Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side
UDC 517.929 By using the apparatus of Lyapunov's direct method with a function from the class of quadratic forms, we establish algebraic sufficient conditions for the stability of trivial solutions to the nonlinear systems of differential equations of the second and third orders.
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7655 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512699834695680 |
|---|---|
| author | Khusainov, D. Shatyrko, A. Puza, B. Novotna, V. Хусаінов, Денис Шатирко, Андрій Пужа, Бедріх Новотна, Вероніка |
| author_facet | Khusainov, D. Shatyrko, A. Puza, B. Novotna, V. Хусаінов, Денис Шатирко, Андрій Пужа, Бедріх Новотна, Вероніка |
| author_sort | Khusainov, D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:56Z |
| description | UDC 517.929
By using the apparatus of Lyapunov's direct method with a function from the class of quadratic forms, we establish algebraic sufficient conditions for the stability of trivial solutions to the nonlinear systems of differential equations of the second and third orders. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i12.7655 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i12.7655
УДК 517.929
Денис Хусаiнов, Андрiй Шатирко1 (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка),
Бедрiх Пужа, Веронiка Новотна (Технiчний унiверситет Брно, Чеська Республiка)
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА
ДЛЯ ОТРИМАННЯ УМОВ СТIЙКОСТI
В СИСТЕМАХ З КВАДРАТИЧНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ
By using the apparatus of Lyapunov’s direct method with a function from the class of quadratic forms, we establish
algebraic sufficient conditions for the stability of trivial solutions to the nonlinear systems of differential equations of the
second and third orders.
За допомогою апарату прямого методу Ляпунова з функцiєю у класi квадратичних форм для нелiнiйних систем
диференцiальних рiвнянь другого й третього порядку побудовано алгебраїчнi достатнi умови стiйкостi тривiальних
розв’язкiв.
Цю роботу присвячено розвитку методiв дослiджень стiйкостi, якi проводилися першим iз
спiвавторiв спiльно з О. М. Шарковським та опублiкованi у роботах [1 – 3]. Слiд вiдмiтити
багатограннiсть дослiджень математичної теорiї систем, проведених О. М. Шарковським [4, 5].
Поряд з вiдомими роботами iз загальної теорiї динамiчних систем з його iнiцiативи проводили-
ся дослiдження стiйкостi положення рiвноваги нелiнiйних динамiчних систем, що описуються
як звичайними диференцiальними рiвняннями, так i рiвняннями з пiслядiєю, зокрема з викори-
станням другого методу Ляпунова. Автори вдячнi О. М. Шарковському за те, що вiн звернув
увагу на геометрiю другого методу Ляпунова та його особливостi щодо динамiки систем з
пiслядiєю. Деякi з цих iдей знайшли застосування, зокрема, в роботах [6, 7].
Одним iз унiверсальних методiв дослiдження нелiнiйних динамiчних систем є другий метод
Ляпунова. Загальноприйнятим є зведення дослiджуваного розв’язку до нульового розв’язку та
дослiдження нульового положення рiвноваги [8 – 10]. Водночас буває, що нелiнiйна система
не має нульового розв’язку, а iснує деяка область, що знаходиться в деякому околi початку
координат, яка є асимптотично стiйкою, i потрiбно провести оцiнювання цiєї областi. Зокрема,
значна кiлькiсть „дивних атракторiв” являють собою асимптотично стiйкi множини, що знахо-
дяться в деякому околi нуля. У рядi випадкiв з використанням методу квадратичних функцiй
Ляпунова можна провести оцiнювання областi стiйкостi, а саме, обчислити елiпс, всерединi
якого знаходяться цi областi.
Актуальнiсть вивчення систем з нелiнiйнiстю квадратичного вигляду у правiй частинi пiд-
тверджується рядом сучасних публiкацiй (див., наприклад, [11, 12]), а також обумовлена їх
частим використанням при розглядi багатьох практичних задач, зокрема, у цифровiй обробцi
сигналiв [13, 14], теорiї популяцiй [7]. Близькi питання з використанням функцiй Ляпунова
розглянуто в роботах [15 – 18]. Також багато iнших прикладiв застосувань можна знайти, рефе-
руючи роботи [13, 19] та посилання в них.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: shatyrko.a@knu.ua.
c\bigcirc ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12 1697
1698 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
1. Оцiнка областi стiйкостi у нелiнiйних системах з видiленою лiнiйною частиною.
Розглянемо нелiнiйну систему звичайних диференцiальних рiвнянь iз видiленою лiнiйною час-
тиною та нелiнiйнiстю вищого порядку
\.x = Ax+R(x), x \in Rn, | R(x)| \leq N | x| 1+\alpha , a > 0. (1)
В цьому випадку система (1) має нульовий розв’язок.
Означення 1. Назвемо множину U\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b} областю асимптотичної стiйкостi нульового по-
ложення рiвноваги динамiчної системи (1), якщо для довiльного розв’язку x(t) системи (1) з
початковою умовою x(t0) /\in U\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b} при t \rightarrow \infty буде виконуватись x(t) \rightarrow U\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}.
Для отримання оцiнки областi стiйкостi U\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b} нульового розв’язку системи (1) будемо вико-
ристовувати апарат другого методу Ляпунова. Виберемо в якостi функцiї Ляпунова квадратичну
форму V (x) = xTHx з додатно визначеною матрицею H \in Rn\times n. Повна похiдна функцiї Ля-
пунова вздовж розв’язкiв системи має вигляд
d
dt
V (x) = [Ax+R(x)]THx+ xTH[Ax+R(x)] = xT (ATH +HA)x+ 2xTHR(x).
Нехай матриця A асимптотично стiйка, тобто \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda i(A) < 0, i = 1, n. Тодi для довiльної
додатно визначеної матрицi C матричне рiвняння Ляпунова
ATH +HA = - C
має єдиний розв’язок — додатно визначену матрицю H. Можемо записати
d
dt
V (x) = - xTCx+ 2xTHR(x) \leq - \lambda \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(C)| x| 2 + 2| H| | x| | R(x)| ,
де \lambda \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(C) — мiнiмальне власне число симетричної додатно визначеної матрицi. Тут i далi
будемо використовувати узгодженi векторнi та матричнi норми: | x| =
\sqrt{} \sum n
i=1
x2i — евклiдова
норма вектора, | H| = \lambda \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(H) — спектральна норма матрицi. Як випливає з теореми про
стiйкiсть за лiнiйним наближенням [8], нульовий розв’язок системи (1) буде асимптотично
стiйким, а область асимптотичної стiйкостi нульового розв’язку включає множину
U\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b} =
\biggl\{
x \in Rn : | R(x)| < \lambda \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(C)
2| H|
| x|
\biggr\}
.
2. Скалярнi рiвняння з квадратичною нелiнiйнiстю. Нехай нелiнiйнiсть R(x) має квад-
ратичний вигляд. Для скалярного диференцiального рiвняння
\.x = - ax+ bx2, a > 0, b > 0, (2)
функцiю Ляпунова вибираємо у виглядi V (x) = hx2, h > 0. Повна похiдна вздовж розв’язкiв
рiвняння (2) має вигляд
d
dt
V (x) = - 2hx2(a - bx).
Областю стiйкостi в цьому випадку є множина - \infty < x < a/b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА . . . 1699
3. Системи з квадратичною правою частиною загального вигляду. Розглянемо систему
диференцiальних рiвнянь iз квадратичною правою частиною. Запишемо її в унiверсальному
векторно-матричному виглядi [9, 10]
\.x = Ax+ S2(x), S2(x) = XTBx, (3)
XT = [XT
1 , X
T
2 , . . . , X
T
n ], B =
\left[
B1
B2
. . .
Bn
\right] , XT
1 =
\left[
x1 x2 . . . xn
0 0 . . . 0
\cdot \cdot . . . \cdot
0 0 . . . 0
\right] ,
XT
2 =
\left[
0 0 . . . 0
x1 x2 . . . xn
\cdot \cdot . . . \cdot
0 0 . . . 0
\right] , . . . , XT
n =
\left[
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
\cdot \cdot . . . \cdot
x1 x2 . . . xn
\right] ,
B1 =
\left[
b111 b112 . . . b11n
b112 b122 . . . b12n
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot . . . \cdot
b11n b12n . . . b1nn
\right] , . . . , Bn =
\left[
bn11 bn12 . . . bn1n
bn12 bn22 . . . bn2n
\cdot \cdot . . . \cdot
bn1n bn2n . . . bnnn
\right] .
Тут XT
i — матрицi, в яких в i-му рядку стоїть вектор xT = (x1, x2, . . . , xn), а iншi елементи
нульовi, Bi, i = 1, n, — симетричнi матрицi.
Для систем з нелiнiйнiстю квадратичного вигляду (3) повна похiдна функцiї Ляпунова з
класу квадратичних форм має вигляд
d
dt
V (x) = [Ax+XTBx]THx+ xTH[Ax+XTBx] = - xTCx+ S3(x),
де S3(x) — кубiчна форма вигляду
S3(x) = xT (BTXH +HXTB)x.
Область гарантованої асимптотичної стiйкостi нульового положення рiвноваги має вигляд внут-
рiшностi елiпса [9, 10]
Us =
\biggl\{
x \in Rn : | x| < \lambda \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(C)
2| H| | B|
\biggr\}
.
Розглянемо квадратичну систему вигляду
\.x = Ax+XTBx+ c, x \in Rn,
де c = (c1, c2, . . . , cn)
T — сталий вектор. Якщо система квадратичних рiвнянь
Ax+XTBx+ c = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
1700 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
має ненульовий розв’язок x = x0, то замiною типу „паралельного переносу” x = x1 + x0
дослiдження стiйкостi й оцiнювання областi притягання розв’язку x = x0 можна проводити,
використовуючи систему рiвнянь збурень
\.x1 = Ax1 +XT
1 Bx0 +XT
0 Bx1 +XT
1 Bx1, x1 \in Rn,
яку можна звести до стандартного вигляду
\.x1 = Ax1 +XT
1 Bx1, x1 \in Rn.
Тут x1, X1, X0 отриманi в результатi застосування „паралельного переносу” x = x1 + x0 до
початкової системи i мають вигляд, аналогiчний наведеному на початку пункту.
4. Диференцiальнi системи з квадратичною правою частиною на площинi. Дослiд-
жуватимемо стiйкiсть нульового положення рiвноваги системи (3) на площинi. Попередньо
розглянемо таке припущення.
Довiльну кубiчну форму на площинi
S3(x1, x2) = c30x
3
1 + c21x
2
1x2 + c12x1x
2
2 + c03x
3
2 (4)
можна записати у виглядi „псевдоквадратичної форми”
S3(x) = xTL1(x)x, (5)
де L1(x) — симетрична матриця, що складається з лiнiйних елементiв
L1(x) =
\Biggl[
l11(x) l12(x)
l12(x) l22(x)
\Biggr]
=
\Biggl[
xT l11 xT l12
xT l12 xT l22
\Biggr]
,
x =
\Biggl(
x1
x2
\Biggr)
, l11 =
\Biggl(
l111
l211
\Biggr)
, l12 =
\Biggl(
l112
l212
\Biggr)
, l22 =
\Biggl(
l122
l222
\Biggr)
. (6)
Справдi, розкриваючи форму (5), отримуємо
S3(x) = (x1, x2)
\Biggl[
xT l11 xT l12
xT l12 xT l22
\Biggr] \Biggl(
x1
x2
\Biggr)
= xT l11x
2
1 + 2xT l12x1x2 + xT l22x
2
2
= (l111x1 + l211x2)x
2
1 + 2(l112x1 + l212x2)x1x2 + (l122x1 + l222x2)x
2
2
= l111x
3
1 + (l211 + 2l112)x
2
1x2 + (2l212 + l122x2)x1x
2
2 + l222x
3
2.
Таким чином, кубiчну форму на площинi вигляду (5), (6) можна записати у виглядi (4), де
c30 = l111, c21 = l211 + 2l112, c12 = 2l212 + l122, c03 = l222.
Використаємо отриманий результат для побудови умов глобальної асимптотичної стiйкостi
нульового положення рiвноваги. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з квадратичною
правою частиною на площинi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА . . . 1701
\.x1 = a11x1 + a12x2 + b111x
2
1 + b112x1x2 + b122x
2
2,
\.x2 = a21x1 + a22x2 + b211x
2
1 + 2b212x1x2 + b222x
2
2
(7)
або у векторно-матричнiй формi
x =
\Biggl(
x1
x2
\Biggr)
, A =
\Biggl[
a11 a12
a21 a22
\Biggr]
, X =
\left[
x1 0
x2 0
0 x1
0 x2
\right] , B =
\left[
b111 b112
b112 b122
b211 b212
b212 b222
\right] .
Запишемо її у виглядi (3):
\.x = Ax+XTBx.
Вона має стацiонарне положення рiвноваги
x1(t) = 0, x2(t) = 0.
Якщо скористатися функцiєю Ляпунова квадратичного вигляду V (x) = xTHx, то її повна
похiдна в силу системи (7) має вигляд
d
dt
V (x) = - xTCx+ S3(x), S3(x) = xT [BTXH +HXTB]x,
тобто повна похiдна складається з суми вiд’ємно визначеної квадратичної форми й кубiчної.
Розглянемо кубiчну складову S3(x) = xT \=L2(x)x. Перетворимо матрицю \=L2(x) таким чи-
ном:
\=L2(x) = BTXH +HXTB =
\Biggl[
b111 b112 b211 b212
b112 b122 b212 b222
\Biggr] \left[
x1 0
x2 0
0 x1
0 x2
\right]
\Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr]
+
\Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr] \Biggl[
x1 x2 0 0
0 0 x1 x2
\Biggr] \left[
b111 b112
b112 b122
b211 b212
b212 b222
\right] .
Позначимо
b11 =
\Biggl(
b111
b112
\Biggr)
, b12 =
\Biggl(
b112
b122
\Biggr)
, b21 =
\Biggl(
b211
b212
\Biggr)
, b22 =
\Biggl(
b212
b222
\Biggr)
, x =
\Biggl(
x1
x2
\Biggr)
, \theta =
\Biggl(
0
0
\Biggr)
.
Тодi
\=L2(x) = BTXH +HXTB =
\Biggl[
(b11)
T (b21)
T
(b12)
T (b22)
T
\Biggr] \biggl[
x \theta
\theta x
\biggr] \Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
1702 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
+
\Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr] \Biggl[
xT \theta T
\theta T xT
\Biggr] \Biggl[
b11 b12
b21 b22
\Biggr]
=
\Biggl[
(b11)
Tx (b21)
Tx
(b12)
Tx (b22)
Tx
\Biggr] \Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr]
+
\Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr] \Biggl[
xT b11 xT b12
xT b21 xT b22
\Biggr]
=
\Biggl[
\=l11(x) \=l12(x)
\=l12(x) \=l22(x)
\Biggr]
,
де
\=l11(x) = xT (h11b
1
1 + h12b
2
1),
\=l12(x) = xT [h11b
1
2 + h12(b
1
1 + b22) + h22b
2
1],
\=l22(x) = xT (h12b
1
2 + h22b
2
2).
Таким чином, кубiчна складова повної похiдної функцiї Ляпунова в силу системи (7) має вигляд
S3(x) = XT (BTXH +HXTB)x = (x1, x2)
\Biggl[
\=l11(x) \=l12(x)
\=l12(x) \=l22(x)
\Biggr] \Biggl(
x1
x2
\Biggr)
,
де
\=l11(x) = 2(x1, x2)
\Biggl(
h11b
1
11 + h12b
2
11
h11b
1
12 + h12b
2
12
\Biggr)
, \=l12(x) = 2(x1, x2)
\Biggl(
h11b
1
12 + h12(b
1
11 + b212) + h22b
2
11
h11b
1
22 + h12(b
1
12 + b222) + h22b
2
12
\Biggr)
,
\=l22(x)x
2
2 = 2(x1, x2)
\Biggl(
h12b
1
12 + h22b
2
12
h12b
1
22 + h22b
2
22
\Biggr)
.
Порiвнюючи з кубiчною формою
S3(x) = xTL2(x)x,
де
L2(x) =
\Biggl[
l11(x) l12(x)
l12(x) l22(x)
\Biggr]
=
\Biggl[
xT l11 xT l12
xT l12 xT l22
\Biggr]
,
l11 =
\Biggl(
l111
l211
\Biggr)
, l12 =
\Biggl(
l112
l212
\Biggr)
, l22 =
\Biggl(
l122
l222
\Biggr)
,
отримуємо
l111 = 2h11b
1
11 + 2h12b
2
11, l112 = h11b
1
12 + h12(b
1
11 + b212) + h22b
2
11,
l122 = h12b
1
12 + h22b
2
12, l211 = 2h11b
1
12 + 2h12b
2
12,
l212 = h11b
1
22 + h12(b
1
12 + b222) + h22b
2
12, l222 = h12b
1
22 + h22b
2
22.
Для того щоб повна похiдна квадратичної функцiї Ляпунова була знаковизначеною, достат-
ньо, щоб кубiчна форма тотожно дорiвнювала нулю. А для цього необхiдно й достатньо, щоб
всi її коефiцiєнти дорiвнювали нулю, тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА . . . 1703
c30 = l211 = 0, c21 = l211 + 2l112 = 0, c12 = 2l212 + l122 = 0, c03 = l122 = 0
або
l211 = 2h11b
1
12 + h12b
2
12 = 0,
l211 + 2l112 = 2h11b
1
12 + h12b
2
12 + 2[h11 + h12(b
1
11 + b212) + h22b
2
11] = 0,
2l112 + l122 = 2[h11b
1
12 + h12(b
1
11 + b212) + h22b
2
11] + h12b
1
12 + h22b
2
12 = 0,
l122 = h12b
1
12 + h22b
2
12 = 0.
(8)
Отримали чотири лiнiйних однорiдних рiвняння з трьома невiдомими h11, h12, h22. Якщо
система (8) має ненульовий розв’язок, то
S3(x1, x2) = xT (BTXH +HXTB)x \equiv 0,
тобто кубiчна складова повної похiдної зникає i справджується рiвнiсть
d
dt
V (x) = - xTCx.
Звiдси випливає, що нульове положення рiвноваги буде асимптотично стiйким.
Таким чином, справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Для того щоб нульовий розв’язок системи рiвнянь з квадратичною правою
частиною на площинi (7) був глобально асимптотично стiйким, достатньо, щоб система
алгебраїчних рiвнянь (8) мала ненульовий розв’язок h11, h12, h22, при якому матрицi
H =
\Biggl[
h11 h12
h12 h22
\Biggr]
i
C = - ATH - HA
додатно визначенi.
Зауваження 1. Фактично отримали вимогу рiвностi нулю всiх коефiцiєнтiв кубiчної скла-
дової.
Зауваження 2. Слiд зазначити, що у випадку асимптотичної стiйкостi матрицi A множина
додатно визначених матриць H, при яких матриця C також буде додатно визначеною, утворює
опуклий конус в (n(n + 1)/2)-вимiрному просторi матриць H. Умова (8) „значно обмежує
конус”. Ця умова накладає достатньо „жорсткi” обмеження на параметри початкової системи.
5. Диференцiальнi системи з квадратичною частиною у тривимiрному просторi. Як i
в попередньому випадку, розглянемо кубiчну форму загального вигляду
S3(x) = xTL3(x)x,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
1704 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
L3(x) =
\left[
l11(x) l12(x) l13(x)
l12(x) l22(x) l23(x)
l13(x) l23(x) l33(x)
\right] =
\left[
xT l11 xT l12 xT l13
xT l12 xT l22 xT l23
xT l13 xT l23 xT l33
\right] ,
L3(x) — симетрична матриця, що складається з лiнiйних елементiв
x =
\left(
x1
x2
x3
\right) , l11 =
\left(
l111
l211
l311
\right) , l12 =
\left(
l112
l212
l312
\right) , l13 =
\left(
l113
l213
l313
\right) ,
l22 =
\left(
l122
l222
l322
\right) , l23 =
\left(
l123
l223
l323
\right) , l33 =
\left(
l133
l233
l333
\right) .
Як i для систем на площинi, запишемо її таким чином:
S3(x) = (x1, x2, x3)
\left[
xT l11 xT l12 xT l13
xT l12 xT l22 xT l23
xT l13 xT l23 xT l33
\right]
\left(
x1
x2
x3
\right)
= xT l11x
2
1 + 2xT l12x1x2 + 2xT l13x1x3 + xT l22x
2
2 + 2xT l23x2x3 + xT l33x
2
3
= (l111x1 + l211x2 + l311x3)x
2
1 + 2(l112x1 + l212x2 + l312x3)x1x2 + 2(l113x1 + l213x2 + l313x3)x1x3
+ (l122x1 + l222x2 + l322x3)x
2
2 + 2(l123x1 + l223x2 + l323x3)x2x3 + (l133x1 + l233x2 + l333x3)x
2
3
= l211x
3
1 + (l211 + 2l112)x
2
1x2 + (l311 + 2l113)x
2
1x3 + (2l212 + l122)x1x
2
2 + (2l312 + l213 + l123)x1x2x3
+ (2l313 + l133)x1x
2
3 + l222x
3
2 + (l322 + 2l223)x
2
2x3 + (2l323 + l233)x2x
2
3 + l333x
3
3.
Тодi отримаємо, що
S3(x) = c300x
3
1 + c210x
2
1x2 + c201x
2
1x3 + c120x1x
2
2 + c111x1x2x3 + c102x1x
2
3
+ c030x
3
2 + c021x
2
2x1 + c012x2x
2
3 + c003x
3
3,
де
c300 = l111, c210 = l211 + 2l112, c201 = l311 + 2l213,
c120 = 2l212 + l122, c111 = 2l312 + 2l213 + 2l123,
c102 = 2l313 + l133, c030 = l222, c021 = l322 + 2l223, c012 = 2l323 + l233, c003 = l333.
Систему диференцiальних рiвнянь з квадратичною правою частиною у тривимiрному прос-
торi можна записати так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА . . . 1705
\.x1 = a11x1+a12x2+a13x3+b111x
2
1+2b112x1x2+2b113x1x3 + b122x
2
2+2b123x2x3+b133x
2
3,
\.x2 = a21x1+a22x2+a23x3+b211x
2
1+2b212x1x2+2b213x1x3 + b222x
2
2+2b223x2x3+b233x
2
3, (9)
\.x3 = a11x1+a12x2+a13x3+b311x
2
1+2b312x1x2+2b313x1x3+b322x
2
2+2b323x2x3+b333x
2
3
або у векторно-матричнiй формi
x =
\left(
x1
x2
x3
\right) , A =
\left[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
\right] , X =
\left[
X1
X2
X3
\right] , B =
\left[
B1
B2
B3
\right] ,
X1 =
\left[
x1 0 0
x2 0 0
x3 0 0
\right] , X2 =
\left[
0 x1 0
0 x2 0
0 x3 0
\right] , X3 =
\left[
0 0 x1
0 0 x2
0 0 x3
\right] ,
B1 =
\left[
b111 b112 b113
b112 b122 b123
b113 b123 b133
\right] , B2 =
\left[
b211 b212 b213
b212 b222 b223
b213 b223 b233
\right] , B3 =
\left[
b311 b312 b313
b312 b322 b323
b313 b323 b333
\right] ,
тобто
\.x = Ax+XTBx.
Якщо знову ж таки розглядати функцiю Ляпунова квадратичного вигляду V (x) = xTHx, то її
повна похiдна вздовж розв’язкiв системи з квадратичною правою частиною (9) має вигляд
d
dt
V (x) = (Ax+XTBx)THx+ xTH(Ax+XTBx) = - xTCx+ S3(x).
Таким чином, у випадку асимптотичної стiйкостi матрицi A повна похiдна також складається з
суми вiд’ємно визначеної квадратичної форми й кубiчної складової S3(x) = xT \=L3(x)x. Знову,
як i у двовимiрному випадку, розглянемо окремо кубiчну складову S3(x). Перетворимо її
внутрiшню частину таким чином:
\=L3(x) = BTXH +HXTB = [BT
1 , B
T
2 , B
T
3 ]
\left[
X1
X2
X3
\right] H +H[XT
1 , X
T
2 , X
T
3 ]
\left[
B1
B2
B3
\right] .
Позначимо
b11 =
\left(
b111
b112
b113
\right) , b12 =
\left(
b111
b122
b123
\right) , b13 =
\left(
b131
b132
b133
\right) , b21 =
\left(
b211
b212
b213
\right) , b22 =
\left(
b221
b222
b223
\right) ,
b23 =
\left(
b231
b232
b233
\right) , b31 =
\left(
b311
b312
b313
\right) , b32 =
\left(
b321
b322
b323
\right) , b33 =
\left(
b331
b332
b333
\right) , \theta =
\left(
0
0
0
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
1706 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
Тодi
\=L3(x) = BT
1 X1H +HXT
1 B1 =
\left[
(b11)
T (b21)
T (b31)
T
(b12)
T (b22)
T (b32)
T
(b13)
T (b23)
T (b33)
T
\right]
\left[ x \theta \theta
\theta x \theta
\theta \theta x
\right]
\left[
h11 h12 h13
h12 h22 h23
h13 h23 h33
\right]
+
\left[
h11 h12 h13
h12 h22 h23
h13 h23 h33
\right]
\left[
xT \theta T \theta T
\theta T xT \theta T
\theta T \theta T xT
\right]
\left[
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
\right]
=
\left[
(b11)
Tx (b21)
Tx (b31)
Tx
(b12)
Tx (b22)
Tx (b32)
Tx
(b13)
Tx (b23)
Tx (b33)
Tx
\right]
\left[
h11 h12 h13
h12 h22 h23
h13 h23 h33
\right]
+
\left[
h11 h12 h13
h12 h22 h23
h13 h23 h33
\right]
\left[
xT b11 xT b12 xT b13
xT b21 xT b22 xT b23
xT b31 xT b32 xT b33
\right] =
\left[
\=l11(x) \=l12(x) \=l13(x)
\=l12(x) \=l22(x) \=l23(x)
\=l13(x) \=l23(x) \=l33(x)
\right] ,
де
\=l11(x) = xT [h11b
1
1 + h12b
2
1 + h13b
3
1],
\=l12(x) = xT [h12b
1
1 + h22b
2
1 + h23b
3
1 + h11b
1
2 + h12b
2
2 + h13b
3
2],
\=l13(x) = xT [h13b
1
1 + h23b
2
1 + h33b
3
1 + h11b
1
3 + h12b
2
3 + h13b
3
3],
\=l22(x) = xT [h12b
1
2 + h22b
2
2 + h23b
3
2],
\=l23(x) = xT [h13b
1
2 + h23b
2
2 + h33b
3
2 + h12b
1
3 + h22b
2
3 + h23b
3
3],
\=l33(x) = xT [h13b
1
3 + h23b
2
3 + h33b
3
3].
Таким чином, кубiчна складова повної похiдної вибраної функцiї Ляпунова має вигляд
S3(x) = xT \=L3(x)x, \=L3(x) =
\left[
\=l11(x) \=l12(x) \=l13(x)
\=l12(x) \=l22(x) \=l23(x)
\=l13(x) \=l23(x) \=l33(x)
\right] .
Порiвнюючи її з кубiчною формою
S3(x) = xTL3(x)x,
де
L3(x) =
\left[
l11(x) l12(x) l13(x)
l12(x) l22(x) l23(x)
l13(x) l23(x) l33(x)
\right] =
\left[
xT l11 xT l12 xT l13
xT l12 xT l22 xT l23
xT l13 xT l23 xT l33
\right] ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА . . . 1707
l11 =
\left(
l111
l211
l311
\right) , l12 =
\left(
l112
l212
l312
\right) , l13 =
\left(
l113
l213
l313
\right) ,
l22 =
\left(
l122
l222
l322
\right) , l23 =
\left(
l123
l223
l323
\right) , l33 =
\left(
l133
l233
l333
\right) ,
отримуємо
l11 = h11b
1
1 + h12b
2
1 + h13b
3
1,
l12 = h11b
1
1 + h12b
2
1 + h21b
3
1 + h11b
1
2 + h12b
2
2 + h13b
3
2,
l13 = h13b
1
1 + h23b
2
1 + h33b
3
1 + h11b
1
3 + h12b
2
3 + h13b
3
3,
l22 = h12b
1
2 + h22b
2
3 + h23b
3
2,
l23 = h13b
1
2 + h23b
2
2 + h33b
3
2 + h12b
1
3 + h22b
2
3 + h23b
3
3,
l33 = h13b
1
3 + h23b
2
3 + h33b
3
3.
Для того щоб повна похiдна вибраної квадратичної функцiї Ляпунова була знаковизначеною,
достатньо, щоб її складова, кубiчна форма, тотожно дорiвнювала нулю, тобто щоб виконувалися
рiвностi
l11 = 0, l12 = 0, l13 = 0, l22 = 0, l23 = 0, l33 = 0. (10)
Тодi буде виконуватись умова
S3(x) = xT (BTXH +HXTB)x \equiv 0
i
d
dt
V (x) = - xTCx.
Таким чином, повна похiдна буде вiд’ємно визначеною функцiєю, а нульове положення
рiвноваги — глобально асимптотично стiйким. Для цього достатньо щоб система алгебраїчних
рiвнянь (10) мала ненульовий розв’язок. Отже, має мiсце твердження, аналогiчне випадку на
площинi.
Теорема 2. Для того щоб нульовий розв’язок системи рiвнянь з квадратичною правою
частиною (9) був глобально асимптотично стiйким, достатньо, щоб система алгебраїчних
рiвнянь (10) мала ненульовий розв’язок h11, h12, h13, h22, h23, h33, при якому матрицi
H =
\left[
h11 h12 h13
h12 h22 h23
h11 h12 h33
\right]
i
C = - ATH - HA
будуть додатно визначенi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
1708 ДЕНИС ХУСАIНОВ, АНДРIЙ ШАТИРКО, БЕДРIХ ПУЖА, ВЕРОНIКА НОВОТНА
6. Висновок. З використанням наведеної у статтi технiки в подальшому становлять iнтерес
узагальнення отриманих результатiв на випадок багатовимiрних систем диференцальних рiв-
нянь з квадратичною правою частиною. Також наведений пiдхiд може бути застосований до до-
слiдження аналогiчних систем, але вже описаних у термiнах функцiонально-диференцiальних
рiвнянь з вiдхиленням аргументу. З практичної точки зору, отриманi результати автори плану-
ють застосувати до дослiдження динамiки систем, що описують поведiнку атрактора Лоренца.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. Д. Я. Хусаинов, А. Н. Шарковский, Осуществимые динамические системы на двумерных многообразиях,
Труды семинара по математической физике, вып. 3, 330 – 336 (1969).
2. Д. Я. Хусаинов, А. Н. Шарковский, Об устойчивости движения относительно части переменных, Динами-
ческие системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Институт математики АН
УССР, Киев (1973), с. 122 – 127.
3. Д. Я. Хусаинов, А. Н. Шарковский, Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим
аргументом, Функциональные и дифференциально-разностные уравнения, Институт математики АН УССР,
Киев (1974), с. 141 – 147.
4. E. Yu. Romanenko, A. N. Sharkovskii, Dynamics of solutions of the simplest nonlinear boundary-value problems,
Ukr. Math. J., 51, № 6, 907 – 925 (1999).
5. E. Yu. Romanenko, A. N. Sharkovskii, Dynamical systems and simulation of turbulence, Ukr. Math. J., 59, № 2,
229 – 242 (2007).
6. D. Khusainov, A. Ivanov, I. Grytsay, Stability of delay systems with quadratic nonlinearities, Nonlinear Dyn. and
Syst. Theory, 2, № 2 (2006).
7. L. Berezansky, J. Baštinec, J. Diblk, Z. Šmarda, On a delay population model with quadratic nonlinearity, Adv.
Difference Equat., 2012, Article 230 (2012).
8. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Гостехтеориздат, Москва, Ленинград (1980).
9. В. Ф. Давидов, Д. Я. Хусаiнов, Мажорантнi оцiнки розв’язкiв диференцiальних систем з квадратичною
правою частиною, Вiсн. Київ. ун-ту, фiз.-мат. науки, 206 – 211 (1994).
