Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths
UDC 517.5 In the space  $L_2[(0,1);x],$  by using a system of functions $\left\{ \widehat{J}_{\nu}(\mu_{k,\nu} x) \right\}_{k \in \mathbb{N}},$ $\nu \geqslant 0,$  orthonormal with weight $x$ and formed by the Bessel funct...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7763 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512748229623808 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. Vakarchuk, M. Вакарчук, Сергій Вакарчук, Михайло |
| author_facet | Vakarchuk, S. Vakarchuk, M. Вакарчук, Сергій Вакарчук, Михайло |
| author_sort | Vakarchuk, S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:14Z |
| description | UDC 517.5
In the space  $L_2[(0,1);x],$  by using a system of functions $\left\{ \widehat{J}_{\nu}(\mu_{k,\nu} x) \right\}_{k \in \mathbb{N}},$ $\nu \geqslant 0,$  orthonormal with weight $x$ and formed by the Bessel function of the first kind of  index $\nu$ and its positive roots, we construct the generalized finite differences of the  $m$th order $\Delta^m_{\gamma(h)}(f),$ $m \in \mathbb{N},$ $h \in (0,1),$ and the generalized  characteristics of smoothness  $\Phi^{(\gamma)}_{m}(f,t)= (1/t) \displaystyle\int\^t_0\|\Delta^m_{\gamma(\tau)}(f)\| d \tau.$ For the classes  $\mathcal{W}^{r,\nu}_2(\Phi^{(\gamma)}_{m}, \Psi)$ defined by using the differential operator  $D^r_\nu,$ the function $\Phi^{(\gamma)}_{m}(f),$ and the majorant  $\Psi,$ we establish estimates from the lower and upper of the values of a series of $n$-widths. A condition  for $\Psi,$ which allows us to compute the exact values of $n$-widths is established. To illustrate our exact results, we present several specific examples. We also consider the problems of absolute and uniform convergence of Fourier–Bessel series on the interval $(0, 1).$ |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i2.7763 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i2.7763
УДК 517.5
Сергiй Вакарчук1 (Унiверситет iменi Альфреда Нобеля, Днiпро),
Михайло Вакарчук (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара)
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ
КЛАСIВ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI \bfitL \bftwo [(\bfzero , \bfone );\bfitx ]
ТА ОЦIНКИ ЗНАЧЕНЬ ЇХ \bfitn -ПОПЕРЕЧНИКIВ
In the space L2[(0, 1);x], by using a system of functions
\Bigl\{ \widehat J\nu (\mu k,\nu x)
\Bigr\}
k\in \BbbN
, \nu \geq 0, orthonormal with weight x and formed
by the Bessel function of the first kind of index \nu and its positive roots, we construct the generalized finite differences
of the mth order \Delta m
\gamma (h)(f), m \in \BbbN , h \in (0, 1), and the generalized characteristics of smoothness \Phi
(\gamma )
m (f, t) =
(1/t)
\int t
0
\| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| d\tau . For the classes \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) defined by using the differential operator Dr
\nu , the function
\Phi
(\gamma )
m (f), and the majorant \Psi , we establish estimates from the lower and upper of the values of a series of n-widths. A
condition for \Psi , which allows us to compute the exact values of n-widths is established. To illustrate our exact results, we
present several specific examples. We also consider the problems of absolute and uniform convergence of Fourier – Bessel
series on the interval (0, 1).
У просторi L2[(0, 1);x] завдяки ортонормованiй з вагою x системi функцiй
\Bigl\{ \widehat J\nu (\mu k,\nu x)
\Bigr\}
k\in \BbbN
, \nu \geq 0, яка утворена
з функцiї Бесселя першого роду iндексу \nu та з її додатних коренiв, побудовано узагальненi скiнченнi рiзницi m-го
порядку \Delta m
\gamma (h)(f), m \in \BbbN , h \in (0, 1), й узагальненi характеристики гладкостi \Phi (\gamma )
m (f, t) = (1/t)
\int t
0
\| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| d\tau .
Для класiв \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), означених за допомогою диференцiального оператора Dr
\nu , функцiї \Phi (\gamma )
m (f) та мажоранти
\Psi , отримано оцiнки знизу та зверху значень низки n-поперечникiв. Знайдено умову на \Psi , яка дозволяє обчислювати
точнi значення n-поперечникiв. Для iлюстрацiї точних результатiв наведено кiлька конкретних прикладiв. Також
розглянуто питання щодо абсолютної та рiвномiрної збiжностi рядiв Фур’є – Бесселя на iнтервалi (0, 1).
1. Вступ. 1.1. Iснує не так багато методiв отримання розв’язкiв задач математичної фiзики в
явному виглядi. Серед них важливе мiсце належить методу Фур’є, який базується на теоремах
про розклади за рiзними ортогональними системами функцiй. Проаналiзувавши зазначенi сис-
теми, можна дiйти висновку, що серед них практично не зустрiчаються ортогональнi розклади,
якi не є розкладами за власними функцiями задачi Штурма – Лiувiлля або не є аналогами таких
розкладiв.
Нагадаємо, що майже всi спецiальнi функцiї (в тому числi i цилiндричнi), якi мають за-
стосування в математичнiй фiзицi, виникають у зв’язку з вивченням власних функцiй задачi
Штурма – Лiувiлля та її аналогiв.
Розглянемо у цьому зв’язку множину L2[(0, 1);x] функцiй f : (0, 1) \rightarrow \BbbR , для кожної з
яких функцiя
\surd
xf(x) є сумовною з квадратом на iнтервалi (0, 1). Ця множина є лiнiйною.
Пiсля введення скалярного добутку (f, g) =
\int 1
0
xf(x)g(x)dx, де f, g \in L2[(0, 1);x], i норми
\| f\| := \| f\| L2[(0,1);x] =
\sqrt{}
(f, g) ця множина перетворюється в гiльбертiв простiр. Очевидно, що
\| f\| = \|
\surd
xf(x)\| L2[(0,1)]. Далi будемо використовувати також звичайний простiр L2[(0, 1)].
Нагадаємо, що вираз
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: sbvakarchuk@gmail.com.
c\bigcirc СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК, 2024
198 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 199
J\nu (x) =
\sum
k\in \BbbZ +
( - 1)k
\Gamma (k + \nu + 1)\Gamma (k + 1)
\Bigl( x
2
\Bigr) 2k+\nu
, (1.1)
де \nu \geq 0, а \Gamma — гамма-функцiя, є функцiю Бесселя першого роду з невiд’ємним iндексом \nu .
Ряд у правiй частинi (1.1) є збiжним при будь-яких значеннях x \in \BbbR , а коренi рiвняння
J\nu (x) = 0 (1.2)
є дiйсними та простими, окрiм, можливо, значення 0. Вони розташованi симетрично щодо точки
0 i не мають скiнченних граничних точок. Додатнi коренi рiвняння (1.2) можна пронумерувати,
розташувавши їх у порядку зростання, тобто 0 < \mu 1,\nu < \mu 2,\nu < . . . < \mu n,\nu < . . . , оскiльки, як
вiдомо [1, гл. V, § 23, пункти 1, 4], їх множина є злiченною. З асимптотичного виразу функцiї
Бесселя (1.1), а саме
J\nu (x) =
\sqrt{}
2
\pi x
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
x - \pi
2
\nu - \pi
4
\Bigr)
+O(x - 3/2), x\rightarrow +\infty ,
випливає наближена формула для коренiв рiвняння (1.2): \mu k,\nu \approx 3\pi
4
+
\pi
2
\nu + k\pi .
1.2. Нехай \nu \geq 0. Розглянемо оператор
\scrL \nu u(x) := - (xu\prime (x))\prime +
\nu 2
x
u(x), 0 < x < 1, (1.3)
областю визначення якого є множина двiчi неперервно диференцiйовних на iнтервалi (0, 1)
функцiй u(x), для яких
u(x) = O(x\rho ) при x\rightarrow 0 + i u(1) = 0, (1.4)
де \rho := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1). При цьому виконується умова x - 1/2\scrL \nu u(x) \in L2[(0, 1)].
Для крайової задачi на власнi значення
\scrL \nu u(x) = \lambda xu(x), 0 < x < 1,
при виконаннi граничних умов (1.4) кожне власне значення \lambda k,\nu дорiвнює \mu 2k,\nu . Нагадаємо, що
\{ \mu k,\nu \} k\in \BbbN є злiченною множиною додатних коренiв рiвняння (1.2), розташованих у порядку
зростання їх величин. Таким чином, маємо 0 < \lambda 1,\nu < \lambda 2,\nu < . . . < \lambda n,\nu < . . . .
Елементи послiдовностi \{ J\nu (\mu k,\nu x)\} k\in \BbbN , утворенi за допомогою функцiї Бесселя (1.1), є
власними функцiями зазначеної вище крайової задачi й утворюють ортогональну систему у
просторi L2[(0, 1);x], тобто
1\int
0
xJ\nu (\mu k,\nu x)J\nu (\mu n,\nu x)dx =
\left\{
0, якщо k \not = n,
1
2
(J\nu +1(\mu k,\nu ))
2, якщо k = n,
яка є повною (див., наприклад, [1, гл. V, § 23, пункти 5, 7]). Очевидно, що тодi система функцiй\Bigl\{ \widehat J\nu (\mu k,\nu x)\Bigr\}
k\in \BbbN
, (1.5)
де \widehat J\nu (\mu k,\nu x) := J\nu (\mu k,\nu x)/\| J\nu (\mu k,\nu (x)\| , буде ортонормованою та повною у просторi L2[(0, 1);x]
(див., наприклад, [2, гл. 4, § 1, теорема 5]).
Використовуючи вказанi факти, розглянемо низку питань, пов’язаних з розв’язанням
екстремальних задач оптимiзацiйного змiсту в гiльбертовому просторi L2[(0, 1);x].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
200 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
2. Найкраще наближення функцiй у просторi \bfitL \bftwo [(\bfzero , \bfone );\bfitx ] та побудова характеристики
гладкостi його елементiв. 2.1. Довiльнiй функцiї f \in L2[(0, 1);x] поставимо у вiдповiднiсть
її ряд Фур’є – Бесселя за ортонормованою системою (1.5)
f(x) \sim
\sum
k\in \BbbN
\widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x), (2.1)
де
\widehat ck,\nu (f) := 1\int
0
xf(x) \widehat J\nu (\mu k,\nu x)dx, k \in \BbbN , (2.2)
— коефiцiєнти Фур’є – Бесселя функцiї f. Запишемо частинну суму перших n членiв ряду (2.1),
тобто
Sn(f, x) :=
n\sum
k=1
\widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x).
З повноти ортонормованої системи (1.5) у просторi L2[(0, 1);x] випливає, що для довiльної
функцiї f з цього простору її ряд Фур’є – Бесселя (2.1) збiгається до неї в середньому, тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| f - Sn(f)\| = 0 (2.3)
i виконується рiвнiсть Парсеваля (див., наприклад, [3, гл. 1, § 4, пункт А])
\| f\| =
\sum
k\in \BbbN
\widehat c 2k,\nu (f).
Нехай
\scrT n,\nu :=
\Biggl\{
qn(x) =
n\sum
k=1
ak \widehat J\nu (\mu k,\nu x) : ak \in \BbbR , k = 1, n
\Biggr\}
, n \in \BbbN , \nu \geq 0,
— пiдпростiр „полiномiв” розмiрностi n, побудований за допомогою перших n функцiй систе-
ми (1.5). Для довiльної функцiї f \in L2[(0, 1);x] символом En(f), n \in \BbbN , позначимо її найкраще
наближення елементами пiдпростору \scrT n,\nu в L2[(0, 1);x], тобто
En(f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - qn\| : qn \in \scrT n,\nu \} .
Згiдно з теоремою Теплера [2, гл. 4, § 1] маємо
En(f) = \| f - Sn(f)\| =
\left\{ \sum
k\in \BbbN (k\geq n+1)
\widehat c 2k,\nu (f)
\right\}
1/2
. (2.4)
Наближення фiксованої множини \frakM \subset L2[(0, 1);x] пiдпростором \scrT n,\nu дорiвнює
En(\frakM ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ En(f) : f \in \frakM \}
i характеризує вiдхилення \frakM вiд \scrT n,\nu у метрицi простору L2[(0, 1);x].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 201
Нагадаємо означення поперечникiв, якi будемо використовувати далi. Нехай \frakM — опукла
центрально-симетрична множина функцiй у просторi L2[(0, 1);x]; \BbbB — одинична куля в цьому
просторi; \scrL n \subset L2[(0, 1);x] — n-вимiрний пiдпростiр; \scrL n \subset L2[(0, 1);x] — пiдпростiр кови-
мiрностi n; V : L2[(0, 1);x] \rightarrow \scrL n — неперервний лiнiйний оператор; V \bot : L2[(0, 1);x] \rightarrow \scrL n
— неперервний оператор лiнiйного проєктування; \{ vj\} nj=1 — ортонормована система функцiй у
просторi L2[(0, 1);x]. Тодi величини
bn(\frakM , L2[(0, 1);x]) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset \frakM \} : \scrL n+1 \subset L2[(0, 1);x]\} ,
dn(\frakM , L2[(0, 1);x]) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| : g \in \scrL n\} : f \in \frakM \} : \scrL n \subset L2[(0, 1);x]\} ,
\delta n(\frakM , L2[(0, 1);x])
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - V (f)\| : f \in \frakM \} : V L2[(0, 1);x] \subset \scrL n\} : \scrL n \subset L2[(0, 1);x]\} ,
dn(\frakM , L2[(0, 1);x]) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f\| : f \in \frakM \cap \scrL n\} : \scrL n \subset L2[(0, 1);x]\} ,
\Pi n(\frakM , L2[(0, 1);x])
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - V \bot (f)\| : f \in \frakM \} : V \bot L2[(0, 1);x] \subset \scrL n\} : \scrL n \subset L2[(0, 1);x]\} ,
\varphi n(\frakM , L2[(0, 1);x]) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
n\sum
j=1
(f, vj)\gamma vj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| : f \in \frakM
\right\} : \{ vj\} nj=1 \subset L2[(0, 1);x]
\right\}
є вiдповiдно бернштейнiвським, колмогоровським, лiнiйним, гельфандiвським, проєкцiйним
n-поперечниками множини \frakM у просторi L2[(0, 1);x], а величина \varphi n — n-ортопоперечником
(або n-поперечником Фур’є) для \frakM в L2[(0, 1);x] (див., наприклад, [4]). Оскiльки L2[(0, 1);x] з
введеним у ньому скалярним добутком є гiльбертовим простором, то перерахованi екстремальнi
характеристики множини \frakM \subset L2[(0, 1);x] пов’язанi спiввiдношеннями
bn(\frakM , L2[(0, 1);x]) \leq dn(\frakM , L2[(0, 1);x]) \leq dn(\frakM , L2[(0, 1);x])
= \Pi n(\frakM , L2[(0, 1);x]) = \delta n(\frakM , L2[(0, 1);x])
= \varphi n(\frakM , L2[(0, 1);x]) \leq En(\frakM ). (2.5)
2.2. Важливого змiсту в наших подальших дослiдженнях набуває формування характеристик
гладкостi функцiй у просторi L2[(0, 1);x], за допомогою яких можна отримати нерiвностi типу
Джексона, а також побудувати низку класiв, заснованих на використаннi цих характеристик, та
обчислити значення (бажано точнi) рiзних n-поперечникiв таких класiв.
Вiдомою характеристикою структурних властивостей функцiї є величина, яку називають
модулем неперервностi. Нагадаємо, що у 1911 роцi Д. Джексон вперше оцiнив найкраще рiв-
номiрне наближення неперервної 2\pi -перiодичної функцiї тригонометричними полiномами по-
рядку не вищого n - 1 через її модуль неперервностi. Пiзнiше, у 1951 роцi, С. Б. Стечкiн отримав
нерiвнiсть вказаного типу, але вже для модуля неперервностi m-го порядку, m \in \BbbN , m \geq 2. У
подальшому зусиллями багатьох математикiв нерiвностi типу Джексона було розповсюджено
на простори Lp([0, 2\pi ]), 1 \leq p < \infty , вимiрних 2\pi -перiодичних функцiй та на певнi простори
функцiй багатьох змiнних, що заданi як на класичних многовидах типу тор, гiперболоїд, сфера
тощо, так i на многовидах достатньо загальної природи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
202 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Роботи Дж. Бомана i Х. С. Шапiро [5] та Дж. Бомана [6] заклали основи для побудови
бiльш узагальнених характеристик гладкостi функцiй, за допомогою яких вдалося отримати
низку змiстовних результатiв при розв’язаннi деяких екстремальних задач конструктивної теорiї
функцiй. Це знайшло вiдображення у монографiях З. Дiтцiана та В. Тотiка [7] i Б. Сендова та
В. Попова [8], а також у роботах багатьох математикiв (див., наприклад, [7 – 39]). Аналiзуючи
за допомогою вказаних робiт рiзнi пiдходи до побудови узагальнених характеристик гладкостi,
можна виокремити декiлька напрямiв, пов’язаних, зокрема, як з формуванням таких характе-
ристик, так i з розв’язанням за їх участi низки екстремальних задач теорiї апроксимацiї та з
отриманням прямих та обернених теорем конструктивної теорiї функцiй тощо.
Це, по-перше, використання в якостi характеристики гладкостi функцiї її усередненого
локального модуля гладкостi або так званого \tau -модуля [8, 10, 11, 20, 27 (пункт 8)].
По-друге, використання скiнченних рiзниць (або їх узагальнень) шляхом усереднення без
обчислення точної верхньої гранi їх норм по параметру (кроку h) при побудовi узагальне-
них модулiв неперервностi. Так, у [9] в якостi такої характеристики було застосовано норму
iнтегрального усереднення по h > 0 звичайної скiнченної рiзницi r-го порядку, r \in \BbbN . У
подальшому в роботах [13, § 3] та [14] було запроваджено кiлька видiв характеристик гладкостi,
заснованих на певних видах усереднень норм скiнченних рiзниць функцiй. Зазаначенi пiдходи
отримали розвиток у роботах [21, 25, 27, 28, 30 (пункт 8), 33, 34].
По-третє, побудова у 2\pi -перiодичному випадку узагальнених модулiв неперервностi засно-
вана на певному узагальненнi норм скiнченних рiзниць шляхом використання неперервних,
невiд’ємних, ненульових 2\pi -перiодичних функцiй \varphi , таких що \varphi (0) = 0 [18, 29 (пункт 2), 32,
37 (пункт 2), 38 (пункт 2.2), 39 (пункт 2.2)].
По-четверте, використання узагальнених модулiв неперервностi, якi породженi певними
скiнченно-рiзницевими операторами зi сталими коефiцiєнтами [15, 17, 33, 35, 36].
По-п’яте, застосування узагальнених модулiв неперервностi першого та вищих порядкiв,
в яких замiсть звичайного оператора зсуву Fh(f, x) = f(x + h) використовують оператор
Стєклова
Sh(f, x) =
1
2h
x+h\int
x - h
f(\tau )d\tau , h > 0,
тобто Fh(f) = Sh(f) [19, 22, 23, 27, 29 (пункт 2), 33, 39].
По-шосте, використання у вагових гiльбертових просторах узагальнених модулiв неперерв-
ностi першого та вищих порядкiв, побудованих за допомогою операторiв узагальненого зсуву,
якi мiстять пiд знаком iнтеграла як дослiджувану i вагову функцiї, так i певну функцiю двох
змiнних з параметром h \in (0, 1) [4, 16, 26, 31].
Наведений перелiк, звiсно, не претендує на повноту, але, виходячи з аналiзу перерахованих
пiдходiв до побудови узагальнених характеристик гладкостi, найбiльш придатним та перспек-
тивним, на нашу думку, в дослiджуваному в цiй статтi випадку є шостий пiдхiд, а також
певна його композицiя з другим пiдходом. Тому далi зосередимося на зазначеному та зробимо
певне змiстовне узагальнення в конструкцiї оператора узагальненого зсуву, яке буде пов’язане
з параметром h.
2.3. Нехай L2[(0, 1);x] i L2[(0, 1); y] — два гiльбертових простори функцiй, залежних вiд
x та y вiдповiдно, а
\Bigl\{ \widehat J\nu (\mu j,\nu x)\Bigr\}
j\in \BbbN
i
\Bigl\{ \widehat J\nu (\mu k,\nu y)\Bigr\}
k\in \BbbN
— двi ортонормованi та повнi системи
функцiй з цих просторiв (див. пункт 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 203
Поклавши Q := \{ (x, y) : 0 < x, y < 1\} , позначимо через L2[Q;xy] гiльбертiв простiр функ-
цiй двох змiнних f : Q \rightarrow \BbbR , для кожної з яких функцiя
\surd
xyf(x, y) є сумовною з квадратом
на множинi Q, а скалярний добуток i норма визначаються за формулами
(f, g) :=
\int \int
Q
xyf(x, y)g(x, y)dxdy, f, g \in L2[Q;xy], i \| f\| 2 := \| f\| L2[Q;xy] =
\sqrt{}
(f, f).
Система функцiй \Bigl\{ \widehat J\nu (\mu j,\nu x) \widehat J\nu (\mu k,\nu y)\Bigr\}
j,k\in \BbbN
(2.6)
буде ортонормованою та повною у просторi L2[Q;xy]. Справдi, щоб переконатися в цьому,
достатньо скористатися лемою з [1, гл. I, § 1, пункт 9], вважаючи \psi k(y) := \widehat J\nu (\mu k,\nu y), k \in \BbbN , i
\psi \ast
jk(x) :=
\widehat J\nu (\mu j,\nu x), j, k \in \BbbN . Оскiльки при кожному k \in \BbbN маємо одну й ту ж систему функцiй
\{ \psi \ast
jk(x)\} j\in \BbbN , яка є ортонормованою та повною у просторi L2[(0, 1);x], то у вiдповiдностi з
зазначеною вище лемою система функцiй\bigl\{
\psi \ast
jk(x)\psi k(y)
\bigr\}
j,k\in \BbbN (2.7)
буде ортонормованою та повною у просторi L2[Q;xy]. Неважко переконатися в тому, що сис-
теми функцiй (2.6) i (2.7) тотожнi мiж собою.
Розглянемо на вiдрiзку [0, 1] довiльну неперервну, монотонно зростаючу функцiю \gamma (h), таку
що \gamma (0) = 0 i \gamma (1) = 1. Далi вважаємо, що h належить iнтервалу (0, 1) i є довiльним фiксо-
ваним числом. Позначимо через T\gamma (h)(x, y) функцiю з простору L2[Q;xy], яка при розкладi в
подвiйний ряд Фур’є – Бесселя за системою функцiй (2.6) має такi коефiцiєнти Фур’є – Бесселя:
cjk,\nu (T\gamma (h)) =
\left\{ (1 - \gamma (h))k, якщо j = k,
0, якщо j \not = k,
де j, k \in \BbbN , тобто для майже всiх (x, y) \in Q маємо вiдповiднiсть
T\gamma (h)(x, y) \sim
\sum
k\in \BbbN
(1 - \gamma (h))k \widehat J\nu (\mu k,\nu x) \widehat J\nu (\mu k,\nu y). (2.8)
З повноти системи (2.6) в L2[Q;xy] випливає її замкненiсть i, згiдно з рiвнiстю Парсеваля,
з (2.8) отримуємо
\| T\gamma (h)\| 22 =
\sum
k\in \BbbN
(1 - \gamma (h))2k =
(1 - \gamma (h))2
\gamma (h)(2 - \gamma (h))
<\infty ,
оскiльки \gamma (h) \in (0, 1) для будь-якого h \in (0, 1).
Символом F\gamma (h) позначимо оператор узагальненого зсуву, який для довiльної функцiї f \in
L2[(0, 1);x] визначається формулою
F\gamma (h)(f, x) :=
1\int
0
tf(t)T\gamma (h)(x, t)dt. (2.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
204 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Покажемо, що при будь-якому фiксованому значеннi h \in (0, 1) лiнiйний оператор F\gamma (h) є
обмеженим. Для цього, використовуючи (2.9) i нерiвнiсть Буняковського – Шварца, для довiль-
ного f \in L2[(0, 1);x] отримуємо
\| F\gamma (h)(f)\| =
\left\{
1\int
0
x
\left[ 1\int
0
(
\surd
tf(t))(
\surd
tT\gamma (h)(x, t))dt
\right] 2
dx
\right\}
1/2
\leq \| T\gamma (h)\| 2 \| f\| ,
де, як зазначено ранiше, \| T\gamma (h)\| 2 < \infty . Отримана вище нерiвнiсть вказує на те, що норма
оператора зсуву F\gamma (h) при будь-якому фiксованому значеннi параметра h \in (0, 1) є обмеженою,
тобто
\| F\gamma (h)\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| F\gamma (h)(f)\| : f \in L2[(0, 1);x], \| f\| \leq 1\} = Ch <\infty ,
де стала Ch залежить вiд h.
Нагадаємо коротко необхiдну для подальшого викладу iнформацiю. Якщо послiдовнiсть
функцiй \{ fn\} n\in \BbbN є збiжною в середньому квадратичному до функцiї f \in L2[(0, 1)], тобто
1\int
0
(fn(x) - f(x))2dx\rightarrow 0 при n\rightarrow \infty ,
то зазначена послiдовнiсть є збiжною до f i за мiрою, що позначається так: fn
=\Rightarrow
n\rightarrow \infty f. При
цьому, у вiдповiдностi з однiєю теоремою Ф. Рiсса (див., наприклад, [40, гл. II, § 3, теорема
3]), маємо якщо f i \{ fn\} n\in \BbbN є вимiрними та майже скрiзь (м.с.) скiнченними функцiями на
множинi X, \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (X) < \infty , i fn
=\Rightarrow
n\rightarrow \infty f, то iснує пiдпослiдовнiсть \{ fnj\} j\in \BbbN послiдовностi
\{ fn\} n\in \BbbN , яка є збiжною до функцiї f майже скрiзь на X, тобто fnj
- \rightarrow
j\rightarrow \infty f м.с. на X.
Лема 1. Нехай функцiя f \in L2[(0, 1);x] має розклад в ряд Фур’є – Бесселя (2.1) за орто-
нормованою системою функцiй (1.5). Тодi майже скрiзь на (0, 1) правильним є спiввiдношення
F\gamma (h)(f, x) =
\sum
k\in \BbbN
(1 - \gamma (h))k \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x), (2.10)
де h \in (0, 1) — довiльне фiксоване число.
Доведення. Розглянемо довiльну функцiю f \in L2[(0, 1);x] i послiдовнiсть її частинних сум
Фур’є – Бесселя \{ Sn(f)\} n\in \BbbN . Оскiльки оператор зсуву
F\gamma (h) : L2[(0, 1);x] \rightarrow L2[(0, 1);x]
є лiнiйним та обмеженим при будь-якому фiксованому значеннi h \in (0, 1), то, використовуючи
(2.3), маємо
\| F\gamma (h)(f) - F\gamma (h)(Sn(f))\| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Цей результат випливає з нерiвностi
\| F\gamma (h)(f - Sn(f))\| \leq \| F\gamma (h)\| \| f - Sn(f)\| .
Для зручностi позначень покладемо
\lambda n(f, x) :=
\surd
xF\gamma (h)(Sn(f), x), \scrF (f, x) :=
\surd
xF\gamma (h)(f, x). (2.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 205
Тодi наведений вище результат запишемо у виглядi
\| \scrF (f) - \lambda n(f)\| L2[(0,1)] \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Враховуючи, що звiдси маємо \lambda n(f)
=\Rightarrow
n\rightarrow \infty \scrF (f), у вiдповiдностi з теоремою Ф. Рiсса видiляємо
пiдпослiдовнiсть \{ \lambda nj (f)\} j\in \BbbN послiдовностi \{ \lambda n(f)\} n\in \BbbN , для якої
\lambda nj (f)
- \rightarrow
j\rightarrow \infty \scrF (f) м.с. на (0, 1). (2.12)
З урахуванням наведених позначень (2.11) для майже всiх x \in (0, 1) записуємо
\surd
xF\gamma (h)(f - Snj (f), x) = \scrF (f, x) - \lambda nj (f, x). (2.13)
Для функцiї T\gamma (h)(x, y), яка має розклад у подвiйний ряд Фур’є – Бесселя (2.8), покладаємо
Sn(T\gamma (h);x, y) :=
n\sum
k=1
(1 - \gamma (h))k \widehat J\nu (\mu k,\nu x) \widehat J\nu (\mu k,\nu y), n \in \BbbN .
Зазначимо, що
\| T\gamma (h) - Sn(T\gamma (h))\| 2 \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty . (2.14)
Нехай
\widetilde Sm,nj (T\gamma (h)) := Snj+m(T\gamma (h)), j,m \in \BbbN , (2.15)
lm(Snj (f), x) :=
\surd
x
1\int
0
tSnj (f, t)
\widetilde Sm,nj (T\gamma (h);x, t)dt. (2.16)
Використовуючи формули (2.9), (2.11), (2.15), (2.16), нерiвнiсть Буняковського – Шварца i спiв-
вiдношення \| Snj (f)\| \leq \| f\| , отримуємо
\| \lambda nj (f) - lm(Snj (f)\| L2[(0,1)]
=
\left\{
1\int
0
x
\left[ 1\int
0
\surd
tSnj (f, t)
\Bigl(
T\gamma (h)(x, t) - \widetilde Sm,nj (T\gamma (h);x, t)
\Bigr) \surd
tdt
\right] 2
dx
\right\}
1/2
\leq \| Snj (f)\| \| T\gamma (h) - \widetilde Sm,nj (T\gamma (h))\| 2 \leq \| f\| \| T\gamma (h)(x, t) - \widetilde Sm,nj (T\gamma (h))\| 2. (2.17)
З (2.14), (2.15) i (2.17) маємо
\| \lambda nj (f) - lm(Snj (f))\| L2[(0,1)] \rightarrow 0, m\rightarrow \infty ,
а це означає, що lm(Snj (f))
=\Rightarrow
m\rightarrow \infty \lambda nj (f). Звiдси, за теоремою Ф. Рiсса, випливає iснування
пiдпослiдовностi \{ lm\rho (Snj (f))\} \rho \in \BbbN послiдовностi \{ lm(Snj (f))\} m\in \BbbN , для якої
lm\rho (Snj (f))
- \rightarrow
\rho \rightarrow \infty \lambda nj (f) м.c. на (0, 1), (2.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
206 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
де, беручи до уваги (2.8), (2.15), (2.16), маємо
lm\rho (Snj (f), x) =
\surd
x
nj\sum
k=1
(1 - \gamma (h))k \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x), (2.19)
оскiльки nj+m\rho > nj , \rho \in \BbbN , а система функцiй \{ \widehat J\nu (\mu k,\nu x)\} k\in \BbbN є ортонормованою у просторi
L2[(0, 1);x]. Очевидно, що права частина формули (2.19) не залежить вiд m\rho , \rho \in \BbbN . Тому з
(2.18) отримуємо \lambda nj (f, x) = lm\rho (Snj (f), x) майже для всiх x \in (0, 1). Враховуючи зазначене
i (2.11), (2.19), записуємо спiввiдношення, яке також має мiсце для майже всiх x \in (0, 1):
\surd
xF\gamma (h)(f, x) = [\scrF (f, x) - \lambda nj (f, x)] +
\surd
x
nj\sum
k=1
(1 - \gamma (h))k \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x), j \in \BbbN .
Обчислюючи границю правої частини цього спiввiдношення при j \rightarrow \infty i використовуючи
формулу (2.12) для виразу у квадратних дужках, майже скрiзь на iнтервалi (0, 1) одержуємо
(2.10).
Лему 1 доведено.
За допомогою (2.1) i (2.10) для функцiї f \in L2[(0, 1);x] розглянемо узагальненi скiнченнi
рiзницi першого та другого порядкiв. Для майже всiх x \in (0, 1) запишемо вiдповiдностi
\Delta 1
\gamma (h)(f, x) := F\gamma (h)(f, x) - f(x) \sim
\sum
k\in \BbbN
\Bigl[
(1 - \gamma (h))k - 1
\Bigr] \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x),
\Delta 2
\gamma (h)(f, x) := \Delta 1
\gamma (h)(\Delta
1
\gamma (h)(f), x) \sim
\sum
k\in \BbbN
\Bigl[
(1 - \gamma (h))k - 1
\Bigr] 2 \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x).
Використовуючи метод математичної iндукцiї, при m = 3, 4, . . . для майже всiх x \in (0, 1)
отримуємо вiдповiднiсть
\Delta m
\gamma (h)(f, x) := \Delta 1
\gamma (h)(\Delta
m - 1
\gamma (h) (f), x) \sim
\sum
k\in \BbbN
\Bigl[
(1 - \gamma (h))k - 1
\Bigr] m \widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x). (2.20)
За допомогою рiвностi Парсеваля з (2.20) одержуємо
\| \Delta m
\gamma (h)(f)\|
2 =
\sum
k\in \BbbN
\Bigl[
1 - (1 - \gamma (h))k
\Bigr] 2m \widehat c 2k,\nu (f). (2.21)
З (2.21) i зазначених вище властивостей функцiї \gamma випливає, що величина \| \Delta m
\gamma (h)(f)\| є моно-
тонно зростаючою функцiєю h, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \| \Delta m
\gamma (h)(f)\| : h\rightarrow 0+\} = 0 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \| \Delta m
\gamma (h)(f)\| : h\rightarrow 1 - \} = \| f\| .
У зв’язку iз застосуванням у формулах (2.8) – (2.10), (2.20), (2.21) замiсть h функцiї \gamma (h)
нагадаємо, що ранiше З. Дiтцiан та В. Тотiк (див., наприклад, [7]) запропонували розглядати
специфiчнi модулi неперервностi \omega r
\varphi (f, t)p, r \in \BbbN , 1 \leq p \leq \infty , при розв’язаннi низки задач кон-
структивної теорiї функцiй у просторах Lp[(a, b)]. При формуваннi зазначених характеристик
гладкостi використовувались специфiчнi скiнченнi рiзницi r-го порядку \Delta r
h\varphi (x)(f), сформованi
за участi функцiй \varphi , на якi накладались певнi умови, тобто для майже всiх x на (a, b)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 207
\Delta r
h\varphi (x)(f, x) =
r\sum
k=0
( - 1)k
\Bigl( r
k
\Bigr)
f
\Bigl(
x+
\Bigl( r
2
- k
\Bigr)
h\varphi (x)
\Bigr)
,
де \Delta r
h\varphi (x)(f, x) := 0, якщо x + rh\varphi (x)/2 або x - rh\varphi (x)/2 не належать (a, b). Очевидно, що
при \varphi (x) \equiv 1 отримуємо звичайну скiнченну рiзницю r-го порядку \Delta r
h(f) з кроком h.
У якостi узагальненої характеристики гладкостi для функцiї f \in L2[(0, 1);x] розглянемо
величину
\widetilde \Omega (\gamma )
m (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| \Delta m
\gamma (h)(f)\| : 0 < h \leq t\} , (2.22)
де t \in (0, 1), m \in \BbbN . Оскiльки, за означенням, функцiя \gamma є монотонно зростаючою на iнтервалi
(0, 1), то з (2.21) та (2.22) маємо
\widetilde \Omega (\gamma )
m (f, t) = \| \Delta m
\gamma (t)(f)\| , t \in (0, 1). (2.23)
Слiд зазначити, що у частинному випадку, коли \gamma (h) = \gamma 1,1(h) := h, з (2.23) отримуємо
характеристику гладкостi \Omega m(f, t), яку вперше було запропоновано у [26], тобто \Omega m(f) =\widetilde \Omega (\gamma 1,1)
m (f). У подальшому цю величину було використано, зокрема, в роботах [4, 31].
На нашу думку, певною перевагою узагальненого модуля неперервностi m-го порядку\widetilde \Omega (\gamma )
m (f) є вiдсутнiсть у формулi (2.23) точної верхньої межi. Це значно розширює можли-
востi для отримання точних значень низки апроксимацiйних характеристик класiв функцiй,
визначених за його участi.
2.4. У цiй статтi в якостi характеристики гладкостi функцiї f \in L2[(0, 1);x] будемо розгля-
дати усереднення норми її узагальненої скiнченної рiзницi m-го порядку (2.20), тобто
\Phi (\gamma )
m (f, t) :=
1
t
t\int
0
\| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| d\tau , t \in (0, 1], m \in \BbbN . (2.24)
Зазначимо, що у (2.24) вважаємо \| \Delta m
\gamma (1)(f)\| = \| f\| . Згiдно з (2.23) формула (2.24) фактично
означає усереднення величини \widetilde \Omega (\gamma )
m (f). У проанонсованих у пiдпунктi 2.2 роботах [21, 24, 27,
30, 33, 34] подiбний ефект взагалi не спостерiгається.
У випадку, коли \gamma = \gamma 1,1, будемо вважати, що \Phi m(f) := \Phi
(\gamma 1,1)
m (f).
Розглянемо деякi властивостi величини (2.24) вважаючи, що функцiї f, f1, f2 є довiльними
елементами простору L2[(0, 1);x]:
1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0+\Phi
(\gamma )
m (f, t) = 0,
2) величина \Phi
(\gamma )
m (f, t) є неперервною та монотонно зростаючою на множинi 0 < t \leq 1,
3) \Phi (\gamma )
m (f1 + f2, t) \leq \Phi
(\gamma )
m (f1, t) + \Phi
(\gamma )
m (f2, t),
4) \Phi (\gamma )
m (f, t) \leq \| f\| .
Перш нiж сформулювати наступну властивiсть, розглянемо одне поняття. Будемо вважати,
що введена в пiдпунктi 2.3 функцiя \gamma належить множинi \frakN , якщо для довiльного значення
n \in \BbbN i h \in (0, 1/n) виконується нерiвнiсть
\gamma (nh) \leq nc\gamma (h), (2.25)
де c = c(\gamma ) — додатна константа, яка залежить лише вiд \gamma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
208 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Наведемо кiлька прикладiв таких функцiй. Так, для \gamma 1,\eta (h) := h\eta , \eta \in (0,\infty ), правильнiсть
спiввiдношення (2.25), в якому c = \eta , є очевидною. Зазначимо, що у випадку \eta = 1 маємо
\gamma 1,1 = h.
Нехай \gamma 2,\eta (h) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi h\eta /2), \eta \in (0,\infty ). Розглянемо допомiжну функцiю
l(h) := n\eta \gamma 2,\eta (h) - \gamma 2,\eta (nh)
i обчислимо її першу похiдну на iнтервалi 0 < h < 1/n, тобто
l\prime (h) =
1
2
\pi \eta n\eta h\eta - 1
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi h\eta
2
\biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi n\eta h\eta
2
\biggr) \biggr]
> 0.
Оскiльки l(0) = 0, то це означає, що l(h) > 0, якщо h \in (0, 1/n), i нерiвнiсть (2.25), де c = \eta ,
виконується для \gamma 2,\eta теж.
5) Нехай функцiя \gamma належить множинi \frakN i f є довiльною функцiєю з простору L2[(0, 1);x].
Тодi для будь-якого t \in (0, 1/n) має мiсце нерiвнiсть
\Phi (\gamma )
m (f, nt) \leq ncm\Phi (\gamma )
m (f, t). (2.26)
6) Для довiльного t \in (0, 1] виконується нерiвнiсть
\Phi (\gamma )
m (f, t) \leq \| \Delta m
\gamma (t)(f)\| .
Зазначимо, що властивiсть 1 випливає з першого правила Лопiталя; властивiсть 2 — з фор-
мули (2.21) та невiд’ємностi першої похiдної функцiї (2.24) завдяки монотонному зростанню по
\tau величини \| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| ; властивiсть 3 — з лiнiйностi оператора узагальненої скiнченної рiзницi
m-го порядку \Delta m
\gamma (\tau ) та нерiвностi трикутника для норми; властивiсть 4 — з формули (2.21);
властивiсть 6 — з монотонного зростання величини \| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| по \tau \in (0, t], t \leq 1.
Доведемо властивiсть 5. Для цього нам знадобиться формула
1 - tk = (1 - t)(1 + t+ . . .+ tk - 1),
де k \in \BbbN , t \in (0, 1), з якої маємо
1 - (1 - \gamma (t))k = \gamma (t)
k - 1\sum
j=0
(1 - \gamma (t))j . (2.27)
Використовуючи (2.27) i враховуючи, що функцiя \gamma (t) є монотонно зростаючою на iнтервалi
(0, 1) i такою, що 0 < \gamma (t) < 1, для 0 < \tau \leq t < 1 записуємо
1 - (1 - \gamma (t))k
1 - (1 - \gamma (\tau ))k
=
\gamma (t)
\gamma (\tau )
\sum k - 1
j=0
(1 - \gamma (t))j\sum k - 1
j=0
(1 - \gamma (\tau ))j
\leq \gamma (t)
\gamma (\tau )
, k \in \BbbN . (2.28)
Покладаючи в (2.28) t = n\tau , n \in \BbbN , \tau \in (0, 1/n), i використовуючи (2.25), одержуємо\Bigl[
1 - (1 - \gamma (n\tau ))k
\Bigr] 2m
\leq
\biggl\{
\gamma (n\tau )
\gamma (\tau )
\Bigl[
1 - (1 - \gamma (\tau ))k
\Bigr] \biggr\} 2m
\leq n2cm
\Bigl[
1 - (1 - \gamma (\tau ))k
\Bigr] 2m
. (2.29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 209
Iз спiввiдношень (2.21) i (2.29) отримуємо нерiвнiсть
\| \Delta m
\gamma (n\tau )(f)\| \leq ncm\| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| , \tau \in (0, 1/n). (2.30)
Для t \in (0, 1/n) з (2.24) маємо
1
t
t\int
0
\| \Delta m
\gamma (n\tau )(f)\| d\tau =
1
nt
nt\int
0
\| \Delta m
\gamma (h)(f)\| dh = \Phi (\gamma )
m (f, nt). (2.31)
Iнтегруючи по \tau обидвi частини нерiвностi (2.30) в межах вiд 0 до t, t \in (0, 1/n), помножуючи
обидвi частини отриманого таким чином спiввiдношення на величину 1/t i використовуючи
формули (2.24), (2.31), одержуємо нерiвнiсть (2.26). Властивiсть 5 доведено.
Покладаючи скрiзь далi \Phi
(\gamma )
m (f, 0) := 0, будемо розглядати вже неперервну на множинi
0 \leq t \leq 1 характеристику гладкостi \Phi (\gamma )
m (f, t) функцiї f \in L2[(0, 1);x].
3. Формулювання основних результатiв та наслiдкiв до них. На iнтервалi (0, 1) розгля-
немо диференцiальний оператор Бесселя з iндексом \nu \geq 0 (див., наприклад, [26])
D\nu :=
d2
dx2
+
1
x
d
dx
- \nu 2
x2
, (3.1)
покладаючи при цьому Dr
\nu f := D\nu (D
r - 1
\nu f) для r \in \BbbN , де D1
\nu := D\nu , D
0
\nu = \BbbI , \BbbI — одиничний
оператор у просторi L2[(0, 1);x]. Символом Lr
2[(0, 1);x], r \in \BbbN , позначимо множину функцiй
f \in L2[(0, 1);x], якi мають абсолютно неперервнi похiднi (2r - 1)-го порядку i для яких
функцiї Dr
\nu f належать простору L2[(0, 1);x]. У випадку, коли r = 0, будемо вважати, що
L0
2[(0, 1);x] \equiv L2[(0, 1);x].
Нехай \Psi (t), 0 \leq t \leq 1, — неперервна монотонно зростаюча функцiя, така що \Psi (0) = 0,
яку скрiзь далi будемо називати мажорантою. За допомогою характеристики гладкостi (2.24)
введемо до розгляду класи \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0, до яких належать функцiї
f \in Lr
2[(0, 1);x], що задовольняють умову \Phi
(\gamma )
m (Dr
\nu f, t) \leq \Psi (t) при будь-якому t \in (0, 1). У
випадку, коли r = 0, будемо писати \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) замiсть \scrW 0,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ).
Сформулюємо основнi результати статтi.
Теорема 1. Нехай n,m \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 i функцiя \Psi є мажорантою. Тодi має мiсце
спiввiдношення
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
\leq pn
\Bigl(
\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x]
\Bigr)
\leq En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi )) \leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
, (3.2)
де pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x]) є будь-яким з n-поперечникiв, перерахованих у пiдпунктi 2.1,
тобто колмогоровським, гельфандiвським, бернштейнiвським, лiнiйним, проєкцiйним ортопо-
перечником.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
210 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Наслiдок 1. Нехай виконано умови теореми 1 i мажоранта \Psi задовольняє умову
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (3.3)
Тодi справджуються рiвностi
pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x]) = En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi ))
=
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
, (3.4)
де pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x]) є будь-яким з n-поперечникiв, перерахованих у теоремi 1.
Теорема 2. Нехай m,n \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 i функцiя \Psi є мажорантою. Тодi має мiсце
спiввiдношення
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )
\widehat cn+1,\nu (f)
\leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (3.5)
Наслiдок 2. Нехай виконано умови теореми 2 i мажоранта \Psi задовольняє умову (3.3).
Тодi для довiльного n \in \BbbN правильною є рiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )
\widehat cn+1,\nu (f) =
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (3.6)
На наш погляд, одним з вагомих результатiв, сформульованих у цьому пунктi, є точнi значен-
ня низки екстремальних апроксимативних характеристик оптимiзацiйного змiсту, отриманих
для класiв \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0, а також знайденi точнi значення певних
лiнiйних функцiоналiв на цих класах. Слiд зазначити також ту особливу роль, яку вiдiграли
теореми 1 i 2 вiдповiдно, щоб вказане вище стало можливим.
Ще одним важливим результатом, що випливає з теорем 1 i 2, є наступна теорема, в якiй
вказано умови, завдяки яким вдається встановити рiвномiрну та абсолютну збiжнiсть рядiв
Фур’є – Бесселя (2.1) на iнтервалi (0, 1). Для цього використовуємо лише iнформацiю про
порядки коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя (2.2) функцiй f \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ).
Теорема 3. Нехай m,n, r \in \BbbN , \nu \geq 0 i функцiя \Psi є мажорантою, яка задовольняє умову
(3.3). Тодi для довiльної функцiї f \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) її ряд Фур’є – Бесселя (2.1) є абсолютно та
рiвномiрно збiжним на iнтервалi (0, 1). При цьому для кожного x \in (0, 1) його сума дорiвнює
f(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 211
4. Доведення теорем 1 i 2. 4.1. Доведення теореми 1. Будемо вважати в першiй його
частинi, що r = 0. Нехай f \in L2[(0, 1);x] — довiльна функцiя, яка нi при жодному n \in \BbbN не є
елементом пiдпростору \scrT n,\nu , означеного в пiдпунктi 2.1. Тодi величина її найкращого наближен-
ня пiдпростором \scrT n,\nu в L2[(0, 1);x] знаходиться за формулою (2.4). Виходячи з викладеного,
для довiльного j \in \BbbZ + зазначену величину можна записати у виглядi
E2
n(f) =
n+j+1\sum
k=n+1
\widehat c 2k,\nu (f) + \zeta j,\nu (f). (4.1)
З (2.4) та (4.1) випливає, що для кожного j \in \BbbZ + iснує єдине число \zeta j,\nu (f) > 0, яке залежить
лише вiд f. У випадку, коли f \in \scrT l,\nu , де l \in \BbbN i l > n, тобто f(x) =
\sum l
k=1
\widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x),\widehat cl,\nu (f) \not = 0, у вiдповiдностi з (2.4) i (4.1) числа \zeta j,\nu (f) будуть дорiвнювати нулю для всiх
j \geq l - n - 1. Цi два випадки ми не будемо розглядати окремо. Для числової послiдовностi
\{ \zeta j,\nu (f)\} j\in \BbbZ +
, утвореної згiдно з формулою (4.1), маємо \zeta j,\nu (f) \geq \zeta j+1,\nu (f) \geq 0 для будь-якого
j \in \BbbZ +. При цьому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
\zeta j,\nu (f) = 0. (4.2)
Нехай \tau \in (0, 1) — довiльне число. Використовуючи формулу (2.21), оцiнюємо зверху таку
суму:
n+j+1\sum
k=n+1
\widehat c 2k,\nu (f) = n+j+1\sum
k=n+1
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m
\widehat c 2k,\nu (f)
\leq 1
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]2m
\sum
k\in \BbbN
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m\widehat c 2k,\nu (f) = \| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\|
2
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]2m
.
Iз цього спiввiдношення отримуємо нерiвнiсть
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]m
\Biggl\{
n+j+1\sum
k=n+1
\widehat c 2k,\nu (f)
\Biggr\} 1/2
\leq \| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| . (4.3)
Розглянемо допомiжну числову послiдовнiсть \{ vj\} j\in \BbbZ +
, яка визначається такими умовами:
vj \in (0, 1/(n + j)] i vj > vj+1 для будь-якого j \in \BbbZ +. Очевидно, що при такiй побудовi
послiдовностi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
vj = 0. (4.4)
Далi виконаємо послiдовно над обома частинами нерiвностi (4.3) такi дiї: зiнтегруємо по
змiннiй \tau в межах вiд 0 до vj i помножимо утворене таким чином спiввiдношення на величину
1/vj . В результатi зазначеного та з урахуванням (2.24) одержимо\Biggl\{
n+j+1\sum
k=n+1
\widehat c 2k,\nu (f)
\Biggr\} 1/2
1
vj
vj\int
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau \leq 1
vj
vj\int
0
\| \Delta m
\gamma (\tau )(f)\| d\tau = \Phi (\gamma )
m (f, vj).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
212 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Пiднесемо лiву i праву частини цiєї нерiвностi до другого степеня й отримаємо
n+j+1\sum
k=n+1
\widehat c 2k,\nu (f) \leq
\left\{
vj\int vj
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau
\Phi (\gamma )
m (f, vj)
\right\}
2
. (4.5)
За допомогою (4.5) запишемо оцiнку зверху величини E2
n(f), використавши для цього формулу
(4.1):
E2
n(f) \leq
\left\{
vj\int vj
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau
\Phi (\gamma )
m (f, vj)
\right\}
2
+ \zeta j,\nu (f).
Оскiльки лiва частина цiєї нерiвностi не залежить вiд j \in \BbbZ +, то, переходячи в її правiй частинi
до верхньої границi при j \rightarrow \infty i враховуючи формули (4.2), (4.4), записуємо
En(f) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
vj\Phi
(\gamma )
m (f, vj)\int vj
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Phi
(\gamma )
m (f, t)\int t
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau
. (4.6)
Вважаючи \widetilde gn(t) :=\sum n
j=0
tj , n \in \BbbN , записуємо формулу (2.27) у бiльш зручному для застосу-
вання виглядi
1 - (1 - \gamma (t))n+1 = \gamma (t)\widetilde gn(1 - \gamma (t)), t \in (0, 1). (4.7)
Використовуючи першу теорему про середнє для означеного iнтеграла Римана (див., наприклад,
[41, гл. V, § 3, пункт 2]) i (4.7), отримуємо
t\int
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau = \widetilde g m
n (1 - \gamma (\xi t))
t\int
0
\gamma m(\tau )d\tau , (4.8)
де \xi t \in (0, t) — певне число, яке залежить вiд t. Очевидно, що \xi t \rightarrow 0+ при t \rightarrow 0 + . Для
довiльної функцiї f \in \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) запишемо нерiвнiсть (4.6) з урахуванням формули (4.8):
En(f) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
1\widetilde gmn (1 - \gamma (\xi t))
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
=
1
(n+ 1)m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
.
З цiєї нерiвностi отримуємо оцiнку зверху
En(\scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )) \leq 1
(n+ 1)m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.9)
Iз спiввiдношення (2.5) випливає необхiднiсть знаходження оцiнки знизу бернштейнiвського
n-поперечника класу \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). Для цього скористаємося введеним у пiдпунктi 2.1 пiдпро-
стором \scrT n+1,\nu i розглянемо в ньому кулю \sigma n+1(\widehat \varepsilon 1) радiуса
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 213
\widehat \varepsilon 1 := 1
(n+ 1)m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
, (4.10)
тобто
\sigma n+1(\widehat \varepsilon 1) := \widehat \varepsilon 1\BbbB \cap \scrT n+1,\nu = \{ qn+1 \in \scrT n+1,\nu : \| qn+1\| \leq \widehat \varepsilon 1\} , (4.11)
де \BbbB — одинична куля у просторi L2[(0, 1);x].
Покажемо, що куля (4.11) належить класу функцiй \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). Нехай qn+1 — довiльний
елемент пiдпростору \scrT n+1,\nu i \tau \in (0, 1) — будь-яке число. Тодi, у вiдповiдностi з (2.21), маємо
\| \Delta m
\gamma (\tau )(qn+1)\| =
\Biggl\{
n+1\sum
k=1
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m \widehat c 2k,\nu (qn+1)
\Biggr\} 1/2
\leq [1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]m
\Biggl\{
n+1\sum
k=1
\widehat c 2k,\nu (qn+1)
\Biggr\} 1/2
= [1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]m\| qn+1\| .
(4.12)
Виконаємо над лiвою i правою частинами спiввiдношення (4.12) такi дiї: зiнтегруємо їх по
змiннiй \tau в межах вiд 0 до t, t \in (0, 1), i помножимо отриману таким чином нерiвнiсть на
1/t. Використовуючи формулу (2.24), для довiльного елемента qn+1 \in \sigma n+1(\widehat \varepsilon 1) з отриманого
вказаним чином спiввiдношення маємо
\Phi (\gamma )
m (qn+1, t) \leq \widehat \varepsilon 1 1
t
t\int
0
[1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]md\tau . (4.13)
Враховуючи, що \widetilde gn(1 - \gamma (\tau )) \leq n+1, \tau \in (0, 1), за допомогою (4.7) i (4.10) з (4.13) отримуємо
\Phi (\gamma )
m (qn+1, t) \leq
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma m(\tau )\widetilde g m
n (1 - \gamma (\tau ))d\tau
\right\} 1
(n+ 1)m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
\leq
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma m(\tau )d\tau
\right\} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.14)
Покладаючи у правiй частинi нерiвностi (4.14) u = t, чим, власне, посилюючи її, маємо
\Psi
(\gamma )
m (qn+1, t) \leq \Psi (t). Оскiльки ця нерiвнiсть виконується для будь-якого t \in (0, 1), то правиль-
нiсть включення
\sigma n+1(\widehat \varepsilon 1) \subset \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). (4.15)
показано. Нехай скрiзь далi \scrL n+1 є довiльним (n + 1)-вимiрним пiдпростором простору
L2[(0, 1);x]. Використовуючи означення бернштейнiвського n-поперечника i (4.10), (4.11),
(4.15), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
214 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
bn(\scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x])
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon >0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )\} : \scrL n+1 \subset L2[(0, 1);x]\}
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrT n+1,\nu \subset \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )\} \geq \widehat \varepsilon 1 = 1
(n+ 1)m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.16)
За допомогою спiввiдношень (2.5), (4.9) i (4.16) одержуємо (3.2) у випадку r = 0.
Розглянемо випадок, коли r \in \BbbN . В роботi [4] показано, що для довiльної функцiї f \in
Lr
2[(0, 1);x] виконується нерiвнiсть
En(f) \leq
1
\mu 2rn+1,\nu
En(D
r
\nu f). (4.17)
Згiдно з означенням класу \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) для будь-якого його елемента f функцiя Dr
\nu f належить
класу \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). З урахуванням зазначеного з (4.17) та (3.2), де r = 0, отримуємо оцiнку
зверху
En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi )) \leq 1
\mu 2rn+1,\nu
En(\scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )) \leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.18)
Наступним кроком доведення, у вiдповiдностi з (2.5), є знаходження оцiнки знизу бернштей-
нiвського n-поперечника класу \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) у просторi L2[(0, 1);x]. Для цього розглянемо в
пiдпросторi \scrT n+1,\nu кулю \sigma n+1(\widehat \varepsilon 2) радiуса
\widehat \varepsilon 2 := 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
, (4.19)
тобто
\sigma n+1(\widehat \varepsilon 2) := \varepsilon 2\BbbB \cap \scrT n+1,\nu = \{ qn+1 \in \scrT n+1,\nu : \| qn+1\| \leq \widehat \varepsilon 2\} . (4.20)
В роботi [26] показано, що для довiльної функцiї f \in Lr
2[(0, 1);x], r \in \BbbN , мають мiсце
рiвностi
\widehat ck,\nu (f) = ( - 1)r
1
\mu 2rk,\nu
\widehat ck,\nu (Dr
\nu f), k \in \BbbN . (4.21)
Використовуючи спiввiдношення (4.7), (4.12), (4.19) – (4.21), для довiльного елемента qn+1 \in
\sigma n+1(\widehat \varepsilon 2) записуємо
\| \Delta m
\gamma (\tau )(D
r
\nu qn+1)\| =
\Biggl\{
n+1\sum
k=1
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m\widehat c 2k,\nu (Dr
\nu qn+1)
\Biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
n+1\sum
k=1
[1 - (1 - \gamma (\tau ))k]2m\mu 4rk,\nu \widehat c 2k,\nu (qn+1)
\Biggr\} 1/2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 215
\leq [1 - (1 - \gamma (\tau ))n+1]m\mu 2rn+1,\nu \| qn+1\|
\leq \gamma m(\tau )\widetilde g m
n (1 - \gamma (\tau ))\mu 2rn+1,\nu \| gn+1\| \leq \gamma m(\tau )(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu \widehat \varepsilon 2
= \gamma m(\tau ) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.22)
З (4.22) i (2.24) для будь-якого t \in (0, 1) отримуємо нерiвнiсть
\Phi (\gamma )
m (Dr
\nu qn+1, t) \leq
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma m(\tau )d\tau
\right\} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<u<1
u\Psi (u)\int u
0
\gamma m(\tau )d\tau
.
Покладаючи у правiй частинi цiєї нерiвностi u = t, маємо \Phi
(\gamma )
m (Dr
\nu qn+1, t) \leq \Psi (t), де t \in (0, 1)
— довiльне число, тобто
\sigma n+1(\widehat \varepsilon 2) \subset \scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi ). (4.23)
Тодi, з урахуванням (4.20) i (4.23), маємо оцiнку знизу
bn(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi ), L2[(0, 1);x])
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset \scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi )\} : \scrL n+1 \subset L2[(0, 1);x]\}
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrT n+1,\nu \subset \scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi )\}
\geq \widehat \varepsilon 2 = 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.24)
Спiввiдношення (3.2) при r \in \BbbN випливають зi спiввiдношень (2.5), (4.18) i (4.24).
Теорему 1 доведено.
4.2. Доведення теореми 2. Для коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя \widehat cn,\nu (f), n = 2, 3, . . . , функцiї
f \in L2[(0, 1);x] з формули (2.4) маємо
\widehat cn+1,\nu (f) \leq | \widehat cn+1,\nu (f)| \leq En(f), n \in \BbbN . (4.25)
Оцiнку зверху лiнiйного функцiонала \widehat cn+1,\nu (f) на класi \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ), r \in \BbbZ +, отримуємо за
допомогою спiввiдношень (4.25) i (3.2), тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )
\widehat cn+1,\nu (f) \leq En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi )) \leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.26)
Знайдемо оцiнку знизу у випадку r = 0. Для цього розглянемо функцiю f1(x) :=\widehat \varepsilon 1 \widehat J\nu (\mu n+1,\nu x), де величина \widehat \varepsilon 1 знаходиться за формулою (4.10). Оскiльки, згiдно з (4.11), функ-
цiя f1 належить кулi \sigma n+1(\widehat \varepsilon 1) то, у вiдповiдностi з (4.15), f1 \in \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
216 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW 2(\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )
\widehat cn+1,\nu (f) \geq \widehat cn+1,\nu (f1) = \widehat \varepsilon 1 = 1
(n+ 1)m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.27)
У випадку r \in \BbbN розглянемо функцiю f2(x) := \widehat \varepsilon 2 \widehat J\nu (\mu n+1,\nu x), де величина \widehat \varepsilon 2 знаходиться
за формулою (4.19). Оскiльки f2 належить кулi \sigma n+1(\widehat \varepsilon 2), яка визначається спiввiдношенням
(4.20), то, згiдно з (4.23), маємо f2 \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ). Таким чином,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi )
\widehat cn+1,\nu (f) \geq \widehat cn+1,\nu (f2) = \widehat \varepsilon 2 = 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
. (4.28)
Спiввiдношення (3.5) отримуємо з формул (4.26) – (4.28).
Теорему 2 доведено.
5. Доведення теореми 3. Нехай функцiя f належить простору L2[(0, 1);x]. Ряд\sum
k\in \BbbN
ck,\nu (f)J\nu (\mu k,\nu x) (5.1)
є її рядом Фур’є – Бесселя, побудованим за допомогою ортогональної та повної у вказаному
просторi системи функцiй \{ J\nu (\mu k,\nu x)\} k\in \BbbN , а числа
ck,\nu (f) =
2
J2
\nu +1(\mu k,\nu )
1\int
0
tf(t)J\nu (\mu k,\nu t)dt, k \in \BbbN , (5.2)
— її коефiцiєнтами Фур’є – Бесселя (див., наприклад, [42, гл. II, § 24]).
Сформулюємо, використавши введенi в статтi позначення, один результат, пов’язаний з
порядками коефiцiєнтiв (5.2), який забезпечує рiвномiрну та абсолютну збiжнiсть ряду (5.1)
[43, гл. IX, § 4]: якщо \nu \geq 0 i для всiх достатньо великих значень k виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| ck,\nu (f)\bigm| \bigm| \leq A
\mu 1+\varepsilon
k,\nu
, (5.3)
де \varepsilon > 0 й A є сталими, то ряд (5.1) буде абсолютно та рiвномiрно збiжним на iнтервалi
(0, 1).
Нам знадобиться наведена в пунктi 1 наближена формула для обчислення значень коренiв
\mu k,\nu функцiї J\nu (x), тобто \mu k,\nu \approx 3\pi
4
+
\nu \pi
2
+k\pi , яка є правильною для всiх достатньо великих
чисел k \in \BbbN . Символом \frakN 1 позначимо злiченну пiдмножину множини \BbbN :
\frakN 1 :=
\biggl\{
k \in \BbbN : \mu k,\nu -
(\nu + 1)\pi
2
- \pi
4
\approx k\pi i\mu k,\nu > k\pi
\biggr\}
. (5.4)
Використовуючи спiввiдношення (5.2) i (2.2), де \widehat J\nu (\mu k,\nu x) =
\surd
2J\nu (\mu k,\nu x)/J\nu +1(\mu k,\nu ),
k \in \BbbN , отримуємо рiвностi
ck,\nu (f) =
\surd
2
J\nu +1(\mu k,\nu )
\widehat ck,\nu (f), k \in \BbbN . (5.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 217
Тодi з (5.5) i (5.1) маємо \sum
k\in \BbbN
ck,\nu (f)J\nu (\mu k,\nu x) =
\sum
k\in \BbbN
\widehat ck,\nu (f) \widehat J\nu (\mu k,\nu x). (5.6)
Наведений у пунктi 1 асимптотичний вираз функцiї Бесселя першого роду J\nu (x), який є
правильним для всiх достатньо великих додатних значень x, запишемо в такому виглядi,
використавши певне тлумачення символу O (див., наприклад, [44, гл. I, пункт 1.2]):
J\nu +1(x) =
\sqrt{}
2
\pi x
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
x - (\nu + 1)\pi
2
- \pi
4
\biggr)
+ z(x), (5.7)
де z(x) = O(x - 3/2). Нагадаємо, що останнє спiввiдношення означає iснування таких додатних
сталих a й \widetilde A, для яких при всiх x \in (a,\infty ) виконується нерiвнiсть
| z(x)| \leq
\widetilde A
x3/2
. (5.8)
Нехай
\frakN 2 := \{ k \in \BbbN : a < \mu k,\nu <\infty \} , (5.9)
\scrK 1 := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\biggl( \mu k,\nu - (\nu + 1)\pi
2
- \pi
4
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : k \in \frakN 1 \cap \frakN 2
\biggr\}
. (5.10)
Спираючись на формули (5.4), (5.10) i не зменшуючи загальностi, можемо вважати, наприклад,
що
1/2 \leq \scrK 1 \leq 1. (5.11)
Покладаючи
\frakN 3 := \{ k \in \BbbN : k \geq [ \widetilde A] + 1\} , (5.12)
де [ \widetilde A] — цiла частина числа \widetilde A, з нерiвностi (5.8) для всiх достатньо великих натуральних
чисел
k \in \frakN 1 \cap \frakN 2 \cap \frakN 3 (5.13)
за допомогою формул (5.7) – (5.11) i (5.4) отримуємо оцiнку знизу величини | J\nu +1(\mu k,\nu )| :
| J\nu +1(\mu k,\nu )| \geq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sqrt{}
2
\pi \mu k,\nu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\biggl( \mu k,\nu - (\nu + 1)\pi
2
- \pi
4
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - | z(\mu k,\nu )|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\geq 1
\surd
\mu k,\nu
\Biggl( \sqrt{}
2
\pi
\scrK 1 -
\widetilde A
\mu k,\nu
\Biggr)
\geq 1
\surd
\mu k,\nu
\Biggl(
1\surd
2\pi
-
\widetilde A
k\pi
\Biggr)
.
Оскiльки з (5.12), (5.13) випливає нерiвнiсть k > \widetilde A, то звiдси маємо
| J\nu +1(\mu k,\nu )| \geq
\scrK 2\surd
\mu k,\nu
, (5.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
218 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
де \scrK 2 := 1/
\surd
2\pi - 1/\pi . Використовуючи формули (5.14) i (3.6), для всiх достатньо великих
натуральних чисел k i функцiй f \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) з (5.5) отримуємо
| ck,\nu (f)| \leq
\sqrt{}
2\mu k,\nu
\scrK 2
| \widehat ck,\nu (f)| \leq \surd
2
(n+ 1)m\mu
2r - 1/2
k,\nu \scrK 2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
\leq A
\mu
2r - 1/2
k,\nu
, (5.15)
де
A :=
1
\scrK 2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
.
Порiвнюючи спiввiдношення (5.3) з (5.15) i використовуючи формулу (5.6), робимо ви-
сновок, що для довiльної функцiї f \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) її ряд Фур’є – Бесселя (2.1) буде абсо-
лютно та рiвномiрно збiжним на iнтервалi (0, 1). Оскiльки, за означенням, кожна функцiя
f \in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi ) має абсолютно неперервну похiдну (2r - 1)-го порядку, то у вiдповiдностi
з ознакою збiжностi рядiв Фур’є – Бесселя (5.1) (див., наприклад, [43, гл. IX, § 2]) з формули
(5.6) випливає, що для будь-якого x \in (0, 1) сума ряду (2.1) буде дорiвнювати f(x).
Теорему 3 доведено.
6. Деталiзацiя отриманих результатiв шляхом певного вибору множини мажорант.
6.1. Нехай \beta — довiльна неперервна i монотонно зростаюча на вiдрiзку [0, 1] функцiя, така що
\beta (0) = 0, тобто мажоранта. Розглянемо функцiю вигляду
\Psi (\beta , t) :=
1
t
t\int
0
\beta (\tau )d\tau , t \in (0, 1]. (6.1)
Неважко переконатися в тому, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \Psi (\beta , t) : t \rightarrow 0+\} = 0 i \Psi \prime (\beta , t) > 0 для довiльно-
го t \in (0, 1]. Вважаючи \Psi (\beta , 0) := 0, отримуємо на вiдрiзку [0, 1] неперервну та монотонно
зростаючу функцiю, яка при t = 0 набуває нульового значення, тобто є мажорантою. З опи-
саної процедури випливає один з пiдходiв до побудови певної множини мажорант. Розглянемо
приклади використання мажорант вигляду (6.1) у теоремах 1, 2 та у наслiдках до них.
6.1.1. Нагадаємо, що у формулах (3.2) – (3.6) використано величину
t\Psi (t)\int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
,
яка пiсля замiни в нiй мажоранти \Psi на мажоранту (6.1) набирає вигляду\int t
0
\beta (\tau )d\tau \int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
.
В чисельнику i знаменнику цього дробу мiстяться рiмановськi iнтеграли зi змiнною верхньою
межею t \in (0, 1) вiд неперервних функцiй \beta i \gamma m вiдповiдно. Розглядаючи цi iнтеграли як
двi функцiї, заданi на вiдрiзку [0, t], що набувають нульових значень в нулi, застосуємо одну
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 219
теорему диференцiального числення про середнє, а саме теорему Кошi [41, гл. I, § 1], всi умови
якої виконано. В результатi отримуємо\int t
0
\beta (\tau )d\tau \int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
=
\beta (\widetilde \xi t)
\gamma m(\widetilde \xi t) , (6.2)
де число \widetilde \xi t \in (0, t) залежить вiд t. Оскiльки при t\rightarrow 0+ маємо \widetilde \xi t \rightarrow 0+, то, використовуючи
означення i властивостi верхньої границi функцiї, записуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\int t
0
\beta (\tau )d\tau \int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (\widetilde \xi t)
\gamma m(\widetilde \xi t) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.3)
Застосовуючи означення i певнi властивостi нижньої межi функцiї, маємо
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\int t
0
\beta (\tau )d\tau \int t
0
\gamma m(\tau )d\tau
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\beta (\widetilde \xi t)
\gamma m(\widetilde \xi t) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.4)
Тодi, з урахуванням (6.3) та (6.4), формула (3.2) набирає вигляду
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\beta (t)
\gamma m(t)
\leq pn
\Bigl(
\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi (\beta )), L2[(0, 1);x]
\Bigr)
\leq En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi (\beta ))) \leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.5)
Зазначимо, що умова (3.3) для мажоранти (6.1) записується так:
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\beta (t)
\gamma m(t)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
(6.6)
i при її виконаннi замiсть формули (3.4) маємо
pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi (\beta )), L2[(0, 1);x]) = En(\scrW r,\nu
2 (\Phi (\gamma )
m ,\Psi (\beta )))
=
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.7)
6.1.2. За допомогою формул (6.3) i (6.4) спiввiдношення (3.5) набирає вигляду
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\beta (t)
\gamma m(t)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi (\beta ))
\widehat cn+1,\nu (f)
\leq 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
220 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
При виконаннi умови (6.6) отримуємо такий варiант формули (3.6):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma )
m ,\Psi (\beta ))
\widehat cn+1,\nu (f) =
1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\beta (t)
\gamma m(t)
. (6.9)
Слiд зазначити, що у формулах (6.5) – (6.9) n,m \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0.
6.2. Конкретизуємо точнi результати (6.7) i (6.9). Для цього скористаємося низкою важливих
еквiвалентностей, якi застосовуються при обчисленнi границь функцiй. Це допоможе пiдiбрати
необхiднi комбiнацiї функцiй \beta i \gamma , що задовольняють умову (6.6). Зокрема, будемо викорис-
товувати функцiї \gamma 1,\eta i \gamma 2,\eta при певних значеннях \eta \in (0,\infty ), якi було розглянуто у пiдпунктi
2.4.
6.2.1. Нехай \gamma (t) = \gamma 1,1(t) = t i \beta (t) = \beta 1,m(t) := (at - 1)m, a \in (1,\infty ), m \in \BbbN . Оскiльки
в цьому випадку
\beta (t)
\gamma m(t)
=
\biggl(
at - 1
t
\biggr) m
i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
at - 1
t
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
at - 1
t
= \mathrm{l}\mathrm{n}(a),
то умова (6.6) виконується, а з (6.7) i (6.9) отримуємо рiвностi
pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\beta 1,m)), L2[(0, 1);x]) = En(\scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\beta 1,m)))
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\beta 1,m))
\widehat cn+1,\nu (f) =
\mathrm{l}\mathrm{n}m(a)
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
,
де \Phi m(f) := \Phi
(\gamma 1,1)
m (f) (див. пiдпункт 2.4). В цiй формулi i всiх наступних, пов’язаних з
точними значеннями апроксимативних характеристик дослiджуваних класiв, n i m належать
множинi \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0, pn(\frakM , L2[(0, 1);x]) — будь-який з розглянутих у пiдпунктi 2.1
n-поперечникiв класу \frakM \subset L2[(0, 1);x]. Зазначимо, що, наприклад, для m = 1 з (6.1) маємо
таку мажоранту:
\Psi (\beta 1,1; t) =
\left\{
0, якщо t = 0,
at - 1
t \mathrm{l}\mathrm{n}(a)
- 1, якщо 0 < t \leq 1.
6.2.2. Розглянемо випадок, коли \gamma (t) = \gamma 1,1(t) = t i \beta (t) = \widetilde \beta 1;m,k(t) := [(1 + t)k - 1]m,
k \in (1,\infty ), m \in \BbbN . Враховуючи, що
\beta (t)
\gamma m(t)
=
\biggl[
(1 + t)k - 1
t
\biggr] m
i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
(1 + t)k - 1
t
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
(1 + t)k - 1
t
= k,
бачимо, що умова (6.6) виконується i правильними будуть рiвностi
pn
\Bigl(
\scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\widetilde \beta 1;m,k)), L2[(0, 1);x]
\Bigr)
= En(\scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\widetilde \beta 1;m,k)))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 221
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi m,\Psi (\widetilde \beta 1;m,k))
\widehat cn+1,\nu (f) =
km
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
.
У цьому випадку, якщо, наприклад, m = 1, з (6.1) отримуємо мажоранту
\Psi (\widetilde \beta 1;1,k; t) =
\left\{
0, якщо t = 0,
(1 + t)k+1 - 1
t(k + 1)
- 1, якщо 0 < t \leq 1.
6.2.3. Покладаємо далi \gamma (t) = \gamma k2,1(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}k(\pi t/2), k \in (0,\infty ), i \beta (t) = \gamma km1,1 (t) = tkm.
Оскiльки
\beta (t)
\gamma m(t)
=
\biggl[
\gamma 1,1(t)
\gamma 2,1(t)
\biggr] km
=
\biggl[
2
\pi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\pi t/2)
\biggr] km
,
де \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t) := \{ 1, якщо t = 0; \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t)/t, якщо t \not = 0\} i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\pi t/2)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\pi t/2)
= 1,
то умова (6.6) виконується i в цьому випадку. Використовуючи (6.7) i (6.9), записуємо рiвностi
pn
\bigl(
\scrW r,\nu
2
\bigl(
\Phi
(\gamma k
2,1)
m ,\Psi (\gamma km1,1 )
\bigr)
, L2[(0, 1);x]
\bigr)
= En
\bigl(
\scrW r,\nu
2
\bigl(
\Phi
(\gamma k
2,1)
m ,\Psi (\gamma km1,1 )
\bigr) \bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2
\bigl(
\Phi
(\gamma k2,1)
m ,\Psi (\gamma km
1,1 )
\bigr) \widehat cn+1,\nu (f) =
\biggl(
2
\pi
\biggr) km 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
.
Зазначимо, що в цьому пiдпунктi мажоранта має вигляд
\Psi (\gamma km1,1 , t) =
tkm
km+ 1
.
6.2.4. Нехай \gamma (t) = \gamma 3,k(t) := [1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi t/2)]k, k \in (0,\infty ), i \beta (t) = \gamma 2km1,1 (t) = t2km.
Виходячи з того, що
\beta (t)
\gamma m(t)
=
\Biggl[
\gamma 2k1,1(t)
\gamma 3,k(t)
\Biggr] m
=
\biggl(
8
\pi 2
\biggr) km 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} 2km(\pi t/4)
i правильним є спiввiдношення
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\pi t/4)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\pi t/4)
= 1,
переконуємося у виконаннi умови (6.6) у цiй ситуацiї. Використовуючи формули (6.7) i (6.9),
отримуємо рiвностi
pn(\scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma 3,k)
m ,\Psi (\gamma 2km1,1 )), L2[(0, 1);x]) = En(\scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma 3,k)
m ,\Psi (\gamma 2km1,1 )))
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \scrW r,\nu
2 (\Phi
(\gamma 3,k)
m ,\Psi (\gamma 2km
1,1 ))
\widehat cn+1,\nu (f) =
\biggl(
8
\pi 2
\biggr) km 1
(n+ 1)m\mu 2rn+1,\nu
.
В розглянутому випадку маємо мажоранту
\Psi (\gamma 2km1,1 , t) =
t2km
2km+ 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
222 СЕРГIЙ ВАКАРЧУК, МИХАЙЛО ВАКАРЧУК
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 3-е изд., Наука, Москва (1976).
2. И. К. Даугавет, Введение в теорию приближений, Ленинград (1977).
3. Д. Гайер, Лекции по теории аппроксимации в комплексной плоскости, Мир, Москва (1986).
4. S. B. Vakarchuk, On the estimates of widths of the classes of continuty and majorants in the weighted space L2,x(0, 1),
Ukr. Math. J., 71, № 2, 202 – 214 (2019).
5. J. Boman, H. S. Shapiro, Comparison theorems for a generalized modulus of continuity, Ark. Mat., 9, № 1, 91 – 116
(1971).
6. J. Boman, Equivalence of generalized moduli of continuity, Ark. Mat., 18, № 1, 73 – 100 (1980).
7. Z. Ditzian, V. Totik, Moduli of smoothness, Springer Ser. Comput. Math., 9, Springer-Verlag, New York (1987).
8. Б. Сендов, В. Попов, Усредненные модули гладкости, Мир, Москва (1988).
9. R. M. Trigub, Absolute convergence of Fourier integrals, summability of Fourier series and polynomial approximation
of functions on the torus, Izv. Math., 17, № 3, 567 – 593 (1981).
10. K. G. Ivanov, On a new characteristic of functions. I., Сердика Бълг. Мат. Списание, 8, № 3, 262 – 279 (1982).
11. K. G. Ivanov, On a new characteristic of functions. II. Direct and converse theorems for the best algebraic approxi-
mation in C[ - 1, 1] and Lp[ - 1, 1], Плиска Бълг. Мат. Студ., 5, 151 – 163 (1983).
12. К. М. Потапов, Аппроксимация многочленами на конечном отрезке вещественной оси, Тр. междунар. конф.
по конструктивной теории функций, Варна, 1 – 5 июня 1981 г., Болг. АН, София (1983), с. 134 – 143.
13. K. V. Runovskii, On approximation by families of linear polynomial operators in Lp -space, 0 < p < 1, Sb. Math.,
82, № 2, 441 – 459 (1995).
14. N. N. Pustovoitov, Estimates of the best approximations of periodic functions by trigonometric polynomials in terms
of averaged differences and the multidimensional Jackson’s theorem, Sb. Math., 188, № 10, 1507 – 1520 (1997).
15. А. Г. Бабенко, О неравенстве Джексона – Стечкина для наилучших L2 -приближений функций тригонометри-
ческими полиномами, Тр. Института математики и механики УрО РАН, 6, 1 – 19 (1999).
16. V. A. Abilov, F. V. Abilova, Approximation of functions by algebraic polynomials in the mean, Russian Math., 41,
№ 3, 60 – 62 (1997).
17. С. Н. Васильев, Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным
произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами, Докл. АН, 385, № 1, 11 –
14 (2002).
18. A. I. Kozko, A. V. Rozhdestvenskii, On Jackson’s inequality for generalized moduli of continuity, Math. Notes, 73,
№ 5, 736 – 741 (2003).
19. V. A. Abilov, F. V. Abilova, Problems in the approximation of 2\pi -periodic functions by Fourier sums in the space
L2 , Math. Notes, 76, № 6, 749 – 757 (2004).
20. S. B. Vakarchuk, On best polynomial approximations in L2 , Math. Notes, 70, № 3, 300 – 310 (2001).
21. S. B. Vakarchuk, Exact constants in Jackson-type inequalities and exact values of the widths of function classes in
L2 , Math. Notes, 78, № 5-6, 735 – 739 (2005).
22. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, A sharp inequality of Jackson – Stechkin type in L2 and the widths of functional
classes, Math. Notes, 86, № 3, 306 – 313 (2009).
23. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Jackson – Stechkin type inequalities for special moduli of continuity and widths of
function classes in the space L2 , Math. Notes, 92, № 4, 458 – 472 (2012).
24. S. B. Vakarchuk, The best mean square approximation of functions, given at the real axis by entire functions of
exponential type, Ukr. Math. J., 64, № 5, 754 – 767 (2012).
25. S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, V. I. Zabutnaya, Structural characteristics of functions from L2 and the exact
values of widths of some functional classes, J. Math. Sci., 206, № 1, 97 – 114 (2015).
26. V. A. Abilov, F. V. Abilova, V. R. Kerimov, Sharp estimates for the convergence rate of Fourier – Bessel series,
Comput. Math. and Math. Phys., 55, № 7, 1094 – 1102 (2015).
27. S. B. Vakarchuk, Generalized smoothness characteristics in Jackson-type inequalities and widths of classes of
functions in L2 , Math. Notes, 98, № 4, 572 – 588 (2015).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ СУМАМИ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ . . . 223
28. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Inequalities between best polynomial approximations and some smoothness
characteristics in the space L2 and widths of classes of functions, Math. Notes, 99, № 2, 222 – 242 (2016).
29. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. I, Ukr. Math. J., 68, № 6, 823 – 848 (2016).
30. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. III, Ukr. Math. J., 68, № 10, 1299 – 1319 (2017).
31. К. Тухлиев, Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье – Бесселя и значения поперечников
некоторых функциональных классов, Чебышев. сб., 17, № 4, 141 – 156 (2016).
32. S. B. Vakarchuk, Widths of some classes of functions defined by the generalized moduli of continuity \omega \gamma in the space
L2 , J. Math. Sci., 227, № 1, 105 – 115 (2017).
33. S. B. Vakarchuk, Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory
of functions in the space L2(\BbbR ). I, Ukr. Math. J., 70, № 9, 1345 – 1374 (2019).
34. S. B. Vakarchuk, Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory
of functions in the space L2(\BbbR ). II, Ukr. Math. J., 70, № 10, 1550 – 1584 (2019).
35. S. B. Vakarchuk, Best polynomial approximations and widths of classes of functions in the space L2 , Math. Notes,
103, № 2, 308 – 312 (2018).
36. S. B. Vakarchuk, On estimates in L2(\BbbR ) of mean \nu -widths of classes of functions defined via the generalized modulus
of continuity of \omega M , Math. Notes, 106, № 2, 191 – 202 (2019).
37. F. Abdullayev, S. Chaichenko, A. Shidlich, Direct and inverse approximation theorems of functions in the Musielak –
Orlicz type space, Math. Inequal. and Approx., 24, № 4, 323 – 336 (2021).
38. F. Abdullayev, S. Chaichenko, M. Imashysy, A. Shidlich, Jackson-type inequalities and widths of functional classes
in the Musielak – Orlicz type space, Rocky Mountain J. Math., 51, № 4, 1143 – 1155 (2021).
39. S. O. Chaichenko, A. L. Shidlich, T. V. Shulyk, Direct and inverse approximation theorems in the Besicovitch –
Musielak – Orlicz spaces of almost periodic functions, Ukr. Mat. Zh., 74, № 5, 701 – 716 (2022).
40. Б. М. Макаров, Л. В. Флоринская, Теория меры и интеграла., Вып. 1. Мера. Измеримые функции, Изд-во
Ленинград. ун-та, Ленинград (1974).
41. И. Г. Арамович, Р. С. Гутер, Л. А. Люстерник, М. И. Раухваргер, М. И. Сканави, А. Р. Янпольский, Матема-
тический анализ (дифференцирование и интегрирование), Физматгиз, Москва (1961).
42. Б. Г. Коренев, Введение в теорию бесселевых функций, Наука, Москва (1971).
43. Г. П. Толстов, Ряды Фурье, 3-е изд., Наука, Москва (1980).
44. Н. Г. де Брейн, Асимптотические методы в анализе, Изд-во иностр. лит., Москва (1961).
Одержано 17.08.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-7763 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:43Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/76112b7039a593f4c7a3d7b78bda0ad7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77632024-06-19T00:35:14Z Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths Наближення в середньому сумами Фур'є–Бесселя класів функцій у просторі $L_2[(0,1);x]$ та оцінки значень їх $n$-поперечників Vakarchuk, S. Vakarchuk, M. Вакарчук, Сергій Вакарчук, Михайло Fourier-Bessel series, best polynomial approximation, shift operator, function smoothness characteristic, cross section, majorant ряд Фур'є-Бесселя, найкраще поліноміальне наближення, оператор зсуву, характеристика гладкості функції, поперечник, мажоранта UDC 517.5 In the space&nbsp; $L_2[(0,1);x],$&nbsp; by using a system of functions&nbsp;$\left\{ \widehat{J}_{\nu}(\mu_{k,\nu} x) \right\}_{k \in \mathbb{N}},$&nbsp;$\nu \geqslant 0,$&nbsp; orthonormal with weight $x$ and formed&nbsp;by the Bessel function of the first kind of&nbsp; index $\nu$ and its&nbsp;positive roots, we construct the generalized finite differences of the&nbsp;&nbsp;$m$th order $\Delta^m_{\gamma(h)}(f),$ $m \in \mathbb{N},$ $h \in&nbsp;(0,1),$ and the generalized&nbsp; characteristics of smoothness&nbsp;&nbsp;$\Phi^{(\gamma)}_{m}(f,t)= (1/t) \displaystyle\int\^t_0\|\Delta^m_{\gamma(\tau)}(f)\| d \tau.$ For the classes&nbsp; $\mathcal{W}^{r,\nu}_2(\Phi^{(\gamma)}_{m}, \Psi)$ defined by using the differential operator&nbsp; $D^r_\nu,$ the function $\Phi^{(\gamma)}_{m}(f),$ and the majorant&nbsp; $\Psi,$ we establish estimates from the lower and upper of the values of a series of $n$-widths. A condition&nbsp; for $\Psi,$ which allows us to compute the exact values of $n$-widths is established. To illustrate our exact results, we present several specific examples.&nbsp;We also consider the problems of absolute and uniform convergence of Fourier–Bessel series on the interval $(0, 1).$ УДК 517.5 У просторі $L_2[(0,1);x]$ завдяки ортонормованій з вагою $x$ системі функцій $\left\{ \widehat{J}_{\nu}(\mu_{k,\nu} x) \right\}_{k \in\mathbb{N}},$ $\nu \geqslant 0,$ яка утворена з функції Бесселя першого роду індексу $\nu$ та з її додатних коренів, побудовано узагальнені скінченні різниці $m$-го порядку $\Delta^m_{\gamma(h)}(f),$ $m \in \mathbb{N},$ $h \in (0,1),$ й узагальнені характеристики гладкості $\Phi^{(\gamma)}_{m}(f,t)=(1/t) \displaystyle\int^t_0 \|\Delta^m_{\gamma(\tau)}(f)\| d \tau.$&nbsp; Для класів $\mathcal{W}^{r,\nu}_2(\Phi^{(\gamma)}_{m}, \Psi),$&nbsp;означених за допомогою диференціального оператора $D^r_\nu,$ функції&nbsp;$\Phi^{(\gamma)}_{m}(f)$ та мажоранти $\Psi,$ отримано оцінки знизу&nbsp;та зверху&nbsp; значень низки $n$-поперечників. Знайдено умову на $\Psi,$&nbsp;яка дозволяє обчислювати точні значення&nbsp; $n$-поперечників. Для&nbsp;ілюстрації точних результатів наведено кілька конкретних&nbsp;прикладів. Також розглянуто питання щодо абсолютної та рівномірної&nbsp;збіжності рядів Фур'є–Бесселя на інтервалі $(0, 1).$&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-02-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7763 10.3842/umzh.v76i2.7763 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 2 (2024); 198-223 Український математичний журнал; Том 76 № 2 (2024); 198-223 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7763/9725 Copyright (c) 2024 Сергій Борисович Вакарчук, Михайло Вакарчук |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. Vakarchuk, M. Вакарчук, Сергій Вакарчук, Михайло Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title | Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title_alt | Наближення в середньому сумами Фур'є–Бесселя класів функцій у просторі $L_2[(0,1);x]$ та оцінки значень їх $n$-поперечників |
| title_full | Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title_fullStr | Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title_full_unstemmed | Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title_short | Approximation in the mean of the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| title_sort | approximation in the mean of the classes of functions in the space $l_2[(0,1);x]$ by the fourier–bessel sums and estimates of the values of their $n$-widths |
| topic_facet | Fourier-Bessel series best polynomial approximation shift operator function smoothness characteristic cross section majorant ряд Фур'є-Бесселя найкраще поліноміальне наближення оператор зсуву характеристика гладкості функції поперечник мажоранта |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7763 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuks approximationinthemeanoftheclassesoffunctionsinthespacel201xbythefourierbesselsumsandestimatesofthevaluesoftheirnwidths AT vakarchukm approximationinthemeanoftheclassesoffunctionsinthespacel201xbythefourierbesselsumsandestimatesofthevaluesoftheirnwidths AT vakarčuksergíj approximationinthemeanoftheclassesoffunctionsinthespacel201xbythefourierbesselsumsandestimatesofthevaluesoftheirnwidths AT vakarčukmihajlo approximationinthemeanoftheclassesoffunctionsinthespacel201xbythefourierbesselsumsandestimatesofthevaluesoftheirnwidths AT vakarchuks nabližennâvserednʹomusumamifur039êbesselâklasívfunkcíjuprostoríl201xtaocínkiznačenʹíhnpoperečnikív AT vakarchukm nabližennâvserednʹomusumamifur039êbesselâklasívfunkcíjuprostoríl201xtaocínkiznačenʹíhnpoperečnikív AT vakarčuksergíj nabližennâvserednʹomusumamifur039êbesselâklasívfunkcíjuprostoríl201xtaocínkiznačenʹíhnpoperečnikív AT vakarčukmihajlo nabližennâvserednʹomusumamifur039êbesselâklasívfunkcíjuprostoríl201xtaocínkiznačenʹíhnpoperečnikív |