Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra
UDC 517.5 Necessary and sufficient conditions are established for the existence of the continuations of gradients of biharmonic functions $u_1$ and $u_2$ across a smooth curve $\Gamma$ ($u_k \colon D_k \longrightarrow \mathbb{R},$ $k=1,2,$ and $\Gamma$ is a common part of the boundaries of $D_1$ and...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7867 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794184606121984 |
|---|---|
| author | Gryshchuk, S. Грищук, Сергій |
| author_facet | Gryshchuk, S. Грищук, Сергій |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Сергій Грищук",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ; Національний університет „Києво-Могилянська академія''"
}
] |
| author_sort | Gryshchuk, S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:29Z |
| description | UDC 517.5
Necessary and sufficient conditions are established for the existence of the continuations of gradients of biharmonic functions $u_1$ and $u_2$ across a smooth curve $\Gamma$ ($u_k \colon D_k \longrightarrow \mathbb{R},$ $k=1,2,$ and $\Gamma$ is a common part of the boundaries of $D_1$ and $D_2$). Moreover, the indicated  continuation of gradients determines the gradient of the biharmonic function (in $D_1 \cup \Gamma \cup D_1$). |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v74i4.7867 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i4.7867
УДК 517.5
Сергiй Грищук1 (Iнститут математики НАН України, Київ; Нацiональний унiверситет „Києво-Могилянська
академiя”)
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ
МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У БIГАРМОНIЧНIЙ АЛГЕБРI
Necessary and sufficient conditions are established for the existence of the continuations of gradients of biharmonic
functions u1 and u2 across a smooth curve \Gamma (uk : Dk - \rightarrow \BbbR , k = 1, 2, and \Gamma is a common part of the boundaries
of D1 and D2 ). Moreover, the indicated continuation of gradients determines the gradient of the biharmonic function (in
D1 \cup \Gamma \cup D1 ).
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування продовження через гладку криву для градiєнтiв функцiй, якi
визначенi та є бiгармонiчними функцiями у вiдповiдних областях, що межують з даною кривою. Навiть бiльше,
знайдене продовження визначає градiєнт бiгармонiчної функцiї в областi, яка є об’єднанням зазначених областей
та кривої.
1. Вступ. Однiєю з класичних задач теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
є задача про продовження розв’язкiв рiвнянь за межi областi їх визначення. Дослiдженням
цiєї проблеми присвячено роботи багатьох математикiв (див., наприклад, оглядову статтю [4] i
наведену в нiй бiблiографiю). Значну увагу в цiй роботi придiлено модифiкацiї методу Левi –
Векуа (див. [5, 8]), який полягає у зведеннi рiвнянь з частинними похiдними вигляду L(x, y) = 0
вiд двох дiйсних змiнних x, y до рiвнянь вигляду L1((z+w)/2, (z - w)/2i) = 0 з комплексними
похiдними вiд двох змiнних z = x + iy, w = x - iy комплексної площини \BbbC . Зокрема, для
побудови формул продовження бiгармонiчних функцiй, значення яких на частинi межi (для якої
будується продовження i яка є аналiтичною кривою) пов’язанi певними крайовими умовами,
метод Левi – Векуа розвивається у роботах [10, 13], причому в останнiй роботi розглянуто п’ять
рiзних крайових умов та одержано явнi формули продовження бiгармонiчних функцiй для
кожного випадку. Крiм того, у роботi [13] проведено детальний аналiз внескiв попередникiв
стосовно побудови продовження бiгармонiчних функцiй через частини межi, яка має спецiальнi
форми (див., наприклад, [9, 11, 12]).
При розв’язуваннi крайових задач для плоских бiгармонiчних функцiй, зокрема пов’язаних
з теорiєю пружностi, часто бiльш важливим є знаходження не самої шуканої бiгармонiчної
функцiї, а її градiєнта (див., наприклад, [6, 7, 14]).
2. Формулювання задачi та резюме основного результату. Нехай \BbbR — множина дiйсних
чисел, D — обмежена однозв’язна область площини \BbbR 2, \partial D — межа областi D, точки Al \in \partial D,
l = 1, 2, A1 \not = A2; гладкi жордановi кривi \Gamma \subset D, \Gamma l \subset \partial D, l = 1, 2, мають як кiнцi точки A1
та A2, Al /\in \Gamma , Al /\in \Gamma k, l = 1, 2, k = 1, 2. Тодi \partial D = \Gamma 1 \cup \{ A1, A2\} \cup \Gamma 2, а крива \Gamma розбиває
множину D на двi обмеженi однозв’язнi множини Dk, k = 1, 2, де межа \partial Dk областi Dk,
k = 1, 2, визначається як \partial Dk = \Gamma \cup \{ A1, A2\} \cup \Gamma k, k = 1, 2, при цьому D = D1 \cup \Gamma \cup D2.
Символом D0 будемо позначати далi одну з трьох областей: D1, D2, D.
Нехай функцiя v : D0 - \rightarrow \BbbR має в D0 неперервнi похiднi першого порядку \partial v/\partial x, \partial v/\partial y.
Символом \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} v будемо позначати упорядковану пару (\partial v/\partial x, \partial v/\partial y), отже, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} v : D0 - \rightarrow
1 E-mail: serhii.gryshchuk@gmail.com.
c\bigcirc СЕРГIЙ ГРИЩУК, 2024
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4 487
488 СЕРГIЙ ГРИЩУК
\BbbR 2 i \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} v(x, y) =
\biggl(
\partial v(x, y)
\partial x
,
\partial v(x, y)
\partial y
\biggr)
для всiх (x, y) \in D0. Якщо функцiя v бiгармонiчна в
областi D0, то частиннi похiднi \partial v/\partial x, \partial v/\partial y також бiгармонiчнi функцiї в областi D0, тому
градiєнт \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} v будемо називати бiгармонiчним у цiй областi.
Предметом дослiдження цiєї роботи є знаходження необхiдних та достатнiх умов iснування
неперервного продовження через криву \Gamma бiгармонiчних градiєнтiв \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk, k = 1, 2, вiд
бiгармонiчних функцiй uk : Dk - \rightarrow \BbbR , k = 1, 2, так, щоб продовження в область D градiєнтiв
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk, k = 1, 2, визначало бiгармонiчний градiєнт певної бiгармонiчної функцiї u в D.
Iншими словами, потрiбно з’ясувати, коли iснує бiгармонiчна функцiя u : D - \rightarrow \BbbR , звуження
градiєнта якої на областi Dk, k = 1, 2, збiгаються вiдповiдно з градiєнтами наперед заданих
бiгармонiчних функцiй uk, k = 1, 2.
Шуканi умови продовження знаходяться нижче у термiнах граничної поведiнки на \Gamma дiйсних
компонент для похiдних вiдповiдних порядкiв вiд аналiтичних функцiй, якi набувають значень у
комутативнiй двовимiрнiй бiгармонiчнiй алгебрi (див., наприклад, [19]), причому певнi їх пари
дiйсних компонент у областях Dk, k = 1, 2, збiгаються вiдповiдно зi значеннями градiєнтiв
функцiй uk, k = 1, 2.
3. Моногеннi функцiї. Розбиття кривої \bfitgamma на порцiї. У роботi [19] асоцiативну комутатив-
ну двовимiрну алгебру \BbbB з одиницею e над полем комплексних чисел \BbbC названо бiгармонiчною,
якщо вона мiстить базис \{ e1, e2\} , що задовольняє умови
(e21 + e22)
2 = 0, e21 + e22 \not = 0 (1)
(який також названо бiгармонiчним), i запропоновано наступну таблицю множення для такого
базису:
e21 = e1 = e, e2e1 = e2, e22 = e+ 2ie2,
де i — уявна комплексна одиниця.
У роботi [20] доведено єдинiсть бiгармонiчної алгебри \BbbB i показано, що вона породжується
небiгармонiчним базисом \{ e, \rho \} , де
\rho = 2e+ 2ie2 ,
при цьому \rho 2 = 0 , а також описано всi бiгармонiчнi базиси в \BbbB . Зауважимо, що алгебра
\BbbB iзоморфна чотиривимiрним алгебрам над полем дiйсних чисел \BbbR , розглянутим у роботах
[21, 22].
В алгебрi \BbbB визначимо евклiдову норму
\| a\| :=
\sqrt{}
| z1| 2 + | z2| 2, a = z1e1 + z2e2 \in \BbbB , zk \in \BbbC , k = 1, 2.
Як i в роботi [19], розглянемо бiгармонiчну площину \mu e1,e2 := \{ \zeta = x e1 + y e2 : x, y \in \BbbR \} . Кон-
груентнi множини у бiгармонiчнiй площинi \mu e1,e2 (вiдповiднiсть: \zeta = xe1+ye2 \in \mu e1,e2 , (x, y) \in
\BbbR 2) для множин D, \Gamma , \Gamma k, \{ Ak\} , D0, Dk, k = 1, 2, позначимо вiдповiдно символами D\zeta , \gamma ,
\gamma k, \{ ak\} , (D0)\zeta , (Dk)\zeta , k = 1, 2. Тодi межi \partial (Dk)\zeta , \partial D\zeta вiдповiдно областей \partial (Dk)\zeta , k = 1, 2,
D\zeta задовольняють рiвностi
\partial (Dk)\zeta = \gamma \cup \{ a1, a2\} \cup \gamma k, k = 1, 2, \partial D\zeta = \gamma 1 \cup \{ a1, a2\} \cup \gamma 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 489
Крiм того, справджуються рiвностi D\zeta = (D1)\zeta \cup \gamma \cup (D2)\zeta , (D0)\zeta = (Dk)\zeta при D0 = Dk,
k = 1, 2. Якщо D0 = D, то (D0)\zeta := D\zeta .
Назвемо криву \widetilde \gamma \subset \mu e1,e2 гладкою, якщо її конгруентна крива \gamma 0 := \{ z = x + iy \in \BbbC :
xe1 + ye2 \in \mu e1,e2\} комплексної площини \BbbC є гладкою, i вiдповiдно кусково-гладкою, якщо
\gamma 0 — кусково-гладка крива. Тодi \gamma є гладкою кривою, \gamma k — гладкi кривi, межi \partial D\zeta i \partial D\zeta k —
кусково-гладкi кривi, k = 1, 2.
Позначимо через \gamma x не бiльш нiж злiченне об’єднання гладких попарно неперетинних
кривих \gamma x(Ak,x, Bk,x) \subset \gamma (k — натуральне число), кожна з яких має як кiнцi точки Ak,x i Bk,x
кривої \gamma , Ak,x /\in \gamma x, Bk,x /\in \gamma x, а кожна крива \gamma x(Ak,x, Bk,x) належить вiдповiднiй прямiй, яка
паралельна осi \{ \zeta = xe1 + ye2 \in \mu e1,e2 : y = 0\} (можливий випадок, коли \gamma x = \varnothing ).
Позначимо через \gamma y не бiльш нiж злiченне об’єднання вiдкритих гладких попарно непере-
тинних кривих \gamma y(Ak,y, Bk,y) \subset \gamma (k — натуральне число), кожна з яких має як кiнцi точки
Ak,y i Bk,y кривої \gamma , Ak,y /\in \gamma y, Bk,y /\in \gamma y, а кожна крива \gamma y(Ak,y, Bk,y) належить вiдповiднiй
прямiй, яка паралельна осi \{ \zeta = xe1 + ye2 \in \mu e1,e2 : x = 0\} (можливий випадок, коли \gamma y = \varnothing ).
Введемо до розгляду множину \widetilde \gamma := \gamma \setminus (\gamma x \cup \gamma y). Тодi \gamma = \widetilde \gamma \cup \gamma x \cup \gamma y. Скрiзь далi
\zeta := x e1 + y e2, z := x+ iy, (x, y) \in D.
Оскiльки в бiгармонiчнiй площинi вiдсутнi дiльники нуля, то похiдна функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB
визначається так, як i для аналiтичних функцiй комплексної змiнної, а саме:
\Phi \prime (\zeta ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0, h\in \mu e1,e2
\bigl(
\Phi (\zeta + h) - \Phi (\zeta )
\bigr)
h - 1 . (2)
Функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB називається моногенною в областi D\zeta , якщо її похiдна \Phi \prime (\zeta ) iснує в
кожнiй точцi \zeta \in D\zeta .
Якщо iснує похiдна другого порядку вiд функцiї \Phi (похiдна вiд \Phi \prime ) у кожнiй точцi \zeta \in D\zeta ,
то будемо позначати її символом \Phi \prime \prime ; якщо iснує похiдна третього порядку вiд функцiї \Phi
(похiдна вiд \Phi \prime \prime ), то — символом \Phi \prime \prime \prime , тощо.
Кожну функцiю \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB подаємо у виглядi
\Phi (\zeta ) = U1(x, y) e1 + U2(x, y) ie1 + U3(x, y) e2 + U4(x, y) ie2 , (3)
де Uk : D - \rightarrow \BbbR , k = 1, 4, — дiйснозначнi компоненти-функцiї. Для них також будемо викори-
стовувати позначення \mathrm{U}k[\Phi ] := Uk, k = 1, 4.
Очевидно, що кожна моногенна функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB є неперервною в областi D\zeta , а
її компоненти Uk(x, y) = \mathrm{U}k[\Phi (\zeta )], k = 1, 4, — неперервними лiнiйними операторами щодо
додавання моногенних функцiй та множення їх на дiйснi числа.
