Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации
В настоящей статье приводятся выражения для главных частей функций, отображающих заданную область на области, близкие к ней, при условии, что три точки на границе остаются неподвижными; затем даются некоторые приложения полученных формул к задачам теории фильтрации....
Gespeichert in:
| Datum: | 1953 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1953
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7754 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512740077993984 |
|---|---|
| author | Шаманский, В. Е. Шаманский, В. Е. |
| author_facet | Шаманский, В. Е. Шаманский, В. Е. |
| author_sort | Шаманский, В. Е. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T10:11:31Z |
| description | В настоящей статье приводятся выражения для главных частей функций, отображающих заданную область на области, близкие к ней, при условии, что три точки на границе остаются неподвижными; затем даются некоторые приложения полученных формул к задачам теории фильтрации. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
1953 YKPAMHCKMA MATEMATH4ECKMH~YPHAfl
HHCTHTYT MATEMATHKH
HeKOTOphie npHJIO.>KeHHH KonliJopMHbiX oTo6pa.>KeHHH 6JIH3KHX
06JiaCTeH C HenO,li,BH.>KHbiMH TOIJKaMH Ha rpaHHLJ.e B TeOpHH
liJHJibTpaiJ,HH
B. F.. ll!a.HaHcKuii.
B uacTomu.eli cTaTbC npnBO! LliTCH Bbip a >KCHHH ,UJIH r.'li.lilHbiX qacTeli cpyHK
UH~i, oTo6pa>I<mow.nx 3<1;1.aJIHYIO o6"1aCTb 1-w o6JiaCTH, 6.'IH3KHe K Heli, npn
y c.'IOBHH, •no TPH TOLJKH Ha rpaHHUC ocTaJOTCH HeTIOllBH>KI-Ibil\IH; 3aTeM !13IOT
C5I IICI<OTOpblC npHJJQ)KCH115I TIOJIYLJCHHbiX Cj)OpMy.!I K 33,.l3LJ3M TeOpHH cpHJib
Tp3UHII.
Bonpoc o6 oTo6pa)KCHH5IX 6JIH3KHX o6JiacTei1 c O!IHOH n JLBYMH 1-IenO!l
BH)J(HbiMH TOLJK3MH Ha rpmmue H HX npH.iJO)!(C!IH5IX K TCOpHH CTpyJ:iHOfO TC
LJCHH5I )!UI!IKOCTH pacoraTpHBaJICH aKaJL. M. A. flanpei!TbCBbiM [1, 2]. CnoliCT
Ba H CTIO,LLBH)KI·IbiX TOLJCK B CJJyqae JLBYX ·JI Tpex H CTIO;l,BIUKHbiX TOLJCK 6bJJIH
paCCi\!OTpCIIbl r . H. OOJIQ)KHI\1 [.3].
Bo BCCM !13JlbllClilllCM H3JIQ)KCHHH Mhl 6y,a:eM TIO.'Ib30BaTbC5I OCHOBHbiMH
o uo3 HaLJeHHHMH 11 TCpMHIIaMH MOIIorpacpnH aKaJL. M. A. flanpeHTbeBa [2].
,II.JI5I BbiBO,LLa OCHOBHbiX cpopMyJI orpaHHliHl\ICH paCCMOTpCHHCM KJiaCCa
0-'LHOCB5I3HbiX OOJiaCTCH D (T) c npaBHJibHb!MH rpaHHU3MH r. no,LL npaBHJ!b
I!Oii KpHBOi'l 6y,LLCM TIOHHl\laTb KpHBYIO, OOJJal1310IUyiO nenpepbiBIIOH KpHBH3-
IIOii. Dp11 3THX ycJIOBHHX, KaK H3BCCTHO, MOJLYJib npOH3BOJLHOH cpyHKUHH,
ocymecTBJIHIOHLeli OJLHOJIHCTHoe KoHcpopl\moe oTo6pa)KCHHe o6JiaCTH D (T)
Ha o6JiaCTb D (T), HenpepbiBeH 11 OT.nHLJ e H OT HYJIH B 3aMKHYTOH o6Jiac
TII D(T).
C ll,CJibiO ynpoi11,CHH5I BbiKJia,LLOK paCCMOTpHM 06JI<lCTH, 6JIH3KHC K Kpyry
z i < 1. YcTai!OBH:\1 cnaLJaJia oue1my JVIH rparm•moli npoH3BOJLHOli, oTo
upa)KaJOIUCH cpyHKUHH 11 BapH3UHH ee apryMeiiTa. 4epe3 a(q:;) 0603H3LJHM
y ro:I :\IC)KllY !GlCaTCJibHOH K rpmmue r H KaCaTCJib!IOH K OKpy)!(I·IOCTH I z I = 1
B TOLJKax C apryMCIITOM cp. Tor-'l:a HMCCT MCCTO CJICJIYIOil(ee BCTIO:\!OfilTCJ!bHOC
npCJLJIO)J(CI·IHC.
fl eM l\1 a. EcJIH OOJiaCTb D (T) orpaiiHLJCHa npaBHJibHbiM KOHTYPOM r H
1-e< lz l
TO rpa1IH41Ia5I IIpOH3B0!1Ha5I cpyHI<ll,HH
w=!(z, T), !(/'\ T)=e''rk
401
·o cyru:ecTBJimomeif IWHcpopMIIOe oTo6pa>Keuue o6Jiacn1 D (F) Ha Kpyr
I w I< I, Y..'!:OBJieTBOpHeT HepaBeHCTBY
1- Ms - O(c1) <If' (z, n I< 1 +Me+ O(c2),
r,l!,e
a 0 (c2) - BeJIIJ'IIJHbl BTOpOrO ITOpH,l!,I<a l\taJIOCTIJ OTHOCHTeJibHO e.
