Оn the soluble radical of the finite groups
UDC 512.542<br> We assume that $G$ is a finite group, $\pi(G)=\{s\}\cup \sigma$, $s > 2$, $\Sigma$ is a set of Sylow$\sigma$-subgroups taken one for each $p_i\in \sigma$, $R(G)$ is the largest normal soluble subgroup in $G$ (the soluble radical of $G$). Suppose also...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/800 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507107323805696 |
|---|---|
| author | Bashun, S. Yu. Palchik , E. M. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. |
| author_facet | Bashun, S. Yu. Palchik , E. M. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. |
| author_sort | Bashun, S. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:29Z |
| description | UDC 512.542<br>
We assume that $G$ is a finite group, $\pi(G)=\{s\}\cup \sigma$, $s > 2$, $\Sigma$ is a set of Sylow$\sigma$-subgroups taken one for each $p_i\in \sigma$, $R(G)$ is the largest normal soluble subgroup in $G$ (the soluble radical of $G$). Suppose also that each Sylow $p_i$-subgroup $G_{p_i}\in \Sigma$ normalizes thes-subgroup $T^{(i)}\neq 1$ of the group $G$. With these assumptions, we determine the conditions under whichs divides $|R(G)|$.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i3.800 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
C. Ю. Башун, Э. М. Пальчик (Полоц. гос. ун-т, Беларусь)
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
We assume that G is a finite group, \pi (G) = \{ s\} \cup \sigma , s > 2, \Sigma is a set of Sylow \sigma -subgroups taken one for each pi \in \sigma ,
R(G) is the largest normal soluble subgroup in G (the soluble radical of G). Suppose also that each Sylow pi -subgroup
Gpi \in \Sigma normalizes the s-subgroup T (i) \not = 1 of the group G. With these assumptions, we determine the conditions under
which s divides | R(G)| .
Нехай G — скiнченна група, \pi (G) = \{ s\} \cup \sigma , s > 2, \Sigma — множина силовських \sigma -пiдгруп, взятих по однiй для
кожного pi \in \sigma , R(G) — найбiльша нормальна розв’язна пiдгрупа в G (розв’язний радикал G). Нехай кожна
силовська pi -пiдгрупа Gpi \in \Sigma нормалiзує s-пiдгрупу T (i) \not = 1 з групи G. Встановлено умови, при яких s дiлить
| R(G)| .
Введение. Пусть G — конечная группа без разрешимых нормальных подгрупп. Тогда ком-
поненты слоя L(G) группы G являются группами лиева типа \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(ri), i = 1, k, или груп-
пами из множества \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, или из множества \{ An, n \geq 5\} . Пусть L \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(ri). Если L /\in
/\in
\bigl\{
A5(2), C3(2), D4(2),
2A3(2)
\bigr\}
, то существует простой делитель t порядка | L| группы L,
который не делит порядка любой собственной параболической подгруппы группы L [4] (лем-
ма 3). В [2] t назван минизотропным делителем (кратко, m-делителем) группы L и рассмотрены
некоторые свойства групп, связанные с m-делителями (см. также [3] (лемма 6).
Пусть G — конечная группа, \pi (G) = \{ s\} \cup \sigma , s > 2, \Sigma 0 — множество силовских pi-подгрупп,
взятых по одной для каждого pi \in \sigma . Пусть силовская pi-подгруппа Gpi нормализует некоторую
s-подгруппу T (i) \not = 1 для каждого pi \in \sigma . В статье доказывается, что если
\bigcap m
i=1 T
(i) \not = 1, где
m — число попарно различных подгрупп T (i), то Os(G) \not = 1.
1. Обозначения, определения и вспомогательные результаты. Будем рассматривать
только конечные группы. При этом используем стандартные обозначения и терминологию со-
временной теории конечных групп, которые можно найти в работах [4 – 9]. Приведем некоторые
из них:
p, r, pi, ri, s, . . . — простые числа;
\pi — некоторое множество различных простых чисел (\pi \subset \BbbP );
\pi \prime = \BbbP \setminus \pi — множество простых чисел, не принадлежащих \pi ;
| X| — число различных элементов конечного множества X (порядок множества X );
(a, b) — наибольший общий делитель чисел a и b;
e(q, t) — наименьшее натуральное число e такое, что qe \equiv 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} t) для (q, t) = 1, t —
простое число, t > 2 (т. е. t — примитивный простой делитель числа qe - 1);
\pi (n) — множество всех различных простых делителей целого числа n;
\pi (X) = \pi (| X| ) для множества X;
xg = g - 1xg.
Соответственно:
Gp — силовская p-подгруппа группы G;
L(G) — слой группы G — центральное произведение всех субнормальных подгрупп L
группы G с L = L\prime и L/Z(G) — простая неабелева группа (L — компонента группы G);
\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} — множество из 26 простых неабелевых спорадических групп;
\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} — множество групп лиева типа;
c\bigcirc C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК, 2020
326 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 327
\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}a — подмножество простых групп в \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v};
\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r) — подмножество в \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} с полями определения GF (q) характеристики r;
\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q) — \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r) с q = rf ;
d\Sigma (q) — \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q) с неприводимой системой корней (d = 1, 2, 3) [7] (замечание 2.2.5 и
определение 2.3.4);
\Phi G (\Gamma G) — группа полевых (графовых) автоморфизмов группы G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v};
\alpha \in \Gamma \Phi G — \alpha -графо-полевой автоморфизм группы G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v};
\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(G) — подгруппа внешних диагональных автоморфизмов группы G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v};
F (G) — подгруппа Фиттинга группы G;
F \ast (G) = F (G)L(G) — обобщенная подгруппа Фиттинга группы G;
K \lhd G (K \lhd \lhd G) — K -нормальная (субнормальная) подгруппа группы G;
[A,B] — взаимный коммутант групп A и B;
G — p-замкнутая группа, если Gp \lhd G;
G — p-нильпотентная группа, если Gp\prime \lhd G, где Gp\prime — дополнение к Gp в G;
pd-группа G — группа G, у которой p \in \pi (G);
pd-элемент — элемент x, для которого выполняется условие p делит | \langle x\rangle | (или p \in \pi (\langle x\rangle ));
\pi -элемент — элемент x, для которого выполняется условие \pi (\langle x\rangle ) \subseteq \pi ;
R(G) — наибольшая разрешимая нормальная подгруппа группы G.
Определение 1.1. Пусть G — конечная группа, \pi (G) = \{ s, p1, . . . , pn\} , s > 2, \sigma =
= \{ p1, . . . , pn\} , \Sigma 0 = \{ Gp1 , . . . , Gpn\} . Пусть силовская pi-подгруппа Gpi нормализует некото-
рую неединичную s-подгруппу T (i) наибольшего порядка с s > 2, i = 1,m, m \leq n.
Группу G, удовлетворяющую этому условию, для краткости условимся называть (v, s)-
группой. Отметим, что для каждого i берется единственная силовская подгруппа Gpi груп-
пы G. Пусть
X0 =
\bigl\{
T (i), i = 1,m, m \leq n
\bigr\}
(m \leq n, так как Gpi и Gpj могут нормализовать одну и ту же подгруппу из X0).
Если T (i) \subseteq Gs для всех i = 1,m, то множества X0 и \Sigma 0 обозначаем соответственно X
и \Sigma .
Определение 1.2. Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} . m-Делителем группы G назовем простой делитель
числа | G| , который не делит порядка ни одной собственной параболической подгруппы груп-
пы G.
Определение 1.3. Две подгруппы H и B конечной группы G называются p\prime -экстремальной
парой в G, если выполняются следующие условия:
(1) силовские p\prime -подгруппы групп H и B являются силовскими подгруппами в группе G;
(2) Op(H) \not = 1 \not = Op(B), p > 2;
(3) (| H| , | B| ) = px, x \geq 0, p > 2;
(4) \pi (H) \cup (\pi (B) \setminus \{ p\} ) = \pi (G).
В частности, если две p-локальные подгруппы H и B образуют p\prime -экстремальную пару, то
не обязательно G = H \cdot B.
Определение 1.4. Пусть x и y являются парой элементов одной группы G. Тогда x \circ y =
= x - 1y - 1xy = x - 1xy = y - xy, x(0) \circ y = y, x(n+1) \circ y = x \circ (x(n) \circ y).
Лемма 1.1 ([1] лемма 3, [3], лемма 6). Пусть:
(1) G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v} \setminus \{ A5(2), C3(2), D4(2),
2A3(2)\} . Тогда G имеет m-делитель t \not = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
328 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
(2) Пусть G \in
\bigl\{
Ln(q), n \geq 3; PSp2n(q), n \geq 3; P\Omega 2n+1(q), n \geq 2; P\Omega 2n(q), n \geq 4 (при
n = 4, q \not = 2); 2P\Omega 2n(q), n \geq 4; Un(q), n > 3
\bigr\}
, b(G) = qn - 1 при G = Ln(q), b(G) = q2n - 1
при G \in
\bigl\{
PSp2n(q), P\Omega 2n+1(q),
2P\Omega 2n(q), Un(q), n = 2k+1, k > 1
\bigr\}
, b(G) = q2(n - 1) - 1 при
G \in
\bigl\{
Un(q), n = 2k; P\Omega 2n(q) (при n = 2, q \not = 2)
\bigr\}
.
Тогда:
(i) каждый примитивный простой делитель t числа b(G) является m-делителем груп-
пы G;
(ii) каждый m-делитель t группы G является примитивным делителем числа b(G).
Лемма 1.2. Предположим, что G \in \{ An/n \geq 5\} . Тогда либо G не (v, s)-группа, либо
s = 3 и n = 3a = 4k + 3. Если G \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, то G не (v, s)-группа.
Доказательство. Если s > 3, то по теоремам 2 и 3 [10] G2 /\in \Sigma 0. Пусть s = 3, G \sim = An.
Тогда по теореме 2 [10] либо G2 /\in \Sigma 0, либо n = 4k + 3. Если 3 не делит n, то G3
\sim = Y3,
где Y = An - 1 и G2
\sim = Y2. Но в подгруппе Y из G Y2 = G2 не нормализует 3-подгрупп,
т. е. G2 /\in \Sigma 0. Поэтому пусть 3 делит n. Если существует простой делитель p > 3, который
делит n, то по следствию 9 [11] абелева p-подгруппа A наибольшего порядка является также
элементарной абелевой p-подгруппой в Gp порядка p[n/p] = pn/p. Но тогда по [6] ((20-3)) A
(тогда и Gp) не нормализует неединичных 3-подгрупп группы G, т. е. Gp /\in \Sigma 0. Поэтому s = 3,
n = 3a для некоторого целого числа a. Если s = 3, G \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} и G \in \{ M11, Ly\} (по теореме 3
[10]), то по [6] ((20-11)) G11 /\in \Sigma 0 или G5 /\in \Sigma 0.
Лемма 1.2 доказана.
Лемма 1.3. Пусть G, \Sigma 0 и X0 такие, как в определении 1.1, G — (v, s)-группа. Тогда
существуют силовская s-подгруппа Gs = S и множество X такое, что X содержит s-
подгруппы T (i) в Gs и множество \Sigma такое, что каждая силовская pi-подгруппа Gpi \in \Sigma
нормализует s-подгруппу T (i) \in X. В частности, если G — (v, s)-группа, то она имеет как
множества \Sigma 0 и X0, так и множества \Sigma , X, как в определении 1.1.
Доказательство. Пусть Gt \in \Sigma 0, t = pi, T
(i) = T. Если T \nsubseteq Gs, то по теореме Силова
T \subseteq Gg
s, g \in G. Тогда gTg - 1 \subseteq Gs. Из Gt \subseteq NG(T ) следует, что gGtg
- 1 \subseteq NG(gTg
- 1). Сос-
тавляем множество \Sigma (X), состоящее из групп gGtg
- 1 (gT (i)g - 1) для подходящих элементов
g \in G.
Лемма 1.3 доказана.
Лемма 1.4. Пусть G = Gs \cdot L(G), где Z(L(G)) = 1 и Gt, t \not = s, нормализует s-подгруппу
T \not = 1 такую, что T \nsubseteq M, где M — минимальная нормальная подгруппа группы G, лежащая
в L(G). Тогда существует факторизация T = T0(T \cap M) такая, что T0 нормализует все
компоненты L группы M, для которых L \cap Gt \not = 1 (в частности, T их также нормализует).
Доказательство. Пусть X0 = T \leftthreetimes Gt, X = T \leftthreetimes Mt, где Mt \subseteq Gt, X \cap M = (T \cap M)Mt и
M \cap T = A\lhd T, A\lhd A\leftthreetimes Mt, A\lhd TMt = X. Группа X/A нильпотентна, так как MtA/A\lhd X/A
и T/A \lhd X/A. По теореме III.3.10 [4] в X имеется нильпотентная подгруппа U такая, что
UA = X. Поэтому Mt содержится в сопряженной с U подгруппе группы X . Не нарушая
общности, предположим, что U = T0 \times Mt c T0 \subseteq T (NX(Mt)T = TNX(Mt), поэтому
T \cap NX(Mt) \subseteq T0).
Пусть 1 \not = y \in T0 и y /\in NG(L). Так как [y,Mt] = 1, то Lt = Ly
t , где Lt = L \cap Gt (в силу
L\lhd \lhd G). Но тогда Lt \subset L \cap Ly \not = 1, что невозможно для группы M, если M \not = L.
Лемма 1.4 доказана.
Лемма 1.5. (i) Пусть G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a и t = 3 — m-делитель группы G. Тогда G \sim = L2(q) с
q \equiv - 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3). Эти группы имеют только автоморфизмы из множества \Phi G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 329
(ii) Пусть p — простое число, m, n — натуральные числа, n > 2. Если t — простой
примитивный делитель числа pn - 1 (т. е. e(pn, t) = n) и t делит pm - 1, то n делит m.
Доказательство. (i). Если G — группа лиева ранга n > 1, то в G есть минимальная
параболическая подгруппа P с множителем Леви L ранга 1 [5, c. 87]. Если L \ncong Sz(q), то
3 делит | L| и | P | . Поэтому пусть L \sim = Sz(q). Но по предложению 2.17(ii) [5] G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(2).
Тогда все 2-локальные подгруппы группы G являются 3\prime -группами. В частности, группа G
S4-свободна, а 2-локальные подгруппы группы G S3-свободны. По теоремам C и 7.1 [12]
G \sim = L2(3
2n+1), или G \sim = Sz(22n+1), n \geq 1, или G \sim = U3(2
n), n \geq 2. Не все 2-локальные
подгруппы группы U3(2
n), n \geq 2, являются 3\prime -группами (даже при n = 2 есть параболическая
подгруппа P, | P | = q3(q2 - 1) и 3 делит | P | ). Поэтому G \sim = L2(3
2n+1) (G \ncong Sz(q), так как 3 не
делит | Sz(q)| ). Кроме того, L2(q) — группа лиева ранга 1, которая может иметь максимальные
параболические подгруппы порядка q(q - 1) с 3, не делит q - 1. Остальные группы лиева
ранга 1
\bigl(
U3(q), L2(q),
2G2(3
n)
\bigr)
имеют параболические подгруппы, порядок которых делится
на 3. Поэтому G \in \{ L2(q), 3 не делит q - 1\} . По [5, c. 16] эти группы могут иметь только
полевые внешние автоморфизмы.
(ii). Существует натуральное число k такое, что kn \leq m, но (k+1)n > m. Тогда [m/kn] =
= 1, t делит число pkn (pm - kn - 1). Из (t, p) = 1 следует противоречие с определением числа t,
если m \not = kn.
Лемма 1.5 доказана.
Лемма 1.6. (i) Пусть t — m-делитель группы G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q), q = rf . Если t-подгруппа
T \not = 1, то T \nsubseteq NG(R), где R \not = 1 — r-группа. В частности, если X \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r), Y \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r),
X \subseteq Y, то каждый m-делитель t группы Y является m-делителем группы X, если t де-
лит | X| .
(ii) Если G — (v, s)-группа, то G — не простая группа, или s = 3 и G \sim = An, n = 3a = 4k+3.
Доказательство. (i). Предположим, что t-подгруппа T \not = 1 нормализует r-подгруппу R
группы G. По теореме Бореля – Титса [7] (теорема 3.1.3) T \subseteq NG(R) \subseteq P, R \subseteq Or(P ) для
некоторой параболической подгруппы P группы G. Но тогда t делит | P | , что противоречит
определению m-делителя.
(ii). Предположим сначала, что G \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r) и G — простая группа. Тогда по теореме 4.254
[5] r = s. Так как s > 2, то по лемме 1.1(1) в \Sigma имеется подгруппа Gt, где t — m-делитель
группы G. Но это невозможно в силу случая (i).
Предположим теперь, что G \in
\bigl\{
An, n \geq 5, n \not = 4k + 3 = 3a
\bigr\}
или G \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} . В \Sigma имеется
силовская 2-подгруппа G2. По лемме 1.2 эти случаи невозможны.
Лемма 1.6 доказана.
Лемма 1.7. Пусть группа G = \langle z\rangle \rightthreetimes L, где L \sim = d\Sigma (q)a, q = rf , zs = 1, s делит | L| ,
r \not = s — простое число, s > 2. Если z — диагональный, или полевой, или графо-полевой
автоморфизм (порядка 3 по [6] ((7 – 3))) группы L, C = CL(z), то Lr \nsubseteq C.
Доказательство. Если z \in \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(L), то рассматриваем L как Or\prime (CX(\sigma )) для автомор-
физма Стейнберга \sigma подходящей полупростой алгебраической группы X над алгебраическим
замыканием F r поля Fr из r элементов. По теореме 2.5.1(b) и лемме 2.5.6 [7] C\langle z\rangle (Lr) = 1.
Если z индуцирует на L полевой или графо-полевой автоморфизм группы L, то по пред-
ложению 4.9.1 [7] Or\prime (C) \sim = d\Sigma (q1/s) или 3D4(q
1/s). Но тогда | Lr| > | Cr| .
Лемма 1.7 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
330 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
Лемма 1.8. Пусть группа G = \langle z\rangle \rightthreetimes L, где L — простая группа лиева типа с полем
определения GF (q), q = rf , zs = 1, s — простое число, s > 2. Если r = s, то z не может
индуцировать диагональный автоморфизм \beta группы L.
Доказательство. По теореме 2.5.12 [7] \beta /\in \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(L), так как s не делит sf \pm 1.
Лемма 1.9. Пусть L = d\Sigma (q), q = sf , s > 2, s делит | L| , L — простая группа, G =
= \langle z\rangle \rightthreetimes L, где z индуцирует автоморфизм \alpha порядка s группы G, \alpha \in \{ \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(L), \Phi L,
\Gamma \Phi L\} , f = f1 \cdot s, q0 = sf1 . Пусть t — m-делитель группы G, C = CL(\alpha ), C
0 = Os\prime (C). Тогда
[z,Gt] = 1 влечет [z, L] = 1.
Доказательство. Предположим, что [z, L] \not = 1. Тогда z индуцирует или диагональный,
или полевой, или графо-полевой автоморфизм \alpha группы G. Рассмотрим эти случаи отдельно.
I. \alpha /\in \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(L) по лемме 1.8.
II. Пусть \alpha — полевой автоморфизм группы L. По предложению 4.9.1(а) [7]
C0 \sim = d\Sigma (q0), если \alpha \in \Phi L, (1.1)
кроме того, по лемме 1.6(i)
t — m-делитель и группы C0. (1.2)
Рассмотрим все возможные типы простых групп d\Sigma (q) = L.
(1), (2). L \in \{ 2B2(q),
2F4(q)\} . Эти случаи исключаются, так как s > 2 не делит r = 2.
(3), (4). L \in \{ G2(q);
2G2(3
2n+1), n > 0\} . Из строения параболических подгрупп группы
G2(q) [8, c. 127] (таблица 4.1) следует, что t не делит q2 - 1. Поэтому t делит q6 - 1. Но
тогда по (1.1) t не делит q60 - 1 и q30 - 1, так как даже в случае, когда t делит q3 - 1, имеем
q3 - 1 = s3f1s - 1 > s6f1 - 1 = q60 - 1, поскольку s > 2. В силу (1.1) для L = G2(q)
выражение (1.2) не может иметь места. Отметим также, что e(q, t) = 6 или 3.
Пусть L \sim = 2G2(q). Из доказательства леммы 1.3 в [1] следует, что существует m-делитель
t группы L из множества \pi (q2 - q+ 1). Тогда t не делит q - 1. Так как | L| 3\prime = (q3 + 1)(q - 1)
[9, c. 16], то e(q, t) \not = 3 (иначе t делит 2q3), а t \not = 2 по теореме 4.2 [8]; e(q, t) \not = 2, так как в
противном случае t делит q2 - 1 + q2 - q + 1 = q(2q - 1), t делит q + 1 и 3q, что невозможно
по лемме 1.5(i). Поэтому e(q, t) = 6, что невозможно по (1.1) и (1.2). Итак, случаи (3), (4) не
могут иметь места.
(5) – (10). L \in \{ Ln(q); Un(q); PSp2n(q), n > 2; P\Omega 2n+1, n > 1; P\Omega +
2n(q), n > 3; P\Omega -
2n(q),
n > 3\} . Эти случаи исключаются на основании леммы 1.2 и выражений (1.1), (1.2). Покажем это
на примере, когда L \sim = Un(q). По (1.1) C0 \sim = Un(q0), n > 2. По лемме 1.2 e(q, t) = 2n = e(q0, t)
при нечетном n и e(q, t) = 2(n - 1) = e(q, t0). Противоречие. Аналогично исключаются и
случаи (5), (7) – (10).
(11). L \sim = F4(q), C
0 \sim = F4(q0). В этом случае имеем | L| s\prime = (q12 - 1)(q8 - 1)(q6 - 1)(q2 - 1).
Из строения параболических подгрупп группы L [8] (теорема 4.4) и определения m-делителя
t следует, что
t не делит (q2 - 1)(q4 - 1)(q6 - 1). (1.3)
Поэтому t делит q12 - 1 или t делит q8 - 1. Отсюда следует, что e(q, t) = 12 или 8. Действи-
тельно, если t делит q12 - 1 и t — не примитивный делитель числа q12 - 1, то t — примитивный
делитель числа qn - 1 с n < 12. По лемме 1.5(ii) получаем, что n делит 12. Тогда n \in \{ 2, 3, 4, 6\} .
Но это противоречит (1.3). Поэтому e(q, t) = 12.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 331
Если t делит q8 - 1 и e(q, t) \not = 8, то e(q, t) = m < 8 и m = 2, 4. Противоречие с (1.3). Тогда
t не делит q120 - 1 и t не делит q80 - 1. В самом деле, если e(q, t) = 8, то s8f1s - 1 > s12f1 - 1
в силу s \geq 3. Противоречие.
(12). L \sim = 3D4(q), C
0 \sim = 3D4(q0). Тогда | L| s\prime = (q8 + q4 + 1)(q6 - 1)(q2 - 1) [9, с. 16]. Из
строения параболических подгрупп группы L (см. теорему 4.3 [8]) и определения m-делителя
t следует, что
t не делит q6 - 1. (1.4)
Поэтому t делит q8 + q4 + 1 = (q4 - q2 + 1)(q4 + q2 + 1) и t делит q4 - q2 + 1. Так как t
делит q12 - 1 = (q4 - 1)(q8 + q4 + 1), то e(q, t) = 12. Действительно, если e(q, t) \not = 12, то
e(q, t) = n < 12, и по лемме 1.5(ii) получаем, что n делит 12. Значит, n \in \{ 2, 3, 4, 6\} , но
n /\in \{ 2, 3, 6\} по (1.4). Если t делит q4 - 1, то t делит q2 + 1 в силу (1.4). Кроме того, t делит
- (q2+1)+(q4 - q2+1) = q4 - 2q2, t делит q2 - 2, t делит 3. Но t > 3 по лемме 4 [3]. Поэтому
t не делит q4 - 1, e(q, t) = 12 и t не делит q120 - 1. Противоречие.
(13). L \sim = E6(q), C
0 \sim = E6(q0). Тогда | L| s\prime = (q12 - 1)(q9 - 1)(q8 - 1)(q6 - 1)(q5 - 1)(q2 - 1)
[9, c. 16]. В L имеются параболические подгруппы, порядки которых делятся на (q5 - 1)(q2 -
- 1)(q4 - 1)(q6 - 1)(q8 - 1) (см. [8, c. 169, 171]) и на (q2 - 1)(q3 - 1)(q4 - 1)(q5 - 1)(q6 - 1)
(см. [5, c. 76]). По определению m-делителя отсюда следует, что
t не делит (q2 - 1)(q3 - 1)(q4 - 1)(q5 - 1)(q6 - 1)(q8 - 1). (1.5)
Поэтому t делит (q12 - 1)(q9 - 1). Если t делит q12 - 1 и e(q, t) = n < 12, то n делит 12 по
лемме 1.5(ii). Тогда n \in \{ 2, 3, 4, 6\} , что противоречит (1.5). Поэтому если t делит q12 - 1, то
e(q, t) = 12. Если t делит q9 - 1 и e(q, t) = m < 9, то m = 3 по лемме 1.5(ii). Это противоречит
(1.5). Итак, либо e(q, t) = 9, либо e(q, t) = 12. В любом случае t не делит (q120 - 1)(q90 - 1),
так как s \geq 3, q = s9f1s, q0 \leq s12f1 . Противоречие.
(14). L \sim = 2E6(q), C
0 \sim = 2E6(q0). По [1, c. 53]
t не делит (q2 - 1)(q3 + 1)(q4 - 1)(q5 + 1)(q6 - 1)(q4 + 1). (1.6)
Учитывая значение числа | L| s\prime (см. [5, c. 145]), получаем, что t делит (q12 - 1)(q9 + 1). Если
t делит q12 - 1 и e(q, t) = n < 12, то по лемме 1.5(ii) n \in \{ 2, 3, 4, 6\} . Это противоречит (1.6).
Поэтому e(q, t) = 12.
Если t делит q9 + 1, то t делит q18 - 1, и если e(q, t) = n < 18, то по лемме 1.5(ii) n \in
\in \{ 2, 3, 6, 9\} . Это невозможно в силу (1.6) и t > 2. Поэтому e(q, t) = 18. Даже если e(q, t) = 12,
то t не делит q180 - 1, так как s12f1s - 1 > s18f1 - 1 и s \geq 3. Противоречие.
(15). L \sim = E7(q), C
0 \sim = E7(q0). По [5, c. 76] в L есть параболические подгруппы, порядки
которых делятся на | E6(q)| и на | A6(q)| . Поэтому
t не делит (q12 - 1)
9\prod
i=2
(qi - 1). (1.7)
Исходя из значения числа | L| [9, c. 16], получаем, что t делит (q18 - 1)(q14 - 1)(q10 - 1). Если
t делит q18 - 1 и e(q, t) = n < 18, то по лемме 1.5(ii) имеем n \in \{ 2, 3, 6, 9\} , что противоречит
(1.7). Поэтому e(q, t) = 18. Если t делит q14 - 1, то, аналогично, e(q, t) = 14. Если t делит
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
332 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
q10 - 1, то опять по (1.7) и лемме 1.5(ii) имеем e(q, t) = 10. В любом из этих случаев t не
делит qk0 - 1, k \in \{ 10, 14, 18\} , так как s \geq 3. Противоречие.
(16). L \sim = E8(q), C0 \sim = E8(q0). По [5, c. 76; 8, c. 176] группа L имеет параболические
подгруппы, порядки которых делятся на
\bigm| \bigm| E6(q)
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| E7(q)
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| A7(q)
\bigm| \bigm| . По определению m-делителя
t получаем
t не делит
10\prod
i=1
(q2 - 1)(q12 - 1)(q14 - 1)(q18 - 1). (1.8)
Исходя из значения числа | L| (см. [5, c. 145]), получаем, что t делит (q30 - 1)(q24 - 1)(q20 - 1).
Если t делит q30 - 1 и e(q, t) = n < 30, то по лемме 1.5(ii) имеем n \in \{ 2, 3, 5, 6, 10\} , что
противоречит (1.8). Если t делит q24 - 1 и e(q, t) = m < 24, то m \in \{ 2, 4, 6, 8, 12\} , что
противоречит (1.8). Если t делит q20 - 1 и e(q, t) = l < 20, то, как и выше, l \in \{ 2, 4, 5, 10\} , что
опять же противоречит (1.8). Итак, e(q, t) = 20, или 24, или 30. В любом случае t не делит
q300 - 1 = s30f1 - 1, поскольку q20 - 1 = s20f1s - 1 > s30f10 - 1 вследствие того, что s \geq 3.
Противоречие.
III. Пусть теперь \alpha \in \Gamma \Phi L. По [6] ((7 – 3)) L \sim = D4(q)
a. По предложению 4.9.1(а) [7]
C0 \sim = 3D4(q0). Для L e(q, t) = 6 по лемме 1.1(2). Для C0 e(q0, t) = 12 согласно пункту (12).
Но это означает, что t делит s18f1 - 1 и t делит s12f1 - 1, что невозможно по определению
m-делителя t (по лемме 1.1(ii)). Это противоречие исключает случай III.
Лемма 1.9 доказана.
Лемма 1.10. Пусть группа L \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(q)a, q = rf , G = \langle z\rangle \rightthreetimes L, z3 = 1, z индуцирует
автоморфизм \alpha \in \Gamma L или \beta \in \Gamma L (\beta не \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(L)-сопряжен с \alpha ) группы L. Тогда:
(1) если [z, Lr] = 1, то и [z, L] = 1;
(2) если t — m-делитель группы L, r = s, то [z, Lt] = 1 влечет [z, L] = 1.
Доказательство. По [6] ((7 – 3)) L \in
\bigl\{
D4(q)
a, 3D4(q)
\bigr\}
. Если r = 3, то по предложе-
нию 4.9.2(b)(5) [7] CL(\alpha ) \sim = G2(q).
Если r \not = 3, то либо C = CL(\alpha ) \sim = G2(q), либо имеется еще один графовый автоморфизм
\beta порядка 3, q = rf \equiv \pm 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3), C = CL(\beta ), O
r\prime (C) \sim = L3(q) или U3(q) [6] ((9 – 1)(3)(f)).
(1). Если r = 3, то | Lr| = q12, | Cr| = q6 [9, c. 16]. Поэтому [z, Lr] \not = 1. Противоречие с
условием.
Если r \not = 3 и существует \beta \in \Gamma L, то | Lr| = q12, | Cr| = q3 [6] ((9 – 1)(3)(f)). Опять
противоречие с условием.
(2). По лемме 1.6(i) t — m-делитель группы L и группы Or\prime (C), где C = CL(\alpha ) или
C = CL(\beta ).
Если L \sim = 3D4(q), то e(q, t) = 12 (пункт (12) в доказательстве леммы 1.9). Если C \sim = G2(q),
то e(q, t) \leq 6 (пункт (3) в доказательстве леммы 1.9). Если Or\prime (C) \sim = L3(q), то по лемме 1.1(2)
e(q, t) \leq 3. Если Or\prime (C) \sim = U3(q), то по лемме 1.1(2) e(q, t) = 6.
Если L \sim = D4(q)
a, то e(q, t) = 6 по лемме 1.1(2). По [7, с. 206] (таблица 4.7.1), C0 \sim = L3(q).
Тогда для C0 по лемме 1.1(2) e(q, t) = 3.
Эти противоречия с определением e(q, t) для одного и того же t (и q) показывают, что
[z, Lt] \not = 1, [z, L] \not = 1.
Лемма 1.10 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 333
Лемма 1.11. Пусть (v, s)-группа G имеет вид G = Gs \rightthreetimes L(i), где
\bigl(
s, | L(i)| = 1
\bigr)
, s > 2,
L(i) — порождение компонент Li группы G таких, что Li \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(ri), R(G) = 1. Пусть Gr =
= Gri \in \Sigma , Ti = T \in X и Gr \subseteq NG(T ). Тогда
\bigl[
T, L(i)
\bigr]
= 1. В частности, если i пробегает все
возможные значения для слоя L(G\ast ) некоторой группы G\ast = Gs \rightthreetimes L(G\ast ) с
\bigl(
s, | L(G\ast )|
\bigr)
= 1,
то [Ti, L
(i)] = 1 для каждого i.
Доказательство. Пусть M — минимальная нормальная подгруппа группы G, Gr \cap M =
= Mr \subseteq NG(T ), L — одна из компонент группы G, L \subseteq M = L1 \times . . . \times Lm, Li
\sim = L,
i = 1,m, L = d\Sigma (q)a, r = ri, q = rf1s, q0 = rf1 , L \lhd M, L \cap Mr = Lr \subseteq NG(T ), а также
L = L1. По лемме 1.4 L \lhd X = T \leftthreetimes L, T/F (X) — циклическая группа по теореме 2.5.12(d)
[7]. Так как F (X) = CT (L), то F (X) \times L2 \times . . . \times Lm \lhd TM. Тогда F (X) \lhd TM. Поэтому
[F (X),M ] = 1. Предположим, что Q = F (X) = F (TM) \subset T. Пусть TM/Q = Y , L = LQ/Q.
Тогда элемент z \in T порядка s индуцирует автоморфизм \alpha \in \Phi L, C
0
= Or\prime (CL(\alpha ))
\sim = d\Sigma (q0)
по предложению 4.9.1(a) [7]. Так как Lr \cdot T = Lr \times T , то | C0
r | = | Lr| , что невозможно для
q0 и q. Поэтому Q = T и [T,M ] = 1. Вследствие произвольного выбора L = Li \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(ri)
получаем, что
\bigl[
Ti, L
(i)
\bigr]
= 1 для каждого возможного значения i для слоя L(G\ast ) группы G\ast .
Лемма 1.11 доказана.
Лемма 1.12. Пусть (v, s)-группа G с R(G) = 1 имеет вид G = Gs \rightthreetimes L\ast , где s > 2,
L\ast = L(G) и все компоненты K группы G удовлетворяют условию
K \in
\bigl\{
(An/n \geq 5, n \not = 3a = 4k + 3) \cup \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} \setminus \{ M11, Ly\}
\bigr\}
,
G2 \in \Sigma , T (2) = T \in X, G2 \subseteq NG(T ),
\bigl(
s, | L\ast |
\bigr)
= 1.
Тогда [T (2), L\ast ] = 1. (Если s \not = 3, то ограничение n \not = 3a = 4k + 3 и группы M11, Ly можно
не исключать.)
Доказательство. Пусть M — минимальная нормальная подгруппа группы G, содержащая
компоненту K группы G. Тогда G2 \cap K = K2 \subseteq NG
\bigl(
T (2)
\bigr)
. Пусть X = T (2) \leftthreetimes K2. T
(2) \nsubseteq K
по теореме 2.3 [10] . По лемме 1.4 K \lhd X. Поэтому
\bigl[
T (2),K2
\bigr]
= 1.
Если [T (2),K] \not = 1, то в T (2) есть элемент, который индуцирует автоморфизм нечетного
порядка группы K, что невозможно [5] (теоремы 239 и 240). Поэтому [T (2),K] = 1. Вследствие
произвольного выбора M и K получаем, что [T (2), L\ast ] = 1.
Лемма 1.12 доказана.
Лемма 1.13. Пусть G = TK, K \lhd G, K — простая неабелева группа, Q = CG(K) =
= CT (K). Если Q \subset T, то в группе G = TK/Q имеется элемент простого порядка y \in T =
= T/Q, который индуцирует автоморфизм простого порядка группы K.
Доказательство очевидно по определению автоморфизма.
Лемма 1.14. Если G \sim = An, то G не может иметь p\prime -экстремальной пары подгрупп H
и B.
Доказательство. Из p > 2 и определения 1.3 следует, что 2 делит или | H| , или | B| , если
H и B — p\prime -экстремальная пара в G. Пусть для определенности 2 не делит | H| . Тогда H —
разрешимая группа по известной теореме Томсона – Фейта и поэтому имеет p-дополнение K
[4] (теорема VI.1.7). K является холловой (\pi (H)\setminus \{ p\} )-подгруппой в G по определению 1.3.
Пусть | \pi (K)| > 1. Тогда либо K — \{ 2, 3\} -группа, либо n — простое число и K \sim = An - 1 [14]
(таблица 2). Так как | K| — нечетное число, то оба эти случая невозможны. Поэтому пусть K —
силовская r-подгруппа нечетного порядка в G. Тогда H = HpK = Hp \cdot Gr для K = Gr. Но
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
334 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
тогда \pi (B) = \pi (G)\setminus \{ r\} по определению 1.3 (в силу теоремы 5.8 [15] | G : B| \not = | Gr| ). Поскольку
Op(B) \not = 1, то из леммы 3.1 и таблицы 3.1 [16] следует, что B /\in \{ An - 1, Sn - 2, An - 2\} . Пусть
теперь K = 1. Тогда | G : B| = pa. Но G = B \cdot Gp и 1 \not = H = Hp \subseteq Gp. Тогда Bp \lhd \lhd Gp,
Bp \lhd \lhd B и Bp \lhd \lhd G [17] (теорема 7.7.1), Op(G) \not = 1 и G \ncong An.
Лемма 1.14 доказана.
Лемма 1.15 [18, с. 211]. Пусть \pi — некоторое множество простых чисел, Y — \pi \prime -подгруп-
па группы X. Если \pi -элемент x \in NX(Y ), y \in Y и последовательность (x(n) \circ y) содержит
\pi -элемент для некоторого целого числа n > 0, то xy = yx.
Лемма 1.16. Пусть X — p-разрешимая группа, X = Xp \cdot Xp\prime , x \in Xp, y \in Xp\prime . Если
последовательность x(n) \circ y содержит p-элемент для любого y \in Xp\prime для некоторого целого
числа n > 0 (зависящего от y ), то x \in Op(X).
Доказательство. Используем индукцию по порядку группы. Из определения p-разрешимой
группы следует, что либо Op\prime (X) = K \not = 1, либо Op(X) = P \not = 1.
Пусть K \not = 1, P = 1. Тогда для любого элемента y \in K выполняются условия леммы 1.15
для некоторого целого числа m > 0 (это возможно, потому что m \not = n для различных элементов
y1 и y2 из K ). По этой лемме [y, x] = 1 для всех y \in K. Поэтому x \in CX(K) = C \lhd X. Если
C \subset X, то (так как C \not = Op(X)) по предположению индукции x \in Op(C)\lhd X, и все доказано.
Если C = X, то K \subseteq Z(X). Если K \subset Xp\prime , то в группе X = X/K выполняется условие
леммы. По индуктивному заключению x \in Op(X). Пусть Y — прообраз группы Op(X) в X.
Тогда Y = YpK = Yp \times K \lhd X и x \in Yp \lhd X. Пусть теперь K = Xp\prime . Тогда X = Xp \times K и
x \in Xp \lhd X.
Предположим, что P \not = 1. Если x /\in P, то рассмотрим группу G = G/P, элемент x = xP/P
и подгруппу Xp\prime = Xp\prime P/P. По лемме III.1.6 [4] условия для x и Xp\prime сохраняются. По
предположению индукции x \in Op(X). Но тогда x \in Op(X) = P.
Лемма 1.16 доказана.
Лемма 1.17. Пусть группа G = L1 \times . . .\times Ln, где Li, 1 \leq i \leq n, — изоморфные простые
группы. Пусть Gt нормализует s-подгруппу (наибольшего порядка) S \not = 1 из Gs, \{ s, t\} \subseteq
\subseteq \pi (G). Тогда и в каждой компоненте Li, 1 \leq i \leq n, группы G подгруппа Li\cap Gt нормализует
неединичную s-подгруппу (Li \cap S \not = 1).
Доказательство. Пусть L := L1\times . . .\times Ln - 1, M := Ln. Предположим, что L\cap S =: S0 \not = 1.
Тогда (S \leftthreetimes Gt) \cap L = S0 \leftthreetimes Lt. Поэтому к подгруппе L \subset G можно применить предположение
индукции и получить, что компонента L1 удовлетворяет заключению леммы. Из изоморфизма
компонент следует утверждение для всех Li, 1 \leq i \leq n.
Если L\cap S = 1, то пусть G := G/L \sim = Ln = M. В группе G есть подгруппа S\leftthreetimes Gt
\sim = S\leftthreetimes Mt,
где Mt = Gt \cap M. Из изоморфизма компонент и строения группы G получаем противоречие с
выбором | S| .
Лемма 1.17 доказана.
2. Основной результат.
Теорема 2.1. Пусть G — (v, s)-группа, S = Gs, X0 и \Sigma 0 такие, как в определении 1.1,
G = Gs \cdot L(G), R(G) = 1. Пусть компоненты K группы L(G) лежат во множестве
\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\cup \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\cup \{ An/n \geq 5, n \not = 3a = 4k + 3\} . Тогда:
(1) если K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a, s делит | K| , s \not = r и L(r) — порождение всех компонент K \subseteq L(G)
таких, что K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a, T \in X0, Gr \subseteq NG(T ), то [T, L(r)] = 1, T \lhd S ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 335
(2) если K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(s)a, s делит | K| , s = r и L(t) — порождение всех компонент K \subseteq L(G),
для которых t является m-делителем, Gt \in \Sigma 0, T \in X0 и Gt \subseteq NG(T ), то [T, L(t)] = 1, T\lhd Sg
для некоторых g \in G;
(3) если в (1) s не делит | K| , то имеет место то же утверждение;
(4) если K \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, T \in X0, G2 \in \Sigma 0, G2 \subseteq NG(T ), L
(2) — порождение всех компонент
K группы L(G) c K \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} (s делит | K| или s не делит | K| ), то [L(2), T ] = 1, T \lhd Sg для
некоторых g \in G (при s = 3 пусть K /\in \{ M11, Ly\} );
(5) если K \in \{ An/n \geq 5, n \not = 3a = 4k + 3 при s = 3\} = \frakN , L(2) — порождение всех
компонент K \in \frakN , T \in X0, G2 \in \Sigma 0, G2 \subseteq NG(T ), то [L(2), T ] = 1, T \lhd Sg для некоторых
элементов g \in G.
Доказательство. Пусть M — минимальная нормальная подгруппа группы G, Mj \subseteq
\subseteq L(G) = \times x
j=1Mj , Mj = M = K1 \times . . . \times Kl, Km
\sim = K1 = K для всех m = 1, l. Пусть
pi = h, Gh \in \Sigma 0, T (i) = T \in X0, Gh \subseteq NG(T ) и, так как T0 = T в лемме 1.4, имеем
Gh \cap M = Mh \subseteq NG(T ). По леммам 1.17 и 1.6(ii) T \cap M = 1. Итак,
T \cap M = 1, T \cap K = 1. (2.1)
Пусть L(h) — порождение всех компонент K из L(G), для которых K \cap Gh \not = 1. Из (2.1) и
леммы 1.4 теперь следует, что
K \lhd TM, K \lhd TL(h). (2.2)
Так как K \lhd \lhd G, то
Gh \cap K = Kh \subseteq NG(T ). (2.3)
Из (2.2), (2.3) и леммы Фраттини [4] (теорема I.7.8) следует, что
[Kg
h, T ] = 1, g \in K. (2.4)
Рассмотрим отдельно следующие случаи.
1. K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a, h = r = ri, s делит | K| , s \not = r = t. По теореме 4.254 [5] K \cap T = 1 (в
противном случае (Kr \rightthreetimes T ) \cap K = Kr \rightthreetimes (T \cap K)). Поэтому в этом случае (2.1) – (2.4) имеют
место. Пусть 1 \not = y \in T и [y,K] \not = 1. По лемме 1.13 элемент y индуцирует автоморфизм \beta
порядка s. По [6] ((9 – 1))
\beta \in
\bigl\{
\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(K),\Phi K ,\Gamma K ,\Gamma \Phi K
\bigr\}
. (2.5)
Не нарушая общности, по (2.4) имеем Kh \subseteq CK(\beta ) . Но по леммам 1.7 и 1.10 [y,K] \not = 1 не
может иметь места. Поэтому
[y,K] = 1 = [T,K] = [T,M ] = [T, L(h)] (2.6)
вследствие произвольного выбора y в T и K \subseteq L(h).
Из L(h) \lhd G и T = CGg
s
(L(h))\lhd Gg
s следует, что
T \lhd Gg
s для некоторых элементов g \in G. (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
336 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
2. K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a, h \not = r = s, s делит | K| , h = t — m-делитель группы K.
По лемме 1.6(i) Kh не может нормализовать r-подгруппы группы K. Поэтому, как и в
случае 1, K \cap T = 1, (2.1) – (2.4) имеют место в случае 2.
Предположим, что при выполнении (2.4) [T,K] \not = 1. Из (2.5) и (2.4) следует, что Kh \subseteq
\subseteq CK(\beta ). Но по леммам 1.8, 1.9 \beta /\in \{ \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(K), \Phi L, \Gamma \Phi L\} . По лемме 1.10 \beta /\in \Gamma K .
Поэтому и в случае 2 имеем утверждения (2.6) и (2.7), только в этом случае L(h) — порождение
всех компонент K группы G с K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(s) и m-делителем t.
3. K \in \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}(r)a, h = r, s не делит | K| . Из леммы 1.4 следует, что имеют место и в этом
случае пункты (2.1) – (2.6), [T, L(h)] = 1, где L(h) определяется, как и в (2.6). Так же, как и в
случае (2.7), показывается, что T \lhd Gg
s для некоторых элементов g \in G.
Отметим, что ниже в случае 5 T — наибольшая s-подгруппа в G, которую нормализует
G2 \in \Sigma 0, а L(h) = L(2) (h = 2).
4. K \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} \setminus \{ M11, Ly\} , s делит | K| . По теореме 3 [10] можно считать, что (2.1) имеет
место и в этом случае. Поэтому (2.2) – (2.4) также имеют место. Если [T,K] \not = 1, то в T найдется
элемент, который индуцирует автоморфизм порядка s > 2. Это невозможно по теореме 240 [5].
Отсюда следует, что и в этом случае имеют место утверждения (2.6) и (2.7).
5. K \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, s не делит | K| . Так же, как и в случае 4, доказываются утверждения (2.6)
и (2.7).
В случаях 6 и 7 T \in X0, Gh = G2 \in \Sigma 0, L(h) — порождение всех компонент группы G из
множества An, n \not = 4k + 3 = 3a (h = 2).
6. K \in An, n \geq 5, n \not = 4k + 3 = 3a, s делит | K| . По теореме 2 [10] T \cap K2 = 1. Поэтому
пункты (2.2) – (2.4) выполняются и в этом случае.
Если [K2, T ] = 1, но [K,T ] \not = 1, то в T найдется элемент y, индуцирующий автоморфизм
порядка s > 2 группы G. Но это невозможно в силу теоремы 4.239 [5]. Поэтому и в этом
случае имеют место утверждения (2.6) и (2.7).
7. K \in An, n \geq 5, n \not = 4k+3 = 3a, (s, | K| ) = 1. Этот случай исключается, как и случай 6,
дословным повторением рассуждений.
Теорема 2.1 доказана.
Для некоторых приложений удобно использовать другой вариант теоремы 2.1.
Теорема 2.2. Пусть G — (v, s)-группа, Gs = S, X и \Sigma такие, как в лемме 1.3, G =
= GsL(G), R(G) = 1. Компоненты K группы G являются известными простыми группами.
Тогда имеют место утверждения (1) – (5), как в теореме 2.1, с заменой X0 на X, \Sigma 0 на \Sigma и
T \lhd S на T \lhd Sg.
Доказательство. Все рассуждения из доказательства теоремы 2.1 не зависят от замены
X0 и \Sigma 0 на X и \Sigma . Дословное их повторение и доказывает теорему.
В силу леммы 1.3 имеют место следующие утверждения.
Теорема 2.3. Пусть G — (v, s)-группа, Gs = S, X0 и \Sigma 0 такие, как в определении 1.1, X
и \Sigma такие, как в лемме 1.3, G = Gs \cdot L(G), Z(L(G)) = 1. Компоненты группы G изоморфны
группам из множеств \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} (при s = 3 \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} \setminus \{ M11, Ly\} ), \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}a, \{ An(n \not = 4k+3 = 3a при s =
= 3)\} .
Предположим, что выполняется одно из следующих условий:
(1)
\bigcap m
i=1 T
(i) = D \not = 1, где T (i) \in X0 (T (i) \in X) для всех i = 1,m, Gpi \in \Sigma 0 (Gpi \in \Sigma )
для i = 1, n.
(2) Пусть 1 \not = B — s-группа, [B,Gpi ] = A(i) — s-подгруппа группы G для всех Gpi \in \Sigma 0
(Gpi \in \Sigma ), i = 1, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 337
(3) Пусть x \not = 1 — s-элемент группы G и \langle x,Gpi\rangle = Y (i) — s-разрешимая группа Y (i) =
= Y
(i)
s \cdot Y (i)
s\prime для всех Gpi \in \Sigma 0 (Gpi \in \Sigma ), i = 1, n. Если для каждого элемента y \in Y
(i)
s\prime
последовательность x(n) \cdot y содержит s-элемент для некоторого целого числа n (зависящего
от y ), то y \in Os(G).
Тогда D \subseteq Os(G), B \subseteq Os(G), x \in Os(G) соответственно.
Доказательство. (1). Так как L(G) — произведение всех возможных подгрупп L(ti), i =
= 1, n (см. (2.6)), то [D,L(G)] = 1, CG(L(G)) = Os(G).
(2). По лемме III.1.6 [4] A(i) \lhd \langle B,Gpi\rangle = B(i), поэтому B(i)/A(i) = B \times Gpi , где B =
= BA(i)/A(i), Gpi = GpiA
(i)/A(i). Но это означает, что B(i) = Gpi \rightthreetimes BA(i). Из групп BA(i)
можно образовать множество X0 (X) для групп множества \Sigma 0 (\Sigma ). Так как B \subseteq
\bigcap m
i=1B
(i),
m \leq n, то утверждение следует из пункта (1).
(3). Пусть Gt \in \Sigma 0 (Gt \in \Sigma ), а Y (t) = \langle x,Gt\rangle . По лемме 1.16 x \in Op(Y
(y)) = Q(t). Поэтому
для групп Q(t) можно образовать множество X0 (множество X) для групп из множества \Sigma 0
(\Sigma ). Так как 1 \not = x \in
\bigcap
Q(t) = D, когда Gt пробегает все множество \Sigma 0 (\Sigma ), то по пункту (1)
x \in D \subseteq Os(G).
Теорема 2.3 доказана.
Теорема 2.4. Пусть G — (v, s)-группа, Gs = S, X и \Sigma такие, как в лемме 1.3. Пусть
Z(L(G)) = 1, G = S \cdot L(G) и компоненты K группы G те же, что и в условии теоремы 2.3.
Предположим, что выполняется одно из следующих условий:
(1) C(i) = GG(T
(i)), i = 1,m, — s-замкнутая группа;
(2) CS(T
(i)) \subseteq T (i), i = 1,m;
(3) Z(S) — циклическая группа;
(4) CG(x) — s-замкнутая группа для любого элемента x порядка s из Z(S);
(5) L(G) имеет компоненты только лиева типа одной и той же характеристики;
(6) s не делит | L(G)| ;
(7) L(G) имеет компоненты только из множеств \{ An/n \geq 5 при s = 3, n \not = 3a = 4k+3\}
и \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} (\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r} \setminus \{ M11, Ly\} при s = 3).
Тогда D =
\bigcap m
i=1 T
(i) = D \not = 1, [D,L(G)] = 1.
Доказательство. (1). Рассмотрим группу T (i)\leftthreetimes Gpi . Пусть T (i) = T, Gpi = P. Поскольку
T — P -инвариантная группа, то и C(i) = C — P -инвариантная группа. Поэтому группа CP
существует, CscharC \lhd PC влечет P -инвариантность s-группы Cs. Но тогда Z(S) = D \subset
\subset Cs = C
(i)
s . Так как i пробегает значения i = 1,m и D \subseteq
\bigcap m
i=1C
(i)
s , то утверждение следует
из теоремы 2.3(1).
(2) следует из (1), так как по условию Z(S) = D \subset T (i), i = 1,m.
(3). По теореме 2.2 можно считать, что T (i) \lhd Gs для всех i = 1,m. Но тогда единственная
подгруппа D порядка s из Z(S) лежит в
\bigcap m
i=1 T
(i) и утверждение следует из теоремы 2.3(1).
(4). Так как T (i)\lhd S по теореме 2.2, то T (i)\cap Z(S) = Q(i) \not = 1. Тогда по условию CG(T
(i)) \subseteq
\subseteq CG(Q
(i)) и утверждение получаем по пункту (1).
(5) следует из теорем 2.2 и 2.3(1) – (3).
(6) следует из теорем 2.2 и 2.1(3).
(7) следует из теорем 2.2 и 2.1(4), (5).
Теорема 2.4 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
338 C. Ю. БАШУН, Э. М. ПАЛЬЧИК
3. К проблеме С. А. Чунихина. В 1930 году С. А. Чунихин [19] выдвинул гипотезу:
пусть G — неабелева группа, x \not = 1 \not = y — два ее элемента и
\bigl(
| G : CG(x)| , | G : CG(y)|
\bigr)
= 1,
тогда G — не простая группа. (В частности, CG(y)CG(x) = CG(x)CG(y).) Справедливость
гипотезы доказал Л. С. Казарин в [20]. Можно обобщить гипотезу С. А. Чунихина следующим
образом: пусть G — неабелева группа, x и y — два ее различных pd-элемента, p > 2 и
\bigl(
| G :
CG(x)| , | G : CG(y)|
\bigr)
= px, x \geq 0, тогда G — не простая группа. (В частности, не требуется
перестановочности подгрупп CG(x) и CG(y).)
В самом деле, в группе G имеются циклические подгруппы \langle x\rangle и \langle y\rangle , которые имеют
циклические силовские p-подгруппы \langle x1\rangle и \langle y1\rangle . Тогда подгруппу \langle y1\rangle централизует подгруппа
CG(y), а подгруппу \langle x1\rangle — подгруппа CG(x). Из определения p\prime -экстремальной пары подгрупп
группы G (определение 1.3) следует, что подгруппы CG(y) и CG(x) являются p\prime -экстремальной
парой подгрупп группы G
\bigl(
(| G : CG(x)| , | G : CG(y)| ) = px, x \geq 0
\bigr)
. Случай с x > 0 дает нам
отличие от случая x = 1 в гипотезе С. А. Чунихина из [19].
Следующая теорема показывает, что обобщенная гипотеза С. А. Чунихина правильна.
Из лемм 1.14 и 1.2 следует, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть G — конечная группа, которая имеет p\prime -экстремальную пару под-
групп, p > 2. Тогда G — не простая группа.
Доказательство. Если G имеет p\prime -экстремальную пару подгрупп, то она является (v, p)-
группой, p > 2. Тогда из лемм 1.14 и 1.2 следует утверждение, так как группы An, 5 \leq n \leq 26,
не являются (v, p)-группами, что проверяется непосредственно.
Теорема 3.1 доказана.
4. О (\bfitv , \bfits )-группах \bfitG c \bfitR (\bfitG ) \not = \bfone .
Теорема 4.1. Пусть G — конечная (v, s)-группа, композиционные факторы которой явля-
ются группами из множеств \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}, \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}, \{ An, n \not = 4k + 3 = 3a при s = 3\} . Пусть R(G) \not = 1
и выполняются остальные условия теоремы 2.4. Тогда s делит | R(G)| .
Доказательство. Используем индукцию по порядку группы G. Пусть Gs = S, X, \Sigma , как
в лемме 1.3.
Если s не делит | R(G)| , то группа G = G/R(G) удовлетворяет условию теоремы. По
определению подгруппы R(G) следует, что R(G) = 1. Группа GsL(G) удовлетворяет условию
теоремы 2.4, так как L(G) \cap Gt = L(G)t для всех Gt \in \Sigma . Но тогда по теореме 2.4 CG(L(G))
содержит s-подгруппу D \not = 1. Но тогда по предложению 1.27 [5] L(G) \not = F \ast (G) = F (G)\cdot L(G),
т. е. F (G) \not = 1. Поскольку F (G) — нормальная разрешимая подгруппа группы G, то получили
противоречие с R(G) = 1.
Поэтому предположение, что s не делит | R(G)| , ошибочно.
Теорема 4.1 доказана.
Литература
1. В. Н. Тютянов, Л. А. Шеметков, Тройные факторизации в конечных группах, Докл. НАН Беларуси, 46, № 4,
52 – 55 (2002).
2. Э. М. Пальчик, О свойствах некоторых простых делителей порядков минизотропных торов конечных групп
лиева типа, Весцi НАН Беларусi, сер. фiз.-мат. навук, № 4, 66 – 71 (2012).
3. Э. М. Пальчик, Конечные простые группы с факторизацией G = G\pi B, 2 \not \in \pi , Тр. Ин-та математики и
механики УрО РАН, 20, № 2, 242 – 249 (2014).
4. В. Huppert, Endliche Gruppen, I, Springer-Verlag, Berlin (1982).
5. Д. Горенстейн, Конечные простые группы. Введение в их классификацию, Мир, Москва (1985).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
О РАЗРЕШИМЫХ РАДИКАЛАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 339
6. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of the finite groups of characteristic 2 type, Mem. Amer. Math. Soc.,
42, № 276, 1 – 731 (1983).
7. D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, The classification of the finite simple groups, Math. Surveys and Monogr., 40,
№ 3 (1998).
8. R. Wilson, The finite simple groups, Springer-Verlag, London (2009).
9. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Clarendon Press, London
(1985).
10. А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров, 2-Сигнализаторы конечных простых групп, Алгебра и логика, 42, № 5,
594 – 623 (2003).
11. J. G. Bercovich, On p-group of finite symmetric and alternaiting group, Contemp. Math., № 93, 67 – 76 (1989).
12. G. Glauberman, Factorizations in local subgroups of finite groups, Regional Conf. Series Math., № 33 (1977).
13. В. Huppert, N. Blackburn, Finite groups, III, Heidelberg, Berlin etc. (1982).
14. Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, Теоремы силовского типа, Успехи мат. наук, 66, № 5(401), 3 – 46 (2011).
15. Z. Arad, E. Fisman, On finite factorizable groups, J. Algebra, 86, № 2, 522 – 548 (1984).
16. C. H. Li, X. Li, On permutation groups of degree a product of two prime-powers, Commun. Algebra, 42, 4722 – 4743
(2014).
17. J. C. Lennox, E. Stewart, S. E. Stonehewer, Subnormal subgroups of groups, Clarendon Press, Oxford (1987).
18. R. Baer, Kriterien für die Zugehörigkeit von Elementen zu Ow(G), Math. Z., № 152, 207 – 222 (1977).
19. S. Tchounikhin, Symplicite du groupe finiles orders de ces classes d’elements conjgues, C. r. Acad. Sci., 191,
397 – 399 (1930).
20. Л. С. Казарин, О проблеме С. А. Чунихина, Исследования по теории групп, УНЦ АН СССР, Свердловск
(1984), с. 81 – 99.
Получено 28.03.19,
после доработки — 09.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-800 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:03Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/2f5ef069940205ac7e338a45b35b10f6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-8002022-03-26T11:01:29Z Оn the soluble radical of the finite groups О разрешимом радикале конечной группы О разрешимом радикале конечной группы Bashun, S. Yu. Palchik , E. M. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. UDC 512.542&lt;br&gt; We assume that $G$ is a finite group, $\pi(G)=\{s\}\cup \sigma$, $s &gt; 2$, $\Sigma$ is a set of Sylow$\sigma$-subgroups taken one for each $p_i\in \sigma$, $R(G)$ is the largest normal soluble subgroup in $G$ (the soluble radical of $G$). Suppose also that each Sylow $p_i$-subgroup $G_{p_i}\in \Sigma$ normalizes thes-subgroup $T^{(i)}\neq 1$ of the group $G$. With these assumptions, we determine the conditions under whichs divides $|R(G)|$. &nbsp; УДК 512.542 Пусть $G$~--- конечная группа, $\pi(G)=\{s\}\cup \sigma$, $s&gt;2$, $\Sigma$~--- множество силовских $\sigma$-подгрупп, взятых по одной для каждого $p_i\in \sigma$, $R(G)$~--- наибольшая нормальная разрешимая подгруппа в $G$ (разрешимый радикал $G$). Пусть каждая силовская $p_i$-подгруппа $G_{p_i}\in \Sigma$ нормализует $s$-подгруппу $T^{(i)}\neq 1$ из группы $G$. Устанавливаются условия, при которых $s$ делит $|R(G)|$. УДК 512.542 Нехай $G$~--- скiнченна група, $\pi(G)=\{s\}\cup \sigma,$ $s&gt;2,$&nbsp;$\Sigma$~--- множина силовських $\sigma$-пiдгруп, взятих по однiй&nbsp;для кожного $p_i\in \sigma,$ $R(G)$~--- найбiльша нормальна&nbsp;розв'язна пiдгрупа в $G$ (розв'язний радикал $G$). Нехай кожна&nbsp;силовська $p_i$-пiдгрупа $G_{p_i}\in \Sigma$ нормалiзує $s$-пiдгрупу&nbsp;$T^{(i)}\neq 1$ з групи $G.$ Встановлено умови, при яких $s$&nbsp;дiлить $|R(G)|.$&nbsp; . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/800 10.37863/umzh.v72i3.800 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 3 (2020); 326-339 Український математичний журнал; Том 72 № 3 (2020); 326-339 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/800/8664 Copyright (c) 2020 Светлана Юрьевна Башун |
| spellingShingle | Bashun, S. Yu. Palchik , E. M. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. Башун, C. Ю. Пальчик, Э. М. Оn the soluble radical of the finite groups |
| title | Оn the soluble radical of the finite groups |
| title_alt | О разрешимом радикале конечной группы О разрешимом радикале конечной группы |
| title_full | Оn the soluble radical of the finite groups |
| title_fullStr | Оn the soluble radical of the finite groups |
| title_full_unstemmed | Оn the soluble radical of the finite groups |
| title_short | Оn the soluble radical of the finite groups |
| title_sort | оn the soluble radical of the finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/800 |
| work_keys_str_mv | AT bashunsyu onthesolubleradicalofthefinitegroups AT palchikem onthesolubleradicalofthefinitegroups AT bašuncû onthesolubleradicalofthefinitegroups AT palʹčikém onthesolubleradicalofthefinitegroups AT bašuncû onthesolubleradicalofthefinitegroups AT palʹčikém onthesolubleradicalofthefinitegroups AT bashunsyu orazrešimomradikalekonečnojgruppy AT palchikem orazrešimomradikalekonečnojgruppy AT bašuncû orazrešimomradikalekonečnojgruppy AT palʹčikém orazrešimomradikalekonečnojgruppy AT bašuncû orazrešimomradikalekonečnojgruppy AT palʹčikém orazrešimomradikalekonečnojgruppy |