On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag
Рассматривается система $$\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2}=A_1(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}+\varepsilon A_2(\tau,x,\varepsilon) u(t,x)+$$ $$+\varepsilon A_3(\tau,x,\varepsilon)u(t-\Delta(\tau),x)+\varepsilon A_4(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial...
Gespeichert in:
| Datum: | 1971 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1971
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8500 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860513142196404224 |
|---|---|
| author | Feshchenko, S. F. Shkіl, N. I. Sоtnіchenkо, N. A. Фещенко, С. Ф. Шкиль, Н. И. Сотниченко, Н. А. |
| author_facet | Feshchenko, S. F. Shkіl, N. I. Sоtnіchenkо, N. A. Фещенко, С. Ф. Шкиль, Н. И. Сотниченко, Н. А. |
| author_sort | Feshchenko, S. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-27T08:50:10Z |
| description | Рассматривается система
$$\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2}=A_1(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}+\varepsilon A_2(\tau,x,\varepsilon) u(t,x)+$$
$$+\varepsilon A_3(\tau,x,\varepsilon)u(t-\Delta(\tau),x)+\varepsilon A_4(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+ \quad\quad\quad (1)$$
$$+\varepsilon A_5(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t-\eta(\tau),x)}{\partial t}+\varepsilon A_6(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial x}+\varepsilon g(\tau,x,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon)}$$
с начальными и граничными условиями вида
$$u(t,x)=\varphi(t,x), \quad u_t(t,x)=\psi(t,x)$ для $-t_0≤t≤0,$$
$$u|_{x=0}=u|_{x=l}=0, \quad\quad\quad (2)$$
где $0≤\tau=\varepsilon t≤L$, $\varepsilon$ - малый параметр, $0≤x ≤l$, $\frac{\partial\theta}{\partial t}=\nu(\tau)>0$. $n$-Мерный вектор $g(\tau,x,\varepsilon)$ и действительные квадратные матрицы порядка $n \times n$ $A_k(\tau,x,\varepsilon)$ $(k=1,\dots,6)$ имеют представление в виде рядов по степеням $\varepsilon$.
Система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида
$$\frac{\partial q_m(t)}{\partial t}=H_m(\tau)q_m(t)+\varepsilon\sum_{k=1}^∞H_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t)+$$
$$+\varepsilon\sum_{k=1}^∞G_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t-\Delta(\tau))+ \varepsilon P_m(\tau,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon}, \quad\quad\quad (3)$$
где $q_m(t)$, $P_m(\tau,\varepsilon)$ - векторы размерности $2n$, $H_m(\tau)$, $H_{mk}(\tau,\varepsilon)$, $G_{mk}(\tau,\varepsilon)$ - квадратные матрицы порядка $2n$.
В работе строится асимптотическое решение системы (3), когда корни характеристического уравнения
$${\rm det}||H_m(\tau)-\lambda_m(\tau)E||=0 \quad\quad\quad (4)$$
 ($E$— единичная матрица) и соответствующие им элементарные делители могут быть кратными, сохраняя при этом постоянную кратность.
Рассматривается два случая: 1) «резонансный», когда функция $i\nu(\tau)$ при некоторых значениях $\tau\in[0,L]$ становится равной одному из кратных корней уравнения (4) и 2) «нерезонансный», когда $i\nu(\tau)$ при любом $\tau$ не совпадает ни с синим из корней уравнения (4).
Приводятся оценки, указывающие на асимптотический характер построенных решений. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:39:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
0031
0032
0033
0034
0035
0036
0037
0038
0039
0040
0041
0042
0043
|
| id | umjimathkievua-article-8500 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:39:58Z |
| publishDate | 1971 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/b333337f00eb3f23e2c3b054b016368b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-85002024-06-27T08:50:10Z On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag Об асимптотическом представлении решений для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием по времени Feshchenko, S. F. Shkіl, N. I. Sоtnіchenkо, N. A. Фещенко, С. Ф. Шкиль, Н. И. Сотниченко, Н. А. Рассматривается система $$\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2}=A_1(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}+\varepsilon A_2(\tau,x,\varepsilon) u(t,x)+$$ $$+\varepsilon A_3(\tau,x,\varepsilon)u(t-\Delta(\tau),x)+\varepsilon A_4(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+ \quad\quad\quad (1)$$ $$+\varepsilon A_5(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t-\eta(\tau),x)}{\partial t}+\varepsilon A_6(\tau,x,\varepsilon) \frac{\partial u(t,x)}{\partial x}+\varepsilon g(\tau,x,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon)}$$ с начальными и граничными условиями вида $$u(t,x)=\varphi(t,x), \quad u_t(t,x)=\psi(t,x)$ для $-t_0≤t≤0,$$ $$u|_{x=0}=u|_{x=l}=0, \quad\quad\quad (2)$$ где $0≤\tau=\varepsilon t≤L$, $\varepsilon$ - малый параметр, $0≤x ≤l$, $\frac{\partial\theta}{\partial t}=\nu(\tau)>0$. $n$-Мерный вектор $g(\tau,x,\varepsilon)$ и действительные квадратные матрицы порядка $n \times n$ $A_k(\tau,x,\varepsilon)$ $(k=1,\dots,6)$ имеют представление в виде рядов по степеням $\varepsilon$. Система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида $$\frac{\partial q_m(t)}{\partial t}=H_m(\tau)q_m(t)+\varepsilon\sum_{k=1}^∞H_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t)+$$ $$+\varepsilon\sum_{k=1}^∞G_{mk}(\tau,\varepsilon)q_k(t-\Delta(\tau))+ \varepsilon P_m(\tau,\varepsilon) e^{i\theta(t,\varepsilon}, \quad\quad\quad (3)$$ где $q_m(t)$, $P_m(\tau,\varepsilon)$ - векторы размерности $2n$, $H_m(\tau)$, $H_{mk}(\tau,\varepsilon)$, $G_{mk}(\tau,\varepsilon)$ - квадратные матрицы порядка $2n$. В работе строится асимптотическое решение системы (3), когда корни характеристического уравнения $${\rm det}||H_m(\tau)-\lambda_m(\tau)E||=0 \quad\quad\quad (4)$$  ($E$— единичная матрица) и соответствующие им элементарные делители могут быть кратными, сохраняя при этом постоянную кратность. Рассматривается два случая: 1) «резонансный», когда функция $i\nu(\tau)$ при некоторых значениях $\tau\in[0,L]$ становится равной одному из кратных корней уравнения (4) и 2) «нерезонансный», когда $i\nu(\tau)$ при любом $\tau$ не совпадает ни с синим из корней уравнения (4). Приводятся оценки, указывающие на асимптотический характер построенных решений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1971-02-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8500 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 23 No. 2 (1971); 177-189 Український математичний журнал; Том 23 № 2 (1971); 177-189 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8500/10009 Copyright (c) 1971 S. F. Feshchenko, N. I. Shkіl, N. A. Sоtnіchenkо |
| spellingShingle | Feshchenko, S. F. Shkіl, N. I. Sоtnіchenkо, N. A. Фещенко, С. Ф. Шкиль, Н. И. Сотниченко, Н. А. On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title | On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title_alt | Об асимптотическом представлении решений для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием по времени |
| title_full | On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title_fullStr | On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title_full_unstemmed | On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title_short | On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| title_sort | on asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8500 |
| work_keys_str_mv | AT feshchenkosf onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT shkílni onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT sotníchenkona onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT feŝenkosf onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT škilʹni onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT sotničenkona onasymptoticrepresentationofsolutionsforasystemoflinearpartialdifferentialequationswithtimelag AT feshchenkosf obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni AT shkílni obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni AT sotníchenkona obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni AT feŝenkosf obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni AT škilʹni obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni AT sotničenkona obasimptotičeskompredstavleniirešenijdlâsistemylinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhszapazdyvaniempovremeni |