Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І
UDC 517.9 We study boundary-value problems for the Lyapunov operator-differential  equation. By using  the theory of Moore–Penrose pseudoinverse operators  and its development, we establish conditions for the existence of generalized solutions and propose algor...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7785 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794120289615872 |
|---|---|
| author | Boichuk, O. Panasenko, Ye. Pokutnyi, O. Бойчук, Олександр Панасенко, Євген Покутний, Олександр Покутний, Александр |
| author_facet | Boichuk, O. Panasenko, Ye. Pokutnyi, O. Бойчук, Олександр Панасенко, Євген Покутний, Олександр Покутний, Александр |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Олександр Бойчук",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "Євген Панасенко",
"institution": "Запорiзький національний університет"
},
{
"author": "Олександр Покутний",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка; Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Boichuk, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:21Z |
| description | UDC 517.9
We study boundary-value problems for the Lyapunov operator-differential  equation. By using  the theory of Moore–Penrose pseudoinverse operators  and its development, we establish conditions for the existence of generalized solutions and propose algorithms for their construction. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i3.7785 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:33:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i3.7785
УДК 517.9
Олександр Бойчук (Iнститут математики НАН України, Київ),
Євген Панасенко (Запорiзький нацiональний унiверситет),
Олександр Покутний1 (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка;
Iнститут математики НАН України, Київ)
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I
We study boundary-value problems for the Lyapunov operator-differential equation. By using the theory of Moore – Penrose
pseudoinverse operators and its development, we establish conditions for the existence of generalized solutions and propose
algorithms for their construction.
Статтю присвячено дослiдженню крайових задач для операторно-диференцiального рiвняння Ляпунова. За до-
помогою теорiї псевдообернених за Муром – Пенроузом операторiв та її розвинення знайдено умови iснування
узагальнених розв’язкiв i побудовано алгоритми їх знаходження.
Ця стаття є оглядовою. В нiй наведено низку результатiв стосовно розв’язностi операторно-
диференцiальних крайових задач для рiвняння Ляпунова, якi було отримано авторами протягом
останнiх рокiв. I навiть бiльше, результати уточнено та бiльш деталiзовано. В результатi роз-
робки виокремився певний метод, що дозволяє будувати не лише звичайнi розв’язки крайових
задач, а й сильнi узагальненi та сильнi псевдорозв’язки. Це дає можливiсть розглядати, по-
перше, задачi, лiнiйна частина яких є оператором, що не має оберненого, а по-друге, й у випад-
ку, коли вiдповiдний оператор має незамкнену множину значень. Вiдповiдна методика працює
як у випадку необмежених сталих операторних коефiцiєнтiв, так i у випадку нестацiонарних
коефiцiєнтiв. Першу частину присвячено дослiдженню лiнiйних та лiнiйно збурених крайових
задач. У другiй частинi розглянуто нелiнiйну крайову задачу та наведено постановки задач,
якi можна розв’язати за допомогою методики й у випадку iмпульсних крайових задач. I на-
вiть бiльше, за рахунок отриманих розв’язкiв можна знаходити умови так званої input-to-state
stability. Про це бiльш детально йтиметься у другiй частинi роботи.
1. Вступ. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у рiзних функцiональних просторах
займають важливе мiсце в якiснiй теорiї диференцiальних рiвнянь. Серед останнiх вiдомим є
рiвняння Ляпунова, яке дослiджується як у скiнченновимiрному, так i у нескiнченновимiрному
випадках [13, 14, 16 – 23, 25 – 39, 41, 42]. Рiвняння Ляпунова використовується в теорiї стiйкос-
тi руху, теорiї керування та квантовiй механiцi. Воно вiдiграє важливу роль в теорiї лiнiйних
гамiльтонових систем, варiацiйному численнi та теорiї iгор [1]. Вiдома динамiчна система,
що породжується гамiльтонiаном у чотиривимiрному просторi, носить назву configurational
quantum cat [22]. Рiвняння Ляпунова розглядають як у матричному, так i операторному випад-
ках [2, 5, 17]. Слiд зауважити, що, як правило, дослiджуються коректнi нерезонанснi задачi,
коли iснує єдиний розв’язок, який неперервно залежить вiд правих частин рiвняння. Окремо
можна видiлити роботу [4], в якiй дослiджуються лiнiйнi i слабкозбуренi лiнiйнi крайовi задачi
для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь у резонансному випадку. Розв’язок шукається у
виглядi частини ряду Лорана за степенями малого параметра \varepsilon , який мiстить два доданки з
вiд’ємними степенями \varepsilon .
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: lenasas@gmail.com.
c\bigcirc ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3 353
354 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
У цiй частинi буде дослiджено крайовi задачi для рiвняння Ляпунова у резонансному (не-
регулярному) випадку у просторах Банаха та Гiльберта, коли розв’язок рiвняння iснує не для
всiх правих частин i може порушуватися його єдинiсть. Буде знайдено умови бiфуркацiї та
розгалуження розв’язкiв у лiнiйному та нелiнiйному випадках i, зокрема, з рухомим правим
кiнцем вiдрiзка, на якому розглядається вiдповiдна крайова задача. Слiд зауважити, що у скiн-
ченновимiрних просторах аналогiчна задача у перiодичному випадку дослiджувалась у роботi
[2] для рiвняння Ляпунова та Рiккатi. Бiфуркацiйнi методи є досить розвиненим i потужним
iнструментом в теорiї диференцiальних рiвнянь [10 – 12]. Cлiд також вiдмiтити недавнi робо-
ти [45 – 47].
2. Рiвняння Ляпунова зi сталими коефiцiєнтами. Розглянемо крайову задачу
\.Z(t) = AZ(t) + Z(t)B +\Phi (t), (1)
\ell Z(\cdot ) = \alpha , (2)
де Z = Z(t) — невiдома оператор-функцiя; A,B \in \scrL (B1) — лiнiйнi обмеженi оператори, що
дiють з простору Банаха B1 в себе; оператор-функцiя \Phi (t) є шляхом у просторi лiнiйних та
обмежених операторiв, тобто неперервне вiдображення вiдрiзка [a; b] в простiр \scrL (B1), \Phi (t) \in
C([a; b];\scrL (B1)); лiнiйний обмежений оператор \ell переводить оператор-функцiю Z(t) у простiр
Банаха B2, тобто \ell : C1([a; b];\scrL (B1)) \rightarrow B2, \alpha — елемент простору B2.
Розглянемо лiнiйний оператор \bfK t
\tau , який переводить оператор-функцiю \Phi (t) з простору
C([a; b], L(B1)) в оператор-функцiю Kt
\tau [\Phi ] таку, що Kt
\tau [\Phi ] \in C([a; b] \times [a; b];\scrL (B1)) i має
вигляд [6 – 9, 24]
\bfK t
\tau [\Phi ] = eA(t - \tau )\Phi (\tau )eB(t - \tau ), t, \tau \in [a; b].
За допомогою цього оператора загальний розв’язок рiвняння (1) можна записати у виглядi
Z(t) = \bfK t
a[M ] +
t\int
a
\bfK t
\tau [\Phi (\tau )] d\tau , (3)
де довiльний оператор M \in \scrL (B1); \~Z(t) — частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння (1),
який має вигляд
\~Z(t) =
t\int
a
\bfK t
\tau [\Phi (\tau )] d\tau .
Пiдставляючи (3) в крайову умову (2), отримуємо операторне рiвняння щодо оператора M :
\bfL M = \alpha - \ell
\cdot \int
a
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau , (4)
де оператор \bfL дiє за правилом \bfL M = \ell \bfK \cdot
a[M ] : \scrL (B1) \rightarrow B2. Покажемо, що за певних додат-
кових умов на оператор \bfL це рiвняння має розв’язки. Розглянемо випадок, коли оператор \bfL є
узагальнено-оборотним [3].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 355
В цьому випадку розв’язки рiвняння (4) iснують тодi й лише тодi [3], коли
PY\bfL
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
a
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] = 0. (5)
Тут PY\bfL
— проєктор на пiдпростiр Y\bfL , iзоморфний ядру N(\bfL \ast ) спряженого до \bfL оператора \bfL \ast
(B2 = Y\bfL \oplus R(\bfL )). Ця умова гарантує належнiсть правої частини рiвняння (4) множинi значень
оператора \bfL , тобто \alpha - \ell
\int \cdot
a
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau \in R(\bfL ).
За виконання умови розв’язностi (5) операторне рiвняння (4) має множину розв’язкiв ви-
гляду
M = \bfL -
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
a
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] + PN(\bfL )C,
де C — довiльний лiнiйний обмежений оператор (C \in \scrL (B1)), PN(\bfL ) — проєктор на ядро
оператора \bfL , \bfL - — узагальнено-обернений до оператора \bfL [15]. Пiдставляючи оператор M в
умову (3), отримуємо загальний розв’язок задачi (1), (2) у виглядi
Z(t, C) = \bfK t
a[PN(\bfL )C] + (G[\Phi , \alpha ])(t),
де узагальнений оператор Грiна визначається так:
(G[\Phi , \alpha ])(t) =
t\int
a
\bfK t
\tau [\Phi (\tau )]d\tau - \bfK t
a
\left[ \bfL - \ell
\cdot \int
a
\bfK \cdot
\tau [\Phi (\tau )]d\tau
\right] +\bfK t
a[\bfL
- \alpha ]. (6)
Отже, доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай оператор \bfL є узагальнено-оборотним. Крайова задача (1), (2) має
розв’язки тодi й лише тодi, коли виконується умова (5). За виконання умови (5) розв’язки
крайової задачi (1), (2) мають вигляд
Z(t, C) = \bfK t
a[PN(\bfL )C] + (G[\Phi , \alpha ])(t)
для довiльного оператора C \in \scrL (B1), де (G[\Phi , \alpha ])(t) — узагальнений оператор Грiна, який
визначається з (6).
Якщо оператор \bfL оборотний, то умова (5) виконується автоматично i крайова задача для
рiвняння Ляпунова має єдиний розв’язок.
2.1. Приклад. Розглянемо крайову задачу (1), (2) для рiвняння Ляпунова у просторi Банаха
m = l\infty обмежених числових послiдовностей iз дiагональними операторами A, B й оператор-
функцiєю \Phi (t) \in C([0, p],\bfB ):
A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl\{
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
, . . . ,
1
2
,
1
2
, . . .
\biggr\}
,
B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ 0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1, . . .\} ,
\Phi (t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Bigl\{
e
1
2
t, e
3
2
t, e
1
2
t, e
3
2
t, . . . , e
1
2
t, e
3
2
t, . . .
\Bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
356 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
i крайовою умовою вигляду
\ell Z(\cdot ) = (Zii(0) - Zii(p))i\in \BbbN = (\alpha i)i\in \BbbN \in m, p > 0.
Припускається, що простiр C([0, p],\bfB ) складається з таких оператор-функцiй, яким вiдповiдає
злiченна матриця Z(t) = (zij(t))i,j\in \BbbN :
\| Z\| C([0,p],\bfB ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,p]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
+\infty \sum
i=1
| zki(t)| < \infty .
Таким чином, \bfB \subset \scrL (m). Знайдемо оператор-функцiю \bfK t
\tau [\Phi ](t, \tau \in [0; p]). Оператори eA(t - \tau )
та eB(t - \tau ) визначаються так:
eA(t - \tau ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
e
1
2
t - 1
2
\tau , e
1
2
t - 1
2
\tau , . . .
\bigr)
, eB(t - \tau ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, et - \tau , . . .),
звiдки
\bfK t
\tau [\Phi ] = eA(t - \tau )\Phi (\tau )eB(t - \tau ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
e
1
2
t, e
3
2
t, . . .
\bigr)
.
Частинний розв’язок \~Z(t) неоднорiдного рiвняння (1) має вигляд
\~Z(t) =
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi (\tau )] d\tau = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
e
1
2
tt, e
3
2
tt, . . .
\bigr)
.
Загальний розв’язок рiвняння (1) можна записати у виглядi (3), де M = (mij)i,j\in \BbbN — лiйнiйний
обмежений оператор з невiдомими компонентами, якi потрiбно знайти. Знайдемо оператор-
функцiю \bfK t
0[M ]:
\bfK t
0[M ] =
\bigl(
e
1
2
tmi2k - 1, e
3
2
tmi2k
\bigr)
i,k\in \BbbN . (7)
Пiдставивши (7) у крайову умову (2), отримаємо, що в цьому випадку оператор \bfL : \bfB \rightarrow m (на
пiдпросторi \scrL (m)) дiє на M таким чином:
\bfL M =
\bigl(
m11(1 - e
1
2
p),m22(1 - e
3
2
p),m33(1 - e
1
2
p), . . .
\bigr)
.
Легко бачити, що цей оператор дiє неперервним чином i має множину узагальнено-обернених
операторiв \bfL - , якi можна визначити так:
\bfL - (\alpha 1, \alpha 2, . . .) = D = (dij)i,j\in \BbbN , \alpha = (\alpha 1, \alpha 2, . . .) \in m,
де дiагональнi елементи
d2i2i =
\alpha 2i
(1 - e
3
2 p)
, d2i - 12i - 1 =
\alpha 2i - 1
(1 - e
1
2 p)
,
а решту коефiцiєнтiв dij вибирають довiльним чином за умови, щоб \| D\| \bfB була скiнченною.
Дiя проєкторiв PN(\bfL ) : \bfB \rightarrow \bfB i PY\bfL
: m \rightarrow m (у загальному виглядi) визначається таким
чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 357
PN(\bfL )M = (I - \bfL - \bfL )M = (pij)i,j\in \BbbN , де pij =
\left\{ 0, якщо i = j,
mij - dij , якщо i \not = j,
а проєктор PY\bfL
= 0. Отже, умова розв’язностi (5) виконується автоматично. Тодi операторне
рiвняння \bfL M = \alpha - \ell
\int \cdot
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau має розв’язок вигляду
M = \bfL -
\left( \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right) + PN(\bfL )C, C \in \bfB ,
або в розгорнутому виглядi
M =
\left(
\alpha 1 + e
1
2
pp
1 - e
1
2
p
c12 - d12 c13 - d13 . . .
c21 - d21
\alpha 2 + e
3
2
pp
1 - e
3
2
p
c23 - d23 . . .
c31 - d31 c32 - d32
\alpha 1 + e
1
2
pp
1 - e
1
2
p
. . .
. . . . . . . . . . . .
\right)
.
Тут dij — довiльнi сталi з умовою, що \| D\| \bfB = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}k
\sum +\infty
i=1
| dki| < \infty Таким чином, за допо-
могою отриманого оператора M можна записати загальний розв’язок крайової задачi (1), (2) у
виглядi\left(
\alpha 1 + e
1
2
pp
1 - e
1
2
p
e
t
2 0 0 . . .
0
\alpha 2 + e
3
2
pp
1 - e
3
2
p
e
3
2
t 0 . . .
0 0
\alpha 1 + e
1
2
pp
1 - e
1
2
p
e
t
2 . . .
. . . . . . . . . . . .
\right)
+
\left(
0 e
3
2
t(c12 - d12) e
t
2 (c13 - d13) e
3
2
t(c14 - d14) . . .
e
t
2 (c21 - d21) 0 e
t
2 (c23 - d23) e
3
2
t(c24 - d24) . . .
e
t
2 (c31 - d31) e
3
2
t(c32 - d32) 0 e
3
2
t(c34 - d34) . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right) . (8)
Безпосередньою пiдстановкою (8) у крайову задачу (1), (2) можна переконатися в достовiрностi
отриманого результату.
3. Рiвняння Ляпунова зi змiнними коефiцiєнтами. Узагальненi розв’язки. Розглянемо
крайову задачу для рiвняння Ляпунова
\.Z(t) = A(t)Z(t) - Z(t)B(t) + \Phi (t), (9)
\ell Z(\cdot ) = \alpha , (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
358 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
де Z(t) \in C1([a; b];\scrL (B1)), оператор-функцiї A(t), B(t) \in \scrL (B1) при кожному t (для просто-
ти A(t), B(t) \in C([a; b];\scrL (B1))). Розглянемо лiнiйний оператор \bfK t
\tau , який переводить \Phi (t) в
оператор-функцiю
Kt
\tau [\Phi ] \in C([a; b]\times [a; b];\scrL (B1)),
вигляду
\bfK t
\tau [\Phi ] = U(t)U - 1(\tau )\Phi (\tau )V (\tau )V - 1(t),
де U(t), V (t) — еволюцiйнi оператори операторно-диференцiальних рiвнянь
\.X(t, \tau ) = A(t)X(t, \tau ), X(\tau , \tau ) = I, U(t) := U(t, 0),
\.Y (t, \tau ) = B(t)Y (t, \tau ), Y (\tau , \tau ) = I, V (t) := V (t, 0),
вiдповiдно. Очевидно, що V - 1(t) (нормований у нулi) задовольняє операторно-диференцiальне
рiвняння
\.Y (t, \tau ) = - Y (t, \tau )B(t), Y (\tau , \tau ) = I.
Для простоти будемо розглядати випадок, коли [a, b] = [0, T ]. За допомогою цього оператора
можна зобразити загальний розв’язок рiвняння (9) у виглядi
Z(t) = \bfK t
0[M ] +
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi ] d\tau , (11)
де довiльний оператор M \in \scrL (B1). Пiдставляючи (11) у крайову умову (10), отримуємо опе-
раторне рiвняння щодо оператора M :
\bfL M = \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau , (12)
де оператор \bfL дiє за правилом \bfL M = \ell \bfK \cdot
0[M ] : \scrL (B1) \rightarrow B2. Неважко показати, що за умови
узагальненої оборотностi оператора \bfL для задачi зi змiнними операторними коефiцiєнтами буде
справедливою теорема, аналогiчна теоремi 1.
Покажемо, що цю задачу можна зробити розв’язною i в тому випадку, коли множина значень
оператора \bfL не є замкненою.
Перейдемо до вiдповiдних конструкцiй. Нехай задано лiнiйний обмежений оператор \bfL , що
дiє з простору Банаха \scrL (B1) у простiр Банаха B2. Далi будемо вважати, що пiдпростори N(\bfL )
i R(\bfL ) є доповнювальними, тобто мають мiсце розклади у прямi суми пiдпросторiв
\scrL (B1) = N(\bfL )\oplus X, B2 = R(\bfL )\oplus Y (13)
i вiдповiднi розклади одиницi
I\scrL (B1) = PN(\bfL ) + PX , IB2 = P
R(\bfL )
+ PY ,
де PN(\bfL ), PX , P
R(\bfL )
, PY — проєктори на вiдповiднi пiдпростори. За аналогiєю з означенням
[40, 43] допустимої пари введемо означення узагальненого \bfL -допустимого пiдпростору.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 359
Нехай \bfL : \scrL (B1) \rightarrow B2 — лiнiйний обмежений оператор, що дiє з простору Банаха \scrL (B1)
у простiр Банаха B2, а пiдпростори X \subset \scrL (B1), R(\bfL ) \subset B2 такi, що виконується умова (13).
Тодi пiдпростори X i R(\bfL ) будемо називати узагальненими \bfL -допустимими.
Розглянемо звужений оператор LX : X \rightarrow R(\bfL ), LXM = \bfL M, M \in X (вiн буде лi-
нiйним, неперервним та iн’єктивним). Поповнимо простiр X за нормою \| M\| = \| LXM\| B2
i розширимо оператор LX на поповнений простiр X за неперервнiстю. Розширений опера-
тор будемо позначати LX . Тодi, як i у випадку гiльбертових просторiв [40], оператор LX :
X \rightarrow R(\bfL ) буде здiйснювати гомеоморфiзм мiж просторами X та R(\bfL ). Будемо позначати
через \scrL (B1) = X \oplus N(\bfL ) розширений вихiдний простiр.
Нехай \bfL \in \scrL (\scrL (B1), B2) й X, R(\bfL ) — узагальненi \bfL -допустимi пiдпростори. Тодi вiдобра-
ження
\bfL -
X : B2 \rightarrow \scrL (B1),
\bfL -
Xy = L
- 1
X y1, y = y1 + y2, y1 \in R(\bfL ), y2 \in Y,
називатимемо сильним (X,R(L))-узагальнено-оберненим до \bfL .
Безпосередньо з означення сильного (X,R(L))-узагальнено-оберненого оператора випли-
вають такi властивостi:
\bfL \bfL -
X\bfL = \bfL , \bfL -
X\bfL \bfL -
X = \bfL -
X на X
(або з замiною \bfL на LX ),
LX\bfL -
XLX = LX , \bfL -
XLX\bfL -
X = \bfL -
X на X.
Аналогiв властивостей 3 та 4 з означення псевдооберненого оператора у загальному випадку
немає.
Розглянемо тепер рiвняння (12) у просторах Банаха \scrL (B1) i B2, яке запишемо у виглядi
\bfL M = y, (14)
де
y = \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
— елемент простору B2, \bfL — такий лiнiйний обмежений оператор, що пiдпростори X, R(\bfL )
є узагальненими \bfL -допустимими. Вiдомо [15], що у загальному випадку розв’язок такого рiв-
няння може iснувати не для всiх правих частин i може бути не єдиним. Якщо розв’язок у
звичайному сенсi не iснує, то часто знаходять такий оператор M = M \in \scrL (B1), який мiнiмi-
зує норму нев’язки \| \bfL M - y\| B2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}M\in \scrL (B1)\| \bfL M - y\| B2 . Його називають квазiрозв’язком
[15, 44]. Для iснування такого розв’язку умова замкненостi множини значень оператора \bfL є
суттєвою, але у загальному випадку така варiацiйна задача може не мати розв’язку.
Запропонуємо означення розв’язкiв для рiвняння (14), щоб можна було гарантувати їх iсну-
вання у тому чи iншому сенсi.
Використавши побудовану вище конструкцiю, розширимо вихiдний простiр \scrL (B1) й опе-
ратор \bfL , заданий на ньому, таким чином, щоб варiацiйна задача на розширеному просторi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
360 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
завжди мала розв’язки у певному сенсi. Вiдображення, яке буде встановлювати вiдповiднiсть
мiж розв’язками та правими частинами у загальному випадку, є багатозначним.
Означення узагальнених розв’язкiв. Для рiвняння (14) будемо видiляти такi три типи
розв’язкiв.
1. Класичнi розв’язки. Розглянемо випадок, коли оператор \bfL нормально-розв’язний. Як
вiдомо [15], неоднорiднiсть y \in R(\bfL ) у рiвняннi (14) належить образу оператора тодi й лише
тодi, коли PY y = 0. У цьому випадку iснує узагальнено-обернений оператор \bfL - , за допомогою
якого множина розв’язкiв рiвняння (14) у просторi Банаха має вигляд
M = \bfL - y + PN(\bfL )C \forall C \in \scrL (B1).
2. Сильнi узагальненi розв’язки. Розглянемо випадок, коли множина значень оператора \bfL
не є замкненою. Оскiльки оператор \bfL має (X,R(\bfL ))-узагальнений \bfL -допустимий пiдпростiр,
то для просторiв \scrL (B1), B2 справедливим є розклад (13).
Тодi ми можемо говорити про сильний узагальнений розв’язок рiвняння (14). Оскiльки
оператор LX здiйснює гомеоморфiзм мiж просторами X та R(\bfL ), то iснує L
- 1
X i коректним
буде таке означення.
Означення. Довiльний елемент з множини
\bigl\{
L
- 1
X y + PN(\bfL )C
\bigr\}
C\in \scrL (B1)
будемо називати
сильним узагальненим розв’язком рiвняння (14), якщо y \in R(\bfL ).
Тодi множина всiх сильних узагальнених розв’язкiв рiвняння (14) буде мати вигляд
M = \bfL -
Xy + PN(\bfL )C \forall C \in \scrL (B1),
а оператор \bfL -
Xy := L
- 1
X y1, де y = y1 + y2, y1 \in R(\bfL ), y2 \in Y.
3. Узагальненi квазiрозв’язки. Розглянемо випадок, коли y /\in R(\bfL ). Для елемента y це
рiвносильно виконанню умови PY y \not = 0. У цьому випадку сильних узагальнених розв’язкiв не
iснує, але iснують такi елементи з X, що є розв’язками варiацiйної задачi \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigm\| \bigm\| \bfL M - y
\bigm\| \bigm\|
B2
,
де \bfL = LX PX , а iнфiмум береться по всiх елементах (операторах) M \in \scrL (B1). Тут PX —
проєктор на X. Цi елементи i будемо називати узагальненими квазiрозв’язками.
Довiльний елемент з множини \bigl\{
\bfL -
Xy + PN(\bfL )C
\bigr\}
C\in \scrL (B1)
будемо називати узагальненим квазiрозв’язком рiвняння (14).
Зазначимо, що якщо R(\bfL ) = R(\bfL ), то узагальненi квазiрозв’язки збiгаються зi звичайними
квазiрозв’язками [15].
З наведеного вище означення випливає, що оператор \bfL -
Xy може мати не найменшу норму
на вiдповiдному просторi, на вiдмiну вiд L
+
y.
З огляду на це повна теорема розв’язностi крайової задачi (9), (10) набере такого вигляду.
Теорема 2. Нехай оператор \bfL має узагальненi \bfL -допустимi пiдпростори (X,R(\bfL )). Тодi:
1а) крайова задача (9), (10) має сильнi узагальненi розв’язки тодi й лише тодi, коли вико-
нується умова
PY
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] = 0; (15)
якщо \alpha - \ell
\int \cdot
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau \in R(\bfL ), то розв’язки будуть звичайними класичними;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 361
1б) за виконання умови розв’язностi (15) множина сильних узагальнених розв’язкiв має
вигляд
Z(t, C) = \bfK t
0[PN(\bfL )C] + (G[\Phi , \alpha ])(t) \forall C \in \scrL (B1),
де узагальнений оператор Грiна визначається таким чином:
(G[\Phi , \alpha ])(t) =
t\int
0
\bfK t
\tau [\Phi ]d\tau - \bfK t
0
\left[ \bfL -
X\ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] +\bfK t
0[\bfL
-
X\alpha ]; (16)
2a) крайова задача (9), (10) має сильнi узагальненi квазiрозв’язки тодi й лише тодi, коли
виконується умова
PY
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] \not = 0; (17)
2б) за виконання умови розв’язностi (17) множина сильних узагальнених розв’язкiв має
вигляд
Z(t, C) = \bfK t
0[PN(\bfL )C] + (G[\Phi , \alpha ])(t),
де узагальнений оператор Грiна визначається з (16).
3.1. Приклад. Розглянемо однорiдну крайову задачу (\Phi (t) = 0) зi сталими операторами A
та B дiагонального вигляду
A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
1
2
,
1
2
, . . .
\biggr)
, B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1, 1, . . .)
зi значеннями у пiдпросторi \bfB \subset \scrL (l2), який складається iз злiченних матриць C = (cij)i,j\in \BbbN ,
елементи яких є квадратично сумовними
\sum
i,j
c2ij < \infty (кожнiй такiй матрицi вiдповiдає лi-
нiйний обмежений оператор з \scrL (l2)). Оператор-функцiя Z(t) = (zij(t))i,j\in \BbbN \in C1([0; 1];\bfB ),
тобто
\| Z\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0;1]
\bigl\{
\| Z(t)\| \bfB + \| \.Z(t)\| \bfB
\bigr\}
< \infty ,
а крайова умова має вигляд
\ell Z(\cdot ) =
\biggl(
0, z22(0),
z33(0)
2
, . . . ,
zii(0)
i - 1
, . . .
\biggr)
= (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n, . . .) \in l2.
Тодi загальний розв’язок системи буде мати вигляд
Z(t, C) = Kt
0[C] = e
3
2
t[C], C \in \bfB . (18)
Пiдставляючи (18) у крайову умову, отримуємо рiвняння
\ell Z(\cdot ) = \bfL C =
\Bigl(
0, c22,
c33
2
, . . .
\Bigr)
= (\alpha 1, \alpha 2, . . .) \in l2.
Тут \bfL : \bfB \rightarrow l2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
362 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
Покажемо, що оператор \bfL має незамкнену множину значень. Для цього достатньо заува-
жити, що
l2 \ni
\biggl(
0, 1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\biggl(
0, 1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
k
, 0, 0, . . .
\biggr)
,
\biggl(
0, 1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
k
, 0, 0, . . .
\biggr)
= \bfL Ck,
де як послiдовнiсть операторiв Ck вибрано таку:
Ck = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Bigl(
1, 1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k+1
, 0, 0, . . .
\Bigr)
\in \bfB \subset \scrL (l2),
i для C = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1, . . . , 1, . . .)
\bfL C =
\biggl(
0, 1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
k
, . . .
\biggr)
.
Але C не належить пiдпростору \scrL (l2) квадратично сумовних послiдовностей, оскiльки \| C\| =
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\sum n
i=1
12 \rightarrow \infty . Таким чином, маємо послiдовнiсть Ck таку, що \bfL Ck = yk =
\biggl(
0, 1,
1
2
, . . . ,
1
k
, 0, 0, . . .
\biggr)
\in l2 й yk \rightarrow y =
\biggl(
0, 1,
1
2
, . . . ,
1
k
, . . .
\biggr)
у просторi l2, якщо k \rightarrow \infty , але
y = \bfL C, де C не належить пiдпростору \bfB \subset \scrL (l2). Отже, оператор \bfL має незамкнену множину
значень. У цьому випадку для простору \bfB має мiсце такий розклад у пряму суму пiдпросторiв:
\bfB = N(\bfL )\oplus X,
де нуль-простiр N(\bfL ) оператора \bfL складається з операторiв вигляду
C =
\left(
c11 c12 . . . c1n . . .
c21 0 . . . c2n . . .
c31 c32 . . . c3n . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 . . . 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
\right)
=
\left\{ cij , i \not = j, або i = j = 1,
0, i = j, i \not = j \not = 1,
а пiдпростiр X — з матриць
C =
\left\{ cii, i \not = 1,
0, i = 1.
На пiдставi викладеного вище маємо оператор \bfL X : X \rightarrow R(L), що буде лiнiйним та iн’єктивним.
Поповнивши отриманий пiдпростiр за нормою
\| C\| X = \| \bfL XC\| l2 =
+\infty \sum
i=1
\Bigl( cii
i
\Bigr) 2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 363
отримаємо простiр X i простiр \bfB , в якому розширений оператор \bfL = \bfL X PX буде нормально-
розв’язним. У цьому випадку сильний псевдообернений оператор \bfL
+
: l2 \rightarrow \bfB буде мати вигляд
\bfL
+
\alpha = \bfL
+
(\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n, . . .) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(0, \alpha 2, 2\alpha 3, . . . , (n - 1)\alpha n, . . .).
Задача буде розв’язною тодi й лише тодi, коли \alpha 1 = 0. Тодi один з сильних узагальнених
розв’язкiв крайової задачi буде мати вигляд
Z(t) = Kt
0[\bfL
+
\alpha ] = e
3
2
t \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(0, \alpha 2, 2\alpha 3, . . . , (n - 1)\alpha n, . . .)
у просторi C1([0; 1];\bfB ).
4. Крайова задача при лiнiйних збуреннях. Розглянемо крайову задачу
\.Z(t, \varepsilon ) = AZ(t, \varepsilon ) - Z(t, \varepsilon )B + \varepsilon C(t)Z(t, \varepsilon ) + \Phi (t), (19)
\ell Z(\cdot , \varepsilon ) = \alpha + \varepsilon l1Z(\cdot , \varepsilon ), (20)
де A,B \in \scrL (H1) — лiнiйнi обмеженi оператори, \Phi (t), C(t) \in C([a, b];\scrL (H1)) — неперервнi
оператор-функцiї, \ell , l1 : C1([a, b];\scrL (H1)) \rightarrow H2 — лiнiйнi обмеженi оператори, \varepsilon — малий
параметр, \scrL (H1) — простiр лiнiйних та обмежених операторiв, що дiють з простору Гiль-
берта H1 у себе; H1, H2 — простори Гiльберта, \alpha \in H2. Шукаємо розв’язок Z(t, \varepsilon ) \in
C1([a, b];\scrL (H1)) \times C(0, \varepsilon 0] для фiксованого \varepsilon 0 > 0. Для простоти будемо розглядати випа-
док, коли [a, b] = [0, T ]. Можливi два випадки: породжуюча задача (\varepsilon = 0) має розв’язки i не
має розв’язкiв [23].
1. Породжуюча крайова задача має розв’язки. У цьому випадку розв’язок крайової зада-
чi (19), (20) будемо шукати у виглядi ряду Z(t, \varepsilon ) =
\sum +\infty
i=0
\varepsilon iZi(t). Прирiвнюючи коефiцiєнти
при вiдповiдних степенях \varepsilon , отримуємо низку крайових задач.
Крайова задача при \varepsilon 0 буде мати вигляд
\.Z0(t) = AZ0(t) - Z0(t)B +\Phi (t), (21)
\ell Z0(\cdot ) = \alpha . (22)
Для простоти будемо розглядати випадок, коли оператор \bfL нормально-розв’язний та узагаль-
нено-оборотний. Тодi, згiдно з теоремою 1, загальний розв’язок (21), (22) набирає вигляду
Z0(t, C0) = \bfK t
0[PN(\bfL )C0] + (G[\Phi , \alpha ])(t)
для всiх C0 \in \scrL (H1) при виконаннi умови розв’язностi
PY\bfL
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
\bfK \cdot
\tau [\Phi ] d\tau
\right] = 0.
При \varepsilon 1 отримуємо крайову задачу
\.Z1(t) = AZ1(t) - Z1(t)B + C(t)Z0(t, C0), (23)
\ell Z1(\cdot ) = l1Z0(\cdot , C0). (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
364 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
Загальний розв’язок рiвняння (23) має вигляд
Z1(t, C1) = etAC1e
- tB +
t\int
0
e(t - \tau )AC(\tau )Z0(\tau , C0)e
(\tau - t)Bd\tau . (25)
Пiдставляючи (25) в умову (24), отримуємо операторне рiвняння
\bfL C1 = g1, (26)
де
g1 = l1Z0(\cdot , C0) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Z0(\tau , C0)e
(\tau - \cdot )Bd\tau .
Умова розв’язностi набирає вигляду
PY\bfL
g1 = 0. (27)
Введемо до розгляду оператор B0 : \scrL (H1) \rightarrow Y\bfL , дiя якого визначається таким чином:
B0C0 = PY\bfL
\left[ l1e\cdot APN(\bfL )C0e
- \cdot B - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )e\tau APN(\bfL )C0e
- \tau Be(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
Пiдставляючи розв’язок Z0 в умову розв’язностi (27), одержуємо операторне рiвняння щодо
оператора C0 :
B0C0 = - PY\bfL
\left[ l1(G[\Phi , \alpha ])(\cdot ) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )(G[\Phi , \alpha ])(\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] . (28)
Припустимо, що оператор B0 є узагальнено-оборотним. Тодi за виконання достатньої умови
PYB0
PY\bfL
= 0 (Y\bfL = YB0 \oplus R(B0)) рiвняння (28) буде мати розв’язок
C0 = - B -
0 PY\bfL
\left[ l1(G[\Phi , \alpha ])(\cdot ) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )(G[\Phi , \alpha ])(\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] , (29)
а розв’язок операторного рiвняння (26) буде мати вигляд
C1 = PN(\bfL )C1 + \bfL - g1. (30)
Пiдставляючи (30) у загальний розв’язок, отримуємо
Z1(t, C1) = etAPN(\bfL )C1e
- tB + etA\bfL - g1e
- tB +
t\int
0
e(t - \tau )AC(\tau )Z0(\tau , C0)e
(\tau - t)Bd\tau ,
де C0 визначається з рiвностi (29). Враховуючи визначення оператора Грiна, загальний розв’язок
крайової задачi (23), (24) можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 365
Z1(t, C1) = etAPN(\bfL )C1e
- tB + (G[CZ0, l1Z0])(t).
Дiючи за iндукцiєю, отримуємо при \varepsilon i таку крайову задачу:
\.Zi(t) = AZi(t) - Zi(t)B + C(t)Zi - 1(t), (31)
\ell Zi(\cdot ) = l1Zi - 1(\cdot ). (32)
Загальний розв’язок рiвняння (31) має вигляд
Zi(t, Ci) = etACie
- tB +
t\int
0
e(t - \tau )AC(\tau )Zi - 1(\tau , Ci - 1)e
(\tau - t)Bd\tau . (33)
Пiдставляючи (33) в крайову умову (32), одержуємо операторне рiвняння
\bfL Ci = gi,
де
gi = l1Zi - 1(\cdot , Ci - 1) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Zi - 1(\tau , Ci - 1)e
(\tau - \cdot )Bd\tau . (34)
Умова розв’язностi набере вигляду
PY\bfL
gi = 0. (35)
Пiдставляючи (34) в умову (35), отримуємо операторне рiвняння
B0Ci - 1 = - PY\bfL
\left[ l1(G[CZi - 2, l1Zi - 2])(\cdot )
- \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )(G[CZi - 2, l1Zi - 2])(\tau )e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
Тодi
Ci - 1 = - B+
0 PY\bfL
\left[ l1\bigl( G[CZi - 2, l1Zi - 2]
\bigr)
(\cdot )
- \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )
\bigl(
G[CZi - 2, l1Zi - 2]
\bigr)
(\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] ,
Ci = PN(\bfL )Ci + \bfL - gi,
i загальний розв’язок крайової задачi (31), (32) має вигляд
Zi(t, Ci) = etAPN(\bfL )Cie
- tB +
\bigl(
G[CZi - 1, l1Zi - 1]
\bigr)
(t).
Таким чином, отримали таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
366 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
Теорема 3 (достатня умова розв’язностi). Нехай оператори \bfL , B0 узагальнено-оборотнi
та виконуються умови
PY\bfL
\left\{ \alpha - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A\Phi (\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right\} = 0
i
PYB0
PY\bfL
= 0.
Тодi крайова задача (19), (20) має розв’язок у виглядi ряду Z(t, \varepsilon ) =
\sum +\infty
i=0
\varepsilon iZi(t), коефiцiєнти
якого знаходяться таким чином:
Z0(t, C0) = etAPN(\bfL )C0e
- tB + (G[\Phi , \alpha ])(t), C0 \in \scrL (B1),
Zi(t, Ci) = etAPN(\bfL )Cie
- tB +
\bigl(
G[CZi - 1, l1Zi - 1]
\bigr)
(t), Ci \in \scrL (B1),
де (G[\cdot , \cdot ])(t) — узагальнений оператор Грiна, що визначається з (6). Оператори Ci, i \in
N \cup \{ 0\} , визначаються так:
C0 = - B -
0 PY\bfL
\left[ l1(G[\Phi , \alpha ])(\cdot ) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )(G[\Phi , \alpha ])(\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] ,
Ci = - B -
0 PY\bfL
\left[ l1\bigl( G[CZi - 1, l1Zi - 1]
\bigr)
(\cdot )
- \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )
\bigl(
G[CZi - 1, l1Zi - 1]
\bigr)
(\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
Зауваження. Розроблена методика дозволяє дослiджувати умови iснування лiнiйно збуре-
ної крайової задачi для рiвняння Ляпунова й у тому випадку, коли множини значень операторiв
\bfL i B0 не є замкненими, R(\bfL ) \not = R(\bfL ), R(B0) \not = R(B0), тобто оператори \bfL , B0 не є нормально-
розв’язними. У такому випадку побудована вище процедура буде давати узагальненi розв’язки
або квазiрозв’язки i задача може бути дослiджена повнiстю. Доведення проводиться аналогiчно
доведенню теорем 2, 3.
2. Породжуюча крайова задача не має розв’язкiв. У цьому випадку розв’язок шукаємо у
виглядi ряду
Z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon iZi(t). (36)
Пiдставимо ряд (36) у крайову задачу (19), (20) i прирiвняємо коефiцiєнти при однакових
степенях \varepsilon .
При \varepsilon - 1 приходимо до однорiдної крайової задачi
\.Z - 1(t) = AZ - 1(t) - Z - 1(t)B, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 367
\ell Z - 1(\cdot ) = 0. (38)
Задача (37), (38) має розв’язок
Z - 1(t, C - 1) = etAPN(\bfL )C - 1e
- tB (39)
для довiльного оператора C - 1 \in \scrL (B1), який буде знайдений нижче.
Прирiвнюючи коефiцiєнти при \varepsilon 0, отримуємо крайову задачу для Z0(t):
\.Z0(t) = AZ0(t) - Z0(t)B + C(t)Z - 1(t, C - 1) + \Phi (t), (40)
\ell Z0(\cdot ) = \alpha + l1Z - 1(\cdot , C - 1). (41)
Операторне рiвняння (40) має розв’язок вигляду
Z0(t, C0) = etAC0e
- tB +
t\int
0
e(t - \tau )A
\bigl[
C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )
\bigr]
e(\tau - t)Bd\tau .
Пiдставляючи Z0(t, C0) в крайову умову (41), одержуємо операторне рiвняння
\bfL C0 = g0, (42)
де
g0 = \alpha + l1Z - 1(\cdot , C - 1) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A
\bigl[
C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )
\bigr]
e(\tau - \cdot )Bd\tau .
Знову будемо припускати, що оператор \bfL є узагальнено-оборотним. Розв’язок рiвняння (42)
iснує тодi й лише тодi, коли виконується умова
PY\bfL
g0 = 0.
Пiдставляючи в отриману умову розв’язностi розв’язок (39), приходимо до операторного рiв-
няння
B0C - 1 = - PY\bfL
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A\Phi (\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] , (43)
де оператор B0 має вигляд
B0C - 1 = PY\bfL
\left[ l1e\cdot APN(\bfL )C - 1e
- \cdot B - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )e\tau APN(\bfL )C - 1e
- \tau Be(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
Рiвняння (43) є розв’язним тодi й лише тодi, коли його права частина задовольняє умову
PYB0
PY\bfL
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A\Phi (\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] = 0. (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
368 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
За виконання достатньої умови
PYB0
PY\bfL
= 0 (45)
умова розв’язностi (44) буде виконуватись автоматично й операторне рiвняння (43) буде мати
принаймнi один розв’язок вигляду
C - 1 = - B -
0 PY\bfL
\left[ \alpha - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A\Phi (\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
В цьому випадку розв’язок рiвняння \bfL C0 = g0 буде мати вигляд
C0 = \bfL - g0 + PN(\bfL )C0, C0 \in \scrL (B1),
або
C0 = \bfL -
\left[ \alpha + l1Z - 1(\cdot , C - 1) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A[C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )]e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] + PN(\bfL )C0.
Таким чином, розв’язок Z0(t, C0) можна записати у виглядi
Z0(t, C0) = etAPN(\bfL )C0e
- tB + Z0(t)
для довiльного оператора C0 \in \scrL (H1), який буде знайдено нижче. Тут
Z0(t) = etA
\bigl[
\bfL - \{ \alpha + l1Z - 1(\cdot , C - 1)\}
\bigr]
e - tB +
\bigl(
G[C(\cdot )Z - 1(\cdot , C - 1) + \Phi (\cdot )]
\bigr)
(t),
де оператор Грiна має вигляд\bigl(
G
\bigl[
C(\cdot )Z - 1(\cdot , C - 1) + \Phi (\cdot )
\bigr] \bigr)
(t)
=
t\int
0
e(t - \tau )A
\bigl[
C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )
\bigr]
e(\tau - t)Bd\tau
- etA
\left[ \bfL - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A
\bigl[
C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )
\bigr]
e(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] e - tB.
При \varepsilon 1 отримуємо крайову задачу для визначення Z1(t) вигляду
\.Z1(t) = AZ1(t) - Z1(t)B + C(t)Z0(t, C0), (46)
\ell Z1(\cdot ) = l1Z0(\cdot , C0). (47)
Операторне рiвняння (46) має розв’язок
Z1(t, C1) = etAC1e
- tB +
t\int
0
e(t - \tau )AC(\tau )Z0(\tau , C0)e
(\tau - t)Bd\tau . (48)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 369
Пiдставляючи Z1(t) в крайову умову (47), отримуємо операторне рiвняння
\bfL C1 = g1,
де
g1 = l1Z0(\cdot , C0) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Z0(\tau , C0)e
(\tau - \cdot )Bd\tau .
Розв’язок операторного рiвняння iснує тодi й лише тодi, коли виконується умова
PY\bfL
g1 = 0.
Пiдставляючи в отриману умову розв’язностi зображення для Z0(t, C0), одержуємо операторне
рiвняння щодо оператора C0 :
B0C0 = - PY\bfL
\left[ l1Z0(\cdot ) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Z0(\tau )e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] . (49)
За виконання умови (45) операторне рiвняння (49) має принаймнi один розв’язок у виглядi
C0 = - B -
0 PY\bfL
\left[ l1Z0(\cdot ) - l
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Z0(\tau )e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
У цьому випадку розв’язок рiвняння \bfL C1 = g1 буде мати вигляд
C1 = \bfL - g1 + PN(\bfL )C1, C1 \in \scrL (H1),
або
C1 = \bfL -
\left[ l1Z0(\cdot , C0) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )A[C(\tau )Z0(\tau , C0)]e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] + PN(\bfL )C1.
Таким чином, розв’язок Z1(t, C1) можна записати у виглядi
Z1(t, C1) = etAPN(\bfL )C1e
- tB + Z1(t)
для довiльного оператора C1 \in \scrL (H1), який буде знайдено нижче. Тут
Z1(t) = etA
\bigl[
\bfL - l1Z0(\cdot , C0)
\bigr]
e - tB +
\bigl(
G
\bigl[
C(\cdot )Z0(\cdot , C0)
\bigr] \bigr)
(t).
Дiючи за iндукцiєю, для визначення коефiцiєнта Zi(t) при \varepsilon i ряду (36) маємо таку крайову
задачу:
\.Zi(t) = AZi(t) - Zi(t)B + C(t)Zi - 1(t, Ci - 1), (50)
\ell Zi(\cdot ) = l1Zi - 1(\cdot , Ci - 1). (51)
За виконання умови (45), крайова задача (50), (51) має розв’язок
Zi(t, Ci) = etAPN(\bfL )Cie
- tB + Zi(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
370 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
де частинний розв’язок
Zi(t) = etA
\bigl[
\bfL - l1Zi - 1(\cdot , Ci - 1)
\bigr]
e - tB +
\bigl(
G
\bigl[
C(\cdot )Zi - 1(\cdot , Ci - 1)
\bigr] \bigr)
(t).
Оператор Ci \in \scrL (H1) знаходиться за формулою
Ci = - B -
0 PY\bfL
\left[ l1Zi(\cdot ) - \ell
\cdot \int
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Zi(\tau )e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\right] .
Таким чином, маємо iтерацiйний алгоритм побудови розв’язку крайової задачi (50), (51):
Zi(t, Ci) =
\left\{ etAPN(\bfL )Cie
- tB, i = - 1,
etAPN(\bfL )Cie
- tB + Zi(t), i = 0,\infty ,
(52)
Ci =
\left\{
- B -
0 PY\bfL
\biggl[
\alpha - l
\int \cdot
0
e(\cdot - \tau )A\Phi (\tau )e(\tau - \cdot )Bd\tau
\biggr]
, i = - 1,
- B -
0 PY\bfL
\biggl[
l1Zi(\cdot ) - l
\int \cdot
0
e(\cdot - \tau )AC(\tau )Zi(\tau )e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\biggr]
, i = 0,\infty ,
(53)
Zi(t) =
\left\{ etA[\bfL - (\alpha + l1Z - 1(\cdot , C - 1))]e
- tB + (G[C(\cdot )Z - 1(\cdot , C - 1) + \Phi (\cdot )])(t), i = 0,
etA[\bfL - l1Zi - 1(\cdot , Ci - 1)]e
- tB + (G[C(\cdot )Zi - 1(\cdot , Ci - 1)])(t), i = 1,\infty .
(54)
Узагальнений оператор Грiна визначається таким чином:\bigl(
G
\bigl[
C(\cdot )Zi - 1(\cdot , Ci - 1)
\bigr] \bigr)
(t)
=
\left\{
\int t
0
e(t - \tau )A[C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )]e(\tau - t)Bd\tau
- etA
\biggl[
Q+l
\int \cdot
0
e(\cdot - \tau )A[C(\tau )Z - 1(\tau , C - 1) + \Phi (\tau )]e(\tau - \cdot )Bd\tau
\biggr]
e - tB, i = 0,\int t
0
e(t - \tau )AC(\tau )Zi - 1(\tau , Ci - 1)e
(\tau - t)Bd\tau
- etA
\biggl[
Q+l
\int \cdot
0
e(\cdot - \tau )A[C(\tau )Zi - 1(\tau , Ci - 1)]e
(\tau - \cdot )Bd\tau
\biggr]
e - tB, i = 1,\infty .
(55)
Отже, достатня умова розв’язностi крайової задачi (19), (20) має такий вигляд.
Теорема 4 (достатня умова розв’язностi). Якщо оператори \bfL , B0 є узагальнено-оборот-
ними, породжуюча крайова задача, отримана iз (19), (20) при \varepsilon = 0, не має розв’язкiв i
PYB0
PY\bfL
= 0, то збурена крайова задача (19), (20) має принаймнi один розв’язок у виглядi ряду
Z(t) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon iZi(t),
абсолютно збiжного при довiльних фiксованих \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], коефiцiєнти якого визначаються
iтерацiйним алгоритмом (52) – (55).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА. I 371
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. A. E. Bryson (Jr.), Yu-Chi Ho, Applied optimal control: optimization, estimation and control, 1st ed., Taylor Francis
Group, New York, London (1975).
2. A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, A critical periodic boundary-value problem for a matrix Riccati equation, Different.
Equat., 37, № 4, 464 – 471 (2001).
3. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые
задачи, Институт математики НАН Украины, Киев (1995).
4. I. A. Bondar, Linear boundary-value problems for systems of integrodifferential equations with degenerate kernel.
Resonance case for a weakly perturbed boundary-value problem, J. Math. Sci., 274, № 6, 822 – 832 (2023); DOI:
https://doi.org/10.1007/s10958-023-06645-1.
5. Ju. L. Daleckii, M. G. Krein, Stability of solutions of differential equations in Banach space, Amer. Math. Soc.
(2002).
6. S. G. Krein, Linear equations in Banach spaces, Birkhäuser (1982); DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-8068-9.
7. S. G. Krein, Linear differential equations in Banach space, Amer. Math. Soc. (1972).
8. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi з
необмеженим оператором у лiнiйнiй частинi, Нелiнiйнi коливання, 16, № 4, 518 – 526 (2013).
9. О. О. Покутний, Узагальнено-обернений оператор у просторах Фреше, Банаха та Гiльберта, Вiсн. Київ. нац.
ун-ту iм. Тараса Шевченка, Сер. фiз.-мат. науки, № 4, 158 – 161 (2013).
10. V. I. Arnold, Catastrophe theory, Springer (1992); DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-58124-3.
11. M. M. Vainberg, Theory of branching of solutions of nonlinear equations, Monogr. and Textbooks Pure and Appl.
Math., Noordhoff International Publ. (1974).
12. A. H. Nayfeh, Perturbation methods, Wiley, New York (1973).
13. B. Bamieh, M. Dahleh, Energy amplification in channel flows with stochastic excitation, Phys. Fluids, 13, 3258 – 3269
(2001).
14. Bhatia Rajendra, A note on the Lyapunov equation, Linear Algebra and Appl., 259, 71 – 76 (1997).
15. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2nd ed.,
De Gruyter (2016).
16. O. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, Criterion for the solvability of matrix equations of the Lyapunov type, Ukr. Math.
J., 50, № 8, 1162 – 1169 (1998).
17. S. M. Chuiko, On the solution of matrix Lyapunov equations, Visn. Kharkiv. Univ., Ser. Mat., Prikl. Mat., Mekh.,
№ 1120, 85 – 94 (2014).
18. R. Datko, Extending a theorem of a A. M. Lyapunov to Hilbert space, J. Math. Anal. and Appl., 32, 610 – 616 (1970).
19. V. Druskin, L. Knizhnerman, V. Simoncini, Analysis of the rational Krylov subspace and ADI methods for solving
the Lyapunov equation, SIAM J. Numer. Anal., 49, № 5, 1875 – 1898 (2011).
20. T. E. Duncana, B. Maslowski, B. Pasik-Duncana, Stochastic equations in Hilbert space with a multiplicative fractional
Gaussian noise, Stochast. Process. and Appl., 115, 1357 – 1383 (2005).
21. H. Kielhöfer, On the Lyapunov-stability of stationary solutions of semilinear parabolic differential equations, J. Dif-
ferent. Equat., 22, 193 – 208 (1976).
22. V. I. Man’ko, R. Vilela, Mendes Lyapunov exponent in quantum mechanics. A phase-space approach, Physica D,
145, 330 – 348 (2000).
23. E. V. Panasenko, O. O. Pokutnyi, Boundary-value problems for the Lyapunov equation in Banach spaces, J. Math.
Sci., 223, 1 – 7 (2017).
24. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi з не-
обмеженим оператором у лiнiйнiй частинi, Нелiнiйнi коливання, 16, № 4, 518 – 526 (2013); English translation:
J. Math. Sci., 203, № 3, 366 – 374 (2014).
25. A. Pazy, On the applicability of Lyapunov’s theorem in Hilbert space, SIAM J. Math. Anal., 3, № 2, 291 – 294 (1972).
26. K. Maciej Przyluski, The Lyapunov equation and the problem of stability for linear bounded discrete-time systems in
Hilbert space, Appl. Math. and Optim., 6, 97 – 112 (1980).
27. I. G. Rosen, C. Wang, A multilevel technique for the approximate solution of operator Lyapunov and algebraic
Riccati equations, SIAM J. Numer. Anal., 32, № 2, 514 – 541 (1995).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
372 ОЛЕКСАНДР БОЙЧУК, ЄВГЕН ПАНАСЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПОКУТНИЙ
28. D. Sather, Branching of solutions of an equation in Hilbert space, Arch. Ration. Mekh. and Anal., 36, 47 – 64 (1970).
29. Vu Ngoc Phat, Tran Tin Kiet, On the Lyapunov equation in Banach spaces and applications to control problems, Int.
J. Math. and Math. Sci., 29, № 3, 155 – 166 (2002).
30. Wen John Ting-Yung, J. M. Balas, Robust adaptive control in Hilbert space, J. Math. Anal. and Appl., 143, 1 – 26
(1989).
31. Davor Dragicevic, Ciprian Preda, Lyapunov theorems for exponential dichotomies in Hilbert spaces, Int. J. Math.,
27, № 4 (2016).
32. Ciprian Preda, Petre Preda, Lyapunov operator inequalities for exponential stability of Banach space semigroups of
operators, Appl. Math. Lett., 25, 401 – 403 (2012).
33. M. Gil’, Solution estimates for the discrete Lyapunov equation in a Hilbert space and applications to difference
equations, Axioms, 8, № 1 (2019).
34. Lucas Jodar, An algorithm for solving generalized algebraic Lyapunov equations in Hilbert space, applications to
boundary value problems, Proc. Edinburgh Math. Soc., 31, 99 – 105 (1988).
35. Y. Latushkin, S. Montgomery-Smith, Lyapunov theorems for Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 31, № 1, 44 – 49
(1994).
36. P. Gahinet, M. Sorine, A. J. Laub, C. Kenney, Stability margins and Lyapunov equations for linear operators in
Hilbert space, Proceedings of the 29th Conference on Decision and Control Honolulu (1990), p. 2638 – 2639.
37. R. P. Ivanov, I. L. Raykov, Parametric Lyapunov function method for solving nonlinear systems in Hilbert spaces,
Numer. Funct. Anal. and Optim., 17, 893 – 901 (1996).
38. A. Polyakov, On homogeneous Lyapunov function theorem for evolution equations, IFAC 2020 — International
Federation of Automatic Control, 21st World Congress, Jul 2020, Berlin/Virtual, Germany (2020).
39. M. Gil’, Stability of linear equations with differentiable operators in a Hilbert space, IMA J. Math. Control and
Inform., 1 – 8 (2018).
40. А. А. Бойчук, А. А. Покутний, Теория возмущений операторных уравнений в пространствах Фреше и Гиль-
берта, Укр. мат. журн., 67, № 9, 1181 – 1188 (2015).
41. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Умова бiфуркацiї розв’язкiв рiвняння Ляпунова у просторi Гiльберта,
Нелiнiйнi коливання, 20, № 3, 373 – 390 (2017); English translation: J. Math. Sci., 236, № 3, 313 – 332 (2019).
42. Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, Нелiнiйнi крайовi задачi для рiвняння Ляпунова у просторi Lp , Нелiнiйнi
коливання, 21, № 4, 523 – 536 (2018); English translation: J. Math. Sci., 246, № 4, 394 – 409 (2020).
43. E. Deutch, Semi-inverses, reflexive semi-inverses, and pseudoinverses of an arbitrary linear transformation, Linear
Algebra and Appl., 4, 313 – 322 (1971).
44. A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin, Solutions of ill-posed problems, John Wiley, New York (1977).
45. H. Harbrecht, M. Schmidlin, C. Schwab, The Gevrey class implicit mapping theorem with application to UQ of
semilinear elliptic PDEs; arXiv:2310.01256 (2023).
46. H. Harbrecht, I. Kalmykov, Sparse grid approximation of the Riccati operator for closed loop parabolic control
problems with Dirichlet boundary control, SIAM J. Control and Optim., 59, № 6, 4538 – 4562 (2021).
47. V. Kaloshin, Ke. Zhang, Arnold diffusion for smooth systems of two and a half degrees of freedom, Princeton and
Oxford (2020).
Одержано 05.09.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7785 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:33:48Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/b9fabe760188fc8d33dcc36d906b7f5a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-77852024-06-19T00:35:21Z Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І Крайові задачі для рівняння Ляпунова. І Boichuk, O. Panasenko, Ye. Pokutnyi, O. Бойчук, Олександр Панасенко, Євген Покутний, Олександр Покутний, Александр рівняння Ляпунова, псевдообернений за Муром-Пенроузом оператор Крайові задачі для операторно-диференціальних рівнянь UDC 517.9 We study boundary-value problems for the Lyapunov operator-differential&nbsp; equation. By using&nbsp; the theory of Moore–Penrose pseudoinverse operators&nbsp; and its development, we establish conditions for the existence of generalized solutions and propose algorithms for their construction. УДК 517.9 Статтю присвячено дослідженню крайових задач для операторно-диференціального рівняння Ляпунова. За допомогою теорії псевдообернених за Муром–Пенроузом операторів та її розвинення знайдено умови існування узагальнених розв'язків і побудовано алгоритми їх знаходження.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7785 10.3842/umzh.v76i3.7785 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 3 (2024); 353 - 372 Український математичний журнал; Том 76 № 3 (2024); 353 - 372 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7785/9853 Copyright (c) 2024 Олександр Покутний, Олександр Бойчук, Євгеній Панасенко |
| spellingShingle | Boichuk, O. Panasenko, Ye. Pokutnyi, O. Бойчук, Олександр Панасенко, Євген Покутний, Олександр Покутний, Александр Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title | Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title_alt | Крайові задачі для рівняння Ляпунова. І |
| title_full | Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title_fullStr | Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title_short | Boundary-value problems for the Lyapunov equation. І |
| title_sort | boundary-value problems for the lyapunov equation. і |
| topic_facet | рівняння Ляпунова псевдообернений за Муром-Пенроузом оператор Крайові задачі для операторно-диференціальних рівнянь |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7785 |
| work_keys_str_mv | AT boichuko boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT panasenkoye boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT pokutnyio boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT bojčukoleksandr boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT panasenkoêvgen boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT pokutnijoleksandr boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT pokutnijaleksandr boundaryvalueproblemsforthelyapunovequationí AT boichuko krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT panasenkoye krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT pokutnyio krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT bojčukoleksandr krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT panasenkoêvgen krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT pokutnijoleksandr krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí AT pokutnijaleksandr krajovízadačídlârívnânnâlâpunovaí |