Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions
UDC 517.5 For a function $f$ from the Sobolev space $W^{1,p}(C),$ where $C\subset R^d$ is an open convex cone, we establish a sharp inequality  estimating $\| f\|_{L_{\infty}}$ via the $L_{p}$-norm of its gradient and a seminorm of the function. With the help of this inequa...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7680 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512705958379520 |
|---|---|
| author | Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Бабенко, Владислав Бабенко, Віра Коваленко, Oлег Парфінович, Наталія |
| author_facet | Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Бабенко, Владислав Бабенко, Віра Коваленко, Oлег Парфінович, Наталія |
| author_sort | Babenko, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:49Z |
| description | UDC 517.5
For a function $f$ from the Sobolev space $W^{1,p}(C),$ where $C\subset R^d$ is an open convex cone, we establish a sharp inequality  estimating $\| f\|_{L_{\infty}}$ via the $L_{p}$-norm of its gradient and a seminorm of the function. With the help of this inequality, we prove a sharp inequality estimating the ${L_{\infty}}$-norm of the Radon-Nikodym derivative of a charge defined on Lebesgue measurable subsets of  $C$ via the $L_p$-norm of the gradient of this derivative and the seminorm of the charge.  In the case where $C=R_+^m\times R^{d-m},$ $0\le m\le d,$ we obtain inequalities estimating the ${L_{\infty}}$-norm of a mixed derivative of the function $f\colon C\to R$ via its ${L_{\infty}}$-norm and the $L_p$-norm of the gradient of mixed derivative of this function.  |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i10.7680 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i10.7680
УДК 517.5
Владислав Бабенко (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара),
Вiра Бабенко (Унiверситет Дрейка, Де-Мойн, США),
Oлег Коваленко, Наталiя Парфiнович1 (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара)
ДЕЯКI ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА – НАДЯ
У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
For a function f from the Sobolev space W 1,p(C), where C \subset \BbbR d is an open convex cone, we establish a sharp inequality
estimating \| f\| L\infty via the Lp -norm of its gradient and a seminorm of the function. With the help of this inequality, we
prove a sharp inequality estimating the L\infty -norm of the Radon – Nikodym derivative of a charge defined on Lebesgue
measurable subsets of C via the Lp -norm of the gradient of this derivative and the seminorm of the charge. In the case where
C = \BbbR m
+ \times \BbbR d - m, 0 \leq m \leq d, we obtain inequalities estimating the L\infty -norm of a mixed derivative of the function f :
C \rightarrow \BbbR via its L\infty -norm and the Lp -norm of the gradient of mixed derivative of this function.
Для функцiй f простору Соболєва W 1,p(C) (C \subset \BbbR d — вiдкритий опуклий конус) отримано точну нерiвнiсть,
яка оцiнює \| f\| L\infty через Lp -норму її градiєнта i деяку її напiвнорму. За допомогою цiєї нерiвностi доведено
точну нерiвнiсть, яка оцiнює L\infty -норму похiдної Радона – Нiкодима заряду, означеного на вимiрних за Лебегом
пiдмножинах C, через Lp -норму градiєнта цiєї похiдної та значення на ньому деякої напiвнорми. У випадку
C = \BbbR m
+ \times \BbbR d - m, 0 \leq m \leq d, отримано нерiвностi, якi оцiнюють L\infty -норму мiшаної похiдної функцiї f :
C \rightarrow \BbbR через L\infty -норму функцiї та Lp -норму градiєнта її мiшаної похiдної.
1. Вступ. Нерiвностi для норм промiжних похiдних функцiй однiєї або багатьох змiнних
вiдiграють важливу роль у багатьох галузях аналiзу та його застосуваннях. Особливу увагу
привертають точнi нерiвностi такого роду, серед яких нерiвностi Ландау [1], Колмогорова [2]
та Надя [3] є одними з найяскравiших. Огляд вiдомих результатiв та подальшi посилання можна
знайти в [4, 5]. Нерiвностi для похiдних Радона – Нiкодима зарядiв, визначених на вимiрних
за Лебегом пiдмножинах вiдкритого конуса C \subset \BbbR d, а також зарядiв, визначених на вимiрних
пiдмножинах метричного простору з мiрою, отримано в [6, 7].
У цiй роботi для функцiй f простору Соболєва W 1,p(C) (C \subset \BbbR d — вiдкритий конус)
отримано точну нерiвнiсть типу Надя, яка оцiнює \| f\| L\infty (C) через Lp(C)-норму її градiєн-
та i деяку її напiвнорму. За допомогою цiєї нерiвностi доведено точну нерiвнiсть типу Лан-
дау – Колмогорова, яка оцiнює L\infty (C)-норму похiдної Радона – Нiкодима заряду, означеного на
вимiрних пiдмножинах C, через Lp(C)-норму градiєнта цiєї похiдної та значення на зарядi
деякої напiвнорми. У випадку C = \BbbR m
+ \times \BbbR d - m, 0 \leq m \leq d, отримано нерiвностi, якi оцi-
нюють L\infty (C)-норму мiшаної похiдної функцiї f : C \rightarrow \BbbR через L\infty (C)-норму функцiї та
Lp(C)-норму градiєнта її мiшаної похiдної, точнi для m = 0, 1. Насамкiнець обговорено деякi
застосування одержаних результатiв.
2. Позначення i деякi допомiжнi результати. Для x, y \in \BbbR d, d \geq 1, позначимо через
(x, y) скалярний добуток x та y. Нехай K \subset \BbbR d — вiдкрита опукла симетрична щодо \theta
обмежена множина з \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}K. Для x \in \BbbR d позначимо через | x| K норму елемента x, що
породжена множиною K, тобто | x| K = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \lambda > 0 : x \in \lambda K\} . Нехай також | z| K\circ = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ (x, z) :
| x| K \leq 1\} — спряжена норма. Скрiзь далi C \subset \BbbR d — вiдкритий опуклий конус, \mu — мiра Лебега
в C i p\prime = p/(p - 1) для p \geq 1.
1 Вiдповiдальна за листування, e-mail: parfinovich@mmf.dnulive.dp.ua.
c\bigcirc ВЛАДИСЛАВ БАБЕНКО, ВIРА БАБЕНКО, OЛЕГ КОВАЛЕНКО, НАТАЛIЯ ПАРФIНОВИЧ, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10 1347
1348 ВЛАДИСЛАВ БАБЕНКО, ВIРА БАБЕНКО, OЛЕГ КОВАЛЕНКО, НАТАЛIЯ ПАРФIНОВИЧ
Для вимiрної множини Q \subset C через Lp(Q), 1 \leq p \leq \infty , позначимо простори вимiрних
функцiй f : Q \rightarrow \BbbR з вiдповiдними нормами \| \cdot \| Lp(Q); через L\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}(C) — простiр локально
iнтегровних, тобто iнтегровних на кожному компактi Q \subset C, функцiй f : C \rightarrow \BbbR . У просторi
L\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}(C) розглянемо сiм’ю напiвнорм
\rfloor f\lceil h= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in C
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
hK\cap C
f(x+ u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , h > 0, \rfloor f\lceil := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h>0
\rfloor f\lceil h.
Через L\rfloor \cdot \lceil h(C) (L\rfloor \cdot \lceil (C)) будемо позначати простори функцiй f \in L\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}(C) таких, що \rfloor f\lceil h< \infty
(вiдповiдно \rfloor f\lceil < \infty ). Зрозумiло, що L1(C) \subset L\rfloor \cdot \lceil (C).
Для локально iнтегровної функцiї f через \nabla f позначимо градiєнт функцiї f ; частин-
нi похiднi розумiємо в узагальненому сенсi. Нехай Q \subset \BbbR d — вiдкрита множина. Через
W 1,p(Q), 1 \leq p \leq \infty , позначимо простiр Соболєва функцiй f : Q \rightarrow \BbbR таких, що всi їхнi
(узагальненi) частиннi похiднi першого порядку належать Lp(Q). Для f \in W 1,p(Q) маємо
| \nabla f | K\circ \in Lp(Q).
Для h > 0 oзначимо функцiю gh : (0, h) \rightarrow \BbbR ,
gh(u) =
1
d \cdot \mu (K \cap C)
\biggl(
1
ud - 1
- u
hd
\biggr)
.
З [5] (лема 3), обчислюючи отриманий iнтеграл, виводимо
\| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C) = (d \cdot \mu (K \cap C))1/p
\prime
\left( h\int
0
td - 1gp
\prime
h (t)dt
\right) 1/p\prime
=
Ah
1 - d
p
\mu
- 1
p (K \cap C)
,
де (нижче B(\cdot , \cdot ) — B-функцiя Ейлера)
A = A(d, p) = d - 1B
1
p\prime
\biggl(
1 - (d - 1)p\prime
d
, p\prime + 1
\biggr)
. (1)
Означимо оператор Sh : L\rfloor \cdot \lceil h(C) \rightarrow L\infty (C),
Shf(x) =
1
hd\mu (K \cap C)
\int
hK\cap C
f(x+ y)dy.
Тепер очевидно, що наступна теорема є окремим випадком теореми 2 з [5].
Теорема 1. Нехай p \in (d,\infty ], h > 0 i f \in W 1,p(hK \cap C). Тодi
| f(\theta ) - Shf(\theta )| \leq \| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C)\| | \nabla f | K\circ \| Lp(hK\cap C).
Нерiвнiсть є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть для функцiй \alpha \cdot f + \beta , де \alpha , \beta \in \BbbR i
f(y) =
| y| K\int
0
gp
\prime - 1
h (u)du, y \in hK \cap C.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ДЕЯКI ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА – НАДЯ . . . 1349
3. Нерiвнoстi типу Надя. Використовуючи теорему 1, для всiх x \in C i f \in W 1,p(C)
отримуємо
| f(x) - Shf(x)| \leq \| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C)\| | \nabla f(x+ \cdot )| K\circ \| Lp(hK\cap C)
\leq \| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C)\| | \nabla f | K\circ \| Lp(C). (2)
Теорема 2. Якщо h > 0, p \in (d,\infty ] i f \in W 1,p(C) \cap L\rfloor \cdot \lceil h(C), то f \in L\infty (C) i
\| f\| L\infty (C) \leq \| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C)\| | \nabla f | K\circ \| Lp(C) + \mu - 1(K \cap C)h - d\rfloor f\lceil h. (3)
Нерiвностi (3) перетворюються на рiвностi для функцiй
fe,h(y) =
\left\{
\int h
| y| K
gp
\prime - 1
h (u)du, y \in hK \cap C,
0, y \in C \setminus hK.
(4)
Для кожної f \in W 1,p(C) \cap L\rfloor \cdot \lceil (C) виконується мультиплiкативна нерiвнiсть
\| f\| L\infty (C) \leq a(d, p)\mu - \alpha
d (K \cap C)\rfloor f\lceil 1 - \alpha \| | \nabla f | K\circ \| \alpha Lp(C), (5)
де
\alpha =
pd
p+ (p - 1)d
, a(d, p) =
\biggl(
(p - d)A(d, p)
pd
\biggr) \alpha \biggl( pd
p - d
+ 1
\biggr)
(6)
i A(d, p) означено в (1). Нерiвнiсть (5) є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть для кожної
функцiї fe,h, h > 0.
Якщо f \in W 1,p(C) \cap L1(C), то у нерiвностях (3) i (5) \rfloor f\lceil h i вiдповiдно \rfloor f\lceil можна
замiнити на \| f\| L1(C), i одержанi нерiвностi залишаться точними.
Доведення. Використовуючи (2), для кожного x \in C маємо
| f(x)| \leq | f(x) - Shf(x)| + \mu - 1(K \cap C)h - d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
hK\cap C
f(x+ y)dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq \| gh(| \cdot | K)\| Lp\prime (hK\cap C)\| | \nabla f | K\circ \| Lp(C) + \mu - 1(K \cap C)h - d\rfloor f\lceil h, (7)
звiдки випливають нерiвностi (3). Доведемо їх точнiсть. Оскiльки функцiя gh є невiд’ємною,
то | x| K \leq | y| K =\Rightarrow fe,h(x) \geq fe,h(y). Функцiя fe,h є неперервною. Тому \| fe,h\| L\infty (C) = f(\theta )
i, крiм того, перша нерiвнiсть в (7) перетворюється на рiвнiсть для x = \theta i функцiї fe,h. Згiдно
з теоремою 1, перша з нерiвностей у (2) при x = \theta перетворюється на рiвнiсть для функцiї
fe,h. Функцiя fe,h є нулем поза множиною hK \cap C, а отже,
\| | \nabla fe,h| K\circ \| Lp(hK\cap C) = \| | \nabla fe,h| K\circ \| Lp(C) i \rfloor fe,h\lceil h=
\int
hK\cap C
fe,h(y)dy.
Тому i другi нерiвностi у (2) та (7) також перетворюються на рiвностi, а отже, нерiвностi (3)
перетворюються на рiвностi для функцiй fe,h.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1350 ВЛАДИСЛАВ БАБЕНКО, ВIРА БАБЕНКО, OЛЕГ КОВАЛЕНКО, НАТАЛIЯ ПАРФIНОВИЧ
Зi спiввiдношень (1) i (3) випливає, що для всiх f \in W 1,p(C) \cap L\rfloor \cdot \lceil (C) i h > 0
\| f\| L\infty (C) \leq A(d, p)\mu
- 1
p (K \cap C)h
1 - d
p \| | \nabla f | K\circ \| Lp(C) + \mu - 1(K \cap C)h - d\rfloor f\lceil . (8)
Крiм того, \rfloor fe,h\lceil h = \rfloor fe,h\lceil при кожному h > 0, а тому нерiвнiсть (8) є точною i перетворюється
на рiвнiсть для функцiї fe,h.
Щоб отримати нерiвнiсть (5), достатньо в праву частину (8) пiдставити вираз
h =
\Biggl(
pd\mu
- 1
p\prime (K \cap C)\rfloor f\lceil
(p - d)A(d, p)\| | \nabla f | K\circ \| Lp(C)
\Biggr) p\prime
p\prime +d
.
Доведемо тепер твердження про точнiсть нерiвностi (5). Позначимо q =
1
\alpha
i q\prime =
1
1 - \alpha
.
Для кожного h > 0 розглянемо числа
u =
\Bigl(
qA(d, p)\mu
- 1
p (K \cap C)h
1 - d
p \| | \nabla f | K\circ \| Lp(C)
\Bigr) 1
q
i v =
\Bigl(
q\prime \mu - 1(K \cap C)h - d\rfloor f\lceil
\Bigr) 1
q\prime
.
Використовуючи нерiвнiсть (5), нерiвнiсть Юнга i безпосереднi обчислення, отримуємо
\| f\| L\infty (C) \leq a(d, p)\mu - \alpha
d (K \cap C)\rfloor f\lceil 1 - \alpha \| | \nabla f | K\circ \| \alpha Lp(C) = uv \leq uq
q
+
vq
\prime
q\prime
= A(d, p)\mu
- 1
p (K \cap C)h
1 - d
p \| | \nabla f | K\circ \| Lp(C) + \mu - 1(K \cap C)h - d\rfloor f\lceil .
Оскiльки нерiвнiсть (8) перетворюється на рiвнiсть для функцiї fe,h, то i нерiвнiсть (5) пере-
творюється на рiвнiсть для fe,h, а отже, є точною.
Останнє твердження теореми є очевидним.
Теорему доведено.
4. Нерiвностi типу Ландау – Колмогорова для зарядiв. Через \frakN (C) позначимо сiм’ю за-
рядiв \nu , означених на вимiрних за Лебегом пiдмножинах множини C i абсолютно неперервних
щодо мiри Лебега \mu (див., наприклад, [8], роздiл 5). Похiдну Радона – Нiкодима заряду \nu по
мiрi \mu будемо позначати через D\mu \nu . Сукупнiсть \frakN (C) є лiнiйним простором щодо стандар-
тного додавання i множення на дiйснi числа. Для h > 0 i \nu \in \frakN (C) введемо напiвнорми
\rceil \nu \lfloor h= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in C | \nu (x+ hK)| i \rceil \nu \lfloor = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}h>0\rceil \nu \lfloor h. Зрозумiло, що \rceil \nu \lfloor h=\rfloor D\mu \nu \lceil h i \rceil \nu \lfloor =\rfloor D\mu \nu \lceil . Че-
рез \frakN \rceil \cdot \lfloor h(C) (\frakN \rceil \cdot \lfloor (C)) позначимо множину зарядiв \nu \in \frakN (C), якi мають скiнченну напiвнорму
\rceil \cdot \lfloor h (вiдповiдно \rceil \cdot \lfloor ).
Застосовуючи теорему 2 до функцiї f = D\mu \nu , бачимо, що справджується така теорема.
