Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation
UDC 533.72 For a nonlinear kinetic Boltzmann equation, in the case of a rough spheres model, we construct an approximate solution in the form of a continual distribution with the global Maxwellians. We also obtain the sufficient conditions on the coefficient functions and the hydrodynamic parameters...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/760 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507098479067136 |
|---|---|
| author | Gordevskyy, V. D. Hukalov , O. O. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. |
| author_facet | Gordevskyy, V. D. Hukalov , O. O. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. |
| author_sort | Gordevskyy, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 533.72
For a nonlinear kinetic Boltzmann equation, in the case of a rough spheres model, we construct an approximate solution in the form of a continual distribution with the global Maxwellians. We also obtain the sufficient conditions on the coefficient functions and the hydrodynamic parameters, which are included in the distribution and make considered error arbitrarily small. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.760 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.760
УДК 533.72
В. Д. Гордевський (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна),
О. О. Гукалов (Фiз.-техн. iн-т низьких температур iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв)
КОНТИНУАЛЬНИЙ РОЗПОДIЛ ДЛЯ РIВНЯННЯ БРАЙАНА – ПIДДАКА
For a nonlinear kinetic Boltzmann equation, in the case of a rough spheres model, we construct an approximate solution in
the form of a continual distribution with the global Maxwellians. We also obtain the sufficient conditions on the coefficient
functions and the hydrodynamic parameters, which are included in the distribution and make considered error arbitrarily
small.
Для нелiнiйного кiнетичного рiвняння Больцмана у випадку моделi шорсткуватих куль побудовано наближений
розв’язок у виглядi континуального розподiлу з глобальними максвеллiанами. Отримано достатнi умови на коефi-
цiєнтнi функцiї та гiдродинамiчнi параметри, що входять до розподiлу, якi дозволяють зробити розглянутий вiдхил
як завгодно малим.
1. Вступ. Одним iз основних рiвнянь кiнетичної теорiї газiв є нелiнiйне, iнтегро-диференцiальне
рiвняння Больцмана [1], яке описує еволюцiю розрiдженого газу. Ми будемо розглядати це
рiвняння для моделi шорсткуватих куль, яка вперше була введена у 1894 р. Брайаном [2], а у
1922 р. Пiддак [3] застосував до цiєї моделi ранiше розвинутi методи для загальних сферичних
молекул.
У цiй моделi розглядаються молекули, що є абсолютно пружними та абсолютно шорсткува-
тими. Це означає наступне. При зiткненнi двох молекул, точки, що зiштовхуються, не мають у
загальному випадку однакової швидкостi. Передбачається, що двi сфери зачiпляють одна одну
без ковзання. У початковий момент сфери деформують одна одну, а потiм енергiя деформацiї
повертається назад у кiнетичну енергiю поступального та обертального рухiв без жодних втрат.
У результатi вiдносна швидкiсть сфер у точцi їх зiткнення змiнюється при ударi на обернену.
Перевага цiєї моделi над усiма iншими моделями, що припускають змiну стану обертання моле-
кул, полягає у тому, що тут не потрiбно нiяких додаткових змiнних, якi визначають орiєнтацiю
молекули у просторi.
Рiвняння Больцмана у випадку моделi шорсткуватих куль (або рiвняння Брайана – Пiддака)
має вигляд [1 – 3]
D(f) = Q(f, f), (1)
D(f) \equiv \partial f
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial f
\partial x
\biggr)
, (2)
Q(f, f) \equiv d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )\times
\times [f (t, V \ast
1 , x, \omega
\ast
1) f (t, V \ast , x, \omega \ast ) - f(t, V, x, \omega )f(t, V1, x, \omega 1)] . (3)
Тут d — дiаметр молекули, який пов’язаний з моментом iнерцiї I спiввiдношенням
I =
bd2
4
,
c\bigcirc В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11 1487
1488 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
де b, b \in
\biggl(
0,
2
3
\biggr]
, — параметр, який характеризує iзотропний розподiл речовини всерединi
молекули; t — час; x =
\bigl(
x1, x2, x3
\bigr)
\in \BbbR 3 — просторова координата; V =
\bigl(
V 1, V 2, V 3
\bigr)
та
\omega =
\bigl(
\omega 1, \omega 2, \omega 3
\bigr)
\in \BbbR 3 — лiнiйна та кутова швидкостi молекули вiдповiдно;
\partial f
\partial x
— градiєнт
функцiї f по змiннiй x; \Sigma — одинична сфера у просторi \BbbR 3 ; \alpha — одиничний вектор iз \BbbR 3, що
спрямований вздовж лiнiї, яка з’єднує центри молекул, що зiштовхуються;
B (V - V1, \alpha ) = | (V - V1, \alpha )| - (V - V1, \alpha )
— член зiткнення у виразi для iнтеграла зiткнень (3).
Лiнiйнi (V \ast , V \ast
1 ) та кутовi (\omega \ast , \omega \ast
1) швидкостi молекул пiсля зiткнення виражаються через
вiдповiднi швидкостi до зiткнення таким чином [1]:
V \ast = V - 1
b+ 1
\biggl(
b(V1 - V ) - bd
2
\alpha \times (\omega + \omega 1) + \alpha (\alpha , V1 - V )
\biggr)
,
V \ast
1 = V1 +
1
b+ 1
\biggl(
b(V1 - V ) - bd
2
\alpha \times (\omega + \omega 1) + \alpha (\alpha , V1 - V )
\biggr)
,
\omega \ast = \omega +
2
d(b+ 1)
\biggl\{
\alpha \times (V - V1) +
d
2
[\alpha (\omega + \omega 1, \alpha ) - \omega - \omega 1]
\biggr\}
,
\omega \ast
1 = \omega 1 +
2
d(b+ 1)
\biggl\{
\alpha \times (V - V1) +
d
2
[\alpha (\omega + \omega 1, \alpha ) - \omega - \omega 1]
\biggr\}
,
де символом \times позначено векторний добуток. Цi формули можна отримати, скориставшись
законами збереження iмпульсу, сумарної енергiї поступального та обертального рухiв.
2. Постановка задачi. Актуальним питанням для рiвняння Брайана – Пiддака є пошук
точних та наближених розв’язкiв у явному виглядi. Єдиним точним розв’язком рiвняння Боль-
цмана, що вiдомий на сьогоднi, є вираз, який прийнято називати максвеллiвським розподiлом
або максвеллiаном на честь шотландського фiзика Дж. К. Максвелла [1]. У випадку максвеллi-
анiв M маємо таке:
D(M) = 0, Q(M,M) = 0.
Загальний вигляд локальних максвеллiанiв у випадку моделi Брайана – Пiддака було оста-
точно отримано у роботi [8]. У цiй роботi ми отримаємо так званий континуальний розподiл
для глобального максвеллiану (залежить лише вiд лiнiйної та кутової швидкостей частки газу)
вигляду
f(t, x, V, \omega , u) =
\int
\BbbR 3
\varphi (t, x, u)M(V, \omega , u)du, (4)
де максвеллiан M(V, \omega , u) має вигляд [1, 8]
M(V, \omega , u) = \rho I3/2
\biggl(
\beta
\pi
\biggr) 3
e - \beta ((V - u)2+I\omega 2).
Тут \rho — густина потоку газу, \beta — величина, обернена до абсолютної температури T, тобто
\beta =
1
2T
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КОНТИНУАЛЬНИЙ РОЗПОДIЛ ДЛЯ РIВНЯННЯ БРАЙАНА – ПIДДАКА 1489
Припускається, що коефiцiєнтна функцiя \varphi (t, x, u) належить класу C1
\bigl(
\BbbR 7
\bigr)
i є невiд’ємною
з ненульовою нормою:
\| f\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 7
| f | + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 7
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial f\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 3\sum
i=1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 7
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial f\partial xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
В якостi мiри вiдхилення мiж частинами рiвняння (1) будемо розглядати рiвномiрно iнте-
гральний вiдхил, який у випадку моделi шорсткуватих куль має вигляд
\Delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega | D(f) - Q(f, f)| . (5)
Таким чином, задача полягає у знаходженнi такого вигляду функцiї \varphi (t, x, u), щоб роз-
подiл (4) був наближеним розв’язком рiвняння (1) – (3), тобто щоб рiвномiрно iнтегральний
вiдхил (5) можна було зробити як завгодно малим.
3. Основнi результати. Для подальшого нам знадобиться наступна лема, доведена у робо-
тi [9].
Лема. Нехай функцiя g(y, z) : Y \times Z \rightarrow \BbbR 1, Y \in \BbbR p, Z \in \BbbR q, i виконуються такi умови:
1) для будь-якого z \in Z функцiя g(y, z) обмежена на Y ;
2) g(y, z) неперервна за змiнною z рiвномiрно вiдносно y, тобто
\forall z0 \in Z \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall y \in Y \forall z \in Z : | z - z0| < \delta \Rightarrow | g(y, z) - g(y, z0)| < \varepsilon .
Тодi функцiя l(z) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}y\in Y | g(y, z)| неперервна на множинi Z.
Далi сформулюємо та доведемо таку теорему.
Теорема. Нехай у розподiлi (4) коефiцiєнтна функцiя \varphi (t, x, u) така, що
\varphi (t, x, u),
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi \partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi \partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
обмеженi по всiх значеннях (t, x, u) iз \BbbR 7, а
\varphi , | u| \varphi , \partial \varphi
\partial t
,
\partial \varphi
\partial x
, u
\partial \varphi
\partial x
\in L1
\bigl(
\BbbR 3
\bigr)
— за змiнною u рiвномiрно вiдносно t, x на \BbbR 4.
Тодi iснує така величина \Delta \prime , що виконується нерiвнiсть
\Delta \leq \Delta \prime
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow +\infty
\Delta \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\left\{ \rho
\int
\BbbR 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi \partial t +
\biggl(
u,
\partial \varphi
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du+
+ 2\pi d2\rho 2
\int
\BbbR 6
\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)| u1 - u2| du1du2
\right\} . (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1490 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
Доведення. Знайдемо вигляд диференцiального оператора D(f) для шуканого розподi-
лу (4):
D(f) =
\int
\BbbR 3
\biggl[
\partial
\partial t
(\varphi (t, x, u)M(V, \omega , u)) +
\biggl(
V,
\partial
\partial x
(\varphi (t, x, u)M(V, \omega , u))
\biggr) \biggr]
du =
=
\int
\BbbR 3
\biggl[
M(V, \omega , u)
\partial
\partial t
\varphi (t, x, u) +
\biggl(
V,M(V, \omega , u)
\partial
\partial x
\varphi (t, x, u)
\biggr) \biggr]
du =
=
\int
\BbbR 3
\biggl(
\partial
\partial t
\varphi (t, x, u) +
\biggl(
V,
\partial
\partial x
\varphi (t, x, u)
\biggr) \biggr)
M(V, \omega , u)du.
Iнтеграл зiткнень Q(f, f) буде мати вигляд
Q(f, f) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )\times
\times
\left[ \int
\BbbR 3
\varphi (t, x, u1)M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1) du1
\int
\BbbR 3
\varphi (t, x, u2)M (V \ast , \omega \ast , u2) du2 -
-
\int
\BbbR 3
\varphi (t, x, u1)M(V1, \omega 1, u1) du1
\int
\BbbR 3
\varphi (t, x, u2)M(V, \omega , u2)du2
\right] .
Пiдставимо знайдений вигляд частин рiвняння (1) у вiдхил \Delta (5):
\Delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR 3
\biggl(
\partial
\partial t
\varphi (t, x, u) +
\biggl(
V,
\partial
\partial x
\varphi (t, x, u)
\biggr) \biggr)
M(V, \omega , u)du -
- d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )
\int
\BbbR 6
\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)\times
\times [M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1)M (V \ast , \omega \ast , u2) - M(V1, \omega 1, u1)M(V, \omega , u2)] du1du2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Iснування отриманого вiдхилу забезпечують умови теореми. Оцiнимо праву частину таким
чином:
\Delta \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega
\Biggl[ \int
\BbbR 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u) du+
+
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )
\int
\BbbR 6
\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)\times
\times | M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1)M (V \ast , \omega \ast , u2) - M(V1, \omega 1, u1)M(V, \omega , u2)| du1du2
\Biggr]
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КОНТИНУАЛЬНИЙ РОЗПОДIЛ ДЛЯ РIВНЯННЯ БРАЙАНА – ПIДДАКА 1491
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega
\Biggl[ \int
\BbbR 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u)du+
+
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )
\int
\BbbR 6
\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)\times
\times [M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1)M (V \ast , \omega \ast , u2) +M(V1, \omega 1, u1)M(V, \omega , u2)] du1du2
\Biggr]
.
Введемо величину \Delta \prime :
\Delta \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\Biggl[ \int
\BbbR 9
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u)dudV d\omega +
+
d2
2
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )
\int
\BbbR 6
\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)\times
\times [M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1)M (V \ast , \omega \ast , u2) +M(V1, \omega 1, u1)M(V, \omega , u2)] du1du2
\Biggr]
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\Biggl[ \int
\BbbR 9
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u)dV d\omega du+
+
d2
2
\int
\BbbR 6
du1du2\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)\times
\times
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\Sigma
d\alpha B(V - V1, \alpha )\times
\times [M (V \ast
1 , \omega
\ast
1, u1)M (V \ast , \omega \ast , u2) +M(V1, \omega 1, u1)M(V, \omega , u2)]
\Biggr]
.
Iснування величини \Delta \prime забезпечується умовами обмеженостi та iнтегровностi, що наведенi у
формулюваннi теореми.
Аргументуємо змiну порядку iнтегрування. У першому доданку пiдiнтегральна функцiя
неперервна за змiнними t, x, V i \omega за припущенням теореми, а iнтеграл\int
\BbbR 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u)du
збiгається рiвномiрно на \BbbR 6 за теоремою Веєрштрасса та завдяки умовi теореми. Дiйсно, має
мiсце оцiнка \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rho I3/2\biggl( \beta
\pi
\biggr) 3
e - \beta ((V - u)2+I\omega 2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1492 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
\leq \rho I3/2
\biggl(
\beta
\pi
\biggr) 3
e - \beta ((V - u)2+I\omega 2)
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + | V |
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) ,
яка iнтегровна за умовою теореми. У другому доданку пiдiнтегральна функцiя неперервна, що
випливає з умов теореми, а внутрiшнiй iнтеграл збiгається рiвномiрно за змiнними u1, u2,
оскiльки iснує iнтегровна мажоранта. Таким чином, змiна порядку iнтегрування є справедли-
вою.
Iнтеграл зiткнень можна записати у виглядi [4]
Q(f, g) = G(f, g) - fL(g), (7)
де
G(f, g) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\sum d\alpha B(V - V1, \alpha )f (t, x, V \ast
1 , \omega
\ast
1) g (t, x, V
\ast , \omega \ast ) ,
а
L(g) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\BbbR 3
d\omega 1
\int
\sum d\alpha B(V - V1, \alpha )g(t, x, V1, \omega 1).
Крiм того, будемо використовувати скорочення Mi = M(V, \omega , ui), де iндекс i набуває
значень 1 i 2. Тодi, використовуючи (7), отримуємо
\Delta \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\Biggl[ \int
\BbbR 9
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(V, \omega , u)dV d\omega du+
+
\int
\BbbR 6
du1du2\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega [G(M1,M2) +M1L(M2)]
\Biggr]
. (8)
У роботi [6] було встановлено, що\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega Q(M1,M2) = 0.
Беручи до уваги (7), маємо\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega M1L(M2) =
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega G(M1,M2). (9)
Використовуючи (9) та обчислюючи у (8) iнтеграл по кутових швидкостях, одержуємо
\Delta \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rho \biggl( \beta
\pi
\biggr) 3/2
e - \beta (V - u)2dV du+
+2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
du1du2\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)
\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega G(M1,M2).
Виконаємо у першому доданку замiну змiнних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КОНТИНУАЛЬНИЙ РОЗПОДIЛ ДЛЯ РIВНЯННЯ БРАЙАНА – ПIДДАКА 1493\sqrt{}
\beta (V - u) = w,
V =
1\surd
\beta
w + u,
якобiан якої J = \beta - 3/2. Тодi перший доданок у \Delta \prime дорiвнює
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
1\surd
\beta
w + u,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rho
\pi 3/2
e - w2
dwdu.
У роботi [7] було показано, що\int
\BbbR 3
dV
\int
\BbbR 3
d\omega G(M1,M2) =
d2\rho 1\rho 2
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta 1
+ u1 -
q1\surd
\beta 2
- u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Таким чином, остаточний вираз для величини \Delta \prime має вигляд
\Delta \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
1\surd
\beta
w + u,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rho
\pi 3/2
e - w2
dwdu+
+
2d2\rho 2
\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
du1du2\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta 1
+ u1 -
q1\surd
\beta 2
- u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
З огляду на позначення маємо \beta 1 = \beta 2 = \beta . Застосовуючи наведену вище лему про неперерв-
нiсть супремуму, можно показати (як це зроблено для випадку твердих куль у [5]), що вираз
для \Delta \prime неперервний за змiнною
\gamma =
1\surd
\beta
,
коли \gamma прямує до +0, що рiвносильно \beta \rightarrow +\infty . Тодi можемо виконати граничний перехiд
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow +\infty
\Delta \prime = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\gamma \rightarrow +0
\Delta \prime =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi (t, x, u)\partial t
+
\biggl(
u,
\partial \varphi (t, x, u)
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rho
\pi 3/2
e - w2
dwdu+
+
2d2\rho 2
\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 6
du1du2\varphi (t, x, u1)\varphi (t, x, u2)
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21 | u1 - u2| .
Обчислюючи iнтеграли за змiнними w, q i q1, отримуємо (6).
Теорему доведено.
Наведемо достатню умову мiнiмiзацiї рiвномiрно-iнтегрального вiдхилу (5) для розподi-
лу (4). Оскiльки коефiцiєнтна функцiя не залежить вiд вибору моделi часток, а умови теореми
аналогiчнi випадку твердих куль, про що свiдчать результати роботи [5], то достатнi умови
мiнiмiзацiї розглянутого вiдхилу збiгаються з наведеними у згаданiй статтi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1494 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
Наслiдок. Нехай виконуються всi умови доведеної вище теореми. Тодi вiдхил \Delta можна
зробити як завгодно малим, якщо коефiцiєнтна функцiя \varphi (t, x, u) має вигляд
\varphi (t, x, u) = C(x - ut)
\biggl(
P
\pi
\biggr) 3/2
e - P (u - u0)2 , (10)
де C(x - ut) — будь-яка гладка, додатна та обмежена разом зi своїми похiдними функцiя,
u0 — довiльний фiксований вектор, а P \rightarrow +\infty .
Доведення наслiдку див. у [5].
Варто зазначити, що умову P \rightarrow +\infty можна замiнити на d \rightarrow 0. Також у (10) аргумент
функцiї C(x - ut) можна замiнити на [u\times x], а замiсть експоненти використовувати будь-яку
\delta -подiбну функцiю.
4. Висновки. Побудований у теоремi розподiл є математичною моделлю, що наближено
описує взаємодiю континуального набору максвеллiвських течiй у газi з шорсткуватих куль, якi
мають однакову кутову швидкiсть \omega . При цьому температура течiй зменшується, що забезпечує
довiльну мализну вiдповiдного вiдхилу (5) мiж частинами рiвняння Брайана – Пiддака. Також
зазначимо, що для бiльш цiкавої з фiзичної точки зору моделi шорсткуватих куль залишаються
справедливими результати, аналогiчнi тим, що були отриманi ранiше для бiльш простої моделi
твердих куль.
Лiтература
1. S. Chapman, T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge Univ. Press, Cambridge
(1952).
2. G. H. Bryan, On the application of the determinantal relation to the kinetic theory of polyatomic gases, Rept. Brit.
Assoc. Adv. Sci., 64, 102 – 106 (1894).
3. F. B. Pidduck, The kinetic theory of a special type of rigid molecule, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 101,
101 – 110 (1922).
4. C. Cercignani, The Boltzman equation and its applications, Springer, New York (1988).
5. В. Д. Гордевский, Е. С. Сазонова, Континуальный аналог бимодальных распределений, Теор. и мат. физика,
171, № 3, 483 – 492 (2012).
6. В. Д. Гордевский, А. А. Гукалов, Взаимодействие смерчевых потоков в модели Бриана – Пиддака, Вестн. ХНУ
им. В. Н. Каразина, Математика, прикл. математика и механика, 990, № 64, 27 – 41 (2011).
7. V. D. Gordevskyy, Approximate biflow solutions of the kinetic Bryan – Pidduck equation, Math. Methods Appl. Sci.,
23, 1121 – 1137 (2003).
8. В. Д. Гордевский, А. А. Гукалов, Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер, Укр. мат. журн.,
63, № 5, 629 – 639 (2011).
9. В. Д. Гордевский, Двухпотоковое распределение с винтовыми модами, Теор. и мат. физика, 126, № 2, 283 – 300
(2001).
Одержано 02.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-760 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:55Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/d1e67bd06891797241012a6e1d07c544.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7602025-03-31T08:49:35Z Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation Континуальное распределение для уравнения Брайана-Пиддака Континуальний розподіл для рівняння Брайана – Піддака Gordevskyy, V. D. Hukalov , O. O. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. UDC 533.72 For a nonlinear kinetic Boltzmann equation, in the case of a rough spheres model, we construct an approximate solution in the form of a continual distribution with the global Maxwellians. We also obtain the sufficient conditions on the coefficient functions and the hydrodynamic parameters, which are included in the distribution and make considered error arbitrarily small. Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана в случае модели шероховатых сфер построено приближенное решение в виде континуального распределения с глобальными максвеллианами. Получены достаточные условия на коэффициентные функции и гидродинамические параметры распределения, которые позволяют сделать рассматриваемое отклонение сколь угодно малым. УДК 533.72 Для нелiнiйного кiнетичного рiвняння Больцмана у випадку моделi шорсткуватих куль побудовано наближений розв’язок у виглядi континуального розподiлу з глобальними максвеллiанами. Отримано достатнi умови на коефiцiєнтнi функцiї та гiдродинамiчнi параметри, що входять до розподiлу, якi дозволяють зробити розглянутий вiдхил як завгодно малим. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/760 10.37863/umzh.v72i11.760 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1487-1494 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1487-1494 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/760/8777 Copyright (c) 2020 Олексій Олександрович Гукалов, Вячеслав Дмитрович Гордевський |
| spellingShingle | Gordevskyy, V. D. Hukalov , O. O. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title | Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title_alt | Континуальное распределение для уравнения Брайана-Пиддака Континуальний розподіл для рівняння Брайана – Піддака |
| title_full | Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title_fullStr | Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title_full_unstemmed | Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title_short | Continual distribution for the Bryan – Pidduck equation |
| title_sort | continual distribution for the bryan – pidduck equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/760 |
| work_keys_str_mv | AT gordevskyyvd continualdistributionforthebryanpidduckequation AT hukalovoo continualdistributionforthebryanpidduckequation AT gordevsʹkijvd continualdistributionforthebryanpidduckequation AT gukalovoo continualdistributionforthebryanpidduckequation AT gordevskyyvd kontinualʹnoeraspredeleniedlâuravneniâbrajanapiddaka AT hukalovoo kontinualʹnoeraspredeleniedlâuravneniâbrajanapiddaka AT gordevsʹkijvd kontinualʹnoeraspredeleniedlâuravneniâbrajanapiddaka AT gukalovoo kontinualʹnoeraspredeleniedlâuravneniâbrajanapiddaka AT gordevskyyvd kontinualʹnijrozpodíldlârívnânnâbrajanapíddaka AT hukalovoo kontinualʹnijrozpodíldlârívnânnâbrajanapíddaka AT gordevsʹkijvd kontinualʹnijrozpodíldlârívnânnâbrajanapíddaka AT gukalovoo kontinualʹnijrozpodíldlârívnânnâbrajanapíddaka |