Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems
UDC 517.9 For a nonlinear autonomous boundary-value problem for ordinary differential equation in the critical case, we establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions based on the use of Adomian's decomposition method.
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7624 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512694333865984 |
|---|---|
| author | Boichuk, O. Chuiko, S. Diachenko, D. Бойчук, Олександр Чуйко, Сергій Д'яченко, Дар'я Чуйко, Сергій Михайлович |
| author_facet | Boichuk, O. Chuiko, S. Diachenko, D. Бойчук, Олександр Чуйко, Сергій Д'яченко, Дар'я Чуйко, Сергій Михайлович |
| author_sort | Boichuk, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:35Z |
| description | UDC 517.9
For a nonlinear autonomous boundary-value problem for ordinary differential equation in the critical case, we establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions based on the use of Adomian's decomposition method. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i8.7624 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i8.7624
УДК 517.9
Олександр Бойчук (Iнститут математики НАН України, Київ),
Сергiй Чуйко1 (Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ Донецької обл.; Iнститут динамiки
складних технiчних систем iменi Макса Планка, Магдебург, Нiмеччина),
Дар’я Д’яченко (Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ Донецької обл.)
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА
В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
For a nonlinear autonomous boundary-value problem for ordinary differential equation in the critical case, we establish
constructive conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions based on the use of
Adomian’s decomposition method.
Отримано конструктивнi умови розв’язностi та схему побудови розв’язкiв нелiнiйної автономної крайової задачi
для звичайного диференцiального рiвняння у критичному випадку з використанням методу декомпозицiї Адомяна.
1. Постановка задачi. Дослiджуємо задачу про побудову розв’язкiв [1 – 3]
z(t) \in \BbbC 1[a, b]
нелiнiйного автономного диференцiального рiвняння
dz/dt = Az + f + Z(z), (1)
якi задовольняють крайову умову
\ell z(\cdot ) = \alpha + J(z(\cdot )). (2)
Розв’язки задачi (1), (2) шукаємо в малому околi розв’язку породжуючої нетерової крайової
задачi
dz0/dt = Az0 + f, \ell z0(\cdot ) = \alpha \in \BbbR m, t \in [a, b\ast ]. (3)
Тут A — (n\times n)-вимiрна матриця, f \in \BbbR n, Z(z) — нелiнiйна вектор-функцiя, аналiтична щодо z
у малому околi розв’язку породжуючої задачi, \ell z(\cdot ) i J(z(\cdot )) — вiдповiдно лiнiйний i нелiнiйний
обмеженi функцiонали, визначенi на просторi неперервних на вiдрiзку [a, b] функцiй, причому
другий функцiонал аналiтичний щодо невiдомої z у малому околi розв’язку породжуючої
задачi (3).
На вiдмiну вiд розв’язкiв породжуючої нетерової крайової задачi (3), визначених на про-
мiжку [a, b\ast ], розв’язки нелiнiйної задачi (1), (2) шукаємо на промiжку [3, 4]
t \in [a, b], b \not = b\ast .
1 Вiдповiдальний за листування, e-mails: chujko-slav@ukr.net, chuiko@mpi-magdeburg.mpg.de.
c\bigcirc ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8 1053
1054 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
Правий кiнець b промiжку [a, b], на якому шукаємо розв’язок задачi (1), (2), невiдомий i пiдлягає
визначенню в процесi побудови самого розв’язку. Будемо шукати його у виглядi
b = b\ast +
\bigl(
b\ast - a
\bigr)
\beta .
Припустимо, що має мiсце критичний випадок PQ\ast \not = 0 i виконується умова
PQ\ast
d
\bigl\{
\alpha - \ell K
\bigl[
f
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0. (4)
При цьому породжуюча задача (3) має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв
z0(t, cr) = Xr(t)c0 +G
\bigl[
f ;\alpha
\bigr]
(t), c0 \in \BbbR r.
Якщо умова (4) не виконується, породжуюча нетерова крайова задача (3) може бути регуляризо-
вана аналогiчно [5, 6]. Тут X(t) — нормальна (X(a) = In) фундаментальна матриця однорiдної
частини системи (3), Q = \ell X(\cdot ) — (m\times n)-матриця,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} Q = n1, Xr(t) := X(t)PQr ,
PQr — (n \times r)-вимiрна матриця, утворена з r лiнiйно незалежних стовпцiв (n \times n)-вимiрної
матрицi-ортопроєктора
PQ : \BbbR n \rightarrow \BbbN (Q),
PQ\ast
d
— (d\times m)-вимiрна матриця, утворена з (d := m - n1) лiнiйно незалежних рядкiв (m\times m)-
вимiрної матрицi-ортопроєктора
PQ\ast : \BbbR m \rightarrow \BbbN (Q\ast ).
Крiм того,
G
\bigl[
f ;\alpha
\bigr]
(t) := K[f ](t) +X(t)Q+
\bigl\{
\alpha - \ell K[f ](\cdot )
\bigr\}
— узагальнений оператор Грiна крайової задачi (3),
K
\bigl[
f
\bigr]
(t) = X(t)
t\int
a
X - 1(s)fds
— оператор Грiна задачi Кошi для системи (3), Q+ — псевдообернена матриця за Муром –
Пенроузом [1]. Виконуючи у задачi (1), (2) замiну незалежної змiнної
t = a+ (\tau - a)(1 + \beta ), (5)
приходимо до задачi про вiдшукання розв’язку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1055
z(\tau ) \in \BbbC 1[a, b\ast ]
нелiнiйного автономного диференцiального рiвняння [1 – 3]
dz(\tau )/d\tau = Az(\tau ) + f + \v Z(z(\tau ), \beta ),
який задовольняє крайову умову
\ell z(\cdot ) = \v J(z(\cdot ), \beta ).
Тут \ell z(\cdot ) i \~J(z(\cdot ), \beta ) — вiдповiдно лiнiйний i нелiнiйний обмеженi функцiонали, визначенi
на просторi неперервних на вiдрiзку [a, b\ast ] функцiй [7, 8]. Розв’язок крайової задачi (1), (2)
шукаємо у виглядi [9, 10]
z(\tau ) := z0(\tau , cr) + u1(\tau ) + . . .+ uk(\tau ) + . . . , \beta := \beta 0 + \gamma 1 + . . .+ \gamma k + . . . .
Нелiнiйна вектор-функцiя
\v Z(z(\tau ), \beta ) := \beta (Az(\tau ) + f) + (1 + \beta )Z(z(\tau ))
аналiтична щодо невiдомої z(\tau ) в околi розв’язку z0(\tau , c0) породжуючої задачi (3), тому у
зазначеному околi має мiсце розклад [10]
\v Z(z(\tau ), \beta ) = \v Z(z0(\tau , c0), \beta 0) + Z1(z0(\tau , c0), u1(\tau ), \gamma 1)
+ Z2(z0(\tau , c0), u1(\tau ), u2(\tau ), \gamma 1, \gamma 2) + . . .
+ Zk(z0(\tau , c0), u1(\tau ), . . . , uk(\tau ), \gamma 1, . . . , \gamma k) + . . . .
Нелiнiйний обмежений векторний функцiонал
\v J(z(\cdot ), \beta ) := (1 + \beta )
\bigl(
\alpha + J(z(\cdot ))
\bigr)
аналiтичний щодо невiдомої z у малому околi розв’язку породжуючої задачi (3), тому у зазна-
ченому околi має мiсце розклад
\v J(z(\cdot ), \beta ) = \v J(z0(\cdot , c0), \beta 0) + J1(z0(\cdot , c0), u1(\cdot ), \gamma 1) + J2(z0(\cdot , c0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2) + . . .
+ Jk(z0(\cdot , c0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), . . . , uk(\cdot ), \gamma 1, . . . , \gamma k) + . . . .
Перше наближення до розв’язку нелiнiйної крайової задачi (1), (2) у критичному випадку
z1(\tau ) := z0(\tau , c0) + u1(\tau ), u1(\tau ) = Xr(\tau )c1 + u
(1)
1 (\tau ), c1 \in \BbbR r,
u
(1)
1 (\tau ) = G
\bigl[
\v Z(z0(s, c0), \beta 0); \v J(z0(\cdot , c0), \beta 0)
\bigr]
(\tau )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1056 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
визначає розв’язок крайової задачi першого наближення
du1(\tau )
dt
= Au1(\tau ) + \v Z(z0(\tau , c0), \beta 0), \ell u1(\cdot ) = \v J(z0(\cdot , c0), \beta 0).
У випадку (4) умова розв’язностi крайової задачi першого наближення приводить до рiвняння
PQ\ast
d
\bigl\{
\v J(z0(\cdot , c0), \beta 0) - \ell K
\bigl[
\v Z(z0(s, c0), \beta 0)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0.
Необхiднi умови iснування розв’язку задачi (1), (2) у критичному випадку визначає наступна
лема. Доведення леми аналогiчне [1, 3, 10, 11].
Лема. Припустимо, що для крайової задачi (1), (2) має мiсце критичний випадок (PQ\ast \not =
0), причому виконано умову (4); у цьому випадку породжуюча нетерова (m \not = n) крайова
задача (3) має сiм’ю розв’язкiв
z0(t, c
\ast
0) = Xr(t)c
\ast
0 +G
\bigl[
f ;\alpha
\bigr]
(t), c\ast 0 \in \BbbR r.
Припустимо також, що крайова задача (1), (2) в околi породжуючого розв’язку z0(t, c
\ast
r) має
розв’язок z(t) \in \BbbC 1[a, b]. За цих умов має мiсце рiвнiсть
F0(\v c0) := PQ\ast
d
\bigl\{
\v J(z0(\cdot , c\ast 0), \beta \ast
0) - \ell K
\bigl[
\v Z(z0(s, c
\ast
0), \beta
\ast
0)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0, (6)
де
\v c0 :=
\biggl(
c\ast 0
\beta \ast
0
\biggr)
.
Рiвняння (6) далi будемо називати рiвнянням для породжуючих констант нелiнiйної кра-
йової задачi (1), (2). Першi r компонент c\ast 0 \in \BbbR r кореня \v c0 \in \BbbR r+1 рiвняння (6) визначають
породжуючий розв’язок z0(t, c
\ast
0), у малому околi якого можуть iснувати шуканi розв’язки по-
чаткової задачi (1), (2). Крiм того, з рiвняння (6) можна знайти величину \beta \ast \in \BbbR 1, яка визначає
перше наближення b1 = b\ast + (b\ast - a)\beta \ast
0 до довжини вiдрiзка b - a, на якому визначений шука-
ний розв’язок. Якщо ж рiвняння (6) не має дiйсних коренiв, то задача (1), (2) не має шуканих
розв’язкiв.
2. Достатня умова розв’язностi. Рiвняння для породжуючих констант (6), взагалi кажучи,
є нелiнiйним рiвнянням. Приклад такого рiвняння буде наведено нижче. Припустимо, що рiв-
няння для породжуючих констант (6) має дiйснi коренi. Фiксуючи один iз дiйсних розв’язкiв
\v c0 \in \BbbR r+1 рiвняння (6), приходимо до задачi про побудову розв’язку нелiнiйної крайової задачi
(1), (2) у малому околi розв’язку
z0(t, c
\ast
0) = Xr(t)c
\ast
0 +G
\bigl[
f ;\alpha
\bigr]
(t), c\ast 0 \in \BbbR r,
породжуючої задачi (3). Припустимо також, що розв’язок z0(t, c
\ast
0) породжуючої задачi (3) не
збiгається з положенням рiвноваги [4, 13, 14]
z = z(t) : dz/dt = 0, Az + f + Z(z) = 0, \ell (z(\cdot )) = \alpha + J(z(\cdot ))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1057
крайової задачi (1), (2). Позначимо (d\times (r + 1))-вимiрну матрицю так:
B0 := PQ\ast
d
\bigl\{ \bigl[
\ell 1Xr(\cdot ); \ell 2(\v c0)
\bigr]
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s, \v c0)Xr(s);\scrA 2(s, \v c0)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
\in \BbbR d\times (r+1),
де
\scrA 1(t, \v c0) :=
\partial \v Z(z, \beta )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z = z0(t, c
\ast
0)
\beta = \beta \ast
0
, \scrA 2(t, \v c0) :=
\partial \v Z(z, \beta )
\partial \beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z = z0(t, c
\ast
0)
\beta = \beta \ast
0
— (n\times n)-вимiрна матриця i вектор,
\ell 1u(\cdot ) :=
\partial \v J(z(\cdot ), \beta )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z = z0(t, c
\ast
0)
\beta = \beta \ast
0
, \ell 2(\v c0)\gamma :=
\partial \v J(z(\cdot ), \beta )
\partial \beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z = z0(t, c
\ast
0)
\beta = \beta \ast
0
— похiднi за Фреше векторного функцiонала \v J(z(\cdot ), \beta ). Традицiйною умовою розв’язностi
нелiнiйної крайової задачi (1), (2) у малому околi породжуючого розв’язку z0(t, c
\ast
0) є вимога
простоти коренiв [1, 2, 12]
PB\ast
0
PQ\ast
d
= 0 (7)
рiвняння (6) для породжуючих констант нелiнiйної крайової задачi (1), (2). Нами отримано схе-
му побудови розв’язкiв нелiнiйної автономної крайової задачi для звичайного диференцiального
рiвняння у критичному випадку з використанням методу декомпозицiї Адомяна [9, 10].
Покажемо, що вимога простоти коренiв (7) рiвняння (6) для породжуючих констант є до-
статньою умовою розв’язностi нелiнiйної автономної крайової задачi (1), (2) у малому околi
розв’язку породжуючого розв’язку z0(t, c
\ast
0). Друге наближення до розв’язку нелiнiйної авто-
номної крайової задачi (1), (2) у критичному випадку
z2(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + u2(\tau )
визначає розв’язок крайової задачi другого наближення
du2(\tau )
d\tau
= Au2(\tau ) + Z1(z0(\tau , c
\ast
r), u1(\tau ), \gamma 1), \ell u2(\cdot ) = J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1),
де
u2(\tau ) = Xr(\tau )c2 + u
(1)
2 (\tau ), c2 \in \BbbR r,
u
(1)
2 (\tau ) = G
\bigl[
Z1(z0(s, c
\ast
0), u1(s), \gamma 1); J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1)
\bigr]
(t).
Умова розв’язностi крайової задачi другого наближення
F1(c1, \gamma 1) := PQ\ast
d
\bigl\{
J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1) - \ell K
\bigl[
Z1(z0(s, c
\ast
0), u1(s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0,
на вiдмiну вiд рiвняння (6) для породжуючих констант, є лiнiйним рiвнянням щодо констант
c1 i \gamma 1, розв’язним за умови (7) простоти коренiв рiвняння (6) для породжуючих констант.
Справдi, позначимо функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1058 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
v(\tau , \mu ) := z0(t, c
\ast
0) + \mu u1(t) + . . .+ \mu k uk(t) + . . . , w(\mu ) := \beta \ast
0 + \mu \gamma 1 + . . .+ \mu k \gamma k + . . . ,
при цьому [15]
Z1(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), \gamma 1) :=
\v Z \prime
\mu (v(\tau , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
,
J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1) := \v J \prime
\mu (v(\cdot , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
.
У малому околi породжуючого розв’язку z0(\tau , c
\ast
0) i константи \beta \ast
0 мають мiсце розклади
Z1(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), \gamma 1) = \scrA 1(\tau , \v c0)u1(\tau ) +\scrA 2(\tau , \v c0)\gamma 1 +\scrR 1(z0(\tau , c0), u
(1)
1 (\tau )),
J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1) = \ell 1u1(\cdot ) + \ell 2(\v c0)\gamma 1 + \scrJ 1(z0(\cdot , c\ast 0), u
(1)
1 (\cdot )).
Отже,
F1(\v c1) := PQ\ast
d
\bigl\{
J1(z0(\cdot , c\ast 0), u
(1)
1 (\cdot )) - \ell K
\bigl[
Z1(z0(s, c
\ast
0), u
(1)
1 (s))
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u1(\cdot ) + \ell 2(\v c0)\gamma 1 - \ell K
\bigl[
\scrA 1(s, \v c0)u1(s) +\scrA 2(t, \v c0)\gamma 1
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= B0 \v c1 + PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
1 (\cdot ) - \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
1 (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
,
де
\v c1 :=
\biggl(
c1
\gamma 1
\biggr)
\in \BbbR r+1.
Таким чином, за умови (7) простоти коренiв рiвняння (6) для породжуючих констант отримуємо
принаймнi один розв’язок крайової задачi першого наближення
u1(\tau ) = Xr(\tau )c1 + u
(1)
1 (\tau ), \v c1 = - B+
0 PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
1 (\cdot ) - \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
1 (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
.
Третє наближення до розв’язку нелiнiйної автономної крайової задачi (1), (2) у критичному
випадку
z3(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + u2(\tau ) + u3(\tau )
визначає розв’язок крайової задачi третього наближення
du3(\tau )
d\tau
= Au3(\tau ) + Z2(z0(\tau , c
\ast
r), u1(\tau ), u2(\tau ), \gamma 1, \gamma 2),
\ell u3(\cdot ) = J2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2).
Тут
u3(\tau ) = Xr(\tau )c3 + u
(1)
3 (\tau ), c3 \in \BbbR r,
u
(1)
3 (\tau ) = G
\bigl[
Z2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u2(s), \gamma 1, \gamma 2); J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2)
\bigr]
(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1059
Умова розв’язностi крайової задачi третього наближення
F2(c2, \gamma 2) := PQ\ast
d
\bigl\{
J2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2)
= \ell K
\bigl[
Z2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u
(1)
2 (s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0
є лiнiйним рiвнянням щодо констант c2 i \gamma 2, розв’язним за умови (7) простоти коренiв рiвняння
(6) для породжуючих констант. Справдi, у малому околi породжуючого розв’язку z0(\tau , c
\ast
0) i
константи \beta \ast
0 мають мiсце розклади
Z2(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), u2(\tau ), \gamma 1, \gamma 2) = \scrA 1(t, \v c0)u2(\tau ) +\scrA 2(t, \v c0)\gamma 2
+\scrR 2(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), u
(1)
2 (\tau ), \gamma 1),
J2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2) = \ell 1u2(\cdot ) + \ell 2(\v c0)\gamma 2 + \scrJ 2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u
(1)
2 (\cdot ), \gamma 1).
Отже,
F2(\v c2) := PQ\ast
d
\bigl\{
J2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2)
- \ell K
\bigl[
Z2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u2(s), \gamma 1, \gamma 2)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u2(\cdot ) + \ell 2(\v c0)\gamma 2 + \scrJ 2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u
(1)
2 (\cdot ), \gamma 1)
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s, \v c0)u2(s) +\scrA 2(s, \v c0)\gamma 2 +\scrR 2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u
(1)
2 (s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= B0 \v c2 + PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
2 (\cdot ) + \scrJ 2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1)
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
2 (s) +\scrR 2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u
(1)
2 (s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
,
де [15]
Z2(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), u2(\tau ), \gamma 1, \gamma 2) :=
1
2!
\v Z \prime \prime
\mu 2(v(\tau , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
,
J2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u2(\cdot ), \gamma 1, \gamma 2) :=
1
2!
\v J \prime \prime
\mu 2(v(\cdot , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
,
крiм того,
\v c2 :=
\biggl(
c2
\gamma 2
\biggr)
\in \BbbR r+1.
Таким чином, за умови (7) простоти коренiв рiвняння (6) для породжуючих констант отримуємо
принаймнi один розв’язок крайової задачi другого наближення
u2(\tau ) = Xr(\tau )c2 + u
(1)
2 (\tau ),
\v c2 = - B+
0 PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
2 (\cdot ) + \scrJ 2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u
(1)
2 (\cdot ), \gamma 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1060 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
2 (s) +\scrR 2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u
(1)
2 (s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
.
Припустимо, що за умови (7) простоти коренiв рiвняння (6) для породжуючих констант отри-
мано наближення uk(\tau ) до розв’язку автономної нелiнiйної крайової задачi (1), (2) у малому
околi породжуючого розв’язку z0(\tau , c
\ast
0) i константи \beta \ast
0 . У малому околi породжуючого розв’язку
z0(\tau , c
\ast
0) i константи \beta \ast
0 мають мiсце розклади
Zk(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), . . . , uk(\tau ), \gamma 1, . . . , \gamma k) = \scrA 1(\tau , \v c0)uk(\tau ) +\scrA 2(\tau , \v c0)\gamma k
+\scrR k(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), . . . , u
(1)
k (\tau ), \gamma 1, . . . , \gamma k - 1),
Jk(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), . . . , uk(\cdot ), \gamma 1, , . . . , \gamma k) = \ell 1uk(\cdot ) + \ell 2(\v c0)\gamma k
+ \scrJ k(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), . . . , u
(1)
k (\cdot ), \gamma 1, . . . , \gamma k - 1),
де [15]
Zk(z0(\tau , c
\ast
0), u1(\tau ), . . . , uk(\tau ), \gamma 1, . . . , \gamma k) :=
1
k!
\v Z
(k)
\mu k (v(\tau , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
,
Jk(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), . . . , uk(\cdot ), \gamma 1, . . . , \gamma k) :=
1
k!
\v J
(k)
\mu k (v(\cdot , \mu ), w(\mu ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu = 0
,
крiм того,
\v ck :=
\biggl(
ck
\gamma k
\biggr)
\in \BbbR r+1, k = 1, 2, . . . .
Послiдовнiсть наближень до розв’язку автономної нелiнiйної крайової задачi (1), (2) у малому
околi породжуючого розв’язку z0(\tau , c
\ast
0) i константи \beta \ast
0 за умови (7) визначає iтерацiйна схема
z1(\tau ) := z0(\tau , c0) + u1(\tau ), u1(\tau ) = Xr(\tau )c1 + u
(1)
1 (\tau ),
u
(1)
1 (\tau ) = G
\bigl[
\v Z(z0(s, c0), \beta 0); \v J(z0(\cdot , c0), \beta 0)
\bigr]
(\tau ),
\v c1 = - B+
0 PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
1 (\cdot ) - \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
1 (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
,
z2(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + u2(\tau ),
u2(\tau ) = Xr(\tau )c2 + u
(1)
2 (\tau ),
u
(1)
2 (\tau ) = G
\bigl[
Z1(z0(s, c
\ast
0), u1(s), \gamma 1);
J1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), \gamma 1)
\bigr]
(t),
\v c2 = - B+
0 PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
2 (\cdot ) + \scrJ 2(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), u
(1)
2 (\cdot ), \gamma 1)
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
2 (s) +\scrR 2(z0(s, c
\ast
0), u1(s), u
(1)
2 (s), \gamma 1)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1061
zk+1(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + . . .+ uk+1(\tau ), (8)
uk+1(\tau ) = Xr(\tau )ck+1 + u
(1)
k+1(\tau ), k = 1, 2, . . . ,
u
(1)
k+1(\tau ) = G
\bigl[
Zk(z0(s, c
\ast
0), u1(s), . . . , uk(s), \gamma 1, . . . , \gamma k);
Jk(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), . . . , uk(\cdot ), \gamma 1, . . . , \gamma k)
\bigr]
(t),
\v ck+1 = - B+
0 PQ\ast
d
\bigl\{
\ell 1u
(1)
k+1(\cdot ) + \scrJ k+1(z0(\cdot , c\ast 0), u1(\cdot ), . . . , u
(1)
k+1(\cdot ), \gamma 1, . . . , \gamma k)
- \ell K
\bigl[
\scrA 1(s)u
(1)
k+1(s) +\scrR k+1(z0(s, c
\ast
0), u1(s), . . . , u
(1)
k+1(s), \gamma 1, . . . , \gamma k)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
, . . . .
Теорема 1. У критичному випадку (PQ\ast \not = 0) породжуюча нетерова крайова задача (3)
за умови (4) має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
\bigl[
f ;\alpha
\bigr]
(t), cr \in \BbbR r.
За умови (7) простоти коренiв рiвняння (6) для породжуючих констант у малому околi по-
роджуючого розв’язку z0(\tau , c
\ast
0) i константи \beta \ast
0 задача (1), (2) має принаймнi один розв’язок.
Послiдовнiсть наближень до розв’язку автономної нелiнiйної крайової задачi (1), (2) визначає
iтерацiйна схема (8). Якщо iснують константи 0 < \gamma < 1 i 0 < \delta < 1, для яких виконуються
нерiвностi
| | u1(t)| | \leq \gamma | | z0(t, c\ast r)| | , | | uk+1(t)| | \leq \gamma | | uk(t)| | ,
| \gamma 1| \leq \delta | \beta \ast
0 | , | \gamma k+1| \leq \delta | \gamma k| , k = 1, 2, . . . ,
то iтерацiйна схема (8) збiгається до розв’язку крайової задачi (1), (2).
Приклад. Умови доведеної теореми справджуються у випадку перiодичної крайової задачi
для рiвняння, яке визначає рух маятника
y\prime \prime + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y = 0. (9)
Лiнеаризацiя рiвняння (9)
y\prime \prime + y = Y (y), Y (y) := y - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y
визначає аналiтичну нелiнiйнiсть Y (y). Перiодичнi розв’язки рiвняння (9) будемо шукати в
околi розв’язку
y0(t, c0) = c0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
лiнiйної частини
y\prime \prime 0(t, c0) + y0(t, c0) = 0, t \in [0, 2\pi ],
лiнеаризацiї рiвняння (9). З огляду на це для перiодичної задачi для рiвняння (9) має мiсце кри-
тичний випадок Q = 0. При побудовi розв’язку автономної нелiнiйної перiодичної задачi для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1062 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
рiвняння (9) виникає проблема неможливостi знаходження розв’язкiв в елементарних функцi-
ях, яка, у свою чергу, приводить до великих похибок у розв’язку. Зокрема, навiть знаходження
коренiв рiвняння (6) для породжуючих амплiтуд у випадку нелiнiйної перiодичної задачi для
рiвняння (9) можливе лише наближене, тому природно скористатись розвиненням нелiнiйностi
Y (y) = y - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y \approx y3
6
- y5
120
+
y7
5040
в околi породжуючого розв’язку y0(t, c0). Виконуючи для перiодичної задачi для рiвняння
(9) замiну незалежної змiнної (5), отримуємо нелiнiйнiсть \v Y (y, \beta ), яка зберiгає аналiтичнiсть
нелiнiйностi Y (y). Рiвняння для породжуючих амплiтуд
F0(c0, \beta 0) :=
\pi c0
9216
\bigl\{
1152 c20 (1 + \beta 2
0) - 48 (c40 (1 + \beta 0)
2
+ c60 (1 + \beta 0)
2 - 9216\beta 0(2 + \beta 0)
\bigr\}
= 0
у випадку перiодичної крайової задачi для рiвняння (9) має дiйсний корiнь
c\ast 0 =
1
12
, \beta \ast
0 =
165 888\surd
27 494 947 583
\approx 0, 000 434 185,
для якого
B0 = \pi
\biggl(
47 748 102
27 494 947 583
-
\surd
27 494 947 583
995 328
\biggr)
— матриця повного рангу. Таким чином, згiдно з доведеною теоремою в околi породжуючого
розв’язку
y0(t, c
\ast
0) = c\ast 0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t
iснує принаймнi один перiодичний розв’язок рiвняння (9), при цьому
\v Y (y0(\tau , c
\ast
0), \beta
\ast
0) =
1
11 547 877 984 860
\bigl(
278 570 901 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau - 24 185 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
\bigr)
.
Використовуючи iтерацiйну схему (8)
y1(\tau ) := y0(\tau , c
\ast
0) + u1(\tau ), u1(\tau ) = c1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau + u
(1)
1 (\tau ),
отримуємо
u
(1)
1 (\tau ) := G
\bigl[
\v Y (y0(s, c
\ast
0), \beta
\ast
0))
\bigr]
(t) =
1
554 298 143 273 280
\bigl(
1671377037 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau
- 1 671 425 406 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau + 48 370 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
\bigr)
.
Тут
G
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) :=
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t - s) f(s) ds
— оператор Грiна 2\pi -перiодичної задачi для рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1063
y\prime \prime + y = f(t).
З умови розв’язностi крайової задачi другого наближення отримуємо
c1 = 0, \gamma 1 =
49 256 837 647 390 550 592
18 899 303 564 797 938 547 225
\surd
27 494 947 583
.
Отже,
u1(t) =
1
554298143273280
\bigl(
1 671 377 037 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau - 1 671 425 406 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
+ 48 370 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
\bigr)
,
при цьому
Y1(y0(\tau , c
\ast
0), u1(t), \beta
\ast
0 , \gamma 1) =
1
10 475 848 875 125 579 185 142 915 949 360 648 000
\times
\bigl(
3 971 398 426 812 015 067 558 314 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
- 27 431 926 113 689 746 921 755 802 155 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau
+ 4 763 182 639 873 400 467 892 979 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
- 361 055 271 337 407 439 515 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 9\tau
+ 902 439 169 569 226 011 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau - 137 474 737 915 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 13\tau
\bigr)
.
Використовуючи iтерацiйну схему (8)
y2(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + u2(\tau ), u2(\tau ) = Xr(\tau )c2 + u
(1)
2 (\tau ),
одержуємо
u
(1)
2 (\tau ) =
1
3 519 885 222 042 194 606 208 019 758 985 177 728 000
\times
\bigl(
- 383 846 826 095 658 110 063 781 313 594 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau
- 166 798 733 926 104 632 837 449 188 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
+ 384 046 965 591 656 456 904 581 230 170 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau
- 33 342 278 479 113 803 275 250 853 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
+ 1 516 432 139 617 111 245 963 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 9\tau
- 25 268 296 747 938 328 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 11\tau + 274 949 475 830 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 13\tau
\bigr)
.
З умови розв’язностi крайової задачi третього наближення знаходимо c2 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1064 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
\gamma 2 =
1\surd
27 494 947 583
\times 1 553 007 930 003 681 994 688 832 844 677 936 927
17 502 000 086 484 819 320 018 596 221 702 429 634 204 830 625
.
Отже,
u2(t) = - 191 923 413 047 829 055 031 890 656 797 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau
1 759 942 611 021 097 303 104 009 879 492 588 864 000
- 220 633 245 934 000 837 086 573 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
4 655 932 833 389 146 304 507 962 644 160 288 000
+
1 828 795 074 245 983 128 117 053 477 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau
16 761 358 200 200 926 696 228 665 518 977 036 800
- 226 818 220 946 352 403 232 999 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
23 944 797 428 858 466 708 898 093 598 538 624 000
+
291 815 449 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 9\tau
677 351 039 762 358 117 532 544 000
- 16 411 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 11\tau
2 286 059 759 197 958 646 672 336 000
+
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 13\tau
12 801 934 651 508 568 421 365 081 600
,
при цьому
Y2(y0(\tau , c
\ast
0), u1(t), u1(t), \beta
\ast
0 , \gamma 1, \gamma 2)
= - 466902404145180496552533150828215889186895165993 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
2463828863874875258517181469188864767058983331429212822400000
- 24775487876341394855944020998559127295531017 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau
475166995175868799856884997629281062218518213918491044320000
+
11030411355405589567466068452471203990162411122031 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
58207956909043927982468412209586930121768481205015152929200000
- 245712337835350326712552766557277 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 9\tau
4480512022140113745924760632755821986356436640000
+
65716450057980579829015819403 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 11\tau
10081152049815255928330711423700599469301982440000
- 26302469004545914575490693 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 13\tau
80649216398522047426645691389604795754415859520000
+
258912023 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 15\tau
26073223866979219305244590807297612800
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1065
- 2715581 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 17\tau
17599426110210973031040098794925888640000
+
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 19\tau
703977044408438921241603951797035545600
.
Використовуючи iтерацiйну схему (8)
y3(\tau ) := z0(\tau , c
\ast
r) + u1(\tau ) + u2(\tau ) + u3(\tau ), u3(\tau ) = Xr(\tau )c3 + u
(1)
3 (\tau ),
отримуємо
u
(1)
3 (\tau ) =
1
134111132718437210071607221730888287000554580696354912348876800000
\times
\bigl(
- 2647727498774257658161367105826436077779272574417694 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau
+ 3176803957803808098543435558235180910027634709416372 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\tau
+ 291359737425774803505901686943055336995444759920 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 5\tau
- 529459745059468299238371285718617791527795733857488 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 7\tau
+ 91933577532993325636027685638946855889933969528 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 9\tau
- 7285301249929973840226331813675942351090368 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 11\tau
+ 260346602370049959589168428194164206840 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 13\tau
- 5945307156892329214422422530202625 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 15\tau
+ 71851625543316571061216537815 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 17\tau
- 529180499814342279322300 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 19\tau
\bigr)
.
Таким чином, отримано iтерацiйну схему для побудови перiодичних розв’язкiв рiвняння (9) з
використанням методу декомпозицiї Адомяна. Зокрема, знайдено третє наближення
y3(\tau ) = y0(\tau , c
\ast
0) + u1(\tau ) + u2(\tau ) + u3(\tau ), u3(\tau ) \approx u
(1)
3 (\tau )
до перiодичного розв’язку рiвняння (9) i величину
\beta 3 := \beta \ast
0 + v1 + . . .+ v3
= - 1 +
2 903 371 835 961 871 700 027 250 234 959 423 555 330 909 462 309 727
17 502 000 086 484 819 320 018 596 221 702 429 634 204 830 625
\surd
27 494 947 583
,
яка визначає третє наближення
b3 = b\ast + (b\ast - a)\beta 3
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1066 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, СЕРГIЙ ЧУЙКО, ДАР’Я Д’ЯЧЕНКО
до вiдрiзка [a, b], на якому визначено перiодичний розв’язок рiвняння (9). Для знайдених на-
ближень до перiодичного розв’язку рiвняння (9) виконуються нерiвностi
| | u1(\tau )| | \BbbC [0;2\pi ] \leq \gamma | | z0(\tau , c\ast 0)| | \BbbC [0;2\pi ], | | uk+1(\tau )| | \BbbC [0;2\pi ] \leq \gamma | | uk(\tau )| | \BbbC [0;2\pi ],
\gamma \approx 0, 000 191 351 \ll 1, k = 0, 1, 2,
крiм того,
| \gamma 1| \leq \delta | \beta \ast
0 | , | \gamma 2| \leq \delta | \gamma 1| , \delta \approx 0, 0000 362 009.
Отже, можна говорити про практичну збiжнiсть отриманих наближень до перiодичного розв’язку
рiвняння (9).
Для отриманих наближень до перiодичного розв’язку рiвняння (9) iснує константа
0 < \rho \approx 0, 000 138 667 \ll 1,
для якої виконуються нерiвностi
| | Y1(y0(\tau , c\ast 0), u1(t), \beta \ast
0 , \gamma 1)| | \BbbC [0;2\pi ] \leq \rho | | \v Y (y0(\tau , c
\ast
0), \beta
\ast
0)| | \BbbC [0;2\pi ],
| | Y2(y0(\tau , c\ast 0), u1(t), u1(t), \beta \ast
0 , \gamma 1, \gamma 2)| | \BbbC [0;2\pi ] \leq \rho | | Y1(y0(\tau , c\ast 0), u1(t), \beta \ast
0 , \gamma 1)| | \BbbC [0;2\pi ],
що свiдчить про практичну збiжнiсть ряду [10]
\v Y (y(\tau ), \beta ) = \v Y (y0(\tau , c0), \beta 0) + Y1(y0(\tau , c0), u1(\tau ), \gamma 1)
+ Y2(y0(\tau , c0), u1(\tau ), u2(\tau ), \gamma 1, \gamma 2) + . . .
+ Yk(y0(\tau , c0), u1(\tau ), . . . , uk(\tau ), \gamma 1, . . . , \gamma k) + . . .
в околi породжуючого розв’язку y0(\tau , c0).
Точнiсть знайдених наближень до перiодичного розв’язку рiвняння (9) визначають нев’язки
\Delta k :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\prime \prime k(t) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} yk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\BbbC [0;2\pi ], k = 0, 1, 2, 3.
Зокрема,
\Delta 0 \approx 0, 0000 241 234,\Delta 1 \approx 2, 61 861\times 10 - 9,\Delta 2 \approx 3, 63 085\times 10 - 13,
\Delta 3 \approx 5, 55 112\times 10 - 16.
Зазначимо, що дослiджена автономна нелiнiйна задача (1), (2) не є слабконелiнiйною, на
вiдмiну вiд найбiльш дослiджених крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь
[1, 12, 13]. Крiм того, при побудовi наближень до розв’язку задачi (1), (2), на вiдмiну вiд
статтi [2], на кожному кроцi забезпечено точне виконання умов розв’язностi, якi гарантують
вiдсутнiсть вiкових членiв.
Запропонованi у статтi умови розв’язностi та схема побудови розв’язкiв нелiнiйної автоном-
ної крайової задачi (1), (2) у критичному випадку з використанням методу декомпозицiї Адомя-
на конструктивнi i можуть бути перенесенi на нелiнiйнi матричнi крайовi задачi [16], нелiнiйнi
автономнi крайовi задачi [1, 8, 13], а також на нелiнiйнi гiбриднi рiзницево-диференцiальнi
крайовi задачi [17, 18].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦIЇ АДОМЯНА В ТЕОРIЇ НЕЛIНIЙНИХ . . . 1067
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2th ed.,
De Gruyter, Berlin, Boston (2016).
2. A. A. Boichuk, Nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, Ukr. Math. J., 50,
№ 2, 186 – 195 (1998).
3. A. Boichuk, S. Chuiko, Autonomous weakly nonlinear boundary value problems in critical cases, Different. Equat.,
№ 10, 1353 – 1358 (1992).
4. И. Г. Малкин, Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Ленинград, Москва
(1949).
5. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, Москва (1986).
6. S. M. Chuiko, On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-value problem, J. Math. Sci., 220,
№ 5, 591 – 602 (2017).
7. S. M. Chuiko, I. A. Boichuk, An autonomous Noetherian boundary-value problem in the critical case, Nonlinear
Oscillations, 12, № 3, 405 – 416 (2009).
8. S. М. Chuiko, О. V. Starkova, On the approximate solution of autonomous boundary-value problem by the least-
squares method, Nonlinear Oscillations, 12, № 4, 556 – 573 (2009).
9. G. Adomian, A review of the decomposition method in applied mathematics, J. Math. Anal. and Appl., 135, 501 – 544
(1988).
10. С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, М. В. Попов, Метод декомпозицiї Адомяна у теорiї нелiнiйних перiодичних крайових
задач, Нелiнiйнi коливання, 25, № 4, 413 – 425 (2022).
11. A. A. Boichuk, Nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, Ukr. Math. J., 50,
№ 2, 186 – 195 (1998).
12. О. А. Бойчук, С. М. Чуйко, Конструктивнi методи аналiзу крайових задач теорiї нелiнiйних коливань, Наук.
думка, Київ (2023).
13. И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва (1956).
14. С. М. Чуйко, И. Ю. Курильченко, О положении равновесия автономной периодической задачи, Динамические
системы, 23, 31 – 37 (2007).
15. M. Mac, C. S. Leung, T. Harko, A brief introducion to the Adomian decomposition method, Rom. Astron. J., 1, № 1,
1 – 41 (2019).
16. S. M. Chuiko, Nonlinear matrix differential-algebraic boundary value problem, Lobachevskii J. Math., 38, № 2,
236 – 244 (2017).
17. A. Boichuk, O. Strakh, Linear Fredholm boundary-value problems for dynamical systems on a time scale, J. Math.
Sci., 208, № 5, 487 – 497 (2015).
18. A. Samoilenko, A. Boichuk, S. Chuiko, Hybrid difference differential boundary-value problem, Miskolc Math. Notes,
18, № 2, 1015 – 1031 (2017).
Одержано 12.06.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7624 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:51Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/85/0ba05ceecc93faba53473a893dec0685.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76242024-06-19T00:34:35Z Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems Метод декомпозиції Адомяна в теорії нелінійних автономних крайових задач Boichuk, O. Chuiko, S. Diachenko, D. Бойчук, Олександр Чуйко, Сергій Д'яченко, Дар'я Чуйко, Сергій Михайлович Нелінійна автономна крайова задача, диференціальне рівняння, метод декомпозиції Адомяна. UDC 517.9 For a nonlinear autonomous boundary-value problem for ordinary differential equation in the critical case, we establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for the construction of solutions based on the use of Adomian's decomposition method. УДК 517.9 Отримано конструктивні умови розв'язності та схему побудови розв'язків нелінійної автономної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння у критичному випадку з використанням методу декомпозиції Адомяна. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-08-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7624 10.3842/umzh.v75i8.7624 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 8 (2023); 1053 - 1067 Український математичний журнал; Том 75 № 8 (2023); 1053 - 1067 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7624/9454 Copyright (c) 2023 Сергій Михайлович Чуйко |
| spellingShingle | Boichuk, O. Chuiko, S. Diachenko, D. Бойчук, Олександр Чуйко, Сергій Д'яченко, Дар'я Чуйко, Сергій Михайлович Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title | Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title_alt | Метод декомпозиції Адомяна в теорії нелінійних автономних крайових задач |
| title_full | Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title_fullStr | Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title_short | Adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| title_sort | adomian’s decomposition method in the theory of nonlinear autonomous boundary-value problems |
| topic_facet | Нелінійна автономна крайова задача диференціальне рівняння метод декомпозиції Адомяна. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7624 |
| work_keys_str_mv | AT boichuko adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT chuikos adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT diachenkod adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT bojčukoleksandr adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT čujkosergíj adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT d039âčenkodar039â adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT čujkosergíjmihajlovič adomiansdecompositionmethodinthetheoryofnonlinearautonomousboundaryvalueproblems AT boichuko metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT chuikos metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT diachenkod metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT bojčukoleksandr metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT čujkosergíj metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT d039âčenkodar039â metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač AT čujkosergíjmihajlovič metoddekompozicííadomânavteoríínelíníjnihavtonomnihkrajovihzadač |