Теорема 3. Якщо h > 0 i заряд \nu \in \frakN \rceil \cdot \lfloor h(C) є таким, що D\mu \nu \in W 1,p(C), то
\| D\mu \nu \| L\infty (C) \leq A\mu
- 1
p (K \cap C)h
1 - d
p \| | \nabla D\mu \nu | K\circ \| Lp(C) + \mu - 1(K \cap C)h - d\rceil \nu \lfloor h, (9)
де величина A(d, p) означена в (1). Нерiвнiсть (9) є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть
для заряду \nu e,h, що визначається рiвнiстю D\mu \nu e,h = fe,h, де функцiя fe,h означена в (4). Якщо
заряд \nu \in \frakN \rceil \cdot \lfloor (C) є таким, що D\mu \nu \in W 1,p(C), то виконується мультиплiкативна нерiвнiсть
\| D\mu \nu \| L\infty (C) \leq a(d, p)\mu - \alpha
d (K \cap C)\rfloor \nu \lceil 1 - \alpha \| | \nabla D\mu \nu | K\circ \| \alpha Lp(C), (10)
де \alpha i a(d, p) означенi в (6). Нерiвнiсть (10) є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть для
кожного заряду \nu такого, що D\mu \nu = fe,h, h > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ДЕЯКI ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА – НАДЯ . . . 1351
5. Нерiвностi, що мiстять Lp-норму градiєнта мiшаної похiдної. Нехай 0 \leq m \leq d,
C = \BbbR d
m,+ = \BbbR m
+ \times \BbbR d - m i K = ( - 1, 1)d. Тодi hK \cap C = (0, h)m \times ( - h, h)d - m, h > 0, i
| x| K = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | x1| , . . . , | xd| \} . Для \bfI = (1, . . . , 1) \in \BbbR d, локально iнтегровної функцiї f : C \rightarrow
\BbbR i стандартного базису \{ ei\} di=1 у \BbbR d покладемо \partial \bfI f =
\partial df
\partial x1 . . . \partial xd
(похiднi розумiємо в
узагальненому сенсi),
\Delta +
i,hf(x) = f(x+ hei) - f(x) i \Delta i,hf(x) = f(x+ hei) - f(x - hei).
Згiдно з теоремою Фубiнi, для майже всiх x \in \BbbR d
m,+ маємо\int
x+hK\cap C
\partial \bfI f(u)du = (\Delta +
1,h \circ . . . \circ \Delta
+
m,h \circ \Delta m+1,h \circ . . . \circ \Delta d,h)f(x). (11)
Легко бачити, що для оператора Sh,m : L\infty (C) \rightarrow L\infty (C)
Sh,mf(x) =
1
2d - mhd
\Bigl(
\Delta +
1,h \circ . . . \circ \Delta
+
m,h \circ \Delta m+1,h \circ . . . \circ \Delta d,h
\Bigr)
f(x),
Sh,mf(x) = Sh\partial \bfI f(x) \forall f \in L\infty (C) i \| Sh,m\| L\infty (C)\rightarrow L\infty (C) = 2mh - d.
(12)
Теорема 4. Для h > 0, K = ( - 1, 1)d, C = \BbbR d
m,+ i функцiї f \in L\infty (C) такої, що \partial \bfI f \in
W 1,p(C), виконується нерiвнiсть
\| \partial \bfI f\| L\infty (C) \leq A(d, p)h
1 - d
p 2
m - d
p \| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| Lp(C) + 2mh - d\| f\| L\infty (C), (13)
де A(d, p) означено в (1). Її можна записати в мультиплiкативнiй формi
\| \partial \bfI f\| L\infty (C) \leq a(d, p)2
\alpha
\Bigl(
m
d
- d
p
\Bigr)
\| f\| 1 - \alpha
L\infty (C)\| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| \alpha Lp(C), (14)
де \alpha i a(d, p) означенi в (6). Для m = 0 i m = 1 нерiвностi (13) та (14) точнi.
Доведення. Враховуючи, що \mu (K \cap C) = 2d - m, спiввiдношення (2) i (12), маємо
\| \partial \bfI f\| L\infty (C) \leq \| \partial \bfI f - Sh,mf\| L\infty (C) + \| Sh,m\| L\infty (C)\rightarrow L\infty (C)\| f\| L\infty (C)
= \| \partial \bfI f - Sh\partial \bfI f\| L\infty (C) + 2mh - d\| f\| L\infty (C)
\leq A(d, p) \cdot 2
m - d
p h
1 - d
p \| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| Lp(C) + 2mh - d\| f\| L\infty (C).
Нерiвнiсть (13) доведено. З нерiвностi (5) для функцiї \partial \bfI f i рiвностi (11) отримуємо
\| \partial \bfI f\| L\infty (C) \leq a(d, p)\mu - \alpha
d (K \cap C)\rfloor \partial \bfI f\lceil 1 - \alpha \| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| \alpha Lp(C)
\leq a(d, p)2
(m - d)\alpha
d
\Bigl(
2d\| f\| L\infty (C)
\Bigr) 1 - \alpha
\| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| \alpha Lp(C)
= a(d, p)2
\alpha
\Bigl(
m
d
- d
p
\Bigr)
\| f\| 1 - \alpha
L\infty (C)\| | \nabla \partial \bfI f | K\circ \| \alpha Lp(C),
i нерiвнiсть (14) доведено. Встановимо точнiсть нерiвностей (13) i (14) при m = 0. Для функцiї
fe,h, визначеної в (4), i функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1352 ВЛАДИСЛАВ БАБЕНКО, ВIРА БАБЕНКО, OЛЕГ КОВАЛЕНКО, НАТАЛIЯ ПАРФIНОВИЧ
Fe,h(x) =
x1\int
0
. . .
xd\int
0
fe,h(u)du
маємо \partial \bfI Fe,h = fe,h, | \nabla \partial \bfI Fe,h(\cdot )| K\circ = | \nabla fe,h(\cdot )| K\circ , i на пiдставi мiркувань симетрiї
2d\| Fe,h\| L\infty (C) = 2d
\int
(0,h)d
fe,h(u)du =
\int
( - h,h)d
fe,h(u)du =\rfloor fe,h\lceil h=\rfloor fe,h\lceil . (15)
Оскiльки для функцiї fe,h нерiвностi (3) та (5) перетворюються на рiвностi, то, враховую-
чи (15), переконуємося, що нерiвностi (13) i (14) при m = 0 є точними.
Доведемо точнiсть нерiвностей (13) i (14) у випадку m = 1. У цьому випадку hK \cap C =
(0, h)\times ( - h, h)d - 1 i \mu (K \cap C) = 2d - 1. Iснує таке число a \in (0, h), що\int
(0,a)\times ( - h,h)d - 1
fe,h(u)du =
\int
(a,h)\times ( - h,h)d - 1
fe,h(u)du. (16)
Розглянемо функцiю Ge,h(x) =
\int x1
a
\int x2
0
. . .
\int xd
0
fe,h(u)du. Для неї отримуємо \partial \bfI Ge,h = fe,h i
| \nabla \partial \bfI Ge,h(\cdot )| K\circ = | \nabla fe,h(\cdot )| K\circ .
Гiперплощини x1 = a та xj = 0, j = 2, . . . , d, розбивають множину (0, h) \times ( - h, h)d - 1
на 2d паралелепiпедiв \Pi 1, . . . ,\Pi 2d , до того ж з огляду на симетрiю графiка функцiї fe,h щодо
координатних гiперплощин i рiвностi (16) маємо\int
\Pi i
fe,h(u)du =
1
2d
\int
(0,h)\times ( - h,h)d - 1
fe,h(u)du, i = 1, . . . , 2d,
а тому \| Ge,h\| L\infty (C) =
1
2d
\int
(0,h)\times ( - h,h)d - 1
fe,h(u)du =
1
2d
\rfloor fe,h\lceil h=
1
2d
\rfloor fe,h\lceil . З цих рiвностей i
того, що нерiвностi (3) та (5) перетворюються на рiвностi для функцiї fe,h, отримуємо точнiсть
нерiвностей (13) i (14) при m = 1.
6. Деякi застосування. Нехай X, Y i Z — лiнiйнi простори з напiвнормами \| \cdot \| X , \| \cdot \| Y i
\| \cdot \| Z вiдповiдно. Лiнiйний оператор S : X \rightarrow Y називається обмеженим (пишемо S \in \scrL (X,Y )),
якщо
\| S\| X\rightarrow Y = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| Sx\| Y : \| x\| X \leq 1\} < \infty .
Нехай A : X \rightarrow Y,B : X \rightarrow Z — однорiднi оператори з областями визначення DA, DB \subset X,
DB \subset DA. Позначимо \frakM = \{ x \in DB : \| Bx\| Z \leq 1\} . Для оператора A i оператора S \in \scrL (X,Y )
U(A,S;\frakM ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| Ax - Sx\| Y : x \in \frakM \} .
Для довiльного S \in \scrL (X,Y ) i кожного x \in DB виконується нерiвнiсть типу Ландау – Колмого-
рова – Надя
\| Ax\| Y \leq \| Ax - Sx\| Y + \| S\| X\rightarrow Y \| x\| X \leq U(A,S;\frakM )\| Bx\| Z + \| S\| X\rightarrow Y \| x\| X . (17)
З теореми 2 випливає, що для операторiв A : f \mapsto \rightarrow f,B : f \mapsto \rightarrow | \nabla f | K\circ i S : f \mapsto \rightarrow Shf
нерiвнiсть (17) перетворюється на рiвнiсть для f = fe,h. З теореми 3 випливає, що для A :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ДЕЯКI ТОЧНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА – НАДЯ . . . 1353
\nu \mapsto \rightarrow D\mu \nu ,B : \nu \mapsto \rightarrow | \nabla D\mu \nu | K\circ i S : \nu \mapsto \rightarrow \nu (x+ hK \cap C)
\mu (hK \cap C)
нерiвнiсть (17) перетворюється на
рiвнiсть для \nu = \nu e,h. Нарештi, з теореми 4 випливає, що для A : f \mapsto \rightarrow \partial \bfI f,B : f \mapsto \rightarrow | \nabla \partial \bfI f | K\circ
i S : f \mapsto \rightarrow Sh,mf нерiвнiсть (17) перетворюється на рiвнiсть для f = Fe,h при m = 0 i для
f = Ge,h при m = 1.
Цi спостереження з урахуванням вiдомих загальних фактiв (див., наприклад, теореми 1, 2 [6]
i теорему 1 [7]) дозволяють розв’язати задачi наближення вiдповiдних необмежених операторiв
обмеженими та деякi пов’язанi задачi.
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальна за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнте-
ресiв.
Лiтература
1. E. Landau, Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion, Proc. London Math. Soc., 13, 43 – 49 (1913).
2. А. Н. Колмогоров, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале, Уч. зап. МГУ. Математика, 30, № 3, 3 – 13 (1939).
3. B. Sz.-Nagy, Über Integralungleichungen zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung, Acta Sci. Math., 10, 64 – 74
(1941).
4. В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
5. V. Babenko, O. Kovalenko, N. Parfinovych, On approximation of hypersingular integral operators by bounded ones,
J. Math. Anal. and Appl., 513, № 2, Article 126215 (2022).
6. V. F. Babenko, V. V. Babenko, O. V. Kovalenko, N. V. Parfinovych, On Landau – Kolmogorov type inequalities for
charges and their applications, Res. Math., 31, № 1б, 3 – 16 (2023).
7. V. F. Babenko, V. V. Babenko, O. V. Kovalenko, N. V. Parfinovych, Nagy type inequalities in metric measure spaces
and some applications; arXiv:2306.11016 (2023).
8. Yu. M. Berezanski, G. F. Us, Z. G. Sheftel, Functional analysis, Elsevier Sci. (2003).
Одержано 13.07.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-7680 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:02Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/7b8bb93ffc9a8bf76754701227722b10.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76802024-06-19T00:34:49Z Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions Деякі точні нерівності типу Ландау–Колмогорова–Надя у просторах Соболєва функцій багатьох змінних Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Бабенко, Владислав Бабенко, Віра Коваленко, Oлег Парфінович, Наталія Nagy and Landau -- Kolmogorov type inequality, charge, gradient, mixed derivative Нерівність типу Надя і Ландау -- Колмогорова, заряд, градієнт, мішана похідна UDC 517.5 For a function $f$ from the Sobolev space $W^{1,p}(C),$ where $C\subset R^d$ is an open convex cone, we establish a sharp inequality&nbsp; estimating $\| f\|_{L_{\infty}}$ via the $L_{p}$-norm of its gradient and a seminorm of the function.&nbsp;With the help of this inequality, we prove a sharp inequality estimating the ${L_{\infty}}$-norm of the Radon-Nikodym derivative of a charge defined on Lebesgue measurable subsets of&nbsp;&nbsp;$C$ via the $L_p$-norm of the gradient of this derivative and the seminorm of the charge.&nbsp;&nbsp;In the case where $C=R_+^m\times R^{d-m},$ $0\le m\le d,$ we obtain inequalities estimating the ${L_{\infty}}$-norm of a mixed derivative of the function $f\colon C\to R$ via its ${L_{\infty}}$-norm and the $L_p$-norm of the gradient of mixed derivative of this function.&nbsp; For a function $f$ from the Sobolev space $W^{1,p}(C),$ where $C\subset\RR^d$ is an open convex cone, we establish a sharp inequality&nbsp; estimating $\| f\|_{L_{\infty}}$ via the $L_{p}$-norm of its gradient and a seminorm of the function.&nbsp;With the help of this inequality, we prove a sharp inequality estimating the ${L_{\infty}}$-norm of the Radon-Nikodym derivative of a charge defined on Lebesgue measurable subsets of&nbsp;&nbsp;$C$ via the $L_p$-norm of the gradient of this derivative and the seminorm of the charge.&nbsp;&nbsp;In the case where $C=\RR_+^m\times \RR^{d-m},$ $0\le m\le d,$ we obtain inequalities estimating the ${L_{\infty}}$-norm of a mixed derivative of the function $f\colon C\to \RR$ via its ${L_{\infty}}$-norm and the $L_p$-norm of the gradient of mixed derivative of this function. УДК 517.5 Для функцій $f$ простору Соболєва $W^{1,p}(C)$ ($C\subset R^d$ - відкритий опуклий конус) отримано точну нерівність, яка оцінює $\| f\|_{L_{\infty}}$ через ${L_{p}}$-норму її градієнта і деяку її напівнорму.&nbsp;За допомогою цієї нерівності доведено точну нерівність, яка оцінює $ {L_{\infty}}$-норму похідної Радона-Нікодима заряду, означеного на вимірних за Лебегом підмножинах $C,$ через $L_p$-норму градієнта цієї похідної та значення на ньому деякої напівнорми.&nbsp;У випадку $C=R_+^m\times R^{d-m},$ $0\le m\le d,$ отримано нерівності, які оцінюють $ {L_{\infty}}$-норму мішаної похідної функції $f\colon C\to R$ через $ {L_{\infty}}$-норму функції та $L_p$-норму градієнта її мішаної похідної.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-10-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7680 10.3842/umzh.v75i10.7680 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 10 (2023); 1347 - 1353 Український математичний журнал; Том 75 № 10 (2023); 1347 - 1353 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7680/9527 Copyright (c) 2023 Наталія Вікторівна Парфінович |
| spellingShingle | Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Babenko, V. Babenko, V. Kovalenko, O. Parfinovych, N. Бабенко, Владислав Бабенко, Віра Коваленко, Oлег Парфінович, Наталія Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title_alt | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions Деякі точні нерівності типу Ландау–Колмогорова–Надя у просторах Соболєва функцій багатьох змінних |
| title_full | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title_fullStr | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title_full_unstemmed | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title_short | Some sharp Landau-Kolmogorov–Nagy-type inequalities in Sobolev spaces of multivariate functions |
| title_sort | some sharp landau-kolmogorov–nagy-type inequalities in sobolev spaces of multivariate functions |
| topic_facet | Nagy and Landau -- Kolmogorov type inequality charge gradient mixed derivative Нерівність типу Надя і Ландау -- Колмогорова заряд градієнт мішана похідна |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7680 |
| work_keys_str_mv | AT babenkov somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkov somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT kovalenkoo somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT parfinovychn somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkov somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkov somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT kovalenkoo somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT parfinovychn somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkovladislav somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkovíra somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT kovalenkooleg somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT parfínovičnatalíâ somesharplandaukolmogorovnagytypeinequalitiesinsobolevspacesofmultivariatefunctions AT babenkov deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT babenkov deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT kovalenkoo deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT parfinovychn deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT babenkov deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT babenkov deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT kovalenkoo deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT parfinovychn deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT babenkovladislav deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT babenkovíra deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT kovalenkooleg deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih AT parfínovičnatalíâ deâkítočnínerívnostítipulandaukolmogorovanadâuprostorahsobolêvafunkcíjbagatʹohzmínnih |