On the variational statement of one boundary-value problem with free interface
UDC 532.595 With the help of Clebsch's potentials, we propose a Bateman–Luke-type variational principle  for a boundary-value problem with a free (unknown) interface between two ideal compressible barotropic fluids (liquid and gas)  admitting rotational flows.
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7650 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512698635124736 |
|---|---|
| author | Timokha, A. Тимоха, Александр Николаевич Тимоха, Олександр |
| author_facet | Timokha, A. Тимоха, Александр Николаевич Тимоха, Олександр |
| author_sort | Timokha, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:35Z |
| description | UDC 532.595
With the help of Clebsch's potentials, we propose a Bateman–Luke-type variational principle  for a boundary-value problem with a free (unknown) interface between two ideal compressible barotropic fluids (liquid and gas)  admitting rotational flows. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i8.7650 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i8.7650
УДК 532.595
Олександр Тимоха1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
ПРО ВАРIАЦIЙНУ ПОСТАНОВКУ ОДНIЄЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
IЗ ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ РОЗДIЛУ
With the help of Clebsch’s potentials, we propose a Bateman – Luke-type variational principle for a boundary-value problem
with a free (unknown) interface between two ideal compressible barotropic fluids (liquid and gas) admitting rotational flows.
Використовуючи потенцiали Клебша, запропоновано варiацiйний принцип типу Бейтмена – Люка для крайової задачi
iз вiльною (невiдомою) поверхнею роздiлу двох iдеальних стисливих (баротропних) середовищ (рiдина та газ), якi
допускають вихровi потоки.
У цiй статтi узагальнено результати робiт [1, 2], об’єктами яких є диференцiальнi та варiацiйнi
постановки задачi динамiки двох стисливих iдеальних баротропних середовищ, зовнiшня межа
яких рухається за заданим законом. З фiзичної точки зору така задача може описувати акустичне
позицiонування рiдини в умовах мiкрогравiтацiї чи акустично левiтуючу краплю. У вищезга-
даних статтях розглядалися безвихровi течiї. Було показано як вiдповiдна крайова задача з
вiльною поверхнею роздiлу випливає з варiацiйних принципiв Гамiльтона – Остроградського i
Бейтмена – Люка. Останнiй принцип є важливим iнструментом модального моделювання дина-
мiки рiдини в баках та (з вiдокремленням швидкого i повiльного часiв у функцiоналi найменшої
дiї) виводу функцiонала квазiпотенцiальної енергiї вiброрiвноваги двох середовищ. Припущен-
ня про вихровi потоки є фiзично обґрунтованим [3, 4], зокрема, через обертальнi рухи краплi.
Допускаючи, на вiдмiну вiд робiт [1, 2], такi вихровi потоки, воно вимагає узагальнити вiдпо-
вiднi варiацiйнi принципи, як це недавно було зроблено в [5] для задачi про коливання рiдини
в баках. Зазначене узагальнення наведено у цiй статтi.
Розглянемо два стисливих баротропних суцiльних середовища, зовнiшнiй газ Q1(t) i рiдину
Q2(t), як це схематично показано на рисунку. Тут \Sigma (t) позначає невiдому a priori поверхню
роздiлу, неявно задану рiвнянням Z(x, y, z, t) = 0, а поверхня S(t), що обмежує зовнiшнiй газ
та й всю систему, є заданою та описується рiвнянням Y (z, y, z, t) = 0, де Y — вiдома функцiя.
Вектори зовнiшнiх нормалей \bfitn визначаються через - \nabla Z/| \nabla Z| на \Sigma (t) i - \nabla Y/| \nabla Y | на S(t).
Суцiльнi середовища мають густини \rho 1(x, y, z) i \rho 2(x, y, z), виконується умова збереження
маси \int
Qi(t)
\rho idQ = Mi, i = 1, 2, (1)
що розглядається як геометрична в’язь на Qi(t); U(x, y, z) = - \bfitg \cdot \bfitr , \bfitr = (x, y, z) — потенцiал
гравiтацiйного поля. Поля швидкостей у Qi(t) визначаються (взагалi кажучи, неоднозначно
[3]) потенцiалами Клебша \varphi i(x, y, z, t), mi(x, y, z, t)) i \phi i(x, y, z, t),
\bfitv i = \nabla \varphi i +mi\nabla \phi i, i = 1, 2. (2)
1 E-mails: tim@imath.kiev.ua, atimokha@gmail.com.
c\bigcirc ОЛЕКСАНДР ТИМОХА, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8 1113
1114 ОЛЕКСАНДР ТИМОХА
n
1
Q
2
Q
( ) t
( ) t
( ) tΣ ( ) tS
n
Схематичне зображення двох середовищ та введенi позначення.
Використовуючи означення з [6, с. 47], вводимо лагранжиан типу Бейтмена
L(\rho i, \varphi i,mi, \phi i, Z) = -
2\sum
i=1
\int
Qi(t)
\rho i
\biggl[
\partial t\varphi i +mi\partial t\phi i +
1
2
| \bfitv i| 2 + U + Ei(\rho i)
\biggr]
dQ, (3)
де Ei(\rho i) — внутрiшня енергiя баротропних середовищ, в яких тиск постулюється як
pi = \rho 2iE
\prime
i(\rho i). (4)
Для лагранжиана (3) вводимо функцiонал найменшої дiї
W (\rho i, \varphi i,mi, \phi i, Z) =
t2\int
t1
2\sum
i=1
[L(\rho i, \varphi i,mi, \phi i, Z) - \mu iMi] dt для t1 < t2, (5)
де \mu i = \mu i(t) — множники Лагранжа, пов’язанi з геометричними в’язями (1).
Зауваження. Функцiонал найменшої дiї (5) залежить вiд невiдомих: густини \rho i, потен-
цiалiв Клебша \varphi i,mi, \phi i, i = 1, 2, та поверхнi роздiлу \Sigma (t), а також вiд вiдомої зовнiшньої
межi S(t) (див. рисунок). У випадку безвихрових потокiв та високочастотних (акустичних)
вiбрацiй S(t), розглянутих в роботах [1, 2], було можливим ввести середню за часом поверхню
S0 = \langle S(t)\rangle так, щоб Q1(t) лежала мiж рухомою поверхнею \Sigma (t) та нерухомою S0. У такому
випадку лагранжиан мiстив додатковий iнтегральний член на S0, з якого випливала вiдповiдна
умова Неймана крайової задачi, що задає нормальну швидкiсть „вiбратора”.
Далi припускаємо, що потенцiали Клебша та їхнi третi похiднi є гладкими функцiями в
областi Q1(t)\cup Q2(t) для будь-якого моменту часу, а також допускають аналiтичне продовження
через \Sigma (t). Транспортна теорема Рейнольдса, iнтегральнi теореми Грiна та Гаусса [7] (додаток
A) дають змогу довести такi твердження.
Лема 1. Вiдповiдно до наведеного вище припущення щодо гладкостi умова
\delta \varphi iW = 0 для \delta \varphi i| t1,t2 = 0 (6)
еквiвалентна рiвнянню неперервностi
\partial t\rho i +\nabla \cdot (\rho i\bfitv i) = 0 в Qi(t) (7)
i умовам Неймана
\bfitv i \cdot \bfitn = - \partial tZ
| \nabla Z|
на \Sigma (t), \bfitv 1 \cdot \bfitn = - \partial tY
| \nabla Y |
на S(t). (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ВАРIАЦIЙНУ ПОСТАНОВКУ ОДНIЄЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 1115
Доведення базується на таких викладках iз пiдстановкою умови (6):
-
2\sum
i=1
t2\int
t1
\int
Qi(t)
\rho i[\partial t\delta \varphi i + \bfitv i \cdot \nabla (\delta \varphi i)]dQdt
=
t2\int
t1
2\sum
i=1
\left\{ d
dt
\int
Qi(t)
\rho i\delta \varphi idQ -
\int
Qi(t)
\delta \varphi i[\partial t\rho i +\nabla \cdot (\rho i\bfitv i)]dQ
+ ( - 1)i
\int
\Sigma (t)
\rho i
\biggl[
\partial tZ
| \nabla Z|
+ \bfitv i \cdot \bfitn
\biggr]
\delta \varphi idS
\right\} +
\int
S(t)
\rho 1
\biggl[
\partial tY
| \nabla Y |
+ \bfitv 1 \cdot \bfitn
\biggr]
\delta \varphi 1dS dt.
Лема 2. Вiдповiдно до наведеного вище припущення гладкостi умова
\delta miW = 0 (9)
еквiвалентна рiвнянню
dt\phi i = \partial t\phi i + \bfitv i \cdot \nabla \phi i = 0, (10)
з чого випливає, що потенцiали Клебша \phi i залишаються незмiнними пiд час руху частинок
рiдини (вихровi лiнiї рухаються разом з рiдинами i завжди мiстять тi самi частинки).
Доведення безпосередньо випливає з виразу для першої варiацiї
-
2\sum
i=1
t2\int
t1
\int
Qi(t)
\rho i\delta mi[\partial t\phi i + \bfitv i \cdot \nabla \phi i]dQdt = 0.
Лема 3. Вiдповiдно до припущень гладкостi та умови нульової варiацiї (6) для дiї (еквiва-
лентної (7) та (8)) умова
\delta \phi i
W = 0 для \delta \phi i| t1,t2 = 0 (11)
еквiвалентна рiвностi
dtmi = \partial tmi + \bfitv i \cdot \nabla mi = 0, (12)
що має таке саме гiдродинамiчне трактування, як (10), але для потенцiалу Клебша mi.
Доведення базується на таких викладках:
-
2\sum
i=1
t2\int
t1
\int
Qi(t)
\rho i[mi\partial t\delta \phi i + \bfitv i \cdot \nabla (mi\delta \phi i)]dQdt
= -
t2\int
t1
2\sum
i=1
\left\{ d
dt
\int
Qi(t)
\rho imi\delta \phi idQ -
\int
Qi(t)
\delta \phi i[\partial t(mi\rho i) +\nabla \cdot (mi\rho i\bfitv i)]dQ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1116 ОЛЕКСАНДР ТИМОХА
+ ( - 1)i
\int
\Sigma (t)
\rho imi
\biggl[
\partial t\mathrm{Z}
| \nabla Z|
+ \bfitv i \cdot \bfitn
\biggr]
\delta \phi idS
\right\} +
\int
S(t)
\rho 1m1
\biggl[
\partial tY
| \nabla Y |
+ \bfitv 1 \cdot \bfitn
\biggr]
\delta \phi 1dS dt, (13)
де потрiбно врахувати рiвнiсть \delta \phi i| t1,t2 = 0 та крайовi умови (8), щоб показати, що
\partial t(mi\rho i) +\nabla \cdot (mi\rho i\bfitv i) = mi[\partial t\rho i +\nabla \cdot (\rho i\bfitv i)] + \rho i[\partial tmi + \bfitv i \cdot \nabla mi] = 0.
Звiдси, враховуючи рiвняння (7), отримуємо (12).
Лема 4. Вiдповiдно до наведеного вище припущення гладкостi умова
\delta \rho iW = 0 (14)
еквiвалентна рiвностi
\partial t\varphi i +mi\partial t\phi i +
1
2
| \bfitv \bfiti | 2 + U + Ei(\rho i) + \rho iE
\prime
i(\rho i) + \mu i(t) = 0 в Qi(t), (15)
яку можна розглядати як iнтеграл Лагранжа – Кошi для рiвняння Ейлера
dt\bfitv i = \partial t\bfitv i + \bfitv i \cdot \nabla \bfitv i = - \nabla U - \nabla pi
\rho i
в Qi(t) (16)
за умови рiвностi нулю перших варiацiй (9) i (11) та означення (4).
Доведення рiвняння (15) стає очевидним пiсля обчислення першої варiацiї функцiонала
найменшої дiї (5) по \rho i. Щоб пiдтвердити справедливiсть рiвняння Ейлера (16), слiд застосувати
операцiю градiєнта до (15) та врахувати означення (4), з якого випливає, що
\nabla pi
\rho i
=
\bigl[
2E\prime
i(\rho i) + \rho iE
\prime \prime
i (\rho i)
\bigr]
\nabla \rho i = \nabla
\bigl[
Ei(\rho i) + \rho iE
\prime
i(\rho i)
\bigr]
.
Крiм того, лiву частину рiвняння (16) можна записати таким чином:
d\bfitv i = d(\nabla \varphi i +mi\nabla \phi i) = [\nabla \partial t\varphi i +mi\nabla \partial t\phi i + \partial tmi\nabla \phi i] + \{ \bfitv i \cdot \nabla (\nabla \varphi i +mi\nabla \phi i)\} \underbrace{} \underbrace{}
\bfitv \bfiti \nabla \nabla \varphi i+mi\bfitv \bfiti \cdot \nabla \nabla \phi i+\nabla \phi i(\nabla mi\cdot \bfitv \bfiti )
= \nabla \partial t\varphi i +mi\nabla \partial t\phi i + \bfitv i \cdot \nabla \nabla \varphi i +mi\bfitv i\nabla \nabla \phi i +\nabla \phi i[dmi]. (17)
Застосовуючи операцiю градiєнта до перших трьох величин у (15), отримуємо
\nabla
\biggl(
\partial t\varphi i +mi\partial t\phi i +
1
2
| \bfitv i| 2
\biggr)
= [\nabla \partial t\varphi i +mi\nabla \partial t\phi i + \partial t\phi i\nabla mi] + \bfitv i\nabla \nabla \varphi i +mi\bfitv i \cdot \nabla \nabla \phi i +\nabla mi(\nabla \phi i \cdot \bfitv i)
= \nabla \partial t\varphi i +mi\nabla \partial t\phi i + \bfitv i\nabla \nabla \varphi i +mi\bfitv i \cdot \nabla \nabla \phi i +\nabla mi[d\phi i]. (18)
Правi частини в тотожностях (17) i (18) є iдентичними, забезпеченими (10) i (12), що виплива-
ють з (9) i (11).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
ПРО ВАРIАЦIЙНУ ПОСТАНОВКУ ОДНIЄЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 1117
Лема 5. Вiдповiдно до наведеного вище припущення гладкостi умова
\delta ZW = 0 (19)
еквiвалентна умовi на поверхнi роздiлу
\rho 1
\biggl[
\partial t\varphi 1 +m1\partial t\phi 1 +
1
2
| \bfitv 1| 2 + U + E1(\rho 1) + \mu 1(t)
\biggr]
= \rho 2
\biggl[
\partial t\varphi 2 +m2\partial t\phi 2 +
1
2
| \bfitv 2| 2 + U + E2(\rho 2) + \mu 2(t)
\biggr]
на \Sigma (t), (20)
що є традицiйною динамiчною умовою
p1 = p2 на \Sigma (t), (21)
з урахуванням (6), (9), (11) i означення (5).
Доведення. Рiвнiсть (20) випливає з умови (19):
-
t2\int
t1
2\sum
i=1
\int
Qi(t)
\rho i
\biggl[
\partial t\varphi i +mi\partial t\phi i +
1
2
| \bfitv i| 2 + U + Ei(\rho i) + \mu i(t)
\biggr]
( - 1)i\delta Z
| \nabla Z|
dQ = 0.
Щоб встановити умову (21), слiд зазначити, що з означення (5) та рiвняння Бернуллi для
баротропних стисливих рiдини та газу (15) одержуємо
\rho i[\partial t\varphi i +mi\partial t\phi i +
1
2
| \bfitv i| 2 + U + Ei(\rho i) + \mu i(t)] = - pi
за умови, у вiдповiдностi з лемою 4, виконання спiввiдношень (6), (9) та (11).
Послiдовне застосування лем 1 – 5 iз обчисленням перших варiацiй функцiонала найменшої
дiї (6), (9), (11), (14) i (19) доводить таку теорему.
Теорема. Вiдповiдно до наведеного вище припущення гладкостi умова
\delta W = \delta \varphi iW + \delta miW + \delta \phi i
W + \delta \rho iW + \delta ZW = 0 для \delta \varphi i, \phi i| t1,t2 = 0
еквiвалентна крайовiй задачi з вiльною поверхнею роздiлу \Sigma (t) мiж областями Q2(t) i Q1(t)
для заданого руху межi S(t). Така задача складається з рiвнянь неперервностi (7), кiнематич-
ної граничної умови на поверхнi роздiлу та зовнiшньої межi (8), iнтегралiв Лагранжа – Кошi
(15) (альтернативно, рiвняння Ейлера (16)), динамiчної умови на поверхнi роздiлу (21), а також
умов для вихрових лiнiй (10) i (12), забезпечених визначенням тиску (5) через внутрiшню енергiю
баротропних стисливих середовищ та поля швидкостей (2) через потенцiали Клебша.
Роботу виконано за фiнансової пiдтримки Нацiонального фонду дослiджень України (проєкт
2020.02/0089).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
1118 ОЛЕКСАНДР ТИМОХА
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. I. A. Lukovskii, A. N. Timokha, Variational formulations of nonlinear boundary-value problems with a free boundary
in the theory of interaction of surface waves with acoustic fields, Ukr. Math. J., 45, № 12, 1849 – 1860 (1993); DOI:
10.1007/BF01061355.
2. M. O. Chernova, I. A. Lukovsky, A. N. Timokha, Differential and variational formalism for acoustically-levitating
drops, J. Math. Sci., 220, № 3.– 359 – 375 (2015); DOI: 10.1007/s10958-016-3189-z.
3. K. Pandey, D. Prabhakaran, S. Basu, Review of transport processes and particle self-assembly in acoustically levitated
nanofluid droplets, Phys. Fluids, 31, № 11, Article 112102 (2019); DOI: 10.1063/1.5125059.
4. H. Chen, A. Li, Y. Zhang, Z. Xiaoqiang, Evaporation and liquid-phase separation of ethanol-cyclohexane binary
drops under acoustic levitation, Phys. Fluids, 34, № 9, Article 092108 (2022); DOI: 10.1063/5.0109520.
5. A. N. Timokha, A note on the variational formalism for sloshing with rotational flows in a rigid tank with unprescribed
motion, Ukr. Math. J., 73, № 10, 1580 – 1589 (2022); DOI: 10.1007/s11253-022-02015-3.
6. H. Bateman, Partial differential equations of mathematical physics, Dover Publ., New York (1944).
7. O. M. Faltinsen, A. N. Timokha, Sloshing, Cambridge Univ. Press (2009).
Одержано 28.06.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-7650 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:55Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/43/f853f531f28f393a2c5fd9dae1aa5943.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76502024-06-19T00:34:35Z On the variational statement of one boundary-value problem with free interface Про варіаційну постановку однієї крайової задачі із вільною поверхнею розділу Timokha, A. Тимоха, Александр Николаевич Тимоха, Олександр Bateman-Luke variational principle, Clebsch potentials, droplet Варіаційний принцип Бейтмена-Люка, потенціали Клєбша, крапля UDC 532.595 With the help of Clebsch's potentials, we propose a Bateman–Luke-type variational principle&nbsp; for a boundary-value problem with a free (unknown) interface between two ideal compressible barotropic fluids (liquid and gas)&nbsp; admitting rotational flows. УДК 532.595 Використовуючи потенціали Клебша, запропоновано варіаційний принцип типу Бейтмена–Люка для крайової задачі із вільною (невідомою) поверхнею розділу двох ідеальних стисливих (баротропних) середовищ (рідина та газ), які допускають вихрові потоки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-08-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7650 10.3842/umzh.v75i8.7650 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 8 (2023); 1113 - 1118 Український математичний журнал; Том 75 № 8 (2023); 1113 - 1118 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7650/9458 Copyright (c) 2023 Олександр Миколайович Тимоха |
| spellingShingle | Timokha, A. Тимоха, Александр Николаевич Тимоха, Олександр On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title | On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title_alt | Про варіаційну постановку однієї крайової задачі із вільною поверхнею розділу |
| title_full | On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title_fullStr | On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title_full_unstemmed | On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title_short | On the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| title_sort | on the variational statement of one boundary-value problem with free interface |
| topic_facet | Bateman-Luke variational principle Clebsch potentials droplet Варіаційний принцип Бейтмена-Люка потенціали Клєбша крапля |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7650 |
| work_keys_str_mv | AT timokhaa onthevariationalstatementofoneboundaryvalueproblemwithfreeinterface AT timohaaleksandrnikolaevič onthevariationalstatementofoneboundaryvalueproblemwithfreeinterface AT timohaoleksandr onthevariationalstatementofoneboundaryvalueproblemwithfreeinterface AT timokhaa provaríacíjnupostanovkuodníêíkrajovoízadačíízvílʹnoûpoverhneûrozdílu AT timohaaleksandrnikolaevič provaríacíjnupostanovkuodníêíkrajovoízadačíízvílʹnoûpoverhneûrozdílu AT timohaoleksandr provaríacíjnupostanovkuodníêíkrajovoízadačíízvílʹnoûpoverhneûrozdílu |