Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus
UDC 517.9 We study homoclinic bifurcations in an interval map associated with a saddle-focus of (2, 1)-type in $Z_2$-symmetric systems. Our study of this map reveals a homoclinic structure of the saddle-focus, with bifurcation unfolding guided by the codimension-two Belyakov bifurcation...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7706 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512704239763456 |
|---|---|
| author | Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. |
| author_facet | Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. |
| author_sort | Hinsley, Carter |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:59Z |
| description | UDC 517.9
We study homoclinic bifurcations in an interval map associated with a saddle-focus of (2, 1)-type in $Z_2$-symmetric systems. Our study of this map reveals a homoclinic structure of the saddle-focus, with bifurcation unfolding guided by the codimension-two Belyakov bifurcation. We consider three parameters of the map corresponding to the saddle quantity, splitting parameter, and the focal frequency of the smooth saddle-focus in a neighborhood of homoclinic bifurcations. We symbolically encode the dynamics of the map in order to find stability windows and locate homoclinic bifurcation sets in a computationally efficient manner. The organization and possible shapes of homoclinic bifurcation curves in the parameter space are examined, taking into account the symmetry and discontinuity of the map. Sufficient conditions for stability and local symbolic constancy of the map are presented. This study provides insights into the structure of homoclinic bifurcations of the saddle-focus map, furthering comprehension of low-dimensional chaotic systems. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i12.7706 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:01Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-7706 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:01Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-77062024-06-19T00:34:59Z Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Interval map Shilnikov homoclinic bifurcation Belyakov bifurcation Dynamical systems Chaos Ordinary Differential Equations Dynamical systems Chaos UDC 517.938 UDC 517.9 We study homoclinic bifurcations in an interval map associated with a saddle-focus of (2, 1)-type in $Z_2$-symmetric systems. Our study of this map reveals a homoclinic structure of the saddle-focus, with bifurcation unfolding guided by the codimension-two Belyakov bifurcation. We consider three parameters of the map corresponding to the saddle quantity, splitting parameter, and the focal frequency of the smooth saddle-focus in a neighborhood of homoclinic bifurcations. We symbolically encode the dynamics of the map in order to find stability windows and locate homoclinic bifurcation sets in a computationally efficient manner. The organization and possible shapes of homoclinic bifurcation curves in the parameter space are examined, taking into account the symmetry and discontinuity of the map. Sufficient conditions for stability and local symbolic constancy of the map are presented. This study provides insights into the structure of homoclinic bifurcations of the saddle-focus map, furthering comprehension of low-dimensional chaotic systems. УДК 517.9 Біфуркаційна структура інтервальних відображень з орбітами, гомоклінічними до сідла-фокуса Досліджуються гомоклінічні біфуркації в інтервальному відображенні, асоційованому з сідлом-фокусом (2, 1)-типу в $Z_2$-симетричних системах. Наше дослідження такого відображення розкриває гомоклінічну структуру сідлоподіб\-ного фокуса з біфуркацією, що розгортається під керуванням біфуркації Бєлякова корозмірності 2. Ми розглядаємо три параметри відображення, що відповідають сідловій величині,  параметру розщеплення та фокусній частоті гладкого сідла-фокуса в околі гомоклінічних біфуркацій. Динаміка видображення символічно кодується для того, щоб знайти вікна стабільності та локалізувати гомоклінічні біфуркаційні множини ефективним (з точки зору обчислень) способом. Досліджено організацію та можливі форми гомоклінічних біфуркаційних кривих у просторі параметрів з урахуванням симетрії  та розривності відображення. Наведено достатні умови стабільності та локальної символіч\-ної сталості відображення. Запропоноване дослідження дає змогу зрозуміти структуру гомоклінічних біфуркацій  сідлофокусного відображення, що сприяє розумінню низьковимірних хаотичних систем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-01-02 Article Article https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7706 10.3842/umzh.v75i12.7706 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 12 (2023); 1608 - 1626 Український математичний журнал; Том 75 № 12 (2023); 1608 - 1626 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7706/9930 Copyright (c) 2024 Carter Hinsley, James Scully, Andrey Shilnikov |
| spellingShingle | Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Hinsley, Carter Scully, James Shilnikov, Andrey L. Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_alt | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_full | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_fullStr | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_full_unstemmed | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_short | Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| title_sort | bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus |
| topic_facet | Interval map Shilnikov homoclinic bifurcation Belyakov bifurcation Dynamical systems Chaos Ordinary Differential Equations Dynamical systems Chaos UDC 517.938 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7706 |
| work_keys_str_mv | AT hinsleycarter bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus AT scullyjames bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus AT shilnikovandreyl bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus AT hinsleycarter bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus AT scullyjames bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus AT shilnikovandreyl bifurcationstructureofintervalmapswithorbitshomoclinictoasaddlefocus |