Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators
UDC 517.98 The paper consists of two parts. In the first part, we establish sufficient and necessary conditions for the integral representation of even positive-definite hyperbolically convex (h.c.) functions $k(x),$ $x\in H$. These functions are continuous in the $j$-topology. The positive defini...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2026
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8379 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1866663707021410304 |
|---|---|
| author | Lopotko, O. Лопотко, Олег |
| author_facet | Lopotko, O. Лопотко, Олег |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Олег Лопотко",
"institution": "Національний лісотехнічний університет, Львів"
}
] |
| author_sort | Lopotko, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-30T12:45:53Z |
| description | UDC 517.98
The paper consists of two parts. In the first part, we establish sufficient and necessary conditions for the integral representation of even positive-definite hyperbolically convex (h.c.) functions $k(x),$ $x\in H$. These functions are continuous in the $j$-topology. The positive definiteness of a function is understood in the pointwise sense. The analyzed theorem is a modified version of the Berezansky theorem presented in [Yu. M. Berezansky and I. M. Gali, Ukr. Mat. Zh., 24, № 4, 351–372 (1972)]. The integral representation for some other positive-definite kernels were considered in [O. V. Lopotko and I. I. Rudynskyi, Ukr. Mat. Zh., 34, № 3, 310–312 (1982)] and [O. V. Lopotko, Dop. Akad. Nauk Ukr., Ser. A, 8, 11–13 (1991)].
In the second part, we prove the integral representation for a family of commutative self-adjoint operators $\mathcal{A}_x$ connected by algebraic relations. For this purpose, we construct a rigging (chain) $H_{\kappa}=H_0\supset H_+=L_2\supset \mathcal{D}$ for $x\in H.$ Our proof is based on the integral representation of even positive-definite h.c. functions of infinitely many variables (see [Yu. M. Berezansky and Yu. G. Kondratyev, Spectral methods in infinite-dimensional analysis, Naukova Dumka, Kyiv (1988)] and [O. V. Lopotko, Bukov. Mat. Zh., 11, № 1, 26–38 (2023)]). Some other forms of generalizations of this kind were considered in [Yu. M. Berezansky and A. A. Kalyuzhny, Ukr. Mat. Zh., 36, № 4, 417–421 (1984); A. A. Kurepa, Canad. Math. J., 12, 45–50 (1960)]; and [Yu. S. Samoilenko, Spectral Theory of the Sets of Self-Adjoint Operators, Naukova Dumka, Kyiv (1984)]. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v78i5-6.8379 |
| first_indexed | 2026-05-30T01:00:42Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-8379 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-05-31T01:00:34Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-83792026-05-30T12:45:53Z Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators Парно додатно визначені гіперболічно опуклі функції в гільбертовому просторі. Зображення гільбертового простору самоспряженими операторами Lopotko, O. Лопотко, Олег integral representation, positively definite kernel, topology, rigging, operators UDC 517.98 The paper consists of two parts. In the first part, we establish sufficient and necessary conditions for the integral representation of even positive-definite hyperbolically convex (h.c.) functions $k(x),$ $x\in H$. These functions are continuous in the $j$-topology. The positive definiteness of a function is understood in the pointwise sense. The analyzed theorem is a modified version of the Berezansky theorem presented in [Yu. M. Berezansky and I. M. Gali, Ukr. Mat. Zh., 24, № 4, 351–372 (1972)]. The integral representation for some other positive-definite kernels were considered in [O. V. Lopotko and I. I. Rudynskyi, Ukr. Mat. Zh., 34, № 3, 310–312 (1982)] and [O. V. Lopotko, Dop. Akad. Nauk Ukr., Ser. A, 8, 11–13 (1991)]. In the second part, we prove the integral representation for a family of commutative self-adjoint operators $\mathcal{A}_x$ connected by algebraic relations. For this purpose, we construct a rigging (chain) $H_{\kappa}=H_0\supset H_+=L_2\supset \mathcal{D}$ for $x\in H.$ Our proof is based on the integral representation of even positive-definite h.c. functions of infinitely many variables (see [Yu. M. Berezansky and Yu. G. Kondratyev, Spectral methods in infinite-dimensional analysis, Naukova Dumka, Kyiv (1988)] and [O. V. Lopotko, Bukov. Mat. Zh., 11, № 1, 26–38 (2023)]). Some other forms of generalizations of this kind were considered in [Yu. M. Berezansky and A. A. Kalyuzhny, Ukr. Mat. Zh., 36, № 4, 417–421 (1984); A. A. Kurepa, Canad. Math. J., 12, 45–50 (1960)]; and [Yu. S. Samoilenko, Spectral Theory of the Sets of Self-Adjoint Operators, Naukova Dumka, Kyiv (1984)]. УДК 517.98 Стаття складається з двох частин. У першій частині доведено інтегральне зображення парно додатно визначених (п.д.в.) гіперболічно опуклих функцій $k(x),$ $x\in H.$ Ці функції неперервні в $j$-топології. П.д.в. функції будемо розуміти в точковому сенсі. Ця теорема є модифікацією теореми Ю. М. Березанського, наведеної в [Ю. М. Березанський, І. М. Галі, Укр. мат. журн., 24, № 4, 351–372 (1972)]. Інтегральні зображення для інших додатно визначених ядер розглянуто в [О. В. Лопотко, І. І. Рудинський, Укр. мат. журн., 34, № 3, 310–312 (1982)] та [О. В. Лопотко, Доп. АН України, Сер. А., 8, 11–13 (1991)]. У другій частині доведено інтегральне зображення гільбертового простору самоспряженими операторами $\mathcal{A}_x,$ які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями. Для цього сконструйовано ланцюжок $H_{\kappa}=H_0\supset H_+=L_2\supset \mathcal{D}$ для $x\in H.$ Доведення базується на інтегральному зображенні п.д.в. гіперболічно опуклих функцій нескінченної кількості змінних [Ю. М. Березанський, Ю. Г. Кондратьєв, Спектральнi методи в нескiнченновимiрному аналiзi, Наукова думка, Київ (1988); О. В. Лопотко, Буковин. мат. журн., 11, № 1, 26–38 (2023)]. Інші форми таких узагальнень розглянуто в роботах [Ю. М. Березанський, А. А. Калюжний, Укр. мат. журн., 36, № 4, 417–421 (1984); А. А. Курепа, Canad. Math. J., 12, 45–50 (1960); Ю. С. Самойленко, Спектральна теорія наборів самоспряжених операторів, Наукова думка, Київ (1984)]. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2026-05-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8379 10.3842/umzh.v78i5-6.8379 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 78 No. 5-6 (2026); 443–455 Український математичний журнал; Том 78 № 5-6 (2026); 443–455 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8379/10674 Copyright (c) 2026 Олег Лопотко |
| spellingShingle | Lopotko, O. Лопотко, Олег Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title | Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title_alt | Парно додатно визначені гіперболічно опуклі функції в гільбертовому просторі. Зображення гільбертового простору самоспряженими операторами |
| title_full | Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title_fullStr | Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title_full_unstemmed | Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title_short | Even positive-definite hyperbolically convex functions in a Hilbert space. Representations of Hilbert spaces by self-adjoint operators |
| title_sort | even positive-definite hyperbolically convex functions in a hilbert space. representations of hilbert spaces by self-adjoint operators |
| topic_facet | integral representation positively definite kernel topology rigging operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8379 |
| work_keys_str_mv | AT lopotkoo evenpositivedefinitehyperbolicallyconvexfunctionsinahilbertspacerepresentationsofhilbertspacesbyselfadjointoperators AT lopotkooleg evenpositivedefinitehyperbolicallyconvexfunctionsinahilbertspacerepresentationsofhilbertspacesbyselfadjointoperators AT lopotkoo parnododatnoviznačenígíperbolíčnoopuklífunkcíívgílʹbertovomuprostorízobražennâgílʹbertovogoprostorusamosprâženimioperatorami AT lopotkooleg parnododatnoviznačenígíperbolíčnoopuklífunkcíívgílʹbertovomuprostorízobražennâgílʹbertovogoprostorusamosprâženimioperatorami |