10. Д. Я. Хусаiнов, В. Ф. Давидов, Оптимiзацiя оцiнки областi стiйкостi квадратичних систем градiєнтним
методом, Вiсн. Київ. ун-ту, фiз.-мат. науки, вип. 4, 27 – 33 (1992).
11. R. Genesio, A. Tesi, Stability analysis of quadratic systems, IFAC: Nonlinear Control Systems Design, Capri, Italy
(1989).
12. F. Amato et al., Stability analysis of nonlinear quadratic systems via polyhedral Lyapunov functions, Conf. Paper in
Proc. Amer. Control Conf., July 2008; DOI: 10.1109/ACC.2008.4586833.
13. S. Neumeyer, V. S. Sorokin, J. J. Thomsen, Effects of quadratic and cubic nonlinearities on a perfectly tuned
parametric amplifier, J. Sound and Vibration, 386, 327 – 335 (2017).
14. Guoce Zhang, Bo Zhang, Secondary resonance energy harvesting with quadratic nonlinearity, Materials, MDPI,
Basel, Switzerland (2020).
15. А. А. Мартынюк, В. А. Черниенко, Достаточные условия устойчивости движения полиномиальных систем,
Прикл. механика, 56(66), № 1, 23 – 31 (2020).
16. А. А. Мартинюк, Аналiз еквiобмеженостi та стiйкостi руху iстотно нелiнiйних систем, Прикл. механiка,
59, № 1, 69 – 78 (2023).
17. О. Г. Мазко, Матричнi методи аналiзу та синтезу динамiчних систем, Наук. думка, Київ (2023).
18. В. В. Новицький, М. О. Зiнчук, О. П. Коломiйчук, I. Ф. Святовець, Неперервнi та дискретнi майже консер-
вативнi динамiчнi системи та їх застосування, Працi Iнституту математики НАН України, 108 (2020).
19. Liao, Shih-Chi, Hemati, S. Maziar, P. Seiler, Quadratic constraints for local stability analysis of quadratic systems
(2022); arXiv:2209.03565 [math.DS], DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2209.03565.
Одержано 01.07.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-7655 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:57Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ec/54d4cd61bc1a66460b11132fb4c563ec.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76552024-06-19T00:34:56Z Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side Використання другого методу Ляпунова для отримання умов стійкості в системах з квадратичною правою частиною Khusainov, D. Shatyrko, A. Puza, B. Novotna, V. Хусаінов, Денис Шатирко, Андрій Пужа, Бедріх Новотна, Вероніка Стійкість, функція Ляпунова, квадратична нелінійність UDC 517.929 By using the apparatus of Lyapunov's direct method with a function from the class of quadratic forms, we establish algebraic sufficient conditions for the stability of trivial solutions to the nonlinear systems of differential equations of the second and third orders. УДК 517.929 За допомогою апарату прямого методу Ляпунова з функцією у класі квадратичних форм для нелінійних систем диференціальних рівнянь другого й третього порядку побудовано алгебраїчні достатні умови стійкості тривіальних розв’язків.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-01-02 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7655 10.3842/umzh.v75i12.7655 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 12 (2023); 1697 - 1708 Український математичний журнал; Том 75 № 12 (2023); 1697 - 1708 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7655/9625 Copyright (c) 2024 Andriy Shatyrko, Денис Хусаїнов, Денис Хусаїнов, Бедріх Пужа, Вероніка Новотна |
| spellingShingle | Khusainov, D. Shatyrko, A. Puza, B. Novotna, V. Хусаінов, Денис Шатирко, Андрій Пужа, Бедріх Новотна, Вероніка Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title | Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title_alt | Використання другого методу Ляпунова для отримання умов стійкості в системах з квадратичною правою частиною |
| title_full | Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title_fullStr | Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title_full_unstemmed | Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title_short | Application of the second Lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| title_sort | application of the second lyapunov method for getting the conditions of stability in systems with quadratic right-hand side |
| topic_facet | Стійкість функція Ляпунова квадратична нелінійність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7655 |
| work_keys_str_mv | AT khusainovd applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT shatyrkoa applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT puzab applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT novotnav applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT husaínovdenis applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT šatirkoandríj applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT pužabedríh applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT novotnaveroníka applicationofthesecondlyapunovmethodforgettingtheconditionsofstabilityinsystemswithquadraticrighthandside AT khusainovd vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT shatyrkoa vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT puzab vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT novotnav vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT husaínovdenis vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT šatirkoandríj vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT pužabedríh vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû AT novotnaveroníka vikoristannâdrugogometodulâpunovadlâotrimannâumovstíjkostívsistemahzkvadratičnoûpravoûčastinoû |