Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations
UDC 517.956 We prove the unique solvability and obtain an explicit expression for the classical solution of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations.  
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/870 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507223952719872 |
|---|---|
| author | Aldashev, S. A. Алдашев , С. А. Алдашев, С. А. |
| author_facet | Aldashev, S. A. Алдашев , С. А. Алдашев, С. А. |
| author_sort | Aldashev, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:16:52Z |
| description | UDC 517.956
We prove the unique solvability and obtain an explicit expression for the classical solution of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations.
  |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Казах. нац. пед. ун-т им. Абая, Алматы)
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
We prove the unique solvability and obtain an explicit expression for the classical solution of a mixed problem in a
cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations.
Показано однозначну розв’язнiсть i отримано явний вигляд класичного розв’язку мiшаної задачi для одного класу
багатовимiрних гiперболо-параболiчних рiвнянь.
Введение. Смешанная задача в цилиндрической области для многомерных гиперболических
уравнений в обобщенных пространствах исследованa в [1, 2]. В [3] доказана корректность этой
задачи и получен явный вид классического решения.
Насколько известно автору, эти вопросы для многомерных гиперболо-параболических урав-
нений не изучены.
В данной работе показана однозначная разрешимость и получено явное представление клас-
сического решения смешанной задачи для одного класса многомерных гиперболо-параболиче-
ских уравнений.
1. Постановка задачи. Пусть \Omega \alpha \beta — цилиндрическая область евклидова пространства
Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), ограниченная цилиндром \Gamma = \{ (x, t) : t| x| = 1\} , плоскостями
t = \alpha > 0 и t = \beta < 0, где | x| — длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через \Omega \alpha и \Omega \beta части области \Omega \alpha \beta , а через \Gamma \alpha и \Gamma \beta части поверхности \Gamma ,
лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0; \sigma \alpha — верхнее, а \sigma \beta — нижнее основание облас-
ти \Omega \alpha \beta .
Пусть далее S — общая часть границ областей \Omega \alpha , \Omega \beta , представляющaя множество \{ t =
= 0, 0 < | x| < 1\} в Em .
В области \Omega \alpha \beta рассмотрим многомерные гиперболо-параболические уравнения
0 =
\left\{
\Delta xu - utt +
m\sum
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u, t > 0,
\Delta xu - ut +
m\sum
i=1
di(x, t)uxi + e(x, t)u, t < 0,
(1)
где \Delta x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm , m \geq 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сферическим
r, \theta 1, . . . , \theta m - 1, t, r \geq 0, 0 \leq \theta i \leq \pi , i = 2, 3, . . . ,m - 1, 0 \leq \theta 1 < 2\pi , \theta = (\theta 1, . . . , \theta m - 1).
c\bigcirc С. А. АЛДАШЕВ, 2020
280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 281
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области \Omega \alpha \beta при t \not = 0 из класса C(\=\Omega \alpha \beta ) \cap
\cap C1(\Omega \alpha \beta ) \cap C1(\=\Omega \alpha ) \cap C2(\Omega \alpha \cup \Omega \beta ), удовлетворяющее краевым условиям
u
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= \psi 1(t, \theta ), (2)
u
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \beta
= \psi 2(t, \theta ), u
\bigm| \bigm| \bigm|
\sigma \beta
= \varphi (r, \theta ), (3)
при этом \psi 1(0, \theta ) = \psi 2(0, \theta ), \psi 2(\beta , \theta ) = \varphi (1, \theta ).
Пусть
\bigl\{
Y k
n,m(\theta )
\bigr\}
— система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 \leq
\leq k \leq kn , (m - 2)!n!kn = (n + m - 3)!(2n + m - 2), W l
2(S), l = 0, 1, . . . , — пространства
Соболева.
Справедлива следующая лемма [4].
Лемма 1. Пусть функция f(r, \theta ) принадлежит W l
2(S). Если l \geq m - 1, то ряд
f(r, \theta ) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
fkn(r)Y
k
n,m(\theta ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p \leq l - m + 1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы функция f(r, \theta ) принадлежала W l
2(S), необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
| f10 (r)| \leq c1,
\infty \sum
n=1
kn\sum
k=1
n2l| fkn(r)| 2 \leq c2, c1, c2 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Обозначим через \widetilde dkin(r, t), dkin(r, t), \widetilde ekn(r, t), \widetilde dkn(r, t), \rho kn, \varphi k
n(r), \psi
k
1n(t), \psi
k
2n(t) коэффи-
циенты ряда (4), соответственно, функций di(r, \theta , t)\rho , di
xi
r
\rho , e(r, \theta , t)\rho , d(r, \theta , t)\rho , \rho (\theta ), i =
= 1, . . . ,m, \varphi (r, \theta ), \psi 1(t, \theta ), \psi 2(t, \theta ), причем \rho (\theta ) \in C\infty (H), H — единичная сфера в Em.
Пусть ai(r, \theta , t), b(r, \theta , t), c(r, \theta , t) \in W l
2(\Omega \alpha ) \subset C(\Omega \alpha ), di(r, \theta , t), e(r, \theta , t) \in W l
2(\Omega \beta ),
i = 1, . . . ,m, l \geq m+ 1, e(r, \theta , t) \leq 0 \forall (r, \theta , t) \in \Omega \beta .
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если \varphi (r, \theta ) \in W p
2 (S), \psi 1(t, \theta ) \in W p
2 (\Gamma \alpha ), \psi 2(t, \theta ) \in W p
2 (\Gamma \beta ), p >
3m
2
, то
задача 1 однозначно разрешима.
2. Разрешимость задачи 1. В сферических координатах уравнениe (1) в области \Omega \beta имеет
вид
L1u \equiv urr +
m - 1
r
ur -
1
r2
\delta u - ut +
m\sum
i=1
di(r, \theta , t)uxi + e(r, \theta , t)u = 0,
\delta \equiv -
m - 1\sum
j=1
1
gj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
m - j - 1 \theta j
\partial
\partial \theta j
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m - j - 1 \theta j
\partial
\partial \theta j
\biggr)
, g1 = 1, gj = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 1 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta j - 1)
2, j > 1.
(5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
282 С. А. АЛДАШЕВ
Известно [4], что спектр оператора \delta состоит из собственных чисел \lambda n = n(n + m —
- 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных
функций Y k
n,m(\theta ).
Искомое решение задачи (1), (3) в области \Omega \beta будем искать в виде
u(r, \theta , t) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\=ukn(r, t)Y
k
n,m(\theta ), (6)
где \=ukn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (6) в (5), умножая полученное выражение на \rho (\theta ) \not = 0 и интегрируя по единич-
ной сфере H, для ukn получаем [3, 5]
\rho 10\=u
1
0rr - \rho 10\=u
1
0t +
\Biggl(
m - 1
r
\rho 10 +
m\sum
i=1
d1i0
\Biggr)
\=u10r + \~e10\=u
1
0+
+
\infty \sum
n=1
kn\sum
k=1
\Biggl\{
\rho kn\=u
k
nrr - \rho kn\=u
k
nt +
\Biggl(
m - 1
r
\rho kn +
m\sum
i=1
dkin
\Biggr)
\=uknr+
+
\Biggl[
\~ekn - \lambda n
\rho kn
r2
+
m\sum
i=1
( \~dkin - 1 - ndkn)
\Biggr]
\=ukn
\Biggr\}
= 0. (7)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
\rho 10\=u
1
0rr - \rho 10\=u
1
0t +
m - 1
r
\rho 10\=u
1
0r = 0, (8)
\rho k1\=u
k
1rr - \rho k1\=u
k
1t +
m - 1
r
\rho k1\=u
k
1r -
\lambda 1
r2
\rho k1\=u
k
1 =
= - 1
k1
\Biggl(
m\sum
i=1
d1i0\=u
1
0r + \~e10\=u
1
0
\Biggr)
, n = 1, k = 1, k1, (9)
\rho kn\=u
k
nrr - \rho kn\=u
k
nt +
m - 1
r
\rho kn\=u
k
nr -
\lambda n
r2
\rho kn\=u
k
n = - 1
kn
kn - 1\sum
k=1
\Biggl\{
m\sum
i=1
dkin - 1\=u
k
n - 1r+
+
\Biggl[
\~ekn - 1 +
m\sum
i=1
( \~dkin - 2 - (n - 1)dkin - 1)
\Biggr]
\=ukn - 1
\Biggr\}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (10)
Нетрудно убедиться, что если
\bigl\{
\=ukn
\bigr\}
, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . , — решение системы (8) – (10), то
оно является решением уравнения (7).
Следует заметить, что каждое уравнение системы (8) – (10) можно представить в виде
\=uknrr - \=uknt +
m - 1
r
\=uknr -
\lambda n
r2
\=ukn = \=fkn(r, t), (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 283
где \=fkn(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, причем \=f10 (r, t) \equiv 0.
Далее, из краевого условия (3) в силу (6) имеем
\=ukn(r, \beta ) = \=\varphi k
2n(r), \=ukn(1, t) = \psi k
2n(t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (12)
Выполняя в (11), (12) замену переменных \=\upsilon kn(r, t) = \=ukn(r, t) - \psi k
2n(t), получаем
\=\upsilon knrr +
m - 1
r
\=\upsilon knr - \=\upsilon knt -
\lambda n
r2
\=\upsilon kn = fkn(r, t), (13)
\=\upsilon kn(r, \beta ) = \varphi k
n(r), \=\upsilon kn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (14)
fkn(r, t) =
\=fkn(r, t) + \psi k
2nt +
\lambda n
r2
\psi k
2n, \varphi k
2n(r) = \=\varphi k
n(r) - \psi k
2n(\beta ).
Выполняя замену \=\upsilon kn(r, t) = r
1 - m
2 \upsilon kn(r, t), задачу (13), (14) сводим к задаче
L\upsilon kn \equiv \upsilon knrr - \upsilon knt +
\=\lambda n
r2
\upsilon kn = \~fkn(r, t), (15)
\upsilon kn(r, \beta ) = \~\varphi k
n(r), \upsilon kn(1, t) = 0, (16)
\=\lambda n =
(m - 1)(3 - m) - 4\lambda n
4
, \widetilde fkn(r, t) = r
m - 1
2 fkn(r, t), \~\varphi k
n(r) = r
m - 1
2 \varphi k
n(r).
Решение задачи (15), (16) ищем в виде
\upsilon kn(r, t) = \upsilon k1n(r, t) + \upsilon k2n(r, t), (17)
где \upsilon k1n(r, t) — решение задачи
L\upsilon k1n = \widetilde fkn(r, t), (18)
\upsilon k1n(r, \beta ) = 0, \upsilon k1n(1, t) = 0, (19)
а \upsilon k2n(r, t) — решение задачи
L\upsilon k2n = 0, (20)
\upsilon k2n(r, \beta ) = \~\varphi k
n(r), \upsilon k2n(1, t) = 0. (21)
Решение указанных выше задач рассмотрим в виде
\upsilon kn(r, t) =
\infty \sum
s=1
Rs(r)Ts(t), (22)
при этом пусть
\~fkn(r, t) =
\infty \sum
s=1
as,n(t)Rs(r), \~\varphi k
n(r) =
\infty \sum
s=1
bs,nRs(r). (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
284 С. А. АЛДАШЕВ
Подставляя (22) в (18), (19), с учетом (23) получаем
Rsrr +
\lambda n
r2
Rs + \mu Rs = 0, 0 < r < 1, (24)
Rs(1) = 0, | Rs(0)| <\infty , (25)
Tst + \mu Ts(t) = - as,n(t), \beta < t < 0, (26)
Ts(\beta ) = 0. (27)
Ограниченным решением задачи (24), (25) является следующее [6]:
Rs(r) =
\surd
rJ\nu (\mu s,nr), (28)
где \nu = n+
m - 2
2
, \mu = \mu 2s,n.
Общим решением уравнения (26), (27) является решение
Ts,n(t) =
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \mu 2s,nt)
\bigr) \beta \int
t
aks,n(\xi )(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu
2
s,n\xi )d\xi . (29)
Подставляя (28) в (23), находим
r -
1
2 \~fkn(r, t) =
\infty \sum
s=1
aks,n(t)J\nu (\mu s,nr), r -
1
2 \~\varphi k
n(r) =
\infty \sum
s=1
bks,nJ\nu (\mu s,nr), 0 < r < 1. (30)
Ряды (30) — разложения в ряды Фурье – Бесселя [7], если
aks,n(t) = 2[J\nu +1(\mu s,n)]
- 2
1\int
0
\sqrt{}
\xi \~fkn(\xi , t)J\nu (\mu s,n\xi )d\xi , (31)
bks,n = 2[J\nu +1(\mu s,n)]
- 2
1\int
0
\sqrt{}
\xi \~\varphi k
n(\xi )J\nu (\mu s,n\xi )d\xi , (32)
где \mu s,n, s = 1, 2, . . . , — положительные нули функций Бесселя J\nu (z), расположенные в по-
рядке возрастания их величин.
Из (22), (28), (29) получаем решение задачи (18), (19):
\upsilon k1n(r, t) =
\infty \sum
s=1
\surd
rTs,n(t)J\nu (\mu s,nr), (33)
где aks,n(t) определяются из (31).
Далее, подставляя (22) в (20), (21), с учетом (23) получаем уравнение
Tst + \mu 2s,nTs = 0, \beta < t < 0, Ts(\beta ) = bks,n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 285
решением которого является
Ts,n(t) = bks,n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu
2
s,n(\beta - t). (34)
Из (28), (34) находим
\upsilon k2n(r, t) =
\infty \sum
s=1
bks,n
\surd
r(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu 2s,n(\beta - t))J\nu (\mu s,nr), (35)
где bks,n определяются из (32).
Следовательно, решая сначала задачу (8), (12) (при n = 0), а затем (9), (12) (при n = 1)
и т. д., находим последовательно все \upsilon kn(r, t) из (17), где \upsilon k1n(r, t), \upsilon
k
2n(r, t), k = 1, kn, n =
= 0, 1, . . . , определяются из (33) и (35).
Итак, в области \Omega \beta справедливо равенство\int
H
\rho (\theta )L1udH = 0. (36)
Пусть f(r, \theta , t) = R(r)\rho (\theta )T (t), причем R(r) \in V0, V0 плотна в L2((0, 1)), \rho (\theta ) \in C\infty (H)
плотна в L2(H), а T (t) \in V1, V1 плотна в L2((\beta , 0)). Тогда f(r, \theta , t) \in V, V = V0 \otimes H \otimes V1
плотна в L2(\Omega \beta ) [8]. Отсюда и из (36) следует, что\int
\Omega \beta
f(r, \theta , t)L1ud\Omega \beta = 0
и
L1u = 0 \forall (r, \theta , t) \in \Omega \beta .
Таким образом, решением задачи (1), (3) в области \Omega \beta является функция
u(r, \theta , t) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\biggl\{
\psi k
2n(t) + r
1 - m
2
\Bigl[
\upsilon k1n(r, t) + \upsilon k2n(r, t)
\Bigr] \biggr\}
Y k
n,m(\theta ), (37)
где \upsilon k1n(r, t), \upsilon
k
2n(r, t) определяются из (33), (35).
Учитывая формулу [7] 2J \prime
\nu (z) = J\nu - 1(z) - J\nu +1(z), оценки [4, 9]
J\nu (z) =
\sqrt{}
2
\pi z
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
z - \pi
2
\nu - \pi
4
\Bigr)
+ o
\biggl(
1
z3/2
\biggr)
, \nu \geq 0,
| kn| \leq c1n
m - 2,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial q\partial \theta qj Y k
n,m(\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c2n
m
2 - 1+q, j = 1,m - 1, q = 0, 1, . . . ,
(38)
а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции \psi 2(t, \theta ),
\varphi (r, \theta ), как в [10], можно доказать, что полученное решение (37) принадлежит классу C(\=\Omega \beta )\cap
\cap C1(\Omega \beta \cup S) \cap C2(\Omega \beta ).
Далее, из (33), (35) и (37) при t\rightarrow - 0 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
286 С. А. АЛДАШЕВ
u(r, \theta , 0) = \tau (r, \theta ) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\tau kn(r)Y
k
n,m(\theta ),
\tau kn(r) = \psi k
2n(0) +
\infty \sum
s=1
r
2 - m
2
\left[ \beta \int
0
aks,n(\xi )
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu 2s,n\xi
\bigr)
d\xi + bks,n
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu 2s,n\beta
\bigr) \right] Jn+m - 2
2
(\mu sr), (39)
ut(r, \theta , 0) = \nu (r, \theta ) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\nu kn(r)Y
k
n,m(\theta ), (40)
\nu kn(r) = \psi k
2nt(0) +
\infty \sum
s=1
r
2 - m
2 \times
\times
\left[ as,n(0) + \mu 2s,nb
k
s,n(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu
2
s,n\beta ) + \mu 2s,n
\beta \int
0
aks,n(\xi )
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mu 2s,n\xi
\bigr)
d\xi
\right] Jn+m - 2
2
(\mu s,nr).
Из (31) – (33), (35), а также из лемм 1, 2 следует, что \tau (r, \theta ), \nu (r, \theta ) \in W l
2(S), l >
3m
2
.
Таким образом, учитывая краевые условия (2), (39), (40), получаем в области \Omega \alpha смешанную
задачу для гиперболических уравнений
L2u \equiv \Delta xu - utt +
m\sum
i=1
ai(r, \theta , t)uxi + b(r, \theta , t)ut + c(r, \theta , t)u = 0 (41)
с данными
u
\bigm| \bigm| \bigm|
S
= \tau (r, \theta ), ut
\bigm| \bigm| \bigm|
S
= \nu (r, \theta ), u
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= \psi 1(r, \theta ). (42)
В [3] доказана следующая теорема.
Теорема 2. Если \tau (r, \theta ), \nu (r, \theta ) \in W l
2(S), \psi 1(t, \theta ) \in W l
2(\Gamma \alpha ), l >
3m
2
, то задача (41), (42)
имеет единственное решение.
Далее, используя теорему 2, приходим к разрешимости задачи 1.
3. Единственность решения задачи 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (3) в области \Omega \beta
и докажем единственность ее решения. Для этого построим решение первой краевой задачи
для уравнения
L\ast
1\upsilon \equiv \Delta x\upsilon + \upsilon t -
m\sum
i=1
di\upsilon xi + d\upsilon = 0 (5\prime )
с данными
\upsilon
\bigm| \bigm|
S
= \tau (r, \theta ) = \=\tau kn(r)Y
k
n,m(\theta ), \upsilon
\bigm| \bigm|
\Gamma \beta
= 0, (43)
где d(x, t) = e -
\sum m
i=1
dixi , \=\tau
k
n(r) \in G, G — множество функций \tau (r) из класса C ([0, 1]) \cap
\cap C1 ((0, 1)). Множество G плотно всюду в L2 ((0, 1)) [8]. Решение задачи (5\prime ), (43) будем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 287
искать в виде (6), где функции \=\upsilon kn(r, t) будут определены ниже. Тогда, как и в п. 2, функции
\=\upsilon kn(r, t) удовлетворяют системе уравнений вида (8) – (10), где \~dkin, d
k
in заменены соответственно
на - \~dkin, - dkin, а \~ekn — на \~dkn , i = 1, . . . ,m, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Далее, из краевого условия (43) в силу (6) приходим к следующей задаче:
L\upsilon kn \equiv \upsilon knrr + \upsilon knt +
\lambda n
r2
\upsilon kn = \widetilde fkn(r, t), (44)
\upsilon kn(r, 0) = \tau kn(r), \upsilon kn(1, t) = 0, (45)
\upsilon kn(r, t) = r
m - 1
2 \=\upsilon kn(r, t),
\widetilde fkn(r, t) = r
m - 1
2 \=fkn(r, t), \tau kn(r) = r
m - 1
2 \=\tau kn(r).
Задача (44), (45) решается так же, как задачa (15), (16).
Таким образом, построено решение задачи (5\prime ), (43) в виде ряда
\upsilon (r, \theta , t) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
r
1 - m
2 \upsilon kn(r, t)Y
k
n,m(\theta ),
которое в силу (38) принадлежит классу C(\=\Omega \beta ) \cap C1(\Omega \beta \cup S) \cap C2(\Omega \beta ).
В результате интегрирования по области \Omega \beta тождества [11]
\upsilon L1u - uL\ast
1\upsilon = - \upsilon P (u) + uP (\upsilon ) - u\upsilon Q,
где
P (u) =
m\sum
i=1
uxi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
, Q = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , t
\Bigr)
-
m\sum
i=1
ai \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
,
а N\bot — внутренняя нормаль к границе \partial \Omega \beta , по формуле Грина получаем\int
S
\tau (r, \theta )u(r, \theta , 0)ds = 0. (46)
Поскольку линейная оболочка системы функций \{ \=\tau kn(r)Y k
n,m(\theta )\} плотна в L2(S) [8], то из
(46) заключаем, что u(r, \theta , 0) = 0 \forall (r, \theta ) \in S. Следовательно, по принципу экстремума для
уравнений (5) [12] u \equiv 0 в \Omega \beta . Отсюда следует, что ut(r, \theta , 0) = \nu (r, \theta ) = 0 \forall (r, \theta ) \in S.
Таким образом, мы пришли к однородной смешанной задаче (41), (42), которая в силу теоре-
мы 2 имеет тривиальное решение. Следовательно, единственность решения задачи 1 доказана.
Поскольку в [3] получен явный вид решения задачи (41), (42), то можно записать явное
представление и для задачи 1.
Литература
1. О. А. Ладыженская, Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехиздат, Москва (1953).
2. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, Москва (1973).
3. С. А. Алдашев, Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым
оператором, Укр. мат. журн., 69, № 7, 992 – 999 (2017).
4. С. Г. Михлин, Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Физматгиз, Москва (1962).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
288 С. А. АЛДАШЕВ
5. С. А. Алдашев, О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений, Дифференц.
уравнения, 34, № 1, 64 – 68 (1988).
6. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, Москва (1965).
7. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 2, Наука, Москва (1974).
8. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва (1976).
9. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, Москва (1966).
10. С. А. Алдашев, Корректность задачи Дирихле для одного класса многомерных гиперболо-параболических
уравнений, Укр. мат. вестн., 10, № 2, 147 – 157 (2013).
11. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 4, Наука, Москва (1981).
12. А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, Москва (1968).
Получено 10.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-870 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:54Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c0/68c41bc448ca0ce9d143de88362c89c0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-8702020-04-07T12:16:52Z Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations Корректность смешанной задачи в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-параболических уравнений Коректність змішаної задачі в циліндричній області для одного класу багатовимірних гіперболо-параболічних рівнянь Aldashev, S. A. Алдашев , С. А. Алдашев, С. А. змішана задача циліндрична область гіперболо-параболічні рівняння класичне рішення сферичні функції mixed problem cylindrical domain hyperbolic-parabolic equations classical solution spherical functions UDC 517.956 We prove the unique solvability and obtain an explicit expression for the classical solution of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations. &nbsp; УДК 517.956 Показано однозначну розв’язнiсть i отримано явний вигляд класичного розв’язку мiшаної задачi для одного класу багатовимiрних гiперболо-параболiчних рiвнянь. УДК 517.956 Показано однозначну розв’язнiсть i отримано явний вигляд класичного розв’язку мiшаної задачi для одного класу багатовимiрних гiперболо-параболiчних рiвнянь. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/870 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 280-288 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 280-288 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/870/1556 |
| spellingShingle | Aldashev, S. A. Алдашев , С. А. Алдашев, С. А. Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title | Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title_alt | Корректность смешанной задачи в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-параболических уравнений Коректність змішаної задачі в циліндричній області для одного класу багатовимірних гіперболо-параболічних рівнянь |
| title_full | Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title_fullStr | Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title_full_unstemmed | Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title_short | Well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| title_sort | well-posedness of a mixed problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-parabolic equations |
| topic_facet | змішана задача циліндрична область гіперболо-параболічні рівняння класичне рішення сферичні функції mixed problem cylindrical domain hyperbolic-parabolic equations classical solution spherical functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/870 |
| work_keys_str_mv | AT aldashevsa wellposednessofamixedprobleminacylindricaldomainforoneclassofmultidimensionalhyperbolicparabolicequations AT aldaševsa wellposednessofamixedprobleminacylindricaldomainforoneclassofmultidimensionalhyperbolicparabolicequations AT aldaševsa wellposednessofamixedprobleminacylindricaldomainforoneclassofmultidimensionalhyperbolicparabolicequations AT aldashevsa korrektnostʹsmešannojzadačivcilindričeskojoblastidlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloparaboličeskihuravnenij AT aldaševsa korrektnostʹsmešannojzadačivcilindričeskojoblastidlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloparaboličeskihuravnenij AT aldaševsa korrektnostʹsmešannojzadačivcilindričeskojoblastidlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloparaboličeskihuravnenij AT aldashevsa korektnístʹzmíšanoízadačívcilíndričníjoblastídlâodnogoklasubagatovimírnihgíperboloparabolíčnihrívnânʹ AT aldaševsa korektnístʹzmíšanoízadačívcilíndričníjoblastídlâodnogoklasubagatovimírnihgíperboloparabolíčnihrívnânʹ AT aldaševsa korektnístʹzmíšanoízadačívcilíndričníjoblastídlâodnogoklasubagatovimírnihgíperboloparabolíčnihrívnânʹ |