Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field
UDC 512.64 We obtain a parametric decomposition of elements of complete linear groups of the second and third orders over an arbitrary field.  This decomposition is based on the canonical (unambiguous) representation of these elements in the form of the product of elements...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7748 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512731780612096 |
|---|---|
| author | Shchedryk, V. Щедрик, Володимир Пантелеймонович Щедрик, Володимир |
| author_facet | Shchedryk, V. Щедрик, Володимир Пантелеймонович Щедрик, Володимир |
| author_sort | Shchedryk, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:13Z |
| description | UDC 512.64
We obtain a parametric decomposition of elements of complete linear groups of the second and third orders over an arbitrary field.  This decomposition is based on the canonical (unambiguous) representation of these elements in the form of the product of elements from the groups of commutators of certain Jordan matrices  and representatives of the left cosets of these groups.  |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i2.7748 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i2.7748
УДК 512.64
Володимир Щедрик1 (Iнститут прикладних проблем механiки i математики НАН України, Львiв)
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ
МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ
We obtain a parametric decomposition of elements of complete linear groups of the second and third orders over an arbitrary
field. This decomposition is based on the canonical (unambiguous) representation of these elements in the form of the
product of elements from the groups of commutators of certain Jordan matrices and representatives of the left cosets of
these groups.
Отримано параметричний розклад елементiв повних лiнiйних груп другого та третього порядкiв над довiльним по-
лем, який ґрунтується на їх канонiчному (однозначному) зображеннi у виглядi добутку елементiв iз груп комутаторiв
певних матриць Жордана та представникiв лiвих сумiжних класiв цих груп.
1. Вступ. Стандартно в цiй статтi через F позначатимемо довiльне поле, через Mn(R) i
\mathrm{G}\mathrm{L}n(R) — кiльце та повну лiнiйну групу матриць порядку n над кiльцем R вiдповiдно.
Розклад матриць над F у добуток декiлькох зустрiчається досить часто i бере початок з
класичної лiнiйної алгебри. Зокрема, будь-яка матриця є добутком оборотної та ступiнчастої,
що використовується в методi Гаусса розв’язання систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Iншим
прикладом є розклад довiльної оборотної матрицi в добуток верхньої трикутної, переставної та
верхньої трикутної матриць, який, зауважимо, допускає глибоке узагальнення на алгебраїчнi
групи i вiдомий в теорiї таких груп як розклад Брюа (Bruhat). Дещо iнший набiр спiвмножни-
кiв використано в [1], де доведено, що кожна оборотна матриця над F є добутком верхньої
трикутної, нижньої та верхньої унiтрикутних матриць. Якщо говорити про матрицi над кiль-
цями, в [2], зокрема, показано, що елементи \mathrm{G}\mathrm{L}n(F [x]) можна записати у виглядi добутку
матрицi iз групи Зелiска (означення див. нижче), нижньої та верхньої унiтрикутних матриць.
У пропонованiй роботi дається зображення елементiв груп \mathrm{G}\mathrm{L}3(F ) i \mathrm{G}\mathrm{L}2(F ) у виглядi добут-
ку елементiв груп комутаторiв певних матриць Жордана та представникiв їх лiвих сумiжних
класiв. Особливостями таких зображень є їх однозначнiсть i параметричнiсть.
2. Основна iдея. Нехай A — матриця над F [x], що записана у виглядi матричного полiнома
над F :
A = Akx
k +Ak - 1x
k - 1 + . . . +A0, Ai \in M3(F ).
Матриця A називається унiтальною, якщо Ak = I — одинична матриця. Будемо говорити, що
A регуляризується справа, якщо iснує така матриця U \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]), що
AU = Ixs +Ds - 1x
s - 1 + . . . +D0.
Розглянемо матрицю вигляду
Ix - T - 1JT, (1)
1 E-mail: shchedrykv@ukr.net.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК, 2024
298 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 299
де T \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F ), J =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . Кожна така матриця має форму Смiта \Phi := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, x, x2).
Справдi,
(PT )(Ix - T - 1JT )(T - 1Q) = \Phi , де P :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 - 1
1 0 0
0 1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , Q :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
1 0 x
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Звiдси випливає, що Ix - T - 1JT можна записати у виглядi
Ix - T - 1JT = (PT ) - 1\Phi (T - 1Q) - 1.
При цьому ця матриця є лiвим дiльником матрицi Ix2 :
Ix2 = ((PT ) - 1\Phi (T - 1Q) - 1) \cdot ((T - 1Q)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (x2, x, 1)(PT )).
Навпаки, нехай Ix2 = (Ix - B)C, де B \in M3(F ), C \in M3(F [x]), до того ж Ix - B має
форму Смiта \Phi . Оскiльки єдиним характеристичним числом матрицi B є 0 \in F, то на пiдставi
теореми 7 iз [3, с. 140] iснує така L \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F ), що B = L - 1JL. Таким чином, усi лiвi унiтальнi
дiльники Ix2 з формою Смiта \Phi мають вигляд (1). З викладеного випливає, що елементи групи
\mathrm{G}\mathrm{L}3(F ) „захованi” в лiвих дiльниках матрицi Ix2, якi мають форму Смiта \Phi . Отже, для їх
опису спершу потрiбно знайти всi лiвi унiтальнi дiльники Ix2 з формою Смiта \Phi .
Нехай Ix2 = KN — довiльний розклад Ix2 у добуток двох полiномiальних матриць. Якщо
V \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]), то Ix2 = (KV )(V - 1N). Тобто всi матрицi, якi асоцiйованi справа до K, є
лiвими дiльниками Ix2. На пiдставi леми 5.7 iз [4, с. 175], якщо матриця з M3(F [x]) регуля-
ризується справа, то лише єдиним чином. Тобто клас асоцiйованих справа матриць мiстить не
бiльше однiєї унiтальної матрицi.
Розiб’ємо множину матриць з формою Смiта \Phi на класи асоцiйованих мiж собою справа
матриць. Iнструментом такої сепарацiї є група Зелiска матрицi \Phi :
G\Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]) | \exists H1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]) : H\Phi = \Phi H1\} .
Згiдно з [5], вона складається з усiх оборотних матриць вигляду\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
h11 h12 h13
xh21 h22 h23
x2h31 xh32 h33
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]). (2)
Необхiдною умовою асоцiйованостi матриць є рiвнiсть їх форм Смiта. Нехай A,B мають
форму Смiта \Phi . Тодi їх можна записати у виглядi A = P - 1
A \Phi Q - 1
A , B = P - 1
B \Phi Q - 1
B , де
PA, QA, PB, QB \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]). На пiдставi теореми 4.5 iз [4, с. 128] матрицi A,B асоцiйо-
ванi справа тодi й лише тодi, коли PB = HPA, де H \in G\Phi . Розiб’ємо групу \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x] на класи
сумiжностi G\Phi K, де K \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]). Позначимо через W (\Phi ) множину представникiв цих
класiв. Згiдно з теоремою 4.6 iз [4, с. 129], W - 1(\Phi )\Phi є множиною всiх лiвих неасоцiйованих
справа дiльникiв Ix2 з формою Смiта \Phi . Таким чином, на другому кроцi потрiбно знайти
явний вигляд усiх елементiв множини W (\Phi ), а на третьому вибрати iз множини W - 1(\Phi )\Phi всi
тi матрицi, що регуляризуються справа. Завершальним кроком буде зображення цих матриць у
виглядi (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
300 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
Для подальших дослiджень нам потрiбно буде скористатись поняттям \Phi -скелета матрицi
[6, 7], яке є одним iз важливих iнварiантiв матриць стосовно перетворень iз групи G\Phi .
Позначимо \Phi 1 := I, \Phi 2 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (x, 1, 1), \Phi 3 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (x2, x, 1). Нехай P \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]). Для
матриць \Phi iP iснують такi Ui \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]), що
Ui\Phi iP =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sigma i1 0 0
\ast \sigma i2 0
\ast \ast \sigma i3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де \sigma ij належить множинi неасоцiйованих елементiв кiльця F [x], i, j = 1, 2, 3 (див., зокрема,
лiву форму Ермiта матриць).
Означення. \Phi -скелетом матрицi P називається матриця S\Phi (P ) := \| \sigma ij\| 31.
Теорема 1 [4, c. 225]. Якщо P \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]) i H \in \mathrm{G}\Phi , то S\Phi (P ) = S\Phi (HP ).
3. Основнi результати. Опис елементiв групи \bfG \bfL \bfthree (\bfitF [\bfitx ]).
Теорема 2. Елементами множини W (\Phi ) є такi матрицi:\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 1 0
bx+ c d 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 0 1
bx+ c 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
1 0 0
d bx+ c 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 0 0
d 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 a 1
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 m x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
(3)
де a, b, c, d, n \in F, m \in F\setminus \{ 0\} .
Доведення. На пiдставi теореми 6.8 iз [4, с. 226] усi матрицi з \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]) можуть мати такi
\Phi -скелети:\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
x 1 1
x2 x 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
x 1 1
x2 1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 x 1
x x2 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 1 x
x 1 x2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 x 1
1 x2 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 1 x
1 x x2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 x 1
x x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 1 x
x x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Зауважимо, що першi шiсть iз цих матриць називаються стандартними \Phi -скелетами [7]. Згiдно
з теоремою 7.2 iз [4, с. 232], представниками сумiжних класiв, якi мають стандартнi \Phi -скелети,
є першi шiсть класiв матриць множини (3) (цi класи отримують, коли всi параметри, що фiгуру-
ють у цих матрицях, набувають усiх допустимих значень з поля F ). Таким чином, залишається
знайти представникiв сумiжних класiв, якi мають \Phi -скелети:
S1 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 x 1
x x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| i S2 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 1 x
x x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Нехай P \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]), до того ж S\Phi (P ) = S1. На пiдставi теорем 6.4 i 6.5 iз [4, с. 220, 222]
у групi G\Phi iснує така матриця H1, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 301
H1P =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p11 p12 0
p21 p22 1
p31 p32 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P1.
На пiдставi теореми 1 S\Phi (HP ) = S1. Звiдси випливає, що матрицi \Phi 3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p12 0
p22 1
p32 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0
x 0
\ast x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| є
асоцiйованими злiва. Це означає, що н.с.д. мiнорiв 2-го порядку матрицi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x2p12 0
xp22 x
p32 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| дорiвнює
x2. Звiдси випливає, що p32 = xp\prime 32, до того ж (p\prime 32, x) = 1. Матриця P1 оборотна. Тому
оборотною є її пiдматриця
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| p11 p12
p31 p32
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . Отже,
(p12, p32) = (p12, xp
\prime
32) = 1 \Rightarrow (p12, p
\prime
32) = 1 \Rightarrow (xp12, p
\prime
32) = 1.
Iснують такi u1, v1 \in F [x], що
xp12u1 + p\prime 32v1 = 1 \Rightarrow x2p12u1 + p32v1 = x.
При цьому
(xu1, v1) = 1 \Rightarrow (x2u1, v1) = 1 \Rightarrow x2u1u2 + v1v2 = 1
для деяких u2, v2 \in F [x]. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
v2 0 - u2
0 1 0
x2u1 0 v1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q11 q12 0
p21 p22 1
q31 x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P2.
Матриця P2 є оборотною. Тому (q31, x) = 1. Тодi елемент q31 можна записати у виглядi
q31 = c31x + m, c31 \in F [x],m \in F \setminus \{ 0\} . Iз вигляду матрицi P2 випливає, що iснує така
оборотна матриця U, що
U\Phi 3P2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x 0 0
q31 x 0
p21x p22x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi \bigm\| \bigm\| - c31 1 0
\bigm\| \bigm\| U\Phi 3P2 =
\bigm\| \bigm\| m x 0
\bigm\| \bigm\| .
Позначимо \bigm\| \bigm\| - c31 1 0
\bigm\| \bigm\| U =:
\bigm\| \bigm\| u31 u32 u33
\bigm\| \bigm\| .
Тодi \bigm\| \bigm\| x2u31 xu32 u33
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| m x 0
\bigm\| \bigm\| P - 1
2 .
Рядок
\bigm\| \bigm\| m x 0
\bigm\| \bigm\| є примiтивним, тобто його елементи взаємно простi. Отже, i\bigm\| \bigm\| x2u31 xu32 u33
\bigm\| \bigm\| є примiтивним рядком. Оскiльки F [x] — кiльце головних iдеалiв, то на
пiдставi теореми 3.7 iз [8] його можна доповнити до оборотної матрицi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
302 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
H2 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
u11 u12 u13
0 u22 u23
x2u31 xu32 u33
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in G\Phi .
Тодi
H2P2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d11 d12 d13
d21 d22 d23
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P3.
Оскiльки S\Phi (P3) = S1, то (xd13, d23) = 1. Iснують такi c13, c23 \in F [x], що
xd13c13 + d23c23 = 1.
Тодi \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d23 - d13 0
xc13 c23 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \underbrace{} \underbrace{}
H3
P3 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
b11 b12 0
b21 b22 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P4, H3 \in G\Phi .
Запишемо b22 у виглядi b22 = c22x+ n, де c22 \in F [x], n \in F. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
0 1 - c22
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \underbrace{} \underbrace{}
H4
P4 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
b11 b12 0
b\prime 21 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P5, H4 \in G\Phi .
Розглянемо матричне рiвняння стосовно невiдомого Y :
Y \Phi 2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P - 1
5 .
Звiдси отримуємо
Y \Phi 2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- x 0 b12
m 0 - b11
xb\prime 21 - mn mb12 - xb11 b11n - b\prime 21b12
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| xb\prime 21\delta - 1 \ast \ast
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де \delta = b21m - b11x \in F \setminus \{ 0\} . Оскiльки m \not = 0, то матриця
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| є примiтивною, тобто
н.с.д. мiнорiв 2-го порядку цiєї матрицi є взаємно простими. Отже, є примiтивною i матриця\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| xb\prime 21\delta
- 1 \ast \ast
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . Доповнимо її до оборотної матрицi вигляду
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast \ast \ast
xb\prime 21 \ast \ast
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: H5 \in G\Phi .
