Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis
UDC 517.5 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2025
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: | |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860513156728619008 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_facet | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_sort | Kofanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-11-02T09:32:47Z |
| description | UDC 517.5
We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ where $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R}, \ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ the number $\omega$ satisfies the condition $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$  $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ and $\varphi_{ r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha},  \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}  \end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \big\},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain the sharp inequality of the form (1).
We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of the Bernstein type.  As a consequence, we prove sharp inequalities of the indicated  type for polynomials and splines. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v77i1.8538 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:40:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Skip to main content
Skip to main navigation menu
Skip to site footer
Open Menu
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Current
Archives
Submissions
Major topics of interest
About
About Journal
Editorial Team
Ethics & Disclosures
Contacts
Search
Register
Login
Home
/
Login
Login
Required fields are marked with an asterisk: *
Subscription required to access item. To verify subscription, log in to journal.
Login
Username or Email
*
Required
Password
*
Required
Forgot your password?
Keep me logged in
Login
Register
Language
English
Українська
Information
For Readers
For Authors
For Librarians
subscribe
Subscribe
Latest publications
Make a Submission
Make a Submission
STM88 menghadirkan Link Gacor dengan RTP tinggi untuk peluang menang yang lebih sering! Bergabunglah sekarang dan buktikan keberuntungan Anda!
Pilih STM88 sebagai agen toto terpercaya Anda dan nikmati kenyamanan bermain dengan sistem betting cepat, result resmi, dan bonus cashback harian.
|
| id | umjimathkievua-article-8538 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:40:12Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/82/40c4ddd3ab0e0fb2eccf2ba109af8382 |
| spelling | umjimathkievua-article-85382025-11-02T09:32:47Z Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis Задача Боянова–Найдьонова та нерівності колмогоровського типу для функцій на дійсній осі Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Boyanov-Naidenov problem Kolmogorov type inequality trigonometric polynomials and splines Sobolev classes Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type Задача Боянова-Найдьонова, нерівності колмогоровського типу тригонометричних поліноми та сплайнив соболевські класи Задача Боянова-Найдьонова та нерівності колмогоровського типу UDC 517.5 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ where $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R}, \ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ the number $\omega$ satisfies the condition $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$  $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ and $\varphi_{ r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha},  \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}  \end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \big\},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain the sharp inequality of the form (1). We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of the Bernstein type.  As a consequence, we prove sharp inequalities of the indicated  type for polynomials and splines. УДК 517.5 Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ на класах функцій $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r)\!:=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ де $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ а $\omega$ вибрано за умовою $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$ $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ $\varphi_{ r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності колмогоровського типу \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}\end{gather} де $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0.$ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}$ нерівності вигляду (1). Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів та сплайнів і одержано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями бернштейнівського типу. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2025-10-31 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 10.3842/umzh.v77i1.8538 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 77 No. 1 (2025); 14 - 27 Український математичний журнал; Том 77 № 1 (2025); 14 - 27 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538/10304 Copyright (c) 2025 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_alt | Задача Боянова–Найдьонова та нерівності колмогоровського типу для функцій на дійсній осі |
| title_full | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_fullStr | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_full_unstemmed | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_short | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_sort | boyanov–naidenov problem and the kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| topic_facet | Boyanov-Naidenov problem Kolmogorov type inequality trigonometric polynomials and splines Sobolev classes Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type Задача Боянова-Найдьонова, нерівності колмогоровського типу тригонометричних поліноми та сплайнив соболевські класи Задача Боянова-Найдьонова та нерівності колмогоровського типу |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovv boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovvladimiraleksandrovič boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovvolodimir boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovv zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí AT kofanovvladimiraleksandrovič zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí AT kofanovvolodimir zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí |