On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps
UDC 519.21 Consider a one-dimensional stochastic differential equation with jumps $$dX(t) = a(X(t))dt + \sum_{k = 1}^m b_k(X(t-))dZ_k(t),$$ where $Z_k,$ $k \in \{1, 2, \ldots , m\},$  are independent centered L\'evy processes with finite second moments...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7684 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512706417655808 |
|---|---|
| author | Yuskovych , V. Юськович, Віктор |
| author_facet | Yuskovych , V. Юськович, Віктор |
| author_sort | Yuskovych , V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:53Z |
| description | UDC 519.21
Consider a one-dimensional stochastic differential equation with jumps $$dX(t) = a(X(t))dt + \sum_{k = 1}^m b_k(X(t-))dZ_k(t),$$ where $Z_k,$ $k \in \{1, 2, \ldots , m\},$  are independent centered L\'evy processes with finite second moments.  We prove that if the coefficient $a(x)$ has a certain power asymptotics as $x \to \infty$ and the coefficients $b_k,$ $ k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ satisfy certain growth condition, then a solution $X(t)$ has the same asymptotics as the solution of $d x(t) = a(x(t))d t$ as $t \to \infty$ a.s. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i11.7684 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i11.7684
УДК 519.21
Вiктор Юськович1 (Нацiональний технiчний унiверситет України „КПI iменi Iгоря Сiкорського”, Київ)
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ
СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ
Consider a one-dimensional stochastic differential equation with jumps
dX(t) = a(X(t))dt+
m\sum
k=1
bk(X(t - ))dZk(t),
where Zk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , are independent centered Lévy processes with finite second moments. We prove that if the
coefficient a(x) has a certain power asymptotics as x \rightarrow \infty and the coefficients bk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , satisfy certain
growth condition, then a solution X(t) has the same asymptotics as the solution of dx(t) = a(x(t))dt as t \rightarrow \infty a.s.
Розглянуто одновимiрне стохастичне диференцiальне рiвняння зi стрибками
dX(t) = a(X(t))dt+
m\sum
k=1
bk(X(t - ))dZk(t),
де Zk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , — незалежнi центрованi процеси Левi зi скiнченними другими моментами. Доведено,
що якщо коефiцiєнт a(x) має деяку степеневу асимптотику при x \rightarrow \infty , а коефiцiєнти bk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} ,
задовольняють певну умову на зростання, то розв’язок X(t) м. н. має таку ж асимптотику при t \rightarrow \infty , що i
розв’язок звичайного диференцiального рiвняння dx(t) = a(x(t))dt.
1. Вступ. Як правило, розглядають два типи поведiнки розв’язкiв стохастичних диференцiаль-
них рiвнянь при t \rightarrow \infty : прямування до нескiнченностi та рекурентнiсть. У цiй статтi будемо
припускати, що розв’язок стохастичного диференцiального рiвняння прямує до нескiнченностi,
та дослiджувати його точну асимптотику.
Уперше це питання розглянули Гiхман i Скороход [3] для одновимiрного стохастичного
диференцiального рiвняння вигляду
dX(t) = a(X(t))dt+ b(X(t))dW (t), (1)
де W — одновимiрний вiнерiвський процес. Зокрема, вони знайшли достатнi умови того, що
X(t) \rightarrow +\infty , t \rightarrow \infty , i X(t) \sim x(t), t \rightarrow \infty , м.н., де x — розв’язок звичайного диференцiаль-
ного рiвняння
dx(t) = a(x(t))dt. (2)
Пiзнiше цю задачу дослiджували в роботi [4]. У роботi [1] розглянуто деякi типи неавтоном-
них стохастичних диференцiальних рiвнянь, а в статтях [9, 10] — стохастичнi диференцiальнi
рiвняння з негауссiвським шумом.
У монографiї [2] дослiджено питання прямування до нескiнченностi та рекурентностi
розв’язку системи лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь, а також поведiнку поляр-
ного кута розв’язку двовимiрного стохастичного диференцiального рiвняння, а в статтi [12] —
1 E-mail: viktyusk@gmail.com.
c\bigcirc ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ, 2023
1570 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1571
асимптотичну поведiнку багатовимiрних стохастичних диференцiальних рiвнянь шляхом порiв-
няння з лiнiйними звичайними диференцiальними рiвняннями. У статтi [13] розглянуто багато-
вимiрне стохастичне диференцiальне рiвняння вигляду (1) та дослiджено поведiнку розв’язку
при t \rightarrow \infty м.н.: умови прямування модуля розв’язку до нескiнченностi, стабiлiзацiї кута
X(t)/| X(t)| та асимптотику модуля розв’язку. У статтi [11] аналогiчне питання вивчалося для
випадку адитивного шуму Левi.
Питання про асимптотичну поведiнку стохастичних диференцiальних рiвнянь з мультиплi-
кативним шумом Левi не дослiджене. У цiй статтi будемо розглядати стохастичне диференцi-
альне рiвняння зi стрибками вигляду
dX(t) = a(X(t))dt+
m\sum
k=1
bk(X(t - ))dZk(t),
де Zk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , — незалежнi центрованi процеси Левi зi скiнченним другим моментом.
Ми доведемо, що якщо коефiцiєнт a(t) має деяку степеневу асимптотику при t \rightarrow \infty , а
коефiцiєнти bk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , задовольняють певну умову на зростання, то розв’язок
X(t) м.н. має таку ж асимптотику при t \rightarrow \infty , що i розв’язок звичайного диференцiального
рiвняння (2).
Опишемо коротко структуру статтi. У пунктi 2 доведено деякi леми про асимптотичну пове-
дiнку стохастичних iнтегралiв за вiнерiвським процесом та за компенсованою пуассонiвською
мiрою. У пунктi 3 встановлено два основнi результати про асимптотичну поведiнку розв’язкiв
стохастичних диференцiальних рiвнянь зi стрибками: теорему 1, в якiй коефiцiєнт зносу еквi-
валентний деякiй додатнiй сталiй, та теорему 3, в якiй коефiцiєнт зносу еквiвалентний деякiй
додатнiй степеневiй функцiї. В обох теоремах накладається деяка умова про швидкiсть зро-
стання характеристик шуму. У пунктi 4 наведено доведення леми, необхiдної для доведення
теорем у пунктi 3.
2. Асимптотика стохастичних iнтегралiв. У цьому пунктi ми отримаємо деякi допомiж-
нi результати щодо асимптотики стохастичних iнтегралiв зi змiнною верхньою межею t при
t \rightarrow \infty .
Нехай (\Omega ,\scrF ,\BbbP ) — iмовiрнiсний простiр з потоком \BbbF = (\scrF t)t\geq 0, W = W (t) — \BbbF -вiнерiвський
процес, N = N(dt, du) — \BbbF -пуассонiвська випадкова мiра на \BbbR + \times \BbbR ,2 незалежна вiд W, з
характеристичною мiрою dt \cdot \nu (du), де мiра \nu така, що
\int
\BbbR
u2\nu (du) < \infty , \~N = \~N(dt, du) :=
N(dt, du) - dt \cdot \nu (du).
Лема 1. Нехай M = M(t) — квадратично iнтегровний мартингал. Якщо \BbbE M2(t) =
O(t\gamma ), t \rightarrow \infty , для деякого \gamma < 2, то
M(t)
t
\rightarrow 0, t \rightarrow \infty , м.н.
Доведення. З умови випливає, що iснує таке T \geq 0, що \BbbE M2(t) \leq Ct\gamma , t \geq T, де C \geq 0.
Нехай \varepsilon > 0, k \in \BbbN таке, що 2k+1 \geq T . Оцiнимо ймовiрнiсть:
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
2k\leq t\leq 2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \varepsilon
\Biggr\}
\leq \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
2k\leq t\leq 2k+1
| M(t)|
2k
\geq \varepsilon
\Biggr\}
\leq \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\leq 2k+1
| M(t)| \geq \varepsilon 2k
\Biggr\}
2\BbbR + позначає множину невiд’ємних дiйсних чисел.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1572 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
\leq \BbbE M2(2k+1)
(\varepsilon 2k)
2 \leq
C
\bigl(
2k+1
\bigr) \gamma
\varepsilon 222k
=
C2\gamma
\varepsilon 2
\bigl(
2\gamma - 2
\bigr) k
(за нерiвнiстю Дуба).
Для n \in \BbbN таких, що 2n+1 \geq T,
\BbbP
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \varepsilon
\biggr\}
\leq \BbbP
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 2n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \varepsilon
\biggr\}
\leq
\infty \sum
k=n
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
2k\leq t\leq 2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq \varepsilon
\Biggr\}
\leq C2\gamma
\varepsilon 2
\infty \sum
k=n
\bigl(
2\gamma - 2
\bigr) k
.
Останнiй ряд збiгається до 0 при n \rightarrow \infty (оскiльки \gamma - 2 < 0), тому ймовiрнiсть на початку
ланцюга нерiвностей дорiвнює 0. Оскiльки \varepsilon > 0 довiльне, то
\BbbP
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > 0
\biggr\}
= 0 =\Rightarrow \BbbP
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0
\biggr\}
= 1
=\Rightarrow \BbbP
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| M(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0
\biggr\}
= 1 =\Rightarrow \BbbP
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
M(t)
t
= 0
\biggr\}
= 1,
що й потрiбно було довести.
Наслiдок 1. Нехай прогресивно вимiрний випадковий процес b = b(t) такий, що \BbbE b2(t) \leq
C(1 + t2\beta ), t \geq 0, для деяких C \geq 0 i 0 \leq \beta <
1
2
. Тодi
1
t
t\int
0
b(s)dW (s) \rightarrow 0, t \rightarrow \infty , м.н.
Доведення. Покладемо M(t) =
\int t
0
b(s)dW (s). Тодi
\BbbE M2(t) = \BbbE
t\int
0
b2(s)ds (за iзометрiєю Iто)
=
t\int
0
\BbbE b2(s)ds \leq
t\int
0
C(1 + s2\beta )ds = O(t2\beta +1), t \rightarrow \infty (за теоремою Фубiнi).
Застосовуючи лему 1, завершуємо доведення.
Позначимо через \scrP сигма-алгебру, породжену випадковими полями вигляду c(t, u) =
\zeta 0\BbbI t=0,u\in U0 +
\sum n
k=1
\zeta k\BbbI t\in (tk - 1,tk],u\in Uk
, де n \in \BbbN , \zeta 0 — \scrF 0-вимiрна випадкова величина, \zeta k —
\scrF tk - 1
-вимiрна випадкова величина, k \in \{ 1, 2, . . . , n\} , Uk \in \scrB (\BbbR ), k \in \{ 0, 1, 2, . . . , n\} , 0 = t0 <
t1 < . . . < tn = \infty .
Наслiдок 2. Нехай \scrP -вимiрне випадкове поле c = c(t, u) таке, що
\BbbE
\int
\BbbR
c2(t, u)\nu (du) \leq C(1 + t2\beta ), t \geq 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1573
для деяких C \geq 0 i 0 \leq \beta <
1
2
. Тодi
1
t
t\int
0
\int
\BbbR
c(s, u) \~N(ds, du) \rightarrow 0, t \rightarrow \infty , м.н.
Доведення. Покладемо M(t) =
\int t
0
\int
\BbbR
c(s, u) \~N(ds, du). Тодi
\BbbE M2(t) = \BbbE
t\int
0
\int
\BbbR
c2(s, u)\nu (du)ds (за iзометрiєю Iто)
=
t\int
0
\BbbE
\int
\BbbR
c2(s, u)\nu (du)ds (за теоремою Фубiнi)
\leq
t\int
0
C(1 + s2\beta )ds = O(t2\beta +1), t \rightarrow \infty .
Застосовуючи лему 1, завершуємо доведення.
3. Асимптотика розв’язкiв стохастичних рiвнянь. Нехай Wk, k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , — вiне-
рiвський процес, \~Nk — компенсована пуассонiвська мiра з компенсатором dt \cdot \nu k(du), де мiра
\nu k така, що
\int
\BbbR
u2\nu k(du) < \infty , k \in \{ 1, 2, . . . , l\} , до того ж W1,W2, . . . ,Wm, \~N1, \~N2, . . . , \~Nl
незалежнi.
Наступна теорема встановлює еквiвалентнiсть розв’язкiв стохастичних i звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь у випадку, коли коефiцiєнт зносу має додатну границю при t \rightarrow \infty , а харак-
теристики шуму зростають не дуже швидко. Ця теорема є важливим результатом, який викори-
стовується далi (див. теорему 3) при встановленнi степеневого типу зростання для розв’язкiв
стохастичних диференцiальних рiвнянь, коефiцiєнти яких мають степеневе зростання.
Теорема 1. Нехай a = a(t) та bk = bk(t), k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , — прогресивно вимiрнi3
випадковi процеси, ck = ck(t, u), k \in \{ 1, 2, . . . , l\} , — \scrP -вимiрнi випадковi поля i \BbbF -узгоджений
càdlàg4 випадковий процес X = X(t) має стохастичний диференцiал
dX(t) = a(t)dt+
m\sum
k=1
bk(t)dWk(t) +
l\sum
k=1
\int
\BbbR
ck(t, u) \~Nk(dt, du),
до того ж \BbbE X2(0) < \infty . Припустимо, що:
(A) випадковий процес a обмежений i a(t) \rightarrow A, t \rightarrow \infty , м.н., де A > 0 — випадкова
величина;
3Випадковий процес a = a(t) назвемо прогресивно вимiрним, якщо для будь-яких t \geq 0 звуження вiдображення
a на множину [0, t]\times \Omega є вимiрним щодо сигма-алгебри \scrB ([0, t])\otimes \scrF t .
4Ми кажемо, що випадковий процес є càdlàg, якщо з iмовiрнiстю 1 його траєкторiї є неперервними справа та
мають лiвi границi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1574 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
(Б) для деяких C \geq 0 i 0 \leq \beta <
1
2
m\sum
k=1
b2k(t) +
l\sum
k=1
\int
\BbbR
c2k(t, u)\nu k(du) \leq C(1 + | X(t - )| 2\beta ), t \geq 0. (3)
Тодi X(t) \sim At, t \rightarrow \infty , м.н.
Доведення. Запишемо процес X в iнтегральнiй формi:
X(t) = X(0) +
t\int
0
a(s)ds+
m\sum
k=1
t\int
0
bk(s)dWk(s) +
l\sum
k=1
t\int
0
\int
\BbbR
ck(s, u) \~Nk(ds, du).
Крок 1. Спочатку перевiримо, що \BbbE X2(t) \leq \~C(1+t2), t \geq 0, для деякого \~C > 0. Аналогiчно
лемi 3.3.2 з книги [6] можна перевiрити, що з умови (3) випливає, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq t\leq T \BbbE X2(t) < \infty ,
T \geq 0. За нерiвнiстю Кошi – Буняковського
1
4
\BbbE X2(t) \leq \BbbE X2(0) + \BbbE
\left( t\int
0
a(s)ds
\right) 2
+ \BbbE
\left[
\left( m\sum
k=1
t\int
0
bk(s)dWk(s)
\right) 2
+
\left( l\sum
k=1
t\int
0
\int
\BbbR
ck(s, u) \~Nk(ds, du)
\right) 2
\right]
=: E1 + E2(t) + E3(t).
Оцiнимо доданки у правiй частинi:
E1 = \BbbE X2(0) < \infty за припущенням,
E2(t) = \BbbE
\left( t\int
0
a(s)ds
\right) 2
\leq C1t
2 для деякого C1 \geq 0, бо a обмежене,
E3(t) = \BbbE
\left[
\left( m\sum
k=1
t\int
0
bk(s)dWk(s)
\right) 2
+
\left( l\sum
k=1
t\int
0
\int
\BbbR
c2k(s, u)
\~Nk(ds, du)
\right) 2
\right]
(оскiльки Wi, Wj незалежнi та \~Ni, \~Nj незалежнi при i \not = j)
= \BbbE
\left[ m\sum
k=1
\left( t\int
0
bk(s)dWk(s)
\right) 2
+
l\sum
k=1
\left( t\int
0
\int
\BbbR
c2k(s, u)
\~Nk(ds, du)
\right) 2
\right]
= \BbbE
\left[ m\sum
k=1
t\int
0
b2k(s)ds+
l\sum
k=1
t\int
0
\int
\BbbR
c2k(s, u)\nu (du)ds
\right] (за iзометрiєю Iто)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1575
\leq C\BbbE
t\int
0
\Bigl(
1 + | X(s - )| 2\beta
\Bigr)
ds (за умовою (Б))
=
t\int
0
\BbbE
\Bigl(
C(1 + | X(s - )| 2\beta )ds
\Bigr)
(за теоремою Фубiнi)
\leq C
\left( t+
t\int
0
\bigl(
\BbbE X2(s - )
\bigr) \beta
ds
\right) (за нерiвнiстю Єнсена).
