On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions
UDC517.5 Let $f$ be an entire transcendental function and let $(\lambda_n)$ be a sequence of positive numbers increasing to $+\infty.$ Suppose that the series $A(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ is regularly convergent in ${\mathbb C},$ i.e., $\mathfrak{M}(r,A):=\sum_{n=1}^{\inf...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7866 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794183873167360 |
|---|---|
| author | Sheremeta, M. Шеремета, Мирослав |
| author_facet | Sheremeta, M. Шеремета, Мирослав |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Мирослав Шеремета",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Sheremeta, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:29Z |
| description | UDC517.5
Let $f$ be an entire transcendental function and let $(\lambda_n)$ be a sequence of positive numbers increasing to $+\infty.$ Suppose that the series $A(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ is regularly convergent in ${\mathbb C},$ i.e., $\mathfrak{M}(r,A):=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|M_f(r\lambda_n)<+\infty$ for all $r\in [0,+\infty).$  For a positive function $l$ continuous on $[0,\,+\infty),$ the function $A$ is called a function of bounded $l$-$\mathfrak{M}$-index if there exists $N\in{\Bbb Z}_+$ such that $\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(n)})}{n!l^n(r)}\le\max\left\{\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(k)})}{k!l^k(r)}\colon 0\le k\le N\right\}$ for all $n\in{\Bbb Z}_+$ and all $r\in [0,+\infty).$  We study the properties of growth of the functions of bounded $l$-$\mathfrak{M}$-index  and formulate some unsolved problems. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v74i4.7866 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i4.7866
УДК 517.5
Мирослав Шеремета1 (Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка)
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ \bfitl -\bffrakM -IНДЕКСУ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ,
ЗОБРАЖЕНИХ РЯДАМИ ЗА СИСТЕМОЮ ФУНКЦIЙ
Let f be an entire transcendental function and let (\lambda n) be a sequence of positive numbers increasing to +\infty . Suppose that
the series A(z) =
\sum \infty
n=1
anf(\lambda nz) is regularly convergent in \BbbC , i.e., \frakM (r, A) :=
\sum \infty
n=1
| an| Mf (r\lambda n) < +\infty for all
r \in [0,+\infty ). For a positive function l continuous on [0, +\infty ), the function A is called a function of bounded l-\frakM -index
if there exists N \in \BbbZ + such that
\frakM (r,A(n))
n!ln(r)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\frakM (r, A(k))
k!lk(r)
: 0 \leq k \leq N
\biggr\}
for all n \in \BbbZ + and all r \in [0,+\infty ).
We study the properties of growth of the functions of bounded l-\frakM -index and formulate some unsolved problems.
Нехай f — цiла трансцендентна функцiя i (\lambda n) — зростаюча до +\infty послiдовнiсть додатних чисел. Припустимо,
що ряд A(z) =
\sum \infty
n=1
anf(\lambda nz) регулярно збiжний в \BbbC , тобто \frakM (r,A) :=
\sum \infty
n=1
| an| Mf (r\lambda n) < +\infty для
всiх r \in [0,+\infty ). Для додатної неперервної на [0, +\infty ) функцiї l функцiя A називається функцiєю обмеженого
l-\frakM -iндексу, якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що
\frakM (r, A(n))
n!ln(r)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\frakM (r, A(k))
k!lk(r)
: 0 \leq k \leq N
\biggr\}
для всiх n \in \BbbZ + i
r \in [0,+\infty ). Вивчено зростання функцiй обмеженого l-\frakM -iндексу i сформульовано нерозв’язанi задачi.
1. Вступ. За Б. Лепсоном [1] цiла функцiя a(z) називається функцiєю обмеженого iндексу,
якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що | a(n)(z)| /n! \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | a(k)(z)| /k! : 0 \leq k \leq N\} для всiх n \in \BbbZ + i
z \in \BbbC . Рiзнi автори (С. М. Шах, У. Хейман, Г. А. Фрiке та iн.) дослiджували властивостi цiлих
функцiй обмеженого iндексу i їх застосування (огляд результатiв можна знайти в [2]).
Для додатної неперервної на [0,+\infty ) функцiї l А. Д. Кузик i М. М. Шеремета [3] ввели по-
няття цiлої функцiї обмеженого l-iндексу. Цiла функцiя a(z) називається функцiєю обмеженого
l-iндексу, якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що для всiх n \in \BbbZ + i z \in \BbbC
| a(n)(z)|
n!ln(| z| )
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| a(k)(z)|
k!lk(| z| )
: 0 \leq k \leq N
\Biggr\}
.
Згодом це означення було перенесено на аналiтичнi функцiї в довiльнiй комплекснiй областi, а
отриманi результати пiдсумовано в монографiї [4]. Пiзнiше, завдяки О. Б. Скаскiву i А. I. Бандурi
(див., наприклад, [5, 6]), отримано багато результатiв про обмеженiсть L-iндексу голоморфних
функцiй багатьох комплексних змiнних.
Нехай Ma(r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | a(z)| : | z| = r\} i l — додатна неперервна на [0,+\infty ) функцiя. Цiла
функцiя a(z) називається [7] функцiєю обмеженого M -iндексу, якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що
Ma(n)(r)/n! \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ Ma(k)(r)/k : 0 \leq k \leq N\} для всiх n \in \BbbZ + i r \in [0,+\infty ). Комбiнуючи
означення функцiй обмеженого M -iндексу i означення функцiй обмеженого l-iндексу, у [8]
отримано таке означення. Цiла функцiя a(z) називається функцiєю обмеженого l-M -iндексу,
якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що для всiх n \in \BbbZ + i r \in [0,+\infty )
Ma(n)(r)
n!ln(r)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
Ma(k)(r)
k!lk(r)
: 0 \leq k \leq N
\biggr\}
.
1 E-mail: m.m.sheremeta@gmail.com.
c\bigcirc МИРОСЛАВ ШЕРЕМЕТА, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4 599
600 МИРОСЛАВ ШЕРЕМЕТА
Нехай тепер
f(z) =
\infty \sum
k=0
fkz
k
— цiла трансцендентна функцiя i (\lambda n) — зростаюча до +\infty послiдовнiсть додатних чисел.
Припустимо, що ряд
A(z) =
\infty \sum
n=1
anf(\lambda nz) (1)
за системою f(\lambda nz) регулярно збiжний в \BbbC , тобто для всiх r \in [0,+\infty )
\frakM (r,A) :=
\infty \sum
n=1
| an| Mf (r\lambda n) < +\infty .
Багато математикiв вивчали зображення аналiтичних функцiй рядами за системою f(\lambda nz) (див.,
наприклад, [9, 10] та наведену в них бiблiографiю). Можливе зростання функцiї (1) дослiджено
в [11, 12].
Для додатної неперервної на [0,+\infty ) функцiї l цiлу функцiю (1) будемо називати функцiєю
обмеженого l-\frakM -iндексу, якщо iснує таке N \in \BbbZ +, що для всiх n \in \BbbZ + i r \in [0,+\infty )
\frakM (r,A(n))
n!ln(r)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\frakM (r,A(k))
k!lk(r)
: 0 \leq k \leq N
\Biggr\}
.
Найменше з таких чисел N назвемо l-\frakM -iндексом функцiї A i позначимо через N(A; l,\frakM ).
У цiй статтi вивчається можливе зростання функцiй (1) обмеженого l-\frakM -iндексу та спадан-
ня їх коефiцiєнтiв an i сформульовано нерозв’язанi задачi.
2. Зростання функцiй обмеженого \bfitl -\bffrakM -iндексу. Нам потрiбнi такi леми.
Лема 1 [4, с. 82]. Нехай g1, . . . , gn — додатнi абсолютно неперервнi на [a, b] функцiї i
g(x) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ gk(x) : 1 \leq k \leq n\} . Припустимо, що g\prime k(x) \leq \varphi (x)g(x) майже скрiзь на [a, b] для
всiх 1 \leq k \leq n, де \varphi — додатна неперервна на [a, b] функцiя. Тодi для всiх x \in [a, b]
\mathrm{l}\mathrm{n} g(x) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} g(a) +
x\int
a
\varphi (t)dt.
Лема 2 [4, с. 76]. У точках, де похiдна M \prime
f (r) iснує, виконується нерiвнiсть M \prime
f (r) \leq
Mf \prime (r).
Використовуючи цi леми, доведемо спочатку таке твердження.
Твердження 1. Нехай l — така додатна неперервно диференцiйовна на [0,+\infty ) функцiя,
що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l2(r)
= q < +\infty , x+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x, 0\} , (2)
i
\infty \int
0
l(r)dr = +\infty . (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ l-\frakM -IНДЕКСУ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ, ЗОБРАЖЕНИХ РЯДАМИ . . . 601
Якщо N(A; l,\frakM ) = N, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
L(r)
\leq (1 + q)(N + 1)
\left( L(r) =
r\int
0
l(t)dt
\right) . (4)
Доведення. Оскiльки A\prime (z) =
\sum \infty
n=1
an\lambda nf
\prime (\lambda nz), за лемою 2 у точках, де похiдна M \prime
f (r)
iснує, маємо
\frakM (r,A\prime ) =
\infty \sum
n=1
| an| \lambda nMf \prime (r\lambda n) \geq
\infty \sum
n=1
| an| \lambda nM
\prime
f (r\lambda n) = \frakM \prime (r,A).
Приймемо gk(r) =
\frakM (r,A(k))
k!lk(r)
для 0 \leq k \leq N i g(r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ gk(r) : 0 \leq k \leq N\} . Тодi майже
скрiзь на [r0,+\infty )
g\prime k(r) =
\frakM \prime (r,A(k))
k!lk(r)
- \frakM (r,A(k))
k!lk+1(r)
kl\prime (r)
\leq \frakM (r,A(k+1))
(k + 1)!lk+1(r)
(k + 1)l(r) +
\frakM (r,A(k))
k!lk(r)
k
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l(r)
\leq g(r)
\Biggl(
(k + 1)l(r) + k
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l(r)
\Biggr)
\leq g(r)(N + 1)l(r)
\Biggl(
1 +
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l2(r)
\Biggr)
.
Покладаючи \varphi (r) = (N + 1)l(r)
\Biggl(
1 +
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l2(r)
\Biggr)
, за лемою 1 з огляду на (2) отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n} g(r) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} g(r0) + (N + 1)
r\int
r0
l(r)(1 + q + o(1))dr, r \rightarrow +\infty ,
i, оскiльки \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} g(r), з огляду на (3) одержуємо (4).
Твердження 1 доведено.
Щоб отримати обернене твердження, через \Omega позначимо клас додатних необмежених на
( - \infty ,+\infty ) функцiй \Phi , для яких похiдна \Phi \prime додатна, неперервно диференцiйовна на [0,+\infty )
i зростаюча до +\infty . Нехай \Psi (x) = x - \Phi (x)/\Phi \prime (x) — функцiя, асоцiйована з \Phi за Ньютоном.
Тодi \Psi [4, с. 75] неперервно диференцiйовна i зростаюча до +\infty на ( - \infty ,+\infty ).
Твердження 2. Нехай \Phi \in \Omega i для деякого a > 1 при \sigma \rightarrow +\infty
\Phi \prime (\sigma + a/\Phi \prime (\sigma )) = O(\Phi \prime (\sigma )) i \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma ))) = O(\Phi \prime (\sigma )), (5)
де \beta (\sigma ) = (\mathrm{l}\mathrm{n}\Phi \prime (\Psi - 1\sigma ))/\Phi \prime (\Psi - 1\sigma ). Припустимо, що fk \geq 0 i an \geq 0 для всiх k i n. Якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
\Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
< +\infty , (6)
то (1) є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу з l(r) =
\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
r
для r \geq r0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
602 МИРОСЛАВ ШЕРЕМЕТА
Доведення. Нехай \Phi \in \Omega i F — довiльна цiла функцiя. В [4, с. 79] доведено, що якщо
виконується (5) для деякого a > 1 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}MF (r)
\Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
< +\infty , то для кожного r0 > 0 iснує
таке n0 = n0(r0) \in \BbbZ 0, що
MF (n)(r)
n!MF (r)
\leq
\biggl(
\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
r
\biggr) n
для всiх n \geq n0 i r \geq r0.
Зрозумiло, що якщо MA(r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | A(z)| : | z| = r\} , то MA(r) \leq \frakM (r,A), а якщо fk \geq 0
i an \geq 0 для всiх k i n, то MA(r) = \frakM (r,A). Тому з наведеного вище результату для F = A
випливає, що якщо fk \geq 0 i an \geq 0 для всiх k i n i виконується (6), то для кожного r0 > 0
iснує таке n0 = n0(r0) \in \BbbZ 0, що для всiх n \geq n0 i r \geq r0
\frakM (r,A(n))(r)
n!\frakM (r,A)
\leq
\biggl(
\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
r
\biggr) n
.
