On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$
UDC 517.5 For various conditions imposed  on the parameters of the Horn hypergeometric function $H_4$, we study different domains of convergence of the branched continued-fraction expansions  of the ratios of these functions.
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7877 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794193253728256 |
|---|---|
| author | Dmytryshyn, R. Lutsiv, I.-A. Dmytryshyn, M. Cesarano, C. Дмитришин, Роман Дмитришин, Роман Луців, Ілона-Анна Дмитришин, Марта Чезарано, Клементе |
| author_facet | Dmytryshyn, R. Lutsiv, I.-A. Dmytryshyn, M. Cesarano, C. Дмитришин, Роман Дмитришин, Роман Луців, Ілона-Анна Дмитришин, Марта Чезарано, Клементе |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Роман Дмитришин",
"institution": "Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, Івано-Франківськ"
},
{
"author": "Ілона-Анна Луців",
"institution": "Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, Івано-Франківськ"
},
{
"author": "Марта Дмитришин",
"institution": "Західноукраїнський національний університет, Тернопіль"
},
{
"author": "Клементе Чезарано",
"institution": "Міжнародний телематичний університет UNINETTUNO, Рим, Італія"
}
] |
| author_sort | Dmytryshyn, R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:35:30Z |
| description | UDC 517.5
For various conditions imposed  on the parameters of the Horn hypergeometric function $H_4$, we study different domains of convergence of the branched continued-fraction expansions  of the ratios of these functions. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v74i4.7877 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:34:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v76i4.7877
УДК 517.5
Роман Дмитришин1, Iлона-Анна Луцiв (Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефа-
ника, Iвано-Франкiвськ),
Марта Дмитришин (Захiдноукраїнський нацiональний унiверситет, Тернопiль),
Клементе Чезарано (Мiжнародний телематичний унiверситет UNINETTUNO, Рим, Iталiя)
ПРО ДЕЯКI ОБЛАСТI ЗБIЖНОСТI ГIЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБОВИХ
РОЗВИНЕНЬ ВIДНОШЕНЬ ГIПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦIЙ ГОРНА \bfitH \bffour
For various conditions imposed on the parameters of the Horn hypergeometric function H4 , we study different domains of
convergence of the branched continued-fraction expansions of the ratios of these functions.
За рiзних умов на параметри гiпергеометричної функцiї Горна H4 дослiджено рiзнi областi збiжностi гiллястих
ланцюгових дробових розвинень вiдношень цих функцiй.
1. Вступ. Гiпергеометричнi функцiї (Гаусса, Аппеля, Горна, Лаурiчелли та iншi) природно
зустрiчаються у рiзних задачах прикладної математики та статистики, хiмiї та бiологiї, матема-
тичної фiзики та в iнженерних науках. Їх дослiдження постiйно проводиться протягом останнiх
двох столiть (див., наприклад, [6, 9, 11, 25 – 30, 33 – 35]).
У 1931 роцi Якоб Горн перелiчив 34 рiзнi збiжнi гiпергеометричнi ряди з двома змiнними
[32]. Усi 34 функцiї Горна подiлено на 14 повних гiпергеометричних функцiй (F1 – F4 — функцiї
Аппеля, G1 – G3, H1 – H7) та 20 вироджених гiпергеометричних функцiй (\Phi 1 – \Phi 3, \Psi 1, \Psi 2, \Xi 1,
\Xi 2, \Gamma 1, \Gamma 2, \mathrm{H}1 – \mathrm{H}11) [27, с. 224 – 227].
Гiпергеометрична функцiя Горна H4 визначається подвiйним степеневим рядом вигляду
H4(a, b; c, d; \bfz ) =
\infty \sum
r,s=0
(a)2r+s(b)s
(c)r(d)s
zr1
r!
zs2
s!
, | z1| < p, | z2| < l,
де a, b, c, d — комплекснi сталi, причому c i d не дорiвнюють недодатному цiлому числу; p
та l — додатнi числа, такi що 4p = (l - 1)2 i l \not = 1; (\cdot )k — символ Похгаммера, визначений
для будь-якого комплексного числа \alpha i невiд’ємного цiлого n таким чином: (\alpha )0 = 1 i (\alpha )n =
\alpha (\alpha + 1) . . . (\alpha + n - 1); \bfz = (z1, z2) \in \BbbC 2.
У цiй статтi продовжується дослiдження збiжностi гiллястих ланцюгових дробових розви-
нень вiдношень гiпергеометричних функцiй Горна H4, розпочате у роботах [12, 24].
Збiжнiсть гiллястих ланцюгових дробових розвинень вiдношень гiпергеометричних функ-
цiй F1 i F3 дослiджено вiдповiдно у роботах [2, 3] i [4, 20], гiпергеометричної функцiї
F4(1, 2; 2, 2; z1, z2) — у статтi [31], вiдношень гiпергеометричних функцiй Горна H3 — у ро-
ботах [7, 13], а вiдношень вироджених гiпергеометричних функцiй Горна \mathrm{H}6 i \mathrm{H}7 — вiдповiдно
у статтях [10] i [8]. Залишається вiдкритою задача дослiдження збiжностi гiллястих ланцюго-
вих дробових розвинень вiдношень гiпергеометричних функцiй F2 та у загальному випадку
F4, побудованих вiдповiдно у роботах [19] i [21].
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: dmytryshynr@hotmail.com.
c\bigcirc РОМАН ДМИТРИШИН, IЛОНА-АННА ЛУЦIВ, МАРТА ДМИТРИШИН, КЛЕМЕНТЕ ЧЕЗАРАНО, 2024
502 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ДЕЯКI ОБЛАСТI ЗБIЖНОСТI ГIЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБОВИХ РОЗВИНЕНЬ . . . 503
2. Збiжнiсть гiллястого ланцюгового дробового розвинення. Iз теореми 1 [12] за умови,
що b = d+ 1 та (ij)0 = (1, 2), випливає такий результат.
Теорема 1. Вiдношення
H4(a, d+ 1; c, d; \bfz )
H4(a+ 1, d+ 1; c, d+ 1; \bfz )
(1)
має формальне гiллясте ланцюгове дробове розвинення вигляду
1 - d - a
d
z2 -
h1z1
1 - z2 -
h2z1
1 - z2 -
h3z1
1 - . . .
, (2)
де
h1 =
2(a+ 1)
c
, hk =
(2c - a+ k - 3)(a+ k)
(c+ k - 2)(c+ k - 1)
, k \geq 2. (3)
Зауваження 1. Гiллястий ланцюговий дрiб (2) є неперервним дробом за своєю формою.
Особливiстю тут є те, що їх пiдхiднi дроби визначаються по-рiзному. А саме, послiдовнiсть
пiдхiдних дробiв неперервного дробу для гiллястого ланцюгового дробу є послiдовнiстю так
званих фiгурних пiдхiдних дробiв [1, с. 18]. Дослiдження збiжностi, пов’язанi з рiзними фiгур-
ними пiдхiдними дробами, можна знайти, зокрема, у роботах [5, 14, 15, 17, 18].
Безпосередньо iз теореми 1 [23] отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай a i d — комплекснi сталi, причому d \not = 0; g0,k, k \geq 1, — дiйснi числа,
такi що 0 < g0,k \leq 1 для всiх k \geq 1. Тодi гiллястий ланцюговий дрiб
1 - d - a
d
z1,0 -
g0,1z0,1
1 - (1 - g0,1)z1,1 -
g0,2(1 - g0,1)z0,2
1 - (1 - g0,2)z1,2 -
g0,3(1 - g0,2)z0,3
1 - . . .
збiгається, якщо | z1,k| \leq 1/2 i | z0,k+1| \leq 1/2 для всiх k \geq 0.
Iз доведення леми 4.41 [33] випливає такий результат.
Наслiдок 2. Якщо x \geq c > 0 i v2 \leq 4u+ 4, де u, v \in \BbbR , то
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
- \infty <y<+\infty
\mathrm{R}\mathrm{e}
\biggl(
u+ iv
x+ iy
\biggr)
= -
\surd
u2 + v2 - u
2x
.
Справджується така теорема.
Теорема 2. Нехай a, c i d — комплекснi сталi, такi що
| hk| +\mathrm{R}\mathrm{e}(hk) \leq pq(1 - q), k \geq 1, (4)
де hk, k \geq 1, визначенi в (3), p — додатне число, 0 < q < 1 i d \not = 0. Тодi гiллястий ланцюговий
дрiб (2) збiгається до функцiї f(\bfz ), голоморфної в областi
\Omega p,q =
\biggl\{
\bfz \in \BbbC 2 : | z1| <
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1))
2p
, \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl(
z2e
- (i/2) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)
\Bigr)
<
q
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)
2
\biggr) \biggr\}
, (5)
до того ж збiгається рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi \Omega p,q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
504 РОМАН ДМИТРИШИН, IЛОНА-АННА ЛУЦIВ, МАРТА ДМИТРИШИН, КЛЕМЕНТЕ ЧЕЗАРАНО
Доведення. Нехай
F (n)
n (\bfz ) = 1, n \geq 1, (6)
i
F
(n)
k (\bfz ) = 1 - z2 -
hk+1z1
1 - z2 -
hk+2z1
1 - . . . - z2 -
hn - 1z1
1 - z2 - hnz1
, 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2.
Тодi
F
(n)
k (\bfz ) = 1 - z2 -
hk+1z1
F
(n)
k+1(\bfz )
, 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2, (7)
i n-й пiдхiдний дрiб гiллястого ланцюгового дробу (2) запишемо у виглядi
fn(\bfz ) = 1 - d - a
d
z2 -
h1z1
F
(n)
1 (\bfz )
. (8)
Покажемо, що кожний пiдхiдний дрiб fn(\bfz ) є голоморфною функцiєю в областi (5). Для
цього достатньо показати, що F
(n)
1 (\bfz ) \not = 0 для всiх n \geq 1 i \bfz \in \Omega p,q.
Покладемо \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1) = \alpha . Нехай n — довiльне натуральне число, а \bfz — довiльна фiксована
точка з областi (5). Iндукцiєю по k доведемо такi нерiвностi:
\mathrm{R}\mathrm{e}(F
(n)
k (\bfz )e - i\alpha /2) > (1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2) \geq c > 0, 1 \leq k \leq n, n \geq 1. (9)
Оскiльки \bfz — довiльна фiксована точка з областi (5), то для її довiльного околу знайдеться
\delta > 0 таке, що | \alpha /2| \leq \pi /2 - \delta , i, отже,
(1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2) \geq (1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi /2 - \delta ) = (1 - q) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\delta ) = c > 0.
Покажемо виконання першої нерiвностi в (9). При k = n ця нерiвнiсть очевидна. За при-
пущення, що перша нерiвнiсть у (9) виконується при k = r + 1 \leq n, доведемо її при k = r. Iз
спiввiдношення (7) отримуємо
F (n)
r (\bfz )e - i\alpha /2 = e - i\alpha /2 - z2e
- i\alpha /2 - hr+1z1e
- i\alpha
F
(n)
r+1(\bfz )e
- i\alpha /2
. (10)
Застосовуючи наслiдок 2, нерiвнiсть (4), нерiвностi з (5) i припущення iндукцiї до спiввiдно-
шення (10), маємо
\mathrm{R}\mathrm{e}(F (n)
r (\bfz )e - i\alpha /2) \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2) - \mathrm{R}\mathrm{e}(z2e
- i\alpha /2) - | hr+1| +\mathrm{R}\mathrm{e}(hr+1)
2\mathrm{R}\mathrm{e}(F
(n)
r+1(\bfz )e
- i\alpha /2)
| z1|
> \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2) - q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2)
2
- pq(1 - q)
2(1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2)
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha )
2p
= (1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ДЕЯКI ОБЛАСТI ЗБIЖНОСТI ГIЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБОВИХ РОЗВИНЕНЬ . . . 505
Отже, F (n)
1 (\bfz ) \not = 0 для всiх n \geq 1 i \bfz \in \Omega p,q. Це означає, що кожний пiдхiдний дрiб (8) є
функцiєю, голоморфною в областi (5).
Нехай \Xi — довiльна компактна пiдмножина областi (5). Тодi iснує вiдкритий бiкруг
\Gamma R = \{ \bfz \in \BbbC 2 : | zk| < R, k = 1, 2\} , R > 0,
такий, що \Xi \subset \Gamma R i для будь-якого n \geq 1 i \bfz \in \Omega p,q \cap \Gamma R iз (8) маємо
| fn(\bfz )| \leq 1 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d - a
d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| R+
| h1| R
\mathrm{R}\mathrm{e}(F
(n)
1 (\bfz )e - i\alpha /2)
< 1 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d - a
d
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| R+
| h1| R
(1 - q) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha /2)
= C(\Xi ).
Це означає, що послiдовнiсть \{ fn(\bfz )\} рiвномiрно обмежена в кожнiй компактнiй пiдмножинi
областi \Omega p,q.
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow +\infty hk = 1, то iснує стала M > 0 така, що
| hk| \leq M для всiх k \geq 1. (11)
Очевидно, що для кожного l такого, що 0 < l < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1/4, 1/(8M), 1/p, q/2\} , область
\Upsilon l = \{ \bfz \in \BbbR 2 : 0 < zk < l, k = 1, 2\}
мiститься в \Omega p,q, зокрема \Upsilon l/2 \subset \Omega p,q.
Використовуючи нерiвнiсть (11), для довiльного k \geq 1 i \bfz \in \Upsilon l, \Upsilon l \subset \Omega p,q, отримуємо
| z2| < 1/4, | hkz1| < 1/8.
Це означає, що елементи гiллястого ланцюгового дробу (2) задовольняють умови наслiдку 1,
де g0,k = 1/2, k \geq 1. Згiдно з цим наслiдком гiллястий ланцюговий дрiб (2) збiгається в
областi \Upsilon l, \Upsilon l \subset \Omega p,q, i, отже, на пiдставi теореми 2.17 [1] (див. також [16, теорема 7],
[35, теорема 24.2]) збiгається рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi (5) до
функцiї f(\bfz ), голоморфної в \Omega p,q.
Теорему 2 доведено.
Застосуванням теореми 2 є такий результат.
Теорема 3. Нехай d — ненульова комплексна стала, a i c — дiйснi сталi, такi що hk < 0
для всiх k \geq 1, де hk, k \geq 1, визначенi в (3). Тодi гiллястий ланцюговий дрiб (2) збiгається до
функцiї f(\bfz ), голоморфної в областi
\Omega q =
\biggl\{
\bfz \in \BbbC 2 : | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)| < \pi , \mathrm{R}\mathrm{e}(z2e
- (i/2) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)) <
q
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)
2
\biggr) \biggr\}
, (12)
де 0 < q < 1, до того ж збiгається рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi \Omega q.
Доведення. Якщо 0 < q < 1 i hk < 0 для всiх k \geq 1, то, очевидно, нерiвнiсть (4)
виконується для всiх p > 0. Нехай \Xi — довiльна компактна пiдмножина областi (12). Тодi
виконуються включення \Xi \subseteq \Omega p,q \subseteq \Omega q для деякого досить малого p, для якого множина \Omega p,q
є областю (5). Таким чином, ця теорема є безпосереднiм наслiдком теореми 2.
Зауваження 2. У теоремах 2 i 3 множину \mathrm{R}\mathrm{e}(z2e
- (i/2) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1)) < (q/2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}((\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z1))/2) мож-
на також записати у виглядi z2 \not \in [q/2,+\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
506 РОМАН ДМИТРИШИН, IЛОНА-АННА ЛУЦIВ, МАРТА ДМИТРИШИН, КЛЕМЕНТЕ ЧЕЗАРАНО
Мiркуваннями, подiбними до мiркувань при отриманнi теореми 2 (див. також [22]), отри-
муємо такий результат.
Теорема 4. Нехай d — ненульова комплексна стала, a i c — дiйснi сталi, такi що
0 < hk < r для всiх k \geq 1, (13)
де hk, k \geq 1, визначенi в (3), r — додатне число. Тодi гiллястий ланцюговий дрiб (2) збiгається
до функцiї f(\bfz ), голоморфної в областi
\Theta r =
\bigcup
- \pi /2<\varphi <\pi /2
\Theta r,\varphi ,
де
\Theta r,\varphi =
\biggl\{
\bfz \in \BbbC 2 : | z1| +\mathrm{R}\mathrm{e}(z1e
- 2i\varphi ) <
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\varphi )
4r
, \mathrm{R}\mathrm{e}(z2e
- i\varphi ) <
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi )
4
\biggr\}
,
до того ж збiгається рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi \Theta r.
Зауваження 3. У теоремi 4 область \Theta r також можна записати у виглядi
\Theta r =
\bigl\{
\bfz \in \BbbC 2 : z1 \not \in [1/(8r),+\infty ), z2 \not \in [1/4,+\infty )
\bigr\}
.
Застосуванням теореми 2 [12] є такий результат.
Теорема 5. Нехай d — ненульова комплексна стала, a i c — дiйснi сталi, такi що задо-
вольняють нерiвностi (13), де hk, k \geq 1, визначенi в (3), r — додатне число. Тодi гiллястий
ланцюговий дрiб (2) збiгається до функцiї f(\bfz ), голоморфної в областi
\Pi r =
\bigl\{
\bfz \in \BbbC 2 : zk \not \in [1/(4(1 + r)),+\infty ), k = 1, 2
\bigr\}
,
до того ж збiгається рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi \Pi r.
Доведення цiєї теореми подiбне доведенню частини (A) теореми 3 [12].
Зауваження 4. Результати, аналогiчнi теоремам 2 – 4, можна отримати для двох iнших гiл-
лястих ланцюгових дробових розвинень вiдношень гiпергеометричних функцiй Горна H4, отри-
маних iз теореми 1 [12] за умов, що b = d, (ij)0 = (1, 1) i b = d+ 1, (ij)0 = (2, 2). У випадку,
коли b = d+1 та (ij)0 = (2, 2), також можна отримати результат, аналогiчний теоремi 5. У за-
гальному випадку задача дослiдження збiжностi усiх трьох розвинень залишається вiдкритою.
Конфлiкт iнтересiв. Автори заявляють, що вони не мають потенцiйного конфлiкту iнтересiв
щодо дослiдження у цiй статтi.
Фiнансування. Автори заявляють, що пiд час пiдготовки цього рукопису не було отримано
коштiв, грантiв чи iншої пiдтримки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
ПРО ДЕЯКI ОБЛАСТI ЗБIЖНОСТI ГIЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБОВИХ РОЗВИНЕНЬ . . . 507
Авторськi внески. Усi автори внесли рiвний внесок у роботу.
Лiтература
1. Д. И. Боднар, Ветвящиеся цепные дроби, Наук. думка, Киев (1986).
2. П. I. Боднарчук, В. Я. Скоробогатько, Гiллястi ланцюговi дроби та їх застосування, Наук. думка, Київ (1974).
3. Н. П. Гоєнко, О. С. Манзiй, Розвинення гiпергеометричних функцiй Аппеля F1 та Лаурiчелли F
(N)
D у гiллястi
ланцюговi дроби, Вiсн. Львiв. ун-ту, Сер. мех.-мат., 48, 17 – 26 (1997).
4. О. С. Манзiй, Дослiдження розвинення вiдношення гiпергеометричних функцiй Аппеля F3 у гiллястий лан-
цюговий дрiб, Теорiя наближень функцiй та її застосування, Працi Iнституту математики НАН України, 31,
344 – 353 (2000).
5. T. M. Antonova, M. V. Dmytryshyn, S. M. Vozna, Some properties of approximants for branched continued fractions
of the special form with positive and alternating-sign partial numerators, Carpathian Math. Publ., 10, № 1, 3 – 13
(2018).
6. T. Antonova, R. Dmytryshyn, V. Goran, On the analytic continuation of Lauricella – Saran hypergeometric function
FK(a1, a2, b1, b2; a1, b2, c3; \bfz ), Mathematics, 11 № 21, Article 4487 (2023).
7. T. Antonova, R. Dmytryshyn, V. Kravtsiv, Branched continued fraction expansions of Horn’s hypergeometric function
H3 ratios, Mathematics, 9, № 2, Article 148 (2021).
8. T. Antonova, R. Dmytryshyn, P. Kril, S. Sharyn, Representation of some ratios of Horn’s hypergeometric functions
\mathrm{H}7 by continued fractions, Axioms, 12, № 8, Article 738 (2023).
9. T. Antonova, R. Dmytryshyn, R. Kurka, Approximation for the ratios of the confluent hypergeometric function \Phi
(N)
D
by the branched continued fractions, Axioms, 11, № 9, Article 426 (2022).
10. T. Antonova, R. Dmytryshyn, S. Sharyn, Branched continued fraction representations of ratios of Horn’s confluent
function \mathrm{H}6 , Constr. Math. Anal., 6, № 1, 22 – 37 (2023).
11. T. Antonova, R. Dmytryshyn, S. Sharyn, Generalized hypergeometric function 3F2 ratios and branched continued
fraction expansions, Axioms, 10, № 4, Article 310 (2021).
12. T. Antonova, R. Dmytryshyn, I.-A. Lutsiv, S. Sharyn, On some branched continued fraction expansions for Horn’s
hypergeometric function H4(a, b; c, d; z1, z2) ratios, Axioms, 12, № 3, Article 299 (2023).
13. T. M. Antonova, On convergence of branched continued fraction expansions of Horn’s hypergeometric function H3
ratios, Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 642 – 650 (2021).
14. T. M. Antonova, O. M. Sus’, S. M. Vozna, Convergence and estimation of the truncation error for the corresponding
two-dimensional continued fractions, Ukr. Math. J., 74, № 4, 501 – 518 (2022).
15. T. M. Antonova, O. M. Sus’, Sufficient conditions for the equivalent convergence of sequences of different approxi-
mants for two-dimensional continued fractions, J. Math. Sci., 228, № 1, 1 – 10 (2018).
16. D. I. Bodnar, I. B. Bilanyk, Parabolic convergence regions of branched continued fractions of the special form,
Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 619 – 630 (2021).
17. D. I. Bodnar, I. B. Bilanyk, Two-dimensional generalization of the Thron – Jones theorem on the parabolic domains
of convergence of continued fractions, Ukr. Math. J., 74, № 9, 1317 – 1333 (2023).
18. D. I. Bodnar, O. S. Bodnar, I. B. Bilanyk, A truncation error bound for branched continued fractions of the special
form on subsets of angular domains, Carpathian Math. Publ., 15, № 2, 437 – 448 (2023).
19. D. I. Bodnar, Expansion of a ratio of hypergeometric functions of two variables in branching continued fractions, J.
Math. Sci., 64, № 32, 1155 – 1158 (1993).
20. D. I. Bodnar, O. S. Manzii, Expansion of the ratio of Appel hypergeometric functions F3 into a branching continued
fraction and its limit behavior, J. Math. Sci., 107, № 1, 3550 – 3554 (2001).
21. D. I. Bodnar, Multidimensional C-fractions, J. Math. Sci., 90, № 5, 2352 – 2359 (1998).
22. O. S. Bodnar, R. I. Dmytryshyn, S. V. Sharyn, On the convergence of multidimensional S-fractions with independent
variables, Carpathian Math. Publ., 12, № 2, 353 – 359 (2020).
23. R. I. Dmytryshyn, Convergence of multidimensional A- and J-fractions with independent variables, Comput. Methods
Funct. Theory, 22, № 2, 229 – 242 (2022).
24. R. I. Dmytryshyn, I.-A. V. Lutsiv, Three- and four-term recurrence relations for Horn’s hypergeometric function H4 ,
Res. Math., 30, № 1, 21 – 29 (2022).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
508 РОМАН ДМИТРИШИН, IЛОНА-АННА ЛУЦIВ, МАРТА ДМИТРИШИН, КЛЕМЕНТЕ ЧЕЗАРАНО
25. R. I. Dmytryshyn, S. V. Sharyn, Approximation of functions of several variables by multidimensional S-fractions with
independent variables, Carpathian Math. Publ., 13, № 3, 592 – 607 (2021).
26. R. I. Dmytryshyn, Two-dimensional generalization of the Rutishauser qd-algorithm, J. Math. Sci., 208, № 3, 301 – 309
(2015).
27. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F.G. Tricomi, Higher transcendental functions, vol. 1, McGraw-Hill Book
Co., New York (1953).
28. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, vol. 2, McGraw-Hill Book
Co., New York (1953).
29. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, vol. 3, McGraw-Hill Book
Co., New York (1955).
30. H. Exton, Multiple hypergeometric functions and applications, E. Horwood (ed.), Halsted Press, Chichester (1976).
31. V. R. Hladun, N. P. Hoyenko, O. S. Manzij, L. Ventyk, On convergence of function F4(1, 2; 2, 2; z1, z2) expansion
into a branched continued fraction, Math. Model. and Comput., 9, № 3, 767 – 778 (2022).
32. J. Horn, Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Ann., 105, 381 – 407 (1931).
33. W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Addison-Wesley Publ. Co., Reading
(1980).
34. H. M. Srivastava, P. W. Karlsson, Multiple Gaussian hypergeometric series, Halsted Press, New York (1985).
35. H.S . Wall, Analytic theory of continued fractions, D. Van Nostrand Co., New York (1948).
Одержано 23.10.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2024, т. 76, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-7877 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:34:29Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/1c343c902e6bc85aa1832245c8bb7a6c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-78772024-06-19T00:35:30Z On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ Про деякі області збіжності гіллястих ланцюгових дробових розвинень відношень гіпергеометричних функцій Горна $H_4$ Dmytryshyn, R. Lutsiv, I.-A. Dmytryshyn, M. Cesarano, C. Дмитришин, Роман Дмитришин, Роман Луців, Ілона-Анна Дмитришин, Марта Чезарано, Клементе гіпергеометрична функція Горна гіллястий ланцюговий дріб голоморфна функція багатьох комплексних змінних збіжність UDC 517.5 For various conditions imposed&nbsp; on the parameters of the Horn&nbsp;hypergeometric function $H_4$, we study different domains of convergence of the branched continued-fraction expansions&nbsp;&nbsp;of the ratios of these functions. УДК 517.5 За різних умов на параметри гіпергеометричної функції&nbsp;Горна $H_4$ досліджено різні області збіжності гіллястих&nbsp;ланцюгових дробових&nbsp;розвинень відношень цих функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7877 10.3842/umzh.v74i4.7877 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 4 (2024); 502 - 508 Український математичний журнал; Том 76 № 4 (2024); 502 - 508 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7877/9911 Copyright (c) 2024 Роман Дмитришин |
| spellingShingle | Dmytryshyn, R. Lutsiv, I.-A. Dmytryshyn, M. Cesarano, C. Дмитришин, Роман Дмитришин, Роман Луців, Ілона-Анна Дмитришин, Марта Чезарано, Клементе On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title | On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title_alt | Про деякі області збіжності гіллястих ланцюгових дробових розвинень відношень гіпергеометричних функцій Горна $H_4$ |
| title_full | On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title_fullStr | On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title_full_unstemmed | On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title_short | On some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of Horn hypergeometric functions $H_4$ |
| title_sort | on some domains of convergence of branched continued-fraction expansions of the ratios of horn hypergeometric functions $h_4$ |
| topic_facet | гіпергеометрична функція Горна гіллястий ланцюговий дріб голоморфна функція багатьох комплексних змінних збіжність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7877 |
| work_keys_str_mv | AT dmytryshynr onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT lutsivia onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT dmytryshynm onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT cesaranoc onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT dmitrišinroman onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT dmitrišinroman onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT lucívílonaanna onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT dmitrišinmarta onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT čezaranoklemente onsomedomainsofconvergenceofbranchedcontinuedfractionexpansionsoftheratiosofhornhypergeometricfunctionsh4 AT dmytryshynr prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT lutsivia prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT dmytryshynm prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT cesaranoc prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT dmitrišinroman prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT dmitrišinroman prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT lucívílonaanna prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT dmitrišinmarta prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 AT čezaranoklemente prodeâkíoblastízbížnostígíllâstihlancûgovihdrobovihrozvinenʹvídnošenʹgípergeometričnihfunkcíjgornah4 |