Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source
UDC 517.9 We propose a method for the construction of exact solutions to nonlinear heat-conduction equation with a source based on the classical method of separation of variables, its generalization, and the reduction method. We consider substitutions  reducing the nonlinea...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7700 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512707976888320 |
|---|---|
| author | Barannyk, A. Barannyk, T. Yuryk, I. Баранник, Анатолій Баранник, Тетяна Юрик, Іван |
| author_facet | Barannyk, A. Barannyk, T. Yuryk, I. Баранник, Анатолій Баранник, Тетяна Юрик, Іван |
| author_sort | Barannyk, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:13Z |
| description | UDC 517.9
We propose a method for the construction of exact solutions to nonlinear heat-conduction equation with a source based on the classical method of separation of variables, its generalization, and the reduction method. We consider substitutions  reducing the nonlinear heat-conduction   equation to ordinary differential equations and to a system of two ordinary differential equations.  The classes of exact solutions of the analyzed equation are constructed by the method of generalized separation of variables. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i2.7700 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i2.7700
УДК 517.9
Анатолiй Баранник (Поморський унiверситет, Слупськ, Польща),
Тетяна Баранник (Полтавський нацiональний педагогiчний унiверситет),
Iван Юрик1(Нацiональний унiверситет харчових технологiй, Київ)
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ
РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI З ДЖЕРЕЛОМ
We propose a method for the construction of exact solutions to nonlinear heat-conduction equation with a source based on the
classical method of separation of variables, its generalization, and the reduction method. We consider substitutions reducing
the nonlinear heat-conduction equation to ordinary differential equations and to a system of two ordinary differential
equations. The classes of exact solutions of the analyzed equation are constructed by the method of generalized separation
of variables.
Запропоновано метод побудови точних розв’язкiв рiвняння нелiнiйної теплопровiдностi з джерелом, який базується
на класичному методi вiдокремлення змiнних та його узагальненнi i методi редукцiї. Розглянуто пiдстановки, що
редукують рiвняння нелiнiйної теплопровiдностi до звичайних диференцiальних рiвнянь та системи двох звичай-
них диференцiальних рiвнянь. Побудовано класи точних розв’язкiв з узагальненим вiдокремленням змiнних цього
рiвняння.
1. Вступ. Роботу присвячено побудовi точних розв’язкiв нелiнiйного рiвняння
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl(
F (u)
\partial u
\partial x
\biggr)
+H(u). (1.1)
Це рiвняння описує нестацiонарну теплопровiднiсть у нерухомому середовищi, якщо коефi-
цiєнт теплопровiдностi та швидкiсть реакцiї є довiльними функцiями температури. Груповi
властивостi та iнварiантнi розв’язки рiвнянь вказаного вигляду описано в [1]. Конкретнi рiв-
няння цього вигляду та їхнi розв’язки наведено в [2].
У роботi [3] проведено групову класифiкацiю рiвняння
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl(
F (u)
\partial u
\partial x
\biggr)
(1.2)
i отримано вичерпний перелiк iнварiантних розв’язкiв цього рiвняння. В [4] запропоновано
метод пошуку функцiй F (u), для яких рiвняння (1.2) має розв’язки вигляду
u = u(z), z = xt - 1/2, 0 \leq x < \infty .
Ефективним методом побудови точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики
є метод узагальненого вiдокремлення змiнних (див. [2, 5, 6]). Рiвняння (1.2), що допускають
розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних вигляду
p(x) = w(t)\varphi (u), (1.3)
де p(x) задовольняє рiвняння (p\prime )2 = apn + bpm, описано в [7]. У роботах [2, 8, 9] вивчено
рiвняння
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: i.yu@ukr.net.
c\bigcirc АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2 179
180 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
\partial u
\partial t
= a
\partial
\partial x
\biggl(
um
\partial u
\partial x
\biggr)
+ bu+ cu1 - m,
\partial u
\partial t
= a
\partial
\partial x
\biggl(
um
\partial u
\partial x
\biggr)
+ bum+1 + cu+ du1 - m,
якi допускають розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних. У роботах [10, 11] розгля-
нуто пiдстановки, якi видiляють широкi класи рiвнянь вигляду (1.1), що мають точнi розв’язки
з узагальненим вiдокремленням змiнних.
Ця стаття є продовженням дослiджень, викладених в [7, 10, 11]. У нiй розвивається метод
побудови точних розв’язкiв iз узагальненим вiдокремленням змiнних для рiвняння (1.1), який
базується на класичному методi вiдокремлення змiнних та його узагальненнi i методi редукцiй.
У п. 2 вивчено властивостi рiвнянь (1.1), що допускають розв’язки вигляду (1.3), де функцiя
p(x) задовольняє рiвняння
(p\prime )2 = apn + bpm + cp2, a \not = 0, b \not = 0. (1.4)
У п. 3 описано рiвняння (1.1), якi допускають розв’язки вигляду (1.3), де p(x) задовольняє
рiвняння
(p\prime )2 = apn + bpm. (1.5)
У п. 4 вивчено властивостi рiвнянь (1.1), що допускають розв’язки вигляду
x = w1(t)\varphi (u) + w2(t).
У п. 5 вивчаються рiвняння (1.1), якi допускають розв’язки вигляду (1.3), де p(x) задовольняє
рiвняння (p\prime )2 = ap2 + b.
2. Редукцiя рiвняння (1.1) до звичайних диференцiальних рiвнянь.
Означення 2.1. Будемо говорити, що рiвняння (1.1) допускає пiдстановку p(x) = w(t)\varphi (u),
якщо ця пiдстановка редукує рiвняння (1.1) до звичайного диференцiального рiвняння з невiдо-
мою функцiєю w(t).
З’ясуємо, для яких функцiй F (u) i H(u) рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.3), (1.4).
Рiвняння (1.1) зберiгає свiй вигляд щодо лiнiйних перетворень \~u = A1u + A2 функцiї u зi
сталими A1, A2. Згiдно з [3], два рiвняння (1.1), що переходять одне в одного при такому
перетвореннi, називаються еквiвалентними. Вiдповiдно до цього означення пiдстановки (1.3),
p(x) = w(t)\varphi (A1u + A2) називаємо еквiвалентними. Класифiкацiю пiдстановок (1.3) i вiдпо-
вiдних їм рiвнянь (1.1) будемо проводити з точнiстю до еквiвалентностi.
Якщо в рiвняннi (1.4) c = 0, то отримуємо пiдстановку (1.3), (1.5), що була використана
в [7] для побудови точних розв’язкiв рiвняння нелiнiйної теплопровiдностi (1.2). Знаходження
розв’язкiв рiвняння (1.5) зводиться до iнтегрування виразу
p - m/2(apn - m + b) - 1/2 dp. (2.1)
Iз вiдомих результатiв, що стосуються iнтегровностi бiномiальних диференцiалiв [12], випливає,
що бiномiальний диференцiал (2.1) iнтегрується в елементарних функцiях, якщо виконується
одна з таких умов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 181
1)
- n+ 2
2(m - n)
— цiле число;
2)
- m+ 2
2(m - n)
— цiле число.
Отже, у випадку m = 1 бiномiальний диференцiал (2.1) iнтегрується в елементарних функцiях,
якщо n =
k + 1
k
, k \in \BbbZ , k \not = 0.
Наведемо розв’язки рiвняння
(p\prime )2 = ap(k+1)/k + bp. (2.2)
Розв’язуючи (2.2) щодо p\prime , а потiм iнтегруючи, знаходимо\int
(ap(k+1)/k + bp) - 1/2 dp = \pm x+ C, C — стала. (2.3)
Можливi два випадки.
a) \bfitk — парне число. Виконавши в (2.3) пiдстановку ap - 1/k + b = \theta 2, отримаємо такий
розв’язок рiвняння (2.2):
2ka - k/2
\int
(\theta 2 - b)(k - 2)/2 d\theta = \pm x+ C. (2.4)
б) \bfitk — непарне число. Виконавши в (2.3) пiдстановку a+ bp - 1/k = \theta 2, отримаємо такий
розв’язок рiвняння (2.2):
- 2kb( - 1+k)/2
\int
(\theta 2 - a) - (1+k)/2 d\theta = \pm x+ C. (2.5)
Iнтеграл у лiвiй частинi кожного з розв’язкiв (2.4) i (2.5) є функцiєю змiнної \theta . Таким
чином, у загальному випадку функцiя p(x), що є розв’язком рiвняння (2.2), задається неявно
за допомогою одного iз спiввiдношень (2.4) i (2.5).
Для визначення невiдомих функцiй w(t) i \varphi (u) в (1.3), (1.4) пiдставимо (1.3) в рiвняння
(1.1):
- w\prime
w
\varphi
\varphi \prime = wn - 2
\biggl(
an
2
\varphi n - 1
\varphi \prime F - a\varphi n\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
a\varphi n
(\varphi \prime )2
F \prime
\biggr)
+ wm - 2
\biggl(
bm
2
\varphi m - 1
\varphi \prime F - b\varphi m\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
b\varphi m
(\varphi \prime )2
F \prime
\biggr)
+
\biggl(
c
\varphi
\varphi \prime F - c
\varphi 2\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F + c
\varphi 2
(\varphi \prime )2
F \prime +H(u)
\biggr)
. (2.6)
З умови, що (2.6) повинно бути звичайним диференцiальним рiвнянням щодо невiдомої функцiї
w = w(t), отримаємо систему
an
2
\varphi n - 1
\varphi \prime F - a\varphi n\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
a\varphi n
(\varphi \prime )2
F \prime = \lambda 1
\varphi
\varphi \prime , (2.7)
bm
2
\varphi m - 1
\varphi \prime F - b\varphi m\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F +
b\varphi m
(\varphi \prime )2
F \prime = \lambda 2
\varphi
\varphi \prime , (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
182 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
c
\varphi
\varphi \prime F - c
\varphi 2\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F + c
\varphi 2
(\varphi \prime )2
F \prime +H(u) = \lambda 3
\varphi
\varphi \prime (2.9)
з дiйсними параметрами \lambda 1, \lambda 2, \lambda 3.
З рiвнянь (2.7) i (2.8) випливає, що
F =
2\lambda 2
b(m - n)
\varphi 2 - m - 2\lambda 1
a(m - n)
\varphi 2 - n. (2.10)
Пiдставивши (2.10) в (2.7), отримаємо рiвняння для визначення функцiї \varphi = \varphi (u):
\sigma 2
\bigl[
- 2\varphi \varphi \prime \prime + (n - 2m+ 4)(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi n - \sigma 1
\bigl[
2\varphi \varphi \prime \prime + ( - m+ 2n - 4)(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi m = 0, (2.11)
де
\sigma 1 = - 2\lambda 1
a(m - n)
, \sigma 2 =
2\lambda 2
b(m - n)
.
З рiвняння (2.9) знаходимо
H(u) = - c
\varphi
\varphi \prime F + c\varphi 2
\biggl[
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
F - 1
(\varphi \prime )2
F \prime
\biggr]
+ \lambda 3
\varphi
\varphi \prime ,
а тому, враховуючи (2.7), маємо
H(u) = - \lambda 2c
b(m - n)
(2 - n)\varphi 3 - m 1
\varphi \prime +
\lambda 1c(2 - m)
a(m - n)
\varphi 3 - n 1
\varphi \prime + \lambda 3
\varphi
\varphi \prime . (2.12)
У пiдсумку отримуємо таку теорему.
Теорема 2.1. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.3), (1.4) i F \prime (u) \not = 0, то функцiї
F (u) i H(u) визначаються за формулами (2.10) i (2.12) вiдповiдно, а функцiя \varphi (u) є розв’язком
рiвняння (2.11).
Пiдставляючи (2.7) – (2.9) в рiвняння (2.6), одержуємо рiвняння для визначення функцiї
w = w(t):
w\prime
w
+ \lambda 1w
n - 2 + \lambda 2w
m - 2 + \lambda 3 = 0. (2.13)
Таким чином, побудова розв’язкiв вигляду (1.3), (1.5) рiвняння (1.1) зводиться до iнтегрування
рiвнянь (1.5), (2.11) i (2.13).
З теореми 2.1 випливає, що рiвняння (1.1), яке допускає пiдстановку (1.3), (1.5), має вигляд
ut =
\bigl[
(\sigma 2\varphi
2 - m + \sigma 1\varphi
2 - n)ux
\bigr]
x
+H(u), (2.14)
де H(u) визначено формулою (2.12).
Теорема 2.2 [7]. Нехай у рiвняннi (2.11) \sigma 1 \not = 0, \sigma 2 \not = 0, а m i n є довiльними рацiональ-
ними числами, що задовольняють одну з таких умов:
1\circ )
- n+ 2
2(m - n)
— цiле число;
2\circ )
- m+ 2
2(m - n)
— цiле число.
Тодi рiвняння (2.11) iнтегрується i його розв’язками є такi функцiї :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 183
1) якщо m i n задовольняють умову 1\circ , то
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1 (\theta 21 + \sigma 2)
n - 2
2(m - n) d\theta 1, \theta 21 = \varepsilon (\sigma 2 - \sigma 1\varphi
m - n), \varepsilon = \pm 1; (2.15)
2) якщо m, n задовольняють умову 2\circ , то
A1u+A2 =
\int
\theta - 2
1 (\theta 21 + \sigma 1)
m - 2
2(n - m) d\theta 1, \theta 21 = \varepsilon (\sigma 2\varphi
n - m - \sigma 1), \varepsilon = \pm 1. (2.16)
У формулах (2.15), (2.16) A1, A2 — сталi, A1 \not = 0.
Зазначимо, що iнтеграли у кожному з розв’язкiв (2.15), (2.16) виражаються через функцiї
вiд \theta 1, а тому u є функцiєю змiнної \varphi (u).
Теорема 2.3. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (1.3), (1.5) i n \not = 2, m \not = 2, то
функцiя F (u) визначається за формулою (2.10),
H(u) = \lambda 3
\varphi
\varphi \prime , \lambda 3 \in \BbbR ,
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.11), а функцiя w = w(t) задовольняє рiвняння
w\prime
w
+ \lambda 1w
n - 2 + \lambda 2w
m - 2 + \lambda 3 = 0.
Теорема 2.3 випливає з теореми 2.1, якщо в (1.4) i (2.12) покласти c = 0.
Теорема 2.4. Пiдстановка v = \varphi (u) зводить рiвняння (2.14) до вигляду
vt =
\biggl(
2\lambda 2
b(m - n)
v2 - m - 2\lambda 1
a(m - n)
v2 - n
\biggr)
vxx
+
\biggl(
m\lambda 1
a(m - n)
v1 - n - n\lambda 2
b(m - n)
v1 - m
\biggr)
(vx)
2
+
\biggl(
\lambda 1c(2 - m)
a(m - n)
v3 - m - \lambda 2c(2 - n)
b(m - n)
\biggr)
v3 - m + \lambda 3v.
Розглянемо окремо випадок \lambda 1 = 0, \lambda 2 \not = 0. Рiвняння (2.11) набирає вигляду
- 2\varphi \varphi \prime \prime + [n+ 2(2 - m)](\varphi \prime )2 = 0. (2.17)
Iнтегруючи рiвняння (2.17), знаходимо
\varphi = (A1u+A2)
2
- n+2m - 2 ,
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0, A1, A2 — сталi, A1 \not = 0, i
\varphi = A1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(A2u),
якщо - n+ 2m - 2 = 0, A1, A2 — сталi, A1 \not = 0, A2 \not = 0.
Отже, з огляду на (2.10) у випадку \lambda 1 = 0
F =
2\lambda 2
b(m - n)
(A1u+A2)
2(2 - m)
- n+2m - 2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
184 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
якщо - n+ 2m - 2 \not = 0, i
F =
2\lambda 2
b(m - n)
[A1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(A2u)]
2 - m,
якщо - n+ 2m - 2 = 0.
Таким чином, рiвняння (1.1), що допускає пiдстановку (1.3), (1.4) у випадку \lambda 1 = 0, \lambda 2 \not = 0,
має вигляд
ut =
2\lambda 2
b(m - n)
\varphi 2 - muxx
+
2(2 - m)\lambda 2
b(m - n)
\varphi 1 - m\varphi \prime (ux)
2 - \lambda 2c(2 - n)
b(m - n)
\varphi 3 - m
\varphi \prime + \lambda 3
\varphi
\varphi \prime . (2.18)
Теорема 2.5. Пiдстановка v = \varphi (u) зводить рiвняння (2.18) до вигляду
vt =
2\lambda 2
b(m - n)
v2 - mvxx -
n\lambda 2
b(m - n)
v1 - m(vx)
2 - \lambda 2c(2 - n)
b(m - n)
v3 - m + \lambda 3v.
Теорема 2.5 є наслiдком теореми 2.4, якщо в нiй покласти \lambda 1 = 0.
3. Точнi розв’язки рiвняння (1.1). Теорема 2.3 описує широкий клас рiвнянь (1.1), що до-
пускають розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних. Справдi, розглянемо пiдстановку
p(x) = w(t)\varphi (u), (3.1)
де функцiя p(x) задовольняє рiвняння
(p\prime )2 = ap
k+1
k + bp, k \in \BbbZ , (3.2)
з ненульовими коефiцiєнтами a, b, яка редукує рiвняння (1.1) до звичайного диференцiального
рiвняння з невiдомою функцiєю w(t). Рiвняння (3.2) iнтегрується, i його розв’язки визнача-
ються за формулами (2.4), (2.5). Вiдповiдне рiвняння (2.11) для визначення функцiї \varphi (u) теж
iнтегрується, його розв’язки наведено в теоремi 2.2.
Функцiя w(t) задовольняє рiвняння
w\prime + \lambda 1w
1/k + \lambda 2 + \lambda 3w = 0, (3.3)
яке пiдстановкою w1 = w1/k зводиться до вигляду
kw1
\prime + \lambda 1w1
2 - k + \lambda 2w1
1 - k + \lambda 3w1 = 0. (3.4)
Рiвняння (3.4) iнтегрується.
Таким чином, пiдстановка (3.1), (3.2) видiляє рiвняння (1.1), якi допускають розв’язки з
узагальненим вiдокремленням змiнних. Проiлюструємо на прикладi побудову точних розв’яз-
кiв рiвняння (1.1) вигляду (3.1), (3.2).
Приклад 3.1. Опишемо рiвняння (1.1) та побудуємо їхнi точнi розв’язки, якщо цi рiвняння
допускають пiдстановку (3.1), де
(p\prime )2 = ap3/2 + bp. (3.5)
Рiвняння (3.5) є частинним випадком рiвняння (3.2) i вiдповiдає значенню k = 2. Внаслiдок
теореми 2.3 рiвняння (1.1), що допускає пiдстановку (3.1), (3.5), має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 185
ut =
\bigl(
\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi
\bigr)
uxx +
\bigl(
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\bigr)
\varphi \prime (ux)
2 + \lambda 3
\varphi
\varphi \prime , (3.6)
де \varphi є розв’язком рiвняння (2.11) для значень n =
3
2
, m = 1, а
\sigma 1 =
4\lambda 1
a
, \sigma 2 =
4\lambda 2
b
, \lambda 1, \lambda 2 \in \BbbR . (3.7)
Згiдно з теоремою 2.4, рiвняння (3.6) пiдстановкою v = \varphi (u) зводиться до вигляду
vt =
\bigl(
\sigma 1v
1/2 + \sigma 2v
\bigr)
vxx +
\biggl(
- 1
2
\sigma 1v
- 1/2 - 3
4
\sigma 2
\biggr)
v2x + \lambda 3v. (3.8)
Рiвняння (3.6) i (3.8) залежать вiд трьох параметрiв \sigma 1, \sigma 2, \lambda 3 \not = 0. Параметри \sigma 1, \sigma 2 набувають
довiльних значень, одночасно не рiвних нулю.
Можливi такi випадки.
1. Випадок \sigma 1 = 0. У цьому випадку \lambda 1 = 0 i внаслiдок (2.11) з точнiстю до еквiвалентностi
\varphi = u - 4/3. Таким чином, рiвняння (3.6) має вигляд
ut =
\bigl(
\sigma 2u
- 4/3ux
\bigr)
x
- 3
4
\lambda 3u. (3.9)
Розв’язком рiвняння (3.5) є функцiя
p(x)1/2(x) =
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
, C2 — стала. (3.10)
Рiвняння (3.3) для визначення функцiї w(t) у випадку \lambda 1 = 0 має вигляд w\prime = - \lambda 2 - \lambda 3w i його
розв’язком є w = C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda 3t) -
\lambda 2
\lambda 3
, де C1 \not = 0 — стала. Використовуючи пiдстановку (3.1),
знаходимо розв’язок рiвняння (3.9):
u - 4/3 =
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda 3t) -
\lambda 2
\lambda 3
\biggr] - 1\biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
. (3.11)
Поклавши в (3.11) v = u - 4/3, отримаємо розв’язок рiвняння
vt = \sigma 2vvxx -
3
4
\sigma 2(vx)
2 + \lambda 3v. (3.12)
Згiдно з (3.7) маємо \lambda 2 = - 1
4
\sigma 2b, а тому розв’язки (3.11) i (3.12) записуються як
u - 4/3 = v =
\biggl(
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda 3t) -
\sigma 2b
4\lambda 3
\biggr) - 1\biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
. (3.13)
У розв’язках (3.13) a, b, C1, C2 розглядаються як сталi, a \not = 0, b \not = 0, C1 \not = 0.
2. Випадок \sigma 2 = 0. У цьому випадку \lambda 2 = 0 i внаслiдок рiвняння (2.11) з точнiстю до
еквiвалентностi
\varphi = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u. (3.14)
Таким чином, рiвняння (3.6) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
186 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
ut =
\Bigl(
\sigma 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl( u
2
\Bigr)
ux
\Bigr)
x
+ \lambda 3. (3.15)
Розв’язком рiвняння (3.3) для значень \lambda 2 = 0, k = 2 є функцiя
w1/2(t) = C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 1
2
\lambda 3t
\biggr)
- \lambda 1
\lambda 3
, C1 \not = 0 — стала. (3.16)
Пiдставляючи (3.10), (3.14), (3.16) у пiдстановку (3.1), знаходимо розв’язок рiвняння (3.15):
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u =
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 1
2
\lambda 3t
\biggr)
- \lambda 1
\lambda 3
\biggr] - 2\biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
. (3.17)
Поклавши в (3.17) v = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u, отримаємо розв’язок рiвняння
vt = \sigma 1v
1/2vxx -
1
2
\sigma 1v
- 1/2(vx)
2 + \lambda 3v. (3.18)
Оскiльки \lambda 1 =
1
4
\sigma 1a, то розв’язки рiвнянь (3.15) i (3.18) записуються як
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}u = v =
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 1
2
\lambda 3t
\biggr)
- \sigma 1a
4\lambda 3
\biggr] - 2\biggl[ a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
. (3.19)
У розв’язках (3.19) a, b, C1, C2 розглядаються як сталi, a \not = 0, b \not = 0, C1 \not = 0.
3. Випадок \sigma 1 \not = 0, \sigma 2 \not = 0. Для рiвняння (3.8) пiдстановка (3.1), (3.2) має вигляд
v =
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
w - 1, (3.20)
де w(t) є розв’язком рiвняння w\prime = - \lambda 1w
1/2 - \lambda 2 - \lambda 3w, \lambda 3 \not = 0, i задається неявно за
допомогою одного зi спiввiдношень
1\circ )
1
\lambda 3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 3
2
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr) 2
+
\lambda 2
2
- \lambda 2
1
8\lambda 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
- 2\lambda 1
\lambda 3
\sqrt{}
4\lambda 2\lambda 3 - \lambda 2
1
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl(
2\lambda 3\sqrt{}
4\lambda 2\lambda 3 - \lambda 2
1
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr) \Biggr)
+ t = C,
якщо \lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3 < 0;
2\circ )
1
\lambda 3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 3
2
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr) 2
+
\lambda 2
2
- \lambda 2
1
8\lambda 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+
\lambda 1
\lambda 3
\sqrt{}
\lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sqrt{}
\lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3 + 2\lambda 3
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr)
\sqrt{}
\lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3 - 2\lambda 3
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + t = C,
якщо \lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3 > 0;
3\circ )
1
\lambda 3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
\lambda 3
\biggr) 2
+
\lambda 1
\lambda 2
3
\biggl(
w1/2 +
\lambda 1
2\lambda 3
\biggr) + t = C,
якщо \lambda 2
1 - 4\lambda 2\lambda 3 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 187
Виразивши в 1\circ – 3\circ параметри \lambda 1, \lambda 2 через параметри \sigma 1, \sigma 2, a, b згiдно з формулами (3.7),
отримаємо, наприклад, у випадку 1\circ спiввiдношення
1
\lambda 3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 3
2
\biggl(
w1/2 +
\sigma 1a
8\lambda 3
\biggr) 2
- \sigma 2b
8
- \sigma 2
1a
2
128\lambda 3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
- \sigma 1a
\lambda 3
\sqrt{}
- 1
16
\sigma 2
1a
2 - \sigma 2b\lambda 3
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\left( 2\lambda 3\sqrt{}
- 1
16
\sigma 2
1a
2 - \sigma 2b\lambda 3
\biggl(
w1/2 +
\sigma 1a
8\lambda 3
\biggr) \right) + t = C,
де
1
16
\sigma 2
1 + \sigma 2b\lambda 3 < 0. Таким чином, рiвняння (3.8) має розв’язки вигляду (3.20), де функцiя
w(t) задається неявно за допомогою одного зi спiввiдношень 1\circ – 3\circ , в яких параметри \lambda 1, \lambda 2
виражено через параметри \sigma 1, \sigma 2, a, b згiдно з формулами (3.7).
Для побудови розв’язкiв вiдповiдного рiвняння (3.6) необхiдно визначити функцiю \varphi (u),
яке задовольняє рiвняння (2.11) для значень n =
3
2
, m = 1:
\sigma 2
\biggl[
- 2\varphi \varphi \prime \prime +
7
2
(\varphi \prime )2
\biggr]
\varphi 3/2 - \sigma 1
\bigl[
2\varphi \varphi \prime \prime - 2(\varphi \prime )2
\bigr]
\varphi = 0. (3.21)
Згiдно з теоремою 2.2
\Bigl(
випадок 2 при n =
3
2
, m = 1
\Bigr)
, рiвняння (3.21) має з точнiстю до
еквiвалентностi такi розв’язки:
4\circ ) якщо \theta 21 = \sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 < 0, \sigma 2 > 0, то
u = (\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
- 1/2 +
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
1/2
( - \sigma 1)1/2
\Biggr]
; (3.22)
5\circ ) якщо \theta 21 = - \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 > 0, \sigma 2 < 0, то
u = ( - \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1)
- 1/2 +
1
\sigma
1/2
1
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
( - \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1)
1/2
\sigma
1/2
1
\Biggr]
; (3.23)
6\circ ) якщо \theta 21 = \sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 > 0, то
u = 2
\bigl(
\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
\sigma
1/2
1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (\sigma 2\varphi 1/2 + \sigma 1)
1/2 - \sigma
1/2
1
(\sigma 2\varphi 1/2 + \sigma 1)1/2 + \sigma
1/2
1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ; (3.24)
7\circ ) якщо \theta 21 = - \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1 \geq 0, \sigma 1 < 0, то
u = 2
\bigl(
- \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ( - \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1)
1/2 - ( - \sigma 1)
1/2
( - \sigma 2\varphi 1/2 - \sigma 1)1/2 + ( - \sigma 1)1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (3.25)
Таким чином, якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (3.1), (3.5), то воно має вигляд (3.6),
де \varphi є розв’язком рiвняння (3.21) i задається неявно за допомогою одного iз спiввiдно-
шень (3.22) – (3.25). Нехай, наприклад, функцiя \varphi задається за допомогою спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
188 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
(3.22). Тодi з (3.22) випливає, що
\varphi \prime =
4
\sigma 1
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
3/2\varphi ,
а тому
H(u) = \lambda 3
\varphi
\varphi \prime =
\lambda 3\sigma 1
4
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
- 3/2.
Рiвняння (3.6) має вигляд
ut = (\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi )uxx
+
4
\sigma 1
\biggl(
1
2
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\biggr)
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
3/2\varphi (ux)
2 +
\lambda 3\sigma 1
4
(\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1)
- 3/2. (3.26)
Точнi розв’язки рiвняння (3.26) отримуються iз спiввiдношення (3.22), якщо в ньому функ-
цiю \varphi (u) замiнити на функцiю
h(t, x) =
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr] 2
w - 1, (3.27)
де функцiя w(t) задається неявно за допомогою одного iз спiввiдношень 1\circ – 3\circ . Так, якщо
функцiя \varphi визначається за допомогою спiввiдношення (3.22), то вiдповiдне рiвняння (3.26) має
розв’язки вигляду
u =
\bigl(
\sigma 2h
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 1/2
+
1
( - \sigma 1)1/2
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\Biggl[
(\sigma 2h
1/2 + \sigma 1)
1/2
( - \sigma 1)1/2
\Biggr]
,
де h(t, x) задається формулою (3.27), допустимi значення параметрiв \sigma 1, \sigma 2 задовольняють
нерiвностi \sigma 1 < 0, \sigma 2 > 0, а
h1/2(x) =
\biggl[
a
16
(x+ C2)
2 - b
a
\biggr]
w - 1/2.
Якщо функцiя \varphi визначається за допомогою спiввiдношення (3.23), то рiвняння (3.6) має
вигляд
ut = (\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi )uxx
- 4
\sigma 1
\biggl(
1
2
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\biggr) \bigl(
- \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1
\bigr) 3/2
\varphi (ux)
2 - \lambda 3\sigma 1
4
\bigl(
- \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1
\bigr) - 3/2
.
Якщо функцiя \varphi визначається за допомогою спiввiдношення (3.24), то рiвняння (3.6) має
вигляд
ut = (\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi )uxx
+
2
\sigma 1
\biggl(
1
2
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\biggr) \bigl(
\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1
\bigr) 3/2
\varphi (ux)
2 +
\lambda 3\sigma 1
2
\bigl(
\sigma 2\varphi
1/2 + \sigma 1
\bigr) - 3/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 189
Якщо ж функцiя \varphi визначається за допомогою спiввiдношення (3.25), то рiвняння (3.6) має
вигляд
ut = (\sigma 1\varphi
1/2 + \sigma 2\varphi )uxx
- 2
\sigma 1
\biggl(
1
2
\sigma 1\varphi
- 1/2 + \sigma 2
\biggr) \bigl(
- \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1
\bigr) 3/2
\varphi (ux)
2 - \lambda 3\sigma 1
2
\bigl(
- \sigma 2\varphi
1/2 - \sigma 1
\bigr) - 3/2
.
4. Точнi розв’язки вигляду \bfitx = \bfitw \bfone (\bfitt )\bfitvarphi (\bfitu ) + \bfitw \bftwo (\bfitt ) рiвняння (1.1).
Означення 4.1. Будемо говорити, що рiвняння (1.1) допускає пiдстановку
p(x) = w1(t)\varphi (u) + w2(t)), (4.1)
якщо ця пiдстановка редукує рiвняння (1.1) до системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь
з невiдомими функцiями w1 i w2.
Поклавши в (4.1) p(x) = x, отримаємо пiдстановку
x = w1(t)\varphi (u) + w2(t)), (4.2)
яку використаємо для побудови розв’язкiв рiвняння (1.1). З’ясуємо, для яких функцiй F (u)
i H(u) рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (4.2). У пiдстановцi (4.2) три невiдомi функцiї
w1(t), w2(t) i \varphi (u), якi визначатимемо з умови, що пiдстановка (4.2) редукує рiвняння (1.1)
до системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь з невiдомими функцiями w1(t), w2(t).
Шукану систему знаходимо в такий спосiб. Пiдставимо (4.2) в рiвняння (1.1):
- w\prime
1
w1
\varphi
\varphi \prime -
w\prime
2
w2
1
\varphi \prime =
\biggl(
- F
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ F \prime 1
(\varphi \prime )2
\biggr)
1
w2
1
+H(u). (4.3)
Якщо розв’язок рiвняння (1.1) вигляду (4.2) iснує, то рiвнiсть (4.3) означає, що функцiї
\varphi
\varphi \prime ,
1
\varphi \prime , - F
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ F \prime 1
(\varphi \prime )2
, H (4.4)
є лiнiйно залежними. Функцiї
\varphi
\varphi \prime ,
1
\varphi \prime лiнiйно незалежнi, на всi iншi функцiї (4.4) накладемо
вимогу, щоб їх можна було записати як лiнiйну комбiнацiю функцiй
\varphi
\varphi \prime ,
1
\varphi \prime . Таким чином
отримаємо
- F
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ F \prime 1
(\varphi \prime )2
= \lambda 1
\varphi
\varphi \prime + \mu 1
1
\varphi \prime , (4.5)
H = \lambda 2
\varphi
\varphi \prime + \mu 2
1
\varphi \prime (4.6)
для деяких \lambda i, \mu i \in \BbbR . Пiдставимо (4.5), (4.6) в рiвняння (4.3):\biggl(
- w\prime
1
w1
- \lambda 1
w2
1
- \lambda 2
\biggr)
\varphi
\varphi \prime +
\biggl(
- w\prime
2
w1
- \mu 1
w2
1
- \mu 2
\biggr)
1
\varphi \prime = 0. (4.7)
Функцiї
\varphi
\varphi \prime ,
1
\varphi \prime лiнiйно незалежнi, а тому рiвняння (4.7) розпадається на систему двох рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
190 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
w\prime
1
w1
+
\lambda 1
w2
1
+ \lambda 2 = 0, (4.8)
w\prime
2
w1
+
\mu 1
w2
1
+ \mu 2 = 0. (4.9)
Нехай F \prime (u) \not = 0. Iнтегруючи рiвняння (4.5), яке є лiнiйним щодо функцiї F = F (u), знаходимо
F =
\biggl(
\lambda 1
\int
\varphi du+ \mu 1u+ \lambda 3
\biggr)
\varphi \prime , \lambda 3 — довiльна стала. (4.10)
У пiдсумку отримуємо таку теорему.
Теорема 4.1. Нехай в рiвняння (1.1) F \prime (u) \not = 0. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстанов-
ку (4.2), то функцiї F (u) i H(u) визначаються за формулами (4.10) i (4.6) вiдповiдно, а w1,
w2 є розв’язками системи рiвнянь (4.8), (4.9).
Згiдно з теоремою 4.1, функцiя \varphi (u) в пiдстановцi (4.2) задається довiльно, а функцiї F (u)
i H(u) виражаються через функцiю \varphi (u). Вiдшукання розв’язкiв вигляду (4.2) рiвняння (1.1)
зводиться тепер до iнтегрування системи (4.8), (4.9). Систему (4.8), (4.9) запишемо в iншому
виглядi, перейшовши до нових функцiй v1, v2 :
v1 =
1
w1
, v2 = - w2
w1
.
Тодi система (4.8), (4.9) набере вигляду
v\prime 1 = \lambda 1v
3
1 + \lambda 2v1, (4.11)
v\prime 2 = (\lambda 1v
2
1 + \lambda 2)v2 + \mu 1v
2
1 + \mu 2. (4.12)
Розглянемо три випадки.
1. Випадок \lambda 1 \not = 0, \lambda 2 = 0. Рiвняння (1.1) має вигляд
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl(
F (u)
\partial u
\partial x
\biggr)
+ \mu 2
1
\varphi \prime , (4.13)
де функцiя F (u) визначається за формулою (4.10). Загальний розв’язок системи (4.11), (4.12)
для \lambda 2 = 0 визначається формулами
v1 =
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr] - 1/2
,
v2 = - \mu 1
\lambda 1
- \mu 2
3\lambda 1
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr]
+ C2
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr] - 1/2
,
де C1, C2 — довiльнi сталi. У пiдсумку отримуємо точний розв’язок рiвняння (4.13):
\varphi (u) =
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr] - 1/2
x - \mu 1
\lambda 1
- \mu 2
3\lambda 1
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr]
+ C2
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr] - 1/2
. (4.14)
Якщо в (4.14) покласти \mu 1 = \mu 3 = 0, C2 = 0, то отримаємо автомодельнi розв’язки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 191
\varphi (u) =
\bigl[
- 2\lambda 1(t+ C1)
\bigr] - 1/2
x (4.15)
рiвняння
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl(
F (u)
\partial u
\partial x
\biggr)
,
де функцiя F (u) визначається за формулою (4.10). Розв’язки вигляду (4.15) вивчено в [4].
2. Випадок \lambda 1 = 0, \lambda 2 \not = 0. Загальний розв’язок системи (4.11), (4.12) у цьому випадку
визначається формулами
v1 = C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t),
v2 =
\mu 1C
2
1
\lambda 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\lambda 2t) -
\mu 2
\lambda 2
+ C2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t),
C1, C2 — сталi, C1 \not = 0. Рiвняння (1.1) має вигляд
\partial u
\partial t
=
\partial
\partial x
\biggl[
(\mu 1u+ \lambda 3)\varphi
\prime \partial u
\partial x
\biggr]
+
1
\varphi \prime (\lambda 2\varphi + \mu 2) (4.16)
i має таку сiм’ю розв’язкiв:
\varphi (u) = C1x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t) +
\mu 1C
2
1
\lambda 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\lambda 2t) -
\mu 2
\lambda 2
+ C2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t).
Теорема 4.2. Якщо функцiю \varphi (u) в рiвняннi (4.16) задати неявно за допомогою функцiо-
нального рiвняння u = \phi (\varphi (u)), де \phi (y) — довiльна наперед задана функцiя, яка забезпечує
iснування однозначної i диференцiйовної оберненої функцiї y = \phi - 1(u), то рiвняння (4.16) має
вигляд
ut =
\mu 1\phi + \lambda 3
\phi \prime uxx +
\biggl[
\mu 1
\phi \prime
1
- (\mu 1\phi + \lambda 3)\phi
\prime \prime
(\phi \prime )3
\biggr]
(ux)
2 + (\lambda 2\varphi + \mu 2)\phi
\prime (4.17)
i його розв’язком є функцiя u = \phi (\varphi (u)), де
\varphi (u) = C1x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t) +
\mu 1C
2
1
\lambda 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\lambda 2t) -
\mu 2
\lambda 2
+ C2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t). (4.18)
Приклад 4.1. Нехай у системi (4.11), (4.12) \lambda 1 = 0, \lambda 2 \not = 0, а вiдповiдна функцiя \varphi (u)
в рiвняннi (4.16) задається неявно за допомогою функцiонального рiвняння u = \phi (\varphi (u)), де
\phi (\varphi ) = a1\varphi + a2\varphi
3, a1, a2 — ненульовi дiйснi числа. Тодi \varphi \prime =
1
a1 + 3a2\varphi 2
, а тому з огляду на
(4.17) рiвняння (4.16) має вигляд
ut =
\mu 1\phi + \lambda 3
a1 + 3a2\varphi 2
uxx +
\biggl[
\mu 1
a1 + 3a2\varphi 2
- 6a2(\mu 1\phi + \lambda 3)\varphi
(a1 + 3a2\varphi 2)3
\biggr]
(ux)
2 + (a1 + 3a2\varphi
2)(\lambda 2\varphi + \mu 2).
Розв’язком цього рiвняння є функцiя u = a1\varphi + a2\varphi
3, де \varphi визначається за формулою (4.18).
3. Випадок \lambda 1 = 0, \mu 1 \not = 0, \lambda 2 = \mu 2 = 0. Загальний розв’язок системи (4.11), (4.12) у
цьому випадку визначається функцiями v1 = k1, v2 = \mu 1k
2
1t + k2, k1, k2 — сталi, k1 \not = 0.
Рiвняння (1.1) має вигляд
ut =
\bigl[
(\mu 1u+ \lambda 3)\varphi
\prime ux
\bigr]
x
(4.19)
i його розв’язком є функцiя \varphi (u) = k1x+ \mu 1k
2
1t+ k2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
192 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
Теорема 4.3. Якщо в системi (4.11), (4.12) \lambda 1 = 0, \mu 1 \not = 0, \lambda 2 = \mu 2 = 0, а вiдповiдна
функцiя \varphi (u) в рiвняннi (4.19) задається неявно за допомогою функцiонального рiвняння u =
\phi (\varphi (u)), де \phi (y) — довiльна наперед задана функцiя, яка забезпечує iснування однозначної i
диференцiйовної оберненої функцiї y = \phi - 1(u), то рiвняння (4.19) має вигляд
ut =
\mu 1u+ \lambda 3
\phi \prime uxx +
\biggl[
\mu 1
\phi \prime -
(\mu 1u+ \lambda 3)\phi
\prime \prime
(\phi \prime )3
\biggr]
(ux)
2
i його розв’язком є функцiя u = \phi (z), де z визначається за формулою z = k1x + \mu 1k
2
1t + k2,
k1, k2 — сталi, k1 \not = 0.
5. Точнi розв’язки вигляду \bfitp (\bfitx ) = \bfitw (\bfitt )\bfitvarphi (\bfitu ) рiвняння (1.1). Опишемо рiвняння (1.1)
та побудуємо їхнi точнi розв’язки, якщо цi рiвняння допускають пiдстановку
p(x) = w(t)\varphi (u), (5.1)
де p(x) є розв’язком рiвняння
(p\prime )2 = ap2 + b, a \not = 0, b \not = 0. (5.2)
Пiдставимо (5.1) в рiвняння (1.1):
- w\prime
w
1
\varphi \prime =
1
w2
\biggl(
- bF
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ bF \prime 1
(\varphi \prime )2
\biggr)
+
\biggl(
- aF
\varphi 2\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ aF \prime \varphi 2
(\varphi \prime )2
+ aF
\varphi
\varphi \prime +H
\biggr)
.
Для визначення функцiй F (u), H(u) i \varphi (u) отримуємо систему рiвнянь
- F
\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ F \prime 1
(\varphi \prime )2
= \lambda 1
\varphi
\varphi \prime , (5.3)
- aF
\varphi 2\varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+ aF \prime \varphi 2
(\varphi \prime )2
+ aF
\varphi
\varphi \prime +H = \lambda 2
\varphi
\varphi \prime (5.4)
для деяких \lambda 1, \lambda 2 \in \BbbR . Нехай F \prime (u) \not = 0. Iнтегруючи рiвняння (5.3), яке є лiнiйним щодо
функцiї F (u), знаходимо
F =
\biggl(
\lambda 1
\int
\varphi du+ \lambda 3
\biggr)
\varphi \prime , \lambda 3 — стала. (5.5)
Пiдставляючи (5.3), (5.4) в попереднє рiвняння, отримуємо рiвняння для визначення функцiї
w(t):
w\prime
w
+ \lambda 1b
1
w2
+ \lambda 2 = 0. (5.6)
З рiвнянь (5.3), (5.4) знаходимо
H(u) =
1
\varphi \prime ( - \lambda 1a\varphi
3 - aF\varphi + \lambda 2\varphi ). (5.7)
Таким чином, справедлива така теорема.
Теорема 5.1. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (5.1), (5.2) i F \prime (u) \not = 0, то функцiї
F (u) i H(u) визначаються за формулами (5.5) i (5.7) вiдповiдно, де функцiя \varphi (u) задається
довiльно, а функцiя w(t) є розв’язком рiвняння (5.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 193
Рiвняння (5.2) має такi розв’язки:
1\circ ) p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
b
a
\mathrm{s}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], \varepsilon = \pm 1, якщо a > 0, b > 0;
2\circ ) p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
- b
a
\mathrm{c}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], \varepsilon = \pm 1, якщо a > 0, b < 0;
3\circ ) p(x) = \varepsilon
\sqrt{}
- b
a
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
, \varepsilon = \pm 1, якщо a < 0, b > 0,
C2 — стала.
Розв’язками рiвняння (5.6) є функцiї
w = \varepsilon
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1b
\lambda 2
\biggr] 1/2
, (5.8)
\varepsilon = \pm 1, C1 \not = 0 — стала, якщо \lambda 2 \not = 0, i
w = \varepsilon ( - 2\lambda 1bt+ C1)
1/2, (5.9)
\varepsilon = \pm 1, C1 — стала, якщо \lambda 2 = 0.
Пiдставляючи функцiї w(t), визначенi за формулами (5.8), (5.9), а також функцiї p(x),
визначенi за формулами 1\circ – 3\circ , у пiдстановку (5.1), знаходимо такi розв’язки рiвняння (1.1) у
випадку, коли функцiї F (u) i H(u) задано вiдповiдно формулами (5.5) i (5.7):
1) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1/2
\mathrm{s}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.10)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, якщо a > 0, \lambda 2 \not = 0;
2) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1/2 \mathrm{s}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.11)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, якщо a > 0, \lambda 2 = 0;
3) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1/2
\mathrm{c}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.12)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, якщо a > 0, \lambda 2 \not = 0;
4) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1/2 \mathrm{c}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.13)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, якщо a > 0, \lambda 2 = 0;
5) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
- a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1/2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
, (5.14)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, якщо a < 0, \lambda 2 \not = 0;
6) \varphi (u) =
\varepsilon \surd
- a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
, (5.15)
\varepsilon = \pm 1, C1, C2 — сталi, якщо a < 0, \lambda 2 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
194 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
Наслiдок 5.1. Якщо у формулах (5.5) i (5.7) \lambda 1 = 0, \lambda 3 \not = 0 i \lambda 2 \not = 0 вiдповiдно, а функ-
цiя \varphi (u) задається неявно за допомогою функцiонального рiвняння u = \phi (\varphi (u)), де \phi (y)
— довiльна наперед задана функцiя, яка забезпечує iснування однозначної i диференцiйовної
оберненої функцiї y = \phi - 1(u), то рiвняння (1.1) має вигляд
ut =
\lambda 3
\phi \prime uxx -
\lambda 3\phi
\prime \prime
(\phi \prime )3
(ux)
2 - \lambda 3a\varphi + \lambda 2\varphi \phi
\prime
i його розв’язками є функцiї u = \phi (\varphi (u)), де \varphi (u) — одна з таких функцiй:
1) \varphi (u) =
C1\surd
a
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t) \mathrm{s}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.16)
a > 0, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0;
2) \varphi (u) =
C1\surd
a
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t) \mathrm{c}\mathrm{h}[
\surd
a(x+ C2)], (5.17)
a > 0, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0;
3) \varphi (u) =
C1\surd
- a
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda 2t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
, (5.18)
a < 0, C1, C2 — сталi, C1 \not = 0.
Приклад 5.1. Нехай у формулi (5.5) \lambda 1 \not = 0, \varphi = uk/2, k \not = - 2. Тодi
F =
\lambda 1k
k + 2
uk +
\lambda 3k
2
u
k - 2
2
i за формулою (5.7)
H = - 4\lambda 1a
k + 1
k(k + 2)
uk+1 - \lambda 3au
k/2 +
2\lambda 2
k
u.
Таким чином, рiвняння (1.1) має вигляд
ut =
\biggl[ \biggl(
\sigma uk +
\lambda 3k
2
u
k - 2
2
\biggr)
ux
\biggr]
x
+ \sigma \~a1u
k+1 - \lambda 3au
k/2 +
2\lambda 2
k
u, (5.19)
де
\sigma =
\lambda 1k
k + 2
, \~a1 = - 4(k + 1)a
k2
.
Згiдно з теоремою 5.1, розв’язками рiвняння (5.19) є функцiї (5.10) – (5.15), якщо в них покласти
\varphi (u) = uk/2 :
1) uk =
1
a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1
\mathrm{s}\mathrm{h}2[
\surd
a(x+ C2)],
C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, a > 0, \lambda 2 \not = 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 195
2) uk =
1
a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1 \mathrm{s}\mathrm{h}2[
\surd
a(x+ C2)],
C1, C2 — сталi, a > 0, \lambda 2 = 0;
3) uk =
1
a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1
\mathrm{c}\mathrm{h}2[
\surd
a(x+ C2)],
C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, a > 0, \lambda 2 \not = 0;
4) uk =
1
a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1 \mathrm{c}\mathrm{h}2[
\surd
a(x+ C2)],
C1, C2 — сталi, a > 0, \lambda 2 = 0;
5) uk = - 1
a
\biggl[
C1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - 2\lambda 2t) -
\lambda 1
\lambda 2
\biggr] - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
,
C1, C2 — сталi, C1 \not = 0, a < 0, \lambda 2 \not = 0;
6) uk = - 1
a
( - 2\lambda 1t+ C1)
- 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\bigl[ \surd
- a(x+ C2)
\bigr]
,
C1, C2 — сталi, a < 0, \lambda 2 = 0.
Якщо в рiвняннi (5.19) покласти \lambda 3 = 0, то отримаємо рiвняння
ut =
\bigl(
\sigma ukux
\bigr)
x
+ \sigma \~a1u
k+1 +
2\lambda 2
k
u,
i його розв’язками є функцiї 1 – 6.
Приклад 5.2. Нехай у формулах (5.5) i (5.7) \lambda 1 = 0, \lambda 2 \not = 0, \lambda 3 \not = 0, а функцiя \varphi (u)
задається неявно за допомогою функцiонального рiвняння
u = a1\varphi (u) + a2\varphi (u)
3,
де a1, a2 — ненульовi дiйснi числа. Тодi
\varphi \prime =
1
a1 + 3a2\varphi 2
,
а тому за формулами (5.5) i (5.7) знаходимо
F (u) =
\lambda 3
a1 + 3a\varphi 2
,
H(u) = (\lambda 2a1 - \lambda 3a)\varphi + 3\lambda 2a2\varphi
3.
Рiвняння (1.1) має вигляд
ut =
\biggl(
\lambda 3
a1 + 3a\varphi 2
ux
\biggr)
x
+ (\lambda 2a1 - \lambda 3a)\varphi + 3\lambda 2a2\varphi
3. (5.20)
Згiдно з наслiдком 5.1, рiвняння (5.20) має розв’язки вигляду u = a1\varphi (u) + a2\varphi (u)
3, де \varphi (u)
визначається за однiєю з формул (5.16) – (5.18).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
196 АНАТОЛIЙ БАРАННИК, ТЕТЯНА БАРАННИК, IВАН ЮРИК
6. Висновки. Пiдстановка (3.1), (3.2) видiляє широкий клас рiвнянь (1.1), що допуска-
ють розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних. Список рiвнянь (1.1), що допускають
розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних, можна суттєво розширити, використавши
пiдстановку
p(x) = w(t)\varphi (u), (6.1)
де функцiя p(x) задовольняє рiвняння
(p\prime )2 = apn + bpm + cp2 (6.2)
з ненульовими коефiцiєнтами a, b, c i рацiональними показниками n i m. З результатiв, викла-
дених у п. 2, випливає, що побудова розв’язкiв вигляду (6.1), (6.2) рiвняння (1.1) зводиться
до iнтегрування рiвняння (6.2). Рiвняння (6.2) повнiстю iнтегрується, якщо, наприклад, n = 1,
m = 0. У випадку n = 4, m = 0 рiвняння (6.2) має вигляд
(p\prime )2 = ap4 + b+ cp2
i його точнi розв’язки виражаються через елiптичнi функцiї Якобi. Цей вигляд розглянуто в
[11]. Якщо в (6.2) n =
2
3
, m = 0, то
(p\prime )2 = ap2/3 + b+ cp2, (6.3)
i пiдстановкою z = p - 1/3 рiвняння (6.3) зводиться до вигляду
(z\prime )2 = a(z6 + b1z
5 + c1z
2), (6.4)
де b1 =
b
9a
, c1 =
c
9a
.
Точнi розв’язки рiвняння (6.4), а отже й рiвняння (6.3), виражаються через елiптичнi iнте-
грали 1-го i 3-го роду.
Список рiвнянь (1.1), що допускають точнi розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiн-
них, можна також розширити, якщо використати пiдстановку
p(x) = w1(t)\varphi (u) + w2(t), (6.5)
де p(x) є розв’язком рiвняння
(p\prime )2 = ap2 + b (6.6)
з ненульовими коефiцiєнтами a i b.
Теорема 6.1. Якщо рiвняння (1.1) допускає пiдстановку (6.5), (6.6), то функцiя \varphi (u) є
розв’язком рiвняння
-
\bigl[
\mu 1 + (\lambda 1 - 2\mu 2)\varphi - 2\lambda 2\varphi
2
\bigr] \varphi \prime \prime
(\varphi \prime )3
+
\bigl[
(\lambda 1 - 2\mu 2)\varphi
\prime - 4\lambda 2\varphi \varphi
\prime \bigr] 1
(\varphi \prime )2
= \lambda 2
\varphi
\varphi \prime + \mu 2
1
\varphi \prime , (6.7)
а функцiї F (u) i H(u) визначаються за формулами
F (u) = \mu 1 + (\lambda 1 - 2\mu 2)\varphi - 2\lambda 2\varphi
2,
H(u) =
1
\varphi \prime
\bigl[
\lambda 2a\varphi
3 - (\lambda 1 - \mu 2)a\varphi
2 - (\mu 1a - \lambda 3)\varphi + \mu 3
\bigr]
, \lambda i, \mu i \in \BbbR .
Для окремих значень параметрiв \lambda i, \mu i рiвняння (6.7) можна зiнтегрувати, обчислити функ-
цiї F (u), H(u) вiдповiдного рiвняння (1.1) i побудувати його точнi розв’язки. Пiдстановку
(6.5), (6.6) було використано в [7] для побудови точних розв’язкiв рiвняння ut = (\sigma u - 1ux)x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВIДОКРЕМЛЕННЯМ ЗМIННИХ РIВНЯННЯ НЕЛIНIЙНОЇ . . . 197
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. В. А. Дородницын, Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником, Журн.
вычислит. математики и мат. физики, 22, № 6, 1393 – 1400 (1982).
2. A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, Handbook of nonlinear partial differential equations, Chapman & Hall/CRC, Boca
Raton, FL (2012).
3. Л. В. Овсянников, Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности, Докл. АН СССР, 125, № 3,
492 – 495 (1959).
4. G. R. Philip, General method of exact solutions of the concentration-dependent diffusion equation, Austral. J. Phys.,
13, № 1, 13 – 20 (1960).
5. A. D. Polyanin, A. I. Zhurov, Separation of variables in PDEs using nonlinear transformations: applications to
reaction-diffusion type equations, Appl. Math. Lett., 100, Article 106055 (2020).
6. A. D. Polyanin, Functional separable solutions of nonlinear convection-diffusion equations with variable coefficients,
Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simul., 73, 379 – 390 (2019).
7. А. Ф. Баранник, Т. А. Баранник, I. I. Юрик, Точнi розв’язки з узагальненим вiдокремленням змiнних рiвняння
нелiнiйної теплопровiдностi, Укр. мат. журн., 74, № 3, 394 – 310 (2022).
8. M. Bertsch, R. Kersner, L. A. Peletier, Positivity versus localization in degenerate diffusion equations, Nonlinear
Anal. Theory. Meth. and Appl., 9, 987 – 1008 (1985).
9. В. А. Галактионов, С. А. Посашков, О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными
нелинейностями, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 29, № 4, 497 – 506 (1989).
10. А. Ф. Баранник, Т. А. Баранник, I. I. Юрик, Метод побудови точних розв’язкiв нелiнiйного рiвняння тепло-
провiдностi ut = (F (u)ux)x +G(u)ux +H(u), Укр. мат. журн., 71, № 11, 1443 – 1454 (2019).
11. А. Ф. Баранник, Т. А. Баранник, I. I. Юрик, Точнi розв’язки нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi ut =
(F (u)ux)x +H(u), Збiрник праць Iнституту математики НАН України, 16, № 1, 6 – 15 (2019).
12. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Физматгиз, Москва (1959).
Одержано 25.07.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7700 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:04Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c1/a67ac446d3fc6d6c6800c074bd8948c1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77002024-06-19T00:35:13Z Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source Точні розв'язки з узагальненим відокремленням змінних рівняння нелінійної теплопровідності з джерелом Barannyk, A. Barannyk, T. Yuryk, I. Баранник, Анатолій Баранник, Тетяна Юрик, Іван нелінійні рівняння теплопровідності узагальнене відокремлення змінних точні розв'язки UDC 517.9 We propose a method for the construction of exact solutions to nonlinear heat-conduction equation with a source based on the classical method&nbsp;of separation of variables, its generalization, and the reduction method. We consider substitutions&nbsp; reducing the nonlinear heat-conduction &nbsp; equation to ordinary differential equations and to a system of two ordinary differential equations.&nbsp;&nbsp;The classes of exact solutions of the analyzed equation are constructed by the method of generalized separation of variables. УДК 517.9 Запропоновано метод побудови точних розв'язків рівняння нелінійної теплопровідності з джерелом, який базується на класичному методі відокремлення змінних та його узагальненні і методі редукції. Розглянуто підстановки, що редукують рівняння нелінійної теплопровідності до звичайних диференціальних рівнянь та системи двох звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано класи точних розв'язків з узагальненим відокремленням змінних цього рівняння.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-02-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7700 10.3842/umzh.v76i2.7700 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 2 (2024); 179-197 Український математичний журнал; Том 76 № 2 (2024); 179-197 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7700/9724 Copyright (c) 2024 Іван Іванович Юрик |
| spellingShingle | Barannyk, A. Barannyk, T. Yuryk, I. Баранник, Анатолій Баранник, Тетяна Юрик, Іван Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title | Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title_alt | Точні розв'язки з узагальненим відокремленням змінних рівняння нелінійної теплопровідності з джерелом |
| title_full | Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title_fullStr | Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title_full_unstemmed | Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title_short | Exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| title_sort | exact solutions with generalized separation of variables for the nonlinear heat equation with a source |
| topic_facet | нелінійні рівняння теплопровідності узагальнене відокремлення змінних точні розв'язки |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7700 |
| work_keys_str_mv | AT barannyka exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT barannykt exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT yuryki exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT barannikanatolíj exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT baranniktetâna exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT ûrikívan exactsolutionswithgeneralizedseparationofvariablesforthenonlinearheatequationwithasource AT barannyka točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom AT barannykt točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom AT yuryki točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom AT barannikanatolíj točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom AT baranniktetâna točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom AT ûrikívan točnírozv039âzkizuzagalʹnenimvídokremlennâmzmínnihrívnânnânelíníjnoíteploprovídnostízdžerelom |