О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля
На основе результатов, полученных нами в вопросе полноты одного подпространства пространства, определяемого метрикой Вейля, нам удалось построить достаточные условия компактности системы функций Вейля в одном частном понятии сходимости. Этот вопрос был уже нами затронут в общем пространстве Вейля,...
Saved in:
| Date: | 1953 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1953
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7730 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512716530122752 |
|---|---|
| author | Кованько, А. С. Кованько, А. С. |
| author_facet | Кованько, А. С. Кованько, А. С. |
| author_sort | Кованько, А. С. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T09:55:16Z |
| description | На основе результатов, полученных нами в вопросе полноты одного подпространства пространства, определяемого метрикой Вейля, нам удалось построить достаточные условия компактности системы функций Вейля в одном частном понятии сходимости.
Этот вопрос был уже нами затронут в общем пространстве Вейля, но сходимость в нем была заменена фундаментальностью последовательности, поскольку мы оперировали в неполном пространстве.
Часть наших прежних результатов перекрыта этой статьей. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
1953 YKPAHHCKHPI MATEMA TH4ECKHPI /KYP HAJJ
HHCTHTYT MATEMATHKH
'1'. V,.N'22
0 KOMnaKTHOCTH CHCTeM OOOOmeHHbiX UOlJTH nepHO,li.HlJeCKHX
cpyHKU.HH BeHJISI
A. C. KoaaHbKO
Ha OCHOBe pe3yJibTaTOB, IIOJiyqeHHbiX HaMH B BOIIpoce IIOJIHOTbl O)I.HOfO
rro)l.rrpocTpaHCTBa rrpocTpaHCTBa, orrpe.ll.eJIHeMoro MeTpHKoli BeliJIH, HaM y)l.a
JIOCb IIOCTpOHTb )I.OCTaTOqHbie YCJIOBHH KOMIIaKTHOCTH CHCTeMbl cpyHKU.Hll
BeHJIH B O)I.HOM qaCTHOM IIOHHTHH CXO)I.HMOCTH [1].
3TOT BOIIpOC 6b!Jl yllie Ha MH 3aTpOHYT [2) B o6ru.eM IIpOCTpaHCTBe
BeliJIH, HO CXO)I.HMOCTb B HeM 6biJia 3aMeHeHa cpyH)I.aMeHTaJibHOCTb!O IIOCJie
)I.OBaTCJlbHOCTH, IlOCKOJibKY Mbl orrepHpOBaJIH B HellOJIHOM IIpOCTpaHCTBe (3).
4acTb Haumx rrpelliHHX pe3yJibTaToB [2] rrepeKpbna ::noli CTaTbeli.
§ 1.
HarroMHHM HeKOTOpbre rroHHTHH, o6o3HaqeHHH H TeopeMbi.
1) M e T p H K a C T e rr a H o B a. PaccMoTpHM KJiacc cpyHKU.HH Lw
( w ;:;:;, 1), orrpe)l.eJieHHbiX Ha HHTepBaJie (- oo < x < + oo). HcKoMa.H
MeTpHKa orrpe)l.eJI.HeTC.H cpopMyJIOH
(1)
B qacnwcTH, ecJIH E = (- oo, + oo), TO Mbi rrHrueM
a-f-T 1
Df (!, q;) = sup {-Tl_ { 11-plwdx 1Jo;.
w -oo<a <+oo ,
(2)
a
2) M e T p H K a B e li JI .H. 3Ta MeTpHKa orrpe)l.eJIHeTCH rro cpopMyJie
DE (I q;) = lim DTE (I cp) (3)
Ww ' T-+oo Sw J
11, ecJIH E = (- oo, + oo), TO Mbr ee o6o3HaqHM TaK:
Dww(f, q;)= lim D~ (!, q;).
T__,.oo w
(1)
06e MeTpHKH Y.li.OBJieTBopmoT H3BeCTHhiM ycJIOBHHM CHMMeTpHH, a TaKllie
npaBIUIY CTOpOH TpeyroJibHHKa (KaK 3TO CJie)l.yeT H3 H3BeCTHOfO HepaBeHCTBa
3\1\.HHKOBCKOfO). TaK)l<e HMeeT MeCTO COOTHOJlleHHe
(5)
.5 . YKpaHll.CKHfi MaTe;..taT . )KypnaJI, T. V. N~ 2. 185
ecJJrr w' < ,w ('ITO CJJe)lyer H3 H3BecTHoro HepaBeHCTBa feJJbJiepa). KpoMe
Toro,
(6)
3. C p e )1 H H H IT JJ 0 T H 0 C T b M H 0 )!{ e C T B a
HoB a. PaccMorprrM cJJe)lyiOW:YIO BeJJrr'II-IHY
B c M hi c JJ e C r e IT a
( cpe)!HIOIO ITJJOTHOCTb
MHO)KeCTBa)
oJE= sup
-oo <a<+oo
IE(a, a+T) I
T
3Ta BeJJH'IHHa YJIOBJJeTBOpHeT ycJJOBHHM:
d~(E1 + · · · +R,.)-<.6~E1 + · · · +o~E,.
(7)
(8)
EcJJH <PYHKUHH f (x) H rp (x) orpaHH'leHbl, TO Me)K)ly nJ! H o~E cymecTByeT
COOTHOllleHHe
1 1
inf l!-rp l· (oJ E)u; < D~!(f, rp) -<. sup IJ-rp l· (o~E)"' , (9)
KOTOpoe HBJJHeTCH ITpHMbiM CJJe)lCTBHeM <iJopMyJJbl Cpe)!Hero 3 H3'leHHH )!JIH
HHTerpaJJa.
0 IT p e )1 e JJ e H rr e 1. <PyHKUHH /(x) (-- ex:>< x < + =) KJJacca Lw
( w > I) Ha3biBaeTCH w w - ITO'ITH neprro)lrr'leCKOH (w"' IT. IT.), ecJJrr, KaK
6bi M3JJO HH 6'biJJO e > 0, cymecrByeT OTHOCHTe JJbHO ITJJOTHOe MHO)KeCTBU
llO'ITH ITepHO)lOB { ~- }, T3KHX, 'ITO
Dww(f (x+~), f (x)) < e.
C B o H: c T B a <P y H K u rr H: ww IT. IT. Tlycrb f (x) e crb <PYHKUHH
W., IT . IT.
I. KaK 6bi MaJJo Hrr 6biJJo 101 > 0, cymecTByeT qrrcJJo T1 > 0 rr qrrcJJo
a > 0 T3KHe, 'ITO
II. KaK 6bi MaJJo HH 6ww t:2 > 0, cymecTByeT qrrcJJo T2 > 0 rr 4HCJJO
7} > 0 T3KHe, 4TO
n;w(!(x+h), /(x))< E2, ec.rm T ">- T2 lf lhi<7J.
III. KaK 6bi MaJJo HH 6biJJO E3 > 0, cyme crBy eT qrrcJJo T3 > 0 rr OTHO
CHTeJJbHo ITJJOTHOe MHO)KeCTBO IT04TH ITepHO)lOB { ~ }, T3KHX, 'ITO
D'§w(f(x+'£), /(x))< Ea , eCJIH T > T 3 •
CTporrM TaK H33biBa eMoe H)lpo BeliJJH. Bbi6rrpaeM OTHOCHTeJJbHO ITJJOT
Hoe C4eTHOe MHO)KeCTBO IT04TH ITepHO)lOB /(x)
{ "n} (n=O, +I, + 2, + 3, ... ),
TaK, 4TO
n(l+21'])- ~ l < ~n < n(l+217) + }z,
f)le l > 0 T3KOBO, 4TO JJI060H HHTepBaJJ )lJJHHbl l CO)lep)KHT XOTH 6b! O)!HH
186
not.ITH nepHO,ll, <j:JyHKU.HH f (x). CTpOHM ·3aTeM cucTeMy HenepeceKaJOW.HXCH
HHTepBaJJOB (-z;n -'YJ <X< T,. + 't)) 11 Ct.IIHaeM, '-ITO
1
K.(x) = C= 2~(1+2'1)
BHYTPH 3THx HHTepBaJJoB u K. (x} = 0 BHe 3THX HHTepBaJJoB.
5l,IJ,po 06Jia,ll,aeT CJJe,ll,y!Olli.HMl:l CBOHCTBaMli:
a+T
IV. lim _Tl J K. (t)dt= 1 (paBHOMepHo B a).
T-+oo
V. Cyw:ecTByeT MOHOTOHHO B03paCTCI!Olll.aH nOCJJe,ll,OBaTeJJbHOCTb t.IHCeJI
{An} lim A,.=+ c-.o, TaKaH, '-ITO npe,11,eJI
+An
g;(x) = !~~ 2~n J f (x+t) · K. (f) dt.
-An
cylll,eCTByeT ,ll,.TIH JIJo6oro x.
CymecTByeT TaKoe 'lHCJio To > 0, 'ITO
VI. a) /g;(x+a)-q; (x) I< C · DLU (x+ a), l (x');
6) /cp(x) / < C· D~w(f(x), 0).
+A
VII. DI (l (x), g;(x))< lim 21A f n;w(f (x+t), f (x)). K,(t)dt,
1 A~oo
-A eCJili '1' :>To.
Teo p eM a I. (JIIOcTepHHK) [4]. Heo6xo,ll,HMoe 11 ,ll,OCTaT04HOe ycJJOBHe
KOMnaKTHOCTH CHCTeMbi 9J? (cp) not.ITH n epHO,ll,HlJ eCKHX <j:JyHKU.HH Eopa
B CMb! CJJ e paBHOM e pHoi1 CXO,ll,HMOCTH COC'TOHT B BbinOJJHCHI111 CJ!e,ll,y!Olli,HX
YCJIOBHH:
1) cymeCTByeT Tarwe 'lHCJIO M > 0, '!TO J·q; (x) J < M ,ll,JJH Bcex <j:JyHK
U.HH rp (X) HalUeH CHCTCMbi;
2) KaK 6b! MaJIO HH 6b!JIO 4HCJIO E > 0, cymeCTByeT TaKOe 'll:ICJIO
1] > 0, 'ITO
Jcp(x+h)-rp(x)J <s, ecm1 /h/ < r,;
3) KaK 6bi M3J!O HH 6biJ!O 'lHCJ!O E > 0, cymeCTBYCT OTHOCHTCJibHO nJIOT
HOC MHO)KCCTBO nO'lTH nep110,ll,OB { 'l }, 06lli,11X BCCM tPYHKU,11HM CI1CTCMbl
9J?(q;) , T. e. TaKHX, 'ITO J q; (x + T)- cp(x)J < E ,ll,JJH Bcex tPYHKU.HH cHcTeMbi
Wl(cp).
