Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument
We establish new properties of solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/773 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507103949488128 |
|---|---|
| author | Pelyukh, G. P. Bel'skii, D. V. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельський, Д. В. |
| author_facet | Pelyukh, G. P. Bel'skii, D. V. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельський, Д. В. |
| author_sort | Pelyukh, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-27T14:14:55Z |
| description | We establish new properties of solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
We establish new properties of solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргу-
ментом.
В данной работе рассматривается обобщенное уравнение пантографа
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt), (1)
где \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, a \not = 0, \{ b, c\} \subset \mathrm{C}, 0 < q < 1. При c = 0 это уравнение исследовалось в [1 – 8, 20],
а в случае c \not = 0 — в [9, 11, 14]. Нелинейное дифференциальное уравнение с линейным запаз-
дыванием нейтрального типа появилось в [10], где описан класс автомодельных потенциалов
в уравнении Шредингера и частично изучены собственные функции операторов симметрии,
называемые когерентными состояниями. Некоторые из этих когерентных состояний (напри-
мер, состояния Юрке – Столера) имеют практическое применение. Это нелинейное уравнение в
окрестности постоянных решений изучалось в [11]. Дифференциально-функциональные урав-
нения нейтрального типа с линейным отклонением аргумента и особенностью при производной
изучались в большом цикле работ (см. [15 – 19] и приведенную в них библиографию). Несмот-
ря на это и на широкие приложения, которые находят такие уравнения в различных областях
науки и техники, многие вопросы теории дифференциально-функционального уравнения (1)
изучены мало. Это прежде всего касается асимптотического поведения решений этого уравне-
ния в окрестности особой точки t = +\infty . Поэтому основной целью настоящей статьи является
дополнение результатов [5] для случая c \not = 0.
Фундаментальное решение G(t, t0) — это единственное непрерывное решение начальной
задачи (1) и
x(t) =
\left\{ 0, 0 < t < t0,
1, t = t0.
(2)
Основываясь на представлении решений уравнения (1) рядами Дирихле в [13], будем искать
решение задачи (1), (2) в виде
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
Dk,le
q - la(qkt - t0), t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . . (3)
Поскольку G(t, t0) = ea(t - t0) для t \in
\bigl[
t0, q
- 1t0
\bigr]
, то D0,0 = 1. Применяя метод шагов к началь-
ной задаче (1), (2), для коэффициентов в формуле (3) получаем рекуррентные соотношения
c\bigcirc Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1 69
70 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
aDk,k - Dk,ka = 0,
aDk,l - qk - laDk,l = - bDk - 1,l - qk - l - 1acDk - 1,l, l = 0, 1, . . . , k - 1,
и условие непрерывности функции G(t, t0) в точках t = q - kt0
Dk,k = -
k - 1\sum
l=0
Dk,l, k = 1, 2, . . . .
Теорема [12]. Если a \not = 0, то фундаментальное решение имеет представление
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1b+ qk - l - jc
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
c+ ql - ja - 1b
1 - qj
\right) eq
- la(qkt - t0),
t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . .
(4)
Пример 1. Пусть a - 1b = - 1, c = q - 1, a < 0. Тогда для t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . ,
получаем следующую формулу фундаментального решения:
G(t, t0) = ea(t - t0) -
n\sum
k=1
q - k
\Bigl\{
eaqq
- k(qkt - t0) - eaq
- k(qkt - t0)
\Bigr\}
\leq
\leq 1 - q - n
\Bigl\{
eaqq
- n(qnt - t0) - eaq
- n(qnt - t0)
\Bigr\}
.
Аргумент в степени экспоненты в правой части последнего неравенства изменяется в пределах
0 \leq q - n
\bigl(
qnt - t0
\bigr)
\leq q - n
\bigl(
q - 1t0 - t0
\bigr)
\rightarrow +\infty , n \rightarrow +\infty ,
поэтому найдется число tn \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
такое, что q - n (qntn - t0) = 1. Отсюда получаем
неравенство
G(tn, t0) \leq 1 - q - n
\bigl\{
eaq - ea
\bigr\}
\leq 1 - q
tn
t0
\bigl\{
eaq - ea
\bigr\}
.
Последнее неравенство означает, что асимптотическое поведение непрерывного, кусочно непре-
рывно дифференцируемого решения G(t, t0) отличается от поведения достаточно гладких ре-
шений в [14].
Пример 2. Пусть a - 1b = - 1, c = 1. Тогда для t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . , получаем
следующую формулу фундаментального решения:
G(t, t0) = ea(t - t0)
уравнения
x\prime (t) = ax(t) - ax(qt) + x\prime (qt).
Это уравнение имеет частное решение x1(t) \equiv 1. Данный пример показывает сложности, ко-
торые возникают при выводе аналога формулы вариации произвольных постоянных на основе
непрерывного фундаментального решения G(t, t0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 71
Формула вариации произвольных постоянных для уравнения
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt) + f(t), (5)
где f \in C(0,+\infty ), имеет вид
x(t; t0, \varphi , f) = \varphi (t0)Y (t, t0) +
q - 1t0\int
t0
\bigl(
b\varphi (qs) + c\varphi \prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds+
+
t\int
t0
\bigl(
f(s) - \varphi (t0)c
\bigl(
q - 1 - 1
\bigr)
Y \prime (qs, t0)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s) ds, (6)
где Y (t, t0) — непрерывное фундаментальное решение начальной задачи (2), и
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) +
c
q
x\prime (qt), t \geq t0 > 0.
Чтобы в этом убедиться, необходимо учесть тождества, вытекающие из последнего уравне-
ния:
Y \prime (t, t0) = a
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y
\bigl(
qlt, t0
\bigr)
+ b
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y
\Bigl(
ql+1t, t0
\Bigr)
,
d
dt
\biggl(
Y (t, t0) -
c
q2
Y (qt, t0)
\biggr)
= Y \prime (t, t0) -
c
q
Y \prime (qt, t0) = aY (t, t0) + bY (qt, t0).
Первое из этих равенств, согласно начальному условию (2), для каждого значения t содержит
в правой части лишь конечное число ненулевых слагаемых. Тогда, дифференцируя равенство
x(t) - c
q
x(qt) = \varphi (t0)
\biggl(
Y (t, t0) -
c
q2
Y (qt, t0)
\biggr)
+ \varphi (t0)
c
q
\biggl(
1
q
- 1
\biggr)
Y (qt, t0)+
+
q - 1t0\int
t0
\bigl(
b\varphi (qs) + c\varphi \prime (qs)
\bigr)
Y (t, s) ds+
t\int
t0
\bigl(
f(s) - \varphi (t0)c(q
- 1 - 1)Y \prime (qs, t0)
\bigr)
Y (t, s) ds
при t \geq q - 1t0, t \not = q - kt0, k = 1, 2, . . . , получаем
d
dt
\biggl(
x(t) - c
q
x(qt)
\biggr)
= ax(t) + bx(qt) + f(t).
На отрезке t \in
\bigl[
t0, q
- 1t0
\bigr]
выполняется равенство
x(t) = \varphi (t0)e
a(t - t0) +
t\int
t0
ea(t - s)
\bigl(
b\varphi (qs) + c\varphi \prime (qs) + f(s)
\bigr)
ds,
т. е. функция x(t; t0, \varphi , f) является непрерывным решением уравнения (5) для t \geq q - 1t0,
t \not = q - kt0, k = 1, 2, . . . , и совпадает с решением начальной задачи (5); x(t) = \varphi (t), t \in [qt0, t0],
\varphi \in C1[qt0, t0] на отрезке t \in
\bigl[
t0, q
- 1t0
\bigr]
, а значит, и на всей полуоси t \geq t0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
72 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
В случае q > 1 формула (6) сохраняется со следующими изменениями: функция Y (t, t0) —
это непрерывное фундаментальное решение начальной задачи
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) +
c
q
x\prime (qt), 0 < t \leq t0,
x(t) =
\left\{ 0, t > t0,
1, t = t0;
(7)
в равенстве (4) независимая переменная принадлежит отрезку t \in
\bigl[
q - n - 1t0, q
- nt0
\bigr]
.
При условии \varphi (t0) = 0 формула вариации произвольных постоянных (6) упрощается. Это
условие можно выполнить, если построить решение уравнения (1), которое в точке t = t0 будет
принимать значение 1, обозначим его символом x0(t). Тогда разность y(t)
df
=x(t; t0, \varphi , f) -
- \varphi (t0)x0(t) будет решением неоднородного уравнения, которое равно нулю в точке t = t0.
Поэтому для него выполняется тождество
y(t) = x(t; t0, y, f) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
by(qs) + cy\prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds+
+
t\int
t0
f(s)
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s) ds. (8)
Производная x(p)(t) решения уравнения (1) является в свою очередь решением уравнения
z\prime (t) = az(t) + bqpz(qt) + cqpz\prime (qt), (9)
которое так же имеет почти периодическое решение
hp(t) = eat +
+\infty \sum
n=1
( - 1)n
(b+ ac)(b+ acq) . . .
\bigl(
b+ acqn - 1
\bigr)
an(1 - q)
\bigl(
1 - q2
\bigr)
. . . (1 - qn)
qpneaq
nt,
если | b| qp < | a| .
Теорема 1. Если выполняются условия:
а) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, abc \not = 0, 0 < q < 1;
б) величина v1 \in \mathrm{C} определяется из равенства a+ bqv1 = 0,
то в случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 < 0 справедливы утверждения:
1) существует m \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для произвольной m+1 раз непрерывно дифференци-
руемой периодической функции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое
решение уравнения (1)
xf (t; a, b, c) =
= tv1f0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - 1f1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .+ tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
+\infty \sum
n=1
zn(t), t > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 73
где fj(u), 1 \leq j \leq m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррентной
формулой
fj+1(u) =
bqj+1 + ac
ba
\bigl(
qj+1 - 1
\bigr) \biggl( (v1 - j)fj(u) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
f \prime
j(u)
\biggr)
, 0 \leq j \leq m - 1,
z1(t) =
\bigl(
bc - 2q - v1+m+1 - bc - 1
\bigr)
e - bc - 1t
+\infty \int
t
\biggl[
uv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
- tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr]
ebc
- 1udu,
zn+1(t) = c - 1qzn
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+
\bigl(
ac - 1 + qbc - 2
\bigr)
e - bc - 1t
+\infty \int
t
zn
\bigl(
q - 1u
\bigr)
ebc
- 1udu, n = 1, 2, 3, . . . ;
функциональный ряд
\sum +\infty
n=1
zn(t) непрерывно дифференцируемый и имеет асимптотическое
свойство
\sum +\infty
n=1
zn(t) = O
\bigl(
tv1 - m - 1
\bigr)
, t \rightarrow +\infty ;
2) существует p0 \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для каждого достаточно гладкого решения x(t)
уравнения (1) выполняется равенство x(p0)(t) = Lhp0(t) + xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0
\bigr)
, где L — неко-
торая постоянная, xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0
\bigr)
— решение из предыдущего пункта, построенное на
основе некоторой m + 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с
периодом 1;
в случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 > 0 имеют место утверждения:
1) существует m \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для произвольной m+1 раз непрерывно дифференци-
руемой периодической функции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое
решение уравнения (1)
xf (t; a, b, c, \gamma ) =
= tv1f0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - 1f1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .
. . .+ tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
+\infty \sum
n=1
zn(t) + \gamma x\ast (t), t \geq \rho > 0,
где \rho — достаточно большая и не зависящая от функции f0(u) константа; fj(u), 1 \leq j \leq
\leq m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррентной формулой
fj+1(u) =
bqj+1 + ac
ba
\bigl(
qj+1 - 1
\bigr) \biggl( (v1 - j)fj(u) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
f \prime
j(u)
\biggr)
, 0 \leq j \leq m - 1,
z1(t) =
\bigl(
c - 1q - v1+m+1 - 1
\bigr) \left[ e - bc - 1(t - \rho )tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
-
- bc - 1
t\int
\rho
e - bc - 1(t - u)
\biggl\{
uv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
- tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr\}
du
\right] ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
74 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
zn+1(t) = c - 1qzn
\bigl(
q - 1t
\bigr)
-
\bigl(
qbc - 2 + ac - 1
\bigr) t\int
\rho
e - bc - 1(t - u)zn
\bigl(
q - 1u
\bigr)
du, n = 1, 2, 3, . . . ;
функциональный ряд
\sum +\infty
n=1
zn(t) непрерывно дифференцируемый и имеет асимптотическое
свойство
\sum +\infty
n=1
zn(t) = O
\bigl(
tv1 - m - 1
\bigr)
, t \rightarrow +\infty ; функция x\ast (t) является частным решением
уравнения (1) и определяется формулой x\ast (t) =
\sum +\infty
k=0
xke
- b
c
q - kt, где xk =
ac+ bq - k+1
bc (q - k - 1)
xk - 1,
k \geq 1, x0 = 1; \gamma — произвольная постоянная;
2) существует p0 \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для каждого достаточно гладкого решения x(t)
уравнения (1) выполняется равенство x(p0)(t) = Lhp0(t) + xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0 , \gamma
\bigr)
, где L — неко-
торая постоянная, xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0 , \gamma
\bigr)
— решение из предыдущего пункта, построенное на
основе некоторой m + 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с
периодом 1, и с некоторой постоянной \gamma ;
в случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 = 0 справедливы утверждения:
1) существует m \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для произвольной m+1 раз непрерывно дифференци-
руемой периодической функции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое
решение уравнения (1)
xf (t; a, b, c) = tv1f0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - 1f1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .+ tv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ z(t), t > 0,
где fj(u), 1 \leq j \leq m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррентной
формулой
fj+1(u) =
bqj+1 + ac
ba
\bigl(
qj+1 - 1
\bigr) \biggl( (v1 - j)fj(u) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
f \prime
j(u)
\biggr)
, 0 \leq j \leq m - 1,
z(t) =
\bigl(
1 - c - 1q - v1+m+1
\bigr) +\infty \int
t
d
ds
\biggl(
sv1 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1
q - 1
\biggr) l
H0(q
- lt, s) ds,
H0(t, t0) — непрерывное фундаментальное решение начальной задачи (7) и
x\prime (t) = - bc - 1x(t) - ac - 1x
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+
c - 1
q - 1
x\prime
\bigl(
q - 1t
\bigr)
, 0 < t \leq t0;
функция z(t) непрерывно дифференцируема и имеет асимптотическое свойство z(t) =
= O(tv1 - m), t \rightarrow +\infty ;
2) существует p0 \in \mathrm{N}
\bigcup
0 такое, что для каждого достаточно гладкого решения x(t)
уравнения (1) выполняется равенство x(p0)(t) = Lhp0(t) + xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0
\bigr)
, где L — неко-
торая постоянная, xf
\bigl(
t; a, bqp0 , cqp0
\bigr)
— решение из предыдущего пункта, построенное на
основе некоторой m + 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с
периодом 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 75
Доказательство. Формула вариации произвольных постоянных (6) для уравнения (9) име-
ет вид
z (t; t0, \varphi ) = \varphi (t0)Yp(t, t0) +
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqp\varphi (qs) + cqp\varphi \prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds -
- \varphi (t0)cq
p(q - 1 - 1)
t\int
t0
Y \prime
p(qs, t0)
+\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp(q
lt, s) ds, (10)
где Yp(t, t0) — непрерывное фундаментальное решение начальной задачи
z\prime (t) = az(t) + bqpz(qt) +
cqp
q
z\prime (qt), t \geq t0 > 0, (11)
z(t) =
\left\{ 0, 0 < t < t0,
1, t = t0.
С помощью тождества (4) на основе формулы непрерывного фундаментального решения
Yp(t, t0) определим функцию
Yp,\infty (t, t0)
df
=
df
=
+\infty \sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1bqp + qk - l - jcqp - 1
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
cqp - 1 + ql - ja - 1bqp
1 - qj
\right) eq
- la(qkt - t0). (12)
В дальнейшем числа Mj — это неотрицательные постоянные, и символы O(. . .) нужно пони-
мать при t \rightarrow +\infty . Если M1
df
=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| a - 1bqp| , | cqp - 1|
\bigr\}
< 1, то для достаточно малого \varepsilon > 0
выполняется оценка
| Yp,\infty (t, t0)| \leq
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) 2 +\infty \sum
k=0
Mk
1 (k + 1) \leq
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) 2M2
+\infty \sum
k=0
ek(lnM1+\varepsilon ). (13)
Аналогичная оценка имеет место для производной Y \prime
p,\infty (t, t0), поэтому функция Yp,\infty (t, t0)
является решением уравнения (11). Отсюда, учитывая ограниченность почти периодической
функции, в пределе получаем равенство
Y \prime
p,\infty (t, t0) = a
+\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp,\infty
\bigl(
qlt, t0
\bigr)
+ bqp
+\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp,\infty
\bigl(
ql+1t, t0
\bigr)
. (14)
Определим функцию
g(t; t0, \varphi )
df
=
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqp\varphi (qs) + cqp\varphi \prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp,\infty
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
76 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Тогда
g(t; t0, \varphi ) -
cqp
q
g(qt; t0, \varphi ) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqp\varphi (qs) + cqp\varphi \prime (qs)
\bigr)
Yp,\infty (t, s) ds,
и, принимая во внимание (14), получаем
d
dt
\biggl(
g(t; t0, \varphi ) -
cqp
q
g(qt; t0, \varphi )
\biggr)
=
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqp\varphi (qs) + cqp\varphi \prime (qs)
\bigr)
Y \prime
p,\infty (t, s) ds =
= ag(t; t0, \varphi ) + bqpg(qt; t0, \varphi ),
т. е. функция g(t; t0, \varphi ) является решением уравнения (9). Учитывая абсолютную и равномер-
ную сходимость соответствующих рядов, для решения g(t; t0, \varphi ) с помощью формулы (12)
получаем тождество
g(t; t0, \varphi ) =
+\infty \sum
w=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) w +\infty \sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1bqp + qk - l - jcqp - 1
1 - qj
\right) \times
\times
\left( l\prod
j=1
cqp - 1 + ql - ja - 1bqp
1 - qj
\right) eaq
k+w - lt
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqp\varphi (qs) + cqp\varphi \prime (qs)
\bigr)
e - aq - ls ds.
Поэтому решение g(t; t0, \varphi ) уравнения (9) является абсолютно и равномерно сходящимся рядом
из экспонент eaq
nt, n \geq 0, с некоторыми коэффициентами. Последние однозначно определя-
ются подстановкой ряда в уравнение. Следовательно, выполняется тождество
g(t; t0, \varphi ) = Lp (t0, \varphi )hp(t) (15)
для некоторой постоянной Lp (t0, \varphi ) .
Предположим, что t0 выбрано так, что hp(t0) \not = 0. Тогда разность y(t)
df
= z(t; t0, \varphi ) -
- \varphi (t0)
hp(t)
hp(t0)
будет решением уравнения (9), которое равно нулю в точке t = t0. Поэтому
согласно формуле (10) для него выполняется тождество, аналогичное равенству (8):
y(t) = z (t; t0, y) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqpy(qs) + cqpy\prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l
Yp
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds.
Оценим разность решений
y(t) - g (t; t0, y) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqpy(qs) + cqpy\prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l \Bigl(
Yp(q
lt, s) - Yp,\infty (qlt, s)
\Bigr)
ds.
Предположим, что t \geq q - 1t0 и t \in
\bigl[
q - ns, q - n - 1s
\bigr]
, n = 0, 1, . . . , тогда для 0 \leq l \leq n находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 77
Yp
\bigl(
qlt, s
\bigr)
- Yp,\infty
\bigl(
qlt, s
\bigr)
=
= -
+\infty \sum
k=n - l+1
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1bqp + qk - l - jcqp - 1
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
cqp - 1 + ql - ja - 1bqp
1 - qj
\right) eq
- la(qkt - s).
Отсюда так же, как и при выводе оценки (13), получаем
\bigm| \bigm| \bigm| Yp(qlt, s) - Yp,\infty (qlt, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) 2M2
+\infty \sum
k=n - l+1
ek(lnM1+\varepsilon ) = M3e
(n - l+1)(lnM1+\varepsilon ).
Поэтому ряд под знаком интеграла можно оценить следующим образом:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l \Bigl(
Yp(q
lt, s) - Yp,\infty (qlt, s)
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
n\sum
l=0
M l
1M3e
(n - l+1)(lnM1+\varepsilon ) +
+\infty \sum
l=n+1
M l
1M4 \leq
\leq M3e
(n+1)(lnM1+\varepsilon ) 1
1 - e - \varepsilon
+M4e
(n+1) lnM1
1
1 - M1
.
Поскольку (\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1) - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
q - 1t0
\biggr)
\leq (\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1) - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
s
\biggr)
\leq n+ 1, то оценку ряда можно продол-
жить \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+\infty \sum
l=0
\biggl(
cqp
q
\biggr) l \Bigl(
Yp(q
lt, s) - Yp,\infty (qlt, s)
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M5t
lnM1+\varepsilon
ln q - 1 .
Тогда \bigm| \bigm| y(t) - g(t; t0, y)
\bigm| \bigm| \leq M6t
lnM1+\varepsilon
ln q - 1 , t \geq t0.
Пусть x(p)(t) = z(t; t0, \varphi ). Отсюда, принимая во внимание определение функции y(t) и
равенство (15), получаем, что разность решений
\mu p(t)
df
= y(t) - g(t; t0, y) = z(t; t0, \varphi ) - \varphi (t0)
hp(t)
hp(t0)
- Lp(t0, y)hp(t) =
= x(p)(t) - Lp,hhp(t),
где Lp,h — некоторая постоянная, будет решением уравнения (9), которое имеет в качестве
первообразной решение
\mu p - 1(t) = x(p - 1)(t) - Lp,h
hp - 1(t)
a
уравнения
z\prime (t) = az(t) + bqp - 1z(qt) + cqp - 1z\prime (qt). (16)
Предположим, что p \geq p0+m+4, где числа \{ p0,m\} \subset \mathrm{N}
\bigcup
0 будут определены в дальнейшем.
Если | b| qp0 < | a| , то этот процесс можно продолжить и получить зависимость
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
78 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
\mu (j)
p0 (t) = \mu p0+j(t) = x(p0+j)(t) - Lp,h
hp0+j(t)
ap - p0 - j
для 0 \leq j \leq p - p0. Таким образом,
\mu (p - p0)
p0 (t) = \mu p(t) = O
\biggl(
t
lnM1+\varepsilon
ln q - 1
\biggr)
.
При этом функция \mu
(p - p0 - 1)
p0 (t) = \mu p - 1(t) — решение уравнения (16):
\mu (p - p0 - 1)
p0 (t) = - a - 1bqp - 1\mu (p - p0 - 1)
p0 (qt) + a - 1\mu (p - p0)
p0 (t) - a - 1cqp - 1\mu (p - p0)
p0 (qt)
df
=
df
= - a - 1bqp - 1\mu (p - p0 - 1)
p0 (qt) + f(t).
Выполним замену переменных \mu
(p - p0 - 1)
p0 (t) = tv\ast \eta (t), где v\ast \geq \mathrm{l}\mathrm{n}M1 + \varepsilon
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
df
= vmin и v\ast >
> (\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1) - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
| a - 1bqp - 1|
\bigr) df
= v0 - (p - 1):
\eta (t) = - a - 1bqp - 1qv\ast \eta (qt) + t - v\ast f(t).
Поскольку
\bigm| \bigm| a - 1bqp - 1qv\ast
\bigm| \bigm| < 1 и неоднородность t - v\ast f(t) ограничена, то функция \eta (t) также
ограничена. Поэтому \mu
(p - p0 - 1)
p0 (t) = O
\bigl(
tv\ast
\bigr)
= O
\bigl(
tmax\{ vmin,v0 - (p - 1)+\varepsilon \} \bigr) . Повторяя этот процесс,
убеждаемся, что
\mu (p - p0 - 2)
p0 (t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0 - (p - 2)+\varepsilon ;max\{ vmin,v0 - (p - 1)+\varepsilon \} \}
\Bigr)
= O
\Bigl(
tmax\{ v0 - (p - 2)+\varepsilon ,vmin\}
\Bigr)
.
Действуя так несколько раз, получаем
\mu (j)
p0 (t) = O
\Bigl(
tmax\{ v0 - (p0+j)+\varepsilon ,vmin\}
\Bigr)
, 0 \leq j \leq p - p0 - 1.
Предположим, что для j = m+ 3 \leq p - p0 - 1 выполняется неравенство v0 - (p0 +m+ 3) >
>
\mathrm{l}\mathrm{n}M1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
, тогда при достаточно малом \varepsilon > 0 для 0 \leq j \leq m + 3 получаем оценку \mu
(j)
p0 (t) =
= O
\Bigl(
tv0 - (p0+j)+\varepsilon
\Bigr)
.
Запишем уравнение для функции \mu p0(t) в виде
\mu p0(t) = - a - 1bqp0\mu p0(qt) + a - 1\mu \prime
p0(t) - a - 1cqp0\mu \prime
p0(qt)
df
= - a - 1bqp0\mu p0(qt) + f(t)
и выполним замену \mu p0(t) = tv1 - p0 - \varepsilon y(t):
y(t) = q - \varepsilon y(qt) + t - (v1 - p0 - \varepsilon )f(t).
Так как неоднородность t - (v1 - p0 - \varepsilon )f(t) = t - (v1 - p0 - \varepsilon )O
\bigl(
tv0 - (p0+1)+\varepsilon
\bigr)
= O
\bigl(
t - 1+2\varepsilon
\bigr)
ограничена
при малом \varepsilon > 0, то y(t) = O
\bigl(
t\varepsilon
\bigr)
, \mu p0(t) = O (tv1 - p0) .
Аналогично для 0 \leq j \leq m+ 2 получаем оценки \mu
(j)
p0 (t) = O
\bigl(
tv0 - (p0+j)
\bigr)
.
Далее, применяя стандартные рассуждения (см., например, [1, 11]), получаем асимптотиче-
ские формулы
\mu (j)
p0 (t) = tv1 - p0 - j
\biggl\{
fj,0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+O
\bigl(
t - 1
\bigr) \biggr\}
,
где 0 \leq j \leq m+ 1, а fj,0(u) — непрерывные периодические функции с периодом 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 79
Затем, используя рассуждения из доказательства теоремы 5 из [11], получаем представление
\mu p0(t) = tv1 - p0f0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - p0 - 1f1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
+tv1 - p0 - 2f2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .+ tv1 - p0 - m+1fm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
+tv1 - p0 - m - 1dm+1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
, t \geq 1, (17)
где fj(u), 0 \leq j \leq m, — непрерывные периодические функции с периодом 1 такие, что
f0(u) \in Cm+1(\mathrm{R}) и
fj+1(u) =
bqj+1 + ac
ba
\bigl(
qj+1 - 1
\bigr) \biggl( (v1 - p0 - j)fj(u) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
f \prime
j(u)
\biggr)
, 0 \leq j \leq m - 1;
dm+1(u) — непрерывно дифференцируемая, ограниченная вместе с производной функция.
После этого, записывая уравнение для функции \mu p0(t) как уравнение с опережением
\mu \prime
p0(t) = - bc - 1\mu p0(t) - ac - 1q - p0\mu p0
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+ c - 1q - p0\mu \prime
p0
\bigl(
q - 1t
\bigr)
и применяя к нему рассуждения из доказательства теоремы из [14], получаем в случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 \not =
\not = 0 равенства \mu p0(t) = xf (t), где функции xf (t) определены в условии теоремы.
В случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 = 0 в уравнении для функции \mu p0(t) выполним замену переменных
\mu p0(t) = tv1 - p0f0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - p0 - 1f1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - p0 - 2f2
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .
. . .+ tv1 - p0 - m+1fm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ tv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ z(t), (18)
тогда
z\prime (t) = - bc - 1z(t) - ac - 1q - p0z
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+ c - 1q - p0z\prime
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+
+
\bigl(
c - 1q - v1+m+1 - 1
\bigr) d
dt
\biggl(
tv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr)
. (19)
Запишем решение уравнения (19) с помощью формулы вариации произвольных постоянных:
z(t) = z(t0)H(t, t0)+
+
qt0\int
t0
\bigl(
- ac - 1q - p0z
\bigl(
q - 1s
\bigr)
+ c - 1q - p0z\prime
\bigl(
q - 1s
\bigr) \bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) ds+
+
t\int
t0
\Biggl( \bigl(
c - 1q - v1+m+1 - 1
\bigr) d
ds
\biggl(
sv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr)
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
80 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
- z(t0)c
- 1q - p0(q - 1)H \prime \bigl( q - 1s, t0
\bigr) \Biggr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) ds, (20)
где H(t, t0) — непрерывное фундаментальное решение начальной задачи (7) и
x\prime (t) = - bc - 1x(t) - ac - 1q - p0x
\bigl(
q - 1t
\bigr)
+
c - 1q - p0
q - 1
x\prime
\bigl(
q - 1t
\bigr)
, 0 < t \leq t0.
Согласно (4) получаем следующую формулу для функции H(t, t0):
H(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
ab - 1q - p0 + q - k+l+jc - 1q - p0+1
1 - q - j
\right) \times
\times
\left( l\prod
j=1
c - 1q - p0+1 + q - l+jab - 1q - p0
1 - q - j
\right) e - qlbc - 1(q - kt - t0), t \in
\bigl[
qn+1t0, q
nt0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . .
Определим число M7
df
=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| ab - 1q - p0 | , | c - 1q - p0+1|
\bigr\}
и оценим функцию H(t, t0):
\bigm| \bigm| H(t, t0)
\bigm| \bigm| \leq n\sum
k=0
Mk
7
k\sum
l=0
\left( k - l\prod
j=1
1 + q - j+1
| 1 - q - j |
\right) \left( l\prod
j=1
1 + q - j+1
| 1 - q - j |
\right) =
=
n\sum
k=0
(M7q)
k
k\sum
l=0
\left( k - l\prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) \leq
\leq
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1
1 - qj
\right) 2M8
n\sum
k=0
ek(ln(M7q)+\varepsilon ).
Предположим, что \mathrm{l}\mathrm{n}(M7q) + \varepsilon > 0. Поскольку t \in
\bigl[
qn+1t0, q
nt0
\bigr]
и (\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1) - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t0
t
\biggr)
\geq n, то
| H(t, t0)| \leq M9e
(ln q - 1) - 1 ln( t0
t )(ln(M7q)+\varepsilon ) = M9
\biggl(
t0
t
\biggr) ln(M7q)+\varepsilon
ln q - 1
.
Для простоты определим число w
df
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}(M7q) + \varepsilon
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
, \varepsilon
\biggr\}
> 0, тогда для всех значений
суммы \mathrm{l}\mathrm{n}(M7q) + \varepsilon получаем оценку\bigm| \bigm| H(t, t0)
\bigm| \bigm| \leq M10
\biggl(
t0
t
\biggr) w
, 0 < t \leq t0.
Аналогично получаем оценку для производной
\bigm| \bigm| H \prime (t, t0)
\bigm| \bigm| \leq M11
\biggl(
t0
t
\biggr) w+1
, 0 < t \leq t0.
В силу представления (17) для функции z(t) выполняются оценки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 81
z(t) = O
\bigl(
tv1 - p0 - m - 1
\bigr)
, z\prime (t) = O
\bigl(
tv1 - p0 - m - 2
\bigr)
.
Оценим первое слагаемое в формуле (20):\bigm| \bigm| z(t0)H(t, t0)
\bigm| \bigm| \leq M12
1
tw
tRe v1 - p0 - m - 1+w
0 ,
поэтому если m > \mathrm{R}\mathrm{e} v1 - p0 - 1 + w, то z(t0)H(t, t0) \rightarrow 0, t0 \rightarrow +\infty .
Чтобы функция H(q - lt, s) принимала ненулевые значения, необходимо выполнение усло-
вия q - lt \leq s или l \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1) - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl( s
t
\Bigr)
. Поэтому для суммы под знаком интеграла в (20)
выполняется равенство
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) =
[(ln q - 1) - 1 ln( s
t )]\sum
l=0
\bigl(
c - 1q - p0+1
\bigr) l
H(q - lt, s).
Оценим ее:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
[(ln q - 1) - 1 ln( s
t )]\sum
l=0
\bigl(
c - 1q - p0+1
\bigr) l
H(q - lt, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M10
\Bigl( s
t
\Bigr) w [(ln q - 1) - 1 ln( s
t )]\sum
l=0
el ln(M7qw).
Предположим, что \mathrm{l}\mathrm{n}(M7q
w) > 0, тогда
[(ln q - 1) - 1 ln( s
t )]\sum
l=0
\bigm| \bigm| c - 1q - p0+1
\bigm| \bigm| l \bigm| \bigm| \bigm| H(q - lt, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq M13
\Bigl( s
t
\Bigr) lnM7
ln q - 1
.
Отсюда с учетом неравенства w + 1 \geq \mathrm{l}\mathrm{n}M7
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
для всех значений \mathrm{l}\mathrm{n} (M7q
w) получаем простую
оценку \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
+\infty \sum
l=0
\bigm| \bigm| c - 1q - p0+1
\bigm| \bigm| l \bigm| \bigm| \bigm| H(q - lt, s)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq M14
\Bigl( s
t
\Bigr) w+1
, 0 < t \leq s. (21)
Предположим, что t \leq qt0, и оценим второе слагаемое в формуле (20):\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
qt0\int
t0
\bigl(
- ac - 1q - p0z
\bigl(
q - 1s
\bigr)
+ c - 1q - p0z\prime
\bigl(
q - 1s
\bigr) \bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq M15
t0\int
qt0
sRe v1 - p0 - m - 1
\Bigl( s
t
\Bigr) w+1
ds = M15
1
tw+1
tRe v1 - p0 - m+w+1
0 - (qt0)
Re v1 - p0 - m+w+1
\mathrm{R}\mathrm{e} v1 - p0 - m+ w + 1
.
Если m > \mathrm{R}\mathrm{e} v1 - p0 + w + 1, то второе слагаемое стремится к нулю при t0 \rightarrow +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
82 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Оценим теперь интеграл\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t0
\bigl(
- z(t0)c
- 1q - p0(q - 1)H \prime \bigl( q - 1s, t0
\bigr) \bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq M16
t0\int
t
tRe v1 - p0 - m - 1
0
\biggl(
t0
s
\biggr) w+1 \Bigl( s
t
\Bigr) w+1
ds \leq M16
1
tw+1
tRe v1 - p0 - m+w+1
0 .
Если m > \mathrm{R}\mathrm{e} v1 - p0 + w + 1, то этот интеграл стремится к нулю при t0 \rightarrow +\infty .
Таким образом, если выполняется условие m > \mathrm{R}\mathrm{e} v1 - p0 + w + 1, то, устремляя t0 к \infty
в тождестве (20), в пределе получаем
z(t) =
\bigl(
1 - c - 1q - v1+m+1
\bigr) +\infty \int
t
d
ds
\biggl(
sv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l
H(q - lt, s) ds.
Оценка (21) позволяет проинтегрировать ряд в последней формуле почленно:
z(t) =
\bigl(
1 - c - 1q - v1+m+1
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l +\infty \int
q - lt
d
ds
\biggl(
sv1 - p0 - mfm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr)
H(q - lt, s) ds.
Последнее тождество показывает, что при достаточно большом m функция z(t) непрерывно
дифференцируема. Следовательно, правая часть в равенстве (18) будет непрерывно дифферен-
цируемым решением уравнения (9) при p = p0 для любой функции f0(u) \in Cm+1(\mathrm{R}).
Теорема доказана.
Процесс интегрирования решений в случае c = 0 детально изучен в [5]. Все свойства
функции h(x) из [5] сохраняются и в случае c \not = 0. Мы только схематически отметим некоторые
отличительные особенности. Для этого периодические функции в определении решений xf (t)
удобнее записать в виде
w0 = f0, wp+1(u) = (v1 - p)wp(u) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
w\prime
p(u),
fp+1(u) =
bqp+1 + ac
ba (qp+1 - 1)
. . .
bq + ac
ba(q - 1)
wp+1(u), 0 \leq p \leq m - 1.
Тогда
xf (t) = tv1w0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
bq + ac
ba(q - 1)
tv1 - 1w1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . .
. . .+
bqm + ac
ba (qm - 1)
. . .
bq + ac
ba(q - 1)
tv1 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+ . . . =
= tv1w0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
+
bq + ac
ba(q - 1)
d
dt
\biggl\{
tv1w0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr\}
+ . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 83
. . .+
bqm + ac
ba (qm - 1)
. . .
bq + ac
ba(q - 1)
d
dt
\biggl\{
tv1 - m+1wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr\}
+ . . . .
Коэффициенты перед периодическими функциями одинаковые для всех производных решения
уравнения (1).
Рассмотрим случай \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 < 0. Тогда
z1(t; a, b, c) =
\bigl(
bc - 2q - v1+m+1 - bc - 1
\bigr) bqm + ac
ba (qm - 1)
. . .
bq + ac
ba(q - 1)
\times
\times e - bc - 1t
+\infty \int
t
\biggl[
uv1 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
- tv1 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr]
ebc
- 1udu.
Постоянный множитель в последней формуле тоже одинаковый для всех производных решения
уравнения (1). Можно показать, что имеет место равенство
+\infty \int
t
e - bc - 1s
+\infty \int
s
\biggl[
uv1 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
- sv1 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr]
ebc
- 1udu ds =
=
+\infty \int
t
e - bc - 1s
+\infty \int
s
\biggl[
d
du
\biggl\{
uv1 - m+1wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr\}
-
- d
ds
\biggl\{
sv1 - m+1wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr\} \biggr]
ebc
- 1udu ds =
= - e - bc - 1t
+\infty \int
t
\biggl[
uv1 - m+1wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}u
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
- tv1 - m+1wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr]
ebc
- 1udu,
т. е. между слагаемым z1(t; a, b, c) в разложении решения xf (t; a, b, c) уравнения (1) и аналогич-
ным слагаемым в разложении решения xf
\bigl(
t; a, bq - 1, cq - 1
\bigr) df
=
\int t
\tau
xf (u; a, b, c) du+h уравнения
y\prime (t) = ay(t) + bq - 1y(qt) + cq - 1y\prime (qt),
где h, \tau — некоторые постоянные [5] (обозначим его символом z1(t; a, bq
- 1, cq - 1)), существует
связь
z1
\bigl(
t; a, bq - 1, cq - 1
\bigr)
= -
+\infty \int
t
z1(s; a, b, c) ds
или
d
dt
z1
\bigl(
t; a, bq - 1, cq - 1
\bigr)
= z1(t; a, b, c).
Для функций zn(t; a, b, c) выполняется соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
84 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+\infty \int
t
zn+1(s) ds = c - 1q2
+\infty \int
q - 1t
zn (w) dw +
\bigl(
aqc - 1 + bc - 2q2
\bigr)
e - bc - 1t
+\infty \int
t
ebc
- 1u
+\infty \int
q - 1u
zn (w) dw du,
следовательно,
zn
\bigl(
t; a, bq - 1, cq - 1
\bigr)
= -
+\infty \int
t
zn(s; a, b, c) ds, n \geq 1. (22)
В случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 > 0 соотношение, аналогичное (22), выполняется с точностью до слагае-
мых типа e - bc - 1q - kt, k = 0, 1, . . . . Тем не менее в разности
\^x(t)
df
=
d
dt
xf
\bigl(
t; a, bq - 1, cq - 1
\bigr)
- xf (t; a, b, c)
сократятся все слагаемые, кроме
d
dt
zn(t; a, bq
- 1, cq - 1) и zn(t; a, b, c), n \geq 1, для которых
выполняется оценка \^x(t) = O(tv1 - m), t \rightarrow +\infty . Так как \^x(t) — решение уравнения (1), то
согласно [14] при достаточно большом m выполняется тождество \^x(t) = \gamma x\ast (t), где \gamma —
некоторая постоянная. Интегрирование решения x\ast (t) не составляет труда.
В случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 = 0 обозначим функцию H(t, t0) в формуле (20) символом H
\bigl(
t, t0; a, bq
p0 ,
cqp0
\bigr)
. Тогда для интегрирования решений уравнения (1) получаем соотношения
H \prime
s (t, s; a, bq
p0 , cqp0) = - H \prime
t
\bigl(
t, s; a, bqp0 - 1, cqp0 - 1
\bigr)
,
d
dt
\Biggl( \biggl(
c - 1q - p0+1
q - 1
\biggr) l +\infty \int
q - lt
d
ds
\biggl(
sv1 - p0 - (m - 1)wm - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr)
\times
\times H
\Bigl(
q - lt, s; a, bqp0 - 1, cqp0 - 1
\Bigr)
ds
\Biggr)
=
=
\biggl(
c - 1q - p0
q - 1
\biggr) l +\infty \int
q - lt
d
ds
\biggl(
sv1 - p0 - mwm
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr) \biggr)
H
\Bigl(
q - lt, s; a, bqp0 , cqp0
\Bigr)
ds.
Отметим, что в случае \mathrm{R}\mathrm{e} bc - 1 = 0 почти периодическая функция x\ast (t) определена при усло-
вии | c| > q.
Примененный в данной статье метод для исследования дифференциальных уравнений с
линейным отклонением аргумента через фундаментальное решение с небольшими неточностя-
ми был впервые предложен в работе [12]. Его нельзя обобщить на системы таких уравнений
без дополнительных весьма ограничивающих условий коммутируемости матриц. Тем не менее
в [9] для систем уравнений вида (1) (но с бесконечным числом линейных запаздываний) был
получен результат, подобный полученному в этой статье, который позволяет оценить анали-
тическое решение указанной системы. Полученная в [9] оценка близка к точной (в скалярном
случае с одним опаздыванием), в то же время ее доказательство можно упростить при дру-
гих предположениях, если проинтегрировать почти периодическое (ограниченное) решение,
которое существует для системы уравнений вида (9) при достаточно большом p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 85
Литература
1. T. Kato, J. B. McLeod, The functional-differential equation y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x), Bull. Amer. Math. Soc., 77,
891 – 937 (1971).
2. T. Kato, Asymptotic behaviour of solutions of the functional-differential equation y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x), Delay
and functional differential equations and their applications (Proc. Conf. P. C. Utah, 1972), Ed. K. Schmitt, Academic,
New York (1972).
3. N. G. de Bruijn, The difference-differential equation F \prime (x) = e\alpha x+\beta F (x - 1), I, II, Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A 56-Indag. Math., 15, 449 – 464 (1953).
4. P. O. Frederickson, Series solutions for certain functional-differential equations, Lect. Notes. Math., 243, 249 – 254
(1971).
5. J. Carr, J. Dyson, The functional differential equation y\prime (x) = ay(\lambda x) + by(x) Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 74,
165 – 174 (1976).
6. K. Mahler, On a special functional equation, J. London Math. Soc., 15, 115 – 123 (1940).
7. N. G. de Bruijn, The asymptotically periodic behavior of the solutions of some linear functional equations, Amer. J.
Math., 71, № 2, 313 – 330 (1949).
8. N. G. de Bruijn, On some linear functional equations, Publ. Math. Debrecen, 1, 129 – 134 (1950).
9. Y. Liu, Asymptotic behaviour of functional-differential equations with proportional time delays, Eur. J. Appl. Math.,
7, № 1, 11 – 30 (1996).
10. V. Spiridonov, Universal superpositions of coherent states and self-similar potentials, Phys. Rev. A, 52, 1909 – 1935
(1995).
11. Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функцио-
нальных уравнений, Нелiнiйнi коливання, 19, № 3, 311 – 348 (2016).
12. H. Lehninger, Y. Liu, The functional-differential equation y\prime (t) = Ay(t) +By(qt) + Cy\prime (qt) + f(t), Eur. J. Appl.
Math. 9, 81 – 91 (1998).
13. A. Iserles, On the generalized pantograph functional-differential equation, Eur. J. Appl. Math. 4, 1 – 38 (1993).
14. Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-функцио-
нального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргу-
ментом, Нелiнiйнi коливання, 15, № 4, 466 – 493 (2012).
15. Е. Ю. Романенко, Асимптотика решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений, Укр.
мат. журн., 41, № 11, 1526 – 1532 (1989).
16. Е. Ю. Романенко, Т. С. Фещенко, Об асимптотическом поведении решений дифференциально-функциональных
уравнений нейтрального типа в окрестности критической точки, Исследование дифференциальных и
дифференциально-разностных уравнений, Ин-т математики АН УССР, Киев (1980), с. 107 – 121.
17. Е. Ю. Романенко, Т. С. Фещенко, Оценка роста в окрестности критической точки решений одного класса
дифференциально-функциональных уравнений, Динамические системы и дифференц. уравнения, Ин-т матема-
тики АН УССР, Киев (1986), с. 69 – 74.
18. Е. Ю. Романенко, Представление локального общего решения одного класса дифференциально-
функциональных уравнений, Укр. мат. журн., 42, № 2, 206 – 210 (1990).
19. Е. Ю. Романенко, А. Н. Шарковский, Асимптотика решений линейных дифференциально-функциональных
уравнений, Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений, Ин-т мате-
матики АН УССР, Киев (1978), с. 5 – 39.
20. D. Derfel, P. J. Grabner, R. F. Tichy, On the asymptotic behavior of the zeros of the solutions of a functional-differential
equation with rescaling, Indefinite Inner Product Spaces, Schur Analysis and Differential Equations, Eds D. Alpay,
B. Kirstein, Springer, Int. Publ. (2018), p. 281 – 295.
Получено 10.03.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-773 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:00Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c1/4edd1a5ab82fb42d0f90c5a98ef06fc1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-7732020-01-27T14:14:55Z Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument Асимптотическое поведение решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Асимптотична поведінка розв'язків диференціально-функціонального рівняння з лінійно перетвореним аргументом Pelyukh, G. P. Bel'skii, D. V. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельський, Д. В. диференціальні рівняння нейтральний тип лінійне запізнення пропорційне запізнення differential equations neutral type linear delay proportional delay We establish new properties of solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument. Установлены новые свойства решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом. Встановлено нові властивості розв’язків диференціально-функціонального рівняння з лінійно перетвореним аргументом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/773 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 69-85 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 69-85 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/773/1545 Copyright (c) 2020 Денис Валериевич Бельский,Григорий Петрович Пелюх |
| spellingShingle | Pelyukh, G. P. Bel'skii, D. V. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельський, Д. В. Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title | Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title_alt | Асимптотическое поведение решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Асимптотична поведінка розв'язків диференціально-функціонального рівняння з лінійно перетвореним аргументом |
| title_full | Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title_short | Asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| title_sort | asymptotic behavior of solutions of the differential-functional equation with linearly transformed argument |
| topic_facet | диференціальні рівняння нейтральний тип лінійне запізнення пропорційне запізнення differential equations neutral type linear delay proportional delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/773 |
| work_keys_str_mv | AT pelyukhgp asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT bel039skiidv asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT pelûhgp asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT belʹskijdv asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT pelûhgp asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT belʹsʹkijdv asymptoticbehaviorofsolutionsofthedifferentialfunctionalequationwithlinearlytransformedargument AT pelyukhgp asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT bel039skiidv asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹskijdv asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹsʹkijdv asimptotičeskoepovedenierešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelyukhgp asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT bel039skiidv asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT pelûhgp asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT belʹskijdv asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT pelûhgp asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT belʹsʹkijdv asimptotičnapovedínkarozv039âzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom |