded on the entire real axis, the condition of exponential dichotomy is also
satisfied for any bounded known function. The explicit formula for projectors, which form the dichotomy, is found for the
case of a single delay.
Розглянуто лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку з запiзненням аргументу в банаховому просторi.
Дослiджено питання знаходження необхiдних умов на операторнi коефiцiєнти для iснування експоненцiальної
дихотомiї на дiйснiй осi. Показано, що розглянуте диференцiальне рiняння еквiвалентне лiнiйному рiзницевому
рiвняннi в деякому просторi. Доведено, що за умови iснування та єдиностi обмеженого на всiй осi розв’язку для
довiльної обмеженої вiдомої функцiї також справджуватиметься умова експоненцiальної дихотомiї. Встановлено
явний вигляд проєкторiв, що задають цю дихотомiю у випадку одного запiзнення аргументу.
Вступ. Нехай (X, \| \cdot \| ) — комплексний банахiв простiр, L(X) — простiр лiнiйних неперервних
операторiв в X. Розглянемо диференцiальне рiвняння
x\prime (t) =
m\sum
k=1
Akx(t - k), t\in \BbbR , (1)
де \{ Ak : 1 \leq k \leq m\} \subset L(X). Функцiю x \in C\infty (\BbbR , X), що задовольняє рiвняння (1), назива-
ють розв’язком цього рiвняння.
Для неоднорiдних рiвнянь такого типу вiдомi умови iснування i єдиностi обмеженого на
всiй осi розв’язку, що вiдповiдає обмеженiй вiдомiй функцiї, та формули для нього [1, 2].
У випадку рiвнянь без запiзнення такi умови дають можливiсть встановити експоненцiальну
дихотомiю. Справдi, для рiвняння
x\prime (t) = Ax(t) + y(t), t\in \BbbR ,
де A \in L(X), вiдомою умовою iснування та єдиностi обмеженого на всiй осi розв’язку для
довiльної обмеженої вiдомої функцiї є умова
\sigma (A) \cap \{ is | s\in \BbbR \} = \varnothing .
За цiєї умови спектр оператора A розпадається на двi частини i вiдповiднi проєктори P - , P+ у
розкладi Рiсса [3] дозволяють отримати експоненцiальну дихотомiю для однорiдного рiвняння
x\prime (t) = Ax(t), t\in \BbbR ,
а саме iснують такi сталi K > 0, \beta > 0, що
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: chaikovskiyav@ukr.net.
c\bigcirc АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8 1139
1140 АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА
\| eAtP - \| \leq Ke - \beta t, t \geq 0,
\| e - AtP+\| \leq Ke - \beta t, t \geq 0.
Проте вже у випадку рiвняння iз запiзненням
x\prime (t) = Ax(t - 1) + y(t), t\in \BbbR ,
ситуацiя ускладнюється. Умовою iснування i єдиностi обмеженого на всiй осi розв’язку для
довiльної обмеженої вiдомої функцiї є умова
\sigma (A) \cap \{ iseis | s\in \BbbR \} = \varnothing .
Крива у цiй формулi є подвiйною спiраллю, що розбиває комплексну площину на злiченну
кiлькiсть обмежених частин. Проте належнiсть спектра однiй iз цих частин не гарантує дихо-
томiї.
У випадку запiзнення питання експоненцiальної дихотомiї дослiджувалося багатьма вiдо-
мими вченими. Слiд вiдзначити роботи Дж. Хейла [4, 5], О. А. Бойчука, А. М. Самойленка
[6, 7], О. А. Бойчука, О. О. Покутного, В. Ф. Журавльова [8, 9].
Зокрема, в роботах [4, 5] встановлено i дослiджено узагальнену експоненцiальну дихото-
мiю для диференцiальних рiвнянь iз запiзненням аргументу у скiнченновимiрному просторi.
Зокрема, для деякого класу рiвнянь, що включають рiвняння вигляду (1), у скiнченновимiрному
випадку отримано таке твердження.
Теорема 1 [5]. Для довiльного \mu \in \BbbR iснують проєктори P\mu
- , P
\mu
+ та сталi K\mu > 0, \gamma 2 >
\gamma 1 > 0 такi, що для C0-напiвгрупи \{ T (t) : t \geq 0\} , породженої рiвнянням (1), справджується
умова узагальненої експоненцiальної дихотомiї
\| T (t)P\mu
- \| \leq K\mu e
(\mu - \gamma 2)t, t \geq 0,
\| T ( - t)P\mu
+\| \leq K\mu e
- (\mu - \gamma 1)t, t \geq 0.
Зауважимо, що узагальнена дихотомiя є слабшою за класичну.
В цiй роботi запропоновано пiдхiд, який дозволяє побудувати рiзницеве рiвняння, еквiва-
лентне диференцiальному. А це дало можливiсть встановити експоненцiальну дихотомiю для
рiвняння (1). Для рiвняння з одним запiзненням також наведено явний вигляд проєкторiв, що
породжують дихотомiю.
Зведення диференцiального рiвняння до рiзницевого. Введемо простори Z0 =
C([0, 1], X) з рiвномiрною нормою \| \cdot \| 0 i Z1 = C1([0, 1], X) з нормою \| x\| 1 = \| x\| 0 + \| x\prime \| 0,
x \in Z1. Для функцiй, визначених на вiдрiзку, пiд похiдними на кiнцях розумiтимемо вiдповiднi
однобiчнi похiднi.
Лема 1. Якщо функцiя x \in C\infty (\BbbR , X) є розв’язком рiвняння (1), то послiдовнiсть функцiй
\{ xn(t) = x(t+ n), t \in [0, 1] : n\in \BbbZ \} \subset Z1 є розв’язком рiзницево-iнтегрального рiвняння
xn+1(t) = xn(1) +
m\sum
k=1
Ak
t\int
0
xn+1 - k(s)ds, t \in [0, 1], n\in \BbbZ . (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ ДИХОТОМIЮ ДЛЯ АБСТРАКТНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1141
Навпаки, якщо деяка послiдовнiсть функцiй \{ xn : n \geq 1\} \subset Z1 є розв’язком рiзницево-
iнтегрального рiвняння (2), то рiвностi
x(t) = xn(t - n), t \in [n, n+ 1), n\in \BbbZ ,
задають функцiю x \in C\infty (\BbbR , X), що є розв’язком диференцiального рiвняння (1).
Доведення. Якщо x — розв’язок диференцiального рiвняння (1), то
x\prime (t+ n+ 1) =
n\sum
k=1
Akx(t+ n+ 1 - k), t \in [0, 1], n\in \BbbZ ,
тобто
x\prime n+1(t) =
n\sum
k=1
Akxn+1 - k(t), t \in [0, 1], n\in \BbbZ .
Iнтегруючи члени рiвняння вiд 0 до t, отримуємо
xn+1(t) - xn+1(0) =
n\sum
k=1
Ak
t\int
0
xn+1 - k(s)ds+
t\int
0
yn+1(s)ds, t \in [0, 1], n\in \BbbZ .
Враховуючи те, що xn+1(0) = x(n+ 1) = xn(1), n\in \BbbZ , одержуємо потрiбну рiвнiсть.
Навпаки, якщо справджується рiвнiсть (2), то при t = 0 маємо
xn+1(0) = xn(1), n\in \BbbZ ,
отже, x \in C(\BbbR , X). Рiвнiсть (2) можна здиференцiювати i отримати рiвнiсть (1) (для похiд-
них злiва i справа в цiлих точках маємо значення з рiзних рiвнянь, що збiгаються завдяки
неперервностi функцiї x). Зокрема, одержуємо, що x \in C\infty (\BbbR , X).
Введемо оператори C1, . . . , Cm \in L(Z1), що дiють за правилами
(C1x)(t) = x(1) +A1
t\int
0
x(s)ds, t \in [0, 1],
(Ckx)(t) = Ak
t\int
0
x(s)ds, t \in [0, 1], 2 \leq k \leq m.
Тодi рiзницево-iнтегральне рiвняння (2) можна записати у виглядi
xn+1 =
m\sum
k=1
Ckxn+1 - k, n\in \BbbZ . (3)
Зауважимо, що це рiзницеве рiвняння зручно записати у виглядi рiвняння
un+1 = Cun, n\in \BbbZ , (4)
у просторi Zm
1 з нормою \| w\| =
\sum m
k=1
\| wk\| 1, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1142 АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА
un = (xn, xn - 1, . . . , xn - m+1)
T ,
C =
\left(
C1 C2 C3 . . . Cm - 1 Cm
I O O . . . O O
O I O . . . O O
O O I . . . O O
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
O O O . . . I O
\right) .
Дослiдимо iснування експоненцiальної дихотомiї для цього рiвняння за умови
0 \not \in \sigma
\bigl(
itI - A1e
- it - A2e
- 2it - . . . - Ame - mit
\bigr)
, t\in \BbbR , (5)
яка є вiдомою необхiдною i достатньою умовою iснування єдиного обмеженого розв’язку
неоднорiдного рiвняння, що вiдповiдає (1) [1].
Лема 2. Якщо справджується умова (5), то
\sigma (C) \cap S = \varnothing ,
де S = \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} — одиничне коло в комплекснiй площинi.
Доведення. Нехай \lambda \in \BbbC \setminus \sigma (C). Це означає, що для довiльного v \in Zm
1 iснує єдиний
u \in Zm
1 такий, що
Cu - \lambda u = v.
Використовуючи означення оператора C, отримуємо рiвняння
u1(1) +
m\sum
k=1
Ak
t\int
0
uk(s)ds - \lambda u1(t) = v1(t), t \in [0, 1],
uk(t) - \lambda uk+1(t) = vk(t), 1 \leq k \leq m - 1, t \in [0, 1],
або разом при \lambda \not = 0
u1(1) +
m\sum
k=1
Ak
t\int
0
\lambda 1 - ku1(s)ds - \lambda u1(t) = w(t), t \in [0, 1],
w(t) = (Wv)(t) := v1(t) +
m\sum
k=2
Ak
t\int
0
k\sum
p=2
\lambda p - kvp(s)ds, t \in [0, 1],
де функцiя w \in Z1 може бути довiльною при вiдповiдному виборi v. Це iнтегральне рiвняння
при \lambda \not = 0 еквiвалентне крайовiй задачi для диференцiального рiвняння
m\sum
k=1
Ak\lambda
1 - ku1(t) - \lambda u\prime 1(t) = w\prime (t), t \in [0, 1],
та крайової умови u1(1) - \lambda u1(0) = w(0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ ДИХОТОМIЮ ДЛЯ АБСТРАКТНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1143
Введемо оператор A = A(\lambda ) =
\sum m
k=1
Ak\lambda
- k. Якщо iснує неперервний обернений оператор
до оператора
1
\lambda
eA - I, то легко перевiрити стандартними методами, що єдиним розв’язком
крайової задачi буде функцiя
u1(t) = ((C - \lambda I) - 1v)1(t) = - 1
\lambda
t\int
0
eA(t - s)w\prime (s)ds
+ eAt 1
\lambda
\biggl(
1
\lambda
eA - I
\biggr) - 1
\left( 1
\lambda
1\int
0
eA(1 - s)w\prime (s)ds+ w(0)
\right) , t \in [0, 1], w = Wv \in Z1.
(6)
Зокрема, це правильно при \lambda \in S, тобто \lambda = ei\varphi , \varphi \in \BbbR , бо за теоремою Данфорда про
вiдображення спектра маємо
\sigma
\biggl(
1
\lambda
eA - I
\biggr)
= \{ e\mu - 1 | \mu \in \sigma ( - i\varphi I +A1e
- i\varphi +A2e
- 2i\varphi + . . .+Ame - mi\varphi )\} \not \ni 0,
де враховано, що з умови \mu \in \sigma ( - i\varphi I +A1e
- i\varphi +A2e
- 2i\varphi + . . .+Ame - mi\varphi ) випливає, що
\mu - 2\pi ki \in \sigma ( - i(\varphi + 2\pi k)I +A1e
- i(\varphi +2\pi k) +A2e
- 2i(\varphi +2\pi k) + . . .+Ame - mi(\varphi +2\pi k)), k\in \BbbZ ,
а останнiй спектр за умовою леми не мiстить нуля.
Експоненцiальна дихотомiя. Розглянемо для рiвняння (2) еволюцiйний оператор T (p),
p\in \BbbZ , який при кожному r\in \BbbZ набору \{ xk : r \leq k \leq r +m - 1\} ставить у вiдповiднiсть набiр
\{ xk : r + p \leq k \leq r + p+m - 1\} .
Теорема 2. Якщо виконано умову (5), то рiзницево-iнтегральне рiвняння (2), записане в
еквiвалентнiй формi (4), допускає експоненцiальну дихотомiю: iснують пiдпростори Z+, Z -
простору Zm
1 такi, що:
1) пряма сума Z - та Z+ рiвна простору Zm
1 ;
2) для проєктора P - на пiдпростiр Z - справджується оцiнка
\exists L > 0 \exists q \in (0, 1) \forall p \geq 0 : \| T (p)P - \| 1 \leq Lqp;
3) для проєктора P+ на пiдпростiр Z+ справджується оцiнка
\exists L > 0 \exists q \in (0, 1) \forall p \geq 0 : \| T ( - p)P+\| 1 \leq Lqp.
Доведення. Враховуючи лему 2, до рiвняння (2) у формi (4) можна застосувати спект-
ральний розклад Рiсса [3], вибравши в якостi Z - , Z+ пiдпростори, що вiдповiдають частинам
спектра C, якi лежать всерединi i ззовнi одиничного кола вiдповiдно. Отримаємо п. 1. Крiм
того,
\exists L > 0 \exists q \in (0, 1) \forall p \geq 0 : \| CpP - \| 1 \leq Lqp,
\exists L > 0 \exists q \in (0, 1) \forall p \geq 0 : \| C - pP+\| 1 \leq Lqp.
Звiдси маємо оцiнки з пп. 2, 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1144 АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА
Наслiдок 1. У частковому випадку m = 1, коли розглядається рiвняння з одним запiзнен-
ням
x\prime (t) = A1x(t - 1), t\in \BbbR , (7)
оператор C збiгається з оператором C1 i дiє у просторi Z1, умову (5) можна записати
простiше
\sigma (A1) \cap \{ iteit | t\in \BbbR \} = \varnothing ,
умовою застосування дихотомiї буде належнiсть функцiї x1 пiдпростору Z - чи Z+, а проєк-
тори на пiдпростори Z - , Z+ задаються вiдповiдно формулами
(P - x)(t) = x(t) + F (t)x(1) +
1\int
0
A1F (t - s)x(s)ds, t \in [0, 1],
(P+x)(t) = - F (t)x(1) -
1\int
0
A1F (t - s)x(s)ds, t \in [0, 1],
де
F (t) = - 1
2\pi i
\int
S
\Bigl(
\lambda eA1\lambda - I
\Bigr) - 1
eA1\lambda td\lambda , t\in \BbbR .
Доведення. Для отримання формул нагадаємо, що проєктор на пiдпростiр Z - має вигляд
P - = - 1
2\pi i
\int
S
(C - \mu I) - 1d\mu = | \mu = 1/\lambda | = - 1
2\pi i
\int
S
1
\lambda 2
\biggl(
C - 1
\lambda
I
\biggr) - 1
d\lambda .
За формулою (6), використовуючи позначення B(\lambda ) = A(\lambda - 1) = A1\lambda , маємо\Biggl(
1
\lambda 2
\biggl(
C - 1
\lambda
I
\biggr) - 1
y
\Biggr)
(t) = - 1
\lambda
t\int
0
eB(\lambda )(t - s)y\prime (s)ds
+ eB(\lambda )t 1
\lambda
\Bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\Bigr) - 1
\left( \lambda
1\int
0
eB(\lambda )(1 - s)y\prime (s)ds+ y(0)
\right) ,
t \in [0, 1], \lambda \in \BbbC \setminus (\sigma (C) \cup \{ 0\} ).
Iнтегруючи частинами, отримуємо
t\int
0
eB(\lambda )(t - s)y\prime (s)ds = y(t) - eB(\lambda )ty(0) +
t\int
0
B(\lambda )eB(\lambda )(t - s)y(s)ds,
тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ ДИХОТОМIЮ ДЛЯ АБСТРАКТНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1145
\lambda
1\int
0
eB(\lambda )(1 - s)y\prime (s)ds+ y(0) = -
\Bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\Bigr)
y(0) + \lambda y(1) + \lambda
1\int
0
B(\lambda )eB(\lambda )(1 - s)y(s)ds
= - (\lambda eB(\lambda ) - I)y(0) + \lambda y(1)+(\lambda eB(\lambda ) - I)
1\int
0
B(\lambda )e - B(\lambda )sy(s)ds
+
1\int
0
B(\lambda )e - B(\lambda )sy(s)ds.
Отже,\Biggl(
1
\lambda 2
\biggl(
C - 1
\lambda
I
\biggr) - 1
y
\Biggr)
(t) = - 1
\lambda
y(t) - 1
\lambda
t\int
0
B(\lambda )eB(\lambda )(t - s)y(s)ds
+ eB(\lambda )t
\Bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\Bigr) - 1
\left( y(1) +
1
\lambda
1\int
0
B(\lambda )e - B(\lambda )sy(s)ds
\right)
+
1
\lambda
1\int
0
B(\lambda )eB(\lambda )(t - s)y(s)ds.
Маємо
- 1
2\pi i
\int
S
\biggl(
- 1
\lambda
I
\biggr)
d\lambda = I, - 1
2\pi i
\int
S
\biggl(
- 1
\lambda
B(\lambda )eB(\lambda )(t - s)
\biggr)
d\lambda = B(0)eB(0)(t - s) = O.
Крiм того,
- 1
2\pi i
\int
S
\biggl(
1
\lambda
\Bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\Bigr) - 1
B(\lambda )eB(\lambda )(t - s)
\biggr)
d\lambda =
m\sum
k=1
AkFk(t - s),
де
Fk(t) = - 1
2\pi i
\int
S
\bigl(
\lambda k - 1
\bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\bigr) - 1
eB(\lambda )t
\bigr)
d\lambda .
Оскiльки F1 = F i
Fk+1(t) = - 1
2\pi i
\int
S
\bigl(
\lambda k - 1
\bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I
\bigr) - 1
eB(\lambda )(t - 1)
\bigr) \bigl(
\lambda eB(\lambda ) - I + I
\bigr)
d\lambda
= - 1
2\pi i
\int
S
\lambda k - 1eB(\lambda )(t - 1)d\lambda + Fk(t - 1) = Fk(t - 1), t\in \BbbR , 1 \leq k \leq m - 1,
то Fk(t) = F (t - k+1), t\in \BbbR , 1 \leq k \leq m. Враховуючи означення функцiй F та B, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1146 АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА
(P - y)(t) = y(t) + F (t)y(1) +
1\int
0
A1F (t - s)y(s)ds.
Наслiдок 2. Якщо x — розв’язок диференцiального рiвняння (7), то його компоненти x+ =
P+x, x - = P - x є розв’язками цього рiвняння, що задовольняють оцiнки
\exists K > 0 \exists \beta > 0 \forall t \geq 0 : \| x - (t)\| \leq Ke - \beta t,
\exists K > 0 \exists \beta > 0 \forall t \leq 0 : \| x+(t)\| \leq Ke\beta t.
Доведення. Оскiльки проєктори P - , P+ комутують з оператором C = C1, то ними можна
подiяти на обидвi частини рiвняння (4) i показати, що x - , x+ є розв’язками. Оцiнки випливають
з оцiнок теореми.
Застосування до неоднорiдного рiвняння. Розглянемо неоднорiдне диференцiальне рiв-
няння
x\prime (t) =
m\sum
k=1
Akx(t - k) + y(t), t\in \BbbR , (8)
де \{ Ak : 1 \leq k \leq m\} \subset L(X). Якщо y \in C(\BbbR , X) — вiдома функцiя, то функцiю x \in C1(\BbbR , X),
що задовольняє рiвняння (1), називають розв’язком цього рiвняння.
Для застосування оцiнок, якi дає експоненцiальна дихотомiя, розглянемо неоднорiдне рiв-
няння, що вiдповiдає (2):
xn+1(t) = xn(1) +
m\sum
k=1
Ak
t\int
0
xn+1 - k(s)ds+ zn(t), t \in [0, 1], n\in \BbbZ , (9)
де \{ zn : n \geq 1\} \subset Z1 — вiдома послiдовнiсть, \{ xn : n \geq 1\} \subset Z1 — шукана послiдовнiсть.
Лема 3. Нехай для заданої функцiї y \in C(\BbbR , X) функцiя x \in C1(\BbbR , X) є розв’язком
рiвняння (8). Тодi послiдовнiсть функцiй \{ xn : n\in \BbbZ \} \subset Z1, що визначається рiвностями
xn(t) = x(t+ n), t \in [0, 1], n\in \BbbZ ,
є розв’язком рiзницево-iнтегрального рiвняння (9), в якому
zn(t) =
t\int
0
y(s+ n+ 1)ds, t \in [0, 1], n\in \BbbZ
(при цьому \{ zn : n\in \BbbZ \} \subset Z1).
Доведення аналогiчне доведенню леми 1.
Ця лема дозволяє звести рiвняння (8) до рiзницево-iнтегрального рiвняння (9), яке в свою
чергу можна записати у виглядi
xn+1 =
m\sum
k=1
Ckxn+1 - k + zn, n\in \BbbZ . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ ДИХОТОМIЮ ДЛЯ АБСТРАКТНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1147
Зауважимо, що це рiзницеве рiвняння зручно подати у виглядi рiвняння
un+1 = Cun + vn, n\in \BbbZ , (11)
у просторi Zm
1 з нормою \| u\| =
\sum m
k=1
\| uk\| 1, де
un = (xn, xn - 1, . . . , xn - m+1)
T ,
vn = (zn, 0, . . . , 0)
T , n\in \BbbZ .
Iснування, єдинiсть i оцiнки розв’язкiв абстрактних рiзницевих рiвнянь такого типу ви-
вчалися, зокрема, в роботах [10 – 12]. Зокрема, вiдомо, що iснування i єдинiсть обмеженого
розв’язку не змiнюються при переходi до цього рiвняння [10, 11].
Наявнiсть дихотомiї дозволяє розщепити рiвняння (8) на два рiвняння у просторах Z - та
Z+, що дає можливiсть описати асимптотичну поведiнку на нескiнченностi [11].
Особливо простий результат можна отримати у випадку одного запiзнення. Якщо в цьому
випадку x — розв’язок диференцiального рiвняння (7), то його компоненти x+, x - , утворенi
за формулами
x+(t) = (P+xn)(t - n), t \in [n, n+ 1), n\in \BbbZ ,
x - (t) = (P - xn)(t - n), t \in [n, n+ 1), n\in \BbbZ ,
xn(t) = x(t+ n), t \in [0, 1], n\in \BbbZ ,
є розв’язками рiвнянь
x\prime - (t) = A1x - (t) + y - (t), t\in \BbbR ,
x\prime +(t) = A1x+(t) + y+(t), t\in \BbbR ,
де
y+(t) = (P+yn)(t - n), t \in [n, n+ 1), n\in \BbbZ ,
y - (t) = (P - yn)(t - n), t \in [n, n+ 1), n\in \BbbZ ,
yn(t) = y(t+ n), t \in [0, 1], n\in \BbbZ .
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. A. V. Chaikovs’kyi, On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument, Ukr. Math.
J., 63, № 9, 1470 – 1477 (2012).
2. A. V. Chaikovs’kyi, Investigation of one linear differential equation by using generalized functions with values in a
Banach space, Ukr. Math. J., 53, № 5, 796 – 803 (2001).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1148 АНДРIЙ ЧАЙКОВСЬКИЙ, ОКСАНА ЛАГОДА
3. F. Riss, B. Sekefalvi-Nad, Lectures on functional analysis, Ungar Publ., New York (1955).
4. J. K. Hale, Theory of functional differential equations, Springer, New York (1977).
5. Jack K. Hale, Weinian Zhang, On uniformity of exponential dichotomies for delay equations, J. Different. Equat.,
204, 1 – 4 (2004).
6. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, VSP,
Utrecht, Boston (2004).
7. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, De
Gruyter, Berlin (2016).