Teo p e ~~a 2. (Xayc,11,opcp [4]). H eo6xo,ll,MMoe 11 ,ll,OCTaTO'lHoe ycJIOBHe
KOMnaKTHOCTH CHCTCM.bl 9J1 (u) 3J!CMCHTOB HeKOTOporo nOJIHOfO MeTpH4e
CKOf0 npOCTpaHCTBa C MeTp11KOH e(u', tt") COCT011T B TOM, 'ITO, KaK 6bi
MaJIO HH 6biJ!O E > 0, cymeCTByeT KOHC'lHaH CI1CTeMa 3J!CMCHTOB: U1, U 2, ..• , Un
Hall!ero npOCTpaHCTBa, T3KI1X, 'ITO ,ll,JIH .111060rO 3JJCMCHTa U MO.tKHO nO,ll,0-
6paTb 3JICMCHT U; TaKOH, 'ITO 1? (u, U;) <E.
0 n p e ,11, e JI e H 11 e 2. [1]. flocJie,ll,oBaTeJibHOCTb tPYHKU.11H { f n (x)}
(n = I, 2, 3, ... ) (- oo < x < + oo) KJiacca Lw Ha3biBaeTCH Dww-paBHO
HOMepHo cxo,ll,Hlll.eikH, ecJm cymecTByer TaKaH <j:JyHKU.HH f (x) (KJiacca Lw),
187
'ITO, KaK 6b! MaJIO HH 6b!JIO e > 0, eMy COOTBeTCTByeT 'IHCJIO To > 0, TaKoe,
1JTO
- T
lim Dsw(f, f ,.) < E,
n->oo
Teo p eM a 3. [1]. Heo6xo,UHMOe H )J,OCTaTOIIHoe ycJIOBHe )J,JIH Toro,
tiT06bi DOCJie)J,OBaTeJibHOCTh { fn (X)} CXO,LI.HJJaCh flww-paBHOMepHO COCTOHT
B BhiDOJIHeHHH cJie,LI.yiow.ero yCJioBHH : KaK 6hi MaJio HH 6hiJio e > 0, cyw.e
CTsyeT TaKoe IIHCJIO T0 > 0, 'ITO
limDI (!,.(x), ! 11l(x)) < e, ecJIH T">-T0•
n~co w
m-+oo
§ 2.
li,JIH ,UaJihHeihuero HaM Heo6xo,LI.HMa cJie,LI.yiOW.aH TeopeMa .
Teo p eM a A. li,ocTaTOIIHoe ycJiosne KOMnaKTHOCTH CHCTeMhi <PYHKUHI1
ill1 (f) (- oo < x < + oo) B CMhiCJie Dww -paBHOMepHOH CXO,LI.HMOCTH co
CTOHT B CJie,UyiOW.eM: KaK 6b! MaJIO HH 6b!JIO f > 0, CYill.CCTByeT TaKOe 'IHCJIO
To = To(c) H KOHe '!HaH: CHCTe Ma QlYHKUHH 'PI (x) ... "Pn(x) (nprma,LI.JieMaW.HX
HJIH HeT K CHCTCMe 9.)1 (f)), 'ITO ,LI.JIH JII060H QlYHKI..lHH f (x) CHCTeMbl 9)( (/)
MOMHO DO)J,06paTh QlYHKI..lHIO <fli(x), TaKyiO, 'ITO
DL (!, <p) < e, ecJIH T ">- T0 •
n 0 K a 3 a T e JI h c T B 0. Bo3hMeM Jllo6yio DOCJie,LI.oBaTeJJbHOCTb
X{! n (x)} (n = l' 2, 3, . . . ) ' COCTaBJJei-IHYIO 113 QlYHKUHfi CHCTeMbl 9)( (!).
3a)J,a)J,HM 6eCKOHe'!HO y6biB3IOill.YIO DOCJJe,LI.OBaTeJJbHOCTb 'IHCe.1 E! > :;2 >
> E3 ···(lim t:i=O) H KaM,LI.OMY f 11 DO,U6epe M COOTBeTCTBYIOlllee 'IHC.TJO
l-+00
T11 = T, (e11 ) 11 KOHeiiHYIO CHCTeMy q;V•l, cp\,"l, ... , q;~n). HaiiHe M Harne nocTpoe-
- l T (1) n (1) HHe C n - , T . e . C fi H 1 H CHCTeMbl (/) 1 , • •• , fPk, •
113 nocJJe)J,oBaTeJJbHOCTH X { f n} (n = 1, 2, 3, ... ) MO;>KHO Bhi,LI.CJJHTb
TaKyio DO)J,DOCJJe)J,OBaTeJJbHOCTb X 1 {f\1), f~l), f~ll ... } H DO)J,06paTb TaKyiO
¢YHKI..lHIO q;~1 >, 'ITO
D~ (flO m(l!) < E
(I) p ' 'Y ll 1
)J,JIH JJI06oro p H )J,JJH T;;? T1. 3aTeM 6y,UeM HCXO)J,HTb H3 IIHCeJI ~: 2 11 T2
II CHCTeMbl q;Fl .•. (/)~:), Bbi,LI.eJJHB TaKyiO DO,LI.DOCJJe)J,OBaTeJJbHOCTb
x2 (f\2), fk2~, ! ~2 ) , .•. ) c xl
II DO)J,06paB TaKyiO QlYHKI..lHIO fP~;l, 'ITO 6y,UyT BbinOJJI-IHTbCH HepaBeHCTBa
DL(f~2>, fP\;>) < t 2 ,
ecJJH T;;? T2 II )J,JIH JJI06oro p. B n-oM mare HawHx nocTpo~HHH !\!hi
DOJJY'IHM DO)J,DOCJJe,LI.OBaTeJJbHOCTb
XnUV'>, J~n), !~·), .. . ) c x,._p
'IHCJJa f 11 II T n H CHCTeMy q;\n) . . ·1ft~~ TaKHe, 'ITO
D'J;w U1n), fPI:l) < ~'n
npH JJI060M p H npii T;;? Tn.
