Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings
UDC 512.6 Near-rings can be considered as a generalization of associative rings. In general, a near-ring is a ring $(R,+,\cdot)$ in which the operation $``+"$ is not necessarily Abelian and at least one distributive law holds. A near-ring with identity is called lo...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8053 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794351337046016 |
|---|---|
| author | Raievska, I. Raievska, M. Раєвська, Ірина Раєвська, Марина |
| author_facet | Raievska, I. Raievska, M. Раєвська, Ірина Раєвська, Марина |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ірина Раєвська",
"institution": "Варшавський університет, Польща; Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "Марина Раєвська",
"institution": "Варшавський університет, Польща; Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Raievska, I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-07-15T03:05:07Z |
| description | UDC 512.6
Near-rings can be considered as a generalization of associative rings. In general, a near-ring is a ring $(R,+,\cdot)$ in which the operation $``+"$ is not necessarily Abelian and at least one distributive law holds. A near-ring with identity is called local if the set of all invertible elements forms a subgroup of the additive group. In particular, every group is an additive group of some near-ring but not of a near-ring with identity. Finding non-Abelian finite $p$-groups that are additive groups of local near-rings is an open problem.
We considered groups of nilpotency class $2$ and $3$ of order $p^4$ as additive groups of local near-rings in\linebreak {\sf\scriptsize [https://arxiv.org/abs/2303.17567} and {\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2309.14342]}. It was shown that, for $p>3,$ there exist local near-rings on one of  four nonisomorphic groups of nilpotency class $3$ of order $p^4$. In the present paper, we continue our investigation of the groups of nilpotency class $3$ of order $p^4$. In particular, it is shown that another group of this class is an additive group of a local near-ring and, hence, of a near-ring with identity.  Examples of local near-rings on this group have been constructed in the GAP computer algebra system. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i5.8053 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:36:02Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-8053 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:36:02Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-80532024-07-15T03:05:07Z Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings Групи порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець Raievska, I. Raievska, M. Раєвська, Ірина Раєвська, Марина Local nearring Nearring with identity non-abelian group Локальне майже-кільце майже-кільце з одиницею неабелева група UDC 512.6 Near-rings can be considered as a generalization of associative rings. In general, a near-ring is a ring $(R,+,\cdot)$ in which the operation $``+"$ is not necessarily Abelian and at least one distributive law holds. A near-ring with identity is called local if the set of all invertible elements forms a subgroup of the additive group. In particular, every group is an additive group of some near-ring but not of a near-ring with identity. Finding non-Abelian finite $p$-groups that are additive groups of local near-rings is an open problem. We considered groups of nilpotency class $2$ and $3$ of order $p^4$ as additive groups of local near-rings in\linebreak {\sf\scriptsize [https://arxiv.org/abs/2303.17567} and {\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2309.14342]}. It was shown that, for $p>3,$ there exist local near-rings on one of  four nonisomorphic groups of nilpotency class $3$ of order $p^4$. In the present paper, we continue our investigation of the groups of nilpotency class $3$ of order $p^4$. In particular, it is shown that another group of this class is an additive group of a local near-ring and, hence, of a near-ring with identity.  Examples of local near-rings on this group have been constructed in the GAP computer algebra system. УДК 512.6 Майже-кільця можна розглядати як узагальнення асоціативних кілець. У загальних рисах, майже-кільце — це кільце $(R,+,\cdot),$ де операція додавання необов'язково абелева та принаймні один дистрибутивний закон має місце. Майже-кільце з одиницею називається локальним, якщо множина всіх необоротних елементів утворює підгрупу в адитивній групі. Зокрема, кожна група є адитивною групою деякого майже-кільця, але не майже-кільця з одиницею. Визначення неабелевих скінченних $p$-груп, які є адитивними групами локальних майже-кілець, є відкритою проблемою. Групи класу нільпотентності $2$ та $3$ порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець розглядалися  в [{\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2303.17567} та {\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2309.14342}]. Було показано, що для $p>3$ існують локальні майже-кільця на одній з чотирьох неізоморфних груп класу нільпотентності $3$ порядку $p^4.$ У цій статті продовжено дослідження груп класу нільпотентності $3$ порядку $p^4.$ Зокрема, показано, що ще одна з цих груп є адитивною групою локального майже-кільця, а отже майже-кільця з одиницею. В системі комп'ютерної алгебри GAP побудовано приклади локальних майже-кілець на цій групі.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-07-03 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8053 10.3842/umzh.v76i5.8053 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 6 (2024); 890–906 Український математичний журнал; Том 76 № 6 (2024); 890–906 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8053/10035 Copyright (c) 2024 Maryna Raievska |
| spellingShingle | Raievska, I. Raievska, M. Раєвська, Ірина Раєвська, Марина Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title | Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title_alt | Групи порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець |
| title_full | Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title_fullStr | Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title_full_unstemmed | Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title_short | Groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| title_sort | groups of order $p^4$ as additive groups of local near-rings |
| topic_facet | Local nearring Nearring with identity non-abelian group Локальне майже-кільце майже-кільце з одиницею неабелева група |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8053 |
| work_keys_str_mv | AT raievskai groupsoforderp4asadditivegroupsoflocalnearrings AT raievskam groupsoforderp4asadditivegroupsoflocalnearrings AT raêvsʹkaírina groupsoforderp4asadditivegroupsoflocalnearrings AT raêvsʹkamarina groupsoforderp4asadditivegroupsoflocalnearrings AT raievskai grupiporâdkup4âkaditivnígrupilokalʹnihmajžekílecʹ AT raievskam grupiporâdkup4âkaditivnígrupilokalʹnihmajžekílecʹ AT raêvsʹkaírina grupiporâdkup4âkaditivnígrupilokalʹnihmajžekílecʹ AT raêvsʹkamarina grupiporâdkup4âkaditivnígrupilokalʹnihmajžekílecʹ |