8. A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, Exponential dichotomy and bounded solutions of differential equations in the Frechet
space, Ukr. Math. J., 66, № 12, 1781 – 1792 (2015).
9. A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Dichotomy on semiaxes and the solutions of linear systems with delay bounded on
the entire axis, J. Math. Sci., 220, № 4, 377 – 393 (2017).
10. A. M. Gomilko, M. F. Gorodnii, O. A. Lagoda, On the boundedness of a recurrence sequence in a Banach space,
Ukr. Math. J., 55, № 10, 1699 – 1708 (2003).
11. M. F. Horodnii, O. A. Lahoda, Bounded solutions for some classes of difference equations with operator coefficients,
Ukr. Math. J., 53, № 11, 1817 – 1824 (2001).
12. A. Chaikovs’kyi, O. A. Lagoda, Bounded solutions of difference equations in a banach space with input data from
subspaces, Ukr. Math. J., 73, № 12, 1810 – 1824 (2022).
Одержано 01.05.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7576 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:48Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/05ab7ee14c329811bceab1c451ccf210.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75762024-06-19T00:34:34Z On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument Про експоненціальну дихотомію для абстрактних диференціальних рівнянь із запізненням аргументу Chaikovs'kyi, A. Lagoda, O. Чайковський, Андрій Лагода, Оксана Banach space, differential equation, difference equation, exponential dichotomy Банахів простір, диференціальне рівняння, різницеве рівняння, експоненціальна дихотомія UDC 517.9 We consider linear differential equations of the first order with delayed arguments in a Banach space. We establish conditions for the operator coefficients necessary for the existence of  exponential dichotomy on the real axis. It is proved that the analyzed differential equation is equivalent to a difference equation in a certain space. It is shown that, under the conditions of existence and uniqueness of a solution  bounded on the entire real axis, the condition of exponential dichotomy is also satisfied for any bounded known function. The explicit formula for projectors, which form the dichotomy, is found for the case of a single delay. УДК 517.9 Розглянуто лінійні диференціальні рівняння першого порядку з запізненням аргументу в банаховому просторі. Досліджене питання знаходження необхідних умов на операторні коефіцієнти для існування експоненціальної дихотомії на дійсній осі. Показано що розглянуте диференціальне ріняння еквівалентне лінійному різницевому рівнянні в деякому просторі. Доведено, що за умови існування і єдиності обмеженого на всій осі розв'язку для довільної обмеженої відомої функції також справджуватиметься умова експоненціальної дихотомії. Встановлено явний вигляд проєкторів, що задають цю дихотомію у випадку одного запізнення аргументу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-08-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7576 10.3842/umzh.v75i8.7576 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 8 (2023); 1139 - 1148 Український математичний журнал; Том 75 № 8 (2023); 1139 - 1148 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7576/9462 Copyright (c) 2023 Andriy Chaikovs'kyi, Оксана Лагода |
| spellingShingle | Chaikovs'kyi, A. Lagoda, O. Чайковський, Андрій Лагода, Оксана On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title | On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title_alt | Про експоненціальну дихотомію для абстрактних диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_full | On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title_fullStr | On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title_full_unstemmed | On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title_short | On exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| title_sort | on exponential dichotomy for abstract differential equations with delayed argument |
| topic_facet | Banach space differential equation difference equation exponential dichotomy Банахів простір диференціальне рівняння різницеве рівняння експоненціальна дихотомія |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7576 |
| work_keys_str_mv | AT chaikovs039kyia onexponentialdichotomyforabstractdifferentialequationswithdelayedargument AT lagodao onexponentialdichotomyforabstractdifferentialequationswithdelayedargument AT čajkovsʹkijandríj onexponentialdichotomyforabstractdifferentialequationswithdelayedargument AT lagodaoksana onexponentialdichotomyforabstractdifferentialequationswithdelayedargument AT chaikovs039kyia proeksponencíalʹnudihotomíûdlâabstraktnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu AT lagodao proeksponencíalʹnudihotomíûdlâabstraktnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu AT čajkovsʹkijandríj proeksponencíalʹnudihotomíûdlâabstraktnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu AT lagodaoksana proeksponencíalʹnudihotomíûdlâabstraktnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu |