On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups
UDC 512.542 Let $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$ be some partition of the set of all primes $\Bbb{P}$ and let $\Pi$ be a nonempty subset of the set $\sigma.$  A set ${\cal H}$ of subgroups of a finite group $G$ is said to be a \emph{complete Hall $\Pi$-set} of $G$ if every...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/768 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507098266206208 |
|---|---|
| author | Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. Ху, Бин Хуан, Цзяньхун Адарченко, Никита М. Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. |
| author_facet | Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. Ху, Бин Хуан, Цзяньхун Адарченко, Никита М. Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. |
| author_sort | Hu, B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-02-10T11:31:24Z |
| description | UDC 512.542
Let $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$ be some partition of the set of all primes $\Bbb{P}$ and let $\Pi$ be a nonempty subset of the set $\sigma.$  A set ${\cal H}$ of subgroups of a finite group $G$ is said to be a \emph{complete Hall $\Pi$-set} of $G$ if every member of ${\cal H}$ is a Hall $\sigma _{i}$-subgroup of $G$ for some $\sigma _{i}\in \Pi$ and ${\cal H}$ contains exactly one Hall $\sigma_{i}$-subgroup of $G$ for every $\sigma _{i}\in \Pi$ such that $\sigma_i\cap\pi(G)\neq\varnothing.$ A subgroup $A$ of $G$ is called (i) {${\cal H}^{G}$-permutable} if $AH^{x}=H^{x}A$ for $H\in {\cal H}$ and $x\in G$; (ii) {$\Pi$-permutable in $G$} if $A$ is ${\cal H}^{G}$-permutable for some complete Hall $\Pi$-set $\cal H$ of $G.$ 
We study the influence of $\Pi$-permutable subgroups on the structure of $G.$ In particular, we prove that if $\pi= \displaystyle\bigcup\nolimits_{\sigma_{i}\in \Pi} \sigma_{i}$ and $G =AB,$ where $A$ and $B$ are ${\cal H}^{G}$-permutable $\pi$-separable (respectively, $\pi$-closed) subgroups of $G,$ then $G$ is also $\pi$-separable (respectively, $\pi$-closed).  Some known results are generalized. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i10.768 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer
Open Menu
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Current
Archives
Submissions
Major topics of interest
About
About Journal
Editorial Team
Ethics & Disclosures
Contacts
Search
Register
Login
Home
/
Login
Login
Required fields are marked with an asterisk: *
Subscription required to access item. To verify subscription, log in to journal.
Login
Username or Email
*
Required
Password
*
Required
Forgot your password?
Keep me logged in
Login
Register
Language
English
Українська
Information
For Readers
For Authors
For Librarians
subscribe
Subscribe
Latest publications
Make a Submission
Make a Submission
STM88 menghadirkan Link Gacor dengan RTP tinggi untuk peluang menang yang lebih sering! Bergabunglah sekarang dan buktikan keberuntungan Anda!
Pilih STM88 sebagai agen toto terpercaya Anda dan nikmati kenyamanan bermain dengan sistem betting cepat, result resmi, dan bonus cashback harian.
|
| id | umjimathkievua-article-768 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:55Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/24/25e88e4b42a15526d3528a9788b9f624 |
| spelling | umjimathkievua-article-7682026-02-10T11:31:24Z On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups О $\Pi$-перестановочных подгруппах конечных групп On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. Ху, Бин Хуан, Цзяньхун Адарченко, Никита М. Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. . UDC 512.542 Let $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$ be some partition of the set of all primes $\Bbb{P}$ and let $\Pi$ be a nonempty subset of the set $\sigma.$  A set ${\cal H}$ of subgroups of a finite group $G$ is said to be a \emph{complete Hall $\Pi$-set} of $G$ if every member of ${\cal H}$ is a Hall $\sigma _{i}$-subgroup of $G$ for some $\sigma _{i}\in \Pi$ and ${\cal H}$ contains exactly one Hall $\sigma_{i}$-subgroup of $G$ for every $\sigma _{i}\in \Pi$ such that $\sigma_i\cap\pi(G)\neq\varnothing.$ A subgroup $A$ of $G$ is called (i) {${\cal H}^{G}$-permutable} if $AH^{x}=H^{x}A$ for $H\in {\cal H}$ and $x\in G$; (ii) {$\Pi$-permutable in $G$} if $A$ is ${\cal H}^{G}$-permutable for some complete Hall $\Pi$-set $\cal H$ of $G.$  We study the influence of $\Pi$-permutable subgroups on the structure of $G.$ In particular, we prove that if $\pi= \displaystyle\bigcup\nolimits_{\sigma_{i}\in \Pi} \sigma_{i}$ and $G =AB,$ where $A$ and $B$ are ${\cal H}^{G}$-permutable $\pi$-separable (respectively, $\pi$-closed) subgroups of $G,$ then $G$ is also $\pi$-separable (respectively, $\pi$-closed).  