Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis
UDC 517.5 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2025
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1865794704995516416 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_facet | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Володимир Кофанов",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Kofanov, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-11-02T09:32:47Z |
| description | UDC 517.5
We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ where $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R}, \ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ the number $\omega$ satisfies the condition $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$  $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ and $\varphi_{ r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha},  \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}  \end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \big\},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain the sharp inequality of the form (1).
We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of the Bernstein type.  As a consequence, we prove sharp inequalities of the indicated  type for polynomials and splines. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v77i1.8538 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:40:12Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | umjimathkievua-article-8538 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:40:12Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | |
| spelling | umjimathkievua-article-85382025-11-02T09:32:47Z Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis Задача Боянова–Найдьонова та нерівності колмогоровського типу для функцій на дійсній осі Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Boyanov-Naidenov problem Kolmogorov type inequality trigonometric polynomials and splines Sobolev classes Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type Задача Боянова-Найдьонова, нерівності колмогоровського типу тригонометричних поліноми та сплайнив соболевські класи Задача Боянова-Найдьонова та нерівності колмогоровського типу UDC 517.5 We solve the Boyanov–Naidenov problem $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ on the classes of functions $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r):=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ where $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R}, \ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ the number $\omega$ satisfies the condition $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$  $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ and $\varphi_{ r}$ is the ideal Euler spline of order $r.$ In addition, we prove that the Boyanov–Naidenov problem is equivalent to the problem of sharp constant $C = C(\lambda)$ in the Kolmogorov-type inequality \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha},  \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}  \end{gather} where $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \big\},$ and $\lambda > 0.$ In particular, we obtain the sharp inequality of the form (1). We also solve the Boyanov–Naidenov problem in the spaces of trigonometric polynomials and splines and establish the theorems on the relationship between this problem and sharp inequalities of the Bernstein type.  As a consequence, we prove sharp inequalities of the indicated  type for polynomials and splines. УДК 517.5 Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ на класах функцій $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r)\!:=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ де $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ а $\omega$ вибрано за умовою $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$ $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ $\varphi_{ r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності колмогоровського типу \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}\end{gather} де $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0.$ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}$ нерівності вигляду (1). Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів та сплайнів і одержано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями бернштейнівського типу. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2025-10-31 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 10.3842/umzh.v77i1.8538 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 77 No. 1 (2025); 14 - 27 Український математичний журнал; Том 77 № 1 (2025); 14 - 27 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538/10304 Copyright (c) 2025 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, Володимир Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_alt | Задача Боянова–Найдьонова та нерівності колмогоровського типу для функцій на дійсній осі |
| title_full | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_fullStr | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_full_unstemmed | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_short | Boyanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| title_sort | boyanov–naidenov problem and the kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis |
| topic_facet | Boyanov-Naidenov problem Kolmogorov type inequality trigonometric polynomials and splines Sobolev classes Boyanov-Naydenov problem and Kolmogorov-type Задача Боянова-Найдьонова, нерівності колмогоровського типу тригонометричних поліноми та сплайнив соболевські класи Задача Боянова-Найдьонова та нерівності колмогоровського типу |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8538 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovv boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovvladimiraleksandrovič boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovvolodimir boyanovnaidenovproblemandthekolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsontherealaxis AT kofanovv zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí AT kofanovvladimiraleksandrovič zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí AT kofanovvolodimir zadačaboânovanajdʹonovatanerívnostíkolmogorovsʹkogotipudlâfunkcíjnadíjsníjosí |