On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density
UDC 517.54 We establish sufficient conditions for the continuous extension of a Cauchy-type integral whose density depends on the parameter to a nonsmooth integration line.
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794181359730688 |
|---|---|
| author | Plaksa, S. Плакса, Сергей Анатольевич Плакса, Cергій |
| author_facet | Plaksa, S. Плакса, Сергей Анатольевич Плакса, Cергій |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Cергій Плакса",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ; Університет м. Падуя, Італія"
}
] |
| author_sort | Plaksa, S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:22Z |
| description | UDC 517.54
We establish sufficient conditions for the continuous extension of a Cauchy-type integral whose density depends on the parameter to a nonsmooth integration line. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i3.7849 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.3842/umzh.v76i3.7849
УДК 517.54
Cергiй Плакса1 (Iнститут математики НАН України, Київ; Унiверситет м. Падуя, Iталiя)
ПРО НЕПЕРЕРВНЕ ПРОДОВЖЕННЯ НА МЕЖУ ОБЛАСТI
IНТЕГРАЛА ТИПУ КОШI IЗ ЗАЛЕЖНОЮ ВIД ПАРАМЕТРА ЩIЛЬНIСТЮ
We establish sufficient conditions for the continuous extension of a Cauchy-type integral whose density depends on the
parameter to a nonsmooth integration line.
Встановлено достатнi умови неперервного продовження iнтеграла типу Кошi, щiльнiсть якого залежить вiд пара-
метра, на негладку лiнiю iнтегрування.
Iнтеграли типу Кошi, щiльнiсть яких залежить вiд параметра, вiдiграють важливу роль при
дослiдженнi композицiї сингулярних iнтегралiв, в теорiї сингулярних iнтегральних рiвнянь та
крайових задач для аналiтичних функцiй комплексної змiнної (див., наприклад, монографiї
[1 – 3], в яких дослiджено граничнi властивостi таких iнтегралiв за класичних припущень про
гладкiсть кривої iнтегрування i гельдеровiсть щiльностi iнтеграла).
У роботах [4 – 8] розвинено теорiю iнтеграла типу Кошi, щiльнiсть якого є функцiєю лише
однiєї змiнної, на довiльнiй жордановiй спрямлюванiй кривiй у розширених (у порiвняннi з
класами Гельдера) класах щiльностей iнтеграла. Методи, розвиненi у цих роботах, застосову-
ються нижче для встановлення достатнiх умов неперервного продовження iнтеграла типу Кошi,
щiльнiсть якого залежить вiд параметра, на негладку лiнiю iнтегрування. Намагання послабити
умови на щiльнiсть iнтеграла приводить до асиметричностi припущень про задану функцiю за
рiзними змiнними, що зустрiчалось ранiше в теорiї сингулярних iнтегральних рiвнянь з ядром
Кошi (див. [9]). Подiбних узагальнень потребують, зокрема, нещодавнi застосування iнтегралiв
типу Кошi в теорiї крайових задач для бiгармонiчних функцiй (див. [10]).
Нехай \gamma — замкнена жорданова спрямлювана крива в комплекснiй площинi \BbbC , а D+ i D - —
вiдповiдно внутрiшня i зовнiшня областi площини \BbbC , обмеженi кривою \gamma . Розглядаючи одну з
областей D+ чи D - , домовимось позначати її D.
Розглянемо iнтеграл типу Кошi
G(z) :=
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, z)
t - z
dt \forall z \in D, (1)
де щiльнiстю iнтеграла є неперервна на множинi \gamma \times D функцiя g : \gamma \times D \rightarrow \BbbC .
Далi будемо вважати, що крива \gamma задовольняє умову (див. [5])
\theta (\varepsilon ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \gamma
\theta x(\varepsilon ) = O(\varepsilon ), \varepsilon \rightarrow 0 , (2)
1 E-mail: plaksa62@gmail.com.
c\bigcirc CЕРГIЙ ПЛАКСА, 2024
468 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ПРО НЕПЕРЕРВНЕ ПРОДОВЖЕННЯ НА МЕЖУ ОБЛАСТI IНТЕГРАЛА ТИПУ КОШI . . . 469
де \theta x(\varepsilon ) := \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \gamma \varepsilon (x), \gamma \varepsilon (x) := \{ t \in \gamma : | t - x| \leq \varepsilon \} i \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} означає лiнiйну мiру Лебега
на кривiй \gamma . Кривi, що задовольняють умову (2), вiдiграють важливу роль при розв’язаннi
рiзноманiтних проблем аналiзу (див., наприклад, [5, 11 – 13]).
Для неперервної функцiї g : \gamma \times D \rightarrow \BbbC розглянемо її модулi неперервностi вiдповiдно за
першою та другою змiнною:
\omega 1,0(g, \varepsilon ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t1,t2\in \gamma : | t1 - t2| \leq \varepsilon
z\in D
\bigm| \bigm| g(t1, z) - g(t2, z)
\bigm| \bigm| ,
\omega 0,1(g, \varepsilon ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z1,z2\in D : | z1 - z2| \leq \varepsilon
t\in \gamma
\bigm| \bigm| g(t, z1) - g(t, z2)
\bigm| \bigm| .
Позначимо d := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x1,x2\in \gamma | x1 - x2| . Для точки z \in D через xz позначатимемо одну з
найближчих до неї точок кривої \gamma .
Доведемо допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай функцiя g : \gamma \times D \rightarrow \BbbC неперервна на множинi \gamma \times D i задовольняє оцiнку\bigm| \bigm| g(t, z) - g(t, xz)
\bigm| \bigm| \leq c
\omega
\bigl(
| t - xz|
\bigr)
| t - xz| \alpha
| z - xz| \alpha \forall z \in D \forall t \in \gamma : | t - xz| \geq 2 | z - xz| , (3)
де \alpha \in (0, 1], \omega (\varepsilon ) — неспадна обмежена мажоранта, що набуває додатних значень при \varepsilon > 0
i задовольняє умову
\omega (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, (4)
а стала c не залежить вiд t, z i xz. Тодi для всiх z \in D таких, що \delta := | z - xz| < d/5,
виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma
g(t, z) - g(xz, z) -
\bigl(
g(t, xz) - g(xz, xz)
\bigr)
t - z
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq c
\left( \omega 1,0(g, 2\delta ) + \omega 0,1(g, \delta ) + \delta \alpha
2d\int
\delta
\omega (\eta )
\eta 1+\alpha
d\eta
\right) , (5)
де стала c не залежить вiд z, xz i \delta .
Доведення. Маємо спiввiдношення\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma
g(t, z) - g(xz, z) -
\bigl(
g(t, xz) - g(xz, xz)
\bigr)
t - z
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq
\int
\gamma 2\delta (xz)
\bigm| \bigm| g(t, z) - g(xz, z)
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| g(t, xz) - g(xz, xz)
\bigm| \bigm|
| t - z|
| dt|
+
\int
\gamma \setminus \gamma 2\delta (xz)
\bigm| \bigm| g(t, z) - g(t, xz)
\bigm| \bigm|
| t - z|
| dt| +
\bigm| \bigm| g(xz, z) - g(xz, xz)
\bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma \setminus \gamma 2\delta (xz)
dt
t - z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
:= I1 + I2 + I3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
470 CЕРГIЙ ПЛАКСА
Враховуючи умову (2), отримуємо оцiнку
I1 \leq
2\omega 1,0(g, 2\delta )
\delta
\theta xz(2\delta ) \leq c \omega 1,0(g, 2\delta ).
Тут i далi в доведеннi через c позначено сталi, значення яких не залежать вiд z, xz i \delta , але,
взагалi кажучи, рiзнi навiть у межах одного ланцюжка нерiвностей.
При оцiнюваннi iнтеграла I2 послiдовно використовуються умова (3), твердження 7.2 з [14]
(див. також доведення теореми 1 в роботi [15]) i умова (2) так, що при цьому
I2 \leq c \delta \alpha
\int
[2\delta ,d]
\omega (\eta )
\eta 1+\alpha
d\theta xz(\eta ) \leq c \delta \alpha
d\int
\delta
\theta xz(2\eta )\omega (2\eta )
\eta 2+\alpha
d\eta \leq c \delta \alpha
2d\int
\delta
\omega (\eta )
\eta 1+\alpha
d\eta .
Крiм того, справедлива оцiнка (див. доведення теореми 1 в роботi [5])
I3 \leq 2\pi \omega 0,1(g, \delta ).
Очевидним наслiдком наведених оцiнок є нерiвнiсть (5).
Сингулярний iнтеграл розумiємо у сенсi головного значення за Кошi\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0+0
\int
\gamma \setminus \gamma \delta (x)
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt \forall x \in \gamma
i розглядаємо за умови Дiнi
d\int
0
\omega 1,0(\eta )
\eta
d\eta < \infty , (6)
яка забезпечує його iснування.
Лема 2. Нехай функцiя g : \gamma \times D \rightarrow \BbbC неперервна на множинi \gamma \times D, задовольняє умову (6)
i оцiнку\bigm| \bigm| g(t, x2) - g(t, x1)
\bigm| \bigm| \leq c
\omega (| t - x1| )
| t - x1| \alpha
| x2 - x1| \alpha \forall t, x1, x2 \in \gamma : | t - x1| \geq 2 | x2 - x1| , (7)
де \alpha \in (0, 1], \omega (\varepsilon ) — неспадна обмежена мажоранта, що набуває додатних значень при \varepsilon > 0
i задовольняє умову (4), а стала c не залежить вiд x1, x2 i t. Тодi для всiх x \in \gamma i всiх z \in D
таких, що \varepsilon := | z - x| < d/9, виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma
g(t, xz) - g(xz, xz)
t - z
dt -
\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\leq c
\left( \varepsilon \int
0
\omega 1,0(\eta )
\eta
d\eta + \varepsilon
2d\int
\varepsilon
\omega 1,0(\eta )
\eta 2
d\eta + \omega 0,1(g, 2\varepsilon ) + \varepsilon \alpha
2d\int
\varepsilon
\omega (\eta )
\eta 1+\alpha
d\eta
\right) ,
де стала c не залежить вiд z, x, xz i \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
ПРО НЕПЕРЕРВНЕ ПРОДОВЖЕННЯ НА МЕЖУ ОБЛАСТI IНТЕГРАЛА ТИПУ КОШI . . . 471
Доведення. Використаємо рiзницю\int
\gamma
g(t, xz) - g(xz, xz)
t - z
dt -
\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt
=
\int
\gamma 4\varepsilon (x)
g(t, xz) - g(xz, xz)
t - z
dt
-
\int
\gamma 4\varepsilon (x)
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt+ (z - x)
\int
\gamma \setminus \gamma 4\varepsilon (x)
g(t, x) - g(x, x)
(t - z)(t - x)
dt
+
\int
\gamma \setminus \gamma 4\varepsilon (x)
g(t, xz) - g(t, x)
t - z
dt+
\bigl(
g(x, x) - g(xz, xz)
\bigr) \int
\gamma \setminus \gamma 4\varepsilon (x)
dt
t - z
=: J1 - J2 + J3 + J4 + J5.
Подiбно до оцiнювання iнтеграла I2 маємо
| J1| + | J2| + | J3| \leq
\int
\gamma 5\varepsilon (xz)
\bigm| \bigm| g(t, xz) - g(xz, xz)
\bigm| \bigm|
1
2
| t - xz|
| dt|
+
\int
\gamma 4\varepsilon (x)
\bigm| \bigm| g(t, x) - g(x, x)
\bigm| \bigm|
| t - x|
| dt| + | z - x|
\int
\gamma \setminus \gamma 4\varepsilon (x)
\bigm| \bigm| g(t, x) - g(x, x)
\bigm| \bigm|
1
2
| t - x| | t - x|
| dt|
\leq 2
\int
[0,5\varepsilon ]
\omega 1,0(\eta )
\eta
d\theta xz(\eta ) +
\int
[0,4\varepsilon ]
\omega 1,0(\eta )
\eta
d\theta x(\eta ) + 2\varepsilon
\int
[4\varepsilon ,d]
\omega 1,0(\eta )
\eta 2
d\theta x(\eta )
\leq c
\left( \varepsilon \int
0
\omega 1,0(\eta )
\eta
d\eta + \varepsilon
2d\int
\varepsilon
\omega 1,0(\eta )
\eta 2
d\eta
\right) ,
де стала c не залежить вiд z, x, xz i \varepsilon .
Iнтеграли J4 i J5 оцiнюються аналогiчно iнтегралам I2 i I3 вiдповiдно.
Основним результатом роботи є таке твердження.
Теорема 1. Нехай функцiя g : \gamma \times D \rightarrow \BbbC неперервна на множинi \gamma \times D, задовольняє
умову (6) i оцiнки (3), (7). Тодi iнтеграл (1) неперервно продовжується на межу областi D,
при цьому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow x
G(z) =
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt+
\left\{ g(x, x), якщо D = D+,
0, якщо D = D - ,
\forall x \in \gamma .
Доведення. Твердження теореми є наслiдком рiвностей
G(z) =
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, z) - g(xz, z)
t - z
dt+
g(xz, z)
2\pi i
\int
\gamma
dt
t - z
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
472 CЕРГIЙ ПЛАКСА
=
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, z) - g(xz, z) -
\bigl(
g(t, xz) - g(xz, xz)
\bigr)
t - z
dt
+
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, xz) - g(xz, xz)
t - z
dt - 1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt
+
1
2\pi i
\int
\gamma
g(t, x) - g(x, x)
t - x
dt+
\left\{ g(xz, z), якщо z \in D+,
0, якщо z \in D - ,
а також лем 1 i 2.
Зауважимо, що в роботi [10] при зведеннi крайових задач для гiперкомплексних моногенних
функцiй, асоцiйованих з основною бiгармонiчною задачею, до iнтегральних рiвнянь Фредголь-
ма здiйснено перевiрку виконання умов вигляду (3) i (7) для функцiй, якими виражаються ядра
iнтегральних операторiв цих рiвнянь.
Роботу виконано за фiнансової пiдтримки UNIPD SRF та INdAM.
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. W. Pogorzelski, Integral equations and their applications, vol. 1, Internat. Ser. Monogr. Pure and Appl. Math., 88,
Pergamon Press (1966).
2. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, Наука, Москва (1968).
3. Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, Наука, Москва (1977).
4. Н. А. Давыдов, Непрерывность интеграла типа Коши в замкнутой области, Докл. АН СССР, 64, № 6,
759 – 762 (1946).
5. В. В. Салаев, Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой, Мат. заметки,
19, № 3, 365 – 380 (1976).
6. Т. С. Салимов, Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой, Науч. тр. МВ и ССО
АзССР. Сер. физ.-мат. наук, № 5, 59 – 75 (1979).
7. Е. М. Дынькин, Гладкость интегралов типа Коши, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 92, 115 – 133 (1979).
8. О. Ф. Герус, Оценка модуля непрерывности интеграла типа Коши в области и на ее границе, Укр. мат. журн.,
48, № 10, 1321 – 1328 (1996).
9. С. А. Плакса, О нетеровости сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши на спрямляемой кривой,
Укр. мат. журн., 45, № 10, 1379 – 1389 (1993).
10. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving boundary value problems for biharmonic functions,
Algorithms as a Basis of Modern Appl. Math. (Stud. Fuzziness and Soft Comput.), 404, 231 – 255 (2021).
11. L. Ahlfors, Zur Theorie der Überlagerungsflächen, Acta Math., 65, 157 – 194 (1935).
12. G. David, Wavelets and singular integrals on curves and surfaces, Lecture Notes in Math., 1465, Springer (1991).
13. A. Böttcher, Y. I. Karlovich, Carleson curves, Muckenhoupt weights, and Toeplitz operators, Progr. Math., 154,
Birkhäuser, Basel (1997).
14. S. A. Plaksa, V. S. Shpakivskyi, Monogenic functions in spaces with commutative multiplication and applications,
Front. Math., Birkhäuser, Cham (2023).
15. О. Ф. Герус, Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Коши, Укр. мат. журн., 30, № 5, 594 – 601
(1978).
Одержано 30.09.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7849 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:24Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c2/466cac0937961f349fd7f3cec75be7c2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78492024-06-19T00:35:22Z On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density Про неперервне продовження на межу області інтеграла типу Коші із залежною від параметра щільністю Plaksa, S. Плакса, Сергей Анатольевич Плакса, Cергій Cauchy-type integral sigular integral continuous extension to the boundary інтеграл типу Коші сингулярний інтеграл неперервне продовження на межу UDC 517.54 We establish sufficient conditions for the continuous extension of a Cauchy-type integral whose density depends on the parameter to&nbsp;a nonsmooth integration line. УДК 517.54 Встановлено достатні умови неперервного продовження інтеграла типу Коші, щільність якого залежить від параметра,&nbsp;на негладку лінію інтегрування. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7849 10.3842/umzh.v76i3.7849 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 3 (2024); 468 - 472 Український математичний журнал; Том 76 № 3 (2024); 468 - 472 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7849/9865 Copyright (c) 2024 Сергій Анатолійович Плакса |
| spellingShingle | Plaksa, S. Плакса, Сергей Анатольевич Плакса, Cергій On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title | On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title_alt | Про неперервне продовження на межу області інтеграла типу Коші із залежною від параметра щільністю |
| title_full | On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title_fullStr | On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title_full_unstemmed | On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title_short | On continuous extension to the boundary of a domain of the Cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| title_sort | on continuous extension to the boundary of a domain of the cauchy-type integral with parameter-dependent density |
| topic_facet | Cauchy-type integral sigular integral continuous extension to the boundary інтеграл типу Коші сингулярний інтеграл неперервне продовження на межу |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7849 |
| work_keys_str_mv | AT plaksas oncontinuousextensiontotheboundaryofadomainofthecauchytypeintegralwithparameterdependentdensity AT plaksasergejanatolʹevič oncontinuousextensiontotheboundaryofadomainofthecauchytypeintegralwithparameterdependentdensity AT plaksacergíj oncontinuousextensiontotheboundaryofadomainofthecauchytypeintegralwithparameterdependentdensity AT plaksas proneperervneprodovžennânamežuoblastííntegralatipukošíízzaležnoûvídparametraŝílʹnístû AT plaksasergejanatolʹevič proneperervneprodovžennânamežuoblastííntegralatipukošíízzaležnoûvídparametraŝílʹnístû AT plaksacergíj proneperervneprodovžennânamežuoblastííntegralatipukošíízzaležnoûvídparametraŝílʹnístû |