On the theory of moduli of surfaces
UDC 517.5 We continue the development of the theory of moduli of the families of surfaces, in particular, strings of various dimensions $m=1,2,\ldots,n-1$ in Euclidean spaces $\mathbb{R}^n,$ $n\geq 2.$ On the basis of the proof of Lemma 1 on the relationships between the mo...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7651 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512699426799616 |
|---|---|
| author | Ryazanov, V. Sevost’ yanov, Ye. Рязанов, Володимир Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_facet | Ryazanov, V. Sevost’ yanov, Ye. Рязанов, Володимир Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович |
| author_sort | Ryazanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:42Z |
| description | UDC 517.5
We continue the development of the theory of moduli of the families of surfaces, in particular, strings of various dimensions $m=1,2,\ldots,n-1$ in Euclidean spaces $\mathbb{R}^n,$ $n\geq 2.$ On the basis of the proof of Lemma 1 on the relationships between the moduli and Lebesgue measures, we prove the corresponding analog of the Fubini theorem in terms of moduli  that extends the known Väisälä theorem for families of curves to the families of surfaces of arbitrary dimensions. It should be emphasized that the crucial place in the proof of Lemma 1 is Proposition 1 on measurable (Borel) hulls of sets in Euclidean spaces. In addition, we prove similar Lemma 2 and Proposition 2 for the families of concenteric spheres. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i9.7651 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i9.7651
УДК 517.5
Володимир Рязанов (Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Слов’янськ Донецької обл.;
Iнститут математики НАН України, Київ),
Євген Севостьянов1 (Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка; Iнститут прикладної мате-
матики i механiки НАН України, Слов’янськ Донецької обл.)
ДО ТЕОРIЇ МОДУЛIВ ПОВЕРХОНЬ
We continue the development of the theory of moduli of the families of surfaces, in particular, strings of various dimensions
m = 1, 2, . . . , n - 1 in Euclidean spaces \BbbR n, n \geq 2. On the basis of the proof of Lemma 1 on the relationships between
the moduli and Lebesgue measures, we prove the corresponding analog of the Fubini theorem in terms of moduli that
extends the known Väisälä theorem for families of curves to the families of surfaces of arbitrary dimensions. It should be
emphasized that the crucial place in the proof of Lemma 1 is Proposition 1 on measurable (Borel) hulls of sets in Euclidean
spaces. In addition, we prove similar Lemma 2 and Proposition 2 for the families of concenteric spheres.
У цiй статтi продовжено розвиток теорiї модулiв сiмей поверхонь, зокрема струн рiзних розмiрностей m =
1, 2, . . . , n - 1, у евклiдових просторах \BbbR n, n \geq 2. На основi доведення леми про зв’язки мiж модулями та
мiрами Лебега отримано вiдповiдний аналог теореми Фубiнi в термiнах модулiв, що узагальнює вiдому теорему
Вяйсяля з сiмей кривих на сiм’ї поверхонь довiльних розмiрностей. Слiд зазначити, що найбiльш тонким мiсцем у
доведеннi вказаної леми є твердження про вимiрнi (борелевi) оболонки множин у евклiдових просторах. Крiм того,
доведено аналогiчнi лему i твердження про сiм’ї концентричних куль.
1. Вступ. У цiй статтi ми розвиваємо теорiю модулiв сiмей поверхонь, зокрема струн (вкладень
\BbbR m) усiх розмiрностей m = 1, 2, . . . , n - 1 в евклiдових просторах \BbbR n, n \geq 2. Оскiльки данi
поверхнi можуть бути дикими (надзвичайно фрактальними) (див., наприклад, [1]), природною
основою для їх вивчення є так званi мiри Гаусдорфа. Далi \scrH k, k = 1, . . . , n, позначає k-вимiрну
мiру Гаусдорфа, у \BbbR n, n \geq 2. Зокрема,
\scrH k(A) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon >0
\scrH k
\varepsilon (A),
\scrH k
\varepsilon (A) = \Omega k \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\infty \sum
i=1
\biggl(
\delta i
2
\biggr) k
для кожної множинi A в \BbbR n, де точна нижня грань береться по усiх зчисленних наборах чисел
\delta i \in (0, \varepsilon ) таких, що сукупнiсть множин Ai в \BbbR n формують покриття A i мають дiаметри \delta i
(див., наприклад, роздiл 2.1 у [2], або роздiл 2.10.2 у [3]). Тут \Omega k позначає об’єм одиничної
кулi в \BbbR k. Як вiдомо, \scrH k є зовнiшньою мiрою в сенсi Каратеодорi (див., наприклад, роздiл II.4
в [4]), тобто
(I) \scrH k(X) \leq \scrH k(Y ), якщо X \subseteq Y,
(II) \scrH k(\Sigma Xi) \leq \Sigma \scrH k(Xi) для кожної послiдовностi множин Xi,
(III) \scrH k(X \cup Y ) = \scrH k(X) +\scrH k(Y ), якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(X,Y ) > 0.
Множина E \subset \BbbR n називається вимiрною по вiдношенню до мiри \scrH k, якщо
(IV) \scrH k(X) = \scrH k(X \cap E) +\scrH k(X \setminus E) для кожної множини X \subset \BbbR n.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: esevostyanov2009@gmail.com.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9 1267
1268 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
Вiдомо, що кожна борелева множина є вимiрною щодо будь-якої зовнiшньої мiри в сенсi
Каратеодорi (див., наприклад, теорему II(7.4) [4]). Крiм того, мiра \scrH k є регулярною за Борелем,
тобто для кожної множини X \subset \BbbR n iснує борелева множина B \subset \BbbR n така, що X \subset B i
\scrH k(X) = \scrH k(B) (див., наприклад, теорему II(8.1) [4] i роздiл 2.10.1 у [3]). Останнє обумовлює,
що для кожної вимiрної множини E \subset \BbbR n iснують борелевi множини B\ast i B\ast \subset \BbbR n такi, що
B\ast \subset E \subset B\ast i \scrH k
\bigl(
B\ast \setminus B\ast
\bigr)
= 0 (див., наприклад, роздiл 2.2.3 у [3]), зокрема \scrH k
\bigl(
B\ast \bigr) =
\scrH k(E) = \scrH k
\bigl(
B\ast
\bigr)
.
Нехай \omega — вiдкрита множина в \BbbR k := \BbbR k \cup \{ \infty \} , k = 1, . . . , n - 1. (Неперервне) вiдоб-
раження S : \omega \rightarrow \BbbR n називається k-вимiрною поверхнею S у \BbbR n. Iнодi ми також називаємо
образ S(\omega ) \subseteq \BbbR n поверхнею S. Функцiєю кратностi поверхнi S у точцi y \in \BbbR n називається
кiлькiсть прообразiв
N(S, y) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}S - 1(y) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{ x \in \omega : S(x) = y\} .
Iншими словами, N(S, y) позначає кратнiсть накриття точки y поверхнею S. Вiдомо, що
функцiя кратностi є напiвнеперервною знизу, тобто N(S, y) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}m\rightarrow \infty N(S, ym) для кожної
послiдовностi ym \in \BbbR n, m = 1, 2, . . . , такої, що ym \rightarrow y \in \BbbR n при m \rightarrow \infty (див., наприклад,
теорему II(7.4) у [5]). Отже, функцiя N(S, y) є вимiрною за Борелем, тобто вимiрною щодо
кожної мiри Гаусдорфа \scrH k (див., наприклад, пункт (ii) теореми II(7.6) у [4]).
Нехай B \subseteq \BbbR n — борелева множина, або бiльш загально, множина, що є вимiрною щодо
мiри \scrH k в \BbbR n. Далi k-вимiрна гаусдорфова площа множини B в \BbbR n (або просто площа),
асоцiйована з k-вимiрною поверхнею S : \omega \rightarrow \BbbR n, визначається спiввiдношенням
\scrA S(B) = \scrA k
S(B) :=
\int
B
N(S, y) d\scrH ky.
Будемо говорити, що поверхня S є спрямлюваною, якщо \scrA S
\bigl(
\BbbR n
\bigr)
< \infty .
Нехай \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — борелева функцiя. Тодi iнтеграл вiд \varrho по k-вимiрнiй поверхнi S в
\BbbR n, n \geq 2, визначається рiвнiстю\int
S
\varrho d\scrA :=
\int
\BbbR n
\varrho (y)N(S, y) d\scrH ky.
Борелева функцiя \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] називається допустимою для сiм’ї k-вимiрних поверхонь \scrS
в \BbbR n (коротко \varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS ), якщо \int
S
\varrho k d\scrA \geq 1
для кожної S \in \scrS . Для заданого числа p \in [k,\infty ) визначимо p-модуль сiм’ї \scrS таким чином,
(пор., наприклад, [6]):
Mp(\scrS ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ДО ТЕОРIЇ МОДУЛIВ ПОВЕРХОНЬ 1269
де d\scrL n(x) — елемент мiри Лебега в \BbbR n (див., наприклад, [2 – 4]). Модулi всiх порядкiв Mp(\scrS ),
p \in [k,\infty ), є зовнiшнiми мiрами в сенсi Каратеодорi щодо сiмей k-вимiрних поверхонь \scrS в \BbbR n
(див., наприклад, теорему 1 в [6] i зауваження до неї).
Будемо говорити, що \scrS 2 мiнорується сiм’єю \scrS 1 (пишуть \scrS 2 > \scrS 1), якщо кожен елемент
S \in \scrS 2 має пiдповерхню, яка належить \scrS 1. Вiдомо, що в цьому випадку Mp(\scrS 1) \geq Mp(\scrS 2)
(див., наприклад, [6, с. 176 – 178]). Ми також говоримо, що властивiсть P виконується для
p-м.в. (майже всiх) k-вимiрних поверхонь в \scrS , якщо пiдсiм’я всiх поверхонь в \scrS , для яких P
не виконується, має нульовий p-модуль. Якщо 0 < q < p, то P також виконується для q-м.в.
S (див., наприклад, теорему 3 у [6]).
Зауваження 1. Мiркуючи методом вiд супротивного, з огляду на означення модуля Mp
отримуємо, що для кожного p \in [k,\infty ), k = 1, . . . , n - 1 :
(i) p-м.в. обмеженi k-вимiрнi поверхнi в \BbbR n спрямлюванi,
(ii) якщо B — борелева множина в \BbbR n лебегової мiри нуль, то \scrA S(B) = 0 для p-м.в.
k-вимiрних поверхонь S в \BbbR n (пор., наприклад, вiдповiднi мiркування в першiй частинi дове-
дення теореми 33.1 в [7]).
Наступну лему вперше доведено у статтi [8] (див. також лему 9.1 у монографiї [9]).
Лема 1. Нехай k = 1, . . . , n - 1, p \in [k,\infty ) i C — вiдкритий куб у \BbbR n, n \geq 2, ребра
якого паралельнi координатним осям. Припустимо, що властивiсть P виконується для p-
м.в. перетинiв k-вимiрних площин \scrP з C, якi паралельнi k-вимiрнiй координатнiй площинi
H. Тодi множина \scrE усiх проєкцiй \scrP на вiдповiдну (n - k)-вимiрну координатну площину H\bot
(перпендикулярну до H ), для яких властивiсть P не виконується на S := \scrP \cap \scrC , має нульову
мiру Лебега.
В доведеннi цiєї леми у [8] був пробiл, пов’язаний з вимiрнiстю множини \scrE . З огляду на
важливiсть цiєї леми ми лiквiдуємо цей пробiл тут.
На основi леми 1 наступний аналог теореми Фубiнi (див., наприклад, теорему III(8.1) в [4])
в термiнах модулiв вперше було отримано у [8] (див. також теорему 9.1 в [9]). Цей результат
поширює вiдому теорему Вяйсяля, отриману для випадку k = 1 (див. теорему 33.1 у [7], пор.
також теорему 3 в [6] i лему 2.13 у [10]).
Теорема 1. Нехай k = 1, . . . , n - 1, p \in [k,\infty ) i E — пiдмножина вiдкритої множини
\Omega \subset \BbbR n, n \geq 2. Множина E є вимiрною за Лебегом в \BbbR n тодi й лише тодi, коли множина E
є вимiрною по вiдношенню до площi для p-м.в. k-вимiрних поверхонь S в \Omega . I навiть бiльше,
\scrL n(E) = 0 тодi й лише тодi, коли
\scrA S(E) = 0 (1)
для p-м.в. k-вимiрних поверхонь S в \Omega .
Як вiдомо, модулi є основним геометричним iнструментом у сучаснiй теорiї вiдображень
та сумiжних областях, зокрема у геометрiї, топологiї та теорiї диференцiальних рiвнянь з
частинними похiдними, якi, у свою чергу, мають вiдповiднi застосування до крайових задач
математичної фiзики в анiзотропних i неоднорiдних середовищах (див., наприклад, [?, 8 – 12]).
Крiм того, теорiя модулiв також може знайти своє подальше застосування в багатьох iнших
областях, включаючи саму математику (нелiнiйна динамiку, мiнiмальнi поверхнi), теоретичну
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1270 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
фiзику (конформну теорiю поля, теорiю струн) та iнженерiю (математичнi моделi фiльтрацiї
газiв i рiдин при розробцi родовищ води, газу i нафти, вирощуваннi кристалiв та iн.).
2. Про вимiрнi (борелевi) оболонки множин. Нехай \scrL m — зовнiшня мiра Лебега в \BbbR m,
m \geq 1 (див., наприклад, монографiї [2 – 4]). Нагадаємо, що множина B в \BbbR m називається
вимiрною, якщо для будь-якої множини X \subseteq \BbbR m виконується рiвнiсть
(V) \scrL m(X) = \scrL m(X \cap B) + \scrL m(X \setminus B).
Говорять, що множина B в \BbbR m є вимiрною (борелевою) оболонкою множини A \subseteq \BbbR m, якщо
B є вимiрною (борелевою), A \subseteq B i
(VI) \scrL m(X \cap A) = \scrL m(X \cap B) для кожної X \subseteq \BbbR m.
Зокрема, якщо X = \BbbR m в (VI), то
(VII) \scrL m(A) = \scrL m(B).
Навпаки, якщо \scrL m(A) < \infty , крiм того, вимiрна (борелева) множина B в \BbbR m мiстить A i
задовольняє (VII), то B є вимiрною (борелевою) оболонкою A (див. 2.1.4 в [3]).
Зауважимо також, що мiра \scrL m у \BbbR m збiгається з мiрою Гаусдорфа \scrH m (див., наприклад,
теорему 2.2.2 у [2]). Тодi, згiдно з викладеним у вступi, \scrL m є регулярною за Борелем, тобто
для кожної вимiрної множини E в \BbbR m iснують борелевi множини B\ast i B\ast у \BbbR m такi, що
B\ast \subset E \subset B\ast i \scrL m
\bigl(
B\ast \setminus B\ast
\bigr)
= 0. Зокрема, \scrL m
\bigl(
B\ast \bigr) = \scrL m(E) = \scrL m
\bigl(
B\ast
\bigr)
. З iншого боку,
iснують невимiрнi множини E в \BbbR m, якi не мiстять борелевих множин додатної мiри (див.
теорему E з роздiлу 16 у [14], а також коментарi до роздiлiв 18.11 i 18.12 у [15]). Проте, з
огляду на роздiл 2.1.5 у [3], зазначимо наступне.
Зауваження 2. Кожна множина A в \BbbR m, для якої виконано умову \scrL m(A) < \infty , має боре-
леву оболонку B.
Твердження 1. Нехай C — вiдкритий куб у \BbbR n, n \geq 2, ребра якого паралельнi координат-
ним осям, i A — множина у вiдкритому m-вимiрному кубi Cm, який є перпендикулярною
проєкцiєю C на m-вимiрну координатну площину Hm, m = 1, . . . , n - 1. Тодi для всiх p \in
[k,\infty ), k := n - m, i кожної борелевої оболонки B множини A в Cm виконується рiвнiсть
Mp(\scrP A) = Mp(\scrP B),
де \scrP A i \scrP B — сiм’ї всiх k-вимiрних поверхонь, що складаються з перетинiв k-вимiрних площин
\scrP з C, якi є перпендикулярними до Hm i мають проєкцiї в A та B вiдповiдно.
Доведення. Для кожного фiксованого p \in [k,\infty ), з огляду на монотоннiсть модулiв,
Mp(\scrP A) \leq Mp(\scrP B), оскiльки за означенням A \subseteq B i, вiдповiдно, \scrP \scrA \subseteq \scrP \scrB .
Отже, залишилося довести обернену нерiвнiсть Mp(\scrP A) \geq Mp(\scrP B). Справдi, оскiльки B є
борелевою множиною, то
Mp(\scrP A) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrP A
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP A
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x),
Mp(\scrP B) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrP B
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP B
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x),
де \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP A i \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP B позначають вiдповiдно пiдкласи \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrP A i \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrP B функцiй \rho , якi обер-
таються в нуль зовнi декартового добутку B\times Ck, а Ck позначає вiдкритий k-вимiрний куб, що
є перпендикулярною проєкцiєю C на k-вимiрну координатну площину Hk, перпендикулярну
до Hm. За побудовою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ДО ТЕОРIЇ МОДУЛIВ ПОВЕРХОНЬ 1271\int
\{ z\} \times Ck
\varrho k(y) d\scrL k(y) \geq 1 \forall z \in A. (2)
Якщо Mp(\scrP A) = \infty , то доводити немає чого. Припустимо, що Mp(\scrP A) < \infty . Нехай \varrho —
довiльна функцiя з класу \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP A, яка задовольняє умову\int
C
\varrho p(x) d\scrL n(x) < \infty .
Тодi також \int
C
\varrho k(x) d\scrL n(x) < \infty ,
бо k \leq p. Оскiльки \scrL n = \scrL m\times \scrL k, за теоремою Фубiнi (див., наприклад, теорему III(8.1) у [4])
функцiя
R(z) :=
\int
\{ z\} \times Ck
\varrho k(y) d\scrL k(y), z \in B,
є вимiрною та скiнченною майже скрiзь щодо мiри Лебега \scrL m у Cm.
Звiдси, зокрема, випливає, що множина E := \{ z \in B : R(z) < 1\} є вимiрною, тому вна-
слiдок борелевої регулярностi мiри \scrL m iснують борелевi множини B\ast i B\ast у B такi, що
B\ast \subseteq E \subseteq B\ast i \scrL m
\bigl(
B\ast
\bigr)
= \scrL m(E) = \scrL m
\bigl(
B\ast \bigr) (див., наприклад, теорему III(6.6) у [4]). Заува-
жимо, що E \cap A = \varnothing за умовою (2) i, отже, B\ast \cap A = \varnothing . Тодi A \subseteq B \setminus B\ast i на пiдставi (V)
\scrL m(B) = \scrL m(B\ast ) + \scrL m(B \setminus B\ast ) \geq \scrL m(B\ast ) + \scrL m(A) = \scrL m(B\ast ) + \scrL m(B),
тобто \scrL m
\bigl(
B\ast \bigr) = 0.
Нарештi, покладаючи \rho \ast (x) = \infty на борелевiй множинi B\ast \times Ck i \rho \ast (x) = \rho (z) зовнi
B\ast \times Ck, отримуємо, що \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrP B i, крiм того,\int
C
\varrho p\ast (x) d\scrL n(x) =
\int
C
\varrho p(x) d\scrL n(x).
Твердження 1 доведено.
3. Доведення леми 1. Використаємо метод вiд супротивного. А саме, припустимо, що
висновок леми не є правильним. Тодi, на пiдставi борелевої регулярностi лебегової мiри \scrL m,
m = n - k, у Hm := H\bot , знайдеться борелева оболонка B множини \scrE така, що \scrL m(B) > 0
(див. зауваження 1). I навiть бiльше, за твердженням 1
Mp(\scrP B) = 0.
Проте якщо борелева функцiя \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] є допустимою для \scrP B i такою, що \varrho \equiv 0 зовнi
борелевої множини Ck \times B (де Ck позначає вiдкритий k-вимiрний куб, що є ортогональною
проєкцiєю C на H ), то за нерiвнiстю Гельдера
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1272 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ
\int
Ck\times B
\varrho k(x) d\scrL n(x) \leq
\left( \int
Ck\times B
\varrho p(x) d\scrL n(x)
\right)
k
p
\left( \int
Ck\times B
d\scrL n(x)
\right)
p - k
p
.
Отже, за теоремою Фубiнi (див., наприклад, теорему III(8.1) у [4])
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) \geq
\biggl( \int
Ck\times B
\varrho k(x) d\scrL n(x)
\biggr) p
k
\biggl( \int
Ck\times B
d\scrL n(x)
\biggr) p - k
k
\geq (\scrL m(B))
p
k
(hk\scrL m(B))
p - k
k
,
де h — довжина ребра куба C, тобто
Mp(\scrP B) \geq
\scrL m(B)
hp - k
> 0.
Отримана суперечнiсть спростовує припущення, зроблене вище.
Лему 1 доведено.
4. Доведення теореми 1. За теоремою Лiндельофа, застосованою до простору \BbbR n (див.,
наприклад, теорему I.5.XI в [16]), кожне покриття множини \Omega вiдкритими множинами мiстить
її зчисленне пiдпокриття. Отже, за властивiстю мiнорування Mp i субадитивностi мiр можна
припустити, що \Omega — вiдкритий куб C в \BbbR n, ребра якого є паралельними до координатних осей.
Припустимо спочатку, що множина E є вимiрною за Лебегом у \BbbR n. Тодi, на пiдставi
борелевої регулярностi мiри Лебега \scrL n, iснують борелевi множини B\ast i B\ast в \BbbR n такi, що
B\ast \subset E \subset B\ast i \scrL n(B\ast \setminus B\ast ) = 0. Отже, за пунктом (ii) зауваження 1, \scrA S
\bigl(
B\ast \setminus B\ast
\bigr)
= 0 i,
отже, E є вимiрною множиною щодо площi для p-м.в. k-вимiрних поверхонь S у C. Навпаки,
якщо останнє виконується, то E є вимiрною щодо площi на м.в. k-вимiрних площинах H у C,
паралельних k-вимiрнiй координатнiй площинi (див. лему 1). Отже, множина E є вимiрною з
огляду на теорему Фубiнi, до якої тут ми застосовуємо характеристичну функцiю E. Першу
частину теореми доведено.
Нехай тепер \scrL n(E) = 0. За зауваженням 2 iснує борелева множина B така, що E \subset B i
\scrL n(B) = 0. Тодi з огляду на пункт (ii) зауваження 1 спiввiдношення (1) виконується для p-м.в.
k-вимiрних поверхонь S у C. Навпаки, якщо останнє виконується, то, зокрема, \scrA S(E) = 0 для
м.в. k-вимiрних площин H у C, паралельних k-вимiрнiй координатнiй площинi (див. лему 1).
Отже, \scrL n(E) = 0 знову за теоремою Фубiнi.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 3. За теоремою Лузiна (див., наприклад, роздiл 2.3.5 у [3]), для кожної вимiрної
функцiї \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] iснує борелева функцiя \varrho \ast : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] така, що \varrho \ast = \varrho м.с. в \BbbR n.
Отже, за теоремою 1 для кожного k = 1, . . . , n - 1 i p \in [k,\infty ) функцiя \varrho є вимiрною на p-м.в.
k-вимiрних поверхнях S в \BbbR n.
Будемо говорити, що вимiрна за Лебегом функцiя \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] є p-узагальнено допусти-
мою для сiм’ї \scrS , що складається з k-вимiрних поверхонь S в \BbbR n (коротко \varrho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}p \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS ),
якщо \int
S
\varrho k d\scrA \geq 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ДО ТЕОРIЇ МОДУЛIВ ПОВЕРХОНЬ 1273
для p-м.в. S \in \scrS . Узагальненим p-модулем Mp(\scrS ) сiм’ї \scrS називається величина
Mp(\scrS ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\int
\BbbR n
\varrho p(x) dm(x),
де iнфiмум береться по всiх функцiях \varrho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}p \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS . У випадку p = n використовуємо
позначення M(\scrS ) i \varrho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t} \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS вiдповiдно. Для кожного k = 1, . . . , n - 1, p \in [k,\infty ) i
кожної сiм’ї \scrS k-вимiрних поверхонь у \BbbR n маємо рiвнiсть Mp(\scrS ) = Mp(\scrS ).
5. Борелевi оболонки i концентричнi сфери. У порiвняннi з площинами та гiперплощи-
нами в багатьох випадках бiльш важливою є теорiя модулiв сiмей сфер. Зокрема, це пов’язано
з вивченням класiв Соболєва та Орлiча – Соболєва (див., наприклад, [13, 17, 18]). Практично
всi результати, доведенi вище, можна сформулювати також для модулiв сiмей сфер. Зокрема,
наступний результат є аналогом твердження 1.
Твердження 2. Нехай R — кiльце \{ x \in \BbbR n : r1 < | x| < r2\} , 0 < r1 < r2 < \infty , у просторi
\BbbR n, n \geq 2, i A — множина в (r1, r2). Тодi для кожної борелевої оболонки B в (r1, r2) множини
A справджується рiвнiсть
Mp(\scrS A) = Mp(\scrS B) \forall p \geq n - 1,
де \scrS A i \scrS B позначають сiм’ї (n - 1)-вимiрних сфер S(r) := \{ x \in \BbbR n : | x| = r\} таких, що
r \in A i r \in B вiдповiдно.
Доведення. Оскiльки A \subseteq B, маємо \scrS A \subseteq \scrS B. Тодi для кожного фiксованого p \in [n - 1,\infty )
на пiдставi монотонностi модулiв Mp(\scrS A) \leq Mp(\scrS B). Отже, залишилося довести обернену
нерiвнiсть Mp(\scrS A) \geq Mp(\scrS B). Насамперед зауважимо, що, оскiльки B є борелевою множи-
ною, то
Mp(\scrS A) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS A
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS A
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x),
Mp(\scrS B) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS B
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varrho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS B
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x),
де \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS A i \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS B позначають вiдповiдно пiдкласи \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS A i \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\scrS B функцiй \rho , якi
обертаються в нуль поза декартовим добутком B \times \BbbS n - 1, а \BbbS n - 1 — одинична сфера в \BbbR n з
центром у початку координат. За побудовою\int
\{ r\} \times \BbbS n - 1
\varrho n - 1(y) d\scrH n - 1(y) \geq 1 \forall r \in A. (3)
Якщо Mp(\scrS A) = \infty , то доводити немає чого. Тому далi припускаємо, що Mp(\scrS A) < \infty .
Нехай \varrho — довiльна функцiя з класу \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS A така, що\int
R
\varrho p(x) d\scrL n(x) < \infty .
Тодi також
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
1274 ВОЛОДИМИР РЯЗАНОВ, ЄВГЕН СЕВОСТЬЯНОВ\int
R
\varrho n - 1(x) d\scrL n(x) < \infty ,
бо p \geq n - 1. Оскiльки \scrL n = \scrH n = \scrH 1 \times \scrH n - 1 = \scrL 1 \times \scrH n - 1 в R, за теоремою Фубiнi (див.
теорему III(8.1) у [4]), функцiя
R(r) :=
\int
\{ r\} \times \BbbS n - 1
\varrho n - 1(y) d\scrH n - 1(y), r \in B,
є вимiрною та скiнченною майже скрiзь за мiрою Лебега \scrL 1 у (r1, r2).
Зокрема, тодi множина E := \{ r \in B : R(r) < 1\} є вимiрною, на пiдставi борелевої ре-
гулярностi мiри \scrL 1 iснують борелевi множини B\ast i B\ast у B такi, що B\ast \subseteq E \subseteq B\ast i
\scrL 1(B\ast ) = \scrL 1(E) = \scrL 1
\bigl(
B\ast \bigr) (див. теорему III(6.6) у [4]). Зауважимо, що E \cap A = \varnothing за умовою
(3). Отже, B\ast \cap A = \varnothing , внаслiдок чого A \subseteq B \setminus B\ast i згiдно з (V)
\scrL 1(B) = \scrL 1(B\ast ) + \scrL 1(B \setminus B\ast ) \geq \scrL 1(B\ast ) + \scrL 1(A) = \scrL 1(B\ast ) + \scrL 1(B),
тобто \scrL 1
\bigl(
B\ast \bigr) = 0.
Нарештi, покладаючи \rho \ast (x) = \infty на B\ast \times \BbbS n - 1 i \rho \ast (x) = \rho (z) у протилежному випадку,
бачимо, що \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\ast \scrS B i \int
R
\varrho p\ast (x) d\scrL n(x) =
\int
R
\varrho p(x) d\scrL n(x).
Твердження 2 доведено.
6. Модулi сфер i лебегова мiра. Наступне твердження є аналогом леми 1.
Лема 2. Нехай R — кiльце в \BbbR n, n \geq 2, R := \{ x \in \BbbR n : r1 < | x| < r2\} , 0 \leq r1 < r2 < \infty ,
i \scrS A — сукупнiсть усiх (n - 1)-вимiрних сфер S(r) := \{ x \in \BbbR n : | x| = r\} таких, що r \in A \subset
(r1, r2). Якщо Mp(\scrS A) = 0 для деякого p \geq n - 1, то \scrL 1(A) = 0.
Доведення. З огляду на монотоннiсть модуля Mp i субадитивнiсть мiри \scrL 1 можна вважати,
що r1 > 0. За зауваженням 2 iснує борелева оболонка B множини A, для якої (за тверджен-
ням 2) Mp(\scrS B) = 0.
Припустимо, що \scrL m(A) > 0. Тодi також \scrL m(B) > 0. Нехай \varrho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — борелева
функцiя, яка є допустимою для \scrS B i така, що \varrho \equiv 0 зовнi B\times \BbbS n - 1, де \BbbS n - 1 — одинична сфера
в \BbbR n з центром у початку координат. Тодi за нерiвнiстю Гельдера
\int
B\times \BbbS n - 1
\varrho n - 1(x) d\scrL n(x) \leq
\left( \int
B\times \BbbS n - 1
\varrho p(x) d\scrL n(x)
\right)
n - 1
p
\left( \int
B\times \BbbS n - 1
d\scrL n(x)
\right)
p - (n - 1)
p
.
Отже, за теоремою Фубiнi (див. теорему III (8.1) у [4])
\int
\BbbR n
\varrho p(x) d\scrL n(x) \geq
\biggl( \int
B\times \BbbS n - 1
\varrho n - 1(x) d\scrL n(x)
\biggr) p
n - 1
\biggl( \int
B\times \BbbS n - 1
d\scrL n(x)
\biggr) p - (n - 1)
n - 1
\geq (\scrL 1(B))
p
n - 1
(\alpha n - 1r1n - 1 \scrL 1(B))
p - (n - 1)
n - 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
ДО ТЕОРIЇ МОДУЛIВ ПОВЕРХОНЬ 1275
де \alpha n - 1 = n\pi n/2/\Gamma (1+n/2) — площа \BbbS n - 1, яка обчислюється через гамма-функцiю Ейлера \Gamma .
Iншими словами, покладаючи Cn,p := (\alpha n - 1)
(n - 1 - p)/(n - 1), маємо
Mp(\scrS B) \geq \scrL 1(B)Cn,p/r
p - (n - 1)
1 > 0.
Отримана суперечнiсть спростовує припущення, зроблене вище.
Лему 2 доведено.
Вiдповiднi результати можна також отримати для сiмей всiляких сфероїдiв (цилiндрiв, елiп-
соїдiв тощо).
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. B. T. Rushing, Topological embeddings, Pure and Appl. Math., vol. 52, Academic Press, New York and London
(1973).
2. L. C. Evans, R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, Studies in Advanced Math., CRC Press,
Boca Raton, FL (1992).
3. H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, Berlin (1969).
4. S. Saks, Theory of the integral, Dover, New York (1964).
5. T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous trasformations in analysis, Springer-Verlag, Berlin (1955).
6. B. Fuglede, Extremal length and functional completion, Acta Math., 98, 171 – 219 (1957).
7. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., vol. 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
8. D. Kovtonyk, V. Ryazanov, On the theory of mappings with finite area distortion, J. Anal. Math., 104, 291 – 306
(2008).
9. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci.- Business Media,
LLC, New York (2009).
10. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length distortion, J. Anal. Math., 93, 215 – 236
(2004).
11. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, O. Martio, V. Ryazanov, Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz
mappings in the plane, EMS Tracts Math., vol. 19, Eur. Math. Soc., Zürich (2013).
12. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation. A geometric approach, Dev. Math., 26,
Springer, New York (2012).
13. E. A. Sevost’yanov, On the boundary and global behavior of mappings of Riemannian surfaces, Filomat, 36,
1295 – 1327 (2022).
14. P. R. Halmos, Measure theory, Springer, New York etc. (1974).
15. B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Counterexamples in analysis, Corrected reprint of the second (1965) edition, Dover
Publ., Inc. Mineola, NY (2003).
16. K. Kuratowski, Topology, vol. 1, Acad. Press, New York, London (1968).
17. Д. Ковтонюк, Р. Салимов, Е. Севостьянов, К теории отображений классов Соболева и Орлича – Соболева,
Наук. думка, Киев (2013).
18. E. A. Sevost’yanov, On the local and boundary behaviour of mappings of factor spaces, Complex Var. and Elliptic
Equat., 67, № 2, 284 – 314 (2022).
Одержано 30.06.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-7651 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:56Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f5/8cf928787fdc988082e4a69073e1adf5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76512024-06-19T00:34:42Z On the theory of moduli of surfaces До теорії модулів поверхонь Ryazanov, V. Sevost’ yanov, Ye. Рязанов, Володимир Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович Moduli of surfaces in Euclidean spaces, Hausdorff measures, measurable (Borel) hulls of sets Модулі сімей поверхонь у евклідових просторах міри Хаусдорфа вимірні (борелеві) оболонки множин 30C62 30C65 UDC 517.5 We continue the development of the theory of moduli of the families of surfaces, in particular, strings of various dimensions $m=1,2,\ldots,n-1$ in Euclidean spaces $\mathbb{R}^n,$ $n\geq 2.$&nbsp;On the basis of the proof of Lemma 1 on the relationships&nbsp;between the moduli and Lebesgue measures, we prove the corresponding analog of the Fubini theorem in terms of moduli&nbsp;&nbsp;that extends the known Väisälä theorem for families of curves to the families of surfaces of arbitrary dimensions.&nbsp;It should be emphasized that the crucial place in the proof of Lemma 1 is Proposition 1 on measurable (Borel) hulls of sets in Euclidean spaces.&nbsp;In addition, we prove similar Lemma 2 and Proposition 2 for the families of concenteric spheres. УДК 517.5 У цій статті продовжено розвиток теорії модулів сімей поверхонь, зокрема струн різних розмірностей&nbsp;$m=1,2,\ldots,n-1,$ у евклідових просторах&nbsp;$\mathbb{R}^n,$ $n\geq 2.$&nbsp;На основі доведення леми про зв'язки між модулями та мірами Лебега отримано відповідний аналог теореми Фубіні в термінах модулів, що узагальнює відому теорему Вяйсяля з сімей кривих на сім'ї поверхонь довільних розмірностей.&nbsp;Слід зазначити, що найбільш тонким місцем у доведенні вказаної леми є твердження про вимірні (борелеві) оболонки множин у евклідових просторах.&nbsp;Крім того, доведено аналогічні лему і твердження про сім'ї концентричних куль. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-09-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7651 10.3842/umzh.v75i9.7651 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 9 (2023); 1267 - 1275 Український математичний журнал; Том 75 № 9 (2023); 1267 - 1275 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7651/9503 Copyright (c) 2023 Євген Олександрович Севостьянов, Володимир Рязанов |
| spellingShingle | Ryazanov, V. Sevost’ yanov, Ye. Рязанов, Володимир Севостьянов, Євген Севостьянов, Євген Олександрович On the theory of moduli of surfaces |
| title | On the theory of moduli of surfaces |
| title_alt | До теорії модулів поверхонь |
| title_full | On the theory of moduli of surfaces |
| title_fullStr | On the theory of moduli of surfaces |
| title_full_unstemmed | On the theory of moduli of surfaces |
| title_short | On the theory of moduli of surfaces |
| title_sort | on the theory of moduli of surfaces |
| topic_facet | Moduli of surfaces in Euclidean spaces Hausdorff measures measurable (Borel) hulls of sets Модулі сімей поверхонь у евклідових просторах міри Хаусдорфа вимірні (борелеві) оболонки множин 30C62 30C65 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7651 |
| work_keys_str_mv | AT ryazanovv onthetheoryofmoduliofsurfaces AT sevostyanovye onthetheoryofmoduliofsurfaces AT râzanovvolodimir onthetheoryofmoduliofsurfaces AT sevostʹânovêvgen onthetheoryofmoduliofsurfaces AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič onthetheoryofmoduliofsurfaces AT ryazanovv doteoríímodulívpoverhonʹ AT sevostyanovye doteoríímodulívpoverhonʹ AT râzanovvolodimir doteoríímodulívpoverhonʹ AT sevostʹânovêvgen doteoríímodulívpoverhonʹ AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič doteoríímodulívpoverhonʹ |