У роботi [19] доведено, що функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB є моногенною в областi D\zeta тодi й лише
тодi, коли всi її дiйснозначнi компоненти з розкладу (3) диференцiйовнi в D i виконується
такий аналог умов Кошi – Рiмана:
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
=
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2. (4)
У роботах [1, 2] доведено, що кожна моногенна функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB має (неперервнi)
похiднi \Phi (n)(\zeta ) усiх порядкiв в областi D\zeta i задовольняє рiвняння
\Delta 2u(x, y) :=
\biggl(
\partial 4
\partial x4
+ 2
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0 \forall (x, y) \in D
в силу першого зi спiввiдношень (1) i рiвностi \Delta 2\Phi (\zeta ) = \Phi (4)(\zeta ) (e21+e22)
2. Тому всi компоненти
Uk : D - \rightarrow \BbbR , k = 1, 4, з розкладу (3) є бiгармонiчними функцiями в областi D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
490 СЕРГIЙ ГРИЩУК
4. Допомiжнi твердження. Розглянемо допомiжнi результати про зображення бiгармонiч-
ного градiєнта за допомогою компонент моногенних функцiй.
Лема 1. Нехай u : D0 - \rightarrow \BbbR — бiгармонiчна функцiя. Тодi iснує моногенна функцiя
\Phi : (D0)\zeta - \rightarrow \BbbB , яка задовольняє рiвнiсть
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u(x, y) = (\mathrm{U}1[\Phi (\zeta )],\mathrm{U}3[\Phi (\zeta )]) \forall \zeta \in (D0)\zeta . (5)
Усi моногеннi функцiї, якi задовольняють рiвнiсть (5), визначаються рiвнiстю
\Phi (\zeta ) = \Phi \prime
u + ik\zeta + ine+ ie2m, (6)
де k, n, m — довiльнi дiйснi числа, \Phi u — моногенна в D\zeta функцiя, яка задовольняє умову
\mathrm{U}1[\Phi u(\zeta )] = u(x, y) \forall (x, y) \in D. (7)
Доведення. За теоремою 5 роботи [1] iснують моногеннi функцiї \Phi u : (D0)\zeta - \rightarrow \BbbB , якi
задовольняють умову (7). Крiм того, потужнiсть множини функцiй \Phi u є континуумом.
З умови (4) для \Phi := \Phi u та спiввiдношення (7) для кожного \zeta \in (D0)\zeta випливають рiвностi
\mathrm{U}1
\bigl[
\Phi u
\prime (\zeta )
\bigr]
=
\partial \mathrm{U}1[\Phi u(\zeta )]
\partial x
\equiv \partial u(x, y)
\partial x
, \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi u
\prime (\zeta )
\bigr]
=
\partial \mathrm{U}1[\Phi u(\zeta )]
\partial y
\equiv \partial u(x, y)
\partial y
.
Тому моногенна функцiя \Phi := \Phi \prime
u задовольняє умову (5). Опишемо всю сукупнiсть моногенних
функцiй \Phi , якi задовольняють умову (5).
Нехай тепер \Phi — довiльна моногенна в (D0)\zeta функцiя, яка задовольняє умову (7). Тодi
моногенна в D\zeta функцiя \widetilde \Phi := \Phi - \Phi u задовольняє в (D0)\zeta умови
\mathrm{U}1
\Bigl[ \widetilde \Phi (\zeta )\Bigr] = 0, \mathrm{U}3
\Bigl[ \widetilde \Phi (\zeta )\Bigr] = 0 \forall \zeta \in D\zeta . (8)
У лемi 3 роботи [1] описано всi моногеннi функцiї, якi задовольняють першу умову з
(8). Враховуючи далi другу умову з (8) та рiвнiсть \zeta = xe + ye2, приходимо до рiвностi\widetilde \Phi (\zeta ) = ik\zeta + in e + im e2 для кожного \zeta \in D\zeta (k, n, m — довiльнi дiйснi числа), яка разом з
рiвнiстю \widetilde \Phi := \Phi - \Phi \prime
u i доводить формулу (6).
Лему доведено.
Нехай дiйснозначнi функцiї P, Q є неперервними в областi D. Функцiя u : D - \rightarrow \BbbR
називається примiтивною функцiєю (див., наприклад, [16, c. 250]) диференцiального виразу
\omega := P dx +Qdy в областi D, якщо функцiя u є неперервно диференцiйовною в областi D i
виконується рiвнiсть мiж диференцiальним виразом \omega i (повним) диференцiалом функцiї u в
областi D:
\omega \equiv P (x, y) dx+Q(x, y) dy = d u(x, y) \forall (x, y) \in D.
Очевидно, що неперервно диференцiйовна функцiя u : D - \rightarrow \BbbR є примiтивною функцiєю
диференцiального виразу \omega = P dx + Qdy тодi й лише тодi, коли (P,Q) = \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u в областi
D. Зазначимо, що у випадку, коли шукана неперервно диференцiйовна функцiя u задовольняє
рiвнiсть (P,Q) = \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u в областi D, функцiя u вiдновлюється (з точнiстю до довiльного
дiйсного доданка) за формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 491
u(x, y) =
(x,y)\int
(x0,y0)
P dx+Qdy + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \forall (x, y) \in D, (9)
де iнтегрування проводиться уздовж довiльної гладкої кривої областi D, яка сполучає фiксовану
точку (x0, y0) \in D з точкою (x, y).
Лема 2 [18, с. 18]. Нехай функцiї P : D - \rightarrow \BbbR , Q : D - \rightarrow \BbbR та всi їхнi частиннi похiднi
першого порядку неперервнi в областi D.
Тодi для того, щоб iснувала двiчi неперервно диференцiйовна примiтивна функцiя u : D - \rightarrow
\BbbR диференцiального виразу \omega = P dx+Qdy, необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова
\partial P (x, y)
\partial y
=
\partial Q(x, y)
\partial x
\forall (x, y) \in D. (10)
З використанням формули (9) легко встановлюємо узагальнення другого твердження леми 2
для n разiв неперервної диференцiйовностi (при n = 1 — це друге твердження леми 2) функ-
цiї u.
Наслiдок 1. Нехай функцiї P : D - \rightarrow \BbbR , Q : D - \rightarrow \BbbR є n разiв (n \geq 1) неперервно
диференцiйовними функцiями в областi D i виконується спiввiдношення (10). Тодi iснує n+ 1
раз неперервно диференцiйовна примiтивна функцiя u : D - \rightarrow \BbbR диференцiального виразу
\omega = P dx+Qdy.
Нехай функцiї P : D - \rightarrow \BbbR , Q : D - \rightarrow \BbbR неперервнi. Їх звуження вiдповiдно на областi
Dk, k = 1, 2, позначаємо так:
Pk(x, y) := P (x, y), Qk(x, y) := Q(x, y) \forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2.
Введемо до розгляду числовi множини: \BbbN — множина натуральних чисел, \BbbN 0 := \BbbN \cup \{ 0\} .
Нехай функцiя \widetilde P : D0 - \rightarrow \BbbR є n разiв неперервно диференцiйовною (n \in \BbbN 0). Для кожних
n1, n2 \in \BbbN 0, n1 + n2 \leq n, позначимо
\frakD n1,n2
\widetilde P (x, y) :=
\partial n1+n2 \widetilde P (x, y)
\partial xn1\partial yn2
\forall (x, y) \in D0. (11)
У правiй частинi рiвностi (11) порядок диференцiювання при n \in \BbbN можна вибирати
довiльним чином внаслiдок n разiв неперервної диференцiйовностi функцiї \widetilde P .
Нехай \delta > 0, \zeta 0 \in \gamma , G \subset \mu e1,e2 . Введемо позначення
U\delta (\zeta 0, G) := \{ \zeta \in G : \| \zeta - \zeta 0\| < \delta \} .
Лема 3. Нехай функцiї P : D - \rightarrow \BbbR , Q : D - \rightarrow \BbbR неперервнi, а їх звуження Pk, Qk на
Dk, k = 1, 2, є n разiв (n \in \BbbN ) неперервно диференцiйовними функцiями вiдповiдно на Dk,
k = 1, 2, i задовольняють умови:
1) має мiсце рiвнiсть
\partial Pk(x, y)
\partial y
=
\partial Qk(x, y)
\partial x
\forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2; (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
492 СЕРГIЙ ГРИЩУК
2) для кожних n1, n2 \in \BbbN 0, n1+n2 = n, усi частиннi похiднi \frakD n1,n2Pk, \frakD n1,n2Qk, k = 1, 2,
неперервно продовжуються в точки кривої \Gamma , причому їх граничнi значення задовольняють для
кожного (x0, y0) \in \Gamma рiвностi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (x0,y0),(x,y)\in D1
\frakD n1,n2P1(x, y)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (x0,y0),(x,y)\in D2
\frakD n1,n2P2(x, y) =: pn1,n2(x0, y0), (13)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (x0,y0),(x,y)\in D1
\frakD n1,n2Q1(x, y)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (x0,y0),(x,y)\in D2
\frakD n1,n2Q2(x, y) =: qn1,n2(x0, y0); (14)
3а) iснує таке \delta > 0, що для кожних n1 \in \BbbN , n2 \in \BbbN 0, n1 + n2 = n, k1 \in \BbbN 0, k2 \in \BbbN ,
k1 + k2 = n, виконуються асимптотичнi спiввiдношення
\frakD n1 - 1,n2Pk(x, y) - pn1 - 1,n2(x0, y0) - (x - x0)pn1,n2(x0, y0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (15)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\frakD n1 - 1,n2pk(x, y) - pn1 - 1,n2(x0, y0) - (x - x0)pn1,n2(x0, y0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (16)
\forall \zeta 0 \in \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma x), k = 1, 2,
\frakD k1,k2 - 1Pk(x, y) - pk1,k2 - 1(x0, y0) - (y - y0)pk1,k2(x0, y0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (17)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\frakD k1,k2 - 1pk(x, y) - pk1,k2 - 1(x0, y0) - (y - y0)pk1,k2(x0, y0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (18)
\forall \zeta 0 \in \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma y), k = 1, 2,
де o(v)/v \rightarrow 0 при v \rightarrow 0;
3б) iснує таке \delta > 0, що для кожних n1 \in \BbbN , n2 \in \BbbN 0, n1 + n2 = n, k1 \in \BbbN 0, k2 \in \BbbN ,
k1 + k2 = n, виконуються асимптотичнi спiввiдношення, якi одержуються при k = 1, 2 з
(15) – (18) замiною Pk на Qk, pn1,n2 на qn1,n2 , pk1,k2 на qk1,k2 вiдповiдно.
Тодi iснує n + 1 раз неперервно диференцiйовна функцiя u : D - \rightarrow \BbbR , яка є примiтивною
функцiєю диференцiального виразу \omega = P dx+Qdy.
Доведення. Покажемо спочатку, що функцiї P, Q є n разiв неперервно диференцiйовними в
областi D. Враховуючи, що їх звуження Pk, Qk вiдповiдно на Dk, k = 1, 2, є n разiв неперервно
диференцiйовними, достатньо довести, що P i Q є n разiв неперервно диференцiйовними
функцiями у точках кривої \Gamma . З того, що для кожних nj \in \BbbN 0, j = 1, 2, n1 + n2 = n, частиннi
похiднi \frakD n1,n2Pk, \frakD n1,n2Qk, k = 1, 2, неперервно продовжуються у точки кривої \Gamma , причому
їх граничнi значення задовольняють для кожного (x0, y0) \in \Gamma рiвностi (13), (14), випливає,
що всi частиннi похiднi \frakD n1,n2Pk, \frakD n1,n2Qk, k = 1, 2, порядку n = n1 + n2 неперервно
продовжуються вiдповiдно з Dk, k = 1, 2, на всю область D. Враховуючи додатково вiдповiднi
асимптотичнi спiввiдношення, одержуємо, що продовженi за неперервнiстю частиннi похiднi
\frakD n1,n2Pk, \frakD n1,n2Qk, k = 1, 2, порядку n = n1 + n2 збiгаються з одноiменними частинними
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 493
похiдними порядку n вiдповiдно для функцiй P, Q у точках кривої \Gamma , причому значення кожної
похiдної не залежить вiд порядку диференцiювання.
Отже, всi частиннi похiднi функцiй \frakD n1,n2P, \frakD n1,n2Q порядку n = n1+n2 є неперервними
в областi D. Тодi в силу вiдповiдного результату (див., наприклад, [17, с. 276]) функцiї P, Q є
n разiв неперервно диференцiйовними в областi D.
Оскiльки функцiї P i Q мають неперервнi похiднi в областi D за доведеним, то з рiвностей
(12) для областей Dk, k = 1, 2, випливає справедливiсть рiвностi (10). Тодi за наслiдком 1 з
леми 2 випливає необхiдне твердження про iснування примiтивної функцiї u.
Лему доведено.
Зауваження 1. У лемi 3 для кожних n1, n2 \in \BbbN 0, n1 + n2 = n, функцiї pn1,n2 , qn1,n2
вiдповiдно з (13), (14) виражаються через функцiї P, Q за допомогою рiвностей
pn1,n2(x0, y0) = \frakD n1,n2P (x0, y0), qn1,n2(x0, y0) = \frakD n1,n2Q(x0, y0) \forall (x0, y0) \in \Gamma .
Якщо моногенна функцiя \Phi k : (D\zeta )k - \rightarrow \BbbB , k \in \{ 1, 2\} , має для певного l \in \{ 1, 2, 3, 4\}
скiнченну границю
\widehat \mathrm{U}l[\Phi k](\zeta 0) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\zeta \rightarrow \zeta 0,\zeta \in Dk
\mathrm{U}l[\Phi k(\zeta )] \forall \zeta 0 \in \gamma ,
то функцiя \mathrm{U}l[\Phi k] допускає неперервне продовження з (Dk)\zeta на (Dk)\zeta \cup \gamma для вiдповiдних
k \in \{ 1, 2\} та l \in \{ 1, 2, 3, 4\} .