Тодi
H5P5 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
v11 v12 v13
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P6.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 303
Легко переконатися, що iснує оборотна верхня трикутна матриця H6, яка, очевидно, нале-
жить групi G\Phi , така що
H6P6 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P7. (4)
Переконаємося, що в сумiжному класi G\Phi P7 iснує єдина матриця вигляду (4). Припустимо, що
H
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n1 1
m1 x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де H \in G\Phi , m,m1 \in F\setminus \{ 0\} , n, n1 \in F. Звiдси випливає, що
H =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n1 1
m1 x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- xm - 1 0 m - 1
1 0 0
- n 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast \ast \ast
n1 - n \ast \ast
x(1 - m1m
- 1) 0 m1m
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Оскiльки матриця H має вигляд (2), то
x| (n1 - n) \Rightarrow n1 - n = 0 \Rightarrow n1 = n.
Також
x2| x(1 - m1m
- 1) \Rightarrow x| (1 - m1m
- 1) \Rightarrow 1 - m1m
- 1 = 0 \Rightarrow m1m
- 1 = 1 \Rightarrow m1 = m.
Отже, ми описали всiх представникiв сумiжних класiв G\Phi P, для яких S\Phi (P ) = S1.
Нехай тепер
S\Phi (P ) = S2 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 1 x
x x x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
На пiдставi теорем 6.4 i 6.5 iз [4, с. 220, 222] у групi G\Phi iснує така матриця H1, що
H1P =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p11 p12 1
p21 p22 0
p31 p32 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P1.
Згiдно з теоремою 1, S\Phi (HP ) = S1. Тому матриця \Phi 2P1 асоцiйована злiва до матрицi вигляду\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
\ast 1 0
p31 p32 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (5)
Тодi матриця \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 - 1
0 1 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi 2P1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
xp11 - p31 xp12 - p32 0
p21 p22 0
p31 p32 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
304 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
також асоцiйована злiва до матрицi (5). Звiдси випливає, що (p\prime 12, p22) = 1, де p\prime 12 := xp12 - p32.
Оскiльки F [x] є кiльцем Безу стабiльного рангу 1,5 [9], то, згiдно з теоремою 1.9 iз [4, с. 34],
iснують такi u, v \in F [x], що p\prime 12u+ p22v = 1, де (v, x) = 1.
Розглянемо матрицю \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ux v - u
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Оскiльки (v, ux) = 1, то ця матриця є примiтивною. Доповнимо її до оборотної матрицi вигляду
H2 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast \ast \ast
ux v - u
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in G\Phi .
Тодi
H2P1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m11 m12 m13
m21 1 0
p31 p32 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P2.
Запишемо p32 у виглядi p32 = b32x+ n, де b32 \in F [x], n \in F. Розглянемо матрицю
H3 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
0 1 0
0 - xb32 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in G\Phi .
Тодi
H3P2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m11 m12 m13
m21 1 0
p\prime 31 n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P3.
Запишемо p\prime 31 у виглядi p\prime 31 = b31x+m, де b31 \in F [x], m \in F. Оскiльки S\Phi (P3) = S2, то iснує
така матриця U \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F [x]), що
U\Phi 3P3 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x 0 0
xm21 x 0
p\prime 31 n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi\bigm\| \bigm\| - b31 0 1
\bigm\| \bigm\| U\Phi 3P3 =
\bigm\| \bigm\| m n x
\bigm\| \bigm\| \Rightarrow
\bigm\| \bigm\| - b31 0 1
\bigm\| \bigm\| U\Phi 3 =
\bigm\| \bigm\| m n x
\bigm\| \bigm\| P - 1
3 .
З оборотностi матрицi P3 випливає, що (p\prime 31, n, x) = 1. Отже,
(b31x+m,n, x) = (m,n, x) = 1.
Тому
\bigm\| \bigm\| - b31 0 1
\bigm\| \bigm\| U\Phi 3 є примiтивним рядком. Запишемо його у виглядi\bigm\| \bigm\| - b31 0 1
\bigm\| \bigm\| U\Phi 3 =:
\bigm\| \bigm\| x2u31 xu32 u33
\bigm\| \bigm\|
i доповнимо до оборотної матрицi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 305
H3 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
u11 u12 u13
0 u22 u23
x2u31 xu32 u33
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in G\Phi .
Тодi
H3P2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c11 c12 c13
c21 c22 c23
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P4.
З означення \Phi -скелета випливає, що матриця \Phi 2P4 асоцiйована злiва до матрицi вигляду\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
\ast 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Це означає, що (xc13, c23, x) = x. Отже, c23 = x\prime c23. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
0 1 - c\prime 23
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \underbrace{} \underbrace{}
H4
P4 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c11 c12 c13
c\prime 21 c\prime 22 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P5, H4 \in G\Phi .
Повторивши мiркування, що були наведенi на початку розгляду цього випадку, знайдемо в G\Phi
таку матрицю H5, що
H5P5 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c\prime 11 c\prime 12 c\prime 13
c\prime \prime 21 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P6.
Покладемо
\delta :=
\Biggl\{
1, якщо m = 0,
0, якщо m \not = 0.
