Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball
UDC 517.55 We study the composition $F(z):=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m\text{ times}})\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq 1, m\geq 1,$ where $\Phi\colon\mathbb{B}^n\to\mathbb{C}$ is a slice holomoprphic function in the unit ball and  $f\colon\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}$ i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8153 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: | |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512941196967936 |
|---|---|
| author | Bandura, A. Salo, T. Skaskiv, O. Бандура, Андрій Сало, Тетяна Скасків, Олег |
| author_facet | Bandura, A. Salo, T. Skaskiv, O. Бандура, Андрій Сало, Тетяна Скасків, Олег |
| author_sort | Bandura, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-07-15T03:05:08Z |
| description | UDC 517.55
We study the composition $F(z):=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m\text{ times}})\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq 1, m\geq 1,$ where $\Phi\colon\mathbb{B}^n\to\mathbb{C}$ is a slice holomoprphic function in the unit ball and  $f\colon\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}$ is a slice holomoprphic function in the whole $m$-dimensional complex space $\mathbb{C}^m$, i.e., a slice function $g_z(\tau)=f(z+\mathbf{b}\tau)$ is an entire function of $\tau\in\mathbb{C}$ for any fixed $z\in\mathbb{C}^m$ and a given direction $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^m$.  Theslice holomorphicity in a unit ball $\mathbb{B}^n$ means that, for a fixed direction $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ and any point $z^0\in \mathbb{B}^n$  of the unit ball, the function is holomorphic on its restriction to the slice $\{z^0+t\mathbf{b}\colon t\in\mathbb{C}\}\cap\mathbb{B}^n.$  An additional assumption about equicontinuity  of these functions allows us to construct an analog of the theory of entire functions with bounded index. This analog can be applied to the investigation of the properties of slice-holomorphic solutions of directional differential equations that describe local behaviors and  the distribution of values. We establish conditions sufficient for the boundedness of the $L$-index in the direction $\mathbf{b}$ for the function $F(z).$ Some of the obtained results are also new in one-dimensional case, i.e., for $n=1$ and $m=1.$ The indicated conditions are obtained by using two different approaches: an analog of Hayman's theorem and analog of the logarithmic criterion.  We also present examples of functions whose composition satisfies all conditions of only one of the obtained theorems. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i5.8153 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer
Open Menu
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Current
Archives
Submissions
Major topics of interest
About
About Journal
Editorial Team
Ethics & Disclosures
Contacts
Search
Register
Login
Home
/
Login
Login
Required fields are marked with an asterisk: *
Subscription required to access item. To verify subscription, log in to journal.
Login
Username or Email
*
Required
Password
*
Required
Forgot your password?
Keep me logged in
Login
Register
Language
English
Українська
Information
For Readers
For Authors
For Librarians
subscribe
Subscribe
Latest publications
Make a Submission
Make a Submission
STM88 menghadirkan Link Gacor dengan RTP tinggi untuk peluang menang yang lebih sering! Bergabunglah sekarang dan buktikan keberuntungan Anda!
Pilih STM88 sebagai agen toto terpercaya Anda dan nikmati kenyamanan bermain dengan sistem betting cepat, result resmi, dan bonus cashback harian.
|
| id | umjimathkievua-article-8153 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b9/7ed8ffe55ae7e05984d5e41affe826b9 |
| spelling | umjimathkievua-article-81532024-07-15T03:05:08Z Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball Обмеженість $L$-індексу за напрямком композиції функцій, цілих на зрізках, та функцій, голоморфних на зрізках в одиничній кулі Bandura, A. Salo, T. Skaskiv, O. Бандура, Андрій Сало, Тетяна Скасків, Олег slice entire function, slice holomorphic function in the unit ball, bounded $L$-index in direction, composition of functions, logarithmic criterion, Hayman's Theorem. multidimensional complex analysis ціла на зрізках функція, голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція, обмежений $L$-індекс за напрямком, композиція функцій, логарифмічний критерій, теорема Хеймана. багатовимірний комлексний аналіз UDC 517.55 We study the composition $F(z):=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m\text{ times}})\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq 1, m\geq 1,$ where $\Phi\colon\mathbb{B}^n\to\mathbb{C}$ is a slice holomoprphic function in the unit ball and  $f\colon\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}$ is a slice holomoprphic function in the whole $m$-dimensional complex space $\mathbb{C}^m$, i.e., a slice function $g_z(\tau)=f(z+\mathbf{b}\tau)$ is an entire function of $\tau\in\mathbb{C}$ for any fixed $z\in\mathbb{C}^m$ and a given direction $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^m$.  Theslice holomorphicity in a unit ball $\mathbb{B}^n$ means that, for a fixed direction $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ and any point $z^0\in \mathbb{B}^n$  of the unit ball, the function is holomorphic on its restriction to the slice $\{z^0+t\mathbf{b}\colon t\in\mathbb{C}\}\cap\mathbb{B}^n.$  An additional assumption about equicontinuity  of these functions allows us to construct an analog of the theory of entire functions with bounded index. This analog can be applied to the investigation of the properties of slice-holomorphic solutions of directional differential equations that describe local behaviors and  the distribution of values. We establish conditions sufficient for the boundedness of the $L$-index in the direction $\mathbf{b}$ for the function $F(z).$ Some of the obtained results are also new in one-dimensional case, i.e., for $n=1$ and $m=1.$ The indicated conditions are obtained by using two different approaches: an analog of Hayman's theorem and analog of the logarithmic criterion.  We also present examples of functions whose composition satisfies all conditions of only one of the obtained theorems. УДК 517.55 Вивчається композиція  $F(z):=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m{\text{разів}}})\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq 1, m\geq 1,$ де $\Phi\colon\mathbb{B}^n\to\mathbb{C}$ — голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція, а $f\colon\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}$  — функція, голоморфна на зрізках в усьому $m$-вимірному комплекс\-ному просторі $\mathbb{C}^m$, тобто зріз-функція $g_z(\tau)=f(z+\mathbf{b}\tau)$ — ціла функція змінної $\tau\in\mathbb{C}$ при кожному фіксованому $z\in\mathbb{C}^m$ та для заданого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^m\setminus\{0\}$. Голоморфність на зрізці в одиничній кулі $\mathbb{B}^n$ означає, що для заданого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ і для кожної точки $z^0$ з одиничної кулі відповідна зріз-функція голоморфна на звуженні початкової функції на зрізку $\{z^0+t\mathbf{b}\colon t\in\mathbb{C}\}\cap\mathbb{B}^n.$  Додаткове припущення про сукупну неперервність для цих функцій дозволяє побудувати аналог теорії цілих функцій обмеженого індексу. Відповідні результати також застосовні до вивчення властивостей голоморфних на зрізках розв'язків диференціальних рівнянь з похідними за напрямком, описують локальне поводження та розподіл значень. Знайдено умови, достатні для обмеженості $L$-індексу за напрямком $\mathbf{b}$ для функції $F(z).$ Деякі з отриманих результатів також нові в одновимірному випадку, а саме для $n=1,$ $m=1,$ тоді куля зводиться до одиничного круга. Відповідні умови знайдено двома різними підходами у теорії функцій обмеженого індексу: аналогом теореми Хеймана та аналогом логарифмічного критерію.  Також наведено приклади функцій, композиція яких задовольняє всі умови лише однієї з доведених теорем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-07-03 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8153 10.3842/umzh.v76i5.8153 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 6 (2024); 802–819 Український математичний журнал; Том 76 № 6 (2024); 802–819 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8153/10027 Copyright (c) 2024 Андрій Бандура, Тетяна Сало, Олег Скасків |
| spellingShingle | Bandura, A. Salo, T. Skaskiv, O. Бандура, Андрій Сало, Тетяна Скасків, Олег Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title | Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title_alt | Обмеженість $L$-індексу за напрямком композиції функцій, цілих на зрізках, та функцій, голоморфних на зрізках в одиничній кулі |
| title_full | Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title_fullStr | Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title_full_unstemmed | Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title_short | Boundedness of the $L$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| title_sort | boundedness of the $l$-index in the direction of the composition of slice entire functions and slice holomorphic functions in the unit ball |
| topic_facet | slice entire function slice holomorphic function in the unit ball bounded $L$-index in direction composition of functions logarithmic criterion Hayman's Theorem. multidimensional complex analysis ціла на зрізках функція голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція обмежений $L$-індекс за напрямком композиція функцій логарифмічний критерій теорема Хеймана. багатовимірний комлексний аналіз |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8153 |
| work_keys_str_mv | AT banduraa boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT salot boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT skaskivo boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT banduraandríj boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT salotetâna boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT skaskívoleg boundednessofthelindexinthedirectionofthecompositionofsliceentirefunctionsandsliceholomorphicfunctionsintheunitball AT banduraa obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí AT salot obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí AT skaskivo obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí AT banduraandríj obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí AT salotetâna obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí AT skaskívoleg obmeženístʹlíndeksuzanaprâmkomkompozicíífunkcíjcílihnazrízkahtafunkcíjgolomorfnihnazrízkahvodiničníjkulí |