Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets
UDC517.53 Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$ &nbs...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: | |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512941576552448 |
|---|---|
| author | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас |
| author_facet | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас |
| author_sort | Zabolotskyy, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-08-10T06:39:20Z |
| description | UDC517.53
Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$  A  set $E \in \mathbb{C}$ is called a $C_0^\beta$-set, $0 < \beta \le 1,$ if $E$ can be covered by a system of disks $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ such that $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Then, for every nondecreasing function  $\phi$ unbounded on $[0,\,+\infty),$  there exists a $C_0^\beta$-set $E$ such that \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} It is shown that, in this asymptotic formula, the remainder term $o(\phi(r)v(r))$ cannot be changed by $O(v(r)).$ |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i7.8157 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer
Open Menu
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Current
Archives
Submissions
Major topics of interest
About
About Journal
Editorial Team
Ethics & Disclosures
Contacts
Search
Register
Login
Home
/
Login
Login
Required fields are marked with an asterisk: *
Subscription required to access item. To verify subscription, log in to journal.
Login
Username or Email
*
Required
Password
*
Required
Forgot your password?
Keep me logged in
Login
Register
Language
English
Українська
Information
For Readers
For Authors
For Librarians
subscribe
Subscribe
Latest publications
Make a Submission
Make a Submission
STM88 menghadirkan Link Gacor dengan RTP tinggi untuk peluang menang yang lebih sering! Bergabunglah sekarang dan buktikan keberuntungan Anda!
Pilih STM88 sebagai agen toto terpercaya Anda dan nikmati kenyamanan bermain dengan sistem betting cepat, result resmi, dan bonus cashback harian.
|
| id | umjimathkievua-article-8157 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/3c8dd7c4216af7094e58e024fdce8a54 |
| spelling | umjimathkievua-article-81572024-08-10T06:39:20Z Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets Поводження субгармонічних функцій повільного зростання зовні виняткових множин Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас субгармонійна функція, повільно зростаюча функція. UDC517.53 Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$  A  set $E \in \mathbb{C}$ is called a $C_0^\beta$-set, $0 < \beta \le 1,$ if $E$ can be covered by a system of disks $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ such that $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Then, for every nondecreasing function  $\phi$ unbounded on $[0,\,+\infty),$  there exists a $C_0^\beta$-set $E$ such that \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} It is shown that, in this asymptotic formula, the remainder term $o(\phi(r)v(r))$ cannot be changed by $O(v(r)).$ УДК 517.53 Нехай $v$ – повільно зростаюча, необмежена на $[0,\,+\infty)$ функція, $u$ –субгармонічна в площині функція нульового порядку, $\mu$ – її міра Рісса, $n(t,u)=\mu\left(\{x\colon |x|\le t\}\right),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$ Множину $E \in \mathbb{C}$ назвемо $C_0^\beta$-множиною, $0 < \beta \le 1,$ якщо її можна покрити системою кругів $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ таких, що $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Тоді для довільної неспадної необмеженої на $[0,\,+\infty)$ функції $\phi$ існує $C_0^\beta$-множина $E$ така, що \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} Показано також, що у цій асимптотичній формулі залишковий член $o(\phi(r)v(r))$ не можна замінити на $O(v(r)).$  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-08-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 10.3842/umzh.v76i7.8157 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 7 (2024); 986 - 991 Український математичний журнал; Том 76 № 7 (2024); 986 - 991 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157/10054 Copyright (c) 2024 Микола Заболоцький |
| spellingShingle | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_alt | Поводження субгармонічних функцій повільного зростання зовні виняткових множин |
| title_full | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_fullStr | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_full_unstemmed | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_short | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_sort | behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| topic_facet | субгармонійна функція повільно зростаюча функція. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskyym behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolotskyyt behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolocʹkijmikola behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolocʹkijtaras behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolotskyym povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolotskyyt povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolocʹkijmikola povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolocʹkijtaras povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin |