О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций
В работе „Пространство Гильберта и теория чисел" И. И. Родманов указал метод, позволяющий но одной данной ортонормированной последовательности элементов {αn} гильбертова пространства Н строить в Н бесконечное множество ортонормированных последовательностей { βn} арифметического характера....
Gespeichert in:
| Datum: | 1953 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1953
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7758 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512745707798528 |
|---|---|
| author | Котелянский, Д. М. Котелянский, Д. М. |
| author_facet | Котелянский, Д. М. Котелянский, Д. М. |
| author_sort | Котелянский, Д. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T10:11:31Z |
| description | В работе „Пространство Гильберта и теория чисел" И. И. Родманов указал метод, позволяющий но одной данной ортонормированной последовательности элементов {αn} гильбертова пространства Н строить в Н бесконечное множество ортонормированных последовательностей { βn} арифметического характера. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
1953 YKPAI1IICKvlvi MATEMATY!LJECKI1VI )KYPHAJI
HHCTHTYT MATEMATHKH
0 MeTO.LJ.e H. n. PoMaHOBa noJiylJeHHH TOM.LJ.eCTB
.LJ.JIH apHljJMeTHIJeCKHX ljlyHKU,HH
Jl. M. KoTe.1HHCKUU
T. V,N~4
B pa6oTe ,npocrpaHCTBO fHJJbuepTa H TCOpHH 1IHCCJI" [1] H. n . POJ\'la
IIOB yKa3 a JI 1\I CTO,LI., Il03BOJ15JJOIL~l1i:I IlO 0 / I,IIOii: ,LI.aiiHOi:f OpTOI!Op~rHpOBaHI-IOH riO
CJIC,LI.OBaTCJibHOCTH 3JIC~ICIITOB { a 11 } rH.nh6cprona npocrpaiiCTBa H CTpOHTb
B H 6ecKOHC11HOe 1\IHmKecrllo opTOIIOJHTHponaHHbrx noc.rt e.· r.ollaTe.rrbHOCTcii
{ f/11 } apHCpMCTTiq eCKOfO xapmnepa. 0pH 3TOM IlOJlllOTa IICpBOIIaL!aJibllOH IlO
C:lCi l_OBaTC.' lhHOCTH Il n e rwropoM no; r.npocTpaHCTBC H' ell B.'Iel1er 3 a co6oii:
!IOJIIJOTY Il H' Ka>Kl i.Oti 113 rrocTpoeiiiibiX noc.rrc;J.oBaTC.TJbHOCTe i-i. B 3 HB npo.H3 -
BOJihHbiC ; r.na 3 •1 Cl\ICHTa !13 H 11 rrpupaBI-IHB lr.pyr ;.r.pyry Bbi])<J)KCIIHH ,LI.Jm nx
CKaJIHpHoro npOH3BC,LI.CHH51 B CHCTC\rax {a,.} H {,3,.}, H. n. PlH1<:11IOB rrpHWCJI
K TO)K_TLCCTBY (f:l ], CTp. 31)
"' A (n)B(n) ~
,~-ij. (~) = s (s) ,~1 a(n) b(n). (1)
3 ; r.ccb:
Re(s) > 1;
r;l,C p npouc r aeT BCC npOeTbiC ,:I,CJIHTCJIH 11, a (n.) H b (n) - IIJ)OH3 BOJ!bllbiC
<j.JyHKLI,HII 11 , l[.JI 51 KOTOpblX
00
H .L.' Ibnl 2 < oo.
n= l n;=l
A (n) If fl (n) CBH3 <lllbl C a (n) H b (n) COOTBCTCTBCIIHO paBCIICTBaMH
2) A(d) = n~ j;a(rz.k); 2) B(d) = nf i:b<;k). (2)
d k-1 k d k=l
B li3CT05llLI,Cfi CT3TbC TO)K,ll.CCTBO ( 1) npH!'IlCil5JCTC51 K HCKOTOpblM CfiC
ll.H3JibllblM THflil!\f apHCpMCTHqCCKHX lpyHI<lJ.HH, qro Il03B0 .1 5JCT IlOJJyqHTb, Il0Jlb-
3 Yf!Cb 06UJ:HM l\JCTO,ll.OM, 1(31( llei<OTOpbiC H3BCCTHblC, TilK H MHOfHC IIOBblC TO)K
)l.CCTBa T COpHH qfiCC.TI 1•
B ILCJmx y,LI.oucTBa Jarrncu JJ.ilJJbHei:fwu:x ¢opMyJI rrOJJO)KHl\r:
F(n) G(n)
a(n) = -s- ; b(n) = --s- ·
1 H~ 11 31lCCT!Ib!X TO)KJ(CCT!l OTMCT!IM TO)KJ(CCTBa PaMaHy)Kalla ( CM. HII)KC <jJOpMyJJy ( 14) ).
453
Tor,n:a TOJK,rJ.ecmo ( 1) npmteT BH,n:
~ A(n)B(n) = 1-( ~, F(n) G(n)
~ ( ) " s) ~ ·' ' n= l (J!• ll - n=l ll
(3)
r,J, e
11
npn<reM CBH3b i\te}I<il.Y A(n), B(n) II F(n), G(n) cooTBeTcTBeHIIO naeTCH
<PopMyJiaMH
"' F(nk)
.L) A(d) = .L) IT;
d k-1 -
fl.
Yl ~, G(nk)
~ B(d) =..:... --.--.
d k=l k
--
1/
no.Hb3YHCb cpyHI<I.].Hei:f NLe 6nyca H npaBH.HOM o6paUJ,CIII1H cyM!\Ibl
JIHTCJIHM ([2], CTp. 37), MOJKHO npe,'l.CTaBHTb CpOpMyJibl ( 4) B BH,UC
A(n)= ~ ft - ~ - -.- , B(n)- ~ fl - ~ --.• - . Yl (n)·. ~F(dk). _ Yl ('n) ~G(dk)
d d k= l k d d k=l k
- -n n
(4)
no l l.C-
(5)
PacowTpH:<.I cnepna I<Jiacc A- I<Jiacc i\IyJtbTH!lJIIIKaTHBHbiX cpyiii<I.J.HH,
T. c. <pyHI<L~HH, y,n:on.n emopmomux ycJIOBHIO F (n 1 n2 ) = F (n!)F (n2) np11 mo-
6biX B 3 aHl\IHO IlpOCTblX 11 1 H 112.
TiyCTb ll = p';•p~' . .. p;'r - pa3JJO)KCJJHC n Ha CTC!lCHH npOCTbiX MHOJJ01TC
.neii , a ;r npo6eraeT nee npocTbiC <~HCJJa, He ;J,e.nnume 11. HeTpy,QHO nposepHTb,
<ITO
H . .'! I!
' " F(p"+l)
~F(nk) fli' (p ) + - p,- + ...
~IT = M F''(p- )--=F:=-c' (;-p-;;c2)-- '
- f.- 1 + - p 8 - + p -2S- + • • '
(6)
M= n(1 + F(.?) + F(~2) + .. ·)'
lJ q
q
a q npo6eraeT nee npoCTbie tJHC.n a.
1 ,.,F(nk)
0TCIO,Ua CJi l\QYCT, tJTO - - ~ - -- CCTh i\ty.JJbTHilJIHKClTHBI·IaH cpyHK
M k-1 ks
I.].I!H OT II, a TClK I<aK COfJiaCHO (5)
~ l1~ = .L) u (!!._) _!_ l;F (dk)
M d ' d M k=t k' '
A(n )
TO~ Ti1IOJ\ C i\!j'.71hTH!l5IlKi1Tl:ImaH <j)yiii<l.UIH OT II ([2J, CTp. 35) .
A (n)
Tai<Inr o6p a30i\ I , BbJlll!C.'IHB 3 JratrCHHC 111- :VIH n, p asuo ro p", 1\lbi Jr e n;o
A ( n) "' I I ., ,, ( )
IlOJiytiH:\1 3 H<.l<!CIIHC -xr npH JIIOUO~! 11 . - 0 B CJ-l.'IY CBOHCTB 'l)Y HKI.].HH ,t t. n
1 , 1 ~F(p"h)- F(p" - 1/t.) (?)
M A (p'·) = M ~ k' - .
k= I
CorJiacno (G)
F(p"+l)
F(p") + - --. - - + 0 0 1 00 F(pall) p" o -- I - ----- = --· ------_ ------
M k = l k• 1 + !_(p~ + F~p_J + p' p 28 o o o
DoJimKHM F(n) =I f(d), qc\t o,n:H03 HaqJJO onpe,ri emi CTC51 f (n) 0 Tor.na
d
"
cpop lltyJia (8) IIpHliiCT BH}:(
f(!/'+l)
1 f (p") + - -p.--- . + 0 0 0
MA (p") = - 1 + f(p) 1 + f(p) + t(//i) - - =
1 + --.- + - --......,-;-----· + 0 0 0 p p-s
[(pa) + f(p:~J + 0 0 •
fJ
= -( ·- 1--l (. f(pf f(j}-) ---) .
1- [l) 1 + /i -+ j)~s + 0 0 0
A(n)
0TCIOJ1:3 B CII.'Iy lllYJibTHITolHKaTHBIIOCTH -J[ · Jf l\I CCM
Bbipn3H;\I Tenepb M qepe3 f (n) 0 Cor: IaCHO (6)
M = n (1 + 1 + tJYl + !_:}_-t(q) + t<q~) + .. ·) =
q" q2s
q
= s(s). n(1 + f(?l + f(?:J. + 0 0 0),
q q-•
q
r .ne q npo6cr aeT nee rrpocTbJe qncJJao
0TCJO,n:a H H3 (9) C"lC.LI.YCT .
(9)
Ho B CIWY \I.Y.!Ibnll1.'Jll!{3THiiHOCnr f (n)
" f(pa+l)
n(1 + r<?l + t<;:> + .. ·). n !__~) + - !!--~~-.-~-~ = i;t<~k> oo>
'I q q , 1 + /(~) + !jp2 ) + . . . k=1 k
-;~ p p s
H, c.rJe;~oBaTeJibHO,
( 11)
Depeii;J,ei\r Terrepb K paccMoTpemno K.'lacca 5 .:1orapmjBIOB ~ryJrbTHnJIH
IWTHBHbiX cpymm:Hi1, y;J,OBJieTBopmomHx, Ol!CBHJJ.HO, yc.nonnro F (nt n2) =
= F(nt)+ F(n2) JJ.JIH B3aHMHO npocTbrx n1 11 n2.
1l.oKmKer1r, 'ITO A (n) = 0, eCJm n > 1 H nepamro CTeneHH npoCToro 'IHCJia.
no.naraH, K3K H paHee, F (n) =It (d)' a II = Ht II;!, r ;l.C lit II ll"] B3a-
"
HMI!O rrpOCTbl .H > 1, 6y JJ,Ci\l HM.CTb
f(nl n2) = f .U ( ~) F (d) = .p.u (~~) ,u (~) [F(d1) + F(d2)] =
n n 1
13 CH.TJY H3BCCTHOrO CBOHCTBa p. (n).
CouiacHo (5)
~ {n) ,.,F(dli) ~ 1 ~ (n) , A(n) =~,a d ~ ~k,- = ~ Ji: ~ .u d F(dR).
!!_ \ k = 1 • k = l ;_I_
(12)
1l
EcJm k n n B3aHMIIO npoCTbi, TO rrocJIC;J.HHH cyMMa pamra
F(k) f ft ( ~) + f ft (;) F(d) = f(n) = 0
ITO ,ll,OK333HHOMY Bb!WC.
EcJm )Ke fl 'II n = p':• . . p~r HMCIOT o6ttLHH HaH60JiblllHH /LCJIHTC.TJb
p;• ... p;1r, TO B CHJIY CBOHCTB ,fl(11) l\10)KHO orpaHJJl!HTbC51 rrpH cyM
MHpOBailHH B ( 12) 3H3'ICHH5IMH d = p~·-1 . . . p~r-1 • d', r,ue d' rrpo6eraeT
n'
Bee JJ.CJIHT.CJIH Pt . Pr = n'. TorJJ,a, o6o3Hal!HB - = nh HMCCi\I
pj
f·u (~) F(dk)= f ,u (::) F(p~•+/3,-1 ••. p;r+flr-1 d') =
- --;;;
'ITO H JJ.OKa3biBaeT Harne yTnep)I{JJ,eHue JJ.JIH A (n).
-156
a- F(k)
OlieBH.ll.HO TaiOKC, liTO A (I) =--, 2: -k.--- .
k=1
H e Bh!ITHCblB3H BCCX TO:.KJLCCTB, KOTO]lbl(' :Iei'KO IJOJIY4 <1 JOTCH H3 OCHOB
I!OfO TOiK,ll,ecma (3) B rrpc}l, rrOJI m K CHHH, liTO cpymuLHH F ( n), G ( n) mm O,ll,Ha
H3 I-!HX B 3HTbl Il3 K.'IaCCOI3 A. .' IIIUO 13, I\ I bl 0 DICTIDI IICKOTO]lb! C TO)KJ-LCCTB3 K3K
npH:vre pbr rrpHJIO:.KeiiHH p acci\ raTpu13ac;-.roro MeTo}l,a.
LI.JIH c Jry li a H, KOr,ll,a F(n) H G(n) MY.' IhTif!Wm<aTHI3IIbiC cpyHI<UHH, HMee M
COr J!aCHO (3) H (II)
l-.!'(n)f!__(!!) = s(s) i;Cfl· (n) i;f(nk) i;g(nl) (13)
n= l n '' n= l n '' k = 1 k ' 1= 1 r ,
r.ue F(n)=;!;f(d) 11 G(n)=;!;g(d).
d d
1l II
PaccMOT]l'Hl\1 lia CTHbi e cJiyl!aH :noro TO)KJLCCTI3a.
I) IloJIO)h:H:\1 f(n)=rp,.(n); g(n)=rpv (n). T or.ua P(n)=n" H G(n)=nv.
Cor.IIaCHo (I 0) H MeeM
, , f(nk) = fl(l + rp,,~q) + f(u!_~] + .. ·) X
~ k R q q2>
- q
j;g(nl) _ ~(s-v) Cflv(n) n'
1 = I --y - - ~(s) -- -;p;(n) '
liTO nocJJc n O,'LCT a HOBKH 13 ( 13 ) :-LaeT TOil\ .l.CCTBO, noJryl! e HHoe H . Il. PoMa H o
BbiM 13 [I] (CTp. :33 ),
.f ~v-~n) cp,. (n) = S (s) S (s ---: u- ?JJ .
n=1 q•. (n) ~(s-uh(s-v)
2) IloJIO)KHM f(n) = na, g(n) = n". Tor.ua F(n) = na; G(n) = ab, r )Le
C1a= ;!;d"', H !10,ll,CT 3HOI3Ka B (13) ,ll,3CT
d
n
1: aa (n)~h(n) = ~(~s(s-a)~(s-b)s(s-a-b)
n= l ll 1;(2s-a-b)
(14)
3ro TO)K,ll,eCTI30 .uaHo 6 e3 .uoKa3aTeJibCTBa PaMaHy)KaHoM 13 [3] H .uoKa-
3aiW BHJibCOIIOM 13 [4].
7. YK pamtcKnA MaTc~taT. iKypn aJI, T. V . ."\'). 4. 457
4acTHbiH cJJyqaJ1 ~nora TO)!{,ll.eCTBa MO)KHO nailn:1 y HmaMa [5] (cTp. 116}
B BH,ll.e
i; I a.,i (n) 1~
n= l n'
?? (s) ~(s + yi) '(s- yi)
q2s) (s> 1).
3) DycTb f (n) -- npoH3B0.1b~JaH , BnOJIHe MYJibnmmJKaTHBHaH <PYHKU.HH,
Tor,ll.a TO)!{,ll.ecmo (13) npHMeT BH,ll,
1
nyCTb g(n)= f(n).
j;F(n}F_1 (n) = ~ 2 (s) .i;f(k) J;_ l __
n=l n' ~ ~2s) k=l k' k=l f(k) 1/ .
4) DycTb F(n)=l(~)' r,ll.eJ.(n) <PYHKUHH J1uynrwJJH, onpe,ll.eJJHeMaH
n
ycJJOBHeM J.(n)=(-l)a,+a,-f-, .. +a,. npH n=p~• ... p~r, a G(n)=Inn. Tor,ll.a
- (n) 00 'A(dk) 00 ).(k) (n) t;(2s) r
A (n)- _Eft d ..E-r = ,E k .- ,Eft d 'A(d)= r (s) l..(n}2;
d k=l k - 1 d ~
JL n
B(n)=...:... fl - ..,.;;.. - --·.- =...:... - .- ..,.;;.. ft - +...:...-....:... ft - ln d. op (n ') ~ln(dk) -\',Ink op (n) ~ 1 op (n)
d d ; k= l k k=l k d d k=l k d d
- -
0TCIO,ll.a CJJe,ll.yeT, tJTO npH n > 1 B(n)=,(s}A(n), r,ll.e A(n) - H3-
necTHa5l <PYHKUHH MaHrOJib,ll.Ta, a B (1) =- ~' (s).
no,ll.CTaBJJ5l5l HaH,li,CHHbJe 3!-latJeHHH A (n) .ll B (n) B TQ)K,li,CCTBO (3)' noCJJC
3JJeMeHTapHbiX npeo6pa30B3HHH IIOJJYtJHM
~ 'A (n) A(n) • 2' = ~~ (sg (2s)- t;(sH"~~2s).
::=, fJJ,(n) 2 '(.s)·~(2s) '
3,ll.eCb r eCTb tJHCJJO pa3JIHtJHbiX npOCTbiX ,ll.eJ1HTeJieH ll.
JUHEPATYPA
I 0 H . rr. p 0 M a H 0 B, ITpocrpaHCTBO fHJib6'epra H reopHH 'lHCCJI, lbBCCTI!H AH CCCP,
CepHH MaT., T. J0 (1946), 3:-34.
2. H. M. B 11 H or p a .non, Ocnonbl reopnn •mceJI, 1!3/(. 8, fTTH , M.-JI., 1949.
3. S. R. am an 11 j an, Some formulae in the analytic theory of numbers, Messenger
of Math., 46 (1915), BI-84.
4. B. M. W i Is on, Proofs of some formulae en'unciated by R.amanujan, Proc. Lon
don. Math. Soc., vol. 21 (1922), 235-255.
5. A. E. I1 u r a M, Pacnpe.ncJieune npocrb!X •mceJI, focreXH3.nar, M.-JI., I 926.
f10.'lY'ICHa 23 MapTa 1953 r.
0.1{ecca.
0453
0454
0455
0456
0457
0458
|
| id | umjimathkievua-article-7758 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:40Z |
| publishDate | 1953 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/70/0069ba502d4a12f458209a4971e0be70.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77582023-08-15T10:11:31Z О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций Котелянский, Д. М. Котелянский, Д. М. В работе „Пространство Гильберта и теория чисел" И. И. Родманов указал метод, позволяющий но одной данной ортонормированной последовательности элементов {αn} гильбертова пространства Н строить в Н бесконечное множество ортонормированных последовательностей { βn} арифметического характера. В работе „Пространство Гильберта и теория чисел" И. И. Родманов указал метод, позволяющий но одной данной ортонормированной последовательности элементов {αn} гильбертова пространства Н строить в Н бесконечное множество ортонормированных последовательностей { βn} арифметического характера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1953-11-09 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7758 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 5 No. 4 (1953); 453-458 Український математичний журнал; Том 5 № 4 (1953); 453-458 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7758/9446 Copyright (c) 1953 Д. М. Котелянский |
| spellingShingle | Котелянский, Д. М. Котелянский, Д. М. О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_alt | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_full | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_fullStr | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_full_unstemmed | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_short | О методе Н. П. Романова получения тождеств для арифметических функций |
| title_sort | о методе н. п. романова получения тождеств для арифметических функций |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7758 |
| work_keys_str_mv | AT kotelânskijdm ometodenpromanovapolučeniâtoždestvdlâarifmetičeskihfunkcij AT kotelânskijdm ometodenpromanovapolučeniâtoždestvdlâarifmetičeskihfunkcij |