Laguerre–Cayley functions and related polynomials
UDC 517.587 We investigate the main properties of Laguerre–Cayley functions and related polynomials, which can be regarded as an essential component of  mathematical apparatus of the functional-discrete (FD-) method for solving the Cauchy problem for an abstract homogeneous evolutionary...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7810 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794145826635776 |
|---|---|
| author | Makarov, V. Makarov, S. Makarov, V. L. Макаров, Володимир Макаров, Сергій |
| author_facet | Makarov, V. Makarov, S. Makarov, V. L. Макаров, Володимир Макаров, Сергій |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Володимир Макаров",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "Сергій Макаров",
"institution": "Національний центр ,,Мала академія наук України'', Київ"
}
] |
| author_sort | Makarov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:21Z |
| description | UDC 517.587
We investigate the main properties of Laguerre–Cayley functions and related polynomials, which can be regarded as an essential component of  mathematical apparatus of the functional-discrete (FD-) method for solving the Cauchy problem for an abstract homogeneous evolutionary equation of  fractional order. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i3.7810 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i3.7810
УДК 517.587
Володимир Макаров1 (Iнститут математики НАН України, Київ),
Сергiй Макаров (Нацiональний центр „Мала академiя наук України”, Київ)
ФУНКЦIЇ I ПОЛIНОМИ ЛАГЕРРА – КЕЛI
We investigate the main properties of Laguerre – Cayley functions and related polynomials, which can be regarded as an
essential component of mathematical apparatus of the functional-discrete (FD-) method for solving the Cauchy problem for
an abstract homogeneous evolutionary equation of fractional order.
Дослiджуються основнi властивостi функцiй Лагерра – Келi та пов’язаних iз ними полiномiв, якi є суттєвою складо-
вою математичного апарату функцiонально-дискретного (FD-) методу розв’язування задачi Кошi для абстрактного
однорiдного еволюцiйного рiвняння дробового порядку.
1. Вступ. Виникнення полiномiв Лагерра – Келi пов’язане з дослiдженням задачi Кошi для
абстрактного однорiдного еволюцiйного рiвняння дробового порядку
\partial tu(t) + \partial - \alpha
t Au(t) = 0, t > 0, u(0) = u0,
розв’язок якого за допомогою функцiї Мiттаг-Леффлера зображується у формi [1]
u(t) = E1+\alpha
\bigl(
- At1+\alpha
\bigr)
u0 =
\infty \sum
j=0
\bigl(
- At1+\alpha
\bigr) j 1
\Gamma (1 + j(\alpha + 1))
u0. (1)
Тут
\bigl(
\partial - \alpha
t u
\bigr)
(t) =
\left\{
\partial t
\int t
0
(t - s)\alpha
\Gamma (1 + \alpha )
u(s) ds, - 1 < \alpha < 0,\int t
0
(t - s)\alpha - 1
\Gamma (\alpha )
u(s) ds, 0 < \alpha < 1,
— iнтеграл у сенсi Рiмана – Лiувiлля, A — секторiальний оператор у комплексному банаховому
просторi. Якщо формально замiнити A на (I - q) - 1q (перетворення Келi) i розвинути ряд у (1)
за степенями оператора q , то отримаємо зображення
u(t) = 1 +
\infty \sum
k=1
qkp\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
, (2)
яке мiстить функцiї p\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
, названi нами функцiями Лагерра – Келi. Для спрощення викладу
будемо вважати, що елемент u0 є одиничним у вiдповiдному банаховому просторi.
У роботi [1] запропоновано i обґрунтовано експоненцiально збiжний метод знаходження
наближення до векторнозначної функцiї (2). Iнший пiдхiд, що базується на операторному пе-
ретвореннi Келi та спрямований на побудову й обґрунтування наближення до формули (2), був
запропонований у роботi [2]. Цей пiдхiд, з точки зору реалiзацiї та обґрунтування, є конкурен-
тоспроможним щодо методу з [1], i в ньому суттєву роль вiдiграють функцiї p\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
. Тому
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: makarov@imath.kiev.ua.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, СЕРГIЙ МАКАРОВ, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3 423
424 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, СЕРГIЙ МАКАРОВ
дослiдження властивостей функцiй Лагерра – Келi є важливим напрямком. Цiлком природним
є вивчення цих властивостей через властивостi полiномiв p\alpha j (x), якi також природно називати
полiномами Лагерра – Келi.