Зважаючи на те, що (m,n, x) = 1, приходимо до висновку, що матриця\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
є примiтивною. Доповнимо її до оборотної матрицi вигляду
P7 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d11 d12 d13
\delta 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi
P7P
- 1
6 = (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P6)
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast \ast \ast
x(\delta - c\prime \prime 21) \ast \ast
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: H6 \in G\Phi .
Звiдси отримуємо, що P7 = H6P6. У випадку m \not = 0 розв’язком рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
306 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
Y P7 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P8 (6)
є оборотна верхня трикутна матриця H8, яка, очевидно, є елементом групи G\Phi . Аналогiчним
чином показуємо, що у випадку m = 0 лiвими перетворенням iз групи G\Phi матриця P7 зводи-
ться до вигляду \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =: P9.
Переконаємося, що в лiвому класi сумiжностi G\Phi P8 iснує єдина матриця вигляду (6). При-
пустимо, що
H
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m1 n1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де H \in G\Phi , m,m1 \in F\setminus \{ 0\} , n, n1 \in F. Звiдси випливає, що
H =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m1 n1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- xm - 1 - nm - 1 m - 1
0 1 0
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
0 1 0
x(1 - m1m
- 1) n1 - nm - 1m1 m1m
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Оскiльки H має вигляд (2), то, як i у випадку матриць з \Phi -скелетом S1, отримуємо, що m1 = m
i n1 = n.
Припустимо, що
H1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 n1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де H1 \in G\Phi , n, n1 \in F\setminus \{ 0\} . Звiдси випливає, що
H =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 n1 x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
xn - 1 1 - n - 1
- xn - 1 0 n - 1
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
0 1 0
x(1 - n1n
- 1) 0 n1n
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Оскiльки x2| x(1 - n1n
- 1), то n1 = n.
Теорему 2 доведено.
Маючи явний вигляд матриць множини W (\Phi ), можемо отримати явний вигляд усiх неасо-
цiйованих справа матриць з формою Смiта \Phi . А саме, такою множиною буде W - 1(\Phi )\Phi (див.
теорему 4.6 iз [4, с. 129]). Наступним кроком буде вибiр серед матриць цiєї множини тих, що
регуляризуються справа.
Теорема 3. Регуляризуються справа такi матрицi з множини W - 1(\Phi )\Phi :\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 1 0
bx+ c d 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 0 1
bx+ c 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
1 0 0
d bx+ c 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 307\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 m x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi ,
де a, c, d, n \in F, b,m \in F\setminus \{ 0\} .
Доведення. З теореми 2 випливає, що множина N(\Phi ), яка складається з елементiв\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 1 0
c d 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 0 1
c 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
1 0 0
d c 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 0 0
d 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 a 1
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де a, c, d \in F, є пiдмножиною множини W (\Phi ). На пiдставi теореми 6.1 iз [10, с. 180] жодна
матриця з множини N - 1(\Phi )\Phi не регуляризується справа.
Простою перевiркою переконуємося, що матрицi з множини (W (\Phi )\setminus N(\Phi )) - 1\Phi регуляри-
зуються справа. Дiйсно,
1)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 1 0
bx+ c d 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U1 = Ix - B1,
де
U1 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x - cb - 1 - db - 1 - b - 1
a 1 0
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B1 := b - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c d 1
- ac - ad - a
(ad - c)c (ad - c)d ad - c
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
2)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
a 0 1
bx+ c 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U2 = Ix - B2,
де
U2 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x - cb - 1 - b - 1 0
a 0 1
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B2 := b - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c 1 0
- c2 - c 0
- ac - a 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
3)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
1 0 0
d bx+ c 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U3 = Ix - B3,
де
U3 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- db - 1 x - cb - 1 - b - 1
1 0 0
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B3 := b - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
d c 1
- cd - c2 - c
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
4)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
0 n 1
m x 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U4 = Ix - B4, U4 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- m x 0
0 n 1
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B4 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
m 0 0
- mn 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
308 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
5)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
1 1 0
0 m x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U5 = Ix - B5, U5 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 - m x
1 1 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B5 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
0 m 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
6)
\left(
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1
0 1 0
m n x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
\Phi
\right) \cdot U6 = Ix - B6, U6 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- m - n x
0 1 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B6 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
m n 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Теорему 3 доведено.
Наслiдок 1. Нiльпотентними матрицями в кiльцi M3(F ) є
\bfzero , s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c d 1
- ac - ad - a
(ad - c)c (ad - c)d ad - c
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
c 1 0
- c2 - c 0
- ac - a 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
d c 1
- cd - c2 - c
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
1 0 0
k 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
1 k 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де a, c, d, k \in F, s \in F\setminus \{ 0\} .
Доведення. Розглянемо рiвняння X2 = 0 у кiльцi M3(F ). На пiдставi узагальненої теореми
Безу коренями цього рiвняння є тi i лише тi матрицi B, для яких виконується рiвнiсть Ix2 =
(Ix - B)C , де C \in M3(F [x]). На пiдставi теореми 4.2 iз [4, с. 127] форма Смiта дiльникiв
матрицi Ix2 дiлить її форму Смiта (у нашому випадку матриця Ix2 збiгається зi своєю формою
Смiта). Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Ix - B) = 3, то потенцiйними формами Смiта лiвих дiльникiв Ix2,
якi мають вигляд Ix - B, є Ix та \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, x,x2). Єдиним дiльником шуканого вигляду з формою
Смiта Ix, згiдно з теоремою 5.1 iз [4, с. 151], є Ix - 0. Тобто ми отримуємо нульову матрицю
в якостi кореня рiвняння X2 = 0. Лiвi унiтальнi дiльники Ix2 з формою Смiта \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, x, x2)
описано в теоремi 3: Ix - Bi, i = 1, 2, . . . , 6. Перепозначаючи s := b - 1, s := m, k := nm - 1,
k := - n, завершуємо доведення.
Теорема 4. Нехай A \in W - 1(\Phi )\Phi i регуляризується справа. Тодi A асоцiйована справа до
матрицi вигляду Ix - B, де B = T - 1JT, J =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 0
0 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , T належить множинi
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 1 0
c d 1
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 0 1
c 1 0
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
d c 1
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 n 1
m 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 0
0 m 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m n 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right\} ,
де b,m \in F\setminus \{ 0\} , a, c, d, n \in F.
Доведення. Матриця A має форму Смiта \Phi i регуляризується справа. На пiдставi мiркувань,
наведених на початку статтi, A регуляризується справа до матрицi вигляду Ix - B, де B =
T - 1JT. За теоремою 3 множина Ix - Bi , i = 1, 2, . . . , 6, є множиною всiх унiтальних матриць,
до яких зводяться матрицi множини W - 1(\Phi )\Phi . Простою перевiркою переконуємося, що Bi =
T - 1
i JTi, i = 1, 2, . . . , 6, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 309
T1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 1 0
c d 1
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , T2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 0 1
c 1 0
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , T3 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
d c 1
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
T4 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 n 1
m 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , T5 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 0
0 m 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , T6 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m n 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Теорему 4 доведено.
Теорема 5.
\mathrm{G}\mathrm{L}3(F ) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \cdot
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 1 0
c d 1
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 0 1
c 1 0
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
d c 1
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right\}
\bigcup \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \cdot
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 n 1
m 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 0
0 m 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m n 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right\} , (7)
де b,m, f, g \in F\setminus \{ 0\} , a, c, d, n, p, q, s \in F.
Доведення. У теоремi 4 вказано явний вигляд усiєї множини тих оборотних матриць T, для
яких Ix - T - 1JT є лiвим дiльником матрицi Ix2. При цьому для будь-якої iншої матрицi T1 з
цiєї множини маємо T - 1JT \not = T - 1
1 JT1. Припустимо, що K \in \mathrm{G}\mathrm{L}3(F ) i виконується рiвнiсть
K - 1JK = T - 1JT. З цiєї рiвностi випливає, що (TK - 1)J = J(TK - 1), тобто T = LK,
де LJ = JL. Таким чином, оборотнi матрицi T i K генерують один i той самий лiвий
унiтальний дiльник матрицi Ix2, коли вони вiдрiзняються одна вiд одної справа на оборотну
матрицю, яка комутує з матрицею J. Тобто вiдрiзняються одна вiд одної справа на елемент iз
групи комутаторiв матрицi J. Очевидно, що й оберненi твердження будуть правильними. Легко
переконатися, що група комутаторiв матрицi J складається з усiх оборотних матриць вигляду
M :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , f, g \in F\setminus \{ 0\} , p, q, s \in F.
Переконаємося, що множина (7) не мiстить однакових елементiв.
1. Припустимо, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 1 0
c d 1
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a1 1 0
c1 d1 1
b1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi \bigm\| \bigm\| gc gd g
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| c1 d1 1
\bigm\| \bigm\| \Rightarrow g = 1,\bigm\| \bigm\| q s 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow s = 0,
\bigm\| \bigm\| q 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 d 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow q = 0,\bigm\| \bigm\| f p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow p = 0,
\bigm\| \bigm\| f 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 d 0
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow f = 1.
Таким чином, M = I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
310 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
2. Припустимо, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a 0 1
c 1 0
b 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
a1 0 1
c1 1 0
b1 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi\bigm\| \bigm\| gc g 0
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| c1 1 0
\bigm\| \bigm\| \Rightarrow g = 1,
\bigm\| \bigm\| q s 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 0 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow q = 0,\bigm\| \bigm\| 0 s 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow s = 0,\bigm\| \bigm\| f p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 0 0
\bigm\| \bigm\| = 1 \Rightarrow f = 1,
\bigm\| \bigm\| 1 p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow p = 0.
Таким чином, M = I.
3. Припустимо, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
d c 1
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 0 0
d c 1
0 b 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi\bigm\| \bigm\| gd gc g
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| d c 1
\bigm\| \bigm\| \Rightarrow g = 1,
\bigm\| \bigm\| q s 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow s = 0,\bigm\| \bigm\| q 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 d 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow q = 0,\bigm\| \bigm\| f p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow p = 0,
\bigm\| \bigm\| f 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 d 0
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow f = 1.
Таким чином, M = I.
4. Припустимо, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 n 1
m 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 n1 1
m1 0 0
0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi \bigm\| \bigm\| f p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 0 0
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow f = 1,\bigm\| \bigm\| 1 p 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 m 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow pm = 0 \Rightarrow p = 0,\bigm\| \bigm\| q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 0 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow q = 0,
\bigm\| \bigm\| 0 s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| n 0 1
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow g = 1,\bigm\| \bigm\| 0 s 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 m 0
\bigm\| \bigm\| t = 0 \Rightarrow sm = 0 \Rightarrow s = 0.
Таким чином, M = I.
5. Припустимо, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 0
0 m 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 0
0 m1 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
ПАРАМЕТРИЧНI 2-РОЗКЛАДИ В ПОВНИХ ЛIНIЙНИХ ГРУПАХ МАЛОГО ПОРЯДКУ НАД ПОЛЕМ 311
Тодi\bigm\| \bigm\| q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 0 1
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow g = 1,
\bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 m 0
\bigm\| \bigm\| t = m1 \Rightarrow m = m1.
6. Припустимо, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f p 0
0 g 0
q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m n 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m1 n1 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Тодi \bigm\| \bigm\| q s g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 0 1
\bigm\| \bigm\| t = 1 \Rightarrow g = 1,
\bigm\| \bigm\| 0 1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0
m n 0
0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| m1 n1 0
\bigm\| \bigm\| \Rightarrow m = m1, n = n1.
Як було зауважено вище, множення матриць T злiва на матрицю вигляду M не змiнює
вигляд матрицi (LT ) - 1J(LT ). Отже, таке множення не може перевести матрицю з одного па-
раметричного класу до iншого. Таким чином, у записанiй множинi немає однакових елементiв.
Теорему 5 доведено.
4. Опис елементiв групи \bfG \bfL \bftwo (\bfitF ).
Теорема 6.
\mathrm{G}\mathrm{L}2(F ) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| m 0
n m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \cdot
\biggl\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| b 1
a 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| c 0
0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggr\} , (8)
де a, c,m \in F\setminus \{ 0\} , b, n \in F.
Доведення. Для опису елементiв групи \mathrm{G}\mathrm{L}2(F ) можна використати метод, який був за-
стосований при дослiдженнi елементiв групи \mathrm{G}\mathrm{L}3(F ). Однак при розглядi матриць другого
порядку краще працює метод „в лоб”: спершу переконаємося, що множина (8) не мiстить одна-
кових елементiв, а потом покажемо, що кожна оборотна матриця з \mathrm{G}\mathrm{L}2(F ) мiститься в цiй
множинi.
Позначимо
M :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| m 0
n m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , M1 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| m1 0
n1 m1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| b 1
a 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , B1 :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| b1 1
a1 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де a, a1,m,m1 \in F\setminus \{ 0\} , b, b1, n, n1 \in F.
1. Нехай
MB = M1B1 \Rightarrow M - 1
1 M = B1B
- 1.
Тодi
M - 1
1 M =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| m - 1
1 m 0
pm - 1
1 - p1m
- 2
1 m m - 1
1 m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 a - 1(b1 - b)
0 a1a
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = B1B
- 1.
Звiдси отримуємо m - 1
1 m = 1. Отже, m = m1 . Також
pm - 1
1 - p1m
- 1
1 = m - 1
1 (p - p1) = 0 \Rightarrow p = p1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
312 ВОЛОДИМИР ЩЕДРИК
Це означає, що M = M1 . Отже, B = B1 .
2. Припустимо, що MB = M1\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (c, 1). Тодi
M - 1
1 M =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| m - 1
1 m 0
pm - 1
1 - p1m
- 2
1 m m - 1
1 m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (c, 1)B - 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0 ca - 1
1 - ba - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Звiдси отримуємо, що m - 1
1 m = 0 — суперечнiсть.
3. Не викликає труднощiв переконатися у тому, що з рiвностi M\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (c, 1) = M1\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (c1, 1)
випливає, що c = c1 i M = M1 .
Покажемо, що кожний елемент групи \mathrm{G}\mathrm{L}2(F ) мiститься в множинi (8).
Нехай
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \alpha \beta
\gamma \delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \in \mathrm{G}\mathrm{L}2(F ), тобто \alpha \delta - \beta \gamma \not = 0.
I. Якщо \beta \not = 0, то \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \alpha \beta
\gamma \delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta 0
\delta \beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha
\beta
1
\gamma
\beta
- \alpha \delta
\beta 2
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
II. Якщо \beta = 0, то \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \alpha 0
\gamma \delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\delta 0
\gamma \delta
\alpha
\delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha
\delta
0
0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Теорему 6 доведено.
Автор висловлює щиру вдячнiсть рецензенту за його слушнi поради щодо покращення
якостi статтi.
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. K. Nagarajan, M. Devasahayam, T. Soundararajan, Products of three triangular matrices, Linear Algebra and Appl.,
292, 61 – 71 (1999).
2. В. П. Щедрик, Кiльця Безу стабiльного рангу 1,5 i розклад повної лiнiйної групи в добуток деяких її пiдгруп,
Укр. мат. журн., 69, № 1, 113 – 120 (2017).
3. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Наука, Москва (1988).
4. V. Shchedryk, Arithmetic of matrices over rings, Akademperiodyka, Kyiv (2021);
https://doi.org/10.15407/akademperiodika.430.278; https://www.researchgate.net/publication/353979871_Arithme-
tic_of_matrices.
5. В. Р. Зелиско, О строении одного класса обратимых матриц, Мат. методы и физ.-мех. поля, № 12, 14 – 21
(1980).
6. В. П. Щедрик, Ф-скелет матриць i його властивостi, Мат. методи i фiз.-мех. поля, 43, № 2, 45 – 51 (2000).
7. В. П. Щедрик, Неасоцiйованi матрицi зi стандартним Ф-скелетом, Мат. методи i фiз.-мех. поля, 45, № 3,
32 – 44 (2002).
8. I. Kaplansky, Elementary divisor and modules, Trans. Amer. Math. Soc., 66, 464 – 491 (1949).
9. В. П. Щедрик, Кiльця Безу стабiльного рангу 1,5, Укр. мат. журн., 67, № 6, 849 – 860 (2015).
10. В. Петричкович, Узагальнена еквiвалентнiсть матриць i їх наборiв та факторизацiя матриць над кiльця-
ми, Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв (2015);
http://www.iapmm.lviv.ua/14/index.htm.
Одержано 11.08.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7748 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:27Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/4208bd51d4cbe8f8e04a006a2fa9695b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77482024-06-19T00:35:13Z Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field Параметричні 2-розклади в повних лінійних групах малого порядку над полем Shchedryk, V. Щедрик, Володимир Пантелеймонович Щедрик, Володимир field, complete linear group, Zelisko group, F-skeleton of a matrix, canonical decomposition of matrices поле, повна лінійна група, група Зеліска, Ф-скелет матриці, канонічний розклад матриць UDC 512.64 We obtain a parametric decomposition of elements of complete linear groups of the second and third orders over an arbitrary field.  This decomposition is based on the canonical (unambiguous) representation of these elements in the form of the product of elements from the groups of commutators of certain Jordan matrices  and representatives of the left cosets of these groups.  УДК 512.64 Отримано параметричний розклад елементів повних лінійних груп другого та третього порядків над довільним полем, який ґрунтується на їх канонічному (однозначному) зображенні у вигляді добутку елементів із груп комутаторів певних матриць Жордана та представників  лівих суміжних класів цих груп.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-02-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7748 10.3842/umzh.v76i2.7748 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 2 (2024); 298-312 Український математичний журнал; Том 76 № 2 (2024); 298-312 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7748/9731 Copyright (c) 2024 Володимир Пантелеймонович Щедрик |
| spellingShingle | Shchedryk, V. Щедрик, Володимир Пантелеймонович Щедрик, Володимир Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title | Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title_alt | Параметричні 2-розклади в повних лінійних групах малого порядку над полем |
| title_full | Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title_fullStr | Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title_full_unstemmed | Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title_short | Parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| title_sort | parametric 2-decompositions in complete linear groups of small order over the field |
| topic_facet | field complete linear group Zelisko group F-skeleton of a matrix canonical decomposition of matrices поле повна лінійна група група Зеліска Ф-скелет матриці канонічний розклад матриць |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7748 |
| work_keys_str_mv | AT shchedrykv parametric2decompositionsincompletelineargroupsofsmallorderoverthefield AT ŝedrikvolodimirpantelejmonovič parametric2decompositionsincompletelineargroupsofsmallorderoverthefield AT ŝedrikvolodimir parametric2decompositionsincompletelineargroupsofsmallorderoverthefield AT shchedrykv parametriční2rozkladivpovnihlíníjnihgrupahmalogoporâdkunadpolem AT ŝedrikvolodimirpantelejmonovič parametriční2rozkladivpovnihlíníjnihgrupahmalogoporâdkunadpolem AT ŝedrikvolodimir parametriční2rozkladivpovnihlíníjnihgrupahmalogoporâdkunadpolem |