О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов
-
Збережено в:
| Дата: | 1953 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1953
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7736 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512720353230848 |
|---|---|
| author | Ганзбург, И. М. Ганзбург, И. М. |
| author_facet | Ганзбург, И. М. Ганзбург, И. М. |
| author_sort | Ганзбург, И. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T10:12:02Z |
| description | - |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
1953 YKPAHHCKHN MATEMATH4ECKHA ~YPHAn
· 11H CTI1TYT MA TEMA Tl1Kl1
T. V,N23
0 HeKOTOpbiX MeTO)J,aX OpH6JIH.>KeHHSI cyMMHpyeMbiX lPYHKli,HH
npH DOMOW.H MHOrOt.tJieHOB
H. M. FaH36ypz
§ 1. Boe)l.euue
B MaTeMaTHIIecKoli JIHTepaType nO)I.BepraJICH uccJie)I.OBaumo MeTO.ll. npu-
6Jiu:m:eHHH HenpepbiBHbiX nepHO)I.HlleCKHX cpyHKU,HH
(1)
2n
DpH a,. = 2n + 1 MeTO.ll. ( 1) paccMaTp:HBaJICH aKa)l.eMHKOM C. H. 13epu-
WTei1HOM [1], )I.OK33aBWHM ero CXO)I.HMOCTb Ha KJiaCCe C u enpepb!BHbiX ne
pHO)I.HlleCKHX <j:JyHKU.HH. DpH npo:H3BOJihHOM a11 .HC'IepnbiBaioru,ee 'HCCJie)l.osauHe
MeTO)I.a ( 1) 6biJIO npose)l.eHo A. <1> . TuMaHoM [3, 4].
As Top (eM. [5]) HCCJie)l.oBaJI MeTO.ll. npH6JimKeHHH
1
ln(!, x; an, fln) = 3{8,.(/, x)+Sn(!, x+1X,1)+S,.(/, x+ fln)}, (2)
33BHCHlliHH OT .li.BYX npOH3BOJihHbiX llOCJie)I.OBaTeJihHOCTeii {1X71} H {~n}· J3oiJia
noJiytieHa aCHMllTOTHlleCKa H OU,eHKa HOpMbl onepaTopa f 11 B npoCTpaHCTBe C
H YCT3HOBJieHO, liTO CXO)I.HMOCTb MeTO)I.a (2) Ha KJiacce C paBHOCHJibHa
COOHIOWeHHHM:
4pn ( 1 )
an= 3(2n+1) + O nlnn ;
{J,. = 3 (;:: 1) + 0 (n I~ n) ;
(3)
r)l.e p = p (n) H Q = q(n) U,eJIO'IHCJieHHbie cpyHKU,HH, npHHHM a!OruHe KOHelJ
HOe 'IHCJIO 3H3'1NIHH BH)I.a 3r- 1 H 3s + 1 (r H S - U,eJibie liHCJia).
B uacTonmeli pa6 oTe paccMaTpusaeTCH KJiacc L cyMMHpyeMbiX nepuo
.li.H'IecKHX {j>yHKU,HH H C TO'IKH 3 p e HHH CXO)I.H MOCTH Ha KJiac ce £ HCCJie)l.y eTCH
MeTO)I. npH6JIH}!{eHHH
tn(l, x)= }{sn(/, x) + sn(t, x+ 3 (2!:1)) +sn(t, x- 3 (2!':.- 1)) }• (4)
npe.li.CTaBJIH!Orli,HH co601o M eTO.ll. Tuna (2).
B § 2 pa6oTbi yCTauaBJIHBaeTCH cxo)I.HMOCTh M e To)l.a ( 4) Ha KJiacce L
B JII06oii TOtiKe fle 6 e ra <j:JyHKU.HH f ( x ) e L.
304
B § 3 yKa3aHbi HeKoTopbie rrpHJIO)!(eHHH aae.n.eHHoro MeTo.n.a rrpH6JIH
)!(eHHH t,, (!,. x) B TeopHH cyMMHpyeMoCTH pH.LI.OB 1>ypbe H cyMMHpoBaHHH
"lHCJIOBbiX PH.li.OB .
.Vbaecnw, IJTO ecJIH f (x) e L', r > I, TO rroiJTH BCIO.li.Y
1 n
lim - _1718. (!, x)-f(x)ik=O; k>O.
n-..():)n "=1 . .
(5)
B I935 r. 6bTJIO .n.oKa3aHo [7] B cJiyiJae rrpoCTpm-ICTBa L, 'ITO ecJIH x
€CTb TOIJKa J1e6era <PYHKU.HH f (x), TO ~noro eme He.D,OCT3TOIJHO .li.JI51 BbiiTOJI
HeHH51 B HeH COOTHOllleHH51 (5) .ll,JI51 JII060H <PYHKU.HH f (x) E £ .
B H3CT05lllJ.eH pa60Te, HCITOJ!b3Y51 BBe.D,eHHbiH MeTO.ll, rrpH6JIH)!(eHH51 ( 4),
l'>·lbi .n.oKa3biBaeM, 'ITO .D,JIH KJiacca A( a, I), npHHa.n.Jie)!(amero rrpoCTpaHCTBY
L, COOTHOllleHHe ( 5) BbiiTOJIH5IeTC51 ITOIJTH )I,JI51 BCeX X.
B § 3 pa6oTbi npHBO.D,HTCH TaK)Ke npHJimKeHHe MeTo.n.a t, {!, x ) K cyM
MHpoaaHHIO lJHCJIOBblX p5I.D,OB.
§ 2. Cxo.n.HMOCTJ:i t, (f, x) Ha KJJacce L cyMI\1HpyeMbiX lf>YHKU.HH
T eo p e ~1 a 1. K:aKoBa 6bi HH 6biJia cyMMHpyeMaH rrepHo.n.a 2n <PYHK
U.HH f (x), HMeeT MeCTO
lim tJ,(f, x) = f(x) (6)
n--+oo
B K3)K.ll,OH TOIJKe J1 e 6era X <PYHKU.HH f (x).
TaK KaK MeTo.n. t, (!, x) y.n.oBJieTaopHeT yCJIOBHHM (3), To .D,JIH Hero
HMeeT MecTo cxo.n.HMOCTb Ha KJiacce C.
K:aK H3BeCTHO H3 pa6oTbi [2] C. M. HHKOJibCKoro, ecJIH Mbi HMeeM MeTo.n.
r.n.e IJHCJia i{nl o6pa3yiOT BbiiTYI<JIYIO ITOCJie.D,OBaTeJibHOCTb (k=O, 1, ... , n+ 1
}. ~•) = 1; A~'il = 0), TO CXO.ll,HMOCTb U11 {f, X) B K3)K.ll,OH TO'I Ke J1e6era X )J,JI 51 JII0-
6oif cyMMHpyeMoH: <PYHKU.HH f (x) paBHOCHJibi-Ia cxo.n.HMOCTH I-I a I<Jiacce C.
O.n.HaKo .D,JIH IvieTo.n.a f11 (f, x) IJHCJia ltl npe.n.cTaBJIHIOTCH B BH.n.e
(n) _ .!._ ( +2 4kn )
'J.k -3 1 cos3(2n+l) (7)
H, K3K JierKO rrpoBepHTb, He o6pa3yiOT BbiiTYKJIOH ITOCJie.D,OBaTeJibHOCTH.
B CB513H c 3THM )J.JI51 JJ.OKa3aTeJi bCTBa TeopeMbi 1 Tpe6yeTC51 I-renocp e.n
CTBei-II-IO paCCMOTpeTb OTKJIOHeHHe fJ, {f, X) OT f (x).
4n ( )
floJiaraH en = 3 (2n + 1), H3 4 Ji e rKO ITOJIYIJHM
1 "' [sin(n+ ~) t
t,.(/,x)= 3nft(f+x) . t +
_,. 2sm2
sin (n + & ) (t+s,.) sin (n +})(t-En)]
+ -------+ dt.
t+en t-e,.
2 sin - 2- 2 sin - 2 -
305
B CHJIY 'leTHOCTH 51JJ.pa H3 ITOCJie)J,Hero paBeHCTBa BhiTeKaeT
,..
2
t,.(l, x)-l(x) =in ! !fx(2u)K,.(u)du; (8)·
0
f/Jx (f)= I (x+t) +I (x-t)- 21 (x),
(t) _sin (2n+l) t +
K,. - 2 sint
sin(2n+l)(t+~) sin(2n+l)(t-~)
+ ( + ) .
2 sin .t + ; ) 2 sin (t - ~
(9)•
Dpe.n:cTaBHM HHTerpaJI B rrpaBoli qacTH (8) B ~;~n.n:e cyMMhi Tpex HHTe - -
rpaJioB
. 2 f'n
I 1 = - 1Px(2u)Kn(u)du,
3n
0
...
2 . 2! I 5 = 3n 1Px (2u)Kn(u)du.
:t-En
- 2-
(I 0) ·
(11 )·
OueHHM / ,I, / 2 n / 3. B oueHKax 6yKBhi c', c", c, (i = 1, ... , 5) ()603Ha
q aiOT KOHCTaHThi. Y'IHThiBaH, 'ITO I sin kt I < k I sin t I, HaXOJJ.HM
...
2n+1J II11< - n - l fJJ"'(2u)ldu. (1 2)•
0
4n
TaK KaK x TO'!Ka Jle6era !(x), as .. = 3 (2n+l)' TO oqeBH,n:Ho, 'IT~
ii =o(1) (n~oo). ( 13)
OueHKa HHTerpaJia / 2 Tpe 6yeT ,n:orroJIHHTeJihHhiX coo6pa}KeHHH. 3a,n:aBrnHCh
11pOH3BOJibHbiM .E > 0, ITO,n:6epe M TaKOe M3JIOe IfHCJIO b. > 0, 'ITO 11p11'
0 < t < 2h Bbll10JIH51eTC51
tP_.(t) = J If (u+x)- f (x) I du<Et.
0
306
3aqJHKCHpOBaB 3TO h H" CqHT<fff n TaKHM, "'TO BbinOJIHeHO HepaBeHCTBO
En < h,
npeJI.CTaBHM j 2 B BH)I.e CYMMbl JI.BYX HH"Tei:paJI.OB
. . .
lz = [z' + l z",
r)l.e
:t-En
-2-
i2" = 32n J cpx(2u)Kn(u)du.
h
( 14).)
(15}.
HeTpyJI.HO y6eJI.HTbCH, qTo H3 (9) nocJie HeKOTOpbiX npeo6pa3oBaHHH 6yJI.e'r·
CJieJI.oBaTb HepaBeHCTBO
'I • lin I , . 1 En c sm 4 c sm 2
IK,.(u)l < ( ) + ( ); . e,. . ~ ..
sm' u- 2 sm3 u- 2
f10Jib3YHCb HepaBeHCTBaMH
I sin X I < I x I ;
sinx:>~x (o <: x< ~),
H3 ( 16) JierKO ITOJiyqHM
h h
n
e,.<:z~ < ]:
li,' I -<: c,,, J 1'1'. (2u) I ( d:•)' + c,•: J 1'1', (2u) I , <1:•)',
.,. u- 2 'n ~ u- 2
(16) .
(17} .
(18) '
I1HTerpHpyH ITO qacTHM H npHHHMaH BO BHHMaHHe, qTQ )I.Jl5I En <; U < h Bbl- .
ITOJIHHIOTC51 HepaBeHCTBa
Wx (2u) < 2m;
HeTpyJI.HO H3 (18) ITOJiyqHTb
1 2 --<
h-~ h'
2
I/&'!<; C3E + o(l) (n ~ oo).
B CHJIY npOH3BOJibHOCTH c.
(n ~ oo).
f1pH OU.eHKe [ /', npHMeH515I HepaBeHCTBa (14), (16) H (17), ITOJiyqHM
"' 2
llt"l<(c~:n + c~;) J lcpJ2u)~du.
0
( 19}·
307.
H, cne~oBaTenhHO,
I 2" = o ( 1) ( n ~ oo). (20)
11:3 COOTHOUieHHH (15), (19) H (20) cne~yeT
/ 2=0( 1) (n~oo). ( 21)
Oue HKa 13 nerKo BbiTeKaeT H3 HepaBeHCTBa ( 16)
13 = o(1) (n~oo). (22)
H3 cooTHorneHHfi ( 13), (21) H (22) cne~yeT p e3ynhTaT TeopeMbi.
§ 3. HeKOTOpble npHJIO)KeHHSI TpuroHoMeTpH'IeCKHX cyMM tn (f, x)
l. H 3 BeCTHO [8], 'ITO ecnn f(x)e Lr, r> 1 H
Jl <px (u) [''du =o (t); <px(u) = f(x + u) +f(x-u) -2f(x), (23)
0
TO HMeeT MeCTO COOTHOille HHe
1 n
lim - 2) 1S •. (!, x)- !(x) lk = 0
n -+oo n "= 1
(24)
~mr n 1o6oro k > 0.
Bo BBe~eHHH y:>Ke yKa3biB anocb, 'ITO B 1935 r . Xap~H H JlnTTnhBY~
.~oKa3ann B [7], 'ITO ecnn x - TO'lKa Jle6era QJYHKli.HH f (x), TO ::noro e m e
He~OCTaTO'lHO ~nH BbinOnHeHHH COOTHOilleHHH (24) .
B J-JaCTOHilJ.eM rr a parp a Q:> e rroKa 3 biBaeTCH, "'TO )J)I H O.LI.Horo KJiacca QJYHK
li.Hfi H3 rrpoCTpaHCTBa L COOTHOUieHHe (24) Hl\leeT MeCTO ITO'lTH ,!l,JIH BCeX X.
T eopeMa 2. E CJIH f(x)E A(a, 1), T. e. ecJIH
J If (x+h) + f (x-h)- 2/ (x·) I dx < Ml h Ia; (0 <IX < 1) (25)
- :-r.
H /? - rrpOH3 BOJibHOe ITOJIO}KHTenbHOe 4HcnO, TO
1 n
lim - I IS. (/, x)-!(x) [k =O (26)
n-+ 00 n ' '=1
ITO'!TH ,!I,JIH BCeX X.
1l, 0 K a 3 aTe JI b C T B 0. ~~ aMeTHM rrpe:>K~e BCero, "'TO TaK KaK
1
'1 )k (n ~:IS.(! , x) -- f (x) lk.
CCTb Hey6biBaiOilJ.aH QJYHKlJ.H H OT f?, TO ,LI,OCTaTO'lHO ,LI,OKa3aTb (26) TOnbKO
,!l,JIH fl ;> l.
OpH I? ;> 1 c rrp ane,LI,JJHBO He paBeHCTBo:
s .. u, x>-J<x)lk 1 { I k I 2 < 2 S v(! , x)-t,.(f ,x) l +it,.(!, x)-/(x)lk },
r ,LI,e t. (!, x) - TpHroHoMeTpH4eCKHC cyMMbi (4) . H 3 rrocJi e,LI,Her o Hepa
BCI ICTBa BbiTeKaCT
(27)
:308
YliHTbiBaH, 'ITO B CHJIY TeopeMbi 1 rr ol!TH )l.JIH scex x
f11 (f, x) ~ f(x) rrpH n- oo,
J<ai<oBa 6hi HH 6bi Jia f(x) e L, rroJiy'IHM, 'ITO rrepsoe CJiaraeMoe npasoH:
'laCTH H e paBeHCTBa (27) CTpeMHTCH K HYJIIO rrpH n ~ 00 ITO'ITH )l.JIH BCeX X •
.LJ.JIH )l.OI<a3aTeJibCTBa T opeMbl )l.OCTaTO'IHO ycTaHOBHTb, 'ITO TaKOH Ee
¢ai<T HMeeT MeCTo )l.JI H BToporo cJiaraeMoro npasoii qacTH (27). Bse)l.e M
B paCCMOTpeHHe HHTerpaJI
(28)
TipHMeHHH K HeMy HepaseHCTBO E ymiKOBCKoro, rroJiy'IHM
n ~
i ¥< ( J IS.(!, x) - t.(!, x) l2k-'·dx t ( J IS,.(/, x)-t.(!, x) 1• dxt,
-~ -~
r)l.e 0 < r < 1. B )l.aJibHeliwHx o u.eH K ax 6yKBbi c, ci (i = 0, 1, 2) o6o3Hal!aiOT
J<OHCTaHTbl. T ai< Kai<
ITO'ITH )l.JIH BCe X X, TO HMeeM
n 1
i . < co Ink)/ ( f IS.(!. x)- t,.(f, x)lr dx r. (29)
- n
l13BeCTHO, 'ITO eCJIH f( x ) E L H 0 < r< 1, To corrpHEeHHaH QJYHKU.HH
7 (x) e L,, 11 HMeeT MecTo He paseHCTBO ( CM. [8])
:t 1 7t
(f IT<x) i'dxr <: A. J lf(x)ldx, (30)
- :t -7t
r)l.e A, - neKoTopaH KOHCTaHTa, 3aBHCHwaH OT r. Bse)l.eM B paccMoTpeHHe
MO)l.HQJHU.Hp0B3HHYIO CYMMY cJ>ypbe QJYHKU.HH f (x )
n
s ; (f, x)=~J f(x+t)sinv:dt.
- ·"' 2tg 2
Tipeo6pa3yH s: (!, x), JierKo rroKa3aTb, 'ITO
IS;(!, x)l <l q;.(x) l + lt/J.(x)l,
r)l.e g;¥(x) H tfJ.(x) cyTh QJYHKU.HH, coorseTCTB e HHO corrpH)KeHHbie K f( x ) sin vx
H f(x)cos Yx.
EcJIH rrp H HHTb so BHHMaHHe (30) , TO H3 rrocJie)l.Hero HepaseHCTBa
cJie)l.yeT
n 1 n
(j1s;(f, x)l'dxr < 2A. jlt(x)ldx
- 1t -"'
5. YKpanncKnti MaTe:!ll: aT. mypaan, T. V, N~ 3. 309
HJU!
"' 1 tt
(fiSv(f, x)l'dxr <;: c f it(x)idx, (31)
-~ -~
1160
S:,(/, x)- S.(f, x) = o(1).
YqnThiBaH cooTHOllieHHH (31) H (2), noJiyqHM
"' 1
( f I S~<!. x)-t .. (!, x)l'dxr <
-:t
"'
<:c J If (x+ 3 (2~: 1)) + f (x- 3 (2~: 1))- 2/ (x) I dx.
-:t
H TaK KaK /(x}eA(a, 1), TO
(32)
Jb (29) H (32) HMeeM
TaK KaK pH)l. B JieBOll qaCTH IIOCJie)l.Hero HepaBeHCTBa CXO)l.HTCH , TO B CHJIY
H3BeCTHOll Teop e Mbl [8] IJQqTH BCIO)l.y CXO)l.HTCH p51)l.
113 CXO)l.HMOCTH p5I)l.3 (33) JierKO BbiTeKaeT, qTO IIpH n ~ ex:>
1 n - ..E IS~ (/, x)-t.,(!, x)lk~o
n•=1
IIOtfTH BCIO)l.y, H T eopeMa IIOJIHOCTbiO )l.OK3331-13.
(33)
'2. B HaCTOHW:eM nyHKTe yKa3biBa e TC51 Ha npHJIO)!<eHHe MeTo)l.a t,. (!, x )
K cyMMHposaHHIO qHcJIOBhiX pH)l.OB. Mbl y)!<e ynoMHH3JIH B § 2, tfTO tn (f, x)
IIpe)l.CT3BHM B BH)l.e
4kn
n 1 + 2 COS 3 ( 2 + 1)
t (! x) = ao + ~ --- _!!:_ __ (a cos kx + b sin kx).
" ' 2 ..:...- 3 k lc
k=I
nycTb Uo + U1 + U 2 + · · · + U11 + ·
B paCCMOTpeHHe IIOCJie)l.OBaTeJibHOCTb
- JIIo6oii qHCJiosoii pH)l. . Bse)l.eM
310
H yCJIOBHMCH rosopHTh, liTO pH.D.
(T, 1 ), eCJIH
00
E u" cyMMHpyeM K 3HalJeHHIO S MeTo,noM
k= O
-lim t,. = S.
n--+ oo
no.no6Hble pacc~IOTpeHHH, HO B OTI-IOillCHHH MCTO,na c. H. B e pHillTCHHa, npo
BO.D.HJI ~- 11. Xap!llHJJa,n3e.
HeTpy ,nHo BH.D.CTh, liTO MeTo.n (T, 1) HBJIHCTCH JIHHCHHbiM H peryJIHpHbiM
MCTO.li.OM cyMMHpOBaHHH lJHCJIOBbiX pH,nOB.
MO)I<HO ,!J.OKa3aTb, lJTO MCTO.ll. (1', 1) HBJii!CTCH 6o.uee CHJibHbiM, lJeM Me
TO.ll. (C, 1).
JIHTEPATYPA
I. C. H . 13 e pH Ill T e rr H, Sur un procede de sommation des series trigono
metriques, Comptes Rend us, Ac. Sc. I, 191 (1930), 976-979.
2. C. M. H H K o J! b c K H ii, 0 J!HHeiiHb!X MeTo.n:ax cyMMnponaHHH pH,ll.OB <l>ypbe, H 3B.
AH CCCP, cepru1 MaTeMaT., 12(1948), 259- 278.
3. A. <1>. T H M a H, 0 KOHCTaHTaX Jle6er a Jl:J!5! HCKOTOph!X MCTOAOB CYMMHpOBaHHli,
.UAH CCCP, T. LXI , N2 6 (1948), 989- 992.
4. A. C{). T H M a H, 0 HCKOTOpblX MCTO;~ax cyMMHpOBa HH5! pll,ll.OB <l>ypbe, lbn.
AH CCCP, cepnn MaTeMaT., 14 (1 950}, 85-94.
5. H. M. r a H 3 6 y p r, 06 O,ll.HOM MeTo,ll.e npn6J!HMeHHli uenpeph!BHOIX cjlyHKI.J.HH
TpuroHoMeTpH'IeCIWMH cyMMaM!:I, .UAH CCCP, T. LXIV, N2 1 (1949).
6. <I>. H . X a pIll n J! a A 3 e, 0 MCTOAe cyMMHponaHHH C. H. 13epHm'feiiHa; MaTe·
MaTH'!. c6opHHK, T. II (53), 1- 2 (1942), 121 - 144.
7. H a r d y an d Z i t t 1 e w o o d, On st rong summability, Fundamenta Mathe
mati.cae, 25, 162-189 ( 1935).
8. A. 3 H r My H A- TpHrOHOMeTpH'IeCKHe pHAbl, M.-Jl., 1935.
noJ!y'ICH3 6 M35! J952 f .
.UuenponeTpOllCK
0304
0305
0306
0307
0308
0309
0310
0311
|
| id | umjimathkievua-article-7736 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:16Z |
| publishDate | 1953 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b6/02c80856bec943b36c5d746b6e2801b6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77362023-08-15T10:12:02Z О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов Ганзбург, И. М. Ганзбург, И. М. - Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1953-08-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7736 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 5 No. 3 (1953); 304-311 Український математичний журнал; Том 5 № 3 (1953); 304-311 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7736/9433 Copyright (c) 1953 И. М. Ганзбург |
| spellingShingle | Ганзбург, И. М. Ганзбург, И. М. О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_alt | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_full | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_fullStr | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_full_unstemmed | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_short | О некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| title_sort | о некоторых методах приближения суммируемых функций при помощи многочленов |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7736 |
| work_keys_str_mv | AT ganzburgim onekotoryhmetodahpribliženiâsummiruemyhfunkcijpripomoŝimnogočlenov AT ganzburgim onekotoryhmetodahpribliženiâsummiruemyhfunkcijpripomoŝimnogočlenov |