Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений
-
Saved in:
| Date: | 1953 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1953
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7756 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512744789245952 |
|---|---|
| author | Круминг, А. А. Круминг, А. А. |
| author_facet | Круминг, А. А. Круминг, А. А. |
| author_sort | Круминг, А. А. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T10:11:31Z |
| description | - |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
1953 YKPAI1HCKI1Yl MATEMATI14ECKI1YI >KYPHA.Jl
HHCTHTYT MATEMATHKH
T. V, N2 4
Ou.enKa pa)I.Hyca cxo)I,HMOCTH pH)I.OB no CTeneHHM MaJioro
napaMeTpa, npe)I,CTaBJISIIOI.J..(HX nepHO)I,HlleCKHe perneHHSI CHCTel\1
)I,HciJciJepeHU,HaJibHbiX ypaBHeHHH
A. A. KpyMUH.Z
DycTb ,n:aHa CHCTeMa
~~, = F,(t, X 1 , •• • , Xn, 1.); i= 1, 2, ... , n, (1)
HMeiomaH rrpH 2 = 0 H30JIHpoBaHHoe rrepHO,n:HqecKoe p erne<me { fJJ; (t)} c rre
pHo,n:oM 2n, rrpaBbie qacnt KOTOpOH MO)!{HO pa3JIO:tKHTb B pH,n:bi no CTerreHH!\1
(X1-qJ1(t)) H }, rrpH jX1 -qJ1 j < r;, IJ.j < ro, np.H4eM K03cpqm~HeHTbi pa3 -
Jio:>KeHHH 6y,n:yT HerrpepbiBHbie H n epHO.ll:H4eCKHe cpyHK~HH f C rrepHO.ll:OM 2n.
KaK 6biJio ycTaHOBJieHo DyaHKape [1], TaKaH CHCTeMa rrpH H3BeCTHbiX ycJio
BHHX HMeeT e,n:HHCTBeHHOe rrepHOJI:H4-eCKOe p erneH.He rrpH OTJIH4Hb!X OT HYJIH
3Ha4eHHHX }., 3aKJU04eHHbiX B HeKOTOpOM HHTepBaJie; perneHHe 3TO pa3Jia
raeTCH B pH,n: rro CTe rreHHM ).. B HaCTOHmeii pa6oTe .n:aeTCH o~eHKa pa,rtHyca
CXO,ll;HMOCTH 3THX pH,n:OB no rrapaMeTpy ). .ll:JIH CJiyqaH, KOr,n:a ,n:eTepMHHaHT
DyaHKape OTJIH4eH OT HYJIH.
Do,n:cTaHOBKoii
xi = xi+ T i(t)
3Ta CHCTeMa npHBO.ll:HTCH K CHCTeMe
dx,
dt
2 /-v0 v1 ••• ,,,. .l....,ox~1 •• • x~n=f,(xt,• · . , Xn, A),
.. 01 .,, , • . • t , ,.
( 1')
He co,n:ep)!{aiii.eii B rrpaBbiX qacTHX 4JieHOB HyJieBoro rropH,n:Ka, rrp1H4eM peme
HHfO X 1 = {/Ji (t) CHCTeMbi (1) 6y,n:eT COOTBeTCTBOBaTb pernef!He x1= 0 CHCTe
Mbi (1'). DpaBbie qacTH cHcT.eMbi (1') 6y,n:yT cxo,n;HTbCH npH
I xi I < r;, I ). I < ro; i = 1, 2, . .. , n. (2)
0THOCHTeJibHO .cHCTeM BH,n:a ( 1') DeppoHOM ,n:oKa3aHa cJie,n:yiOIII.aH Teo
peMa [2].
ECJIH B CHCTeMe ( 1) K03cpcpH~HeHTbi •[k¥0 ••• Yn (t) HerrpepbiBHbi na
0Tpe3 K e 0 < f < a H y,n:OBJieTBOpHfOT HepaBeHCTBaM
TO perneHHe, y,n:OBJieTBOp51IOIII.ee YCJIOBHHM
xk(O) = ck; k = 1, ... , n,
MO)KHO pa3JIO)KHTh B pH.II.hi rro cTeneHHM }., Ct, .•• , en;
x.~:=
3TH pHJI.hl cxo.n.HTCH a6coJIJOTHO B o6JiaCTH, orrpe.n.eJIHeMoH: HepaBeHCTBOM
E1 + ~ + ... + lsJ < .i;'ll~-l e-•·(rzMa+ll,
ro r1 r,. v=t 'II!
4HCoJ"IO M MO)KHO npHIIHTh paBHhiM
M = ma_x lf.~:J. k 1
min I r1 I ' = ' · · ·' n; i=O, 1, .. . , n,
(3)
(4)
r.n.e max I fk I 6epeTCH B KOMIIJieKcHoH: o6JiaCTH, onpe.n.eJieHHOH YCJIOBHHMH (2),
a = 2n H r0, r1, , rn Te )Ke, liTO B YCJIOBHH (2). B 3TOM CJiyqae ¢YHKU.HH
OY.ll.YT Ma)KOpaHTaMH npaBh!X qacTeH CHCTeMhl ( 1 ').
<l>aKTHqecKOe BhJqHc.neHHe K03<lJ<lJHU.IIeHTOB pa3JJO./KeHH51 (3) IIpOH3BO
.IJ.HTCH ITO CIIOC06y HeOIIpeJJ,eJiemih!X K03cp<lJHU.HeiiTOB. 3Ta 3a.II.alla CBOJI.HTCH
K perneHHJO CHCTeM JIHHeHHb!X .II.Iicp<!JepenuHa."IbHbiX ypaBHeHHH C rrepHOJI.H
lleCKHMH K03<lJ<lJHU.HeHTaM.H. .[LJIH OU.eiiiUT CXO.IJ.HMOCTH pH,UOB, IIpe.n.CTaBJIH
IOI.U.HX rrepHO.II.HqecKHe perneHHH CHCTeMbl { 1), .IJ.OCTaTOlJHO BbJq'llCJil!Tb, KaK
Mhl IIOKa)KeM, JIHllib K03cp<lJ1IU.HeHTbl rip II rrepBb!X CTeneHHX pa3JIO)KeHIIH (3);
npH 3TOM, oqeBH.II.HO,
( i - ox,,
f!!1 00·••1•· 0 ) - :. c =c =··•=C =0.
k-TOC MCCTO U( k l.~Q ~ n
.[LJIH YJI.06CTBa 3aiiHCH Mbl IIOJIO)KHM
P1oo. ·1···0 (i) == rp;k{f) .
..\:-TOe MCCTO
Heo6xo.n.HMbie n .n.ocTaToqHbie ycJIOBHH rrepHO.II.HqHoCTH perneHHH CHCTe
Mhi ( 1 ') C HalJaJibHb!MH JI.aHIIbiMH Xk {Q) = Ck 3ariHI.llYTCH TaK:
xk (2rr, c1 , ••• , c,., ).) - x.i: (0, C1 , .•• , c,., ).) = t/l,,(c1 , ••• , en, }.) = 0 (5)
(k= 1, .. . , n).
<I>yHKU.HH •h(Ct. ... , Cno 1..) 6y.n.yT anaJI.HTHqecKIIMH B Toft: .IKe o6Jiacm, liTO
H Xk(t, Ct, Cno }.) • DycTb r H Q- .n.sa l!HCJia, y.n.osJI.eTBOpHJOI.UHe
YCJIOBHJO
TOr.II.a <!JyHKU.HH Xi(f, Ct, ... , Cno ),) 'H, CJie.II.OBaTeJibHO, II tf;;(CJ, ... , Cm i.)
6y.n.yT anaJIHTHqeCKHMH npH I I..J < r; l ci I < Q·
Bse.n.eM o6o3Hal!eHHH
laxl] = ox, (2n,
acj
cl, ... , en, J.)
iJcj
ox1 (0, Ct, ••• ,
ocj
435
EcJIH
iJ,Pl m/J,.
iJcl • ' . ocl
Ll= ........ .
c 1 =0
iJijJ1 Q'lf',. · · .•
-a .•• -iJ <n=O
C11 C,. <=O
= ······· ...... '
I tp11 (2n)- lfu (0) · · . lfm (2n) -cp,.1 (0)
= j ~11: (;n)·-·cp:,.(~) · .. ·. r;t,..(2~):__~,.,:co)
TO H3 ypaBHCHHH (5) Mbl MO)KCM onpe,ll.eJIHTb C; K3K <j}yHKIJ.HH J..
Pa3JiaraH <PYHKIJ.HH lflk B pHJI.hi, noJiy4HM
n
l/Jk = ~ [ Cf~t1 (2rr)- 1P1t1 (O)J c1 + Pk,
i=l
r,ll.e IJlk HC CO,ll.ep)l(3T C; B nepBbiX CTCllCHHX.
f10JIO)l(HM
,.
~It = ~ rJ.Itj 1/Jj
j=1
H noJI.6epeM aki TaK, 4T06bi
r,ll.e lp'k He CO,li.Cp)l(3T C; B nepBbiX CTCllCHHX .
.llJIH OllpC,li.CJICHHH aki Mbl llOJIY4HM CliCT·CMbl JIHHCHHbiX ypaBHCHHH
n
~[cpj1 (2rr) -9'i t (0)] rJ.kj=- O;k,
j=l
(6)'
r,ll.e Oik- CHMBOJI J<poHeKepa. Onpe,li.CJIHT('Jib 3THX CHCTCM paBeH L1 =/= 0 H
-Ll,k
a,k=~,
rJI.e A;k- aJire6paH4CCKoe JI.OnOJIHCHHe 3JieMeHTa <p;k(2n)- <p;k(O) onpeJJ.e
JIHTCJIH A.
YcJIOBHH nepHOJI.H4HOCTH MoryT 6hiTh Teneph 3 anncaHbi TaK:
V'~t=O
HJIH
(7)
~YHKU.HH lpk ,li.OllYCK310T M3)1(0paHTY
r)le N- tfHCJio, npesocxo)lHill.ee HJIH pasHoe MaKCHMYMY MOJlYJIH <PYHK
U.HH '1\. MaKCHMYM MOJly.TJH 1Ji" MO)J<HO ou.eHHTb TaK:
max llfl" I <. (! + max I t-,;, I .: n • max I !X1" I max ll/1" I + e =
_ . . max l.d;"l. , I (2 ·)- (0 ')I+ ../ - n - -ILl_l_ max x" n, c1o ... , c,., I. Xt , c1, ••• , Cn," (! <::::,.
max I L11.t I
<n. -1-.dT- 2 max lx~:(f, Ct,• •• , Cn, ).)j + e ~
< 2n majJ ("I ( 2n · max I fk I + max I c; I ) + '.! <
max ' .d," ! . . < 2n --1 df--' (2nM mm r1 + max r1) + f!·
YpasHeHHH (7) MmKHO cpaBHHBaTh c ypaBHeHHCM
(8)
npaBaH LJ3CTb ypaBIICHHH (7) M3)1WpHpyeTC51 npaBOH LJ3CTbiO ypaBHeHHH (8).
CJie)loBaTeJihHO, KOpHH ypamieHHH (7) 6yJlyT aHaJIHTHLJHbiMH, no Kpai1Heii
MCpe, B TOH )l(e 06JiaCTH, LJTO H KOpCHb ypaBHCHHH (8) .
r)le
PewaH ypaBH.CHHe (8), Mbi noJiyLJHM
A
- N
c~ - + - -c+--=0 (n2N n) r
Q2 Q A '
1- -
r
_ (! 2 (l _!. y 1 _ ~ + 4_n_1_N_:-;;-~r_4_n_N_:_{!A) =
- 2(n2N+ nQ) --'-- 1 _ ~
r
(9)
437
Oepen KopHeM CJienyeT 6paTb 3HaK MHHyc, qTo6bi rrpH 2 = 0 c o6pama
JJOCb B 0.
Bbipa:m:eHHe (9) HBJJHeTCH aHaJJHTHqecKoH: <PYHKU.Heii 2 rrpu 121 < s,
H, CJJe,ZJ:OBaTeJJbHO, perueHHH ypaBHeHHH (7) 6y,n:yT TaK)I{e aHaJJHTHqeCKHMH
<PYHKU.HHMH 2 rrpu Tex :m:e 3HaqeHHHX l. TaKHM o6pa3oM, npH I A. I< s CH
CTeMa ( 1 ') H, CJie,n:OBaTeJJbHO, CHCTeMa ( 1) o6JJa,n:aeT e,n:HHCTBeHHbiM nepHO
,LIHqeCKHM perueHHeM ,LIJJH Ka:m:.noro 3HaqeHHH A, B3HTOrO H3 yKa3aHHOrO npo
Me:m:yTKa.
JH1TEP A TYP A
I. Poincare H., Les methodes nouvelles de Ia mecanique celeste, I, 1892.
2. Perron 0 ., Math. Annallen, B. 113, s. 300, 1936.
DoJiylJeHa 18 Mal! 1953 r .
MocKBa.
0434
0435
0436
0437
0438
|
| id | umjimathkievua-article-7756 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:39Z |
| publishDate | 1953 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/306382cb6a4b0cd5d1e8b84e5fdffea7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77562023-08-15T10:11:31Z Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений Круминг, А. А. Круминг, А. А. - Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1953-11-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7756 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 5 No. 4 (1953); 434-438 Український математичний журнал; Том 5 № 4 (1953); 434-438 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7756/9444 Copyright (c) 1953 А. А. Круминг |
| spellingShingle | Круминг, А. А. Круминг, А. А. Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_alt | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_full | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_short | Оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| title_sort | оценка радиуса сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих периодические решения систем дифференциальных уравнений |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7756 |
| work_keys_str_mv | AT krumingaa ocenkaradiusashodimostirâdovpostepenâmmalogoparametrapredstavlâûŝihperiodičeskierešeniâsistemdifferencialʹnyhuravnenij AT krumingaa ocenkaradiusashodimostirâdovpostepenâmmalogoparametrapredstavlâûŝihperiodičeskierešeniâsistemdifferencialʹnyhuravnenij |