Полiноми p\alpha j (x) належать до класу гiперболiчних полiномiв (експериментально встановле-
но), тобто полiномiв, у яких всi нулi є дiйсними. Такi властивостi мають, зокрема, ортогональнi
полiноми, що задовольняють тричленнi рекурентнi спiввiдношення. На вiдмiну вiд останнiх,
полiноми Лагерра – Келi не мають такої властивостi. Зокрема, полiноми p
- 1
2
j (x), як доведено в
цiй роботi, задовольняють чотиричленне рекурентне спiввiдношення (далi наведено його точ-
ний вигляд) iз коефiцiєнтами, що залежать вiд j, тобто не є ортогональними. Дослiдженням
полiномiв, якi задовольняють чотиричленнi рекурентнi спiввiдношення вигляду
pm(z) + C(z)pm - 1(z) +B(z)pm - 2(z) +A(z)pm - 3(z) = 0,
m = 2, 3, . . . , pm(z) = 0, m < 0,
(3)
де C(z), B(z), A(z) — лiнiйнi функцiї вiд z, що не залежать вiд m, останнiм часом присвячено
значну кiлькiсть робiт (див. [1 – 5]). Роботи, де дослiджуються питання, пов’язанi з чотиричлен-
ним рекурентним спiввiдношенням вигляду (3), коефiцiєнти якого залежать вiд m, авторам не
вiдомi.
Означення 1. Функцiї p\alpha j
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
, якi утворюються пiсля розвинення в ряд Маклорена функ-
цiї Мiттаг-Леффлера
E1+\alpha
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr) j 1
\Gamma (1 + j(\alpha + 1))
=
\infty \sum
j=0
qjp\alpha j
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
,
p\alpha j
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
=
1
j!
\partial j
\partial qj
E1+\alpha
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q=0
,
(4)
назвемо функцiями Лагерра – Келi.
Використовуючи означення, знаходимо явний вираз функцiй Лагерра – Келi
p\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
= p - ,\alpha
k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
+ p+,\alpha
k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
=
k - 1\sum
s=0
Cs
k - 1
( - 1)s+1t(s+1)(1+\alpha )
\Gamma (1 + (\alpha + 1)(s+ 1))
, (5)
де
p - ,\alpha
k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
= -
[ k+1
2 ]\sum
s=1
C2s - 2
k - 1
t(2s - 1)(1+\alpha )
\Gamma (2s+ (2s - 1)\alpha )
,
p+,\alpha
k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
=
[ k2 ]\sum
s=1
C2s - 1
k - 1
t2s(1+\alpha )
\Gamma (2s+ 1 + 2s\alpha )
.
Лема 1. Для того щоб функцiї Лагерра – Келi визначались за формулою (5), необхiдно та
достатньо, щоб справджувалось iнтегрально-рiзницеве двочленне рекурентне спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ФУНКЦIЇ I ПОЛIНОМИ ЛАГЕРРА – КЕЛI 425
p\alpha k+1
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
= p\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
- 1
\Gamma (\alpha + 1)
t\int
0
(t - s)\alpha p\alpha k
\bigl(
s1+\alpha
\bigr)
ds, \alpha \in ( - 1, 1),
k = 1, 2, . . . , p\alpha 1
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
= - t1+\alpha
\Gamma (\alpha + 2)
.
(6)
Доведення. Зважаючи на формулу (5) i застосовуючи формулу
1
\Gamma (\alpha + 1)
t\int
0
(t - s)\alpha sk(1+\alpha ) ds =
tk(1+\alpha )+\alpha +1
\Gamma (\alpha + 1)
1\int
0
(1 - s)\alpha sk(1+\alpha ) ds
=
t(k+1)(1+\alpha )\Gamma (k\alpha + k + 1)
\Gamma ((k + 1)\alpha + k + 2)
,
неважко переконатися, що права частина (6) набере вигляду її лiвої частини. Обернене твер-
дження доводимо методом повної математичної iндукцiї.
2. Асимптотика та оцiнки функцiй Лагерра – Келi. Для дослiдження асимптотичної по-
ведiнки функцiй Лагерра – Келi, а також отримання оцiнок для них, що є дуже важливим для
теоретичного обґрунтування FD-методу, ефективним пiдходом виявилось використання апарату
твiрних функцiй.
Введемо таку твiрну функцiю:
f\alpha (z, t) =
\infty \sum
k=0
zkp\alpha k
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
, p\alpha 0
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
= 1.
Помноживши обидвi частини (6) на zk та пiдсумувавши по k вiд 0 до \infty , отримаємо iнтегральне
рiвняння
(1 - z)f (\alpha )(z, t) +
z
\Gamma (1 + \alpha )
t\int
0
(t - s)\alpha f (\alpha )(z, s) ds = 1.
За допомогою прямого та оберненого перетворень Лапласа одержуємо явнi розв’язки цього
iнтегрального рiвняння. Зокрема, для найпростiших випадкiв \alpha = - 1/2, 0, 1/2, 1 маємо
f ( - 1/2)(z, t) = \mathrm{e}
z2t
(1 - z)2
\biggl[
\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}
\biggl(
- z
\surd
t
1 - z
\biggr)
+ 1
\biggr]
,
f (0)(z, t) = \mathrm{e}
zt
z - 1 ,
f (1)(z, t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
t
\sqrt{}
z
1 - z
\biggr)
,
f (1/2)(z, t) =
1
3
\surd
\pi ( - 1 + z)
\Biggl[
4z t3/2 \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}
\Biggl(
[1],
\biggl[
5
6
,
7
6
,
9
6
\biggr]
,
z2t3
27( - 1 + z)2
\Biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
426 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, СЕРГIЙ МАКАРОВ
+
\surd
\pi ( - 1 + z)2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
- z2/3t
2( - 1 + z)2/3
\Biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl( \surd
3z2/3t
2( - 1 + z)2/3
\Biggr)
-
\surd
\pi \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
z2/3t
( - 1 + z)2/3
\Biggr) \Biggr]
.
Бiльш простий шлях отримання твiрних функцiй для рiзних значень \alpha полягає у використаннi
лiвої частини формули (4).
Твердження 1. Нехай \alpha \in ( - 1, 0), тодi справедливою є формула
1
k!
\infty \sum
s=k
p\alpha s (1)
k!
(k - s)!
= ( - 1)k
k - 1\sum
s=0
( - 1)sCs
k - 1
\Gamma ( - \alpha - s(1 + \alpha ))
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
q\rightarrow 1 - 0
1
k!
\partial k
\partial qk
f (\alpha )(q, 1). (7)
Доведення проводиться з використанням теореми Абеля, а також аналiтичних та чисельних
розрахункiв, виконаних за допомогою системи комп’ютерної алгебри (с.к.а.) Maple.
У випадку, коли для певних конкретних значень \alpha використання формули (7) викликає сут-
тєвi труднощi, доцiльно застосувати iнший пiдхiд. А саме, шукати розвинення лiвої частини (4)
не в нулi, а в точцi q = - 1. Тобто необхiдно знайти коефiцiєнти ряду Тейлора вигляду
E1+\alpha
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr) j 1
\Gamma (1 + j(\alpha + 1))
=
\infty \sum
j=0
(q + 1)jS\alpha
j
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
,
де
S\alpha
j
\bigl(
t1+\alpha
\bigr)
=
1
j!
\partial j
\partial qj
E1+\alpha
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q= - 1
=
1
j!
\infty \sum
s=j
( - 1)sp\alpha s
\bigl(
t1+\alpha
\bigr) s!
(s - j)!
. (8)
Твердження 2. Нехай \alpha \in ( - 1, 0), тодi для будь-якого натурального j справедливою є
формула (8).
Знайти лiву частину формули (8) технiчно набагато простiше, нiж знайти праву частину
формули (7), оскiльки функцiя E1+\alpha
\biggl(
- q
1 - q
t1+\alpha
\biggr)
i всi її частиннi похiднi за змiнною q не
мають особливостей у точцi q = - 1.
Iз тверджень 1, 2 випливає, що для \alpha \in ( - 1, 0) i будь-якого цiлого невiд’ємного j \leq s буде
правильною гранична рiвнiсть \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}s\rightarrow \infty p\alpha s
\bigl(
t1+\alpha
\bigr) s!
(s - j)!
= 0.
У випадку \alpha = 0 функцiї Лагерра – Келi зображуються через класичнi ортогональнi полiно-
ми Лагерра p0k(t) = Lk(t) - Lk - 1(t), якi, згiдно з класичною нерiвнiстю для полiномiв Лагерра
[6], задовольняють нерiвнiсть
\bigm| \bigm| p0k(t)\bigm| \bigm| \leq 2 \mathrm{e}
t
2 .
Для \alpha \in (0, 1) шляхом аналiтичних розрахункiв, проведених за допомогою с.к.а. Maple,
показано, що iснують такi натуральнi показники \mu (\alpha ), для яких ряди
\sum \infty
k=1
p\alpha k (1) k
- \mu (\alpha ) об-
числюються точно, тобто є збiжними. Отже, виконується оцiнка | p\alpha k (1)| \leq Ck\mu (\alpha ), \alpha \in (0, 1).
Зокрема, \mu (\alpha ) = 6, \alpha =
1
m
, m = 4, . . . , 13, \mu (\alpha ) = 7, \alpha =
m
m+ 1
, m = 2, 3, 4, \mu
\biggl(
1
2
\biggr)
= 8. Да-
лi в такий же спосiб одержуємо
\sum \infty
k=1
\bigm| \bigm| p1k(1)\bigm| \bigm| k - 4 = 0.53631821 . . . , тобто виконується оцiнка\bigm| \bigm| p1k(1)\bigm| \bigm| \leq Ck - 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ФУНКЦIЇ I ПОЛIНОМИ ЛАГЕРРА – КЕЛI 427
Зауваження 1. Для використання такої технiки необхiдно одночасно перевiряти, як пра-
вило чисельно, чи прямує загальний член суми до нуля (у протилежному випадку згiдно з
теорiєю ряд є розбiжним, оскiльки не виконується необхiдна умова збiжностi), або чи є абсо-
лютно збiжним вiдповiдний ряд, що, зокрема, було перевiрено для випадку \alpha = 1.
3. Рекурентнi спiввiдношення. Нехай \alpha = - 1
2
, тодi функцiї Лагерра – Келi p
- 1
2
k
\bigl( \surd
t
\bigr)
будуть задовольняти рекурентне спiввiдношення
n p
- 1
2
n
\bigl( \surd
t
\bigr)
= 3(n - 1)p
- 1
2
n - 1
\bigl( \surd
t
\bigr)
+ (2t - 3n+ 6)p
- 1
2
n - 2
\bigl( \surd
t
\bigr)
+ (n - 3)p
- 1
2
n - 3
\bigl( \surd
t
\bigr)
,
n = 3, 4, . . . , p
- 1
2
0
\bigl( \surd
t
\bigr)
= 1, p
- 1
2
1
\bigl( \surd
t
\bigr)
= - 2\surd
\pi
\surd
t,
p
- 1
2
2
\bigl( \surd
t
\bigr)
= - 2\surd
\pi
\surd
t+ t.
(9)
Спiввiдношення (9) одержано з використанням послiдовностi A052887 iз [7], що збiгається
з послiдовнiстю чисельникiв дробiв p+, - 1/2
k (1), k = 1, 2, . . . , знаменники яких мiстять k!.
Для iнших значень \alpha вигляду \alpha = - p
q
, де
p
q
— простий дрiб, розроблено методику отриман-
ня рекурентних спiввiдношень для функцiй Лагерра – Келi, яка спирається на застосування
с.к.а. Maple.
У якостi iлюстрацiї можливостей цiєї методики наведемо результати її застосування для
деяких значень \alpha . Так, для \alpha = - 2
3
маємо
p
- 2
3
k+1
\bigl(
t
1
3
\bigr)
- 4k
k + 1
p
- 2
3
k
\bigl(
t
1
3
\bigr)
+
6(k - 1)
k + 1
p
- 2
3
k - 1
\bigl(
t
1
3
\bigr)
-
\biggl(
- 3
k + 1
t+
4(k - 2)
k + 1
\biggr)
p
- 2
3
k - 2
\bigl(
t
1
3
\bigr)
+
k - 3
k + 1
p
- 2
3
k - 3
\bigl(
t
1
3
\bigr)
= 0, k = 3, 4, . . . ,
p
- 2
3
1
\bigl(
t
1
3
\bigr)
= - 3
\surd
3
2\pi
\Gamma
\biggl(
2
3
\biggr)
t
1
3 , p
- 2
3
2
\bigl(
t
1
3
\bigr)
= - 3
\surd
3
2\pi
\Gamma
\biggl(
2
3
\biggr)
t
1
3 +
3
2\Gamma (2/3)
t
2
3 ,
p
- 2
3
3
\bigl(
t
1
3
\bigr)
= - 3
\surd
3
2\pi
\Gamma
\biggl(
2
3
\biggr)
t
1
3 +
3
\Gamma (2/3)
t
2
3 - t,
для \alpha = - 3
4
p
- 3
4
k+1
\bigl(
t
1
4
\bigr)
- 5k
k + 1
p
- 3
4
k
\bigl(
t
1
4
\bigr)
+
10(k - 1)
k + 1
p
- 3
4
k - 1
\bigl(
t
1
4
\bigr)
- 10(k - 2)
k + 1
p
- 3
4
k - 2
\bigl(
t
1
4
\bigr)
-
\biggl(
4
k + 1
t - 5(k - 3)
k + 1
\biggr)
p
- 3
4
k - 3
\bigl(
t
1
4
\bigr)
- k - 4
k + 1
p
- 3
4
k - 4
\bigl(
t
1
4
\bigr)
= 0, k = 4, 5, . . . ,
p
- 3
4
1
\bigl(
t
1
4
\bigr)
= - 2
\surd
2
\pi
\Gamma
\biggl(
3
4
\biggr)
t
1
4 , p
- 3
4
2
\bigl(
t
1
4
\bigr)
= - 2
\surd
2
\pi
\Gamma
\biggl(
3
4
\biggr)
t
1
4 +
2\surd
\pi
t
1
2 ,
p
- 3
4
3
\bigl(
t
1
4
\bigr)
= - 2
\surd
2
\pi
\Gamma
\biggl(
3
4
\biggr)
t
1
4 +
4\surd
\pi
t
1
2 - 4
3\Gamma (3/4)
t
3
4 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
428 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, СЕРГIЙ МАКАРОВ
для \alpha = - 1
3
p
- 1
3
k+1
\bigl(
t
2
3
\bigr)
- 20(k - 1)k
(k + 1)(4k - 2)
p
- 1
3
k
\bigl(
t
2
3
\bigr)
+
10(k - 1)(2k - 3)
(k + 1)(4k - 2)
p
- 1
3
k - 1
\bigl(
t
2
3
\bigr)
-
\Biggl(
9
(k + 1)(4k - 2)
t2 +
40(k - 2)2
(k + 1)(4k - 2)
\Biggr)
p
- 1
3
k - 2
\bigl(
t
2
3
\bigr)
- 10(k - 3)(2k - 5)
(k + 1)(4k - 2)
p
- 1
3
k - 3
\Bigl(
t
2
3
\Bigr)
- 4(k - 4)(k - 3)
(k + 1)(4k - 2)
p
- 1
3
k - 4
\bigl(
t
2
3
\bigr)
= 0, k = 3, 4, 5, . . . ,
p
- 1
3
1
\bigl(
t
2
3
\bigr)
= - 3
2\Gamma (2/3)
t
2
3 , p
- 1
3
2
\bigl(
t
2
3
\bigr)
= - 3
2\Gamma (2/3)
t
2
3 +
9
\surd
3\Gamma (2/3)
8\pi
t
4
3 ,
p
- 1
3
3
\bigl(
t
2
3
\bigr)
= - 2
\surd
2
\pi
\Gamma
\biggl(
3
4
\biggr)
t
1
4 +
9
\surd
3\Gamma (2/3)
4\pi
t
4
3 - 1
2
t2.
4. Диференцiальне рiвняння. Полiноми
p
- 1
2
n (t)
t
= u
- 1
2
n - 1(t) задовольняють диференцiальне
рiвняння нескiнченного порядку
L
\biggl(
u
- 1
2
n (t)
\biggr)
- 2nu
- 1
2
n (t) =
\infty \sum
j=1
qj(t)
dju
- 1
2
n (t)
dtj
- 2nu
- 1
2
n (t), n = 0, 1, . . . ,
де коефiцiєнти qj(t) не залежать вiд n i мають вигляд
q1(t) = t - 2\surd
\pi
, q2(t) = t2 - 9\pi - 8
4
\surd
\pi
t+
3
2
,
q3(t) = - 1
2
t3 +
27\pi - 44
12
\surd
\pi
t2 - 5
2
t+
2\surd
\pi
,
q4(t) =
1
6
t4 - 23\pi - 48
16
\surd
\pi
t3 +
7
4
t2 - 5\pi + 32
16
\surd
\pi
t+
5
8
,
q5(t) = - 1
24
t5 +
165\pi - 404
240
\surd
\pi
t4 - 3
4
t3 +
5\pi + 16
16
\surd
\pi
t2 - 7
8
t+
1
2
\surd
\pi
, . . . .
Введемо позначення
qj(t) =
j\sum
s=0
g(j)s tj . (10)
Тодi справджуються спiввiдношення
k(n)n
n - 1\sum
s=0
n!g
(n - s)
n - s
s!
= k(n)n \lambda n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ФУНКЦIЇ I ПОЛIНОМИ ЛАГЕРРА – КЕЛI 429
k(n)n
n - 1\sum
s=0
n!g
(n - s)
n - s - 1
s!
+ k
(n)
n - 1
n - 2\sum
s=0
(n - 1)!g
(n - s - 1)
n - s - 1
s!
= k
(n)
n - 1\lambda n - 1,
k(n)n
n - 1\sum
s=0
n!g
(n - s)
n - s - 2
s!
+ k
(n)
n - 1
n - 2\sum
s=0
(n - 1)!g
(n - s)
n - s - 2
s!
+ k
(n)
n - 2
n - 3\sum
s=0
(n - 2)!g
(n - s - 2)
n - s - 2
s!
= k
(n)
n - 2\lambda n - 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
k(n)n
n - 1\sum
s=0
n!g
(n - s)
n - s - 2
s!
+ . . .+ k
(n)
n - j
n - j - 1\sum
s=0
(n - j)!g
(n - s - j)
n - s - j
s!
= k
(n)
n - j\lambda n - j ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
n - 1\sum
j=0
k
(n)
n - j
n - j - 1\sum
s=0
(n - j)!g
(n - s - j)
n - s - j
s!
= k
(n)
1 \lambda 1,
n = 1, 2, . . . .
Iз наведеної системи послiдовно можна знайти коефiцiєнти всiх полiномiв (10) як функцiї вiд
заданих „власних значень” \lambda j , j = 1, 2, . . . .
Лема 2. В класi диференцiальних рiвнянь вигляду
L
\bigl(
u
- 1
2
n (t)
\bigr)
- \lambda n u
- 1
2
n (t) =
\infty \sum
j=1
qj(t)
dju
- 1
2
n (t)
dtj
- \lambda n u
- 1
2
n (t), n = 0, 1, . . . , (11)
не iснує диференцiальних рiвнянь другого i четвертого порядкiв.
Доведення. Аналiтичнi викладки показують, що
g
(3)
3 = - 1
2
\biggl(
- \lambda 1 + \lambda 2 -
1
3
\lambda 3
\biggr)
,
g
(3)
2 = - 1
12
\surd
\pi
(9\pi \lambda 1 - 9\pi \lambda 2 + 12\lambda 1 - 16\lambda 2 + 16\lambda 3), (12)
g
(3)
1 =
5
2
\lambda 1 -
11
4
\lambda 2 + \lambda 3, g
(3)
0 =
2\surd
\pi
\biggl(
- \lambda 1 + \lambda 2 -
1
3
\lambda 3
\biggr)
= - 4\surd
\pi
g
(3)
3 ;
g
(5)
5 =
1
24
\biggl(
\lambda 1 - 2\lambda 2 + 2\lambda 3 - \lambda 4 +
1
5
\lambda 5
\biggr)
,
g
(5)
4 = - 1
480
\surd
\pi
\bigl[
(60\pi - 40)\lambda 1 - (60\pi + 320)\lambda 2 + (75\pi + 320)\lambda 3 + (75\pi + 64)\lambda 4 + 64\lambda 5
\bigr]
,
g
(5)
3 =
1
4
\biggl(
3\lambda 1 - 7\lambda 2 + 2\lambda 3 -
9
2
\lambda 4 + \lambda 5
\biggr)
, (13)
g
(5)
2 = - 1
48
\surd
\pi
\bigl[
(15\pi + 48)\lambda 1 - (45\pi + 80)\lambda 2 + (45\pi + 112)\lambda 3 - (15\pi + 96)\lambda 4 + 32\lambda 5
\bigr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
430 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, СЕРГIЙ МАКАРОВ
g
(5)
1 =
1
16
\biggl(
14\lambda 1 - 31\lambda 2 + 34\lambda 3 -
37
2
\lambda 4 + 4\lambda 5
\biggr)
,
g
(5)
0 = - 12\surd
\pi
g
(5)
5 .
Для того щоб у сiм’ї рiвнянь (11) iснувало рiвняння другого порядку, необхiдно, щоб всi
коефiцiєнти у (12) дорiвнювали нулю, тобто щоб однорiдна система рiвнянь щодо \lambda i, i = 1, 2, 3,
g
(3)
i = 0, i = 1, 2, 3,
мала нетривiальний розв’язок. Проте неважко переконатись, що її визначник є вiдмiнним вiд
нуля, отже, її розв’язок є тривiальним. Ця суперечнiсть доводить твердження леми для цього
випадку. Аналогiчно доводиться неiснування рiвняння четвертого порядку в сукупностi рiв-
нянь (11) шляхом аналiзу системи (13).
5. Нулi полiномiв Лагерра – Келi. Наведемо деякi результати щодо властивостей коренiв
функцiй Лагерра – Келi. Для їх одержання зручно застосувати властивостi нулiв полiномiв,
породжених функцiями Лагерра – Келi, використавши формулу
P\alpha
k - 1(x) =
p\alpha k ( - x)
x
, замiна t1+\alpha = - x. (14)
Згiдно з (5) отримуємо
P\alpha
k - 1(x) =
k - 1\sum
s=0
Cs
k - 1
xs
\Gamma (1 + (\alpha + 1)(s+ 1))
=
k - 1\sum
s=0
b\alpha k - 1,sx
s. (15)
Виконується нерiвнiсть
b\alpha k - 1,sb
\alpha
k - 1,s+1 - b\alpha k - 1,s - 1b
\alpha
k - 1,s+2 > 0, s = 1, . . . , k - 3, k > 3, \alpha > - 1, (16)
яка свiдчить про те, що полiноми (15) є стiйкими або є полiномами Гурвiца, тобто такими, у
яких нулi лежать у вiдкритiй лiвiй комплекснiй пiвплощинi [8].
Для доведення нерiвностi (16) розглянемо
b\alpha k - 1,sb
\alpha
k - 1,s+1 - b\alpha k - 1,s - 1b
\alpha
k - 1,s+2
=
[(k - 1)!]2\Gamma ((\alpha + 1)s+ 1) - 1\Gamma ((\alpha + 1)s+ 3\alpha + 4) - 1
s!(k - s - 1)!(s+ 1)!(k - s - 2)!
\times
\biggl[
\Gamma ((\alpha + 1)s+ 1)\Gamma ((\alpha + 1)s+ 3\alpha + 4)
\Gamma ((\alpha + 1)s+ \alpha + 2)\Gamma ((\alpha + 1)s+ 2\alpha + 3)
- s(k - s - 2)
(s+ 2)(k - s)
\biggr]
.
Неважко переконатись, що вираз у квадратних дужках строго додатний для \alpha > - 1 та всiх
зазначених s, k. Згiдно з роботою [8], виконання нерiвностей (16) є необхiдною умовою, щоб
полiноми (15) були полiномами Гурвiца. Звiдси випливає, що коренi функцiй Лагерра – Келi
вiдмiннi вiд нуля i лежать у правiй вiдкритiй комплекснiй пiвплощинi.
Варто зауважити, що на основi технiки, пов’язаної з неперервними дробами Стiлтьєса, i
теорем 5.1 та 5.2 iз [9] у с.к.а. Maple є простi у використаннi засоби автоматичної перевiрки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ФУНКЦIЇ I ПОЛIНОМИ ЛАГЕРРА – КЕЛI 431
виконання необхiдних i достатнiх умов щодо належностi цього полiнома до класу полiномiв
Гурвiца. Зазначенi засоби дали можливiсть переконатись у тому, що будь-який перевiрений
полiном є полiномом Гурвiца. Крiм того, окремi компоненти дробiв Стiлтьєса можна знайти в
явному виглядi. Так, перша компонента дробу, що вiдповiдає полiномам P
- 1/2
2n - 1(x), має вигляд
\nu (n)
2\mu (n+1)
\surd
\pi x, \nu (n) = \mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}
\biggl(
(2n - 1)!!
(n+ 1)!
\biggr)
,
\mu (n) = \mu
\Bigl( \Bigl[ n
2
\Bigr] \Bigr)
+ n, \mu (0) = 0,
(17)
де \mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}
\biggl(
k
n
\biggr)
= k. Формулу (17) було одержано за допомогою послiдовностей A005187,
A098597 iз [7]. Першi двi компоненти дробу, що вiдповiдає полiномам P
- 1/2
2n+2(x), мають вигляд
0,
\nu (2n+ 2)
2\mu (n+1)
x\surd
\pi
,
\nu (2n+ 2) = \mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}
\biggl( \bigl(
3 + 8n+ 4n2
\bigr) Cn
2n
4n
\biggr)
, (18)
\mu (n) = \mu
\Bigl( \Bigl[ n
2
\Bigr] \Bigr)
+ n, \mu (0) = 0.
Формулу (18) одержано за допомогою послiдовностей A161199, A005187 iз [7].
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. W. Mclean, V. Thomée, Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution equation, J. Integral
Equations and Appl., 22, № 1, 57 – 94 (2010); https://doi.org/10.1216/JIE-2010-22-1-57.
2. В. Б. Василик, I. П. Гаврилюк, В. Л. Макаров, Експоненцiально збiжний метод наближення для рiвняння з
дробовою похiдною i необмеженим операторним коефiцiєнтом в банаховому просторi, Укр. мат. журн., 74,
№ 2, 151 – 163 (2022); https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6984.
3. K. Tran, A. Zumba, Zeros of polynomials with four-term recurrence, Involve, 11, № 3, 501 – 518 (2018); https://doi.org/
10.2140/involve.2018.11.501.
4. R. Adams, On hyperbolic polynomials with four-term recurrence and linear coefficients, Calcolo, 57, Article 22
(2020); https://doi.org/10.1007/s10092-020-00373-7.
5. K. Tran, A. Zumba, Zeros of polynomials with four-term recurrence and linear coefficients, Ramanujan J., 55,
447 – 470 (2021); https://doi.org/10.1007/s11139-020-00263-0.
6. Г. Сегe, Ортогональные полиномы, Физматлит, Москва (1962).
7. N. J. A. Sloane, S. Plouffe (Ed.), The encyclopedia of integer sequences, Academic Press, San Diego (1995).
8. X. Xie, A new method of investigating the stability of linear systems, Meeting report in Beijing, 1957 (in Chinese).
9. N. Levinson, R. M. Redheffer, Complex variables, eBook, Holden-Day, San Francisco (1970).
Одержано 18.09.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7810 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:04Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/38/a5efcea796562b6bd43d5b2269d24238.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78102024-06-19T00:35:21Z Laguerre–Cayley functions and related polynomials Функції і поліноми Лагерра–Келі Makarov, V. Makarov, S. Makarov, V. L. Макаров, Володимир Макаров, Сергій функції Міттаг-Леффлера, поліноми Лагерра--Келі, рекурентні співвідношення, поліноми Гурвіца UDC 517.587 We investigate the main properties of Laguerre–Cayley functions and related polynomials, which can be regarded as an essential component of&nbsp; mathematical apparatus of the functional-discrete (FD-) method for solving the Cauchy problem for an abstract homogeneous evolutionary equation of&nbsp; fractional order. УДК 517.587 Досліджуються основні властивості функ\-цій Лагерра–Келі та пов'язаних із ними поліномів, які є суттєвою складовою математичного апарату функціонально-дискретного (FD-) методу розв’язування задачі Коші для&nbsp; абстрактного однорідного еволюційного рівняння дробового порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7810 10.3842/umzh.v76i3.7810 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 3 (2024); 423 - 431 Український математичний журнал; Том 76 № 3 (2024); 423 - 431 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7810/9860 Copyright (c) 2024 Володимир Леонідович Макаров |
| spellingShingle | Makarov, V. Makarov, S. Makarov, V. L. Макаров, Володимир Макаров, Сергій Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title | Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title_alt | Функції і поліноми Лагерра–Келі |
| title_full | Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title_fullStr | Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title_full_unstemmed | Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title_short | Laguerre–Cayley functions and related polynomials |
| title_sort | laguerre–cayley functions and related polynomials |
| topic_facet | функції Міттаг-Леффлера поліноми Лагерра--Келі рекурентні співвідношення поліноми Гурвіца |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7810 |
| work_keys_str_mv | AT makarovv laguerrecayleyfunctionsandrelatedpolynomials AT makarovs laguerrecayleyfunctionsandrelatedpolynomials AT makarovvl laguerrecayleyfunctionsandrelatedpolynomials AT makarovvolodimir laguerrecayleyfunctionsandrelatedpolynomials AT makarovsergíj laguerrecayleyfunctionsandrelatedpolynomials AT makarovv funkcííípolínomilagerrakelí AT makarovs funkcííípolínomilagerrakelí AT makarovvl funkcííípolínomilagerrakelí AT makarovvolodimir funkcííípolínomilagerrakelí AT makarovsergíj funkcííípolínomilagerrakelí |