On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag

• Дата: 1971
• Автори: Feshchenko, S. F., Shkіl, N. I., Sоtnіchenkо, N. A., Фещенко, С. Ф., Шкиль, Н. И., Сотниченко, Н. А.
• Формат: Стаття
• Мова: Російська
• Опубліковано: Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1971
• Онлайн доступ: https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8500
• Назва журналу: Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

Рассматривается система $$\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2}=A_1(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}+\varepsilon A_2(\tau,x,\varepsilon) u(t,x)+$$ $$+\varepsilon A_3(\tau,x,\varepsilon)u(t-\Delta(\tau),x)+\varepsilon A_4(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+ \quad\quad\quad (1)$$ $$+\varepsilon A_5(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t-\eta(\tau),x)}{\partial t}+\varepsilon A_6(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial x}+\varepsilon g(\tau,x,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon)}$$ с начальными и граничными условиями вида $$u(t,x)=\varphi(t,x), \quad u_t(t,x)=\psi(t,x)$ для $-t_0≤t≤0,$$ $$u|_{x=0}=u|_{x=l}=0, \quad\quad\quad (2)$$ где $0≤\tau=\varepsilon t≤L$, $\varepsilon$ - малый параметр, $0≤x ≤l$, $\frac{\partial\theta}{\partial t}=\nu(\tau)>0$. $n$-Мерный вектор $g(\tau,x,\varepsilon)$ и действительные квадратные матрицы порядка $n \times n$ $A_k(\tau,x,\varepsilon)$ $(k=1,\dots,6)$ имеют представление в виде рядов по степеням $\varepsilon$. Система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида $$\frac{\partial q_m(t)}{\partial t}=H_m(\tau)q_m(t)+\varepsilon\sum_{k=1}^∞H_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t)+$$ $$+\varepsilon\sum_{k=1}^∞G_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t-\Delta(\tau))+ \varepsilon P_m(\tau,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon}, \quad\quad\quad (3)$$ где $q_m(t)$, $P_m(\tau,\varepsilon)$ - векторы размерности $2n$, $H_m(\tau)$, $H_{mk}(\tau,\varepsilon)$, $G_{mk}(\tau,\varepsilon)$ - квадратные матрицы порядка $2n$. В работе строится асимптотическое решение системы (3), когда корни характеристического уравнения $${\rm det}||H_m(\tau)-\lambda_m(\tau)E||=0 \quad\quad\quad (4)$$  ($E$— единичная матрица) и соответствующие им элементарные делители могут быть кратными, сохраняя при этом постоянную кратность. Рассматривается два случая: 1) «резонансный», когда функция $i\nu(\tau)$ при некоторых значениях $\tau\in[0,L]$ становится равной одному из кратных корней уравнения (4) и 2) «нерезонансный», когда $i\nu(\tau)$ при любом $\tau$ не совпадает ни с синим из корней уравнения (4). Приводятся оценки, указывающие на асимптотический характер построенных решений.