Лема 4. Нехай моногеннi функцiї \Phi k : (D\zeta )k - \rightarrow \BbbB , k = 1, 2, задовольняють чотири
граничнi умови
\widehat \mathrm{U}l[\Phi 1](\zeta 0) := \widehat \mathrm{U}l[\Phi 2](\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , l = 1, 4. (19)
Тодi функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB , компоненти \mathrm{U}l[\Phi ] якої визначаються для кожного l \in \{ 1, 2, 3, 4\}
рiвностями
Ul[\Phi (\zeta )] :=
\left\{ \mathrm{U}l[\Phi k(\zeta )], якщо \zeta \in Dk, k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}l[\Phi 1](\zeta ) \equiv \widehat \mathrm{U}l[\Phi 2](\zeta ), якщо \zeta \in \gamma ,
є моногенною в областi D\zeta i виконуються асимптотичнi спiввiдношення
\mathrm{U}1[\Phi (\zeta ) - \Phi (\zeta 0)] - ((x - x0)\mathrm{U}1 + (y - y0)\mathrm{U}3)
\bigl[
\Phi \prime (\zeta )
\bigr]
= o(\zeta - \zeta 0), (20)
\mathrm{U}2[\Phi (\zeta ) - \Phi (\zeta 0)] - ((x - x0)\mathrm{U}2 + (y - y0)\mathrm{U}4)
\bigl[
\Phi \prime (\zeta )
\bigr]
= o(\zeta - \zeta 0), (21)
\mathrm{U}3[\Phi (\zeta ) - \Phi (\zeta 0)] - ((x - x0)\mathrm{U}3 + (y - y0)(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4))
\bigl[
\Phi \prime (\zeta )
\bigr]
= o(\zeta - \zeta 0), (22)
\mathrm{U}4[\Phi (\zeta ) - \Phi (\zeta 0)] - ((x - x0)\mathrm{U}4 + (y - y0)(\mathrm{U}2 + 2\mathrm{U}3))
\bigl[
\Phi \prime (\zeta )
\bigr]
= o(\zeta - \zeta 0) (23)
при \zeta \rightarrow \zeta 0, де \zeta 0 — довiльна точка з \gamma , \zeta \in D\zeta .
Доведення. З рiвностей (19) та неперервностi компонент \mathrm{U}l[\Phi k(\zeta )], l = 1, 4, k = 1, 2,
випливає, що функцiї P (x, y) := \mathrm{U}1[\Phi (\zeta )] , Q(x, y) := \mathrm{U}3[\Phi (\zeta )], U2k(x, y) := \mathrm{U}2k[\Phi (\zeta )],
k = 1, 2, неперервнi в D. Оскiльки \Phi (\zeta ) \equiv \Phi k(\zeta ) для всiх \zeta \in (Dk)\zeta , k = 1, 2, то функцiя \Phi
моногенна вiдповiдно в (D\zeta )k, k = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
494 СЕРГIЙ ГРИЩУК
Покажемо, що \Phi моногенна також в усiй областi D\zeta . Враховуючи аналоги теореми Кошi та
теореми Морери для моногенних функцiй (див., наприклад, [2, 3]), легко показати, аналогiчно
випадку голоморфних функцiй комплексної змiнної (див., наприклад, теорему 1 в пунктi 25
монографiї [23]), що функцiя \Phi є моногенною в усiй областi D\zeta . Тодi на пiдставi аналога
теореми Кошi для моногенної функцiї \Phi виконується рiвнiсть\int
\widetilde \gamma
\Phi (\zeta ) d\zeta = 0, (24)
де \widetilde \gamma — довiльна кусково-гладка крива в областi D\zeta . Дiючи оператором \mathrm{U}1 на обидвi частини
рiвностi (24), одержуємо спiввiдношення
\mathrm{U}1
\left[ \int
\widetilde \gamma
\Phi (\zeta ) d\zeta
\right] =
\int
\widetilde \Gamma
P dx+Qdy \equiv 0, (25)
де \widetilde \Gamma := \{ (x, y) : xe1+ye2 \in \widetilde \gamma \} — довiльна кусково-гладка крива в областi D (внаслiдок довiль-
ностi кривої \widetilde \gamma ). З рiвностi (25), враховуючи лему 3 (с. 529) та теорему 7 (с. 530) монографiї [17],
приходимо до висновку про iснування примiтивної функцiї u : D\zeta - \rightarrow \BbbB диференцiального ви-
разу P dx+Qdy, тобто \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u = (P,Q). Тодi з рiвностi (9) отримуємо, що u є бiгармонiчною
функцiєю в усiй областi D. Рiвностi (20) – (23) є тривiальними наслiдками спiввiдношення (2)
для кожного \zeta 0 \in \gamma .
Лему доведено.
5. Основний результат. Нехай uk : Dk - \rightarrow \BbbR , k = 1, 2, — бiгармонiчнi функцiї, а моногеннi
функцiї \Phi k : (Dk)\zeta - \rightarrow \BbbB , k = 1, 2, задовольняють умови
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk(x, y) = (\mathrm{U}1[\Phi k(\zeta )],\mathrm{U}3[\Phi k(\zeta )]) \forall \zeta \in (Dk)\zeta , k = 1, 2. (26)
З лем 1 i 4 випливає таке твердження: для iснування бiгармонiчної функцiї u, яка задовольняє
рiвностi
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u(x, y) = \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk(x, y) \forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2, (27)
достатньо, щоб зазначенi моногеннi функцiї \Phi k, k = 1, 2, задовольняли чотири граничнi умови
(19).
Проте умови (19) не є необхiдними умовами iснування бiгармонiчної функцiї u, яка задо-
вольняє рiвностi (27). Справдi, нехай uk \equiv 0, k = 1, 2, моногеннi функцiї \Phi k : (Dk)\zeta - \rightarrow \BbbB ,
k = 1, 2, мають вигляд
\mathrm{U}1[\Phi k] = \mathrm{U}3[\Phi k] \equiv 0, \mathrm{U}2l[\Phi k] \equiv ak, a1 \not = a2, k = 1, 2, l = 1, 2.
Цi функцiї \Phi k, k = 1, 2, визначають бiгармонiчну функцiю вигляду u \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Наступна теорема встановлює у термiнах моногенних функцiй \Phi k : (Dk)\zeta - \rightarrow \BbbB , k = 1, 2,
необхiднi i достатнi умови iснування бiгармонiчної функцiї u, яка задовольняє рiвностi (27).
Теорема 1. Нехай uk : Dk - \rightarrow \BbbR , k = 1, 2, — бiгармонiчнi функцiї, а моногеннi функцiї
\Phi k : (Dk)\zeta - \rightarrow \BbbB , k = 1, 2, задовольняють умови (26).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 495
Для iснування бiгармонiчної функцiї u : D - \rightarrow \BbbR , яка задовольняє рiвностi (27), необхiдно
i достатньо, щоб моногеннi функцiї \Phi k, k = 1, 2, задовольняли граничнi умови
\widehat \mathrm{U}l[\Phi 1](\zeta 0) := \widehat \mathrm{U}l[\Phi 2](\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , l \in \{ 1, 3\} , (28)
\widehat \mathrm{U}l
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}l
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , l = 1, 4. (29)
Доведення. Достатнiсть. За лемою 1 iснують моногеннi функцiї \Phi k : (Dk)\zeta - \rightarrow \BbbB , k =
1, 2, якi задовольняють рiвностi (26).
Компоненти для вектор-функцiй \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk, k = 1, 2, позначимо через Pk, Qk, k = 1, 2,
вiдповiдно, тобто
\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}uk(x, y) \equiv (\mathrm{U}1[\Phi k(\zeta )],\mathrm{U}3[\Phi k(\zeta )]) =: (Pk(x, y), Qk(x, y)) \forall \zeta \in (Dk)\zeta , k = 1, 2. (30)
З умов (28) та рiвностей (30) випливає, що функцiї
P (x, y) :=
\left\{ Pk(x, y), якщо (x, y) \in Dk, k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}1[\Phi 1](\zeta 0) \equiv \widehat \mathrm{U}1[\Phi 2](\zeta 0), якщо (x0, y0) \in \Gamma ,
(31)
Q(x, y) :=
\left\{ Qk(x, y), якщо (x, y) \in Dk, k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}3[\Phi 1](\zeta 0) \equiv \widehat \mathrm{U}3[\Phi 2](\zeta 0), якщо (x0, y0) \in \Gamma ,
(32)
неперервнi в областi D.
З урахуванням (30) одержуємо, що при (x, y) \in Dk, k = 1, 2, функцiї (31) i (32) мають
вигляд
P (x, y) = Pk(x, y) =
\partial uk(x, y)
\partial x
\equiv \mathrm{U}1[\Phi k(\zeta )] \forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2, (33)
Q(x, y) = Qk(x, y) =
\partial uk(x, y)
\partial y
\equiv \mathrm{U}3[\Phi k(\zeta )] \forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2. (34)
З огляду на те, що компоненти \mathrm{U}l, l = 1, 4, моногенних функцiй є бiгармонiчними функ-
цiями у вiдповiдних областях декартової площини xOy, отримуємо, що функцiї (33), (34),
k = 1, 2, є бiгармонiчними, а тому i нескiнченно неперервно диференцiйовними (див., напри-
клад, [15, c. 144]) в областях Dk, k = 1, 2. Звiдси приходимо до висновку, що неперервнi в
D функцiї (31), (32) є нескiнченно неперервно диференцiйовними бiгармонiчними функцiями
вiдповiдно в областях Dk, k = 1, 2.
Обчислимо похiднi першого порядку для функцiй Pk i Qk в областях Dk, k = 1, 2.
Враховуючи (33), (34), рiвностi
\mathrm{U}1[e2A] = \mathrm{U}3[A], A \in \BbbB , (35)
\mathrm{U}3[e2A] = \mathrm{U}1[A] - 2\mathrm{U}4[A], A \in \BbbB , (36)
й умову (4) при \Phi := \Phi k, k = 1, 2, одержуємо ланцюжки рiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
496 СЕРГIЙ ГРИЩУК
\partial Pk(x, y)
\partial y
=
\partial \mathrm{U}1[\Phi k(\zeta )]
\partial y
= \mathrm{U}1
\biggl[
\partial \Phi k(\zeta )
\partial y
\biggr]
= \mathrm{U}1
\biggl[
e2
\partial \Phi k(\zeta )
\partial x
\biggr]
= \mathrm{U}1
\bigl[
e2\Phi
\prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
\forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2, (37)
\partial Qk(x, y)
\partial x
=
\partial \mathrm{U}3[\Phi k(\zeta )]
\partial x
= \mathrm{U}3
\biggl[
\partial \Phi k(\zeta )
\partial x
\biggr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
\forall (x, y) \in Dk, k = 1, 2, (38)
\partial Pk(x, y)
\partial x
= \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi k
\prime (\zeta )
\bigr]
, (39)
\partial Qk(x, y)
\partial y
= \mathrm{U}3
\bigl[
e2\Phi k
\prime (\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi k
\prime (\zeta )
\bigr]
- 2\mathrm{U}4
\bigl[
\Phi k
\prime (\zeta )
\bigr]
. (40)
З огляду на (37), (38) отримуємо рiвностi (12).
Обчислимо похiднi другого порядку для функцiй Pk i Qk в областях Dk, k = 1, 2. З
урахуванням формул (37) – (40), рiвностей (35), (36), спiввiдношення
\mathrm{U}4[e2A] = \mathrm{U}2[A] + 2\mathrm{U}3[A], A \in \BbbB , (41)
й умови (4) для \Phi := \Phi k, k = 1, 2, одержуємо ланцюжки рiвностей
\partial 2Pk(x, y)
\partial x2
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (42)
\partial 2Pk(x, y)
\partial x\partial y
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (43)
\partial 2Pk(x, y)
\partial y\partial x
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}1
\bigl[
e2\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (44)
\partial 2Pk(x, y)
\partial y2
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
e2\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (45)
\partial 2Qk(x, y)
\partial x2
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (46)
\partial 2Qk(x, y)
\partial x\partial y
=
\partial
\partial x
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2U4)
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (47)
\partial 2Qk(x, y)
\partial y\partial x
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= \mathrm{U}3
\bigl[
e2\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
, (48)
\partial 2Qk(x, y)
\partial y2
=
\partial
\partial y
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\bigl[
\Phi \prime
k(\zeta )
\bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\bigl[
e2\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
= - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3)
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
. (49)
Обчислимо похiднi третього порядку для функцiй Pk i Qk в областях Dk, k = 1, 2. З
використанням рiвностей (42) – (49), рiвностей (35), (36), (41), тотожностi
\mathrm{U}2[e2A] = \mathrm{U}4[A], A \in \BbbB ,
й умови (4) для \Phi := \Phi k, k = 1, 2, отримуємо ланцюжки рiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 497
\partial 3Pk(x, y)
\partial x3
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= \mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (50)
\partial 3Pk(x, y)
\partial y\partial x2
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (51)
\partial 3Pk(x, y)
\partial x2\partial y
=
\partial 3Pk(x, y)
\partial x\partial y\partial x
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (52)
\partial 3Pk(x, y)
\partial y2\partial x
=
\partial 3Pk(x, y)
\partial y\partial x\partial y
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (53)
\partial 3Pk(x, y)
\partial x\partial y2
=
\partial
\partial x
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (54)
\partial 3Pk(x, y)
\partial y3
=
\partial
\partial y
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (55)
\partial 3Qk(x, y)
\partial x3
=
\partial
\partial x
\mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (56)
\partial 3Qk(x, y)
\partial y\partial x2
=
\partial
\partial y
\mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (57)
\partial 3Qk(x, y)
\partial x2\partial y
=
\partial 3Qk(x, y)
\partial x\partial y\partial x
=
\partial
\partial x
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= (\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (58)
\partial 3Qk(x, y)
\partial y2\partial x
=
\partial 3Qk(x, y)
\partial y\partial x\partial y
=
\partial
\partial y
(\mathrm{U}1 - 2\mathrm{U}4)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (59)
\partial 3Qk(x, y)
\partial x\partial y2
=
\partial
\partial x
( - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3))
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
, (60)
\partial 3Qk(x, y)
\partial y3
=
\partial
\partial y
( - (2\mathrm{U}2 + 3\mathrm{U}3))
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
k(\zeta )
\Bigr]
= (4\mathrm{U}4 - 3\mathrm{U}1)
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
k (\zeta )
\Bigr]
. (61)
Нам потрiбно встановити, коли знайденi похiднi другого та третього порядкiв для функцiй
Pk i Qk, k = 1, 2, допускають неперервне продовження з D1 \cup D2 на D. Пiсля цього потрiбно
довести, що продовженi таким чином похiднi третього порядку для функцiй Pk, Qk з Dk, k =
1, 2, на D збiгаються з продовженими частинними похiдними для вiдповiдних похiдних другого
порядку вiд функцiй P i Q, причому останнi повиннi iснувати в областi D (тодi вони будуть
неперервними в D). Очевидно, що для цього достатньо перевiрити на виконання вiдповiднi
твердження у точках кривої \Gamma . З (42) i (50) випливає, що для цього повиннi виконуватись
граничнi рiвностi
\widehat \mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , (62)
\widehat \mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}1
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma (63)
та асимптотичнi спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
498 СЕРГIЙ ГРИЩУК
\mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (64)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (65)
\forall \zeta 0 \in \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma x), k = 1, 2,
з деяким \delta > 0.
З (43), (44), (51), (52) i (56) випливає, що повиннi виконуватися граничнi рiвностi
\widehat \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , (66)
\widehat \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}3
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma (67)
та асимптотичнi спiввiдношення
\mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (68)
\forall \zeta 0 \in \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma y), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}1
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (69)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (70)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0 (71)
\forall \zeta 0 \in \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma x), k = 1, 2,
з деяким \delta > 0.
На пiдставi cпiввiдношень (62), (45), (47), (48), (63) з рiвностей (53), (54), (57), (67) та
асимптотичних спiввiдношень (64), (65) випливає, що повиннi виконуватись граничнi рiвностi
\widehat \mathrm{U}4
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}4
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , (72)
\widehat \mathrm{U}4
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}4
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma (73)
та асимптотичнi спiввiдношення
\mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)
\Bigl( \widehat \mathrm{U}1 - 2\widehat \mathrm{U}4
\Bigr) \bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (74)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}3
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)
\Bigl( \widehat \mathrm{U}1 - 2\widehat \mathrm{U}4
\Bigr) \bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (75)
\forall \zeta 0 \in \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma y), k = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 499
\mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (76)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (77)
\forall \zeta 0 \in \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma x), k = 1, 2,
з деяким \delta > 0.
На пiдставi (66), (49) з (59), (60), (67), (73) та асимптотичних спiввiдношень (68) – (71)
випливає, що повиннi виконуватись граничнi рiвностi
\widehat \mathrm{U}2
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}2
\Bigl[
\Phi
\prime \prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma , (78)
\widehat \mathrm{U}2
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
1
\Bigr]
(\zeta 0) = \widehat \mathrm{U}2
\Bigl[
\Phi
\prime \prime
2
\Bigr]
(\zeta 0) \forall \zeta 0 \in \gamma (79)
та асимптотичнi спiввiдношення
\mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (80)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2;
\widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (x - x0)\widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(x - x0), x \rightarrow x0, (81)
\forall \zeta 0 \in \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma x), k = 1, 2,
\mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)
\Bigl( \widehat \mathrm{U}2 + 2\widehat \mathrm{U}3
\Bigr) \bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (82)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)
\Bigl( \widehat \mathrm{U}2 + 2\widehat \mathrm{U}3
\Bigr) \bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (83)
\forall \zeta 0 \in \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma y), k = 1, 2,
з деяким \delta > 0.
На пiдставi (66), (70), (71), (78), (79) з рiвностi (60) випливає, що мають виконуватись
граничнi спiввiдношення
\widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta ) - \widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (84)
\forall \zeta 0 \in \gamma y \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, \gamma y), k = 1, 2,
\mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k(\zeta )
\bigr]
- \widehat \mathrm{U}2
\bigl[
\Phi \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) - (y - y0)\widehat \mathrm{U}4
\bigl[
\Phi \prime \prime \prime
k
\bigr]
(\zeta 0) = o(y - y0), y \rightarrow y0, (85)
\forall \zeta 0 \in \widetilde \gamma \cup \gamma x \forall \zeta \in U\delta (\zeta 0, D\zeta k), k = 1, 2,
з деяким \delta > 0.
Враховуючи (62), (72), (64), (65), (76), (77), з (61) отримуємо твердження про iснування
шуканого продовження для \partial 3Qk/\partial y
3, k = 1, 2, вiдповiдно з Dk, k = 1, 2, на D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
500 СЕРГIЙ ГРИЩУК
Враховуючи лему 4 для \Phi k := \Phi \prime \prime
k, k = 1, 2, з рiвностей (63), (67), (73), (79) одержуємо
висновок про iснування моногенної функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB , компоненти якої задовольняють
рiвностi
\Phi (\zeta ) :=
\left\{ \Phi \prime \prime
k(\zeta ), якщо \zeta \in (Dk)\zeta , k = 1, 2,
\widehat \mathrm{U}1[\Phi
\prime \prime
1](\zeta ) \equiv \widehat \mathrm{U}1[\Phi
\prime \prime
2](\zeta ), якщо \zeta \in \gamma .
Тодi функцiя \Phi 3 := \Phi \prime є моногенною в областi D\zeta , крiм того, справджуються граничнi рiвностi
(62), (66), (72), (78) для звужень (\Phi 3)k := \Phi
\prime \prime \prime
k , k = 1, 2, функцiї \Phi 3 з D\zeta вiдповiдно на (Dk)\zeta ,
k = 1, 2. За лемою 4 для \Phi k := \Phi \prime \prime
k, k = 1, 2, отримуємо асимптотичнi спiввiдношення (20) –
(23) для даних \Phi k, k = 1, 2, наслiдком яких (вiдповiдно для \zeta = xe та \zeta = ye2) є асимптотичнi
спiввiдношення (64), (65), (68) – (71), (74) – (83), (84), (85).
Тодi за лемою 3 для n = 3 одержуємо що iснує чотири рази неперервно диференцiйовна
функцiя u : D - \rightarrow \BbbR така, що \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u = (P,Q). З (27) випливає, що функцiя u вiдповiдно
в областях Dk, k = 1, 2, вiдрiзняється вiд uk, k = 1, 2, на дiйснi доданки, тобто u(x, y) =
uk(x, y)+ak, де ak — дiйснi числа, k = 1, 2. Тому u є бiгармонiчною функцiєю в областях Dk,
k = 1, 2.
Функцiя \Delta 2u неперервна в областi D, крiм того, \Delta 2u(x, y) \equiv 0 при (x, y) \in Dk, k = 1, 2.
Отже, враховуючи неперервнiсть \Delta 2u на \Gamma , маємо \Delta 2u(x0, y0) \equiv 0 для всiх (x0, y0) \in \Gamma . Тому
функцiя u є бiгармонiчною функцiєю в усiй областi D.
Необхiднiсть доводиться тривiально з урахуванням знайдених похiдних (при доведеннi
достатностi) до третього порядку включно для функцiй (33), (34) у виглядi лiнiйних комбiнацiй
дiйсних компонент для вiдповiдних похiдних функцiй \Phi k, k = 1, 2, та можливостi продовження
цих похiдних (нульового та третього порядкiв) вiдповiдно з Dk, k = 1, 2, на криву \gamma .
Теорему доведено.
Подяка. Автор щиро вдячний професору С. А. Плаксi та учасникам семiнару вiддiлу ком-
плексного аналiзу та теорiї потенцiалу Iнституту математики НАН України за кориснi зауважен-
ня та пропозицiї пiд час апробацiї результатiв.
Конфлiкт iнтересiв. Автор заявляє, що вiн не має потенцiйного конфлiкту iнтересiв щодо
дослiдження у цiй статтi.
Фiнансування. Цю роботу пiдтримано Simons Foundation (грант 1030291, S.V.G.).
Лiтература
1. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12,
1587 – 1596 (2009).
2. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, Complex Analysis
and Dynamical Systems V, Contemp. Math., 591, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2013), p. 127 – 134.
3. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической плоскости, Доп. НАН України, Мат.,
природ., техн. науки, № 12, 13 – 20 (2009).
4. B. Y. Sternin, V. E. Shatalov, Continuation of solutions to elliptic equations and localization of singularities, Global
Analysis – Studies and Applications V, Lecture Notes in Math., 1520, Springer, Berlin, Heidelberg (1992), p. 237 – 259.
5. H. Lewy, Neuer Beweis des analytischen Charakters der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Ann.,
101, № 1, 609 – 619 (1929).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
БIГАРМОНIЧНЕ ПРОДОВЖЕННЯ ГРАДIЄНТIВ ЗА ДОПОМОГОЮ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ . . . 501
6. С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934).
7. G. Albinus, Multiple layer potentials for the quadrant and their application to the Dirichlet problem in plane domains
with a piecewise smooth boundary, Banach Center Publ., 10, № 1, 7 – 26 (1983).
8. И. Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, Гостехиздат, Москва, Ленинград (1948).
9. H. Poritsky, Application of analytic functions to two-dimensional biharmonic analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 59,
№ 2, 248 – 279 (1946).
10. C. L. Yu, Reflection principle for solutions of higher order elliptic equations with analytic coefficients, SIAM J. Appl.
Math., 2, № 3, 358 – 363 (1971).
11. J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity, Proc. London Math. Soc., 3, № 10, 335-353
(1960).
12. J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity across a spherical boundary, J. Math. Anal.
and Appl., 2, № 1, 72 – 85 (1961).
13. T. V. Savina, On the dependence of the reflection operator on boundary conditions for biharmonic functions, J. Math.
Anal. and Appl., 370, № 2, 716 – 725 (2010).
14. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods
Appl. Sci., 39, № 11, 2939 – 2952 (2016).
15. Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. Уравнения с частными производными, Мир, Москва (1966).
16. И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф Калайда, Математический анализ: в 3-х ч., ч. 2, Вища школа,
Киев (1985).
17. Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа: в 3-х т., т. 2, Дрофа, Москва (2004).
18. Я. Б. Лопатинский, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Вища школа, Киев (1984).
19. В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Доп. АН УРСР.
Сер. А, № 8, 25 – 27 (1981).
20. И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252 – 254
(1986).
21. L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata,
Ric. Ingegn., 13, № 2, 255 – 264 (1934).
22. A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Commun. Pure and Appl.
Math., 6, № 2, 259 – 289 (1953).
23. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, Москва (1987).
Одержано 16.10.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7867 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:28Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/c1162850d4baee918749384c5daffca7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78672024-06-19T00:35:29Z Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra Бігармонічне продовження градієнтів за допомогою моногенних функцій зі значеннями у бігармонічній алгебрі Gryshchuk, S. Грищук, Сергій Неперервне продовження функції, бігармонічна функція, бігармонічний градієнт, бігармонічна алгебра, моногенні функції UDC 517.5 Necessary and sufficient conditions are established for the existence of the continuations of gradients of biharmonic functions $u_1$ and $u_2$ across a smooth curve $\Gamma$ ($u_k \colon D_k \longrightarrow \mathbb{R},$ $k=1,2,$ and $\Gamma$ is a common part of the boundaries of $D_1$ and $D_2$).&nbsp;Moreover, the indicated&nbsp; continuation of gradients&nbsp;determines the gradient of the biharmonic function (in $D_1 \cup \Gamma \cup D_1$). УДК 517.5 Знайдено необхідні та достатні умови&nbsp; існування продовження&nbsp; через гладку криву для&nbsp; градієнтів функцій, які визначені та є бігармонічними функціями у відповідних областях, що межують з даною кривою. Навіть більше, знайдене продовження &nbsp; визначає градієнт&nbsp; бігармонічної функції в області, яка є об'єднанням зазначених областей&nbsp;та кривої.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7867 10.3842/umzh.v74i4.7867 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 4 (2024); 487 - 501 Український математичний журнал; Том 76 № 4 (2024); 487 - 501 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7867/9910 Copyright (c) 2024 Сергій Вікторович Грищук |
| spellingShingle | Gryshchuk, S. Грищук, Сергій Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title | Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title_alt | Бігармонічне продовження градієнтів за допомогою моногенних функцій зі значеннями у бігармонічній алгебрі |
| title_full | Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title_fullStr | Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title_full_unstemmed | Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title_short | Biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| title_sort | biharmonic continuations of gradients with the help of monogenic functions with values in the biharmonic algebra |
| topic_facet | Неперервне продовження функції бігармонічна функція бігармонічний градієнт бігармонічна алгебра моногенні функції |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7867 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuks biharmoniccontinuationsofgradientswiththehelpofmonogenicfunctionswithvaluesinthebiharmonicalgebra AT griŝuksergíj biharmoniccontinuationsofgradientswiththehelpofmonogenicfunctionswithvaluesinthebiharmonicalgebra AT gryshchuks bígarmoníčneprodovžennâgradíêntívzadopomogoûmonogennihfunkcíjzíznačennâmiubígarmoníčníjalgebrí AT griŝuksergíj bígarmoníčneprodovžennâgradíêntívzadopomogoûmonogennihfunkcíjzíznačennâmiubígarmoníčníjalgebrí |