Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups
Дается обзор исследований О. Ю. Шмидта, относящихся к бесконечным группам, показывающий значение его работ в развитии теории бесконечных групп.
Збережено в:
| Дата: | 1971 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1971
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8331 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860513052046131200 |
|---|---|
| author | Chernikov, S. N. Черников, С. Н. |
| author_facet | Chernikov, S. N. Черников, С. Н. |
| author_sort | Chernikov, S. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-10T13:25:25Z |
| description | Дается обзор исследований О. Ю. Шмидта, относящихся к бесконечным группам, показывающий значение его работ в развитии теории бесконечных групп. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:38:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
1971 УКРАИНСКИМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ: ЖУРНАЛ Т. 23, № 5
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.41/47
Исследования О. Ю. Шмидта в теории бесконечных групп
С. Н. Черников
Результаты исследований О. Ю. Шмидта в теории бесконечных групп
представлены его работами: «О бесконечных группах с конечной
цепью», «О бесконечных специальных группах», «Бесконечные разрешимые
группы» и «Локальная конечность одного класса бесконечных периодиче-
ских групп» [1—4]. В первой из этих работ свое отношение к бесконечным
группам О. Ю. Шмидт определяет следующим образом.
«Теория конечных групп разработана вплоть до деталей. Именно эти
детали, разнообразные индивидуальные свойства отдельных типов групп,
при одновременном господстве весьма общих законов, как раз и делают эту
теорию особенно привлекательной. Но в широко разветвленных примене-
ниях понятия группы часто приходится встречаться с бесконечными груп-
пами, и потому возникает вопрос, в какой мере законы, установленные для
конечных групп, могут быть перенесены на те или иные бесконечные груп-
пы. Нужно конечно отказаться от перенесения частностей; речь должна идти
главным образом о самых общих основных теоремах. Задача состоит в том,
чтобы из всех бесконечных групп с помощью соответствующего определения
выделить такие классы, чтобы, с одной стороны, для них еще сохранялись
основные теоремы теории конечных групп, с другой стороны, область при-
менимости их была бы достаточно обширной».
Таким образом, в работе [1] задачу изучения бесконечных групп
О. Ю. Шмидт рассматривает как задачу выделения достаточно широких
классов бесконечных групп, на которое могут быть перенесены самые общие
основные теоремы теории конечных групп. В своих дальнейших работах
[2 и 3] задачу изучения бесконечных групп О. Ю. Шмидт рассматривает
преимущественно как задачу выделения и исследования достаточно широ-
ких классов бесконечных групп на основе обобщений известных определений
для тех или иных классов конечных групп. В работе [2] в качестве обобщения
конечных нильпотентных групп рассматриваются бесконечные группы с
нормализаторным условием. В работе [3] на основе понятия разрешимого
множества [5] выделяются достаточно широкие классы бесконечных обоб-
щенно разрешимых групп. Естественность подхода О. Ю. Шмидта к изуче-
нию бесконечных групп в работах [1—3] и удачное сочетание широты и
естественности обобщений в этих работах с предельной простотой и проз-
рачностью изложения придают им особую яркость и привлекательность.
В работе [1] в качестве основной теоремы для перенесения на бесконеч-
ные группы взята известная теорема об изоморфизме разложений конечной
группы в прямые произведения неразложимых множителей. Класс беско-
нечных групп, для которых сохраняется эта теорема, выделяется с помощью
следующего определения. Группами с конечной цепью называются группы,
в которых ни от какой инвариантной подгруппы не может исходить ни
убывающая, ни возрастающая бесконечная нормальная цепь подгрупп.
Ясно, что в этом определении достаточно рассматривать лишь убывающие
591
нормальные'цепи подгрупп, исходящие от самой группы,, и возрастающие
нормальные цепи, исходящие от единицы. Если группа ® не имеет исходя-
щих от нее бесконечных убывающих нормальных цепей подгрупп, то говорят,
что она удовлетворяет условию минимальности для ее убывающих нормаль-
ных цепей подгрупп. Если группа @ не имеет бесконечных возрастающих
нормальных цепей подгрупп, то говорят, что она удовлетворяет условию
максимальности для нормальных цепей подгрупп. Таким образом, группа
с конечной цепью — это группа, удовлетворяющая одновременно двум
сформулированным условиям.
Изложение в статье [1] ведется в предположении, что рассматриваемые
в ней группы имеют некоторую область операторов, а все выделяемые в них
подгруппы допустимы относительно операторов; рассматриваемые в статье
[1] изоморфизмы предполагаются также допустимыми (операторными).
В частном случае, когда область операторов состоит из одного только тож-
дественного оператора, это изложение дает соответствующие результаты
для групп без операторов. В этом случае рассматриваемые условия мини-
мальности и максимальности становятся более ограничительными чем в
общем случае. Например, в отличие от общего случая, абелевы группы,
удовлетворяющие им одновременно, обязательно конечны. Как широк класс
безоператорных бесконечных групп, удовлетворяющих одновременно двум
рассматриваемым условиям, пока не выяснено. Вопрос этот нелегок. На-
пример, в этом классе групп должны содержаться бесконечные неабелевы
группы, все истинные подгруппы которых конечны. Однако, пока не из-
вестно даже, существуют ли такие группы (проблема Шмидта)?
Из определения группы с конечной цепью вытекает, что каждый ее
композиционный ряд конечен. В статье [1] доказывается (для операторных
групп), что все композиционные ряды одной и той же группы с конечной цепью
содержат одно и то же число членов и отмечается при этом, что на группы с
конечной цепью переносится теорема Жордана — Гельдера о композици-
онных рядах: теорема об изоморфизме факторов любых двух композицион-
ных рядов с точностью до порядка расположения факторов.
Основной результат статьи [1] — это следующая теорема.
Если операторная группа ф с конечной цепью может быть представлена
двумя способами в виде прямого произведения неразложимых множителей
то k = /, множители попарно центрально изоморфны, и в каждом произ-
ведении каждый множитель может быть заменен некоторым центрально
изоморфным множителем из другого разложения.
Если в область операторов группы © включить группу ее внутренних
автоморфизмов, то неинвариантные допустимые подгруппы перестанут быть
допустимыми и потому условия минимальности и максимальности из опреде-
ления групп с конечной цепью превращаются соответственно в условие
минимальности и в условие максимальности для допустимых нормальных
делителей (для цепей допустимых нормальных делителей). Понятно, что
класс безоператорных групп, удовлетворяющих условию минимальности
и условию максимальности для нормальных делителей, шире класса без-
операторных групп с конечной цепью.
В качестве весьма частных случаев из основного результата статьи
[1] вытекает теорема Ремака о прямых произведениях конечных групп (с
известным добавлением О. Ю. Шмидта о взаимной заменяемости централь-
но изоморфных факторов двух разложений, полученным им еще в студен-
ческие годы) и аналогичная теорема Круля для одного класса бесконечных
коммутативных групп. По-видимому, этого оказалось достаточным для
того, чтобы замечательный результат О. Ю. Шмидта не вошел в литературу
592
под названием теоремы Шмидта, что было бы справедливым; он называется
то теоремой Ремака — Шмидта, то теоремой Круля — Шмидта и даже тео-
ремой Ремака — Круля — Шмидта.
Теорема Шмидта вошла в золотой фонд теории групп. Вот что пишет
о ней академик П. С. Александров в своих «Воспоминаниях об О. Ю. Шмид-
те» [6].
«Эта теорема такого ранга и значения, которые в каждой области ма-
тематики насчитываются только единицами. Математика состоит из многих
различных областей; в каждой из них имеется несколько фундаментальных
фактов, вокруг которых концентрируются дальнейшие исследования. Тео-
рема О. Ю. Шмидта в теории групп принадлежит именно к фундаменталь-
ным, большим открытиям, которые навсегда останутся в науке».
«Я помню заседание Геттингенского математического общества под
председательством Гильберта, на котором О. Ю. Шмидт излагал свою тео-
рему. Гильберт присутствовал не на всех заседаниях, ему было 64 года, уже
начался последний период его деятельности, когда он берег свои силы,
но на доклад О. Ю. Шмидта он пришел».
«Я помню впечатление, которое произвел этот доклад, блестящий не
только по содержанию, но и по языку, по всей своей внешней форме. Впе-
чатление было огромным, несмотря на то, что делался он в таком месте, где
люди были избалованы и знали цену хорошим докладам; выступать перед
ними, было делом ответственным».
«Доклад О. Ю. Шмидта был одним из самых блестящих событий матема-
тической жизни Геттингена в летнем сезоне 1927 г., багатом большими на-
З'чными открытиями (в этом сезоне в Геттингене впервые излагались, на-
пример, теории Биригофа, Винера и др.)».
Теорема Шмидта вызвала большое оживление в теории групп. Ее пе-
редоказывали и обобщали, ее применяли в теории колец, ее переносили
в теорию структур (см. [7]). В цепи исследований, посвященных обобщени-
ям теоремы Шмидта, сложилось целое направление общей теории групп,
имеющее своей целью изучение прямых разложений групп (см. [7]).
• Значение работы [1] далеко не исчерпывается установленной в ней
теоремой Шмидта. Работа [1] является ярким примером использования
условий конечности при изучении бесконечных групп. Под зс ювием ко-
нечности в общей теории групп понимается любое такое свойство, присущее
всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа,
которая этим свойством не обладает. Используемые в работе [1] условия
конечности —• это ограничения, которые налагаются на бесконечные груп-
пы предположением о конечности цепей тех или иных подгрупп. Такого
рода ограничения получили позднее название условий минимальности и
максимальности. Систематическое исследование групп с условиями мини-
мальности и максимальности для всех подгрупп, для нормальных дели-
телей, для абелевых подгрупп, начавшееся в конце тридцатых годов, почти
через десять лет после появления работы О. Ю. Шмидта [1], обогатило
общую теорию групп понятиями и результатами фундаментального значе-
ния. По существу в ней открылись новые области исследования, и в связи с
этим появилась новая проблематика (см. [8]).
Изучение произвольных групп с условиями минимальности • и макси-
мальности с первых же шагов натолкнулось на значительные трудности.
В частности, для бесконечных групп с условием минимальности для любых
подгрупп возникли два весьма трудных вопроса: 1) являются ли они счет-
ными? и 2) являются ли они локально конечными? В общем случае эти Воп-
росы все еще не решены; при некоторых дополнительных предложениях
они были решены уже в 1939—1940 гг. в работах С. Н. Черникова [9—11].
В работе [9] бесконечные группы с условием минимальности для подгрупп
рассматривались при дополнительном требовании несовпадения истин-
ных подгрупп с их нормализаторами (нормализаторное условие). В ней
было показано, что класс таких групп (бесконечные специальные группы)
2 — Украинский математический журнал, № 5. 593
исчерпывается бесконечными локально конечными р-группами (р — любое
простое число) с условием минимальности для подгрупп и их прямыми про-
изведениями с конечным числом множителей. В работах [10 и 11] рассматри-
вался более широкий класс групп с условием минимальности для подгрупп—
класс локально разрешимых групп с этим условием. Для изучавшихся в
работах [9—11] классов бесконечных групп с условием минимальности
для подгрупп оба вопроса (1) и 2)) решались положительно. Однако в общем
случае произвольных групп с условием минимальности для подгрупп ни-
каких подходов к этим вопросам в работах [9—11] не намечалось. Впрочем,
ввиду содержащихся в них результатов, положительное решение вопроса
2) в случае р-групп давало бы также и положительное решение вопроса
1) в этом случае.
Вопросу 2) посвящена упомянутая выше работа О. Ю. Шмидта [4];
этот вопрос решается в ней положительно для бесконечных р-групп с ус-
ловием минимальности для подгрупп в предположении, что р = 2. В ней
указываются также некоторые подходы к решению вопроса 2) и в случае
уС-гр,упп с р Ф 2. Тематика, возникшая при исследовании групп с условием
минимальности для подгрупп, и полученные при ее разработке результаты
привлекли внимание О. Ю. Шмидта, и он уже в 1939 г. активно включил-
ся в ее разработку. Вот что пишет по этому поводу А. Г. Курош в своей
статье об О. Ю. Шмидте: «Основоположник советской алгебраической
школы» [12].
«Интересна история возникновения весьма значительной работы Отто
Юльевича «О бесконечных специальных группах», опубликованной в 1940 г.
Однажды, зимой 1938/39 учебного года, я получил от своего бывшего
ученика, свердловчанина С. Н. Черникова, рукописи двух его новых ра-
бот по бесконечным локально разрешимым группам. Понимая, что этими
работами открывается новое направление в общей теории групп, и учитывая,
что возникающая здесь проблематика будет близка сердцу каждого теоре-
тико-групповика и что Отто Юльевич в свое время занимался специальными
группами, хотя и конечными, я однажды очень подробно пересказал Отто
Юльевичу содержание этих работ. Мне показалось, что он заинтересовался.
Это подтвердилось на состоявшемся в ноябре 1939 г. Всесоюзном совещании
по алгебре, когда Отто Юльевич в прениях по докладу С. Н. Черникова ска-
зал, обращаясь к докладчику: «Иду на вы!» В результате появилась наз-
ванная выше работа. Выполненная с обычным для Отто Юльевича мастер-
ством, она содержала интересные результаты и остроумные примеры и сы-
грала существенную роль в дальнейшем развитии теории обобщенных ниль-
потентных и разрешимых групп».
Эта работа (цитируемая ниже под [2]) была выполнена за довольно ко-
роткий срок и уже весной 1940 г. О. Ю. Шмидт выступил с докладом о ней
на одном из заседаний руководимого им семинара при МГУ. С большой
радостью я принял приглашение О. Ю. Шмидта участвовать в этом засе-
дании. В докладе подробно излагалось (с доказательствами) содержание
законченной, но пока еще не опубликованной, его работы [2], посвященной
бесконечным специальным группам. Интересные результаты работы и уди-
вительная логичность и прозрачность их изложения в докладе произвели,1на
меня, да, по-видимому, и на всех слушателей сильное впечатление.
Рассматривая в работе [2] произвольные бесконечные группы с нор-
мализаторным условием, О. Ю. Шмидт получает для них ряд результатов
и, в частности, теорему о том, что элементы конечного порядка в группе
с нормализаторным условием составляют подгруппу. Рассматривая в [2]
группы с нормализаторным условием, удовлетворяющие условию минималь-
ности для подгрупп, О. Ю. Шмидт дает новое изложение результатов, от-
носящихся к бесконечным специальным группам, из работ [9—Ш, при-
давая им другую систему и более простые доказательства. Отмечая, что
ввиду этих результатов всякая разрешимая р-группа с условием минималь-
ности для подгрупп удовлетворяет нормализаторному условию, он ставит
594
естественный вопрос, не является ли разрешимость здесь достаточной для
существования нормализаторного условия и без условия минимальности?
С помощью построения остроумного примера этот вопрос решается им
отрицательно. При построении примера использована по существу кон-
струкция сплетения групп, получившая со временем широкие применения
в общей теории групп. В примере О. Ю. Шмидта циклическая группа про-
стого порядка р сплетается с квазициклической р-группой. Группа,
построенная О. Ю. Шмидтом, интересна во многих отношениях и, несом-
ненно, заслуживает самого детального изучения.
В работе [2] впервые вводится в рассмотрение условие минимальности
для абелевых подгрупп и вместе с ним в общую теорию групп приходит
интересный вопрос, будет ли оно эквивалентно условию минимальности
для всех подгрупп. В работе [2] условие минимальности для абелевых под-
групп налагается на фактор-группы всех подгрупп в рассматриваемых груп-
пах; в работе [2] показано, что для групп с нормализаторным условием та-
кое ограничение оказывается эквивалентным условию минимальности для
всех подгрупп. Позднее в работе [13] было установлено, что как в случае
групп с нормализаторным условием, так и в более общем случае локально'
разрешимых групп, условие минимальности для абелевых подгрупп рав-
носильно без каких бы то ни было дополнительных ограничений условию
минимальности для всех подгрупп. В действительности в работе [13] было
доказано, что бесконечная локально разрешимая группа, удовлетворяющая
условию минимальности для абелевых подгрупп, является конечным рас-
ширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп.
Так как ранее в работах [10, 11] аналогичное предложение было получено
для бесконечных локально разрешимых групп при условии минимальности
для всех подгрупп, то вместе с этим и получилась интересующая нас экви-
валентность. Вопрос об эквивалентности рассматриваемых условий мини-'
мальности в общем случае решен (отрицательно) лишь совсем недавно [14].
Как уже отмечалось, в связи с изучением бесконечных групп с услови-
ями минимальности и максимальности в общей теории групп появились
новые понятия; в частности, в связи с изучением бесконечных групп с нор-,
мализаторным условием, удовлетворяющих условию минимальности для
подгрупп, появилось понятие локальной разрешимости (в начале для пе-
риодических групп, см. [10]). Локально разрешимой называется группа,
в которой каждое конечное множество элементов порождает разрешимую
группу. При изучении локально разрешимых групп возник вопрос о на-
хождении такого глобального свойства группы, которое было бы необхо-
димым и достаточным условием ее локальной разрешимости. В связи с
этим вопросом появилось понятие разрешимого множества [5], обобщающее
понятие главного ряда конечной группы. Разрешимым множеством про-
извольнойтруппы @ называется упорядоченное (по включению) множество
ее нормальных делителей, включающее группу ® и ее единичную подгруп-
пу, если оно содержит вместе с любыми своими членами и их объединение и
пересечение и если его члены, между которыми не содержится других его
членов (соседние члены), определяют абелевы фактор-группы. В работе
[5] было показано, что для локально конечных групп существование разре-
шимого множества является необходимым и достаточным условием локаль-
ной разрешимости. Каков в общем случае объем максимального класса
групп, для которых существование разрешимого множества является
глобальным свойством, равносильным свойству локальной разрешимости,,
осталось невыясненным. С другой стороны, никакого глобального свойства
группы, эквивалентного свойству локальной разрешимости во всех слу-
чаях, найдено не было. При этих условиях естественно возникает мысль
так изменить (ослабить) определение локальной разрешимости, чтобы
интересующим нас глобальным свойством группы оказалось существование
у нее разрешимого множества. В силу известных результатов А. И. Маль-
цева [15] для этого локально разрешимой группой достаточно считать
595
группу, у которой каждая конечнопорожденная подгруппа обладает
разрешимым множеством; разрешимость при этом становитя свойством
группы иметь произвольное разрешимое множество (необязательно
конечное). Однако при таком определении свойства разрешимости оно в
отличие от свойства обычной разрешимости, вообще говоря, уже не пере-
носится на фактор-группы. Достаточно сослаться здесь на случай свободных
групп. Как известно, свободная группа имеет разрешимое множество, опре-
деляемое убывающим рядом ее последовательных коммутантов, и потому
разрешима в смысле ослабленного определения разрешимости. Однако
известно также, что среди фактор-групп свободных групп встречаются лю-
бые группы и,, в частности, простые группы, не обладающие разрешимым
множеством.
Таким образом, класс групп с разрешимым множеством (класс
групп [8]) не сохраняет одно из основных свойств класса разрешимых
групп. Рассматривая в работе [3] класс групп с разрешимым множеством,
О. Ю. Шмидт отмечает, что поэтому вряд ли этот класс групп можно счи-
тать таким расширением класса конечных разрешимых групп, которое
сохраняет с ним достаточно общих свойств, чтобы распространить на него
название разрешимых групп. Имея цельно определить наиболее широкий
класс бесконечных групп, которые еще можно было бы считать разрешимы-
ми в смысле некоторого рационального обобщения разрешимости конечных
групп, О. Ю. Шмидт дает в работе [3] следующее определение разрешимости.
Разрешимой называется группа, все фактор-группы любой подгруппы кото-
рой обладают разрешимыми множествами. Для таких групп О. Ю. Шмидт
доказывает «локальную теорему»: если каждая конечнопорожденная под-
группа разрешима, то и сама группа разрешима. В работе [3] доказывает-
ся, что если группа ® имеет разрешимое множество, вполне упорядоченное
по возрастанию, то она разрешима в указанном смысле.
В работе [3] предлагается классифицировать разрешимые группы по
типу упорядоченности тех разрешимых множеств, которыми они обладают.
Разрешимыми А называются все разрешимые группы в смысле приве-
денного здесь определения разрешимости.
Разрешимьми В называются те разрешимые А группы, которые обла-
дают хотя бы одним вполне упорядоченным по возрастанию разрешимым
множеством.
Разрешимыми С называются те разрешимые А группы, которые обла-
дают.хотя бы одним вполне упорядоченным по убыванию разрешимым мно-
жеством.
Разрешимыми £> называются группы одновременно разрешимые В и С.
Свойство В обобщает, очевидно, свойство конечных разрешимых групп
иметь отличный от единицы абелев нормальный делитель; свойство С обоб-
щает другое свойство конечных разрешимых групп — быть отличными от
своего коммутанта.
В работе [3] построен пример р-группы, разрешимой В, которая совпа-
дает со своим коммутантом, и пример р-группы, разрешимой С, которая не
имеет отличных от единицы абелевых нормальных делителей. Первый при-
мер показывает, что существуют группы разрешимые В, но не С, а второй —
что существуют группы разрешимые С, но не В.
Выделенные О. Ю. Шмидтом классы групп имеют весьма большой объем.
Достаточно отметить здесь, что разрешимыми А являются все локально
разрешимые группы (т. е. труппы, все конечнопорожденные подгруппы ко-
торых разрешимы в обычном смысле), а разрешимыми Б — все группы,
обладающие возрастающим центральным рядом. Разрешимыми А являют-
ся, в частности, и все локально конечные /з-группы; однако этого сказать
нельзя о р-группах, которые не удовлетворяют условию локальной конеч-
ности, так как среди них встречаются даже и простые группы (см. [16]).
В связи с вопросом относительно объема класса групп разрешимых А возни-
кает вопрос о том, какие группы помимо локально разрешимых он содержит.
В основу определения обобщенно разрешимых групп в работе [3] по-
ложено понятие разрешимого множества. Это понятие обобщается в ней
до понятия слабо разрешимого множества. Если в определении разреши-
мого множества требования инвариантности его членов во всей группе за-
менить требованием инвариантности меньшего члена в большем, когда
между ними не содержится других членов множества, то получается оп-
ределение слабо разрешимого множества. Слабо разрешимое множество
можно, очевидно, уплотнить до такого слабо разрешимого множества, в
котором все факторы, определяемые соседними членами, будут циклически-
ми группами простых порядков (периодическое множество [5]). Периоди-
ческое множество является, очевидно, обобщением композиционного ряда
конечной разрешимой группы. Свойство группы иметь слабо разрешимое
множество было принято позднее за определение обобщенной разрешимости
в самом широком смысле (см. .RiV-группы в [8]).
При изучении обобщенно разрешимых групп в работе [3] выделяется
случай группы с условием минимальности. Пользуясь условием минималь-
ности для абелевых подгрупп, О. Ю. Шмидт получает в ней следующее обоб-
щение теоремы о разрешимых группах с условием минимальности для под-
групп, установленной в работах [10, 11).
. Группа, имеющая разрешимое множество, вполне упорядоченное по
возрастанию, и подчиненная условию минимальности для 'абелевых под-
групп самой группы и ее фактор-групп, является конечным расширением
абелевой группы.
Как и работа [2], работа [3] играла существенную роль в развитии тео-
рии обобщенных нильпотентных и разрешимых групп.' Возникающие в -ней
проблемы, несомненно, будут и далее привлекать к ней внимание исследо-
вателей.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. О. Ю. Ш м и д т , О бесконечных группах с конечной цепью, Избр. тр., Математика,
Изд-во АН СССР, М„ 1959.
2. О. Ю. Ш м и д т , О бесконечных специальных группах, Избр. тр., Математика, Изд-
во АН СССР, М„ 1959.
3. О. Ю. Ш м и д т , Бесконечные разрешимые группы, Избр. тр., Математика, Изд-во
АН СССР, М., 1959.
4. О. Ю. Ш м и д т , Локальная конечность одного класса бесконечных периодических
групп, Избр. тр., Математика, Изд-во АН СССР, М., 1959.
5. С. Н. Ч е р н и к о в, К теории локально разрешимых групп, Матем. сб., т. 13(55),
2—3, 1943.
6. П. С. А л е к с а н д р о в, Воспоминания об О. Ю. Шмидте, сб. Отто Юльевич Шмидт,
Изд-во АН СССР, М„ 1959.
7. А. Г. К у р о ш , Алгебра II (группы кольца и структуры), Математика в СССР за
тридцать лет, ОГИЗ, М.—Л., 1948.
8. А. Г. К у р о ш , С. Н. Ч е р н и к о в , Разрешимые и нильпотечтные группы, УМН,
2:3 (19), 1947.
9. С. Н. Ч е р н и к о в , Бесконечные специальные группы, Матем. сб., т. 6(48):2, 1939.
10. С. Н. Ч е р н и к о в , Бесконечные локально разрешимые группы, Матем. сб., т. 7
(49) :1, 1940.
11. С. Н. Ч е р н и к о в , К теории бесконечных специальных групп, Матем. сб., т. 7
(49) :3, 1940.
12. А. Г. К у р о ш , Основоположник советской алгебраической школы, сб. Отто Юлье-
вич Шмидт, Изд-во АН СССР, М., 1959.
13. С. Н. Ч е р н и к о в, О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию
минимальности для подгрупп, Матем. сб., т. 28 (70) :1, 1951.
14. П. С. Н о в и к о в , С. И. А д ян , О коммутативных подгруппах и проблеме сопря-
женности в свободных периодических группах нечетного порядка, Изв. АН СССР,
сер. матем., т 32, № 5, 1968.
15. А. И. М а л ь ц е в , Об одном общем методе получения локальных теорем теории
групп, Учен. зап. Ивановского педагогического института, т. 1, 1941.
16 С Н. Ч е р н и к о в , Условия локальной конечности однослойных р-групп, ДАН
СССР, т. 147, № 1, 1962.
Поступила 4.V 1971 г.
Институт математики АН УССР
|
| id | umjimathkievua-article-8331 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:38:32Z |
| publishDate | 1971 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/23e1192c27bbc07829f9270627eeea12.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-83312024-06-10T13:25:25Z Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups Исследования О. Ю. Шмидта в теории бесконечных групп Chernikov, S. N. Черников, С. Н. Дается обзор исследований О. Ю. Шмидта, относящихся к бесконечным группам, показывающий значение его работ в развитии теории бесконечных групп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1971-09-03 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8331 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 23 No. 5 (1971); 591-597 Український математичний журнал; Том 23 № 5 (1971); 591-597 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8331/9888 Copyright (c) 1971 S. N. Chernikov |
| spellingShingle | Chernikov, S. N. Черников, С. Н. Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title | Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title_alt | Исследования О. Ю. Шмидта в теории бесконечных групп |
| title_full | Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title_fullStr | Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title_full_unstemmed | Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title_short | Investigations of O. Yu Shmidt in the theory of infinite groups |
| title_sort | investigations of o. yu shmidt in the theory of infinite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8331 |
| work_keys_str_mv | AT chernikovsn investigationsofoyushmidtinthetheoryofinfinitegroups AT černikovsn investigationsofoyushmidtinthetheoryofinfinitegroups AT chernikovsn issledovaniâoûšmidtavteoriibeskonečnyhgrupp AT černikovsn issledovaniâoûšmidtavteoriibeskonečnyhgrupp |