188
(10)
TaKHM o6pa30M, Mbi CTJ)OHM cqeTHOe MHOMeCTBO no)l.rrocJJe)l.OBaTeJJh
HOCTeH
x 1 :J x2 :J x3 :J . . .
K 3TOMY C'leTHOMY MHOMeCTBY Mbi rrpHMeHHM )l.HaroHaJJbHbiH rrpou.ecc,
ITOCTpOHB ITOCJJe)l.OBaTeJJbHOCTb
X 2 (! \ll, 1 ~2~, 1 ~sJ, •• • ) ex.
OoKaMeM, 'ITO rrocJie)l.oBaTeJibHOCTb 5lBJI5leTC5I HCKOMOH, T. e . Dww· paB
HOMepHo CXO)l.5lill.eHC5l. B CaMOM )l.eJJe, Ha OCHOBaHHH ( 10) Mbl MOMeM
3aKJIIO'IHTb, 'ITO
D T ( (n) j (n+m)) <
Sw ({lin ' n+m en (11)
rrpH T > Tn H rrpH JII060M m, ITOCKOJ!bKY Xn :J xn+m· Ha TOM Me OCHOBaHHH
rrpH T ;> Tn H JII060M p
vr;, (tp~:l, f~t:)) < En·
B CHJIY (11) H (12) HMeeM
DT (J(n+pj /(n+m)) ./ DT ( \n) fn(n++mm)) +
Sw n+p ' n+m """- Sw ({lw '
+ DT ( (n) jln+pl) < 2
Sw ({li ' n+ P en.
J1TaK,
D T (J(n+p) /(n+ml) < 2
Sw n+p ' n +m En
ecJIH T ;> T, H npn JII06hiX m H p. 0TKy)l.a cJJe)l.yeT, 'ITO
lim D~w (!~'::), f~n.t,;;' 1 ) < 2E11 •• •
1n-+oo
p-->oo
(12)
(13)
(14)
Ho 3To eCTb ycJJOBHe TeopeMbi 3 B rrpHMeHeHHH K rrocJJe)l.oBaTeJibHOCTH
Xg, a rroToMy Ha ocHoBaHHH 3TOH Me TeopeMbi Mbi 3aKJIIO'IaeM, 'ITO X Q
ecTb rrocJieJl.OBaTeJibHOCTh, Dww-paBHOMepHo CXO)l.5lll1.a5lc5l.
TeM caMbiM Harna TeopeMa )l.OKa3aHa.
§ 3.
Oepexo)l.HM Terrepb K Harneif ocHOBHOH TeopeMe.
Teo p eM a B. llocTaTO'IHoe ycJIOBHe KOMrraKTHOCTH cncTeMbi 9Jl (!)-·
ww-ITO'lTH rrepHO,li,H'IeCKHX cpyHKU.HH B CMbiCJie Dww·paBHOMepHOH CXO,li,H-
MOCTH COCTOHT B Bb!ITOJIHeHHH CJie)l.yiOill.HX YCJIOBHH:
I. KaK 6hi MaJio HH 6biJIO ~::, > 0, cyru.ecTBYIOT 'IHCJio a > 0 H 'IHCJio
T 1 > 0, TaKHe, 'ITO ,li,JIH JII060H cpyHKU.HH f (x) HaWeH CHCTeMbl 9J1 {f) Bb!ITOJI
HHeTCH HepaBe HCTBO
eCJm ofE<a, KOr)l.a T > T].
II. KaK 6bi MaJio HH 6biJio e2 > 0 cyru.ecTBYIOT 'IHCJJO 1J > 0 H 'IHCJIO
T2 > 0, TaKHe, 'ITO )l.JIH JII060H cpyHKU.HH f (x) HaWeH CHCTeMbl 9J1 {f) HMeeT
MeCTO COOTHOWeHHe
DL (f (x+ h), f (x)) < e2,
189
III. KaK 6hi MaJio HH 6hiJIO 'IHCJio e3 > 0, cyw:eCTBYIOT 'IHCJIO T3 > 0
11 OTHOCHTeJibHO nJIOTHOe MHO)KeCTBO nO'ITH nepHO,ll.OB { 't }, 06W:HX BCeM
<j:JyHKUHHM CHCTeMbl 9J1 (f}, 'ITO JIMeeT MeCTO COOTHOllleHHe
D~w(f (x+'t), f (x)) < E3
.D.JIH JII06oif <j:JyHKUHH f (x) CHCTeMbi ~1(!) , eCJIH T > T3 •
Jl 0 K a 3 aT C Jl b C T B 0. BBH.li.Y CJIO)KHOCTH ,ll.OKa3aTeJibCTBa Mbl 6y.neM
BeCTH ero no pa3.neJiaM, onHpaHcb Ha CBOHCTBa I - VI I ( § 1) <j:JyHKUHH
Ww - nO'ITH nepHO,ll.HlleCKOH.
a) noCTpOHM H,ll.po K , (x)' npHHHB B ycJIOBHHX II H III §I f2 = f3 =e.
npe)K,ll.e Bcero Mbl HanOMHHM, 'ITO CBOHCTBa I, II 11 III ,ll.JIH CHCTeMbl
HBJIHIOTCH cooTBeTCTBeHHO CBOHCTBaMH I, II H II I § 1, npHCYW:HMH HH.D.HBH
.nyaJihHO Ka)K,ll.OH W w - nOl!TH nepHO,ll.H'leCKOH <j:JyHKUHH, H Ka)K,ll.aH <j:JyHK
UHH /(x) npH 3a,ll.aHHbiX EI, f2 11 E3 11MeeT CBOI1 3Ha'leHI151: r,, T2, T3, 0 H 'YJ·
Tenepb )Ke 3TH noCJie.D.HI1e nHTb BeJII1'IHH HBJIHIOTCH xapaKTepHbiMH .D.JIH Bcex
<PYHKU11H CI1CTeMbl 9J1 (f) B 11X COBOKynHOCTI1. no3TOMY K ,(x) [e2 = f3 = e]
KaK 3aBI1CHW:ee TOJibKO OT 'f) 11 nO'ITH nep110,ll.OB <j:JyHKUHH Tenepb OKa3bi
BaeTCH O,ll.I1HaKOBbiM ,ll.JIH BCeX <j:JyHKU11H HallleH CI1CTeMbl 9J1 (/).
J1TaK, COXpaHHH nOJIHOCTb!O 0603Ha'leHHH § 1 np11 <j:JopMyJJHpOBKe
CBOHCTB I-VII ww- no'ITH nepHO,ll.11'!ecKoif <j:JyHKU11H, Mbi n epeHOCHM JJ11lllb
11X Tenepb Ha <j:JyHKU11H f (x) BCeH CI1CTeMbl 9J1 (f) no COBOKynHOCTI1.
J1TaK, Ka)K,ll.Oll <j:JyHKU1111 f (x ) 6y,ll.eT COOTBeTCTBOBaTb CBOH <j:JyHKU1151
<p (x) (eM. § 1, csoiicTBa VI 11 VII), a CJJe.nosaTeJibHO, cHcTeMe 9J1(/) 6y.neT
COOTBeTCTBOBaTb CI1CTeMa 9J1(rp).
b) PacCMOTp11M CBOHCTBa <j:JyHKU11ll CI1CTeMbl 9J1(,g:>). noKa)KeM, 'ITO aTO
CHCTeMa no'ITI1 nepHO.D.H'leCKI1X <j:JyHKU11U Eopa, KOTopaH y.nosJieTBopHeT BCeM
YCJIOBHHM TeopeMbl 1 (§ 1), a CJJe,ll.OBaTeJihHO, HBJJHeTCH KOMnaKTHOll
B CMbiCJie paBHOMepHOH CXO,ll.HMOCTI1.
06paTI1MCH K ycJIOBI110 I HaCTOHlll.eif TeopeMbi. Bo3 hMeM 'li1CJIO To 113
csoiicTB VI 11 VI I § 1, KOTOpbie Tenepb np11MeHHIOTCH Ko Bce u CI1CTeMe
9J1(f) no COBOKynHOCTI1. nocTpOHM CI1CTeMy nOJIYI1HTepBaJIOB
(kT0 +(i-1) ~0 <;': x <kT0 + i ~),
1
r.ne n> - (oB3HTa i13YCJIOB115II) (i = l ,2,3, . . . ,n) (k = 0, + 1,+2, ... ).
(J
Tenepb nocrpo11M CI1CTeMy KoHrpy3HTHbiX MHO)KeCTB Ei (i = 1, 2, 3, . .. , n) .
Hi COCTOHT 113 Tex nOJIYHHTepBaJIOB CI1CTeMbl, KOTOpble Bbi6Hpa!OTCH np11
,ll.8HHOM i H np11 BCeB03MO)KHbiX k.
E1+Es + · · · + En=(-oo, +oo).
KpoMe Toro, O'leBI1.D.HO, 'ITO
£TE ...---- .!_ us . -~ ' ' n
B CI1JIY COOTHOllleHI151 6 § 11 ycJIOBHH I HaCTOHlll.eii TeopeMbi Mhl 11MeeM
n
D"fw (/; 0) <;. :::S D[;:i(f, 0) < n · c:1 =M,
1
190
ecJm T ;> Max (To, TI). M 3,ll,ecb HeKoTopoe cpHKCHpOBaHHOe lJHCJIO > 0.
HepaneHCTBO n) VI § I }J,aeT I-Wl\1
lcp(x) l-< · C · DLU, 0) <. C · M.
lhaK, ,li,JIH scex cpyHKU.Hii cucTeMbi 9J1 {q_1) B'biilOJIHHeTCH yCJioBHe
l<.o(X)I <C. M.
3To ecTb ycJiosue I) TeopeMbi 1.
06paw,aHcb K yc.noBHIO II HaCTOHU(eii TeopeMbi II K HepaneHCTBY a)
VI § I H B3HB T ;> Max (To, T2), a = h (I hI< 7J) H e2 = E, noJiylJHM
/cp(x+h)-cp(x)l <. C. D~w(f (x+h), f(x)) < C· ~,
T. e.
I rp(x + h) - rp (x)l < C. c.
Ho 3To eCTb He liTO HHoe, KaK ycJiosue 2) TeopeMbi I (nocKOJibKY E npo
H 3 BOJibHO MaJlO). CosepweHHO aHaJIOrl:llJHO, o6paw,a.Hcb K yCJioBHIO II I Ha
CTOHw,eii TeopeMbi H B3HB E3 = ~::, T ;> Max (T3 , To), a = ,;, Mbi B CIWY Toro
){(e csoiicTBa VI § I noJiylJHM
liP (x+~)-cp(x) J-< C· ntu (x+r), f (x)) < C·E.
YfTaK,
I rp(x + t:)- rp(x)l < C. c.
Yb ::noro noc.rre,li,Hero HepaBeHCTBa CJie,ll,yeT, liTO Ka){(,ll,a.H cpyHKll,HH qJ(X) -
nOlJTH nepHO,':(HlJeCKaH no J3opy H, KpOl\le TOrO, riOCKOJibKY T eCTb CHMBOJI
IIOlJTH nepHO,ll,a, o6w,ero BCeM cpyHKU,HHM CHCTeMbl 9J1(/) B CMbiCJie BeiiJI.H,
CJie,ll,yeT, lJTO T eCTb CHMBOJI nOlJTH n e pHO,ll,a (B CMbiCJie DOpa), o6w,ero
seeM cpyHKU.HHM cucTeMbi 9J1(<,o ). CJie,ll,oBaTeJibHO, BbinOJIHeHo yCJiosue 3)
TeopeMbi I.
l1TaK, 9J1 ( rp ) y,li,OBJieTBOp.HeT BCeM YCJIOBHHM TeopeMbl } , a CJie,li,OBa
T eJi bl-10 , 9J1 (rp ) KOMriaKTHa B CMbiCJie paBHOMepHOH CXO,li,HMOCTH. Tor,ll,a
B CHJIY TeOpeMbl 2 ,li,JIH ,ll,aHHOro E MO){(HO nO,li,06paTb T3KYIO KOHelJHYIO
CHCTeMy cpyHKU,HH
cp1 (x), (/'<J (x), . .. , IJ'n (x)
( OlJeBH,li,HO, OOlJTH nepHO,li,HlJeCKHX no Dopy), '-ITO ,li,Jl.H JII060H cpyHKU,lill CH
CTeMbl 9J1({]J) H3H,ll,eTCH CBO.H cpyHKU,HH "Pi(X), lJTO
I q_1{x) - IJ'i (x) I < 10. ( 15)
c) 06paw,aeMCH Tenepb K csoiicTBY VII § I B OTHoweHHH u.eJiol'l cncTeMbi
9J1 (/) H K COOTBeTCTBYIOW,HM 0603HalJeHHHM, BBe,ll,eHHbiM TaM. l13 YCJIOBHH II
II III HaCTOHW,eH Teop eMbl Mbl H MeeM (B3 HB f2 = CJ =e ):
n;w (I (x + t:,.), I (x)) < E,
ecJIH T > Max(T0 , T 3 ) (n=O, +1, + 2, ... );
Dt(f (x+ rn +h), f (x+ t:n)) ·< E,
ecJIH T > Max (T~, T,) H i hI< 7J.
. (16)
(17)
191
B3SIB To=Max (T2, Ta, To), Mbi rroJiy'lHM B CHJIY (16) 11 (17), 'ITO
nt (! (x+c-n +h), I (x)) <. DL (/ (x+rn +h), I (x+r,.)) +
+Dlw(f(x+rn), l(x))<2s,
yfTaK,
DJw (! (x+rn +h), I (x)) < 2s,
ecJIH T >- Te H lhl<'l·
J1JIH HHa'le
D~w (I (x+t), I (x)) < 2e,
eCJIH
(n=O, +1, ±2, ... ),
(18)
T. e. HepaBeHCTBO ( 18) Bb!ITOJIHHeTCH JJ:JIH TeX 3Ha'leHHH t, JJ:JISI KOTOpb!X
K.(t) =!= 0.
06o3Ha'!HM qepe3 EA coBOKYITHOCTb Bcex HHTepBaJIOB ( rn- 'IJ, Tn + 1])
H Hx qacTeii, rrorra.nmomHx B HHTepaaJI (-A, +A). OoJiy'lHM
+A
2~ J Dsw(f (x+t), I (x)) · K , (t)dt =
-A
= 2~~ Dsw(f (x+t), I (x)) · K,(t)df <
+A
2e J 2s J < 2A K. (t)dt= ~A K. (t)dt.
-A
CoaeprnaH rrepexo.n K rrpe,neJiy rrp11 A ·~ oo, HMeeM B CHJIY IV § 1
+A
~~~ 2~~ DL(!Cx+t), l(x))·K,(t)dt<2e.
-A
Oo3ToMy B CHJIY CBOJ1:cTBa VII § 1 Mbi HMeeM
D~, (/, rp) < 2s,
ecJIH T > 'fo.
d) 06o3Ha'!HM Terrepb qepe3 E MHO)KeCTBO TO'leK, r.ne
2s
!l-9' 1>a·
B CHJIY HepaBeHCTB (9) H ( 15) Mbl HMeeM O'leBH,!7_HO
T TE 2s T
2E > Ds, (I, rp)>-Ds, (I, ffJ) > - · osE,
()"
eCJIH T > T0 ,
ou:y.na CJie.nyeT, 'ITO
192
(19)
(20)
HccJie.n.yeM Tenepb BeJIHIIHHY DLC!. q;), Kor.n.a T ;;> T0•
HMeeM
Df,(f, q;) <. DI! (1, g;)+ ni:E (1, rp).
B CHJIY (5) H (9) HMeeM
D TcE (I ) _ DTcE (I O) 2s -<T -!;- 2s
S w , g;- Sw -q;, <-(u8 cE) <;.- .
CT (J
HTaK,
HMeeM, .n.aJiee,
D TE I ) TE I 0 TE Sw( • (/J <. Dsw(, )+Dsw(cp,O).
Ho B CHJIY ycJIOBHH I HacToHmell: TeopeMbi HMeeM
TE
Dsw (/, 0) < E!>
noCKOJibKY a[ E < (] H T > To> Ti.
TaK:me HMeeM B CHJIY (9)
1 1
DI! (rp, O)< CM · (o[ E)c;; < CM · (af;;.
I1TaK, B CHJIY (21), .(22), (23) H (24) noJiyqHM
T E 2s _!_
Dsw (/, q;) < - + e1+CM· ow.
(J
(21)
(23}
(24)
(25)
flOCKOJihKY o He orpaHHqeHO C!-IH3Y 1-IHKaKHM qHCJIOM, KpOMe 1-IYJIH, TO
Mbl MOlliCM ero Bbi6paTb CTOJ!b MaJibiM, qT06bi
1
CMaw < s1 •
TaK KaK Ei 11 E HC3aBHCHMbl .n.pyr OT .n.pyra, Mbl MOlliCM Bbi6paTb e TaK, qTQ
2s
-< El• a
Tor.n.a HepaseHCTBO (25) .n.aeT HaM
DL(f,rp) < 3s1, (26)
eCJIH T ;> To.
e) BepneMCH Tenepb K HepasencTBY ( 15) . H 3 nero CJie.n.yeT, qTo
DL (({!, g;) < El (27)
npH JII06oM T. ConoCTaBJIHH (26) H (27), HMeeM npH T ;> To
Dfw(!, rp) <. Dfw(f, g;)+DL(rp, rp;) < 4s1 •
l-haK, KaK 6bi MaJio HH 6biJio e1 > 0, cymecTByeT qHcJio To> 0 H KO
HeqHaH cncTeMa noqTH nepHO.LI.HqecKHX cpyHKII.HH "Eopa fJ!i (x), ... , rp11 (x) ,
qTQ ,li.JIH JII060H cpyHKII.HH f (X) CHCTCMbl 9J1 {f) Hall,li.CTCH CBOH cpyHKII.HH {/Ji (X)
TaKaH, qTQ
(28)
eCJIH T ;> To.
3To 3HaqHT, qTo BhiiTOJIHeHo yCJioBHe TeopeMbi A, a rroToMy B CHJIY
:'HOH TeopeMbl, C.TJe.n.yeT, qTo CHCTeMa 9J1 {f) KOMfiaKTHa B CMbiCJie Dww·paB
HOMCpHOH cxo.n.HMOCTH. HTaK, TeopeMa B .n.oKa3aHa noJIHOCThiO.
193-
§ 4.
TeopeMbi A H B HMeJOT HeKoTopbie BaMHbie npHJIOMeHHH B TeopHH
II04TH nepHO.LI.H4eCKHX cpyHKl.I,HH.
I) EcJIH f (x) eCTb ww - no4TH nepHO.LI.H4ecKaH cpyHKl.I,HH, To JierKo
llH.LI.eTb, 4TO CHCTeMa BCeX CMelll,eHHH {f(x -j- k)} ~lTOH cpyHKl.I,HH KOMnaKTHa
B CMbiCJie Dww -paBHOMepHOH CXO.LI.HMOCTH, TaK KaK oHa y.noBJieT.BOpHeT BCeM
Tpe6oBaHHHM TeopeMbi B.
O.nHaKo 3.necb BepHo H o6paTHOe 3aKJIJ04eHHe, a nMeHHo: ecJIH cHcTeMa
/(X -j- k) } KOMnaKTHa B CMbiCJie Dww-paBHOMepHOH CXO.li.HMOCTH, TO f(x)
{)y .neT cpyHKl.I,HeH Ww II04TH nepHO.li.H4eCKOH. Jb TOfO cpaKTa, 4TO
{ f (X -j- k)} KOMnaKTHa B CMbiCJie Dww -paBHOMepHOH CXO.LI.HMOCTH, CJie.nyeT
TeM 6o.'lee, 4TO OHa KOMnaKTHa B CMbiCJie CXO.LI.HMOCTH no MeTpHKe Dww,
a Tor.na B CHJIY pe3yJibTaTOB, paHee noJiy4eHHbiX HaMH [2], /(x) 6y.neT cpyHK
'"l.I,HeH Ww - II04TH nepHO.LU14eCKOH.
I1TaK, Mbl HaWJIH CJie.LI.yJOI..UYIO TeopeMy, nepeKpbiBaJOW.YIO paHee IIOJiy-
4eHHbie HaMH pe3yJibTaTbl [2].
Teo p eM a C. Heo6xo.nHMoe H .nocTaT04Hoe ycJIOBHe, 4T06bi f (x)
6biJia 6bi Ww - II04TH nepHO.LI.H4eCKOH, COCTOHT B TOM, 4T06bi CHCTeMa
BCeX ee CMelll,eHHH { f (X -j- k) } 6biJia 6bl KOMIIaKTHOH B CMbiCJie Dww-paB
HOMepHOH CXO.LI.HMOCTH.
2. PaccMoTpHM Tenepb Bonpoc o npH6JIHMeHHH w w - no4TH nepno-
.LI.H4eCKHX cpyHKl.I,HH noJIHHoMaMH EoxHepa-<Peilepa. ECJIH {a(x)} eCTb cn
CTeMa BCeX B03MO>KHbiX IIOJIHHOMOB DOXHepa-:Periepa .li.JIH .naHHOH cpyHKl.I,HH
f (x), KOTOpaH npe.nnoJiaraeTCH Ww - II04TH nepHO.li.H4eCKOH, TO, KaK JierKO
IIOKa3aTb, HMeiOT MeCTO CJie.LI.yJOW.He HepaBeHCTBa:
H
Df,~(a(x+a), a(x))<DJ~{f(x+a), /(x)}.
B CHJIY CBOHCTB I, II, III (§ 1) w "' - no4TH nepHO.li.H4eCKOH cpyHK
l.I,HH H IIOCJie.LI.HHX HepaBeHCTB, JiefKO BH.LI.eTb, 4TO CHCTeMa a (x) Y.li.OBJieTBO
pHeT BCeM Tpe6oBaHHHM TeopeMbl B, a IIOTOMY 3Ta CHCTeMa KOMnaKTHa.
B CHJIY 3Toro, Bbi6paB nocJie.noBaTeJibHOCTb nOJIHHOMOB lin, (x), On,(X), ... ,
KOTopaH CXO.li.HTCH K f(x) B CMbiCJie MeTpHKH Dww' Mbl CMOMeM, B CHJIY
TeopeMbi B, Bbi.LI.eJIHTb TaKyJO no.nnocJie.noBaTeJibHOCTb u,;k (x) (k = 1, 2, ... ),
KOTOpaH CXO.LI.HTCH Dww-paBHOMe pHo H 04eBH.LI.HO K TOH Me cpyHKl.I,HH f (x).
J1TaK, Mbl npHXO.li.HM K CJie.LI.yJOW.eH TeopeMe.
Teo p eM a D. .KaKosa 6bi HH 6hiJia ww - no4TH nepHO.LI.H4ecKaH
-cpyHKl.I,HH j (x), cyw.eCTByeT TaKaH IIOCJie.LI.OBaTeJibHOCTb TpHrOHOMeTpH4eCKHX
llOJIHHOMOB
KOTOpaH CXO.LI.HTCH Dw.,-paBHO MepHo K cpyHKl.I,HH f (x).
n p_!! Me 'l a H He. 3Ta TeopeMa 6b!Jia ,ll0K333H3 ,llpyri!M COOCOOOM oe31!KOBH'leM
s ero KHHre .,Almost periodic functions".
!94
J1l1TEPAn'PA
I. A. C. K o B a H b K o, K nonpocy o cxo.nHMOCTH nocne.nosare.~bHOCreli ¢YHIH.\HH
B CML!CJJe MerpHKH BelinH - Dw,.,' YKp. MareMar. )!{ypH., r . III, N~ 4.
2. 0. C. 1\ 0 BaH b K 0, npo KOMUaKTHiCTb CUCTCM y3ara;lbHCHHX MBH)!{C nepiO.D.H'-1-
IlHX ¢ynKu.ili BeliJJH, HayKoni 3BllHCKH JlbBiBC!.Koro .nep)!{aBHoro yHiscpcHrcry, cepiH
¢i3HKO-MareMaTH'-IHa, BHn. I, r. V.
3. A. C. K o BaH L K o, 0 KOMllBKTHOCTH CHcreM o6oulll.CHHLIX llO'lTH nepHO.l\H'leCKHX
¢YHKU.Hii BcliJIH, llAI-1 CCCP, r. XLIII, N~ 7, 1944.
4. JI. A. JI 10 c r c pH u K, OcHOBHble nOHHTHH ¢YHKU.HOHaJJi,HOro aHaJIH3a, YcnexH
MBT. HByK, T. I, crp. 77-140.
nony'leHa 9 anpeJIH 1952 r.
JlbBOB.
0185
0186
0187
0188
0189
0190
0191
0192
0193
0194
0195
|
| id | umjimathkievua-article-7730 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:12Z |
| publishDate | 1953 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ab/151623150c8d25a0d7fa378cfaa712ab.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77302023-08-15T09:55:16Z О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля Кованько, А. С. Кованько, А. С. На основе результатов, полученных нами в вопросе полноты одного подпространства пространства, определяемого метрикой Вейля, нам удалось построить достаточные условия компактности системы функций Вейля в одном частном понятии сходимости. Этот вопрос был уже нами затронут в общем пространстве Вейля, но сходимость в нем была заменена фундаментальностью последовательности, поскольку мы оперировали в неполном пространстве. Часть наших прежних результатов перекрыта этой статьей. На основе результатов, полученных нами в вопросе полноты одного подпространства пространства, определяемого метрикой Вейля, нам удалось построить достаточные условия компактности системы функций Вейля в одном частном понятии сходимости. Этот вопрос был уже нами затронут в общем пространстве Вейля, но сходимость в нем была заменена фундаментальностью последовательности, поскольку мы оперировали в неполном пространстве. Часть наших прежних результатов перекрыта этой статьей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1953-05-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7730 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 5 No. 2 (1953); 185-195 Український математичний журнал; Том 5 № 2 (1953); 185-195 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7730/9426 Copyright (c) 1953 А. С. Кованько |
| spellingShingle | Кованько, А. С. Кованько, А. С. О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_alt | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_full | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_fullStr | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_full_unstemmed | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_short | О компактности систем обобщенных почти периодических функций Вейля |
| title_sort | о компактности систем обобщенных почти периодических функций вейля |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7730 |
| work_keys_str_mv | AT kovanʹkoas okompaktnostisistemobobŝennyhpočtiperiodičeskihfunkcijvejlâ AT kovanʹkoas okompaktnostisistemobobŝennyhpočtiperiodičeskihfunkcijvejlâ |