Приймаючи l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r для r \geq r0, звiдси отримуємо
\frakM (r,A(n))
n!ln(r)
\leq \frakM (r,A), i, отже,
функцiя A є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу.
Твердження 2 доведено.
Комбiнуючи твердження 1 i 2, приходимо до такої теореми.
Теорема 1. Якщо функцiя \Phi i коефiцiєнти fk i an задовольняють умови твердження 2,
то (1) є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу з l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r для r \geq r0 тодi й лише тодi,
коли виконується (6).
Доведення. Якщо l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r, то L(r) = (1 + o(1))\Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r) при r \rightarrow +\infty i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\bigl(
- l\prime (r)
\bigr) +
l2(r)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
(\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r) - \Phi \prime \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r))+
(\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r))2
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
(\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r))+
(\Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r))2
= 0,
бо \Phi \prime \prime (x) \geq 0 для всiх x. Тому, якщо (1) є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу, за твердженням 1
виконується (6). Обернений висновок випливає з твердження 2.
3. Наслiдки i нерозв’язанi задачi. Оскiльки f — цiла трансцендентна функцiя, то
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
\rightarrow +\infty при r \rightarrow +\infty , тобто Mf (r) \geq rp для кожного p > 0 i всiх r \geq r0(p).
Нехай n0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ n : \lambda n \geq 1\} . Тодi \frakM (r,A) \geq | an0 | (r\lambda n0)
p \geq | an0 | rp для r \geq r0(p). Тому з
(4) випливає, що (1 + q)(N + 1) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
p \mathrm{l}\mathrm{n} r
L(r)
, тобто з огляду на довiльнiсть p отримує-
мо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
L(r)
\mathrm{l}\mathrm{n} r
= +\infty , звiдки rl(r) \rightarrow +\infty при r \rightarrow +\infty . Таким чином, з твердження 1
випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Для того щоб для додатної неперервно диференцiйовної на [0,+\infty ) функцiї l,
яка задовольняє умови (2) i (3), iснувала цiла функцiя (1) обмеженого l-\frakM -iндексу, необхiдно,
щоб rl(r) \rightarrow +\infty при r \rightarrow +\infty .
Вiдомо [4, с. 69, 101], що умова rl(r) \rightarrow +\infty при r \rightarrow +\infty є необхiдною i достатньою для
iснування цiлої функцiї обмеженого l-iндексу.
Зауважимо, що \frakM (r,A) \geq | an0 | Mf (r\lambda n0) \geq | an0 | Mf (r). Тому, якщо функцiя \Phi задовольняє
умову (5) i функцiя (1) є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу з l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r для r \geq r0, за
твердженнням 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
\Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
\Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r)
< +\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ l-\frakM -IНДЕКСУ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ, ЗОБРАЖЕНИХ РЯДАМИ . . . 603
i, отже [4, с. 85], функцiя f є функцiєю обмеженого l-M -iндексу з l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r. Таким
чином, правильним є такий наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай \Phi \in \Omega i l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r для r \geq r0. Якщо функцiя \Phi задовольняє
умову (5), а A є функцiєю обмеженого l-\frakM -iндексу, то f є функцiю обмеженого l-M -iндексу.
Зрозумiло, що функцiя \frakM (r,A) зростає швидше, нiж функцiя Mf (r). Тому з обмеженостi
l1-\frakM -iндексу функцiї A повинна випливати обмеженiсть l2-M -iндексу функцiї f, де функцiя
l2 зростає швидше, нiж l1. Iншими словами, наслiдок 2 потребує уточнення.
Задача 1. Якими повиннi бути функцiї l1 i l2, щоб з обмеженостi l2-M -iндексу функцiї f
випливала обмеженiсть l1-\frakM -iндексу функцiї A?
А. Г. Азпiтiа [13] довiв, що якщо цiлий ряд Дiрiхле є функцiєю обмеженого M -iндексу, то
вiн зводиться до експоненцiального многочлена. Щоб узагальнити цей результат, зауважимо,
що функцiя \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) є логарифмiчно опуклою i тому
\Gamma f (r) :=
d \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
d \mathrm{l}\mathrm{n} r
\nearrow +\infty , r \rightarrow +\infty \biggl(
у точках, де похiдна не iснує,
d \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
d \mathrm{l}\mathrm{n} r
— правобiчна похiдна
\biggr)
.
Наслiдок 3. Нехай \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) = O(\Gamma f (r)) при r \rightarrow +\infty i l(r) =
\Gamma f (r)
r
. Якщо A є функцiєю
обмеженого l-\frakM -iндексу, то A — многочлен за системою f(\lambda nz).
Справдi, оскiльки для такої функцiї l умови (2), (3) виконуються i
L(r) =
r\int
0
l(t)dt =
r\int
0
\Gamma f (t)
t
dt =
r\int
0
d \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (t)
td \mathrm{l}\mathrm{n} t
dt = \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (0),
то за твердженням 1 маємо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
< +\infty , звiдки \mathrm{l}\mathrm{n} | an| +\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n) \leq K \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
для деякого K > 0 i всiх n \geq 1. Але за умовою \Gamma f (r) \geq \eta \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) для \lambda n > 1 i деякого \eta > 0
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n) - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) =
r\lambda n\int
r
d \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (t)
d \mathrm{l}\mathrm{n} t
d \mathrm{l}\mathrm{n} t =
r\lambda n\int
r
\Gamma f (r)
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (t)
d \mathrm{l}\mathrm{n} t \geq \eta \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda n.
Тому
\mathrm{l}\mathrm{n} | an| \leq - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n)
\biggl(
1 -
K \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
\mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n)
\biggr)
= - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n)
\bigl(
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- (\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n) - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r) - \mathrm{l}\mathrm{n}K)
\bigr\} \bigr)
\leq - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n)
\bigl(
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- (\eta \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda n - \mathrm{l}\mathrm{n}K)
\bigr\} \bigr)
\rightarrow - \infty , r \rightarrow +\infty ,
якщо тiльки \lambda n \geq (eK)1/\eta , тобто | an| = 0 для таких n, що i потрiбно було довести.
Умови fk \geq 0 i an \geq 0 для всiх k i n у твердженнi 2 використовуються для того, щоб
\frakM (r,A) = MA(r). Оскiльки у загальному випадку \frakM (r,A) \geq MA(r), то виникає така задача.
Задача 2. Знайти оцiнку зверху для \frakM (r,A) через MA(r), якщо умови fk \geq 0 i an \geq 0 для
всiх k i n не виконуються.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
604 МИРОСЛАВ ШЕРЕМЕТА
У доведеннi твердження 1 використано оцiнку \frakM (r,A\prime ) \geq \frakM \prime (r,A).
Задача 3. Знайти оцiнку \frakM (r,A\prime ) через \frakM \prime (r,A) зверху.
4. Доповнення. Дослiдимо тепер зв’язок мiж обмеженiстю l-\frakM -iндексу функцiї (1) i спа-
данням коефiцiєнтiв an, тобто знайдемо умову на an, за якої
\Theta := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
L(r)
< +\infty . (7)
Твердження 3. Нехай r = O(\Gamma f (r)) при r \rightarrow +\infty , а додатна зростаюча функцiя l така,
що L(r) = O(l(r)) i l(r +O(1)) = O(l(r)) при r \rightarrow +\infty . Тодi, якщо виконується (7),
Q := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda n
l
\biggl(
1
\lambda n
M - 1
f
\biggl(
1
| an|
\biggr) \biggr) < +\infty . (8)
Доведення. З (7) випливає, що \mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A) \leq K1L(r), тобто \mathrm{l}\mathrm{n} | an| \leq K1L(r) - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r\lambda n)
для деякого K1 > 0, всiх n \geq 1 i r \geq 0. Вибираючи r = rn = l - 1(\lambda n), отримуємо \mathrm{l}\mathrm{n} | an| \leq
K1L(l
- 1(\lambda n)) - \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (\lambda nl
- 1(\lambda n)), тобто
\mathrm{l}\mathrm{n}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ K1L(l
- 1(\lambda n))\}
| an|
\geq \mathrm{l}\mathrm{n}Mf
\bigl(
\lambda nl
- 1(\lambda n)
\bigr)
,
звiдки
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda n
l
\biggl(
1
\lambda n
M - 1
f
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ K1L(l
- 1(\lambda n))\}
| an|
\biggr) \biggr) \leq 1. (9)
З умови r = O(\Gamma f (r)) при r \rightarrow +\infty випливає, що \Gamma f (r) \geq r/K2 для деякого K2 > 0 i всiх
r \geq 0, тобто
d \mathrm{l}\mathrm{n}Mf (r)
dr
=
\Gamma f (r)
r
\geq 1
K2
i, отже,
dM - 1
f (ex)
dx
\leq K2. Тому
M - 1
f
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ K1L(l
- 1(\lambda n))\}
| an|
\biggr)
- M - 1
f
\biggl(
1
| an|
\biggr)
= M - 1
f
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
K1L(l
- 1(\lambda n)) + \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| an|
\biggr\} \biggr)
- M - 1
f
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| an|
\biggr\} \biggr)
=
K1L(l - 1(\lambda n))+\mathrm{l}\mathrm{n}(1/| an| )\int
\mathrm{l}\mathrm{n}(1/| an| )
dM - 1
f (ex)
dx
dx \leq K3L(l
- 1(\lambda n)).
Оскiльки L(x) = O(l(x)) i l(x+O(1)) = O(l(x)) при x \rightarrow +\infty , то L(l - 1(\lambda n))/\lambda n = O(1) при
n \rightarrow \infty i, отже,
l
\biggl(
1
\lambda n
M - 1
f
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ K1L(l
- 1(\lambda n))\}
| an|
\biggr) \biggr)
\leq l
\biggl(
1
\lambda n
M - 1
f
\biggl(
1
| an|
\biggr)
+
K3L(l
- 1(\lambda n))
\lambda n
\biggr)
\leq K4l
\biggl(
1
\lambda n
M - 1
f
\biggl(
1
| an|
\biggr) \biggr)
.
Тому з (9) отримуємо (8).
Твердження 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ l-\frakM -IНДЕКСУ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ, ЗОБРАЖЕНИХ РЯДАМИ . . . 605
Твердження 4. Нехай \Gamma f (r)) \asymp r i L(r + O(1)) = O(L(r)) при r \rightarrow +\infty . Тодi, якщо
\mathrm{l}\mathrm{n}n = o(\lambda n) при n \rightarrow \infty , з (8) випливає (7).
Доведення. З (8) випливає, що | an| \leq
1
Mf (\lambda nl - 1(\lambda n/K5))
для деякого K5 > 0 i всiх n.
Тому якщо \mu (r,A) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | an| Mf (r\lambda n) : n \geq 1\} — максимальний член ряду (1) i \nu (r,A) =
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n \geq 1 : | an| Mf (r\lambda n) = \mu (r,A)\} — його центральний iндекс, то
\mu (r,A) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
Mf (r\lambda n)
Mf (\lambda nl - 1(\lambda n/K5))
: n \geq 1
\biggr\}
i, оскiльки \mu (r,A) \rightarrow +\infty при r \rightarrow +\infty , отримуємо r \geq l - 1(\lambda \nu (r,A)/K5), тобто \lambda \nu (r,A) \leq
K5l(r) для r \geq r0. Тому, використовуючи доведену в [14] рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r,A) - \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r0, A) =
r\int
r0
\Gamma f (t\lambda \nu (t,A))
t
dt, 0 \leq r0 \leq r < +\infty ,
одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r,A) - \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r0, A) =
r\int
r0
\Gamma f (K5tl(t))
t
dt, 0 \leq r0 \leq r < +\infty .
З умови \Gamma f (r)) \asymp r при r \rightarrow +\infty випливає, що \Gamma f (r) \leq K6r для r \geq r0, звiдки
\Gamma f (K5tl(t))
t
\leq
K7l(t) для t \geq r0. Оскiльки L(r) =
\int r
0
l(t)dt, то звiдси отримуємо \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r,A) - \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r0, A) \leq
K8(L(r) - L(r0)), тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r,A)
L(r)
\leq K8 < +\infty . (10)
З iншого боку, оскiльки \Gamma f (r) \geq r/K2 i \mathrm{l}\mathrm{n}n = o(\lambda n) при n \rightarrow \infty , то для K9 > 0
\frakM (r,A) \leq
\infty \sum
n=1
| an| Mf ((r +K9)\lambda n)
Mf (r\lambda n)
Mf ((r +K9)\lambda n)
\leq \mu (r +K9, A)
\infty \sum
n=1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
(r+K9)\lambda n\int
r\lambda n
\Gamma f (t)d \mathrm{l}\mathrm{n} t
\right\}
\leq \mu (r +K9, A)
\infty \sum
n=1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \Gamma f (r\lambda n) \mathrm{l}\mathrm{n}
r +K9
r
\biggr\}
\leq \mu (r +K9, A)
\infty \sum
n=1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- r\lambda n
K2
(1 + o(1))
K9
r
\biggr\}
\leq K10\mu (r +K9, A).
Тому з огляду на (10) i умову L(r +O(1)) = O(L(r)) при r \rightarrow +\infty маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
606 МИРОСЛАВ ШЕРЕМЕТА
\Theta = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\frakM (r,A)
L(r)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r +K9, A) + \mathrm{l}\mathrm{n}K10
L(r)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (r,A)
L(r)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow +\infty
L(r +K9)
L(r)
< +\infty .
Твердження 4 доведено.
Комбiнуючи твердження 3 i 4, отримуємо таку теорему.
Теорема 2. Нехай \Gamma f (r)) \asymp r при r \rightarrow +\infty i \mathrm{l}\mathrm{n}n = o(\lambda n) при n \rightarrow \infty . Припустимо, що
\Phi \in \Omega , \Phi \prime (\sigma + O(e - \sigma )) = O(\Phi \prime (\sigma )), \Phi \prime (\sigma )e - \sigma \uparrow +\infty i \Phi (\sigma ) = O(\Phi \prime (\sigma )e - \sigma ) при \sigma \rightarrow +\infty .
Для того щоб виконувалась нерiвнiсть (6), необхiдно i достатньо, щоб виконувалось (8) з
l(r) = \Phi \prime (\mathrm{l}\mathrm{n} r)/r для r \geq r0.
Доведення. Для L(r) = \Phi (\mathrm{l}\mathrm{n} r) з умови \Phi \prime (\sigma +O(e - \sigma )) = O(\Phi \prime (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty випливає
l(r + O(1)) = O(l(r)) i L(r + O(1)) = O(L(r)) при r \rightarrow +\infty , а з умови \Phi (\sigma ) = O(\Phi \prime (\sigma )e - \sigma )
при \sigma \rightarrow +\infty випливає L(r) = O(l(r)) при r \rightarrow +\infty .
Конфлiкт iнтересiв. Автор заявляє, що вiн не має потенцiйного конфлiкту iнтересiв щодо
дослiдження у цiй статтi.
Фiнансування. Автор заявляє, що пiд час пiдготовки цього рукопису не було отримано
коштiв, грантiв чи iншої пiдтримки.
Лiтература
1. B. Lepson, Differential equations of infinite order, hyper-Dirichlet series and entire functions of bounded index, Proc.
Sympos. Pure Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, Phode Island (1968), p. 298 – 307.
2. S. M. Shah, Entire functions of bounded index, Lecture Notes in Math., 589, 117 – 145 (1977).
3. А. Д. Кузык, М. М. Шеремета, Целые функции ограниченного l-распределения значений, Мат. заметки, 39,
№ 1, 3 – 13 (1986).
4. M. M. Sheremeta, Analytic functions of bounded index, VNTL Publ., Lviv (1999).
5. A. Bandura, O. Skaskiv, Entire functions of several variables of bounded index, Chyslo, Publ. I. E. Chyzhykov, Lviv
(2016).
6. А. I. Бандура, Властивостi класiв голоморфних функцiй обмеженого iндексу, Автореф. дис. . . . д-ра фiз.-мат.
наук, Львiв (2018).
7. G. H. Fricke, S. M. Shah, W. S. Sisarcick, A characterisation of entire functions of exponential type and M -bounded
index, Indiana Univ. Math. J., 23, 405 – 412 (1973).
8. Ш. Абуарабi, М. М. Шеремета, Цiлi функцiї обмеженого l-M -iндексу, Доп. АН УРСР, Сер. A., № 11, 3 – 5
(1989).
9. А. Ф. Леонтьев, Обобщения рядов экспонент, Наука, Москва (1981).
10. Б. В. Винницкий, Некоторые аппроксимационные свойства обобщенных систем экспонент, Дрогобыч (1991),
Деп. в УкрНИИНТИ 25.02.1991.
11. M. M. Sheremeta, Relative growth of series in system functions and Laplace – Stieltjes type integrals, Axioms, 10,
№ 2 (2021).
12. M. M. Sheremeta, On the growth of series in systems of functions and Laplace – Stieltjes integrals, Mat. Stud., 55,
№ 2, 124 – 131 (2021).
13. A. G. Azpeitia, On entire functions of bounded index defined by Dirichlet expansions, Riv. Mat. Univ. Parma (4), 3,
95 – 97 (1977).
14. M. M. Sheremeta, Spaces of series in system of functions, Mat. Stud., 59, № 1, 46 – 59 (2023).
Одержано 15.10.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7866 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:27Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/6e0873271663b22e428de2126a287259.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78662024-06-19T00:35:29Z On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions Про обмеженість $l$-$\mathfrak{M}$-індексу цілих функцій, зображених рядами за системою функцій Sheremeta, M. Шеремета, Мирослав Ціла фукнція Ряд за системою функцій Обмежений індекс UDC517.5 Let $f$ be an entire transcendental function and let $(\lambda_n)$ be a sequence of positive numbers increasing to $+\infty.$&nbsp;Suppose that the series $A(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ is regularly convergent in ${\mathbb C},$ i.e., $\mathfrak{M}(r,A):=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|M_f(r\lambda_n)&lt;+\infty$ for all $r\in [0,+\infty).$&nbsp;&nbsp;For a positive function $l$ continuous on $[0,\,+\infty),$ the function $A$ is called a function of bounded $l$-$\mathfrak{M}$-index if there exists $N\in{\Bbb Z}_+$ such that $\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(n)})}{n!l^n(r)}\le\max\left\{\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(k)})}{k!l^k(r)}\colon 0\le k\le N\right\}$ for all $n\in{\Bbb Z}_+$ and all $r\in [0,+\infty).$&nbsp;&nbsp;We study the properties of growth of the functions of bounded $l$-$\mathfrak{M}$-index&nbsp; and formulate some unsolved problems. УДК 517.5 Нехай $f$ –ціла трансцендентна функція і $(\lambda_n)$ –зростаюча до $+\infty$ послідовність додатних чисел. Припустимо, що ряд $A(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ регулярно збіжний в ${\mathbb C},$ тобто $\mathfrak{M}(r,A):=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|M_f(r\lambda_n)&lt;+\infty$ для всіх $r\in [0,+\infty).$ Для додатної неперервної на $[0,\,+\infty)$ функції $l$ функція $A$ називається функцією обмеженого $l$-$\mathfrak{M}$-індексу, якщо існує таке $N\in{\Bbb Z}_+,$ що $\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(n)})}{n!l^n(r)}\le\max\left\{\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(k)})}{k!l^k(r)}\colon 0\le k\le N\right\}$ для всіх $n\in{\Bbb Z}_+$ і $r\in [0,+\infty).$ Вивчено зростання функцій обмеженого $l$-$\mathfrak{M}$-індексу і сформульовано нерозв'язані задачі.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7866 10.3842/umzh.v74i4.7866 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 4 (2024); 599 - 606 Український математичний журнал; Том 76 № 4 (2024); 599 - 606 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7866/9919 Copyright (c) 2024 Мирослав Шеремета |
| spellingShingle | Sheremeta, M. Шеремета, Мирослав On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title | On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title_alt | Про обмеженість $l$-$\mathfrak{M}$-індексу цілих функцій, зображених рядами за системою функцій |
| title_full | On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title_fullStr | On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title_full_unstemmed | On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title_short | On the finiteness of the $l$-$\mathfrak{M}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| title_sort | on the finiteness of the $l$-$\mathfrak{m}$-index of entire functions represented by series in а system of functions |
| topic_facet | Ціла фукнція Ряд за системою функцій Обмежений індекс |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7866 |
| work_keys_str_mv | AT sheremetam onthefinitenessofthelmathfrakmindexofentirefunctionsrepresentedbyseriesinasystemoffunctions AT šeremetamiroslav onthefinitenessofthelmathfrakmindexofentirefunctionsrepresentedbyseriesinasystemoffunctions AT sheremetam proobmeženístʹlmathfrakmíndeksucílihfunkcíjzobraženihrâdamizasistemoûfunkcíj AT šeremetamiroslav proobmeženístʹlmathfrakmíndeksucílihfunkcíjzobraženihrâdamizasistemoûfunkcíj |