Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator
UDC 519.624.2 We study spectral properties of a polynomially perturbed Hermite operator and deduce the formulas allowing one to find the eigenvalues of this operator by using only elementary algebraic operations.
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7811 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794147112189952 |
|---|---|
| author | Makarov, V. Makarov, V. L. Макаров, Володимир |
| author_facet | Makarov, V. Makarov, V. L. Макаров, Володимир |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Володимир Макаров",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Makarov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:28Z |
| description | UDC 519.624.2
We study spectral properties of a polynomially perturbed Hermite operator and deduce the formulas allowing one to find the eigenvalues of this operator by using only elementary algebraic operations. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v74i4.7811 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i4.7811
УДК 519.624.2
Володимир Макаров1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
НАРИСИ СПЕКТРАЛЬНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ
ПОЛIНОМIАЛЬНО ЗБУРЕНОГО ОПЕРАТОРА ЕРМIТА
We study spectral properties of a polynomially perturbed Hermite operator and deduce the formulas allowing one to find
the eigenvalues of this operator by using only elementary algebraic operations.
Вивчаються спектральнi властивостi полiномiально збуреного оператора Ермiта. Одержано формули, якi дозволяють
знаходити власнi значення такого оператора, використовуючи тiльки елементарнi алгебраїчнi операцiї.
1. Вступ. Ця робота тiсно пов’язана зi статтями [1 – 3] та є подальшим розвитком запропоно-
ваного в них напрямку дослiджень. Розглянуто полiномiальне збурення потенцiалу оператора
Ермiта, який визначений на функцiях u(x) \in D\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} у такий спосiб:
- Au(x) = u\prime \prime (x) - x2u(x), - \infty < x < \infty ,
де D\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} — клас абсолютно неперервних функцiй f(x) зi своїми похiдними i таких, що
f
\prime \prime
(x) - x2f(x) \in L2( - \infty ,\infty ). Для збуреної задачi (збурення застосоване до коефiцiєнта бiля
потенцiалу x2) використано FD-метод [4], для якого, в бiльшостi випадкiв, можливi символьна
реалiзацiя та отримання кiнцевого результату в аналiтичному виглядi. Для наближення власних
значень одержано дробовi послiдовностi, якi разом з використанням OEIS (енциклопедiї цiлих
послiдовностей) надають можливiсть сформулювати гiпотезу щодо формули загальних чле-
нiв цих послiдовностей. Доведення справедливостi гiпотези здiйснюється строго математично.
На цьому шляху отримано красивi функцiональнi залежностi, що суттєво зменшують об’єм
обчислювальних витрат для знаходження спектральних характеристик збуреної задачi.
У другому пунктi для конкретної збуреної спектральної задачi продемонстровано техноло-
гiю розв’язування та обґрунтування такого роду задач, складнiсть яких пов’язана з необмеже-
нiстю як промiжку iнтегрування, так i функцiї збурення. У третьому пунктi викладену ранiше
методику застосовано до дослiдження ряду задач, пов’язаних зi збуренням оператора Ермiта.
2. Допомiжнi результати. Методику розв’язання та обґрунтування полiномiально збуреної
спектральної задачi для оператора Ермiта продемонструємо на такiй задачi.
Розглянемо задачу знаходження розв’язку u(x) \in D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} рiвняння
- Au(x) + \lambda u(x) = u\prime \prime (x) +
\biggl(
\lambda - 3
2
x2
\biggr)
u(x) = 0, 0 < x < \infty ,
u\prime (0) = 0,
(1)
де D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} — клас абсолютно неперервних функцiй f(x) зi своїми першими похiдними i таких,
що f
\prime \prime
(x) - 3
2
x2f(x) \in L2(0,\infty ). Тут збуренням є полiном
1
2
x2. Обмежимось пошуком лише
парних власних функцiй. Непарнi власнi функцiї можна знайти аналогiчно.
1 E-mail: makarov@imath.kiev.ua.
c\bigcirc ВОЛОДИМИР МАКАРОВ, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4 509
510 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ
Розв’язок наведеного рiвняння через функцiї Уiттекера має вигляд
u(x) =
C1\surd
x
WhittekerM
\Biggl(
\lambda
\surd
6
12
,
1
4
,
x2
\surd
6
2
\Biggr)
+
C2\surd
x
WhittekerW
\Biggl(
\lambda
\surd
6
12
,
1
4
,
x2
\surd
6
2
\Biggr)
.
Цей розв’язок належить класу D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, якщо C1 = 0, i водночас є власною функцiєю вищена-
веденої спектральної задачi, якщо вiн задовольняє однорiдну крайову умову в нулi. Це в свою
чергу буде тодi, коли \lambda буде коренем характеристичного рiвняння
d(\lambda ) =
\Gamma
\Biggl(
3
4
- \lambda
\surd
6
12
\Biggr)
\Gamma
\Biggl(
1
4
- \lambda
\surd
6
12
\Biggr) = 0.
Таке рiвняння виникає, якщо покладемо таким, що дорiвнює нулю, значення коефiцiєнта бiля
x у розвиненнi в ряд Тейлора функцiї
1\surd
x
WhittekerW
\Biggl(
\lambda
\surd
6
12
,
1
4
,
x2
\surd
6
2
\Biggr)
у випадку пошуку парної власної функцiї. Найменшим його додатним коренем буде
\lambda exact
0 = 1, 2247448713915890490986420373529,
а вiдповiдною власною функцiєю —
uexact
0 (x) =
21/4 61/8\surd
\pi x
\Gamma
\Biggl(
3
4
- \lambda exact
0
\surd
6
12
\Biggr)
WhittekerW
\Biggl(
\lambda exact
0
\surd
6
12
,
1
4
,
x2
\surd
6
2
\Biggr)
.
Далi для розв’язання задачi (1) застосовуємо простiший варiант FD-методу з базовою спект-
ральною задачею з оператором Ермiта (див. [4])
d2
dx2
u
(j+1)
0 (x) + (1 - x2)u
(j+1)
0 (x)
= -
j - 1\sum
p=0
\lambda
(j - p+1)
0 u
(p)
0 (x) +
\biggl(
- \lambda
(1)
0 +
1
2
x2
\biggr)
u
(j)
0 (x) \equiv F
(j+1)
0 (x), 0 < x < \infty ,
u
(j+1)
0 (x) \in D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x},
d
dx
u
(j+1)
0 (0) = 0, j = 0, 1, . . . ,
\infty \int
0
u
(j+1)
0 (x)u
(0)
0 (x)dx = 0.
(2)
Враховуючи умову розв’язностi задачi (2), отримуємо формулу, за якою можна визначити по-
правку до першого власного значення:
\infty \int
0
F
(j+1)
0 (x)u
(0)
0 (x)dx = 0, \lambda
(j+1)
0 =
1
2
\infty \int
0
x2u
(j)
0 (x)u
(0)
0 (x)dx, j = 0, 1, . . . .
Одержанi поправки до першого власного значення є такими:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
НАРИСИ СПЕКТРАЛЬНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПОЛIНОМIАЛЬНО ЗБУРЕНОГО ОПЕРАТОРА ЕРМIТА 511
\lambda
(0)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
= 1, \lambda
(1)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
=
1
4
, \lambda
(2)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
= - 1
32
,
\lambda
(3)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
=
1
128
, \lambda
(4)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
= - 5
2048
, . . . .
З огляду на використання OEIS [5], наведенi вище результати дали змогу сформулювати
гiпотезу: дроби \lambda
(j)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
є коефiцiєнтами в розвиненнi в ряд Тейлора функцiї
\sqrt{}
1 +
x
2
.
Цей ряд є абсолютно збiжний для | x| \leq 2. Гiпотеза буде справджуватись, якщо ряд
\lambda 0
\biggl(
1
2
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
(3)
буде збiжним i його сума буде збiгатися з найменшим власним значенням задачi (1). Маємо
\lambda
(j)
0
\biggl(
1
2
\biggr)
=
( - 1)j(2j - 1)!
23j+1(j - 1)!(j + 1)!
=
( - 1)j - 1numer
\biggl(
(2j - 3)!!
j!
\biggr)
denom
\biggl(
binomial
\biggl(
1
4
, j
\biggr) \biggr) , j = 2, 3, . . . ,
abs
\Biggl(
\lambda
(j+1)
0
\lambda
(j)
0
\Biggr)
=
2j - 1
4(j + 1)
, j = 2, 3, . . . .
Звiдси випливає, що мають мiсце спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
\Bigl(
\lambda
(j)
0
\Bigr)
= 0, abs
\Bigl(
\lambda
(j+1)
0
\Bigr)
< abs
\Bigl(
\lambda
(j)
0
\Bigr)
, j = 1, 2, . . . ,
abs
\Bigl(
\lambda
(j+1)
0
\Bigr)
< 2 - j - 4, j = 2, 3, . . . .
(4)
Отже, згiдно з вiдомою теоремою про збiжнiсть знакозмiнних числових рядiв, ряд (3) є збiжним.
За допомогою системи комп’ютерної алгебри (с.к.а.) Maple можна знайти його суму аналiтично
й отримати її значення
\lambda 0
\biggl(
1
2
\biggr)
=
\surd
6
2
,
яке збiгається з найменшим власним значенням \lambda exact
0 = 1, 224744871 . . . спектральної задачi
d2
dx2
u(x) +
\biggl(
\lambda - 3
2
x2
\biggr)
u(x) = 0, 0 < x < \infty ,
u(x) \in D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, u\prime (0) = 0.
(5)
Вищевикладене доводить, що простiший варiант FD-методу для задачi (5) є збiжним i, згiдно з
(4), збiгається не повiльнiше геометричної прогресiї зi знаменником q =
1
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
512 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ
3. Основнi результати. Розглянемо задачу, яка полягає в тому, щоб знайти таку функцiю
u(x) \in D\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} i вiдповiдне значення параметра \lambda , якi задовольняють рiвняння
- Au(x) + \lambda u(x) = u\prime \prime (x) + (\lambda - (1 + k)x2)u(x) = 0, 0 < x < \infty , k > - 1. (6)
Iз загальної теорiї вiдомо, що власнi значення цiєї задачi додатнi, рiзнi, з точкою згущення на
нескiнченностi. Позначимо їх так:
\lambda exact
1 (k) < \lambda exact
2 (k) < . . . < \lambda exact
n (k) < . . . .
Мають мiсце такi твердження.
Твердження 1. Для власних значень задачi (2), занумерованих у порядку зростання їх ве-
личин, справджуються формули
\lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}
2n+1(k) =
4n+ 3
3
\lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}
1 (k), n = 1, 2, . . . ,
\lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}
2n (k) = (4n+ 1)\lambda \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}
0 (k), n = 1, 2, . . . .
Твердження 2. Для послiдовностi поправок до власних значень задачi (6), згiдно з FD-
методом з базовою задачею
d2
dx2
u(0)(x) + (\lambda (0) - x2)u(0)(x) = 0, 0 < x < \infty ,
виконуються спiввiдношення
\lambda
(j)
2n (k) = (4n+ 1)\lambda
(j)
0 (k), n = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . . ,
\lambda
(j)
2n+1(k) =
4n+ 3
3
\lambda
(j)
1 (k), n = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . . ,
(7)
\lambda
(j)
0 (k) = kj\lambda
(j)
0 (1), j = 0, 1, . . . . (8)
Зауваження до твердження 1. Для того щоб для заданого k одержати всi власнi значення
задачi (6), достатньо знайти лише \lambda exact
0 (k), \lambda exact
1 (k), а всi iншi можна отримати за допомогою
елементарних формул (7).
Зауваження до твердження 2. Якщо шукати лише власнi значення задачi (6) для рiзних
значень k, достатньо один раз за допомогою FD-методу знайти всi поправки \lambda
(j)
0 (1), j =
0, 1, . . . , до власного значення \lambda exact
0 (1), оскiльки з твердження 2 випливає формула
\lambda (j)
n (k) = (2n+ 1)kj\lambda
(j)
0 (1). (9)
У формулах (8), (9) суттєву роль вiдiграють величини \lambda
(j)
0 (1). Виявилось, що цi величини
є коефiцiєнтами в розвиненнi у ряд Тейлора функцiї
\surd
1 + x. Звiдси випливає висновок: FD-
метод у простiшому своєму варiантi для задачi (6) буде збiжним, якщо виконується умова
| k| \leq 1.
За допомогою засобiв с.к.а. Maple отримуємо
\lambda 0(1) =
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0 (1) =
\surd
2.
З огляду на формулу (8) одержуємо, зокрема, такi результати:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
НАРИСИ СПЕКТРАЛЬНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПОЛIНОМIАЛЬНО ЗБУРЕНОГО ОПЕРАТОРА ЕРМIТА 513
\lambda 0
\biggl(
3
4
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0
\biggl(
3
4
\biggr)
=
\surd
7
2
,
\lambda 0
\biggl(
1
3
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0
\biggl(
1
3
\biggr)
=
2
\surd
3
3
,
\lambda 0
\biggl(
2
3
\biggr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0
\biggl(
2
3
\biggr)
=
\surd
15
3
.
У наведених формулах помiчено таку закономiрнiсть. Нехай
m
n
— деякий алгебраїчний дрiб.
Тодi справджується формула
\lambda 0
\Bigl( m
n
\Bigr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
0
\Bigl( m
n
\Bigr)
=
\sqrt{}
(m+ n)n
n
. (10)
У непарному випадку отримуємо
\lambda 1
\Bigl( m
n
\Bigr)
=
\infty \sum
j=0
\lambda
(j)
1
\Bigl( m
n
\Bigr)
= 3
\sqrt{}
m+ n
n
.
Проiлюструємо правильнiсть цiєї гiпотези. Вiзьмемо «випадковим чином» дрiб
7
9
. Тодi з фор-
мули (10) знайдемо
\lambda 0
\biggl(
7
9
\biggr)
=
\surd
16 \cdot 9
9
=
4
3
.
Ще один «трансцендентний» приклад:
\lambda 0
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(1)
\pi
\biggr)
=
\sqrt{}
[(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(1) + \pi )\pi ]
\pi
= 1, 365743746 . . . .
Якщо всю послiдовнiсть поправок до \lambda exact
0
\Bigl( m
n
\Bigr)
згiдно з FD-методом можна знайти без
його використання, а одразу як коефiцiєнти ряду Тейлора функцiї
\sqrt{}
1 +
m
n
x, то аналогiчний
результат не вдається досягти стосовно вiдповiдної власної функцiї. Водночас точний вираз
для uexact
0 (x) можна одержати з диференцiального рiвняння
d2
dx2
u(x) +
\Biggl( \sqrt{}
m+ n
n
- m+ n
n
x2
\Biggr)
u(x) = 0, 0 < x < \infty ,
u(x) \in D+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}, u\prime (0) = 0,
i вiн має вигляд
uexact
0 (x) = C \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
- 1
2
\sqrt{}
m+ n
n
x2
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
514 ВОЛОДИМИР МАКАРОВ
Розрахунки, проведенi за допомогою с.к.а. Maple, показали, що наведенi значення збiгаються
з найменшими власними значеннями задачi (6) для вiдповiдних значень k у парному випадку,
зокрема \lambda 0(1) = \lambda exact
0 (1), що узгоджується з вiдповiдним результатом iз [3].
Застосовуючи (9), приходимо (без обчислень) до формули
\lambda exact
n (1) = n
\surd
2, n = 1, 2, . . . .
Якщо у задачi (6) k > 1, то FD-метод у запропонованому вище варiантi буде розбiжний.
Вихiд iз цiєї ситуацiї запропонуємо такий (нетрадицiйний, новий). Замiсть задачi (6) розглянемо
задачу
u\prime \prime (x) + (\lambda - (K + k)x2)u(x) = 0, 0 < x < \infty , | k| < 1, (11)
де K — найбiльше натуральне число i таке, що виконується нерiвнiсть | k| < 1. Застосування
FD-методу ґрунтується на базовiй задачi
d2
dx2
u(0)(x) + (\lambda (0) - Kx2)u(0)(x) = 0, 0 < x < \infty ,
для якої
\lambda
(0)
0 =
\surd
K, u
(0)
0 (x) =
\surd
2
\pi 1/4
N1/8 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
N
2
x2
\Biggr)
.
Виявилося, що найменше точне власне значення задачi (11) у парному випадку, одержане FD-
методом i перевiрене безпосередньо шляхом чисельного розв’язування задачi (11), визначається
формулою
\lambda exact
0 (K + k) =
\surd
K + k.
Конфлiкт iнтересiв. Автор заявляє, що вiн не має потенцiйного конфлiкту iнтересiв щодо
дослiдження у цiй статтi.
Володимир Макаров є членом редколегiї „Українського математичного журналу”. Вiдповiд-
альним редактором з розгляду цiєї статтi був iнший член редколегiї. Стаття пройшла належ-
не таємне рецензування. Володимир Макаров не був залучений до процесу рецензування i
прийняття рiшення щодо публiкацiї цiєї статтi.
Фiнансування. Автор заявляє, що пiд час пiдготовки цього рукопису не було отримано
коштiв, грантiв чи iншої пiдтримки.
Лiтература
1. В. Л. Макаров, FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера на ( - \infty ,\infty ) з полiномiальним
потенцiалом, Доп. НАН України, № 11, 5 – 11 (2015).
2. В. Л. Макаров, Точнi розв’язки спектральних задач для оператора Шрьодiнгера на ( - \infty ,\infty )
з полiномiальним потенцiалом, одержанi FD-методом, Доп. НАН України, № 2, 1 – 10 (2017);
https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.02.010.
3. В. Л. Макаров, Точнi та наближенi розв’язки спектральних задач для оператора Шрьодiн-
гера на ( - \infty ,\infty ) з полiномiальним потенцiалом, Укр. мат. журн., 70, № 1, 79 – 93 (2018);
https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1543.
4. В. Л. Макаров, FD-метод — експоненцiальна швидкiсть збiжностi, Журн. обчислюв. та прикл. математики,
№ 82, 69 – 74 (1997).
5. The on-line encyclopedia of integer sequences (OEIS).
Одержано 18.09.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7811 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:04Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/91/c3bf94163bb0c7705261bef985120691.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78112024-06-19T00:35:28Z Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator Нариси спектральних властивостей поліноміально збуреного оператора Ерміта Makarov, V. Makarov, V. L. Макаров, Володимир оператор Ерміта, поліноміальне збурення, енциклопедія цілих послідовностей, спектральна задача, функції Уіттекера UDC 519.624.2 We study spectral properties of a polynomially perturbed Hermite operator and deduce the formulas allowing one to find the&nbsp;eigenvalues of this operator by using only elementary algebraic operations. УДК 519.624.2 Вивчаються спектральні властивості поліноміально збуреного оператора Ерміта. Одержано формули, які дозволяють знаходити власні значення такого оператора, використовуючи тільки елементарні алгебраїчні операції.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7811 10.3842/umzh.v74i4.7811 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 4 (2024); 509 - 514 Український математичний журнал; Том 76 № 4 (2024); 509 - 514 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7811/9912 Copyright (c) 2024 Володимир Леонідович Макаров |
| spellingShingle | Makarov, V. Makarov, V. L. Макаров, Володимир Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title | Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title_alt | Нариси спектральних властивостей поліноміально збуреного оператора Ерміта |
| title_full | Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title_fullStr | Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title_full_unstemmed | Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title_short | Essays on the spectral properties of the polynomially perturbed Hermite operator |
| title_sort | essays on the spectral properties of the polynomially perturbed hermite operator |
| topic_facet | оператор Ерміта поліноміальне збурення енциклопедія цілих послідовностей спектральна задача функції Уіттекера |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7811 |
| work_keys_str_mv | AT makarovv essaysonthespectralpropertiesofthepolynomiallyperturbedhermiteoperator AT makarovvl essaysonthespectralpropertiesofthepolynomiallyperturbedhermiteoperator AT makarovvolodimir essaysonthespectralpropertiesofthepolynomiallyperturbedhermiteoperator AT makarovv narisispektralʹnihvlastivostejpolínomíalʹnozburenogooperatoraermíta AT makarovvl narisispektralʹnihvlastivostejpolínomíalʹnozburenogooperatoraermíta AT makarovvolodimir narisispektralʹnihvlastivostejpolínomíalʹnozburenogooperatoraermíta |