Some known results are generalized. Пусть$\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$ --- некоторое разбиение множества всех простых чисел $\Bbb{P}$ и $\Pi$ --- непустое подмножетсво множества $\sigma$.Множество ${\cal H}$ подгрупп конечной группы $G$ называется \emph{полным холловым $\Pi$-множеством} в $G$, если каждый член из ${\cal H}$ является холловой $\sigma _{i}$-подгруппой в $G$ для некоторого $\sigma _{i}\in \Pi$ и ${\cal H}$ содержит в точности одну холлову $\sigma_{i}$-подгруппу из $G$ для каждого $\sigma _{i}\in \Pi$, такого что $\sigma_i\cap\pi(G)\neq\emptyset$.Подгруппа $A$ из $G$ называется: (i) \emph{${\cal H}^{G}$-перестановочной}, если$AH^{x}=H^{x}A$ для всех $H\in {\cal H}$ и $x\in G$; (ii) \emph{$\Pi$-перестановочной в $G$}, если$A$ ${\cal H}^{G}$-перестановочна для некоторого полного холлова $\Pi$-множества $\cal H$ из $G$. Нами изучается влияние $\Pi$-перестановочных подгрупп на структуру группы $G$.В частности, нами доказывается, что в случае, когда $\pi= \bigcup _{\sigma_{i}\in \Pi} \sigma_{i}$ и$G =AB$, где $A$ и $B$ ${\cal H}^{G}$-перестановочные $\pi$-сепарабельные (соответственно, $\pi$-замкнутые) подгруппы из $G$,$G$ также $\pi$-сепарабельна (соответственно, $\pi$-замкнута). Получено обобщение некоторых известных результатов. УДК 512.542 ПРО $\Pi$-ПЕРЕСТАВНI ПIДГРУПИ СКIНЧЕННИХ ГРУП Нехай $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$~--- деяке розбиття множини всіх простих чисел $\Bbb{P}$ і $\Pi$ --- непорожня підмножина множини $\sigma.$  Множина ${\cal H}$ підгруп скінченної групи $G$ називається \textit{повною холлівською $\Pi$-множиною} в $G,$ якщо кожен член з ${\cal H}$ є холлівською $\sigma _{i}$-підгрупою в $G$ для деякого $\sigma _{i}\in \Pi$ і ${\cal H}$ містить точно одну холлівську $\sigma_{i}$-підгрупу з $G$ для кожного $\sigma _{i}\in \Pi$ такого, що $\sigma_i\cap \pi(G)\neq\varnothing.$  Підгрупа $A$ з $G$ називається:  (i) {${\cal H}^{G}$-переставною}, якщо $AH^{x}=H^{x}A$ для всіх $H\in {\cal H}$ і $x\in G;$ (ii) {$\Pi$-переставною в $G,$} якщо $A$ є ${\cal H}^{G}$-переставною для деякої повної $\Pi$-множини $\cal H$~в~$G.$  У цій статті вивчено вплив $\Pi$-переставних підгруп на структуру групи $G.$  Зокрема, доведено таке твердження:  якщо $\pi= \displaystyle\bigcup\nolimits_{\sigma_{i}\in \Pi} \sigma_{i}$ та $G =AB,$ де $A$ і $B$ є ${\cal H}^{G}$-переставними $\pi$-сепарабельними (відповідно, $\pi$-замкненими) підгрупами $G,$ то  $G$ також має бути $\pi$-сепарабельною (відповідно, $\pi$-замкненою). Крім того, узагальнено деякі відомі результати.   Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-02-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/768 10.37863/umzh.v73i10.768 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 10 (2021); 1423-1431 Український математичний журнал; Том 73 № 10 (2021); 1423-1431 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/768/9125 Copyright (c) 2021 Цзяньхун Хуан, Бин Ху, Никита М. Адарченко |
| spellingShingle | Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. Ху, Бин Хуан, Цзяньхун Адарченко, Никита М. Hu, B. Huang, J. Adarchenko, N. M. On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title | On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_alt | О $\Pi$-перестановочных подгруппах конечных групп On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_full | On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_fullStr | On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_full_unstemmed | On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_short | On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups |
| title_sort | on $\pi$-permutable subgroups in finite groups |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/768 |
| work_keys_str_mv | AT hub onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT huangj onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT adarchenkonm onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT hubin onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT huanczânʹhun onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT adarčenkonikitam onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT hub onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT huangj onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT adarchenkonm onpipermutablesubgroupsinfinitegroups AT hub opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT huangj opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT adarchenkonm opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT hubin opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT huanczânʹhun opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT adarčenkonikitam opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT hub opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT huangj opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp AT adarchenkonm opiperestanovočnyhpodgruppahkonečnyhgrupp |