Таким чином, отримуємо оцiнку
\BbbE X2(t) \leq C2(1 + t2) + C
t\int
0
\bigl(
\BbbE X2(s - )
\bigr) \beta
ds,
де5 C2 := C1 \wedge \BbbE X2(0). Використовуючи лему Вендроффа (див. теорему 7.3 у [8]), яка є
узагальненням леми Гронуолла – Беллмана, одержуємо
\BbbE X2(t) \leq C3
\Bigl(
(1 - \beta )t+ (1 + t2)1 - \beta
\Bigr) 1
1 - \beta
,
де C3 := (C2 \wedge C)
1
1 - \beta , звiдки неважко вивести, що
\BbbE X2(t) \leq \~C(1 + t2), t \geq 0,
де \~C \geq 0.
Крок 2. Знайдемо асимптотику розв’язку X(t) при t \rightarrow \infty . Подiлимо стохастичне дифе-
ренцiальне рiвняння на t > 0:
X(t)
t
=
X(0)
t
+
1
t
t\int
0
a(s)ds
+
m\sum
k=1
1
t
t\int
0
bk(s)dWk(s) +
l\sum
k=1
1
t
t\int
0
\int
\BbbR
ck(s, u) \~Nk(ds, du)
=: T1(t) + T2(t) + T3(t) + T4(t).
Дослiдимо збiжнiсть доданкiв у правiй частинi при t \rightarrow \infty . Маємо T1(t) =
X(0)
t
\rightarrow 0, t \rightarrow \infty .
З умов теореми випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
T2(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
1
t
t\int
0
a(s)ds = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
a(t) = A м.н.
5\wedge та \vee позначають операцiї мiнiмуму та максимуму вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1576 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
Для оцiнки доданка T3 зазначимо, що
\BbbE b2k(t) \leq \BbbE
\Bigl(
C(1 + | X(t - )| 2\beta )
\Bigr)
= C
\Bigl(
1 + \BbbE
\bigl(
X2(t - )
\bigr) \beta \Bigr)
\leq C
\Bigl(
1 +
\bigl(
\BbbE X2(t - )
\bigr) \beta \Bigr)
(за нерiвнiстю Єнсена)
\leq C
\biggl(
1 +
\Bigl(
\~C(1 + t2)
\Bigr) \beta
\biggr)
\leq C4(1 + t2\beta ), k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} ,
де C4 \geq 0, тому за наслiдком 1
T3(t) =
m\sum
k=1
1
t
t\int
0
bk(s)dWk(s) \rightarrow 0, t \rightarrow \infty , м.н.
Аналогiчно попередньому пункту,
\BbbE
\int
\BbbR
c2k(t, u)\nu k(du) \leq C4(1 + t2\beta ), k \in \{ 1, 2, . . . , l\} ,
тому за наслiдком 2
T4(t) =
l\sum
k=1
1
t
t\int
0
\int
\BbbR
ck(s, u) \~Nk(ds, du) \rightarrow 0, t \rightarrow \infty , м.н.
Таким чином, з одержаних збiжностей отримуємо твердження теореми.
Якщо замiсть умови (А) у попереднiй теоремi розглянути умову
(A\prime ) A - \leq a(t) \leq A+, t \geq 0, де A - > 0, A+ > 0 — випадковi величини,
то можна довести такий результат.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (А\prime ) та (Б). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
a(t) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\rightarrow \infty
X(t)
t
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
X(t)
t
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
a(t) м.н.
Для подальшого викладу необхiдна наступна лема, доведення якої наведено у додатку
(пункт 4).
Лема 2. Нехай \alpha \in (0, 1); f = f(x) — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя, така що
f(x) =
\left\{
0, x \leq 0,
x1 - \alpha
1 - \alpha
, x \geq 1,
до того ж f(x) \leq x1 - \alpha
1 - \alpha
, 0 < x < 1; c = c(x) — вимiрна функцiя, така що для деяких C \geq 0 i
\beta \in
\biggl[
0,
1 + \alpha
2
\biggr)
c2(x) \leq C
\Bigl(
1 + | x| 2\beta
\Bigr)
, x \in \BbbR ;
\nu = \nu (du) — мiра на \scrB (\BbbR ), така що
\int
\BbbR
u2\nu (du) < \infty .
Тодi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1577
(А)
\int
\BbbR
\bigl(
f(x+ c(x)u) - f(x) - f \prime (x)c(x)u
\bigr)
\nu (du) \rightarrow 0, x \rightarrow +\infty ;
(Б)
\int
\BbbR
\bigl(
f(x+ c(x)u) - f(x)
\bigr) 2
\nu (du) \leq Cx2(\beta - \alpha ), x \geq 1, де C \geq 0 — деяка стала.
Наступна теорема є основним результатом цiєї статтi.
Теорема 3. Нехай X — деякий (необов’язково єдиний) розв’язок стохастичного диферен-
цiального рiвняння
dX(t) = a(X(t))dt+
q\sum
k=1
hk(X(t - ))dZk(t), (4)
де a = a(x), hk = hk(x), k \in \{ 1, 2, . . . , q\} , — локально обмеженi вимiрнi функцiї , Zk =
Zk(t), k \in \{ 1, 2, . . . , q\} , — незалежнi центрованi процеси Левi зi скiнченним другим моментом,
\BbbE X2(0) < \infty . Нехай \alpha \in [0, 1). Припустимо, що:
(A) a(x) \sim Ax\alpha , x \rightarrow +\infty , де A > 0 — невипадкова стала;
(Б) для деяких C \geq 0 i 2\beta \in [0, 1 + \alpha )
q\sum
k=1
h2k(x) \leq C
\Bigl(
1 + | x| 2\beta
\Bigr)
, x \in \BbbR ; (5)
(B) X(t) \rightarrow +\infty , t \rightarrow \infty , м.н.
Тодi
X(t) \sim ((1 - \alpha )At)
1
1 - \alpha , t \rightarrow \infty , м.н. (6)
Зауваження. Умова (В) зустрiчається також у працях [3, 5], є суттєвою та не випливає з
умов (А), (Б). Можна довести, що для виконання умови (В) достатньо, наприклад, виконання
таких умов:
коефiцiєнти a i hk, k \in \{ 1, 2, . . . , q\} , задовольняють умову Лiпшиця;
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| x| \rightarrow \infty
a(x)
| x| \alpha
> 0;
для деякого k \in \{ 1, 2, . . . , q\} виконуються умови:
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} | x| \leq R | hk(x)| > 0 для кожного R > 0,
Zk(t), t \geq 0, має невироджену гауссiвську компоненту або додатнi стрибки з iмовiрнiстю 1.
Доведення. Справедливiсть теореми у випадку \alpha = 0 випливає з теореми 1. Далi вважаємо,
що \alpha \in (0, 1).
Враховуючи, що процеси Zk, k \in \{ 1, 2, . . . , q\} , центрованi i мають скiнченний другий
момент, за зображенням Левi – Iто маємо
dZk(t) = \sigma kdWk(t) +
\int
\BbbR
u \~Nk(dt, du), k \in \{ 1, 2, . . . , q\} ,
де \sigma k \geq 0, Wk — вiнерiвський процес, \~Nk — компенсована пуассонiвська мiра з компенсатором
dt \cdot \nu k(du), мiра \nu k така, що
\int
\BbbR
u2\nu k(du) < \infty , k \in \{ 1, 2, . . . , q\} , до того ж W1,W2, . . . ,Wq,
\~N1, \~N2, . . . , \~Nq незалежнi. Тому стохастичне диференцiальне рiвняння (4) можна записати у
виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1578 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
dX(t) = a(X(t))dt+
m\sum
k=1
\sigma khk(X(t))dWk(t) +
l\sum
k=1
\int
\BbbR
hk(X(t - ))u \~Nk(dt, du).
З метою спрощення позначень розглянемо випадок m = l = 1 (загальний випадок розгля-
дається аналогiчно) i позначимо b := \sigma 1h1, c := h1, W := W1, \~N := \~N1, \nu := \nu 1 . Таким
чином, далi будемо розглядати рiвняння
dX(t) = a(X(t))dt+ b(X(t))dW (t) +
\int
\BbbR
c(X(t - ))u \~N(dt, du).
Зауважимо, що з умови (5) випливає оцiнка
b2(x) + c2(x) \leq C0(1 + | x| 2\beta ), x \in \BbbR ,
де C0 \geq 0 — деяка стала.
Вiзьмемо функцiю f = f(x), як у лемi 2. Позначимо \~X(t) = f(X(t)). За формулою Iто зi
стрибками (див. теорему 5.1 у [7])
\mathrm{d} \~X(t) = \~a(t)dt+\~b(t)dW (t) +
\int
\BbbR
\~c(t, u) \~N(dt, du), (7)
де
\~a(t) = a(X(t - ))f \prime (X(t - )) +
1
2
b2(X(t - ))f \prime \prime (X(t - ))
+
\int
\BbbR
\Bigl(
f
\bigl(
X(t - ) + c(X(t - ))u
\bigr)
- f(X(t - )) - c(X(t - ))uf \prime (X(t - ))
\Bigr)
\nu (du)
=: \~a1(t) + \~a2(t) + \~a3(t),
\~b(t) = b(X(t - ))f \prime (X(t - )), \~c(t, u) = f
\bigl(
X(t - ) + c(X(t - ))u
\bigr)
- f(X(t - )).
Перевiримо, що стохастичне диференцiальне рiвняння (7) задовольняє умови теореми 1.
Зазначимо, що коефiцiєнт \~a обмежений. Дослiдимо його асимптотичну поведiнку, дослi-
дивши поведiнку кожного з доданкiв \~a1(t), \~a2(t), \~a3(t):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\~a1(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
a(X(t))f \prime (X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
a(X(t))
X\alpha (t)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
AX\alpha (t)
X\alpha (t)
= A м.н.,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
| \~a2(t)| = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| b2(X(t))f \prime \prime (X(t))
\bigm| \bigm|
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
C1| \alpha | X2\beta (t)
X1+\alpha (t)
\leq C1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
1
X1+\alpha - 2\beta (t)
= 0 м.н.,
оскiльки 1 + \alpha - 2\beta > 0 i X(t) \rightarrow \infty , t \rightarrow \infty , м.н. (тут C1 \geq 0 таке, що b2(X(t)) \leq C1X
2\beta (t)
при X(t) \geq 1);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1579
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\~a3(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\int
\BbbR
\Bigl(
f
\bigl(
X(t - ) + c(X(t - ))u
\bigr)
- f(X(t - ))
- c(X(t - ))uf \prime (X(t - ))
\Bigr)
\nu (du) = 0, t \rightarrow \infty , м.н.
за пунктом (А) леми 2, оскiльки X(t) \rightarrow \infty , t \rightarrow \infty , м.н.
Отже, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty \~a(t) = A м.н.
Оцiнимо коефiцiєнт \~b. Якщо X(t - ) \geq 1, то
\~b2(t) =
\bigl(
b(X(t - ))f \prime (X(t - ))
\bigr) 2
= b2(X(t - ))
\bigl(
f \prime (X(t - ))
\bigr) 2
\leq C1X
2\beta (t - )
X2\alpha (t - )
\leq C1X
2(\beta - \alpha )(t - ) = C1C2
\~X
2(\beta - \alpha )
1 - \alpha (t - ),
де C2 := (1 - \alpha )
2(\beta - \alpha )
1 - \alpha . Якщо ж X(t - ) < 1, то \~b2(t) обмежене рiвномiрно по t деякою
невипадковою сталою C3 \geq 0, оскiльки f \prime обмежена.
Отже, b2(t) \leq C4
\Bigl(
1 + | \~X(t - )| 2\~\beta
\Bigr)
, t \geq 0, де C4 := (C1C2) \wedge C3, \~\beta :=
\beta - \alpha
1 - \alpha
< 1.
Оцiнимо коефiцiєнт \~c. Якщо X(t - ) \geq 1, то\int
\BbbR
\~c2(t, u)\nu (du) =
\int
\BbbR
\bigl(
f
\bigl(
X(t - ) + c(X(t - ))u
\bigr)
- f(X(t - ))
\bigr) 2
\nu (du)
\leq C5X
2(\beta - \alpha )(t - ) = C2C5
\~X
2(\beta - \alpha )
1 - \alpha (t - ) (за пунктом (Б) леми 2),
де C5 \geq 0. Якщо ж X(t - ) < 1, то за формулою Тейлора\Bigl(
f
\bigl(
X(t - ) + c(X(t - ))u
\bigr)
- f(X(t - ))
\Bigr) 2
=
\bigl(
f \prime (\xi X(t - ),u)c(X(t - ))u
\bigr) 2 \leq C6u
2,
де C6 \geq 0, тому
\int
\BbbR
\~c2(t, u)\nu (du) обмежене
\bigl(
тут \xi x,u \in
\bigl[
x \wedge (x+ c(x)u), x \vee (x+ c(x)u)
\bigr] \bigr)
.
Отже, \int
\BbbR
\~c2(t, u)\nu (du) \leq C7
\Bigl(
1 + | \~X(t - )| 2\~\beta
\Bigr)
,
де C7 \geq 0.
Таким чином, коефiцiєнти \~a, \~b, \~c стохастичного диференцiального рiвняння (7) задоволь-
няють умови теореми 1.
Отже, \~X(t) \sim At, t \rightarrow \infty , м.н. Виконуючи замiну
\~X(t) =
X1 - \alpha (t)
1 - \alpha
, X(t) \geq 1,
та враховуючи умову (В), отримуємо еквiвалентнiсть (6).
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1580 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
4. Додаток. Доведення леми 2. Для простоти нехай C \geq 0 — унiверсальна стала, яка може
змiнюватися вiд рядка до рядка.
Доведення пункту (А). Нехай x \geq 1. З умови випливає, що c2(x) \leq Cx2\beta . Розiб’ємо
iнтеграл \int
\BbbR
[. . .]\nu (du) =
\int
| u| <Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) +
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du),
де [. . .] := f(x+ c(x)u) - f(x) - f \prime (x)c(x)u, K > 0 — деяка стала.
Нехай спочатку | u| < Kx1 - \beta . За формулою Тейлора
f
\bigl(
x+ c(x)u
\bigr)
- f(x) - f \prime (x)c(x)u =
1
2
f \prime \prime (\xi x,u)c
2(x)u2,
де \xi x,u \in
\bigl[
x \wedge (x+ c(x)u), x \vee (x+ c(x)u)
\bigr]
. Маємо
| \xi x,u - x| \leq | c(x)u|
=\Rightarrow (\xi x,u - x)2 \leq (c(x)u)2 = c2(x)u2 \leq Cx2\beta u2
=\Rightarrow | \xi x,u - x| \leq Cx\beta | u| .
Виберемо K так, що
Cx\beta | u| \leq Cx\beta Kx1 - \beta = CKx \leq 1
2
x, x \geq 1, | u| < Kx1 - \beta ,
тому
1
2
x \leq \xi x,u \leq 3
2
x. Отже,\int
| u| <Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) =
\int
| u| <Kx1 - \beta
f \prime \prime (\xi x,u)c
2(x)u2\nu (du)
\leq Cx2\beta
\int
| u| <Kx1 - \beta
u2
\xi \alpha +1
x,u
\nu (du) \leq Cx2\beta
\biggl(
1
2
x
\biggr) - (\alpha +1) \int
\BbbR
u2\nu (du)
\leq C
x1+\alpha - 2\beta
\rightarrow 0, x \rightarrow +\infty ,
бо 1 + \alpha - 2\beta > 0, а
\int
\BbbR
u2\nu (du) < \infty .
Дослiдимо тепер iнтеграл за множиною
\bigl\{
u \in \BbbR : | u| \geq Kx1 - \beta
\bigr\}
. Розiб’ємо iнтеграл\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) =
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
f(x+ c(x)u)\nu (du)
- f(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du) - f \prime (x)c(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
u\nu (du)
=: I1(x) - I2(x) - I3(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1581
та оцiнимо кожен доданок у правiй частинi. Зазначимо, що f(x) \leq | x| 1 - \alpha
1 - \alpha
, x \in \BbbR . Маємо
I1(x) =
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
f(x+ c(x)u)\nu (du) \leq 1
1 - \alpha
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
1 \cdot | x+ c(x)u| 1 - \alpha \nu (du)
(за нерiвнiстю Гьольдера)
\leq 1
1 - \alpha
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
1
2
1+\alpha \nu (du)
\right)
1+\alpha
2
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\Bigl(
| x+ c(x)u| 1 - \alpha
\Bigr) 2
1 - \alpha
\nu (du)
\right)
1 - \alpha
2
=
1
1 - \alpha
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\right)
1+\alpha
2
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
(x+ c(x)u)2\nu (du)
\right)
1 - \alpha
2
.
Окремо оцiнимо кожен з iнтегралiв:\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du) =
\int
u2\geq K2x2 - 2\beta
\nu (du)
(за нерiвнiстю Чебишова)
\leq 1
K2x2 - 2\beta
\int
\BbbR
u2\nu (du) \leq C
x2 - 2\beta
, (8)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
(x+ c(x)u)2\nu (du) (за нерiвнiстю Кошi – Буняковського)
\leq 2x2
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du) + 2c2(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
u2\nu (du)
(за формулою (8))
\leq 2x2
C
x2 - 2\beta
+ 2c2(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
u2\nu (du)
\leq Cx2\beta + Cx2\beta \leq Cx2\beta . (9)
Таким чином, за формулами (8) i (9)
I1(x) \leq
1
1 - \alpha
\biggl(
C
x2 - 2\beta
\biggr) 1+\alpha
2 \Bigl(
Cx2\beta
\Bigr) 1 - \alpha
2 \leq C
x1+\alpha - 2\beta
\rightarrow 0, x \rightarrow +\infty ,
бо 1 + \alpha - 2\beta > 0. Далi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1582 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
I2(x) = f(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du) \leq x1 - \alpha
1 - \alpha
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\leq x1 - \alpha
1 - \alpha
C
x2 - 2\beta
\leq C
x1+\alpha - 2\beta
\rightarrow 0, x \rightarrow +\infty (за формулою (8)),
бо 1 + \alpha - 2\beta > 0. Нарештi
| I3(x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (x)c(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
u\nu (du)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq 1
x\alpha
Cx\beta
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
| u| \nu (du) = C
x\alpha - \beta
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
| u| \nu (du).
Окремо оцiнимо iнтеграл\int
| u| \geq Kx1 - \beta
| u| \nu (du) =
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
1 \cdot | u| \nu (du)
\leq
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
12\nu (du)
\right)
1
2
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
| u| 2\nu (du)
\right)
1
2
(за нерiвнiстю Кошi – Буняковського)
\leq
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\right)
1
2\left( \int
\BbbR
u2\nu (du)
\right) 1
2
\leq C
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\right)
1
2
\leq C
\biggl(
C
x2 - 2\beta
\biggr) 1
2
\leq C
x1 - \beta
(за формулою (8)).
Отже,
| I3(x)| \leq
C
x\alpha - \beta
C
x1 - \beta
\leq C
x1+\alpha - 2\beta
\rightarrow 0, x \rightarrow +\infty ,
бо 1 + \alpha - 2\beta > 0.
Усi три доданки I1(x), I2(x), I3(x) прямують до нуля при x \rightarrow +\infty , тому\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) \rightarrow 0, x \rightarrow +\infty .
Таким чином, пункт (А) леми доведено.
Доведення пункту (Б). Нехай x \geq 1. З умови випливає, що c2(x) \leq Cx2\beta , x \geq 1. Розiб’ємо
iнтеграл \int
\BbbR
[. . .]\nu (du) =
\int
| u| <Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) +
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du),
де [. . .] := (f(x+ c(x)u) - f(x))2, K > 0 — деяка стала.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI СТРИБКАМИ 1583
Нехай спочатку | u| < Kx1 - \beta . За формулою Лагранжа
f(x+ c(x)u) - f(x) = f \prime (\xi x,u)c(x)u,
де \xi x,u \in
\bigl[
x\wedge (x+ c(x)u), x\vee (x+ c(x)u)
\bigr]
. Як i в доведеннi пункту (А), маємо
1
2
x \leq \xi x,u \leq 3
2
x,
якщо вибрати достатньо мале K . Тому\int
| u| <Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) =
\int
| u| <Kx1 - \beta
\bigl(
f \prime (\xi x,u)
\bigr) 2
c2(x)u2\nu (du)
\leq Cx2\beta
\int
| u| <Kx1 - \beta
u2
\xi 2\alpha x,u
\nu (du).
Оскiльки \alpha > 0, то \int
| u| <Kx1 - \beta
u2
\xi 2\alpha x,u
\nu (du) \leq
\biggl(
1
2
x
\biggr) - 2\alpha \int
\BbbR
u2\nu (du) \leq Cx - 2\alpha .
Таким чином, \int
| u| <Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) \leq Cx2\beta Cx - 2\alpha \leq Cx2(\beta - \alpha ).
Дослiдимо тепер iнтеграл за множиною \{ u \in \BbbR : | u| \geq Kx1 - \beta \} :
1
2
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du)
(за нерiвнiстю Кошi – Буняковського)
\leq
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
f2(x+ c(x)u)\nu (du) + f2(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
=: J1(x) + J2(x).
Оцiнимо кожен доданок у правiй частинi, використавши формули, отриманi при доведеннi
пункту (А):
J1(x) =
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
f2(x+ c(x)u)\nu (du)
\leq 1
(1 - \alpha )2
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
1 \cdot | x+ c(x)u| 2(1 - \alpha )\nu (du)
(за нерiвнiстю Гьольдера)
\leq 1
(1 - \alpha )2
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
1
1
\alpha \nu (du)
\right)
\alpha \left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\Bigl(
| x+ c(x)u| 2(1 - \alpha )
\Bigr) 1
1 - \alpha
\nu (du)
\right)
1 - \alpha
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
1584 ВIКТОР ЮСЬКОВИЧ
=
1
(1 - \alpha )2
\left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\right)
\alpha \left( \int
| u| \geq Kx1 - \beta
(x+ c(x)u)2\nu (du)
\right)
1 - \alpha
\leq 1
(1 - \alpha )2
\biggl(
C
x2 - 2\beta
\biggr) \alpha \Bigl(
Cx2\beta
\Bigr) 1 - \alpha
\leq Cx2(\beta - \alpha ) (за формулами (8) та (9)),
J2(x) = f2(x)
\int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du) \leq
\biggl(
x1 - \alpha
1 - \alpha
\biggr) 2 \int
| u| \geq Kx1 - \beta
\nu (du)
\leq
\biggl(
x1 - \alpha
1 - \alpha
\biggr) 2
C
x2 - 2\beta
\leq Cx2(\beta - \alpha ) (за формулою (8)).
Обидва доданки оцiнюються як Cx2(\beta - \alpha ), тому\int
| u| \geq Kx1 - \beta
[. . .]\nu (du) \leq Cx2(\beta - \alpha ).
Лему доведено.
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. V. V. Buldygin, O. A. Tymoshenko, On the exact order of growth of solutions of stochastic differential equations
with time-dependent coefficients, Theory Stoch. Process., 16, № 2, 12 – 22 (2010).
2. A. Friedman, Stochastic differential equations and applications, Courier Corp. (2012).
3. I. I. Gikhman, A. V. Skorokhod, Stochastic differential equations and their applications, Naukova Dumka, Kiev
(1982).
4. G. Keller, G. Kersting, U. Rösler, On the asymptotic behavior of solutions of stochastic differential equations,
Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 68, 163 – 189 (1984).
5. O. I. Klesov, O. A. Tymoshenko, Unbounded solutions of stochastic differential equations with time-dependent
coefficients, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 41, 25 – 35 (2013).
6. H. Kunita, Stochastic ows and jump-diffusions, Springer (2019).
7. H. Kunita, S. Watanabe, On square integrable martingales, Nagoya Math. J., 30, 209 – 245 (1967).
8. X. Mao, Exponential stability of stochastic differential equations, Marcel Dekker (1994).
9. I. Pavlyukevich, A. Pilipenko, Generalized Peano problem with Lévy noise, Electron. Commun. Probab., 25(85),
1 – 14 (2020).
10. A. Pilipenko, F. N. Proske, On perturbations of an ODE with non-Lipschitz coefficients by a small self-similar noise,
Statist. Probab. Lett., 132, 62 – 73 (2018).
11. A. Pilipenko, F. N. Proske, On a selection problem for small noise perturbation in the multidimensional case, Stochast.
and Dyn., 18, № 6, Article 1850045 (2018).
12. A. Samoilenko, O. Stanzhyts’kyi, I. Novak, On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary
equations, Ukr. Math. J., 63, № 8 (2012).
13. V. Yuskovych, On asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions in multidimensional space; arXiv
preprint arXiv:2306.02089, 2023.
Одержано 16.07.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-7684 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:03Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7a/f1d5821e579bd4550987ac461453be7a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-76842024-06-19T00:34:53Z On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps Про асимптотику розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь зі стрибками Yuskovych , V. Юськович, Віктор stochastic differential equation jumps asymptotics equivalence стохастичне диференціальне рівняння стрибки асимптотика еквівалентність UDC 519.21 Consider a one-dimensional stochastic differential equation with jumps&nbsp;$$dX(t) = a(X(t))dt + \sum_{k = 1}^m b_k(X(t-))dZ_k(t),$$&nbsp;where $Z_k,$ $k \in \{1, 2, \ldots , m\},$&nbsp; are independent centered L\'evy processes with finite second moments.&nbsp;&nbsp;We prove that if the coefficient $a(x)$ has a certain power asymptotics&nbsp;as $x \to \infty$ and the coefficients $b_k,$ $ k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ satisfy certain growth condition, then a solution $X(t)$ has the same asymptotics as the solution of $d x(t) = a(x(t))d t$ as $t \to \infty$ a.s. УДК 519.21 Розглянуто одновимірне стохастичне диференціальне рівняння зі стрибками&nbsp;$$dX(t) = a(X(t))dt + \sum_{k = 1}^m b_k(X(t-))dZ_k(t),$$&nbsp;де $Z_k,$ $k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ – незалежні центровані процеси Леві зі скінченними другими моментами. Доведено, що якщо коефіцієнт $a(x)$ має деяку степеневу асимптотику при $x \to \infty,$ а коефіцієнти $b_k,$ $ k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ задовольняють певну умову на зростання, то розв'язок $X(t)$ м. н. має таку ж асимптотику при $t \to \infty,$ що і розв'язок звичайного диференціального рівняння $dx(t) = a(x(t))dt$.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-11-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7684 10.3842/umzh.v75i11.7684 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 11 (2023); 1570 - 1584 Український математичний журнал; Том 75 № 11 (2023); 1570 - 1584 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7684/9543 Copyright (c) 2023 Віктор Юськович |
| spellingShingle | Yuskovych , V. Юськович, Віктор On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title | On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title_alt | Про асимптотику розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь зі стрибками |
| title_full | On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title_fullStr | On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title_full_unstemmed | On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title_short | On the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| title_sort | on the аsymptotics of solutions of stochastic differential equations with jumps |
| topic_facet | stochastic differential equation jumps asymptotics equivalence стохастичне диференціальне рівняння стрибки асимптотика еквівалентність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7684 |
| work_keys_str_mv | AT yuskovychv ontheasymptoticsofsolutionsofstochasticdifferentialequationswithjumps AT ûsʹkovičvíktor ontheasymptoticsofsolutionsofstochasticdifferentialequationswithjumps AT yuskovychv proasimptotikurozv039âzkívstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzístribkami AT ûsʹkovičvíktor proasimptotikurozv039âzkívstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzístribkami |