Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups
-
Saved in:
| Date: | 1988 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1988
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9136 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860513412896784384 |
|---|---|
| author | Charin , V. S. Zaitsev , D. I. Чарин , В. С. Зайцев , Д. И. |
| author_facet | Charin , V. S. Zaitsev , D. I. Чарин , В. С. Зайцев , Д. И. |
| author_sort | Charin , V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-04-02T13:00:38Z |
| description | - |
| first_indexed | 2026-03-24T03:44:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
У Д К 519.41/47
B. С. Ч а р и н, Д. И. За й ц е в
Группы с условиями конечности
и другими ограничениями для подгрупп
Изучение групп по заданным свойствам подгрупп — традиционный подход
теории групп к выяснению особенностей строения абстрактных групп, к их
описанию. Такой подход к исследованию конечных групп стал складывать-
ся еще к началу нашего века. Изучение же бесконечных групп по заданным
свойствам их подгрупп (или, как сейчас говорим, изучение групп с огра-
ничениями для подгрупп) началось несколько позднее. Первоначально ог-
раничения, налагаемые на подгруппы бесконечных групп, имели в основ-
ном характер условий конечности. Наложение условий конечности позво-
ляет выделять такие бесконечные группы, которые сохраняют те или иные
свойства конечных групп.
Одним из первых шагов в этом направлении явилось изучение абелевых
групп с условием минимальности для подгрупп. В работах [1, 2] было пол-
ностью выяснено строение таких групп и установлен ряд их свойств, анало-
гичных известным свойствам конечных абелевых групп. Эти исследования
касались, однако, только абелевых групп. Отдельные примеры использова-
ния условий конечности для выделения произвольных (как абелевых, так
и неабелевых) бесконечных групп встречаются в работах [3, 4].
Систематическое изучение бесконечных групп с условиями конечности
началось в конце тридцатых годов в работах С. Н. Черникова [5—7]. Вско-
ре в изучение таких групп включились многие известные алгебраисты
(О. Ю. Шмидт, А. И. Мальцев, А. Г. Курош, Бэр и др.). Углубляясь и рас-
ширяясь как в работах С. Н. Черникова и его многочисленных учеников
(В. М. Глушков, М. И. Каргаполов, X. X. Мухаммеджан, В. С. Чарин и
др.), так и в работах других советских, а также зарубежных алгебраистов,
исследования бесконечных групп с теми или иными условиями конечности
обогатили теорию групп многими новыми понятиями, идеями и связанными
с ними глубокими результатами, а также существенно расширили базу
теории групп, пополнив ее новыми детально изученными конкретными вида-
ми бесконечных групп. По существу в теории групп появилась большая со-
держательная новая область исследований. Особая роль принадлежит здесь
C. Н. Черникову, инициатива и творческий вклад которого в значительной
мере определили направление исследований в этой области.
Условиями конечности определился естественный подход к изучению
групп, находящихся на стыке конечных групп с бесконечными. Достаточ-
но отчетливое представление о развитии исследований, относящихся к
группам с условиями конечности, в течение 1939—1959 гг. дает статья
С. Н. Черникова «Условия конечности в общей теории групп» [8]. Некото-
рым отправным и узловым пунктам этих исследований в их исторической
последовательности, а также некоторым результатам дальнейших исследо-
ваний групп с условиями конечности посвящены пп. 1—5.
Условия конечности являются такими ограничениями, которые триви-
альны в случае конечных групп, поэтому естественно говорить об ограни-
чениях, действующих только в области бесконечных групп. По этим сооб-
ражениям С. Н. Черников [9—11] изучал некоторые виды бесконечных
групп с теми или иными ограничениями для бесконечных подгрупп. Отно-
сящиеся к этой теме результаты приведены в п. 6.
277 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
В начале пятидесятых годов С. Н. Черников сформулировал общую за-
дачу исследования групп с теми или иными системами дополняемых под-
групп и начал [12] изучение таких групп. Некоторым из полученных в этом
направлении результатам посвящен п. 7.
1. У с л о в и е м и н и м а л ь н о с т и д л я п о д г р у п п состо-
ит в требовании конечности всех убывающих цепей подгрупп группы.
Это условие явилось одним из первых условий конечности в теории групп
и в дальнейшем сыграло важную роль в развитии исследований по беско-
нечным группам. Группами, удовлетворяющими условию минимальности
для подгрупп, являются, в частности, бесконечные группы, все собственные
подгруппы которых конечны. Абелевы группы такого рода известны — ква-
зициклические группы. Вопрос о существовании неабелевых групп с ко-
нечными собственными подгруппами составляет содержание известной
проблемы Шмидта. Эта проблема рассматривалась и решалась при некото-
рых дополнительных ограничениях в связи с изучением групп, удовлет-
воряющих условию минимальности для подгрупп.
В 1939—1940 гг. С. Н. Черников детально исследовал группы с усло-
вием минимальности для подгрупп при разного рода дополнительных огра-
ничениях [5—7]. В качестве первого из таких ограничений было взято так
называемое нормализаторное условие, требующее несовпадения произволь-
ной собственной подгруппы группы с ее нормализатором. В случае конеч-
ных групп нормализаторное условие является, как известно, одним из усло-
вий равносильных специальности (нильпотентности). В работе [5] с по-
мощью условия минимальности для подгрупп и нормализаторного условия
выделяется класс специальных групп, содержащий и бесконечные группы,
для которого строится теория, подобная хорошо разработанной к тому вре-
мени теории конечных нильпотентных групп. В отмеченных работах было
установлено, что бесконечные специальные группы исчерпываются прямыми
произведениями конечного множества специальных /?-групп и бесконечные
специальные /?-группы и только они являются конечными /7-раСШИреНИЯМИ
прямых произведений конечного множества квазициклических /7-групп.
В этих же работах было показано, что класс специальных /?-групп совпада-
ет с классом локально конечных /;-групп с условием минимальности и тем
самым получена следующая теорема.
Теорема 1. Бесконечная локально конечная р-группа тогда и толь-
ко тогда удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, когда она
является расширением прямого произведения конечного числа квазицикли-
ческих групп с помощью конечной группы.
Дальнейшее существенное продвижение в изучении групп с условием
минимальности было связано с введенным С. Н. Черниковым понятием ло-
кальной разрешимости. Локально разрешимой называется группа, в кото-
рой каждое конечное множество элементов порождает разрешимую под-
группу. В работе [6] была получена следующая теорема, полностью описы-
вающая строение бесконечных локально разрешимых групп с условием ми-
нимальности для подгрупп.
Т е о р е м а 2. Бесконечная локально разрешимая группа тогда и
только тогда удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, когда
она является расширением прямого произведения конечного числа квазицикли-
ческих групп с помощью конечной группы.
Из теорем 1, 2 вытекает, в частности, отрицательное решение проблемы
Шмидта для локально конечных /?-групп и локально разрешимых групп.
В связи с теоремами 1 и 2 С. Н. Черников в 1940 г. сформулировал
проблему — не будет ли всякая группа, удовлетворяющая условию мини-
мальности для подгрупп, конечным расширением абелевой группы с усло-
вием минимальности. Эта проблема вскоре получила название проблемы
Черникова [13]. Группы, являющиеся конечными расширениями абелевых
групп с условием минимальности, позднее были названы экстремальными
группами [8], но впоследствии за ними закрепилось название черников-
ских групп.
Одним из первых алгебраистов, который понял важность и значение
результатов работ [5 — 7] для будущего развития теории групп, был
278 У/ср. мат. ж у р н . , 1988, т. 40, М 3
О. Ю. Шмидт. Всегда относившийся с интересом к новым идеям в алгебре
к исследованиям молодых алгебраистов, О. Ю. Шмидт на этот раз прояьил
особое внимание к работам С. Н. Черникова. Вскоре О. Ю. Шмидт опуб-
ликовал работу [14], в которой по новому изложил ряд его результатов, при
этом несколько обобщил их и упростил доказательства.
Исследования, проведенные в работах [5—7], привлекли внимание и
других алгебраистов своей оригинальностью, новыми содержащимися в
них идеями. Впоследствии был установлен целый ряд характеристических
свойств черниковских групп и, в частности, /7-групп. Так, А. И. Мальцев
[15] показал, что черниковские /^-группы и только они являются ^-груп-
пами, изоморфно представимыми группами матриц над полями нулевой
характеристики. Черниковские /?-группы можно также охарактеризовать
как локально конечные /?-группы конечного ранга [16]. Иные важные их ха-
рактеризации получены X. X. Мухаммеджаном, Бэром, Блэкберном и мно-
гими другими авторами. Обзор указанных результатов можно найти в
[13, 17].
Связанные с отмеченной выше проблемой Черникова исследования сыг-
рали большую роль в развитии теории бесконечных групп. Здесь не пред-
ставляется возможным сколько-нибудь полно отразить все многообразие
относящихся к этой теме результатов. Отметим только, что проблема Чер-
никова о группах с условием минимальности была положительно решена
для важного частного случая локально конечных групп В. П. Шунковым
[18], а также Кегелем и Верфрицем [19]. Отрицательное в общем случае ее
решение вытекает из результатов А. Ю. Ольшанского [20], которые в поло-
жительном смысле решают также и проблему Шмидта.
2. Л о к а л ь н ы е с в о й с т в а г р у п п . В работах С. Н. Черни-
кова [5—7, 21] широко используется идея выделения различных классов
групп с помощью наложения ограничений на конечнопорожденные под-
группы рассматриваемых групп. В качестве таких ограничений привлека-
ются разрешимость и специальность (нильпотентность) [6], а также —
сверхразрешимость и требование существования силовского ряда [21].
В связи с этой идеей в [6] рассматриваются периодические группы, у кото-
рых каждая конечнопорожденная подгруппа разрешима (нильпотентна),
и именно они получили там название локально разрешимых (соответственно
локально нильпотентных) групп.
В работе [6] установлена разрешимость локально разрешимых групп,
удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп. В ней показано,
что из локальной нильпотентности группы с условием минимальности в об-
щем случае вытекает существование у нее возрастающего центрального ря-
да, доходящего до самой группы. Таким образом, обнаружилось, что свой-
ства конечнопорожденных подгрупп группы могут в той или иной форме рас-
пространяться на всю группу. Понятно, что именно при этом и возникает
общий вопрос о нахождении той обобщенной формы разрешимости (ниль-
потентности), в какой будет распространяться на группу свойство разреши-
мости (соответственно нильпотентности) всех ее конечнопорожденных под-
групп.
Идея искомой обобщенной формы пришла в понятии силовского мно-
жества, введенном С. Н. Черниковым [21]. В основу определения силов-
ского множества положено следующее обобщение идеи возрастающего (убы-
вающего) ряда нормальных подгрупп группы, получившее позднее назва-
ние инвариантной системы [22].
Упорядоченное по включению множество М нормальных подгрупп
группы С/, содержащее группу в и ее единичную подгруппу, а также содер-
жащее пересечение и объединение любого множества своих подгрупп, назы-
вается инвариантной системой группы й.
Если в этом определении требование инвариантности в в членов
системы заменить требованием инвариантности меньшего из двух ее со-
седних членов в большем, то получится определение нормальной си-
стемы [22].
На основе понятия инвариантной системы С. Н. Черников [23] ввел
понятия разрешимого множества и центрального множества группы.
279 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
Разрешимым множеством группы называется такая ее инвариантная
система, все факторы которой абелевы.
Центральным множеством группы G называется такая ее инвариантная
систехма, произвольный фактор В/А которой содержится в центре соответ-
ствующей фактор-группы G/A.
В работе [23] получены следующие результаты.
Т е о р е м а 3. Если все конечнопо рожденные подгруппы периодической
группы разрешимы (нильпотентны), то она обладает разрешимым (цент-
ральным) множеством.
Эта теорема выясняет влияние локальных свойств группы на ее строе-
ние в целом.
Понятие разрешимого множества, т. е. разрешимой инвариантной си-
стемы и более общее понятие разрешимой нормальной системы были исполь-
зованы А. Г. Курошем и С. Н. Черниковым [22] для определения различ-
ных классов обобщенно разрешимых групп (RN- и /?/-группы, RN*- и
/?/*-группы и др.); в ней же для определения различных классов обобщен-
но нильпотентных групп было использовано понятие центрального мно-
жества (Z- и ZA-группы и др.). Классы обобщенно разрешимых и обобщенно
нильпотентных групп, называемые теперь классами Куроша — Черникова,
явились источником многочисленных исследований. Как установил
А. И. Мальцев, разработавший общий метод получения локальных теорем
теории групп [24], для ряда этих классов справедлива локальная теорема.
Сформулированные в [22] вопросы о взаимосвязях и свойствах групп, вхо-
дящих в классы Куроша — Черникова, привлекли внимание многих алге-
браистов в нашей стране и за рубежом. Ряд вопросов был решен М. И. Кар-
гаполовым, Ф. Холлом, Ю. И. Мерзляковым и др.
В качестве примера рассмотрим вопрос о соотношении между классом
ZA-групп (группы, обладающие возрастающим центральным рядом) и клас-
сом /\/-групп (группы, удовлетворяющие нормализаторному условию).
В работах [5—7] доказаны следующие утверждения. jj
Т е о р е м а 4. Каждая ZA-группа является N-группой. Если N-груп-
па удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, то она является
ZA-группой.
В связи с этими утверждениями возник вопрос: будет ли всякая
iV-rpynna Z/1-группой? В [22] он указан под номером 21. Для случая групп
с конечным множеством порождающих элементов он был решен положи-
тельно Б. И. Плоткиным (см. [13]), в общем случае получено отрицатель-
ное решение. Именно, Хейнекен и Мохамед [25] построили пример двусту-
пенно разрешимой бесконечной /7-группы с тривиальным центром, удов-
летворяющей нормализаторному условию. Однако пока не решен следую-
щий, поставленный С. Н. Черниковым вопрос: не будет ли всякая бесконеч-
ная группа с нормализаторным условием обладать нетривиальной абелевой
нормальной подгруппой ([26], вопрос 2.80)?
3. П о л и ы е г р у п п ы . С. Н. Черников [27] ввел понятие полной
группы с помощью следующего определения: группа называется полной,
если для любого натурального числа п любой ее элемент можно представить
в виде произведения п-х степеней некоторых элементов. Позднее эти груп-
пы получили название полных групп в смысле Черникова, название же полных
групп стало употребляться обычно для групп со свойством неограничен-
ной извлекаемости корней из их элементов.
В 1946—1948 гг. С. Н. Черников создает теорию полных групп, обла-
дающих центральным рядом (полные ZA-группы) [27, 28]. Некоторое пред-
ставление об этой теории могут дать следующие, установленные им теоремы.
Т е о р е м а 5. Для ZA-групп следующие три свойства равносильны:
а) группа не имеет собственных подгрупп конечного индекса;
б) группа полная в смысле Черникова\
в) группа имеет свойство неограниченной извлекаемости корней из ее
элементов.
Т е о р е м а 6. Во всякой полной ZА-группе G существует система
подгрупп Л о, Аъ ..., Л а , ..., а < у, обладающая следующими свойст-
вами:
280 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
а) каждая из групп Аа изоморфна либо аддитивной группе рациональ-
ных чисел, либо квазициклической группе;
б) подгруппа В 0 < Р < 7 , порожденная всеми подгруппами Аа>
О ^ а < Р, является нормальной подгруппой группы О;
в) П А$ = 1 (Эля всех р, 0 < р < у;
г) Ву = б.
Обратно, всякая группа обладающая системой подгрупп с этими свой-
ствами, будет полной ZA-гpynnoй.
Интересно сопоставить эту теорему с известной теоремой о полных абе-
левых группах. Аналогия в строении полных 1А-групп и полных абелевых
групп при этом становится очевидной.
Т е о р е м а 7. Центр полной 1А-группы является полной группой.
Элементы конечного порядка полной 1А-группы содержатся в ее центре и
составляют полную подгруппу. В частности, периодическая полная 1А -груп-
па абелева.
В связи с теоремой 7 возникает вопрос о существовании неабелевых
полных периодических групп. Он был положительно решен в работе [27].
Построенный в ней пример дает также положительный ответ на вопрос о
существовании полной группы (даже периодической) с полной периодиче-
ской абелевой нормальной подгруппой, не содержащейся в ее центре. В слу-
чае периодической группы необходимое и достаточное условие, при кото-
ром такая нормальная подгруппа содержится в центре группы, дает сле-
дующая теорема С. Н. Черникова [29].
Т е о р е м а 8. Если А — такая полная абелева нормальная подгруп-
па периодической группы О, все элементы которой, имеющие порядок рав-
ный квадрату простого числа, содержатся в центре группы в, то в центре
группы й содержится и вся подгруппа А. Если порядки одной из групп А и
й/А нечетны, то для вхождения подгруппы А в центр группы в достаточно,
чтобы все элементы подгруппы А, имеющие простой порядок, содержались в
центре группы й.
С л е д с т в и е . В периодической группе централизатор каждой абе-
левой нормальной подгруппы с условием минимальности имеет конечный
индекс.
Позднее это предложение было обобщено в следующей теореме [30].
Т е о р е м а 9. Всякая периодическая группа автоморфизмов черни-
ковской группы является конечным расширением содержащейся в ней под-
группы внутренних автоморфизмов группы.
С появлением исследований С. Н. Черникова в разработку теории пол-
ных групп включились А. И. Мальцев, В. М. Глушков, М. И. Каргаполов
и др. А. И. Мальцев создал теорию пополнений локально нильпотент-
ных групп без кручения, одним из результатов которой является следую-
щая теорема, свидетельствующая об универсальности класса полных
2Л-групп.
Т е о р е м а 10. Подгруппами полных 1 А-групп без кручения исчер-
пываются всевозможные 1А-группы без кручения.
4. У с л о в и е м и н и м а л ь н о с т и д л я р а з л и ч н ы х
в и д о в п о д г р у п п . В связи с отмечавшейся уже работой О. Ю. Шмид-
та [14] возник вопрос, нельзя ли в теоремах 1, 2 условие минимальности для
всех подгрупп заменить более слабым условием минимальности для одних
только абелевых подгрупп (неравносильность этих условий в общем слу-
чае вытекает из результатов П. С. Новикова и С. И. Адяна [31]). Положи-
тельным ответом на этот вопрос явились следующие теоремы С. Н. Чер-
никова [32, 33]«
Теорема 11. Если локально конечная р-группа удовлетворяет ус-
ловию минимальности для абелевых подгрупп, то она черниковская.
Т е о р е м а 12. Если локально разрешимая группа удовлетворяет ус-
ловию минимальности для абелевых подгрупп, то она черниковская.
С л е д с т в и е . Бесконечная локально разрешимая и, в част-
ности, локально конечная р-группа обладает бесконечной абелевой под-
группой.
с У к р . мат. ж урн., 1988, т. 40, № 3 281
В связи с приведенными утверждениями С. Н. Черниковым [8] были
поставлены два вопроса: обладает ли всякая бесконечная локально конеч-
ная группа бесконечной абелевой подгруппой и имеет ли абелеву подгруппу
конечного индекса локально конечная группа с условием минимальности
для подгрупп? Положительное решение первого вопроса получили
М. И. Каргаполов [34], а также Холл и Кулатилака [35]. Второй вопрос был
положительно решен В. П. Шунковым [36]. Решение этих вопросов стало
возможным лишь после положительного решения Фейтом и Томпсоном проб-
лемы Бернсайда о разрешимости конечных групп нечетного порядка и
связанной с ней глубокой разработкой теории конечных простых групп.
На этой основе оказалось возможным свести рассматриваемые вопросы к
отмеченным здесь результатам.
Результаты С. Н. Черникова убедительно продемонстрировали плодо-
творность идеи изучения групп по свойствам их абелевых подгрупп и его
работы [32, 33] положили начало систематическим исследованиям в этом
направлении. Важные результаты здесь были получены А. И. Мальцевым,
В. С. Чариным, М. И. Каргаполовым, Ю. И. Мерзляковым, Ю. М. Горча-
ковым и др.; их обзор можно найти, например, в книге [37].
В качестве «двойственного» условия относительно условия минималь-
ности для абелевых подгрупп в работе [9] появилось условие минималь-
ности для неабелевых подгрупп и был доказан следующий результат.
Т е о р е м а 13. Если неабелева группа удовлетворяет условию мини-
мальности для неабелевых подгрупп и имеет нормальную систему с конеч-
ными факторами (в частности, локально разрешима), то она черниковская.
Аналогичную теорему установил В. П. Шунков [38] для локально ко-
нечных групп.
В работе О. Ю. Шмидта 13] появилось условие конечности убывающих
нормальных цепей подгрупп группы, начинающихся с нее. Оказалось,
что в случае локально разрешимых групп оно равносильно условию мини-
мальности для всех подгрупп (см. [8]). Более слабым является условие ми-
нимальности для нормальных подгрупп. Изучение групп с этим условием,
начавшееся И. Д. Адо и С. Н. Черниковым, получило продолжение в рабо-
тах Бэра, Хартли, Макдаугалла и других авторов (см. [8, 17]). Как показал
В. С. Чарин [39], условие минимальности для нормальных подгрупп не рав-
носильно условию минимальности для всех подгрупп уже в случае двусту-
пенно разрешимых групп и тем самым приводит к существенному расшире-
нию класса черниковских групп. Однако это расширение в случае разре-
шимых групп не выходит за пределы класса периодических групп [40].
Отметим также, что многие авторы исследовали группы, удовлетворяю-
ющие условию минимальности для других видов подгрупп: примарных
(М. И. Каргаполов, В. П. Шунков и др.), неинвариантных абелевых
(С. Н. Черников), недополняемых абелевых (Н. С. Черников). Кроме того,
рассматривались некоторые варианты условия минимальности, такие как
условие я-минимальности (Я. Д. Половицкий), слабое условие минималь-
ности (Д. И. Зайцев, Бэр).
5. С л о й н о к о н е ч н ы е г р у п п ы и и х о б о б щ е н и я .
Одним из условий конечности является требование конечности множества
элементов группы любого заданного порядка (слой элементов группы). Груп-
пы, удовлетворяющие этому условию, были детально изучены С. Н. Черни-
ковым [41—43] и получили название слойно-конечных групп. Приведем неко-
торые результаты этих работ.
Т е о р е м а 14. Группа й тогда и только тогда слойно-конечна, когда
ее можно представить в виде произведения двух таких поэлементно пере-
становочных подгрупп А и В, первая из которых является полной абелевой
слойно-конечной группой, а вторая — слойно-конечной группой с конечными
силовскими р-подгруппами по всем простым числам р {тонкая слойно-конечная
группа).
В [41] предлагается конструкция, позволяющая построить по произ-
вольной полной периодической абелевой группе А и произвольной группе
В любую группу в, имеющую разложение в = АВ, где Л, В — поэлементно
перестановочные подгруппы из О, изоморфные соответственно группам А, В.
282 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
Т е о р е м а 15. Класс слойно-конечных групп совпадает с классом ло-
кально нормальных групп, силовские р-подгруппы которых по всем простым
числам р черниковские. Тонкие слойно-конечные группы — это в точности
локально нормальные группы с конечными силовскими р-подгруппами по всем
простым р.
Т е о р е м а 16. Каждая локально нормальная группа с конечными
силовскими р-подгруппами по всем простым числам р является подгруппой
прямого произведения конечных групп, обладающего этим же свойством.
Локально нормальной называется группа, каждое конечное множество
элементов которой содержится в ее конечной нормальной подгруппе. В свя-
зи с последней теоремой в [8] был поставлен вопрос: каким условиям должна
удовлетворять локально нормальная группа, чтобы ее можно было вложить
в прямое произведение конечных групп. Этот вопрос привлек внимание к
локально нормальным группам, определил подход к глубокому анализу
свойств прямых разложений групп. Ряд важных относящихся к нему резуль-
татов получен Ф. Холлом и Ю. М. Горчаковым (см. [44]).
Естественным обобщением слойно-конечных групп явились группы с
конечными классами сопряженных элементов (/^С-группы). Им посвящены
многочисленные работы и, в частности, работы Бэра, Неймана, С. Н. Чер-
никова. В классе РС-груип содержатся слойно-конечные, локально нор-
мальные, а также абелевы группы. Поэтому возникает вопрос, какие еще
группы содержатся в классе /^С-групп? Ответ на него дает следующая теоре-
ма [42].
Т е о р е м а 17. Группа тогда и только тогда является РС-груп-
пойу когда она либо локально нормальна, либо является центральным, рас-
ширением абелевой группы без кручения с помощью локально нормальной
группы.
Теория /^-групп к настоящему времени всесторонне развита; она
изложена в работах Ю. М. Горчакова [44] и Томкинсона [45].
Условие конечности можно налагать не на все слои, а лишь на те из
них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным требованиям. При
этом появляются обобщения слойно-конечных групп. В этом аспекте пред-
ставляет интерес следующая теорема [32].
Т е о р е м а 18. Если в локально конечной р-группе конечен хотя бы
один нетривиальный слой, то она черниковская.
6. О г р а н и ч е н и я д л я б е с к о н е ч н ы х п о д г р у п п .
При изучении бесконечных групп можно выделять различные их виды,
налагая ограничения только на бесконечные подгруппы. Инициатива в этом
направлении принадлежит С. Н. Черникову. Им были выделены и изучены
следующие классы групп [9—11, 46]:
1) бесконечные неабелевы группы, все бесконечные подгруппы которых
нормальны,— /А^Я-группы;
2) бесконечные группы, в которых каждая собственная бесконечная
подгруппа отлична от своего нормализатора,— /А^-группы;
3) бесконечные неабелевы группы, имеющие бесконечные абелевы
подгруппы и не имеющие неинвариантных подгрупп такого рода, — /Я-
группы;
4) бесконечные неабелевы группы, в которых нормальны все бесконеч-
ные неабелевы подгруппы,— /Я-группы;
5) бесконечные неабелевы группы, все собственные бесконечные под-
группы которых абелевы,— /УИ-группы.
В классе /Я-групп содержатся и так называемые бесконечные мета-
гамильтоновы группы, т. е. группы, в которых все неабелевы подгруппы
нормальны. Метагамильтоновы группы впервые изучались Г. М. Ромали-
сом и Н. Ф. Сесекиным.
Приведем здесь некоторые из результатов, полученных С. Н. Чернико-
вым при изучении групп видов 1—5.
Т е о р е м а 19. Класс INН-групп, имеющих бесконечные абеугевы
подгруппы, исчерпывается бесконечными гамильтоновыми группами, а так-
же неабелевыми негамильтоновыми группами, которые являются расширь
с У к р . мат. ж урн., 1988, т. 40, № 3 7
ниями квазициклических групп с помощью конечных абелевых и конечных
гамилыпоновых групп.
В работе [10] такие расширения детально описаны.
Т е о р е м а 20. Непериодическая Ш-группа удовлетворяет нормализа-
тор ному условию. Локально конечная группа в тогда и только тогда явля-
ется /УУ-группой, не удовлетворяющей нормализаторному условию, когда
она разлагается в полу прямое произведение й — Р X 5 подгрупп Р и
удовлетворяющих следующим условиям:
а) Р — бесконечная черниковская силовская р-подгруппа группы в, Б —
конечная нильпотентная группа;
б) фактор-группа в/Я группы в по максимальной полной подгруппе
Я из Р нильпотентна;
в) Ся (Р) = С5 (/?) и фактор-группа 5 С5 (Р) — отличная от едини-
цы циклическая группа;
г) все отличные от единицы элементы группы 5 (Р) индуцируют в /?
неприводимые автоморфизмы.
В работе [11] строение локально конечной /УУ-группы описано более
детально, чем в теореме 20, с помощью полученных там свойств групп авто-
морфизмов прямых произведений конечного числа квазициклических
/?-групп с одним и тем же р.
Т е о р е м а 21. Всякая 1Н-группа в разрешима и является конечным
расширением бесконечной абелевой группы. Если группа в непериодическая,
то она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
На основе этого предложения в [10] дается полное описание /Я-групп.
Т е о р е м а 22. При дополнительном условии локальной ступенча-
тости 1Н-группы в справедливы следующие утверждения:
а) непериодическая 1Н-группа метагамильтонова и ее коммутант явля-
ется конечной примарной абелевой группой;
б) неметагамильтонова 1Н-группа й черниковская и ее максимальная
полная подгруппа Я примарна, причем — квазициклическая подгруппа,
содержащаяся в центре группы в, если коммутант последней конечен\
в) 1Н-группа в с бесконечным коммутантом в' неметагамильтонова
и для нее Я <С и фактор-группа в/Я нильпотентна;
г) периодическая 1Н-группа в имеет инвариантную в ней силовскую
р-подгруппу с нильпотентным дополнением, имеющим не более одной неабе-
левой силтской подгруппы.
Локально ступенчатой С. Н. Черников называет такую группу, в кото-
рой любая нетривиальная конечнопорожденная подгруппа имеет собствен-
ную подгруппу конечного индекса. Локально ступенчатыми являются ло-
кально конечные, обобщенно разрешимые группы (см. п. 2), группы, обла-
дающие нормальной системой с конечными факторами и др. В [46] дано
более подробное описание локально ступенчатых /Я-групп и получен также
ряд свойств метагамильтоновых групп.
Т е о р е м а 23. Локально ступенчатая 1М-группа черниковская и
ее максимальная полная подгруппа примарна.
7. Г р у п п ы с д о п о л н я е м ы м и п о д г р у п п а м и . Холл
установил следующий критерий разрешимости конечной группы: конечная
группа разрешима тогда и только тогда когда ее силовские /?-подгруппы до-
полняемы в ней для всех простых р, делящих порядок группы [47]. В свя-
зи с этим результатом Холл изучал конечные группы, все подгруппы кото-
р ы х д о п о л н я е м ы [48].
В 1954 г. С. Н. Черников опубликовал работу [12], относящуюся к груп-
пам с системами дополняемых подгрупп. В ней была поставлена общая за-
дача изучения групп, все подгруппы которых, принадлежащие той или иной
системе подгрупп, дополняемы. Последующие исследования показали, что
такой подход к изучению групп позволяет выделять самые разнообразные
классы групп, эффективно изучать их, а в ряде случаев получать и пол-
ное описание. Остановимся на некоторых исследованиях, относящихся к
этой теме.
Произвольные группы, в которых все подгруппы дополняемы, всесто-
284 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
ронне изучены Н. В. Баевой (Черниковой) [49]. За такими группами закре-
пилось название вполне факторизуемых групп. Группы с дополняемыми
абелевыми подгруппами изучались С. Н. Черниковым [12]. Он установил,
что при дополнительном условии локальной конечности они вполне факто-
ризуемы. Затем это условие было снято [50, 51].
Важный класс абелевых групп — абелевы группы, сервантные под-
группы которых дополняемы (и, значит, выделяются прямыми слагаемыми),
был также изучен в [12]. Полное описание групп этого класса дает следую-
щая теорема.
Т е о р е м а 24. В абелевой группе А тогда и только тогда каждая
сервантная подгруппа выделяется прямым слагаемым, когда А является пря-
мой суммой своих подгрупп: А — Т + + Аг + А2 + ... + Ак, где
Т — периодическая группа, всякая примарная компонента которой имеет
конечный период, — полная группа, А1, А2, Ак—конечное множество
попарно изоморфных групп без кручения ранга 1.
Работа [12] явилась одной из первых работ, в которых изучаются
группы с дополняемыми нормальными подгруппами. В ней, в частности,
установлен критерий полной факторизуемости групп с дополняемыми нор-
мальными подгруппами.
Т е о р е м а 25. Группа с дополняемыми нормальными подгруппами
тогда и только тогда вполне фактор изуема, когда она обладает возрастаю-
щим рядом нормальных подгрупп с циклическими факторами (обобщенно
сверхразрешима).
Изучению групп с дополняемыми абелевыми нормальными подгруп-
пами посвящен ряд других работ С. Н. Черникова (см. [52]). Так, им было
дано конструктивное описание двуступенно разрешимых, а также обобщен-
но сверхразрешимых групп такого рода. При этом установлена следующая
теорема.
Т е о р е м а 26. Группы с дополняемыми абелевыми нормальными
подгруппами, обладающие возрастающим рядом нормальных подгрупп с
циклическими факторами, и только они представимы в виде полупрямого
произведения двух таких абелевых групп, из которых первая разлагается в
прямое произведение инвариантных относительно второй циклических
групп простых порядков, и имеет в ней тривиальный централизатор.
Сравнение теоремы 26 с соответствующей теоремой, описывающей впол-
не факторизуемые группы [49], показывает, что в ней рассматривается класс
групп, в строении которых сохраняются основные черты строения вполне
факторизуемых групп. О широте этого класса свидетельствует тот факт,
что он включает и некоторые непериодические группы. В дальнейших рабо-
тах С. Н. Черникова класс обобщенно сверхразрешимых групп был заменен
более общим классом групп, обладающих возрастающим рядом нормальных
подгрупп с локально циклическими факторами (см. [52]).
С. Н. Черников ввел в рассмотрение группы с плотной системой допол-
няемых абелевых подгрупп. Система дополняемых абелевых подгрупп груп-
пы О называется плотной, если для любых двух абелевых подгрупп А <С В
группы из которых первая не максимальна во второй, в в существует
дополняемая подгруппа, содержащаяся строго между ними. Сама группа
й называется в этом случае СА-плотной. С. Н. Черников получил деталь-
ное описание строения конечных С А-плотных групп, а также доказал сле-
дующую теорему (см. [52]).
Т е о р е м а 27. Бесконечная локально конечная СА-плотная группа
вполне факторизуема.
Ряд работ С. Н. Черникова [53—56] посвящен характеризации раз-
личных классов групп с помощью системы дополняемых подгрупп. Им, в
частности, получена характеризация конечных сверхразрешимых групп
с абелевыми силовскими подгруппами и некоторых видов бесконечных об-
общенно сверхразрешимых групп, а также сверхразргшимых групп с эле-
ментарными абелевыми силовскими подгруппами. Приведем здесь один из
результатов
Т е о р е м а 28. Конечные сверхразрешимые группы с абелевыми силов-
скими подгруппами и только они являются такими конечными группами с
сУкр. мат. ж урн., 1988, т. 40, № 3 2 8 5
абелевыми силовскими подгруппами, в которых дополняема каждая примар-
ная циклическая подгруппа, дополняемая хотя бы в одной содержащей ее
силовской подгруппе.
К настоящему времени имеется ряд работ как советских, так и зару-
бежных авторов, посвященных изучению групп с теми или иными систе-
мами дополняемых подгрупп. При этом детальное описание получено для
групп, в которых дополняемы все бесконечные подгруппы (С. Н. Черников),
подгруппы простых порядков (Ю. М. Горчаков), неинвариантные
(Ю. М. Горчаков, В. А. Шериев), нециклические (О. Н. Зуб), непримарные
(Э. С. Алексеева, Н. М. Сучков), неабелевы (П. П. Барышовец), элементар-
ные (Я. П. Сысак), непримарные циклические (Ю. Б. Мельников,
А. И. Старостин) и другие виды подгрупп.
В заключение отметим, что в настоящем обзоре рассмотрены в основном
работы С. Н. Черникова — одного из основателей советской теории групп.
Его богатые идеями работы получили широкий отклик и дальнейшее разви-
тие у нас в стране и за рубежом. Более подробно описанные в обзоре на-
правления исследований освещены в книге С. Н. Черникова [52].
1. Prüfer H. Unterschungen über die Zerlegbarkeit der abzähldaren primären Abelschen
Gruppen // Math. Z.— 1923.— 17, N 1.— S. 35—61.
2. Kypoui А. Г. Zur Zerlegung unendlicher G r u p p e n / / M a t h . Ann. — 1932.— 106, N 1.—
S. 107—113.
3. Шмидт О. 10. Über unendliche Gruppen mit endlicher K e t t e / / M a t h . Z.— 1928.— 29,
N 1.— S. 34—41.
4. Узкое А. И. Über ein Theorem von Frobenius/ / Мат. сб.— 1936.— 1, № 3.— С. 337—
339.
5. Черников С. H. Бесконеч ные специальные группы // Там же. — 1939. — 6, № 2. —
С. 199—214.
6. Черников С. H. Бесконечные локально разрешимые группы // Там же.— 1940.— 7,
№ 1.— С. 35—64.
7. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных групп // Там же.— № 3.— С. 539—
548.
8. Черников С. И. Условия конечности в общей теории групп // Успехи мат. наук.— 1959.—
14, № 5 . _ с . 45—96.
9. Черников С. Н. Бесконечные группы с некоторыми заданными свойствами систем их
бесконечных подгрупп// Докл. АН СССР.— 1964.— 159, № 4.—С. 759—760.
10. Черников С. H. Группы с заданными свойствами систем бесконечных подгрупп // Там
же.— 1966.— 171, No. 4.— С. 806—809.
11. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами систем бесконечных подгрупп// Укр.
мат. журн.— 1967.— 19, № 6 .—С. 111 — 121.
12. Черников С. Н. Группы с системами дополняемых подгрупп// Мат. сб.— 1954.— 35,
№ 2.—С. 93—128.
13. Kypoui А. Г. Теория групп.— М. : Наука, 1967.— 648 с.
14. Шмидт О. Ю. О бесконечных специальных группах // Мат. сб.— 1940.— 8, № 3.—
С. 363—375.
15. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Там
же.— 1940.— 8, № 3.— С. 405—422.
16. Мягкова H. Н. О группах конечного ранга/ / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1949.— 13,
№ 6.—С. 495—512.
17. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups.— Berlin : Sprin-
ger, 1972.— V. 1.— 210 p.; V. 2—254 p.
18. Шунков В. П. О проблеме минимальности для локально конечных групп/ / Алгебра и
логика.— 1970.— 9, № 2.— С. 220—248.
19. Kegel О. Н.у Wehrfritz В. A. F. Strong finiteness conditions in locally finite -groups//
Math. Z.— 1970.— 117, N 3.— P. 309—324.
20. Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков// Изв. АН
СССР. Сер. мат.— 1980.— 44, № 2.— С. 309—321.
21. Черников С. Н. О группах с силовским множеством // Мат. сб.— 1940.— 8, № 3.—
С. 377—394.
22. Kypoui А. Г., Черников С. Н. Разрешимые и нильпотентные группы//Успехи мат.
наук.— 1947.— 2, № 3.— С. 18—59.
23. Черников С. Н. К теории локально разрешимых групп// Мат. сб.— 1943.— 13, № 2-
3 .—С. 317—333.
24. Мальцев А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп/ /
Учен. зап. Иван. пед. ин-та.— 1941.— 1.— С. 3—9.
25. Heineken Я . , Mohamed I.J. A group with trivial center satisfying the normalizer condi-
t ion / / J. Algebra.— 1968.— 10, N 3.— P. 368—376.
26. Коуровская тетрадь. Нерешенные задачи теории групп / Под ред. В. Д. Мазурова,
Ю. И. Мерзлякова, В. А. Чуркина.— 8-е изд.— Новосибирск, Ин-т математики СО
АН СССР, 1982.—116 с.
286 У/ср. мат. журн., 1988, т. 40, М 3
27. Черников С. Я. Полные группы, обладающие возрастающим центральным рядом // Мат.
сб.— 1946.— 18, № 3.— С. 397—422.
28. Черников С. Н. К теории полных групп//Там же.—1948.— 22, № 3.—С. 319—348.
29. Черников С. Н. О централизаторе полного абелева нормального делителя в бесконечной
периодической группе // Докл. АН СССР.— 1950.— 72, № 2.— С. 243—246.
30. Черников С. Н. О периодических группах автоморфизмов экстремальных групп //
Мат. заметки. — 1968.— 4, № 1.— С. 91—96.
31. Новиков П. С., Ад ян С. И. О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в
свободных периодических группах нечетного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1968.— 32, № 5.— С. 1176—1190.
32. Черников С. Н. О специальных р-группах // Мат. сб.— 1950.— 27, № 2.— С. 185—200.
33. Черников С. Н. К теории локально разрешимых групп с условием минимальности для
подгрупп// Докл. АН СССР.— 1949.— 65, № 1.— С. 21—24.
34. Каргаполов М. И. О проблеме О. Ю. Шмидта // Сиб. мат. журн.— 1963.— 4, № 1.—
С. 232—235.
35. Hall P . , Kulatilaka С. R. A property of locally finite groups// J . London Math. Soc.—
1964.— 39, N 2.— P. 235—239.
36. Шунков В. П. О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых
подгрупп // Алгебра и логика.— 1970.— 9, № 5.— С. 579—615.
37. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.— М. : Наука, 1982.— 288 с.
38. Шунков В. П. Об абстрактных характеризациях некоторых линейных групп// Алгебра.
Матрицы и матричные группы.— Красноярск : Ин-т физики СО АН СССР, 1970.—
С. 3—54.
39. Чарин В. С. Замечание об условии минимальности для подгрупп// Докл. АН СССР.—
1949.— 66, № 4.— С. 575—576.
40. Baer R. Irreducible groups of automorphisms of abelian groups // Pacif. J . Math.— 1964.—
14, N 3.— P. 385—406.
41. Черников С. H. Бесконечные слойно конечные группы// Мат. сб.— 1948.— 22, № 1.—
С. 101 — 133.
42. Черников С. Н. О группах с конечными классами сопряженных элементов// Докл. АН
СССР.— 1957.— 114, № 6.— С. 1177—1179.
43. Черников С. Н. О слойно конечных группах/ /Мат . сб.— 1958.—45, № 3.—
С. 415—416.
44. Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.— М. : Наука,
1978.— 120 с.
45. Tomkinson М. J. FC-groups.— Boston etc.: Pitman Adv. Publ. Program, 1984.— 171 p.
46. Черников С. H. Бесконечные неабелевы группы, в которых инвариантны все бесконеч-
ные неабелевы подгруппы// Укр. мат. журн.— 1971.— 23, № 5.— С. 604—628.
47. Hall P. A characteristic property of soluble groups// J . London Math. Soc.— 1937.—
12, N 2.— P. 198—200.
48. Hall P. Complemented groups // Ibid.— P. 201—204.
49. Баева H. В. Вполне факторизуемые группы// Докл. АН СССР.— 1953.— 92, № 5.—
С. 877—880.
50. Каргаполов М. И. Некоторые вопросы теории разрешимых и нильпотентных групп//
Там же.— 1959.— 127, № 6.— С. 1164—1166.
51. Горчаков Ю. М. Примитивно факторизуемые группы// Учен. зап. Перм. ун-та.— 1960.
— 17.—С. 15—31.
52. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп.— М. : Наука,
1980.-384 с.
53. Черников С. Н. Конечные сверхразрешимые группы с абелевыми силовскими подгруп-
пами // Группы, определяемые свойствами системы подгрупп. — Киев : Ин-т мате-
матики АН УССР, 1979.—С. 3—15.
54. Черников С. Н. Сверхразрешимые группы с условием минимальности, все примарные
одгруппы которых абелевы // Алгебра и логика.— 1984.— 23, № 6.— С. 702—720.
55. Черников С. Н. Локально сверхразрешимые периодические Л-группы с условием мини-
мальности для примарных подгрупп // Строение групп и свойства их подгрупп.— Киев :
Ин-т математики АН УССР, 1986.—С. 5—21.
56. Черников С. Н. Сверхразрешимые примарно элементарные группы // Исслед. групп с
заданными свойствами подгрупп.—Киев : Ин-т математики АН УССР, 1981.— С .3—
13.
Ин-т математики АН УССР, Киев Получено 06.11.87
с У к р . мат. ж урн., 1988, т. 40, № 3 287
|
| id | umjimathkievua-article-9136 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T03:44:17Z |
| publishDate | 1988 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1f/9b2beffad4aa25270f36b0eafa7d2d1f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-91362025-04-02T13:00:38Z Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups Группы с условиями конечности и другими ограничениями для подгрупп Charin , V. S. Zaitsev , D. I. Чарин , В. С. Зайцев , Д. И. - - Дан обзор исследований, относящихся к группам, удовлетворяющим разного рода условиям конечности и иным ограничениям для подгрупп. Основное внимание уделяется группам с условием минимальности для подгрупп, локальным свойствам групп, слойно-конечным группам и их обобщениям, группам с ограничениями для бесконечных подгрупп, а также группам с системами дополняемых подгрупп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1988-04-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9136 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 40 No. 3 (1988); 277-287 Український математичний журнал; Том 40 № 3 (1988); 277-287 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9136/10373 Copyright (c) 1988 В. С. Чарин , Д. И. Зайцев |
| spellingShingle | Charin , V. S. Zaitsev , D. I. Чарин , В. С. Зайцев , Д. И. Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title | Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title_alt | Группы с условиями конечности и другими ограничениями для подгрупп |
| title_full | Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title_fullStr | Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title_full_unstemmed | Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title_short | Groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| title_sort | groups with finiteness conditions and other restrictions for subgroups |
| topic_facet | - |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/9136 |
| work_keys_str_mv | AT charinvs groupswithfinitenessconditionsandotherrestrictionsforsubgroups AT zaitsevdi groupswithfinitenessconditionsandotherrestrictionsforsubgroups AT čarinvs groupswithfinitenessconditionsandotherrestrictionsforsubgroups AT zajcevdi groupswithfinitenessconditionsandotherrestrictionsforsubgroups AT charinvs gruppysusloviâmikonečnostiidrugimiograničeniâmidlâpodgrupp AT zaitsevdi gruppysusloviâmikonečnostiidrugimiograničeniâmidlâpodgrupp AT čarinvs gruppysusloviâmikonečnostiidrugimiograničeniâmidlâpodgrupp AT zajcevdi gruppysusloviâmikonečnostiidrugimiograničeniâmidlâpodgrupp |