Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets
UDC517.53 Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$ &nbs...
Saved in:
| Date: | 2024 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2024
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794413429522432 |
|---|---|
| author | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас |
| author_facet | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Микола Заболоцький",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "Тарас Заболоцький",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Zabolotskyy, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-08-10T06:39:20Z |
| description | UDC517.53
Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$  A  set $E \in \mathbb{C}$ is called a $C_0^\beta$-set, $0 < \beta \le 1,$ if $E$ can be covered by a system of disks $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ such that $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Then, for every nondecreasing function  $\phi$ unbounded on $[0,\,+\infty),$  there exists a $C_0^\beta$-set $E$ such that \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} It is shown that, in this asymptotic formula, the remainder term $o(\phi(r)v(r))$ cannot be changed by $O(v(r)).$ |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v76i7.8157 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-8157 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:36:47Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-81572024-08-10T06:39:20Z Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets Поводження субгармонічних функцій повільного зростання зовні виняткових множин Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас субгармонійна функція, повільно зростаюча функція. UDC517.53 Let $v$ be a slowly growing function unbounded on $[0,\,+\infty),$ $u$ be subharmonic (in plane) function of zero order, $\mu$~be its Riesz measure, $n(t,u)=\mu(\{x\colon |x|\le t\}),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ and $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$  A  set $E \in \mathbb{C}$ is called a $C_0^\beta$-set, $0 < \beta \le 1,$ if $E$ can be covered by a system of disks $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ such that $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Then, for every nondecreasing function  $\phi$ unbounded on $[0,\,+\infty),$  there exists a $C_0^\beta$-set $E$ such that \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} It is shown that, in this asymptotic formula, the remainder term $o(\phi(r)v(r))$ cannot be changed by $O(v(r)).$ УДК 517.53 Нехай $v$ – повільно зростаюча, необмежена на $[0,\,+\infty)$ функція, $u$ –субгармонічна в площині функція нульового порядку, $\mu$ – її міра Рісса, $n(t,u)=\mu\left(\{x\colon |x|\le t\}\right),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$ Множину $E \in \mathbb{C}$ назвемо $C_0^\beta$-множиною, $0 < \beta \le 1,$ якщо її можна покрити системою кругів $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ таких, що $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Тоді для довільної неспадної необмеженої на $[0,\,+\infty)$ функції $\phi$ існує $C_0^\beta$-множина $E$ така, що \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} Показано також, що у цій асимптотичній формулі залишковий член $o(\phi(r)v(r))$ не можна замінити на $O(v(r)).$  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2024-08-04 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 10.3842/umzh.v76i7.8157 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 76 No. 7 (2024); 986 - 991 Український математичний журнал; Том 76 № 7 (2024); 986 - 991 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157/10054 Copyright (c) 2024 Микола Заболоцький |
| spellingShingle | Zabolotskyy, M. Zabolotskyy, T. Заболоцький, Микола Заболоцький, Тарас Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_alt | Поводження субгармонічних функцій повільного зростання зовні виняткових множин |
| title_full | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_fullStr | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_full_unstemmed | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_short | Behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| title_sort | behavior of subharmonic functions of slow growth outside exclusive sets |
| topic_facet | субгармонійна функція повільно зростаюча функція. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8157 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskyym behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolotskyyt behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolocʹkijmikola behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolocʹkijtaras behaviorofsubharmonicfunctionsofslowgrowthoutsideexclusivesets AT zabolotskyym povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolotskyyt povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolocʹkijmikola povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin AT zabolocʹkijtaras povodžennâsubgarmoníčnihfunkcíjpovílʹnogozrostannâzovnívinâtkovihmnožin |