Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities
UDC 517.5 We prove that the Boyanov–Naidenov problem $\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$ on the classes of functions $\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$ where...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7656 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794044636954624 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_facet | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Володимир Кофанов",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Kofanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:19Z |
| description | UDC 517.5
We prove that the Boyanov–Naidenov problem $\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$ on the classes of functions $\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$ where $q \ge 1$ for $k\ge 1$ and $q \ge p$ for $k=0,$ is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \leq C L(x)_{p}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in \Omega^{r}_{p, \lambda}, \tag{1}\end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $\|x\|_{p,\, \delta}:=\sup \{\|x\|_{L_p[a,\, b]}\!\colon  a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \},$ $\delta > 0,$ $\Omega^{\,r}_{p, \lambda}:= \bigcup \{\Omega^{\,r}_p(A_0, A_r)\colon A_0 = A_r L(\varphi_{\lambda, r})_p \},$ $\lambda > 0,$ $\varphi_{\lambda, r}$ is a contraction of the ideal Euler spline of order $r,$ and $L(x)_p:=\sup\big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b)\big\}.$
In particular, we obtain a sharp inequality of the form (1) on the classes  $\Omega^{\,r}_{p, \lambda},$ $\lambda > 0.$ We also prove the theorems on relationships for the Boyanov–Naidenov problems on the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the relevant sharp Bernstein-type inequalities. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i3.7656 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i3.7656
УДК 517.5
Володимир Кофанов1 (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара)
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА
З НЕРIВНОСТЯМИ КОЛМОГОРОВСЬКОГО ТИПУ
We prove that the Boyanov – Naidenov problem \| x(k)\| q, \delta \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 0, 1, . . . , r - 1, on the classes of functions
\Omega r
p(A0, Ar) := \{ x \in Lr
\infty : \| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0\} , where q \geq 1 for k \geq 1 and q \geq p for k = 0, is equivalent
to the problem of finding the sharp constant C = C(\lambda ) in the Kolmogorov-type inequality
\| x(k)\| q, \delta \leq CL(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , x \in \Omega r
p,\lambda , (1)
where \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
, \| x\| p, \delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta \} , \delta > 0, \Omega r
p,\lambda :=
\bigcup
\{ \Omega r
p (A0, Ar) :
A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p\} , \lambda > 0, \varphi \lambda ,r is a contraction of the ideal Euler spline of order r, and L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| x\| Lp[a, b] :
a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\bigr\}
.
In particular, we obtain a sharp inequality of the form (1) on the classes \Omega r
p,\lambda , \lambda > 0. We also prove the theorems on
relationships for the Boyanov – Naidenov problems on the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish
the relevant sharp Bernstein-type inequalities.
Встановлено, що задача Боянова – Найдьонова
\bigm\| \bigm\| x(k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 0, 1, . . . , r - 1, на класах функцiй
\Omega r
p(A0, Ar) := \{ x \in Lr
\infty : \| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0\} , де q \geq 1, якщо k \geq 1, i q \geq p, якщо k = 0, еквi-
валентна задачi про точну константу C = C(\lambda ) в нерiвностi колмогоровського типу\bigm\| \bigm\| x(k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq CL(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)
\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , x \in \Omega r
p,\lambda , (1)
де \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
, \| x\| p, \delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta \} , \delta > 0, \Omega r
p,\lambda :=
\bigcup \bigl\{
\Omega r
p (A0, Ar) :
A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p
\bigr\}
, \lambda > 0, \varphi \lambda ,r — стиск iдеального сплайна Ейлера порядку r, L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| x\| Lp[a, b] :
a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\bigr\}
.
Зокрема, отримано точну на класах \Omega r
p,\lambda , \lambda > 0, нерiвнiсть вигляду (1). Теореми про взаємозв’язок i наслiдки
з них (точнi нерiвностi бернштейнiвського типу) доведено також для задачi Боянова – Найдьонова на просторах
тригонометричних полiномiв та сплайнiв.
1. Вступ. Нехай G = \bfR або G = [\alpha , \beta ]. Будемо розглядати простори Lp(G), 0 < p \leq \infty , всiх
вимiрних за Лебегом функцiй x : G \rightarrow \bfR , для яких \| x\| Lp(G) < \infty , де
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
\bigm| \bigm| x(t)\bigm| \bigm| pdt\biggr) 1/p
, якщо 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in G
\bigm| \bigm| x(t)\bigm| \bigm| , якщо p = \infty .
Для r \in \bfN i p, s \in (0,\infty ] через Lr
p,s позначимо простiр усiх функцiй x \in Lp(\bfR ), що мають
локально абсолютно неперервнi похiднi до (r - 1)-го порядку, причому x(r) \in Ls(\bfR ). Будемо
писати \| x\| p замiсть \| x\| Lp(\bfR ) i Lr
\infty замiсть Lr
\infty ,\infty .
Вiдомо (див., наприклад, [1, с. 47]), що задача про точну константу C в нерiвностi колмо-
горовського типу \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q
\leq C\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
s
(1.1)
1 E-mail: vladimir.kofanov@gmail.com.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР КОФАНОВ, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3 395
396 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
на класi функцiй x \in Lr
p,s, де \alpha =
r - k + 1/q - 1/s
r + 1/p - 1/s
, а параметри q, p, s \geq 1, r \in \bfN , k \in
\bfN
\bigcup
\{ 0\} , k < r, задовольняють умову \alpha \leq (r - k)/r, рiвносильна екстремальнiй задачi
\| x(k)\| q \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} (1.2)
на класi функцiй x \in Lr
p,s з обмеженнями
\| x(r)\| s \leq Ar, \| x\| p \leq A0, (1.3)
де A0, Ar — заданi додатнi числа. Детальну бiблiографiю дослiджень з даної тематики мож-
на знайти в [1 – 3]. Зазначимо, що в роботi [4] дослiджено питання про збiг точних констант
в нерiвностях типу (1.1) для перiодичних функцiй i в таких же нерiвностях для неперiодич-
них функцiй на числовой осi. Взаємозв’язок точних констант в нерiвностях колмогоровського
типу i нерiвностях типу Колмогорова – Ремеза дослiджено в [5]. Серед робiт, в яких дослiд-
жується питання про точнi константи в нерiвностях типу Колмогорова – Ремеза, вiдзначимо
роботи [6 – 13].
Боянов i Найдьонов у [14] розглядали таку модифiкацiю задачi (1.2) з обмеженнями (1.3)
при p = s = \infty . Для довiльного вiдрiзка [\alpha , \beta ] \subset \bfR вони розв’язали задачу
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
| x(k)(t)|
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 1, 2, . . . , (1.4)
на класах функцiй iз заданою функцiєю порiвняння, де \Phi — неперервно диференцiйовна до-
датна функцiя на пiвосi [0,\infty ), така що \Phi (t)/t не спадає i \Phi (0) = 0. Зокрема, ними було
розв’язано задачу Ердьоша [15] про характеризацiю тригонометричного полiнома з фiксова-
ною рiвномiрною нормою, графiк якого на заданому вiдрiзку [\alpha , \beta ] \subset \bfR має максимальну
довжину. Цю ж задачу для неперiодичних сплайнiв на числовiй осi було розв’язано в роботi
[16]. В рядi робiт ця тематика отримала подальший розвиток. Через W позначимо клас непе-
рервних, невiд’ємних i опуклих функцiй \Phi , визначених на [0,\infty ), таких що \Phi (0) = 0. Для
p > 0 i неперервної на числовiй осi функцiї x покладемо [17]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( b\int
a
\bigm| \bigm| x(t)\bigm| \bigm| pdt
\right)
1
p
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\right\} . (1.5)
В роботах [18 – 20] розв’язано задачу Боянова – Найдьонова (1.4) i для k = 0, а саме
розв’язано задачу
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
| x(t)| p
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.6)
на класах функцiй iз заданою функцiєю порiвняння \varphi , що задовольняють умову L(x)p \leq L(\varphi )p.
Як наслiдок отримано розв’язок задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА З НЕРIВНОСТЯМИ КОЛМОГОРОВСЬКОГО ТИПУ 397
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
| x(k)(t)|
\bigr)
dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, 2, . . . , (1.7)
на тих же класах функцiй. Задачу Боянова – Найдьонова i нерiвностi колмогоровського типу
для функцiй з несиметричними обмеженнями на старшу похiдну розглянуто в [21, 22]. Для
додатних (вiд’ємних) частин функцiй задачi Боянова – Найдьонова i Ердьоша розв’язанi в [23].
Серед iнших дослiджень з даної тематики вiдзначимо роботи [24, 25].
Для формулювання основних результатiв цiєї роботи важливою є норма
\| x\| p, \delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| x\| Lp[a, b] : a, b \in \bfR , 0 < b - a \leq \delta
\bigr\}
. (1.8)
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , позначимо r-й 2\pi -перiодичний iнтеграл з нульовим середнiм
значенням на перiодi вiд функцiї \varphi 0(t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t. Для \lambda > 0 покладемо \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
У цiй роботi встановлено (теорема 1), що задача Боянова – Найдьонова\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q,\delta
\rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, (1.9)
де k = 0, 1, 2, . . . , r - 1, на класах функцiй
\Omega r
p(A0, Ar) :=
\bigl\{
x \in Lr
\infty : \| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0
\bigr\}
, (1.10)
де A0, Ar, p > 0, q \geq 1, якщо k \geq 1, i q \geq p, якщо k = 0, еквiвалентна задачi про точну
константу C = C(\lambda ) в нерiвностi колмогоровського типу\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq CL(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , x \in \Omega r
p,\lambda , (1.11)
де \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
, \Omega r
p,\lambda :=
\bigcup
\{ \Omega r
p (A0, Ar) : A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p\} , \lambda > 0.
Задачу (1.9) на класах (1.10) розв’язано в [18]. Тому, як наслiдок теореми 1, отримано точну
на кожному з класiв \Omega r
p,\lambda нерiвнiсть вигляду (1.11) (наслiдок 1).
Через Tn позначимо простiр тригонометричних полiномiв порядку не вищого нiж n.
Для h > 0, r \in \bfN через \sigma h,r позначимо простiр полiномiальних сплайнiв s порядку r
дефекту 1 з вузлами в точках kh, k \in \bfZ . Таким чином, s(t) на кожному з вiдрiзкiв
\bigl[
kh, (k+1)h
\bigr]
є алгебраїчним многочленом порядку не вищого нiж r. Зокрема, при h = \pi /n, n \in \bfN , множина
\sigma h,r мiстить простiр Sn,r, що складається з 2\pi -перiодичних полiномiальних сплайнiв порядку
r дефекту 1 з вузлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ . Зрозумiло, що для вiдповiдного зсуву \varphi \lambda ,r(\cdot + \tau )
має мiсце включення \varphi \lambda ,r(\cdot + \tau ) \in \sigma h,r, де \lambda = \pi /h.
У цiй роботi також встановлено (теореми 2 i 3), що задача Боянова – Найдьонова (1.9)
на просторi Tn тригонометричних полiномiв T (або на просторi \sigma h,r сплайнiв s), для яких
виконується друге обмеження в означеннi (1.10), еквiвалентна задачi про точну константу C в
нерiвностi бернштейнiвського типу для полiномiв\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq Cnk+1/p - 1/qL(T )p, T \in Tn (1.12)\biggl(
або задачi про точну константу C у вiдповiднiй нерiвностi для сплайнiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
398 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
\bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq C
\Bigl( \pi
h
\Bigr) k+1/p - 1/q
L(s)p, s \in \sigma h,r, (1.13)
де p > 0, q \geq 1, якщо k \geq 1, i q \geq p, якщо k = 0
\biggr)
.
Згаданi задачi Боянова – Найдьонова було розв’язано в роботах [16, 20]. Тому, як наслiдок
теорем 2 i 3, отримано точнi нерiвностi вигляду (1.12) i (1.13) (наслiдки 2 i 3 вiдповiдно).
Наведемо необхiднi для доведення основних результатiв вiдомостi.
Враховуючи означення норми (1.8), розв’язок задачi Боянова – Найдьонова на соболєвських
класах \Omega r
p(A0, Ar) функцiй можна сформулювати таким чином.
Теорема А [18]. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, 2, . . . , r - 1; A0, Ar, p, \delta > 0; q \geq 1, якщо k \geq 1, i
q \geq p, якщо k = 0. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
: x \in Lr
\infty , \| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0
\Bigr\}
= Ar\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta ,
де \lambda однозначно визначається умовою A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p.
Розв’язок задачi Боянова – Найдьонова на просторах Tn з урахуванням означення нор-
ми (1.8) можна сформулювати у виглядi такого твердження.
Теорема Б [20]. Нехай n \in \bfN , k \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} ; A, p, \delta > 0; q \geq 1, якщо k \in \bfN , i q \geq p, якщо
k = 0. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q,\delta
: T \in Tn, L(T )p \leq AL(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
\Bigr\}
= Ank\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q,\delta .
Розв’язок задачi Боянова – Найдьонова на просторах \sigma h,r з урахуванням означення нор-
ми (1.8) можна сформулювати таким чином.
Теорема В [16]. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, . . . , r - 1; A, p, \delta , h > 0; \lambda = \pi /h; q \geq 1, якщо
k \geq 1, i q \geq p, якщо k = 0. Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| s(k)\| q,\delta : s \in \sigma h,r, L(s)p \leq AL(\varphi \lambda ,r)p
\Bigr\}
= A\| \varphi \lambda ,r - k\| q,\delta .
2. Теорема про взаємозв’язок на соболєвських класах. Нам буде зручно записувати
число A0 в означеннi (1.10) класу \Omega r
p(A0, Ar) у виглядi
A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p. (2.1)
З очевидної рiвностi L(\varphi \lambda ,r)p = \lambda - (r+1/p)L(\varphi r)p випливає, що для A0, Ar, p > 0 iснує єдине
число \lambda , яке задовольняє рiвнiсть (2.1), а саме
\lambda =
\biggl(
ArL(\varphi r)p
A0
\biggr) 1
r+1/p
. (2.2)
Для довiльного \lambda > 0 покладемо
\Omega r
p,\lambda :=
\bigcup \bigl\{
\Omega r
p (A0, Ar) : A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p
\bigr\}
.
Зрозумiло, що
Lr
\infty =
\bigcup \bigl\{
\Omega r
p,\lambda : \lambda > 0
\bigr\}
,
до того ж конуси \Omega r
p,\lambda , \lambda > 0, попарно не перетинаються.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА З НЕРIВНОСТЯМИ КОЛМОГОРОВСЬКОГО ТИПУ 399
Теорема 1. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, 2, . . . , r - 1; A0, Ar, p, \delta > 0; q \geq 1, якщо k \geq 1, i
q \geq p, якщо k = 0. Тодi задача Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої гранi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \Omega r
p(A0,Ar)
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
(2.3)
еквiвалентна задачi про точну константу C = C(\lambda ) в нерiвностi колмогоровського типу\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq CL(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , x \in \Omega r
p,\lambda , (2.4)
де \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
. При цьому
C(\lambda ) =
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)\alpha p
. (2.5)
Доведення. За теоремою А для довiльних A0, Ar > 0 має мiсце рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \Omega r
p(A0,Ar)
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
= Ar\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta , (2.6)
де \lambda вибрано за умовою (2.1). Покажемо, що з цiєї рiвностi випливає нерiвнiсть (2.4) з конс-
тантою (2.5). Зафiксуємо \lambda > 0 i x \in \Omega r
p,\lambda та покладемо
Ar :=
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \infty , A0 := L(x)p. (2.7)
Тодi x \in \Omega r
p(A0, Ar) i внаслiдок (2.6) має мiсце нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq Ar\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta . Звiдси
на пiдставi очевидної рiвностi
\| \varphi \lambda ,r\| q, \delta = \lambda - (r+1/q)\| \varphi r\| q, \lambda \delta , (2.8)
рiвностi (2.2) i означення \alpha маємо\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq Ar\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta = Ar\lambda
- (r - k+1/q)\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
= Ar
\biggl(
A0
ArL(\varphi r)p
\biggr) \alpha
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta =
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)\alpha p
A\alpha
0A
1 - \alpha
r .
Зважаючи на означення (2.7), звiдси отримуємо нерiвнiсть (2.4) з константою (2.5). Очевидно,
отримана нерiвнiсть є точною на класi \Omega r
p,\lambda i обертається в рiвнiсть для функцiї x = Ar\varphi \lambda ,r.
Покажемо тепер, що з нерiвностi (2.4) з константою, що визначена рiвнiстю (2.5), випливає
рiвнiсть (2.6), тобто розв’язок задачi Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої
гранi (2.3).
Справдi, зафiксуємо довiльну функцiю x \in \Omega r
p(A0, Ar). Тодi має мiсце включення x \in \Omega r
p,\lambda ,
де \lambda задовольняє рiвнiсть A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p. Застосовуючи до функцiї x нерiвнiсть (2.4) з
константою, що визначена рiвнiстю (2.5), маємо
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)\alpha p
L(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
400 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
Враховуючи далi рiвнiсть (2.8), її аналог L(\varphi \lambda ,r)p = \lambda - (r+1/p)L(\varphi r)p та означення \alpha , отри-
муємо
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq
\lambda r - k+1/q\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
\lambda (r+1/p)\alpha L(\varphi \lambda ,r)\alpha p
L(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty =
\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
L(\varphi \lambda ,r)\alpha p
L(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty .
Застосовуючи означення (1.10) класу \Omega r
p(A0, Ar) i рiвнiсть A0 = ArL(\varphi \lambda ,r)p, отримуємо
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq
\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
L(\varphi \lambda ,r)\alpha p
\bigl(
ArL(\varphi \lambda ,r)p
\bigr) \alpha
A1 - \alpha
r = Ar\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta .
Зрозумiло, що отримана оцiнка є точною на класi \Omega r
p(A0, Ar) i обертається в рiвнiсть для
функцiї x = Ar\varphi \lambda ,r. Отже, спiввiдношення (2.6) доведено.
Теорему 1 доведено.
З теорем 1 i A одразу випливає точна нерiвнiсть колмогоровського типу.
Наслiдок 1. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, 2, . . . , r - 1; p, \delta , \lambda > 0; q \geq 1, якщо k \geq 1, i q \geq p,
якщо k = 0. Тодi має мiсце точна нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)\alpha p
L(x)\alpha p
\bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty , x \in \Omega r
p,\lambda , (2.9)
де \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
.
Екстремальними в (2.9) є функцiї вигляду x(t) = a \cdot \varphi \lambda ,r(t+ b), a, b \in \bfR .
Зауваження 1. Для 2\pi -перiодичних функцiй точну на класi Lr
\infty нерiвнiсть типу (2.9) (у
випадку k \geq 1, p = \infty , \delta = 2\pi ) довiв Лигун [26].
3. Теорема про взаємозв’язок на просторах тригонометричних полiномiв. Для A, p > 0
покладемо
Tn(A, p) :=
\bigl\{
T \in Tn : L(T )p \leq AL(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
\bigr\}
, (3.1)
де величина L(T )p означена рiвнiстю (1.5).
Теорема 2. Нехай n \in \bfN , k \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} ; A, p, \delta > 0; q \geq 1, якщо k \in \bfN , i q \geq p, якщо
k = 0. Тодi задача Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої гранi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T\in Tn(A,p)
\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
(3.2)
еквiвалентна задачi про точну на просторi Tn константу C в нерiвностi бернштейнiвського
типу \bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq Cnk+1/p - 1/qL(T )p, T \in Tn. (3.3)
При цьому
C =
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| q, n\delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ))p
. (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА З НЕРIВНОСТЯМИ КОЛМОГОРОВСЬКОГО ТИПУ 401
Доведення. За теоремою Б має мiсце спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
T\in Tn(A,p)
\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
= Ank\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta . (3.5)
Покажемо, що з цiєї рiвностi випливає нерiвнiсть (3.3) з константою (3.4). Зафiксуємо довiльний
полiном T \in Tn i покладемо
A :=
L(T )p
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
. (3.6)
Тодi T \in Tn(A, p) за означенням (3.1). Тому на пiдставi (3.5) i (3.6) маємо\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq Ank\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta
= nk \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
L(T )p = nk+1/p - 1/q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| q, n\delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ))p
L(T )p.
Таким чином, нерiвнiсть (3.3) з константою (3.4) доведено. Очевидно, отримана нерiвнiсть є
точною на просторi Tn i обертається в рiвнiсть для полiнома T = A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ).
Покажемо тепер, що з нерiвностi (3.3) з константою, що визначена рiвнiстю (3.4), випливає
рiвнiсть (3.5), тобто розв’язок задачi Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої
гранi (3.2).
Справдi, зафiксуємо довiльний полiном T \in Tn(A, p) i застосуємо до нього нерiвнiсть (3.3)
з константою, що визначена рiвнiстю (3.4). Будемо мати
\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq nk+1/p - 1/q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| q, n\delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ))p
L(T )p = nk \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
L(T )p.
Враховуючи далi означення класу Tn(A, p) (див. (3.1)), отримуємо
\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq nk \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p
AL(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ))p = Ank\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| q, \delta .
Зрозумiло, що отримана нерiвнiсть є точною на класi Tn(A, p) i обертається в рiвнiсть для
полiнома T = A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ). Тим самим спiввiдношення (3.5) доведено.
Теорему 2 доведено.
З теорем 2 i Б одразу випливає точна нерiвнiсть бернштейнiвського типу.
Наслiдок 2. Нехай n \in \bfN , k \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} ; A, p, \delta > 0; q \geq 1, якщо k \in \bfN , i q \geq p, якщо
k = 0. Тодi має мiсце точна на просторi Tn нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| T (k)
\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq nk+1/p - 1/q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| q, n\delta
L(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ))p
L(T )p. (3.7)
Екстремальними в (3.7) є полiноми вигляду T (\cdot ) = a \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot + b), a, b \in \bfR .
Зауваження 2. Точну нерiвнiсть (3.7) (у випадку k \geq 1, p = \infty i \delta = 2\pi ) отримали
Кальдерон i Клейн [27].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
402 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
4. Теорема про взаємозв’язок на просторах сплайнiв. Для A, h, p > 0 покладемо
\sigma h,r(A, p) :=
\bigl\{
s(\cdot + \tau ) : s \in \sigma h,r, L(s)p \leq AL(\varphi \lambda ,r)p, \tau \in \bfR
\bigr\}
, (4.1)
де величина L(s)p означена рiвнiстю (1.5). Зазначимо, що для вiдповiдного \tau має мiсце вклю-
чення \varphi \lambda ,r(\cdot + \tau ) \in \sigma h,r, де \lambda = \pi /h.
Теорема 3. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, . . . , r - 1; A, p, \delta , h > 0; \lambda = \pi /h; q \geq 1, якщо k \geq 1, i
q \geq p, якщо k = 0. Тодi задача Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої гранi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \sigma h,r(A,p)
\bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
(4.2)
еквiвалентна задачi про точну на просторах \sigma h,r константу K в нерiвностi бернштейнiв-
ського типу
\| s(k)\| q, \delta \leq \lambda k+1/p - 1/q \cdot K \cdot L(s)p, s \in \sigma h,r. (4.3)
При цьому
K =
\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)p
. (4.4)
Доведення. За теоремою В має мiсце рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \sigma h,r(A,p)
\| s(k)\| q, \delta = A\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta . (4.5)
Покажемо, що з цiєї рiвностi випливає нерiвнiсть (4.3) з константою (4.4). Зафiксуємо довiльний
сплайн s \in \sigma h,r i покладемо
A :=
L(s)p
L(\varphi \lambda ,r)p
. (4.6)
Тодi s \in \sigma h,r(A, p) за означенням (4.1) i на пiдставi (4.5), (4.6) маємо
\| s(k)\| q, \delta \leq A\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta =
\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
L(\varphi \lambda ,r)p
L(s)p.
Враховуючи далi рiвнiсть (2.8) та її аналог L(\varphi \lambda ,r)p = \lambda - (r+1/p)L(\varphi r)p, отримуємо
\| s(k)\| q, \delta \leq
\lambda - (r - k+1/q)\| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
\lambda - (r+1/p)L(\varphi r)p
L(s)p = \lambda k+1/p - 1/q \| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)p
L(s)p.
Таким чином, нерiвнiсть (4.3) з константою (4.4) доведено. Очевидно, отримана нерiвнiсть
є точною на класi \sigma h,r i обертається в рiвнiсть для довiльного зсуву сплайна s = \varphi \lambda ,r.
Покажемо тепер, що з нерiвностi (4.3) з константою, що визначена рiвнiстю (4.4), випливає
рiвнiсть (4.5), тобто розв’язок задачi Боянова – Найдьонова про знаходження точної верхньої
гранi (4.2).
Справдi, зафiксуємо довiльний сплайн s \in \sigma h,r(A, p) i застосуємо до нього нерiвнiсть (4.3)
з константою, що визначена рiвнiстю (4.4). Будемо мати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI БОЯНОВА – НАЙДЬОНОВА З НЕРIВНОСТЯМИ КОЛМОГОРОВСЬКОГО ТИПУ 403
\| s(k)\| q, \delta \leq \lambda k+1/p - 1/q \| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)p
L(s)p =
\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
L(\varphi \lambda ,r)p
L(s)p.
Враховуючи далi означення класу \sigma h,r(A, p) (див. (4.1)), одержуємо
\bigm\| \bigm\| s(k)\bigm\| \bigm\|
q, \delta
\leq
\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta
L(\varphi \lambda ,r)p
AL(\varphi \lambda ,r)p = A\| \varphi \lambda ,r - k\| q, \delta .
Зрозумiло, що отримана нерiвнiсть є точною на класi \sigma h,r(A, p) i обертається в рiвнiсть для
довiльного зсуву сплайна s = A\varphi \lambda ,r. Таким чином, спiввiдношення (4.5) доведено.
Теорему 3 доведено.
З теорем 3 i В одразу випливає точна нерiвнiсть бернштейнiвського типу.
Наслiдок 3. Нехай r \in \bfN , k = 0, 1, . . . , r - 1; A, p, \delta , h > 0; \lambda = \pi /h; q \geq 1, якщо k \geq 1, i
q \geq p, якщо k = 0. Тодi має мiсце точна на класi \sigma h,r нерiвнiсть
\| s(k)\| q, \delta \leq \lambda k+1/p - 1/q \| \varphi r - k\| q, \lambda \delta
L(\varphi r)p
L(s)p. (4.7)
Екстремальним в (4.7) є вiдповiдний зсув сплайнiв вигляду s(t) = a \cdot \varphi \lambda ,r(t), a \in \bfR .
Зауваження 3. Для 2\pi -перiодичних сплайнiв s \in Sn,r точну нерiвнiсть (4.7) (у випадку
k \geq 1, p = \infty i \delta = 2\pi ) довiв Лигун [28].
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
2. В. Ф. Бабенко, Исследования Днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодиче-
ских функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5 – 29 (2000).
3. M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lecture Notes in Math., 1536, Springer-
Verlag, Berlin (1992).
4. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных
на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579 – 589 (2003).
5. V. A. Kofanov, On the relationship between sharp Kolmogorov-type inequalities and sharp Kolmogorov – Remez-type
inequalities, Ukr. Math. J., 73, № 4, 592 – 600 (2021).
6. E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approx., 38, 101 – 132
(2013).
7. S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, Constr. Approx., 52, 233 – 246 (2020).
8. V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials, and splines, Ukr.
Math. J., 68, № 2, 253 – 268 (2016).
9. V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, polynomials,
and splines, Ukr. Math. J., 69, № 2, 205 – 223 (2017).
10. A. E. Gaidabura, V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with
given comparison function, Ukr. Math. J., 69, № 11, 1710 – 1726 (2017).
11. V. A. Kofanov, Sharp Kolmogorov – Remez-type inequalities for periodic functions of low smoothness, Ukr. Math. J.,
72, № 4, 555 – 567 (2020).
12. V. A. Kofanov, I. V. Popovich, Sharp Remez-type inequalities of various metrics with asymmetric restrictions imposed
on the functions, Ukr. Math. J., 72, № 7, 1068 – 1079 (2020).
13. V. A. Kofanov, T. V. Olexandrova, A sharp Remez type inequalities which estimates Lq -norm of a function with the
help of its Lp -norm, Ukr. Math. J., 74, № 5, 635 – 649 (2022).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
404 ВОЛОДИМИР КОФАНОВ
14. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
15. P. Erdös, Open problems, Open Problems in Approximation Theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapure (1994),
p. 238 – 242.
16. В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр.
мат. журн., 66, № 2, 216 – 225 (2014).
17. A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35,
№ 2, 148 – 168 (1982).
18. В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси,
Укр. мат. журн., 61, № 6, 765 – 776 (2009).
19. V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy – Kolmogorov type, East
J. Approx., 16, № 4, 313 – 334 (2010).
20. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
21. В. А. Кофанов, Задача Боянова – Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую
производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368 – 381 (2019).
22. В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими
производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 636 – 648 (2012).
23. В. А. Кофанов, Задача Боянова – Найдьонова для диференцiйовних функцiй i задача Ердьоша для полiномiв та
сплайнiв, Укр. мат. журн., 75, № 2, 182 – 197 (2023).
24. В. А. Кофанов, Задача Боянова – Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных
метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786 – 800 (2019).
25. V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230 –
242 (2015).
26. A. A. Ligun, Inequalities for upper bounds of functionals, Anal. Math., 2, № 2, 11 – 40 (1976).
27. A. P. Calderon, G. Klein, On an extremum problem concerning trigonometrical polynomials, Studia Math., 12,
166 – 169 (1951).
28. А. А. Лигун, Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых
классов функций, Мат. заметки, 19, № 6, 913 – 926 (1976).
Одержано 01.07.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7656 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:57Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b5/02f33d44ef462a26a4fb5e70c28a5cb5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76562024-06-19T00:35:19Z Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities Взаємозв'язок задачі Боянова–Найдьонова з нерівностями колмогоровського типу Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Boyanov-Naydenov problem Kolmogorov-type inequalities Relationship theorem Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities and Relationship theorem Задача Боянова-Найдьонова Нерівності Колмогоровського типу Теорема про взаємозв'язок Задачі Боянова-Найдьонова та її взаємозв'язок з нерівностями Колмогоровського типу UDC 517.5 We prove that the Boyanov–Naidenov problem&nbsp;$\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$&nbsp;on the classes of functions&nbsp;$\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$&nbsp;where $q \ge 1$ for $k\ge 1$ and $q \ge p$ for $k=0,$ is equivalent to the problem of finding the sharp constant $C = C(\lambda)$&nbsp;in the Kolmogorov-type inequality&nbsp;\begin{gather}\|x^{(k)}\|_{q,\, \delta} \leq C L(x)_{p}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in \Omega^{r}_{p, \lambda}, \tag{1}\end{gather}&nbsp;where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$&nbsp;$\|x\|_{p,\, \delta}:=\sup \{\|x\|_{L_p[a,\, b]}\!\colon&nbsp;&nbsp;a, b \in {\rm \bf R},\ 0&lt; b-a \le \delta \},$ $\delta &gt; 0,$&nbsp;$\Omega^{\,r}_{p, \lambda}:= \bigcup \{\Omega^{\,r}_p(A_0, A_r)\colon A_0 = A_r L(\varphi_{\lambda, r})_p \},$ $\lambda &gt; 0,$&nbsp;$\varphi_{\lambda, r}$ is a contraction of the ideal Euler spline of order $r,$ and&nbsp;$L(x)_p:=\sup\big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|&gt;0,\ t\in (a, b)\big\}.$ In particular, we obtain a sharp inequality of the form (1) on the classes&nbsp;&nbsp;$\Omega^{\,r}_{p, \lambda},$ $\lambda &gt; 0.$&nbsp;We also prove the theorems on relationships for the Boyanov–Naidenov problems on the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the relevant sharp Bernstein-type inequalities. УДК 517.5 Встановлено, що задача Боянова–Найдьонова&nbsp;$\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$&nbsp;на класах функцій&nbsp;$\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$&nbsp;де $q \ge 1,$ якщо $k\ge 1,$ і $q \ge p,$ якщо $k=0,$ еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності колмогоровського типу&nbsp;\begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C L(x)_{p}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha},&nbsp;\quad x\in \Omega^{r}_{p, \lambda},&nbsp;\tag{1}\end{gather}&nbsp;де $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$&nbsp;$\|x\|_{p,\, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0&lt; b-a \le \delta \},$ $\delta &gt; 0,$&nbsp;$\Omega^{\,r}_{p, \lambda}:= \bigcup \big\{\Omega^{\,r}_p(A_0, A_r)\colon A_0 = A_r L(\varphi_{\lambda, r})_p\big\},$ $\lambda &gt; 0,$ $\varphi_{\lambda, r}$ --- стиск ідеального сплайна Ейлера порядку $r,$&nbsp;$L(x)_p:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|&gt;0,\ t\in (a, b) \big\}.$ Зокрема, отримано точну на класах $\Omega^{\,r}_{p, \lambda},$ $\lambda &gt; 0,$ нерівність вигляду (1).&nbsp;Теореми про взаємозв'язок і наслідки з них (точні нерівності бернштейнівського типу) доведено також для задачі Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів та сплайнів.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7656 10.3842/umzh.v76i3.7656 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 3 (2024); 395 - 404 Український математичний журнал; Том 76 № 3 (2024); 395 - 404 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7656/9858 Copyright (c) 2024 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title | Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title_alt | Взаємозв'язок задачі Боянова–Найдьонова з нерівностями колмогоровського типу |
| title_full | Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title_fullStr | Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title_full_unstemmed | Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title_short | Relationship between the Boyanov–Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities |
| title_sort | relationship between the boyanov–naydenov problem and kolmogorov-type inequalities |
| topic_facet | Boyanov-Naydenov problem Kolmogorov-type inequalities Relationship theorem Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type inequalities and Relationship theorem Задача Боянова-Найдьонова Нерівності Колмогоровського типу Теорема про взаємозв'язок Задачі Боянова-Найдьонова та її взаємозв'язок з нерівностями Колмогоровського типу |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7656 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovv relationshipbetweentheboyanovnaydenovproblemandkolmogorovtypeinequalities AT kofanovvladimiraleksandrovič relationshipbetweentheboyanovnaydenovproblemandkolmogorovtypeinequalities AT kofanovvolodimir relationshipbetweentheboyanovnaydenovproblemandkolmogorovtypeinequalities AT kofanovv vzaêmozv039âzokzadačíboânovanajdʹonovaznerívnostâmikolmogorovsʹkogotipu AT kofanovvladimiraleksandrovič vzaêmozv039âzokzadačíboânovanajdʹonovaznerívnostâmikolmogorovsʹkogotipu AT kofanovvolodimir vzaêmozv039âzokzadačíboânovanajdʹonovaznerívnostâmikolmogorovsʹkogotipu |