.ll. 0 K a 3 aTe .TJ b c T B 0 . DycTb ¢YHI<I~HH ~ = F(z, r), F(O, r) = 0,
F' (0, r) > 0 OT06paMaeT I<OHcpopMHO o6JiaCTb D(T) Ha Kpyr I 'I< 1.
N~
DycTb rrpu 3TOM OTo6paMeHHH TO'II<H zk=e k (k=1, 2, 3) rrepexo,ii,HT
COOTBeTCTBeHHO B TO'II<IJ ?i.. =e''i'k (k= 1, 2, 3). LJ.oiTOJIHHTeJibHbiM OT06pa
MeHHe.M
nepeBe,l!,e?\1 TOIIKH ~" ~~. s3 B z10 z2 , z8 • Tor,l!,a
, dw d~·
f (z, F) = d' . dz .
Ho no TeopeMe M. A. JlaBpe iiTbeBa ([2], § 48, r.TJ. V)
1-3E- O(t:2) <I:~ I·< 1 +3t + 0(1'2 );
(1)
(2)
.c:I e)J.QB a TeJibHO, o cTa eTCH ou:eHHTb \ ~~ \ Ha oi<pynmocTH I ~ I = 1. 3aMe'IaH,
GTO npn MaJio~t E I ddZ:: I. = ddfJ , r.n:e o, 't/J - apryMeHTbi TO'Iei< OI<pyn..:-
~ I~ /=1 '/J
HOCTeii lw J=l, is l =1 H l t,[lt-lf·i= l ~li ! <4nc+O(c2 ) (i=l, 2, 3) (2),
l10JIY'IHM, ITOJiaraH B (1) ?;= ei~', W = ei9 11 ,ii,HcpcpepeHU:HpyH:
(, Pt + Ps) . (' Pt + Ps) cos tJ•- - -- sm ljJ- _
dfJ ' 1]: - "l! 2 2 ) ( • - = 1 -r -- - · · --- + N -- + ( c·),
d!J! 2 . Pt - rr ll . PI - Ps
sm sm ---
2 2
'12 - 'Yj , 'P2- f/ 3 "1~ - "lt 'T2 - 'Pt N = --- ctg - - --· - --- ctg - ---- .
2 2 2 2
Ou:e HHBaH cBepxy, rrpHxO,ii,HM K uepaBeHcmy
dO 8 Irf: - < 1 + + O(t2).
~ . ~-~ . ~-~ . ~-~
Sill --- · Sill ---- · Sill - ----
2 2 2
AHaJiorHIIHO ou:e iiHBaH CI!H 3Y a yii.HTbiBaH (2), l\Ibi H rro.TJyiiHM yTBepn..:,l!,eHHe
. 'l e !ltMbi.
I13 rrpHBe,l!,eHHOH JieMMbl Jiei'KO ITOJIY'IaiOTCH CJle,l!,yiOIU:He 33K.TJIO'IeHH5l
ir i1F
1. EcJIH z = g(w), g(e k) = e k (k= 1, 2, 3) - cpyHKUHH, o6paTHaH
cpyHKUHH w = f (z, T), TO BCIO.LlY Ha oKpy:t~uiOCTH I w I = 1 HMeeT MecTo He-
paBE'HCTBO
1- ME- O(s!) < lg' (w) < 1 +Ms+ O(Ez),
r / J:e M HMee T yKa3aHHOe Bhrwe 3Ha'!erme.
2. fJpH YCJIOBHHX Jiel\I~fhl B JII060i{ TO'IKC Z = rei'P
ll rcCTo cJre,nyromaH oncr-ma:
KOHTypa T H:V!C~T
I ( ) I ( ~ -~ + 1) f (/Jl - · f/J2 (/!2 - (/J:l arg z - q; < .1.r.1. E ·max l --2- ; ---2-- ;
+ 0 (E2) < (M+ 1)ns + O(s~)o
n- f[h - (/!3 l +
2 f
3n n
)] ,UI 'I3CTHOrO CJiytJa5I f/JI = 2 , fJJ2 = rc, rp3 = 2 IIOCJie,LJ:Hee HepaBCHCTBO
IIpHHH~IaCT BH}].
I I ( , 5n+ 1 + ) ") arg z) - cp 1 < -- 11E ( (c- 0
4
3. fJycTb 'W = oeiO 0 Ec.rm l' J!.OCTaTOliJlO l\f3JIO, TO KOIITYP r MO)KHO npe,n-
CTaBHTb ypaBII CHHeM
r(q;)= 1-o(cp),
r,ne u(tp) - O,LJ:H031-Ia'!HaH cpyHKUHH H o(tp)=1J(q;+2n),
I o(q;)l <s, lo'(cp) l <li, \O''(q;) l <s, o(lj~\)=d(cp2)=o((/Ja)=Oo
Tor,na I-Ia KOHType r
I
dw I . dO
dz i = If' (z, r) I= [1 +J (cp) l d~ + O(c~).
a C.'I C,10B3 TCJihHO, HMeiOT l\fCCTO OUCHKH
I~~ -1 1· ·' (M + 1) E+ () (EZ),
II dff' -11 <.: cM+ l ) L+O (c ~)o
dO
T e 0 p c l\1 a 1. Ecm-I o6JiaCTb D (T) orpaHH'ICHa rrpaBHJibHOH KpHBOH r,
3a,LJ:a HHOfi ypaBHeHHel\f
r(rp) = 1- b(cp),
y,nos.·rcTBopHromnM ycJromm~r:
J(q;-)=cY((]l+2a), lcY(rp) l <s, ju'(cp)l <r, IJ"(q') l E,
o(m) = d(-m) == cl(cx) = 0,
TO lPYHKUHH z=g(w), g(e±im)=ecL im, g(e1a)=ei", KOHcpOpMHO OT06paiK31-0•
maH Kpyr I w I < 1 Ha o6JiaCTb D (T), I-nteeT BHJJ:
2~
w=w _ } _ j.ot w~-2wcosm+-1 X
g() 8;ri () 0 t+m 0 t-m 0 t-u
• SID - -- o Sln -- o Slll - -
o 2 2 2
ia ia
2 2 we -e
X it it dt+- 0 (c2),
we ~ -e2
I ) J.C 0 (f2 ) - - \IaJible BTOporo IIOpH,nKa OTHOCHTeJibHO l: o
403
n 0 K a 3 aTe ;J b c T 13 0. PacC!\WTpH~I BCfl0\10I"aTC.;lbHYIO cpyHKU.HIO
g(w)-w
G (w) = (w _ ei'") (w _ 8 -im) ·
3ra cpyHKU.HH Henpepbmiia B 3<IMimyro~I Kpyrc J·w I < I, TaK KaK
. - g'(eim)- 1
hm G(w)- 9 . . ,
w->w1 :....z • Sill lll
a npoH3130.LI.HaH g' ( w) B T04KaX e±im cyw.ecrl3yeT. Do3TOMY cpyHKU.HIO G (w)
MmKHO npe.ncTaBl!Tb 13 I<pyrc I w I < 1 mncrpa.no:vi lilBapu.a
. o(0)+ 17 (o) x(o)
R e G ( e•O) = --H-nz--.- fi + m = ·- fJ -_:_:_m'-'---.--,8:-+,---m '
4 sin --- · sm --·· 4 sin --· · sm --
2 2 2 2
r.ne ?J(8)=1-o(0)-[1-c.l(tp)]cos(rp-O), x(O)=c.l(O)+q(O), npH'IeM r,(O),
r/ (0), X (8), x' (li) .nonycKaJOT ou.eHKH:
111 (f-1) I <: [ 1 + ;r (~ + 1)] rr (M + 1) e2+ 0 (t3) = k1E~ + 0 (s5),
!11'(8) [ < [1 + (M+2);r)E2+ O(s'') k 1sll+ O(s3),
(3)
lx(O) 1 < s + O(li%),
lx'(O)I :::: s+O(s') H x( -!: m)=O.
3anHCbiBaH HHTerpaJI lli13apu.a .li.JIH cpyHI<IJ.HH G (w) , Haii.neM oTTy.na Bbipa
)J<CHHe ):(JI5I g (w):
zx
1 f w 2 -2wcosm+1 1+we-it
g (w)=w +- x(t) · -----:- dt+ 8rr • t-m . t+m 1-we-•1
Sill-- ·Sin --
o 2 2
+ iC(w2 -2w cos m+ 1). (4)
0603H34HM HHTCrpaJI qepe3 iJj (w) H 3aHMCMC5I ero OU.CHKOH. <flyHKU.HH
w(w) - anaJIHTH4CCK35I B Kpyre I w I < I, D03TOMY no npHiiU.Hny M3KCH~1Y·
:113 HMCCM HepaBCHCTBO
I w(w) I<
0-m . f-l+m t-m . t+m
z:r x(t) sin -- Sin --- -x(O)sin - - sm --
1 /" . 2 2 . 2 2 t-6
x(fl) + ~ . . ·- 1 t+ ctg- dt. ;;: ;cz • - nz • m 2
· sm --- ·sin--
o 2 2
2:t
J t-6
,\1b! npHHHJIH BO BHHi\13HIIC, 4TO L il 3BHOC 3 HC14CHHC HHTerpaJia ctg 2 - dt
paBHO Hy,1JO. 0
MU
D,aJiee nMe.eM:
2:r
I W(w) l<e+,} - /'( lx(t) l +max lx'(t) l ) X
~n . I cos m - cos t I
0
I f-1) , X (t-IJ)·ctg 2 - dt+O(e 3).
X (f)
OueHHM Terrepb ¢YHI<umo ,ll (t) = - - - - --- .
cos Ill - - cos t
(5)
3aMeqaH, qyo ouei-II<Y .nocTaToqHo rro.nytiHTb 11a rrpoMe)I<YTI<e [0, :~:], Haiin:eM
ec, HarrpHMep, cJie,llyionu1M o6pa3m.t. P:no6beM rrpoMe)I<YTOI< 0, :~:] Ha TPH
qacTn: lO m] [m n- nl] [n-- '!! n], r.ne k - n eJioe 11 k > 1,
'k. k' k' ll'
k > _ '!!______ • B rrpoMe)l{yTKax [o. ~], [n- m, ;t] cpyHI<UIUI 1
n-nz fl k Ieos m-cost l
MOHOTOHH3, IT03ToMy COOTBeTCTBeHilO
r;+ O (e2) s + O(e2) lu (t) I<-------·-- ·
' . m(k + 1) . m(k-1)'
SID --~- · SID -2~
~~~ ~~~--~
m(k + 1) m(k-1)"
cos -2~ . cos 2k
B rrpoMe)l{yTKe [m n- m]
k' k
3I<CTpeMaJibHble TQq!{H ,u (f) Haii)lyTC5I H3
paBeHCTB3
z' (t). (cos m- cost)= x(t) sin t,
no3TOMY 3)leCb, ecJIH Mai<CHl\IYM ;~ocTnra('TCH BHYTPH rrpmre)£<YTKa,
lx'(t)l s+O (e!) l,u(t) ! < -~;--- ~ < --.
SID f · m sm -
k
CJie,llOBaTeJihHO, Boo6me na {0, :~:]
1 { . m . m(k+1) . m(k- 1) m(k+l) m (k-1) 1
k
2
> min sm k ; SID 2k · sm -vi- ; cos - 2k ·cos 2k 1.
npH m = ~' HarrpHMep, k~ < 2 V2.
H epaBeHCTBO (5) Terrepb Monnio rrpe.rtcTaBHTb B cJie.nyiomeM BH,lle:
(6)
2:t
l fl t (JI k 8 =max · 2n. (t- 0) · ctg - 2- dt.
0
405
fi pe.ZI.CTaBJUIH IIHTerpaJI W (w) B BII.ZI.e .ZI.BYX IIHTerpaJIOB:
2:t
q, (w) = 1_ J 0 (f) w1 - 2w cos m + _.!._ . 1 +we-it dt +
8;r . t- m . t+ m 1-we zt
Slll -- · Slll --
0 2 2
2:t
+ _!_ j" (i) w 2- 2w cos m +I . } +we-~ dt= 1 (w)+ 12 (w)
8n '7 . t-m . t+m 1--we-'1 1
Slll -- · Sill --
0 2 2
II yiiiiTbiBaH o11,er-IKy (6), rrpH,neM K HepaBei-ICTnaM
l1t(w)I<Kc+O(t2),
I 12 (w) I< Nt 2+ 0 (t 3),
r,ne N = k1 + l?a(I?I + k2).
fiO':lTO~IY Bblp3)Ke~me ,UJIH <tJyr-IKli,HI! g ( W) l\10)1\IIO 3a iTHC3Tb Tenepb
B BH,LLe
2:-r
1 /" w 2 -2wcosm+1 l+we- '1
g(w)=w + 8n o(t) . t- nz . t+m. 1- we-itdt +
• Slll -- Slll --
0 2 2
+ iC(w~-2w cos m+ 1)+ O(E~). (7)
B I10JIY'I e~II-IOH <tJopMyJie orrpe,neJIHM ITOCTOHHHYIO C TaK, 'IT06b! TO'!Ka
ei" OCTaJiaCb HeriO,UBH:>lUIOH. fiOJiaraH g (10) = 1.V = ei" , ITOJJY'IHI\1:
2:t
1 r o(t) t-(/.
C = 8-=-- t - t+ ctg - dt + 0 (~:2).
,r • sin _ _!!_!- · sin ___!!!: 2
0 2 2
flo,UCTaBJJ5I5I 3H3'IeHJi e C B (7) H ynpOll1,35I pe3yJibTaT, 1-IaXO,UHM OKOHl!aTCJib
HYIO <tJopMyJiy ,LLJJ H cpyHKli,HH g (tv):
2:t
(w)=Lv- _1_ j" o(t) w 2 -2w cos m+_1 X
g 8ni . t+m . t - m . t-a
• Slll -- Slll -- · Sill--
O 2 2 2
ia irt
we 2 -e2
X it udt+O(t:2). (8)
2 2 we -e
0r6paCbiBa5I MaJible 13TOporo rropH,UKa OTHOCIHeJibiiO "• ITOJIY'IH~I f.l13B!!YIO
'IaCTb <tJyHKli,HII g (w), KOTOpOfi H 6y ,UeM riOJib30BaTbC5I B ,Ua.llb!IeHille~J. flo
JiaraH B <jJopMyJie ,LLJIH r JJaBI!OH 'I3CTH <jJyi-IKUP.H g(w) 'W = ciO, Z = g(w) =
= rei'P H IIOJib3YHCb pa3JIO)Ker-meM B PH.ZI. riOK33aTeJibHOH <}))'!IKUHH, nai1,neM
33BHCHMOCTb Me)K,UY cp II 1-J:
m+O . 0-m . IJ-(/. _ t+m . t-m . t-(/.
2-r cJ(t) sin - - Sill -- Sin - - -d(O) sin-- SJn-- sin -- -
<p=IJ+ _!_ r 2 2 2 2 _ 2 2 dt.
2a . t+m . t - m . t -(/. . t-O
• sin -- sm -- sin - - sm -- (g)
0 2 2 2 2
0 0 (}- (t
2"' Sill 0 o Sill --
dq; = 1 + _!_ {o(t) 2 dt+
dO 4- t+m t--m t-(t t-fJ
' r. sin-- o sin - - o sin -- · sin - -
o 2 2 2 2
o+m . 8-nz t+m t-m t-8
2To(t)sin -- sin-- -cJ(O)sin-- ·sin - - cos -
+-~j 2 2 2 2 2 dt. (10)
47l . t+nz . t-m t-0
0 Sin--· sin -- · sin2 --
2 2 2
EcJIH :-Ken nbrpa )KC HHH (4) rroJrmKHTb g(1c) = re''r, w=eiO, B35ITb Jiorapncp
~IH'ICCKyro rrpOH3BO/UIYIO OT o6eHX 'ICICTCH II OT,'!.CJIHTb 1\IIIHMYIO '13CTb, TO'
dq;
!I!O)KHO BH,li,CTb, 'ITO f'JI3BH35I '13CTb ITOJiy'I ei-IHOT'O Bblp3)KCH!l5I ,li,Jl 5I dO COBITa-
,11,3CT c cpopMy.'IOi'i (10). A TaK i<aK Ha oKpy)JUIOCTn i w \ = I
I, dz I dq; •
dw = [1-o(q;)]dfj· + O(s·),
TO L!I3B!Ia5I tWCTb i\IO.UYJi5I rpaHHtiiiOi'f npOH3BOJJ,HOii cpyHIUJ.HH g ( W) 33 riH
lliCTC5I B BH,li,C
o "' 0 0-a 2-T Sill 11 • Sill--
+ l_ J 0 (t) 2---- . dt+
4n: 0 t+m . t-m 0 t-a. . t-o
Sin - - · sill -- · "In -- 0 Sill --
0 2 2 ~ 2 2
. 8+m 0 O-m . 0 t+m t-m t-8
Z:r cJ (/)Sill ---- • Sill -- - o(O) Sill -- · sin -- COS--
+ -~ - J 2 2 2 2 2 dt.
4n . t+m t-- m t-o
0 Sin - - · sin -- · sin2 --
2 2 2
no,ll, HIITCrpaJI31\I"II 3/~CCb 110111Bi <JC TC5I HX I'.'I <:IB HOC 3 113'1CII HC.
Bo3 npaTH!IIC5I Teneph K q)opMyJre (9) . T aK KaK 3,U,CCh i\Io,ll,yJrb pa3HOCTH
aprylltf'IITOfl ! 11, - (Jc i II 1\!0i l.y.:rr, p ; l:-lllOCTJI I!JlTCfp :l.'lon OT 3THX )KC apryMCH
T OB 5IBJI5IIOTC5I BCJIIfllHJ!a~IJ! pa3Hb!X llO)J5I)~KOB li!:IJIOCT H OTHOCHTCJ!biiO c, TO
np rr ,11,0CT3TOtiHO C>IaJIOM () (r; ) II 6y}J.eT O,ll.H03HatJHOH cpyHKUH CH <J'o no3TOllty
r :IaBII3H lJ<lCTb cpy!IKUHH g (1c), onpe,li,CJI5IC\1<1 5I cpop !IIYJlO H
if~ ia
w -w _ _ I_ ;2
·; J(t w 2 -2w cos m+ 1 _
0
we- -2 - e2 dt
g( )- 811i ) . t-nz. t+m. t-a. _ !-!_ !~ '
• Sill -- Sill -- Sill - - 2 2
o 2 2 2 we -e
(I I)
COfJiaCHO fl)JllllUIHia COOTBCTCTIJHH rpam-IU, OCYll~CCTIJ.!IHCT KO!Hj)O)Jl\IHO C O}lHO
JIIICTHOC OTo6pa)KCHHe Kpyra I w I < I Ha HeKOTopyro o6m1CTb D (f), rp a
I!Ht~a KOTO)JOi;I OTJ!H'13CTCH OT rpaliHUbl T H a li-13Jlb!C BTO)JOT'O fiO)JHi U<a OTI!OCH
TC.Jibi!O F B TO\! CMbiCJIC, liTO MO.UYJib pa3 110CTH lllC)J\,' lY KO~lll.Tl CKCHbDIII KOOp
}J.HllaT<DIH COOTBCTCTBCllllbiX TOLJCK rpaHHU T, f H yrO.TJ ~IC)K,ll,y KaCaTC.Tibll bD! H
407
K rpaHIHJ,aM B 3THX )KC TO'IK3X npe,D,CT 3B.TIHIOT C060H BC.TJH'IHHbl BTOpOrO riO
pH,D,Ka M3JJOCTH OTHOCHTCJ!bHO f.
Uo.'ly'ICIIHC npH6J!.H)KCHI!biX <PopMy.TI ,D,.TIH <PYIIKU.HH, KOH<POpMHO OT06pa
M310lllHX npoH3BOJibHYIO o6.nacTb D (T) ua o6.nacn1, 6mi3Ime K Hei1, CBOi i:HTCH
K HaXO)K,[l,CHHIO I<on<PopMHoro OTo6pa)KCHHH o6mlCTH D (T) Ha Kpyr I w I < 1.
Onpe,D,eJJHM TaKHM cnoco6oM rJ13BHYIO 4:3CTb <PYHKU.HH, oTo6panWIOill,ei1
no.nyrroJJocy na o6JJaCTh, 6JJH3KYIO K Heii. UoJJynoJioca 5IB.TIHeTC51 o6JiaCThiO
l\Ol\1ITJJCKCHOrO ITOTCHU.H3JJ3 ,[l,JIH 6eCKOHC'IHO rJJy60KOrO <PHJJbTp3U.HOHHOrO riOTO
Ka riO,[!, Henpmmu.aeMbiM rrr,D,pOTCXHWICCKHM COopy)KCHHCM, IT03TOMY HCI<OM3H
<PopMy.Tia ,[1,3CT B03MQ)KHOCTb riO.TIY'IHTb K3LJCCTBCHHbiC Bb!BOJI:bl OTHOCHTCJ!bHO
113MCHCHI151 xapai<TCpHCTHK riOTOKa npH B3pH3L1.11H rpaHHU.bl 06JJ3CTH TC'ICHHH.
UycTb w, z- cooTBCTCTBCHHO n JIOCKOCTH noJJynoJJOChi H o6JJacTrr D (T),
6JJH3KOH K HCH. 4 epe3 W , ~- 0603H<l'IHM COOTBCTCTBCIUIO riJIOCKOCTH C,D,HIUI'I
HOrO I<pyra I m I < 1 H o6JJaCTH D (T* ), 6JIH3Koit K HeMy.
<PyHKU.Hfl, peaJIH3YIOill,afl KOH<PopMHoe OTo6pa)KCHHe Kpyra I w ! < I ua
noJiynoJIOcy 0 < Re w < I, Im w > 0, HMeeT BH;l
{fl =
i- COS nw
i +COS 7rW
(12)
Up a 3TOM OTo6pa)!(CHHH TO'IKaM w = I, w = 0, 1.u = ioo COOTBCTCTBYIOT TO'IKH
(J) = i, ,(JJ = - i, (JJ = - I, fl03TOMY B ljJOpMyJI C (II) HY)KHO riOJJO)!\HTb
n
m = 2 , a = :r . Tor,11,a <PYHKU.HIO (II) MmKHO npe,D,CTaBHTb c.ne,D,yiOillHM
o6pa3oM:
2:T
.. _ ( )- 1 /" .r(t)(w!+l)(w+1.) dt
~-g £o -w + 4n u t . --.~.t----ccit.
• cos t . cos . 2 2 o 2 we -e
(13)
Ey,D,eM C'IHTaTh) GTO rpa~mu.a o6.TJaCTH D (T) 3a,D,aHa CJlC,D,YIOlli,H!\IH ypaBHe
HHflMH:
a) yqacTOK I (JJyq x = 0, !/ > 0): x = x 1 (!!), r,11,e
[x!(y)I <E, [x/(y) I<E, l xi"(y) l< r:, XI(o) = x/(o) = O;
6) yqacTOK II (JJyq X = I, y>O): x = x2 (y), r,11,e
Jxz(Y)-I I<"• lx/(y) J< "• l x/'(y) !<"• x2(o) = l, x/(o) = O;
B) yqacTOK III (oTpe30K o < x< I,!J = O): y = y(x), r,11,e
ly(x) l< e, l!!'(x)l <e, IY"(x)J <~: , y(O)=y(l) = y'(O) = y'(I)=O.
DoJJaraH
o(g;) = x1 (g) ·I di; I
dz •=iu
o(cp) = [1- x2 (g)] ·I d~ I Ha yqacTKe II,
, dz •=1-t-iy
o(cp) = y(x) ·I:~ lz=r na yqacTKe III
U Up0Ii3BO,LJ:H 33MCHY nepeMCHHhiX B cpopMyJie ( 13) C flOMOlll.h!O cpyHKI.I,HH ( 12)
H cpyHKI.I,HH
?; = i+ cos nz
i- cos nz'
Mbl ll HaH,LJ:CM Bblpa)!{CH'HC ,LJ:JIH rJiaBHOH q a cTH HCKOMOH cpyHKI.I,HH. 0HO 33flH·
lliCTCH B BH,n:e
1.
+ f t sin nw g(w)=w y() cosnw- cosntdt-
o
00 ~ I. __ sin ~ _ ;· X sin nw dt
. xdt)cosnw-chntdt (1- ,(t)]cosnw+chnt · (14)
0 0
fiOJih3YHCb npHHI.I,HfiOM COOTBCTCTBHH rpaHHI.I,, MO)!{HO fiOK333Th, qTo npH
,!J:OCTaToqHo MaJIOM E cpyHKI.I,HH ( 14) ,LJ:CHCTBHTCJ!hHO peaJIH3YCT KOHcpOpMHOC
oTo6pa*eune no.riynoJIOChi 0 < Re w < 1, Im w > 0 ua o6JiaCTh D (F), KO
TopaH OTJIHqaeTCH OT 06JiaCTH D (T) Ha MaJihiC BTOporo nopH,n:Ka OTHOCH
TCJ!hHO E.
TaKHM o6pa3oM, MO)KHO ccpopMyJIHpos aTh cJie,n:yJoiiJ,ee npe,n:JIO)KCHHe.
Teo p eM a 2. riycTh o6JiaCTh D (T) orpaHnqeHa npaBHJihHhiM KOHTy
poM T, 33,LJ:3HHh!M Bblp3)KCHU5IMH: y = y (x), 0 < X < 1; X = X1 (y), y > 0;
x = xz(y), y>O, r,n:e
I y (x) I< e, I y' (x) I< E, I y" (x) I< "• I X1 (y) I< E,
I x1' (y) I< E, I x{' (y) I< e, 11 - X2 (y) I< E, I Xz' (y) I< £,
I Xz" (y) I < E, y (0) = y ( 1) = y' (0) = y' ( 1) = X1 (0) = x{ (0) = x{ (0) = 0,
Xz(O)=l.
Tor}la cpyHKUHH
1 ..
w =w+ t -dt- x t dt-} • sin :nw f sin nw
g( ) y() COS TrW- COS nf 1 ()COS nw-ch :nf
0 0
00 f sin nw dt
- [1- x 2 (t)] cos.nw+chnt
0
KmrcpopMHO OTo6pa*aeT noJiynoJiocy 0 < Re w < 1, Im w > 0 Ha o6JiacTb
D (T) c KOHTypoM f, orrpe}leJIHCMhiM BbipaMCHHHMH:
r,n:e
H
y=y(x), O<x ·< l; x=xl (y), y > 0;
y(x) = y(x)+ O(e'),
Xi (y) = X 2 (y) + 0 (e'),
;./ (y) = x/ (y)+ 0 (e'),
XL (y) = Xt (y)+ O(t2),
y' (x) = y' (x)+ 0 (e'),
;.2 ' (y) = x~ (y) + 0 ( e2)
y(O)=y(l)=;,t (0)=0; x, (0)= 1.
409
nmr llOJiyqeHHH KaqeCTBeHHbiX Bb!BO.ll.OB cpopMyJiy ( 14) ,li,OCTaTOqHO
B3HTb ,li,JIH TOfO CJJyqaH, KOr.Ua y (x) =f= 0, X1 (y) =;!= 0, X2 (y) =f= 1 Jlllllib B Ma.flbiX
OKpeCTHOCTHX TOqeK Xo , iy0, 1 + iy1 (sap·HaU.HH B 3TOM CJiyqae Ha3biBaeTCH
JIOKaJibHoit). CqnTaH, qTo y (x), x1 (y), 1 - X2 (y) coxpaHmoT 3HaK s yno
MHHYTbiX OKpeCTHOCTHX, a TOqKa 'W HaXO,li,HTCH Ha KOHeqi1QM paCCTOHHllll OT
TOqeK Xo, iy0, 1 + iy, cpOpMyJiy (14) MOMHO 3aill1CaTb B CJie,nyiOIIJ.eM BH,ne :
+ sin nw sin nw
g(w)=w rJ -a.----
1 COS l lW - COS 7TXo • COS llW - Ch nyo
sin 1rw
(15 )
- rJ3 cos nw + ch ny1 '
r,ne a 1, az, aa- IlJIOIIJ.a,lJ,H MeR<,ny sapbHpOBaHHOH rpai-JHU.eH ll COOTBeTCTBy
IOUU1Mll I1pHMbiMH, orpaHHqHBaiOil.IllMH IlOJIYilOJIOCy, IlpHqeM 3HaKH O J , oz, O:l
COBila,ll,aiOT CO 3HaKaMH y (x), XI (y), 1 - Xz (y). <PyrmU.HIO, o6paTHYIO g (w) r
C TOH )Ke CTeneHbiO TOqHOCTH MO)KHO 3ai1HCaTb TaK:
sin nz sin nz sin nz
w=z-a + t12 + aa • 1 cos nz - cos nx0 cos nz - ch ny0 cos nz + ch nyr
3Ta cpopMyJia TaK)J{e Bepna Ha KOHeqHOM paCCTOHHHH OT ueHTpOB BapHa
ll.llll- ToqeK x0, iy0, I + iy1. 0Tcro,na Henocpe,ncTBeHHbiM ,nncpcpepeHu.nposa
HHeM MOMHO HaHTH MO,li,YJib rpaHnqHOH rrpOH3BO,li,HOH cpyHKU.HH, OT06pa)Ka
IOil.IeH JIOKaJibHO sapbnposaHHYIO rroJiyrroJiocy Ha noJiyrroJiocy 0 < Re w < I ,.
Im w > 0.
AnaJIH3lipyH cpopMyJibl ,nJIH rpaHI-IqHbiX rrpoH3BO,li,HbiX, MOMHO rroJiyqnTh
cJie,nyiOurne KaqecTs eHHble pe3yJibTaTbl.
I. ITocJie ycTaHOBKH wrryHTa cKopoCTb na seeM no,n3eMHOM KmiType
cpJIIOT6eTa BHe lliilYHTa yMeHbUJaeTCH.
2. Paccl\wTpHM CHMMeTpHqHblit cpJIIOT6eT. ITycTb pa3HOCTb Harropos na
JIHHHHx BepxHero H HHMHero 6becpos pasHa H. Tor,na, ecJIH wnyHT ycTanos.TJ e H
PHc. I .
K HHR(HeMy 6becpy 6JIH)Ke, qe~l
6biJia pacrroJioR<eHa TOqKa c Ha-
H
nopoM h= 2 , TO cyurecTsyeT Jm-
HHH rl (pHC. I) ' coe,nHHHIOil.IaH
O,nHy li3 TOqeK UJilYHTa C KOHeq
HOH ToqKoit Ha JIHHHH HHRmero
6becpa, 'H JIHHHH Fz, HaqnH31011.I3-
HCH Ha wrrynT.e n npocrnparoura
HCH Ha 6eCKOHeqiWCTb B CT0pm1y BepxHero 6becpa, Bb!UJe KOTOpbiX CKOpOCTb
cpHJibTpaU.HOHHOfO IlOTOKa llOCJJe ycTaHOBKH UJilYHTa yMeHbUJaeTCH, a HH)Ke
yseJIHqnsaeTCH. H a JIHHHHX rl, rz CKOpOCTb llOTOKa OCTae TCH HeH3MeHHOH.
EcJIH )KC wnyHT ycTaHOBJiel-1 K sepxHeMy Clbe cpy 6 JJH)Ke, qeM 6biJia
H
paCilOJJO)KeHa TOqKa h = 2, TO JIHHHH F1 npOCTHpaeTCH Ha 6eCKOHeqHOCTb,.
a JIHI-IHH Tz HMeeT o,nm-1 J-13 KOHU.OB na JIJ-11-IHH s epxnero 6be cpa.
Ha npHMoit, HBJimoureikK npo.uoJIR<eHHCM wny1na, CKopocTb se3,ne 6o.nb
me, qeM ,no ycTaHOBKH wnyHTa. ITpH 3a,naHHOi-i ,li,<1HHe wrryHTa o6JiaCTb t
(pHc. I) yMeHbruaeTCH c npa6JIHMeHaeM wnyH.Ta K JIHHHH HHRmero 6hecpa .
410
EcJIH cpmor6er HeCHMMerpHlJHhiH, ro raKaH )Ke KapTHHa reqeHHH 6y,D.eT
OTHOCHTeJibHO TOlJKH h = ho, r,D.e ho- HeKOTOpOe HE'H3BeCTHOe BHalJaJie 3Ha
lJetme Hanopa.
3. flpH yrJiy6JieHHH ,li.Ha HH)!{Hero 6becpa CKOpOCTb Ha BCeH JIHHHH HH)K
Hero 6becpa BHe Mecra sapHaU.HH yMeHblllaeTCH. Ha KOHType cpJI!OT6eTa
B6JI'H3H TOlJKH COe,D.HHeHH5I .ero C HH)!<JIHM 6becpOM CKOpOCTb yMeHblll3eTC5I ,
H
a B TOlJK3X, f ,ll.e Harrop h > 2 , CKOpOCTb BCer,D.a yseJIHlJHBaeTCH. Ha JIHHHH
aepxHero 6hecpa CKopocTh Be3,D.e, yseJIHlJHBaeTcH.
ECJIH ,li.HO HH)!<Hero 6becpa IIO,li.HH!\IaTh, TO TaM, r,D.e CKOpOCTb IIpH yrJiy-
6JieHHH yBeJIHlJHBaJI3Cb, OH3 6y,D.eT yMeHbllf3TbC5I H Ha060pOT.
4. flpH yrJiy6JieHHH ,D.Ha Bepxnero 6becpa CKOpOCTb IIO BCeH JIHHHH Bepx
uero 6hecpa BHe MecTa sapHaU.HH yMeHhlllaercH. Ha KOHType cpmoT6era s6JIH-
3H TOlJKH COe,li.HHeHHH ero C BepXHHM 6becpOM CKOpOCTb YMCHblllaeTCH,
H
a B TOlJKax c HarropoM h < 2 - Bcer,D.a yseJIHlJHBaercH. Ha JIHHHH HH)!{Hero
6becpa CKOpOCTb Be3,D.e yBeJIHlJHBaeTCH.
flpH IIO,li.HHM3HHH ,D.Ha BepXHero 6becpa IIOJIYlJaiOTC5I o6paTHble 33KJIIO
qeHHH.
B KalJeCTBe rrpHMepa rrpH6JIH)!<eHHbiX BbllJHCJieHHH rrpH IIOMOlll,H cpopMy
Jibi ( 14) paccMoTpHM xapaKTep H3MeHeHHH Harrop a ua cpJIIOT6eTe rrpH yToJJ
IU.eHHH IIOHypa.
flyCTb H3BE'CTH3 cpyHKU.HH W 1 = ~ + i17, rrpe,D.CT3BJI5I!Olll,35I C060H KOM
f!JieKCHbiH fiOTeHU.H3JI cpHJ!bTpaiJ.HOHHOfO IIOTOKa IIO,ll. cpJIIOT6eTOM 33,li.3HHOH
cpopMbi rrpH 6ecKoHelJHO TOHKOM rroHype A B (pHc. 2). Bo,D.orrpoHHU.aeMbll1:
rpyHT Mbi rrpe,D.rroJiaraeM 6ecKoHelJHO rJiy6ormM.
YseJIHlJHM TOJJil.J:HHY rroHypa ,D.O l < L, r,D.e L- TOJilll,HHa cpmOT6eTa co
CTOpOHbl BepxHero 6becpa. HcKOMbiH KOMOJieKCHb!H IIOTe HU.H3JI 33IIHllleTC5I
B BH,ll.e :
~= <IJ(w)= (/) (~J)'
1
i;= w- J o (f) sin nw dt
cos nw -- cos nt '
c
a tp = b ( cp) - ypaBHetme noHypa Ha nJIOCKOCTH w (pHc . 3), onpe,D.eJIHeMoe
H3 CHCTeMbl
f (/) = ~ ~ (x, !)
I tp= ~1](X, l),
r,~~;e x H3MeHHeTCH Ha orpe3Ke AB, a c- o6pa3 TOlJKH C ua ITJIOCKOCTH 1c.
411
TaK KaK Mhl 6y.D.CM HCKaTh 3HaqeHHH ~ TOJihKO B TOqKaX 0Tpe3Ka ed,
KOTOpbiC HaXO,li.HTCH Ha HeKOTOpOM y,ll.aJieHHH OT ,ll.e<PopMHpOBaHHOrO yqaCTKa
rpaHH[(bl, TO Mbl 6y,ll.eM rrpeHe6peraTh TeM o6CTOHTeJihCTBOM, qTo Ha HeKOTO
pb!X yqaCTKaX (BeChMa MHJihiX) IIpOH3BO,li.HaH b'(<p)
He MaJia.
nycTb ~ = u + iv. Tor,ll.a Ha 0Tpe3Ke ed
1
f sin nq;
u=m- o(t) dt
r COS n<p - COS nl
H, CJie,li.OBaTeJibHO, Harrop orrpe,ll.eJIHTCH <PopMyJIOH
h(x, y)=h0 (x, y)-
1
PHC. 3. - n J o(t)
c
. nh0 (x, y)
SID
H dt
nho(x, y) '
COS -COS nf
H
r.D.e ho (x, y)- Harrop Ha KOHType <PmoT6eTa DE .D.O yTomu:eHHH noHypa.
(16)
HHTerpaJI B <PopMyJie (16) MO:iKHO npe.D.CTaBHTb TpHroHo!.feTpHqecKHM
pH,li.OM, a HMeHHO, HMeeT MeCTO <PopMyJia:
• . nnho (x, y)
h(x, y) = h 0 (x, y)- H _Ean sm H ;
11=1
,.
an=~./ o(£) cos nt dt.
:rc
JlHTEPATYPA
J. M. A. J1 a B p e H T be B, 0 HCKOTOpbiX CBOiiCTBaX O,ll.HOJJHCTHbiX <!JyHKI.IHH C npH
JlO>KeHHeM K TeOpHH CTpyii, MaT. c6., H. C., T. 4, E. 3, 1938.
2. M. A. J1 a B p e H T b e B, KoH¢opMHble oTo6pa>KeHHH, M.-Jl., 1946.
3. r. H. n 0 J1 0 >K H ii:, 0 J{BH>KeHHH rpaHH'IHbiX TO'IeK OTo6pa>KaeMbiX o6JiaCTeii:, YMH,
r. VII, B. 6 (52), 1952.
noJiy'leHa 6 HHBap!i 1953 r.
KHes.
0401
0402
0403
0404
0405
0406
0407
0408
0409
0410
0411
0412
|
| id | umjimathkievua-article-7754 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:35Z |
| publishDate | 1953 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/18/7524453c377a84ee3344cca47e409e18.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77542023-08-15T10:11:31Z Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации Шаманский, В. Е. Шаманский, В. Е. В настоящей статье приводятся выражения для главных частей функций, отображающих заданную область на области, близкие к ней, при условии, что три точки на границе остаются неподвижными; затем даются некоторые приложения полученных формул к задачам теории фильтрации. В настоящей статье приводятся выражения для главных частей функций, отображающих заданную область на области, близкие к ней, при условии, что три точки на границе остаются неподвижными; затем даются некоторые приложения полученных формул к задачам теории фильтрации. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1953-11-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7754 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 5 No. 4 (1953); 401-412 Український математичний журнал; Том 5 № 4 (1953); 401-412 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7754/9442 Copyright (c) 1953 В. Е. Шаманский |
| spellingShingle | Шаманский, В. Е. Шаманский, В. Е. Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_alt | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_full | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_fullStr | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_full_unstemmed | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_short | Некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| title_sort | некоторые приложения конформных отображений близких областей с неподвижными точками на границе в теории фильтрации |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7754 |
| work_keys_str_mv | AT šamanskijve nekotoryepriloženiâkonformnyhotobraženijblizkihoblastejsnepodvižnymitočkaminagranicevteoriifilʹtracii AT šamanskijve nekotoryepriloženiâkonformnyhotobraženijblizkihoblastejsnepodvižnymitočkaminagranicevteoriifilʹtracii |