Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges
UDC 517.9 Periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at vertices of a convex symmetric hexagon and octahedron are found. These systems possess an equilibrium configuratio...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/917 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507233917337600 |
|---|---|
| author | Skrypnyk, V. I. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_facet | Skrypnyk, V. I. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник , В. І. |
| author_sort | Skrypnyk, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:28Z |
| description | UDC 517.9
Periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at vertices of a convex symmetric hexagon and octahedron are found. These systems possess an equilibrium configuration. Their periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov central limit theorem. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i12.917 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:06:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i12.917
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ
ЗАРЯДIВ У ПОЛI ФIКСОВАНИХ ШIСТЬОХ РIВНИХ ДОДАТНИХ ЗАРЯДIВ
Periodic solutions of the Coulomb d-dimensional (d = 1, 2, 3) equation of motion for two equal negative point charges
in the field of six equal positive point charges fixed at vertices of a convex symmetric hexagon and octahedron are found.
These systems possess an equilibrium configuration. Their periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov
central limit theorem.
Знайдено перiодичнi розв’язки d-вимiрних (d = 1, 2, 3) рiвнянь руху Кулона двох вiд’ємних точкових однакових
зарядiв у полi шiстьох однакових додатних точкових зарядiв, зафiксованих у вершинах опуклого симетричного
шестикутника та октаедра. Цi системи мають рiвноважний стан. Перiодичнi розв’язки отримано за допомогою
центральної теореми Ляпунова.
1. Вступ. У цiй статтi знайдено рiвновагу у системi Кулона двох вiд’ємних однакових зарядiв
у полi шiстьох однакових додатних зарядiв, зафiксованих у вершинах опуклого шестикутника
(гексагона) та октаедра. Це дає нам змогу знайти у нiй перiодичнi розв’язки лiнiйного, площин-
ного та просторового рiвняння руху Кулона. В лiнiйнiй системi рiвновага є стiйкою. Ранiше
автором було знайдено перiодичнi та квазiперiодичнi розв’язки рiвнянь руху Кулона двох та
трьох вiд’ємних однакових зарядiв у полi двох однакових додатних зарядiв [1 – 4]. Вказанi
результати, як i наведенi у цiй статтi, було отримано завдяки тому, що для симетричної матри-
цi U0 частинних других похiдних потенцiальної енергiї у рiвновазi було знайдено в явному
виглядi власнi значення, серед яких були додатнi, що породжують перiодичнi або квазiперiо-
дичнi розв’язки. Iснування перiодичних розв’язкiв випливає з центральної теореми Ляпунова
[5 – 9], якщо немає нульoвих власних значень U0. При цьому потенцiальна енергiя повинна
бути дiйсно аналiтичною функцiєю в околi рiвноваги. Саме такою є кулонiвська потенцiальна
енергiя.
Iснування квазiперiодичних розв’язкiв було доведено автором у випадку наявностi нульо-
вого власного значення U0 за допомогою методу небесної механiки виключення вузла [8] та
центральної теореми Ляпунова [3, 4]. При цьому враховувалось, що нульове власне значення є
наслiдком обертальної iнварiантностi системи. Площинна та просторова системи у цiєї статтi
не мають нульового власного значення U0.
Виникає питання: чи можливо довести iснування перiодичних розв’язкiв у кулонiвських
системах, коли немає рiвноваги? У статтi [10] дано ствердну вiдповiдь на це питання, а саме,
доведено iснування таких розв’язкiв у нейтральнiй системi n однакових вiд’ємних зарядiв у
полi n однакових додатних зарядiв. Метод доведення цього результату ґрунтується на узагаль-
неннi методу мажорант Зiгеля [11], що застосовувався ним для знаходження розв’язкiв задачi
трьох тiл небесної механiки.
Центральна теорема Ляпунова стосується iснування перiодичних розв’язкiв в околi початку
координат систем Гамiльтона, рiвновага яких збiгається з початком координат i формулюється
так [10].
c\bigcirc В. I. СКРИПНИК, 2020
1682 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1683
Теорема 1.1. Нехай n-вимiрна гамiльтонова система визначається дiйсно аналiтичним
гамiльтонiаном, розклад Тейлора якого збiгається абсолютно та рiвномiрно в околi початку
координат i починається з квадратичних доданкiв. Нехай також \lambda 1, . . . , \lambda 2n — ненульовi
власнi значення матрицi, що визначає лiнiйну частину гамiльтонового векторного поля, такi
що \lambda s, s = 1, . . . , k, є уявними i нерезонансними: \lambda j \not = n\prime \lambda s, s = 1, . . . , k, j = 1, . . . , 2n,
j \not = s, де n\prime — довiльне цiле число. Тодi рiвняння Гамiльтона допуcкає iснування k перiодичних
розв’язкiв в околi початку координат, таких що кожен з них залежить вiд вiдмiнного дiйсного
параметра cj для деякого j = 1, . . . , k. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), . . . , \tau k(ck) є дiйсно
аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля i \tau j(0) =
2\pi
| \lambda j |
.
Перiодичнi розв’язки з цiєї теореми належать околу початку координат завдяки тому, що
їхнi розклади за параметрами cj не мiстять сталих доданкiв.
Piвняння руху d-вимiрної систем N точкових зарядiв з масами mj , j = 1, . . . , N, є рiвнян-
ням руху електромеханiчної системи частинок iз потенцiальною енергiєю U, заданою парним
кулонiвським потенцiалом, i має вигляд
mj
d2xj
dt2
= -
\partial U
\bigl(
x(N)
\bigr)
\partial xj
,
j = 1, . . . , N, x(N) = (x1, . . . , xN ) \in \BbbR dN , xj =
\bigl(
x1j , . . . , x
d
j
\bigr)
.
(1.1)
Якщо потенцiальна енергiя має рiвновагу x0j , j = 1, . . . , dN, то потенцiальна енергiя з
новими змiнними xj - x0j , j = 1, . . . , dN, матиме рiвновагу у початку координат, що дає
можливiсть застосувати центральну теорему Ляпунова до (1.1).
Вiдомо [12], що для (1.1) з mj = m власнi значення з теореми 1.1 збiгаються з \lambda j =
= \pm
\sqrt{}
- m - 1\sigma j , j = 1, . . . , dN, де \sigma j — власнi значення U0. Таким чином, iснування перi-
одичних розв’язкiв рiвняння (1.1) можна отримати з теореми 1.1, що i буде зроблено в цiй
статтi.
Результати цiєї статтi, як i попереднiх, можуть бути використанi в теорiї плазми та квантових
моделей iонiзованих молекул у наближеннi Борна – Оппенгеймера, в якому нерухомi додатнi та
рiвнi вiд’ємнi заряди асоцiюються вiдповiдно з важкими ядрами та легкими електронами [13].
Опишемо коротко структуру статтi. У другому, третьому та четвертому пунктах знайдено
перiодичнi розв’язки кулонiвських рiвнянь руху вiдповiдно в лiнiйних, площинних та просто-
рових системах у випадку, коли додатнi заряди зафiксовано у вершинах шестикутника. Це ж
зроблено i у п’ятому пунктi, коли додатнi заряди зафiксовано у вершинах октаедра. Отриманi
результати сформульовано як теореми наприкiнцi цих пунктiв.
2. Лiнiйна динамiка Кулона. Будемо розглядати лiнiйну динамiку двох однакових вiд’ємних
зарядiв - e0 < 0 в полi шiстьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0, зафiксованих у вершинах
шестикутника з першими координатами - a, 0, a i другими \pm b, \pm
\surd
3a2 + b2, \pm b (a, b > 0)
(див. наступний пункт). Два негативних заряди рухаються вздовж першої координатної прямої
(iнварiантного многовиду площинної та просторової динамiки).
Потенцiальна енергiя цiєї системи має вигляд (xj \in \BbbR )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1684 В. I. СКРИПНИК
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
=
= e20| x1 - x2| - 1 - 2e0e
\prime
2\sum
j=1
\biggl[ \biggl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\biggr) - 1
+
\biggl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\biggr) - 1
+
+
\Bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\Bigr) - 1
\biggr]
. (2.1)
Рiвноважнi рiвняння мають вигляд
\partial
\partial xj
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= 0, j = 1, 2. Пiдставляючи в них наступнi
рiвностi при k = 1:
\partial
\partial x1
| x1 - x2| - k = - k
x1 - x2
| x1 - x2| k+2
,
\partial
\partial x1
\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) - k
= - k
x1 - a\Bigl( \sqrt{}
(x1 - a)2 + b2
\Bigr) k+2
,
отримуємо
\partial
\partial xj
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= - e20
xj - xk
| x1 - x2| 3
+
+2e0e
\prime
\left[ xj - a\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 3 +
xj + a\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 3 +
xj\Bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\Bigr) 3
\right] , k \not = j = 1, 2.
В результатi одержуємо рiвноважне спiввiдношення для рiвноваги, покладаючи x1 = x01 = a,
x2 = x02 = - a:
e0
(2a)3
=
3e\prime \Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 .
Два недiагональних елементи матрицi других частинних похiдних потенцiальної енергiї легко
обчислюються:
\partial U
\bigl(
x(2)
\bigr)
\partial x1\partial x2
=
\partial U
\bigl(
x(2)
\bigr)
\partial x2\partial x1
= - 2e20| x1 - x2| - 3.
Нехай U0
1,2 збiгається з цiєю функцiєю у рiвновазi. Тодi U0
1,2 = - e20
4a3
= - u\prime . Далi
\partial 2
\partial x2j
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
=
2e20
| x1 - x2| 3
+ 2e0e
\prime
\left[ 1\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3(xj - a)2\Bigl( \sqrt{}
(xj - a)2 + b2
\Bigr) 5+
+
1\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3(xj + a)2\Bigl( \sqrt{}
(xj + a)2 + b2
\Bigr) 5 +
1\Bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\Bigr) 3 -
3x2j\Bigl( \sqrt{}
x2j + 3a2 + b2
\Bigr) 5
\right] .
Нехай U0
j,j збiгається з цiєю функцiєю у рiвновазi. Тодi
U0
1,1 = U0
2,2 =
e20
4a3
+ 2e0e
\prime
\left[ b - 3 +
2\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 - 3a25\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 5
\right] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1685
Iз рiвноважного спiввiдношення випливає, що\Bigl( e0
3e\prime
\Bigr) 1
3 1
2a
=
1\sqrt{}
(2a)2 + b2
, 2a = (1 - \eta ) -
1
2
\surd
\eta b, \eta =
\Bigl( e0
3e\prime
\Bigr) 2
3
< 1. (2.2)
В результатi
2e0e
\prime b - 3 = 3 - 1 \cdot 2(2a) - 3e20(1 - \eta ) -
3
2 =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 ,
2e0e
\prime \Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 = 2e0e
\prime e0
3e\prime
\biggl(
1
2a
\biggr) 3
=
u\prime
3
,
(2.3)
6e0e
\prime (2a)2\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 5 = 6e0e
\prime
\Bigl( e0
3e\prime
\Bigr) 5
3
(2a) - 3 = u\prime \eta ,
U0
1,1 = U0
2,2 =
5u\prime
3
+
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 5u\prime
4
\eta = v.
Нехай U0 — матриця з елементами U0
1,1, U0
2,2, U0
1,2 = U0
2,1. Її власнi значення \zeta 1, \zeta 2 легко
знаходяться як коренi \lambda = \zeta 1, \zeta 2 рiвняння
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(U0 - \lambda I) = (v - \lambda )2 - u\prime 2 = 0,
\zeta 1 = v - u\prime = u\prime \zeta \prime 1, \zeta 2 = v + u\prime = u\prime \zeta \prime 2,
де
\zeta \prime 1 =
1
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
2
3
- 5
4
\eta , \zeta \prime 2 =
1
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
8
3
- 5
4
\eta .
Очевидно, що \zeta \prime 2 > 0, оскiльки \eta < 1. Розглянемо \zeta \prime 1. Ми бачимо, що \zeta \prime 1 > 0, якщо \eta <
4
5
.
Для \eta < 1 сума двох останнiх доданкiв бiльша за - 1. Для першого доданка при 1 > \eta \geq 2
3
справджується оцiнка
(1 - \eta ) -
3
2 \geq 3
3
2 =
\surd
27 > 5, \zeta \prime 1 >
7
3
- 5
4
.
Отже, \zeta \prime 1 > 0.
Наступний результат випливає з теореми Лагранжа – Дiрiхле про стiйкiсть, оскiльки потен-
цiальна енергiя має мiнiмум у рiвновазi.
Теорема 2.1. Якщо
e0
e\prime
< 2, то лiнiйна система двох рiвних вiд’ємних зарядiв iз потен-
цiальною енергiєю (2.1) має стiйку рiвновагу x0 = (a, - a) з додатним числом a, визначеним
формулою (2.2). Умова нейтральностi 2e\prime = e0 у цiй рiвновазi не виконується.
Для застосування центральної теореми Ляпунова необхiдно виключити квадратичнi резо-
нанси в коренях \zeta j . Один резонанс вiдсутнiй:
\zeta 1
\zeta 2
\not = k2, k \in \BbbZ , бо \zeta 2 > \zeta 1. Ми також маємо
\zeta 2 = \zeta 1 + 2u\prime ,
\zeta 2
\zeta 1
= 1 +
2
\zeta \prime 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1686 В. I. СКРИПНИК
Отже, для виключення квадратичного резонансу для \zeta 1 необхiдно довести, що \zeta \prime 1 -
2
3
= z\prime \geq 0.
Ми доведемо цю нерiвнiсть на кiлькох iнтервалах, якi покривають iнтервал \eta \in [0, 1):
\eta \geq 2
3
, \zeta \prime 1 >
3
2
; \eta = 0, \zeta \prime = 1,
1
2
\leq \eta \leq 2
3
, z\prime \geq 2
3
\surd
2 - 5
6
>
28
30
- 5
6
> 0,
\eta =
1
2
, z\prime =
2
3
\surd
2 - 5
8
>
3
30
,
3
7
\leq \eta \leq 1
2
, z\prime \geq 3 - 1
\biggl(
7
4
\biggr) 3
2
- 5
8
> 3 - 1
\surd
343
8
- 5
8
> 3 - 1 18
8
- 5
8
=
3
4
- 5
8
=
1
2
,
1
3
\leq \eta \leq 3
7
, z\prime \geq 3 - 1
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
- 15
28
>
5
9
- 15
28
> 0,
\eta =
1
3
, z\prime = 3 - 1(1 - \eta ) -
3
2 - 5
12
= 3 - 1
\biggl(
27
8
\biggr) 1
2
- 5
12
>
5
9
- 5
12
=
5
36
,
\eta =
1
4
, z\prime > 3 - 1 8\surd
27
- 1
3
> 3 - 1 8
5,4
- 1
3
=
40
81
- 1
3
> 0,
1
4
\leq \eta \leq 1
3
, z\prime \geq 3 - 1 8\surd
27
- 5
12
\geq 3 - 1 8
5,4
- 5
12
>
40
81
- 5
12
> 0,
1
5
\leq \eta \leq 1
4
, z\prime \geq 3 - 1
\biggl(
5
4
\biggr) 3
2
- 5
16
= 3 - 1
\surd
125
8
- 5
16
>
11
24
- 5
16
=
7
48
,
0 < \eta \leq 1
5
, z\prime \geq 4 - 1(1 - \eta ) -
3
2 - 1
4
> 0.
Отже, \zeta \prime 1 >
2
3
.
Порядок зарядiв на прямiй зберiгається завдяки необмеженому вiдштовхуванню мiж ними,
i тому ми можемо замiнити потенцiал | xj - xk| - 1 на дiйсно аналiтичну функцiю (xj - xk)
- 1
в околi рiвноваги.
З центральної теореми Ляпунова випливає така теорема.
Теорема 2.2. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 1, N = 2,m1 =
= m2 = m з потенцiальною енергiєю (2.1) має рiвновагу x0 = (a, - a) i два перiодичних
розв’язки в її околi, кожен з яких залежить вiд дiйсного вiдмiнного параметра cj при j = 1, 2.
Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв в
околi нуля i \tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\zeta j)
- 1.
3. Площинна динамiка Кулона. У цьому пунктi ми розглянемо динамiку на площинi
двох однакових вiд’ємних зарядiв - e0 < 0 в полi шiстьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0,
зафiксованих у вершинах симетричного опуклого шестикутника bj , 1 \leq j \leq 6, bj =
\bigl(
b1j , b
2
j
\bigr)
\in
\in \BbbR 2 :
b1 = (a, b), b2 = (a, - b), b5 = (0,
\sqrt{}
3a2 + b2),
b3 = ( - a, b), b4 = ( - a, - b), b6 = (0, -
\sqrt{}
3a2 + b2), a, b > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1687
з потенцiальною енергiєю
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= e20| x1 - x2| - 1 - e0e
\prime
\sum
j=1,2
6\sum
k=1
| xj - bk| - 1, xj =
\bigl(
x1j , x
2
j
\bigr)
\in \BbbR 2, (3.1)
де
| x| 2 =
\bigl(
x1j
\bigr) 2
+
\bigl(
x2j
\bigr) 2
.
Частиннi похiднi потенцiальної енергiї визначено таким чином:
\partial
\partial x\alpha 1
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= - e20
x\alpha 1 - x\alpha 2
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| x1 - bk| 3
,
\partial
\partial x\beta 2
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= - e20
x\beta 2 - x\beta 1
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
x\beta 2 - b\beta k
| x2 - bk| 3
.
Рiвновагу x01, x02 знаходимо, прирiвнюючи до нуля правi частини цих рiвностей при умовi
x011 = a, x012 = - a, x021 = x022 = 0. Обидвi рiвностi приводять до однакового результату. Для
другого виразу у правiй частинi першої рiвностi отримуємо
6\sum
k=1
x011 - b1k
| x01 - bk| 3
=
6a\Bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\Bigr) 3 ,
6\sum
k=1
x021 - b2k
| x01 - bk| 3
= -
6\sum
k=1
b2k
| x01 - bk| 3
= 0.
Це дає рiвноважне спiввiдношення мiж e0, e
\prime , a, b таке ж, як i в попередньому пунктi, оскiльки
x011 - x012 = 2a i
| x01 - b1| 2 = | x01 - b2| 2 = b2, | x01 - b3| 2 = | x01 - b4| 2 = | x01 - b5| 2 = | x01 - b6| 2 = (2a)2 + b2,
| x02 - b1| 2 = | x02 - b2| 2 = | x02 - b5| 2 = | x02 - b6| 2 = (2a)2 + b2, | x02 - b3| 2 = | x02 - b4| 2 = b2.
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї (3.1) мають вигляд
\partial U
\bigl(
x(2)
\bigr)
\partial x\alpha 1\partial x
\beta
2
=
\partial U
\bigl(
x(2)
\bigr)
\partial x\beta 2\partial x
\alpha
1
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
- 3
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )
\bigl(
x\beta 1 - x\beta 2
\bigr)
| x1 - x2| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2,
i
\partial 2U
\bigl(
x(2)
\bigr)
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
=
= -
e20\delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
6\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
(x\alpha j - b\alpha k )
\bigl(
x\beta j - b\beta k
\bigr)
| xj - bk| 5
\Biggr]
+ 3e20
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )
\bigl(
x\beta 1 - x\beta 2
\bigr)
| x1 - x2| 5
.
Далi ми знайдемо рiвноважнi значення всiх доданкiв у цих рiвностях. Нехай \eta , u\prime такi ж, як i
у попередньому пунктi. Очевидно, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1688 В. I. СКРИПНИК
e20
(x0\alpha 1 - x0\alpha 2 )
\bigl(
x0\beta 1 - x0\beta 2
\bigr)
| x01 - x02| 5
=
e20
(2a)3
\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,1,
e20
| x01 - xo2| 3
=
e20
(2a)3
= 2 - 1u\prime .
Використовуючи рiвностi (2.3), отримуємо
e0e
\prime
6\sum
k=1
\delta \alpha ,\beta
| x0j - bk| 3
= \delta \alpha ,\beta 2e0e
\prime
\Bigl(
b - 3 + 2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 3
2
\Bigr)
= \delta \alpha ,\beta
\biggl[
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
2u\prime
3
\biggr]
, (3.2)
де \delta \alpha ,\beta — символ Кронекера.
Нехай
Tj(\alpha , \beta ) =
6\sum
k=1
(x\alpha j - b\alpha k )
\bigl(
x\beta j - b\beta k
\bigr)
| xj - bk| 5
.
Також нехай T 0
j (\alpha , \beta ) є рiвноважним значенням Tj(\alpha , \beta ). Доведемо рiвнiсть
T 0
j (\alpha , \beta ) = \delta \alpha ,\beta
\Bigl\{
10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,1 + 2
\Bigl[
b - 3 + (2b2 + a2)
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
\delta \alpha ,2
\Bigr\}
. (3.3)
Оскiльки
T 0
1 (1, 2) = -
\Bigl\{
b - 5
\bigl(
(a - b11)b
2
1 + (a - b12)b
2
2
\bigr)
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b13)b
2
3 + (a - b14)b
2
4+
+(a - b15)b
2
5 + (a - b16)b
2
6)
\Bigr] \Bigr\}
= 0,
T 0
2 (1, 2) = -
\Bigl\{
(2a)2 + b2) -
5
2
\Bigl[ \bigl(
- a - b11
\bigr)
b21 +
\bigl(
- a - b12
\bigr)
b22 +
\bigl(
- a - b15
\bigr)
b25 + ( - a - b16)b
2
6
\Bigr]
+
+b - 5
\bigl( \bigl(
- a - b13
\bigr)
b23 +
\bigl(
- a - b14
\bigr)
b24
\bigr) \Bigr\}
= 0,
T 0
1 (1, 1) = b - 5
\Bigl[
(a - b11)
2 + (a - b12)
2
\Bigr]
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b13)
2 + (a - b14)
2+
+(a - b15)
2 + (a - b16)
2
\Bigr]
= 10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 ,
T 0
2 (1, 1) =
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[ \bigl(
- a - b11
\bigr) 2
+
\bigl(
- a - b12
\bigr) 2
+ ( - a - b15)
2 + ( - a - b16)
2
\Bigr]
+
+b - 3
\Bigl[ \bigl(
- a - b13
\bigr) 2
+
\bigl(
- a - b14
\bigr) 2\Bigr]
= 10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 ,
T 0
j (2, 2) =
6\sum
k=1
(b2k)
2
| x0j - bk| 5
,
T 0
j (2, 2) = 2b2
\Bigl[
b - 5 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
+ 2
3a2 + b2\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) 5
2
,
рiвнiсть (3.3) доведено. В результатi
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta
\Bigl\{
v\prime - 6e0e
\prime \cdot 5a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,1+
+
\Bigl[
b - 3 + (2b2 + 3a2)
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
\delta \alpha ,2 +
e20
(2a)3
\delta \alpha ,1
\Bigr\}
= \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast ),
v\prime =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
u\prime
6
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1689
Тут ми використали (3.2). Крiм того,
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
З рiвноважного спiввiдношення i (2.2) отримуємо
u\prime \ast +
3e20
(2a)3
= 6e0e
\prime \cdot 5a2(2a2 + b2) -
5
2 =
5
4
6e0e
\prime (2a)2
\Bigl( e0
3e\prime
\Bigr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
=
5u\prime
4
\eta ,
6e0e
\prime b - 3 = u\prime (1 - \eta ) -
3
2 ,
6e0e
\prime b2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 = 6e0e
\prime (2a)2(1 - \eta )\eta - 1
\Bigl( e0
3e\prime
\Bigr) 5
3
\biggl(
1
2a
\biggr) 5
= u\prime (1 - \eta ).
Цi рiвностi показують, що
u\prime \ast =
5u\prime
4
\eta - 3u\prime
2
, u\prime \prime \ast = u\prime
\biggl[
2(1 - \eta ) + (1 - \eta ) -
3
2 +
3\eta
4
\biggr]
.
Визначимо двi матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k (3.4)
i перенумеруємо iндекси координат за правилом
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (1, 2) = 3, (2, 2) = 4, (3.5)
де перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми i верхнiми iндексами
координат. В результатi отримаємо
U0 = U0
1 \oplus U0
2 .
Елементи симетричних матриць U0
1 , U
0
2 визначено так:
U0
1;1,1 = U0
1,1;1,1 = U0
1;2,2 = U0
2,1;2,1 = v\prime - u\prime \ast ,
U0
2;1,1 = U0
1,2;1,2 = U0
2;2,2 = U0
2,2;2,2 = v\prime - u\prime \prime \ast ,
U0
1;1,2 = U0
1,1;2,1 = - u\prime , U0
2;1,2 = U0
1,2;2,2 =
u\prime
2
,
U0 =
\Biggl(
v\prime - u\prime \ast - u\prime
- u\prime v\prime - u\prime \ast
\Biggr)
\oplus
\left( v\prime - u\prime \prime \ast
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - u\prime \prime \ast
\right) .
Характеристичний полiном U0 визначається таким чином:
p(\lambda ) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(U0 - \lambda I) =
\bigl(
(v\prime - u\prime \ast - \lambda )2 - u\prime 2
\bigr) \biggl(
(v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda )2 - u\prime 2
4
\biggr)
=
= (v\prime - u\prime \ast - \lambda - u\prime )(v\prime - u\prime \ast - \lambda + u\prime )
\biggl(
v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda - u\prime
2
\biggr) \biggl(
v\prime - u\prime \prime \ast - \lambda +
u\prime
2
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1690 В. I. СКРИПНИК
Його коренi \zeta j мають вигляд
\zeta 1 = v\prime - u\prime \ast - u\prime =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 5u\prime
4
\eta +
u\prime
6
+
3u\prime
2
- u\prime ,
\zeta 1 =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 5u\prime
4
\eta +
2u\prime
3
,
\zeta 2 = v\prime - u\prime \ast + u\prime = \zeta 1 + 2u\prime =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 5u\prime
4
\eta +
8u\prime
3
,
\zeta 3 = v\prime - u\prime \prime \ast -
u\prime
2
=
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - u\prime
3
- u\prime
\biggl[
2(1 - \eta ) + (1 - \eta ) -
3
2 +
3\eta
4
\biggr]
=
= - u\prime
\biggl[
2
3
(1 - \eta ) -
3
2 + 2(1 - \eta ) +
3\eta
4
+
1
3
\biggr]
= u\prime \zeta \prime 3,
\zeta 4 = v\prime - u\prime \prime \ast +
u\prime
2
= \zeta 3 + u\prime = \zeta \prime 4u
\prime ,
де \zeta 1, \zeta 2 є такими ж, як i у попередньому пунктi. Очевидно, що \zeta 3 < 0, \zeta 4 < 0.
Отже, наступна теорема випливає з центральної теореми Ляпунова.
Теорема 3.1. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) для d = 2, N = 2,
m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (3.1) має рiвновагу (a, 0), ( - a, 0) i два перiодичних
розв’язки в її околi, кожен з яких залежить вiд дiйсного вiдмiнного параметра cj при j = 1, 2.
Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau 1(c1), \tau 2(c2) є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв в
околi нуля i \tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\zeta j)
- 1.
4. Просторова динамiка Кулона. 1. Будемо розглядати просторову динамiку двох одна-
кових вiд’ємних зарядiв у полi шiстьох однакових додатних зарядiв, таких, як у попередньому
пунктi, зафiксованих у вершинах симетричного опуклого шестикутника з координатами bj ,
1 \leq j \leq 6, bj = (b1j , b
2
j , b
3
j = 0) \in \BbbR 3 :
b1 = (a, b, 0), b2 = (a, - b, 0), b5 = (0,
\sqrt{}
3a2 + b2, 0),
b3 = ( - a, b, 0), b4 = ( - a, - b, 0), b6 = (0, -
\sqrt{}
3a2 + b2, 0), a, b > 0,
з потенцiальною енергiєю
U
\bigl(
x(2)
\bigr)
= e20| x1 - x2| - 1 - e0e
\prime
\sum
j=1,2
6\sum
k=1
| xj - bk| - 1, xj =
\bigl(
x1j , x
2
j , x
3
j
\bigr)
\in \BbbR 3, (4.1)
де
| x| 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2 + (x3j )
2.
Неважко бачити, що для матричних елементiв U0 справджуються рiвностi
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast ), \alpha , \beta = 1, 2, 3,
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1), \alpha , \beta = 1, 2, 3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1691
в яких всi параметри є такими ж, як i у попередньому пунктi. При цьому потрiбно врахувати,
що b3k = 0, x03j = 0.
Визначимо тепер три матрицi U0
\alpha , \alpha = 1, 2, 3, за правилом
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k (4.2)
i перенумеруємо iндекси координат за правилом
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (1, 2) = 3, (2, 2) = 4, (1, 3) = 5, (2, 3) = 6, (4.3)
де перший i другий iндекси у круглих дужках збiгаються з нижнiми i верхнiми iндексами
координат. В результатi отримаємо
U0 = U0
1 \oplus U0
2 \oplus U0
3 .
Елементи симетричних матриць U0
1 , U
0
2 визначено в попередньому пунктi i
U0
3;1,1 = U0
1,3;1,3 = U0
3;2,2 = U0
2,3;2,3 = v\prime ,
U0
3;1,2 = U0
1,3;2,3 = U0
3;2,1 = U0
2,3;1,3 =
u\prime
2
,
U0
3 =
\left( v\prime
u\prime
2
u\prime
2
v\prime
\right) , v\prime =
u\prime
2
(1 - \eta ) -
3
2 .
В результатi
U0 =
\Biggl(
v\prime - u\prime \ast - u\prime
- u\prime v\prime - u\prime \ast
\Biggr)
\oplus
\left( v\prime - u\prime \prime \ast
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - u\prime \prime \ast
\right) \oplus
\left( v\prime
u\prime
2
u\prime
2
v\prime
\right) .
Власнi значення цiєї матрицi збiгаються з \zeta j , 1 \leq j \leq 4, \zeta 5 = \zeta \prime 5u
\prime = v\prime - u\prime
2
> 0, \zeta 6 = \zeta \prime 6u
\prime =
= v\prime +
u\prime
2
> 0, де першi чотири з них визначено у попередньому пунктi:
\zeta \prime 5 =
1
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
1
6
- 1
2
=
1
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 1
3
, \zeta \prime 6 =
1
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
2
3
.
Резонансу немає для \zeta 2, бо \zeta 2 > \zeta l, l \not = 2, 0 < \eta < 1. Немає квадратичного резонансу для \zeta 1,
оскiльки \zeta 1 \not = \zeta 5, якщо \eta \not = 4
5
, i
\zeta \prime 6 = \zeta \prime 1 +
5\eta
4
,
\zeta 6
\zeta 1
= 1 +
5
4\zeta \prime 1
\eta < 1 +
15
8
< 4\zeta \prime 1 >
2
3
,
\zeta 5
\zeta 1
<
\zeta 6
\zeta 1
< 4.
Немає квадратичного резонансу для \zeta 6, бо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1692 В. I. СКРИПНИК
\zeta \prime 6 > 1, \zeta \prime 6 > \zeta \prime 1, \zeta \prime 2 = \zeta \prime 6 + 2 - 5\eta
4
,
\zeta 2
\zeta 6
< 1 + 2 < 3.
Ми маємо також \zeta 1 \not = \zeta 5, якщо \eta \not = 4
5
, i
\zeta \prime 1 = \zeta \prime 5 + 1 - 5\eta
4
,
\zeta 1
\zeta 5
< 1 +
1
\zeta \prime 5
,
\zeta \prime 2 = \zeta \prime 5 + 3 - 5\eta
4
,
\zeta 2
\zeta 5
< 1 +
3
\zeta \prime 5
.
З двох останнiх нерiвностей i \eta \geq 2
3
отримуємо
\zeta \prime 5 >
4
3
,
\zeta 2
\zeta 5
< 1 +
3
\zeta \prime 5
< 1 +
9
4
< 4,
\zeta 1
\zeta 5
< 1 +
3
4
< 2,
\zeta 6
\zeta 5
= 1 +
1
\zeta \prime 5
< 2.
Отже, ми довели таке твердження.
Твердження 4.1. Якщо 0 < \eta < 1, то квадратичний резонанс вiдсутнiй для \zeta j , j = 2, 6.
Квадратичний резонанс вiдсутнiй для \zeta 1 та \zeta 5, якщо вiдповiдно \eta \not = 4
5
i \eta \geq 2
3
.
З цього твердження та центральної теореми Ляпунова випливає така теорема.
Теорема 4.1. Нехай
e0
2e\prime
= \eta
3
2 < 1, \eta =
4
5
або \eta <
2
3
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) при
d = 3, N = 2,m1 = m2 = m з потенцiальною енергiєю (4.1) має рiвновагу (a, 0, 0), ( - a, 0, 0)
i три перiодичних розв’язки в її околi. Якщо жодна з цих умов не виконується, то це рiвняння
має чотири перiодичних розв’язки в околi цiєї рiвноваги. В обох випадках вони залежать вiд
дiйсного параметра cj для вiдповiдного j, j = 1, 2, 3 або j = 1, 2, 3, 4. Цi розв’язки та їхнi
перiоди \tau j(cj) є дiйсно аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi нуля, такими що
\tau j(0) = 2\pi
\surd
m(
\sqrt{}
\xi j)
- 1, де \xi 1 = \zeta 2, \xi 2 = \zeta 6, \xi 3 = \zeta 1, \xi 4 = \zeta 5 або \xi 3 = \zeta 5, \xi 4 = \zeta 1.
Твердження 4.2. Шестикутник, що розглядається в усiх пунктах, має рiвнi сторони 2b,
якщо b =
2\surd
7
a. У цьому випадку \eta =
7
8
.
Доведення. Шестикутник має рiвнi сторони 2b, якщо (
\surd
3a2 + b2 - b)2 + a2 = 4b2. Таким
чином,
4a2 + 2b2 - 2b
\sqrt{}
3a2 + b2 = 4b2 \rightarrow 2a2 - b2 = b
\sqrt{}
3a2 + b2 \rightarrow
\rightarrow (2a2 - b2)2 = b2(3a2 + b2) \rightarrow 4a4 + b4 - 4a2b2 = b4 + 3a2b2 \rightarrow 4a2 - 4b2 = 3b2 \rightarrow b =
2\surd
7
a,
\eta =
4a2
4a2 + b2
=
4a2
4a2 + 7 - 14a2
=
7
8
.
5. Просторова динамiка Кулона. 2. Будемо розглядати просторову динамiку Кулона (1.1)
двох однакових вiд’ємних зарядiв e0 < 0 у полi шiстьох однакових додатних зарядiв e\prime > 0,
зафiксованих у вершинах октаедра з координатами bj , 1 \leq j \leq 6, bj = (b1j , b
2
j , b
3
j ) \in \BbbR 3 :
b1 = (a, b, 0), b2 = (a, - b, 0), b5 = (0, 0,
\sqrt{}
3a2 + b2), (5.1)
b3 = ( - a, b, 0), b4 = ( - a, - b, 0), b6 = (0, 0, -
\sqrt{}
3a2 + b2), a, b > 0. (5.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1693
Потенцiальну енергiю визначено формулою (4.1). Рiвновага x0j є такою ж, як i в попередньому
пунктi. Всi евклiдiвськi норми x0j - bk є тi ж самi, що i в попередньому пунктi, бо x0\alpha j = 0,
\alpha = 2, 3. Всi доданки у виразi U0
j,\alpha ;\beta ,k є тими ж самими, що i ранiше, за винятком T 0
j (\alpha , \beta ).
Рiвновага визначається рiвностями
6\sum
k=1
x011 - b1k
| x01 - bk| 3
=
6a\bigl( \sqrt{}
(2a)2 + b2
\bigr) 3 ,
6\sum
k=1
x021 - b2k
| x01 - bk| 3
= -
6\sum
k=1
b2k
| x01 - bk| 3
= 0,
6\sum
k=1
x031 - b3k
| x01 - bk| 3
= -
6\sum
k=1
b3k
| x01 - bk| 3
= 0.
Вони визначають рiвноважне спiввiдношення, як i ранiше. Для функцiй T 0
j , визначених у
третьому пунктi (див. (3.3)), має мiсце рiвнiсть
T 0
j (\alpha , \beta ) = \delta \alpha ,\beta
\Bigl\{
10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,1 + 2
\Bigl[
b - 3 + b2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
\delta \alpha ,2+
+2(3a2 + b2)
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 \delta \alpha ,3
\Bigr\}
, (5.3)
яка випливає з рiвностей
T 0
1 (1, 2) = -
\Bigl\{
b - 5
\bigl(
(a - b11)b
2
1 + (a - b12)b
2
2
\bigr)
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b13)b
2
3 + (a - b14)b
2
4+
+(a - b15)b
2
5 + (a - b16)b
2
6
\Bigr] \Bigr\}
= 0,
T 0
1 (1, 3) = -
\Bigl\{
b - 5
\bigl(
(a - b11)b
3
1 + (a - b12)b
3
2
\bigr)
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b13)b
3
3 + (a - b14)b
3
4+
+(a - b15)b
3
5 + (a - b16)b
3
6
\Bigr] \Bigr\}
= 0,
T 0
1 (2, 3) = -
\Bigl\{
b - 5
\bigl(
(a - b21)b
3
1 + (a - b22)b
3
2
\bigr)
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b23)b
3
3 + (a - b24)b
3
4+
+(a - b25)b
3
5 + (a - b26)b
3
6
\Bigr] \Bigr\}
= 0,
T 0
1 (1, 1) = b - 5
\Bigl[
(a - b11)
2 + (a - b12)
2
\Bigr]
+
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
(a - b13)
2 + (a - b14)
2+
+(a - b15)
2 + (a - b16)
2
\Bigr]
= 10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 , (5.4)
T 0
2 (1, 1) =
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigl[
( - a - b11)
2 + ( - a - b12)
2 + ( - a - b15)
2 + ( - a - b16)
2
\Bigr]
+
+b - 3
\Bigl[
( - a - b13)
2 + ( - a - b14)
2
\Bigr]
= 10a2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2 ,
T 0
j (2, 2) =
6\sum
k=1
(b2k)
2
| x0j - bk| 5
=
4\sum
k=1
(b2k)
2
| x0j - bk| 5
= 2b2
\Bigl[
b - 5 +
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
,
T 0
j (3, 3) =
6\sum
k=1
(b3k)
2
| x0j - bk| 5
=
6\sum
k=5
(b3k)
2
| x0j - bk| 5
= 2
3a2 + b2\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) 5
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1694 В. I. СКРИПНИК
Piвнiсть T 0
2 (\alpha , \beta ) = 0, \alpha \not = \beta , доводимо за допомогою чотирьох рiвностей з (5.4), використовую-
чи те, що x011 = - x012 = - a. Таким чином, рiвнiсть (5.3) є правильною. Очевидно, що вираз
Tj(1, 1) є тим самим, що i в третьому пунктi, i матричнi елементи U0 визначаються так:
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta (v
\prime - \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2v1 - \delta \alpha ,3v2), \alpha , \beta = 1, 2, 3,
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1), \alpha , \beta = 1, 2, 3,
де вираз u\prime \ast визначено у третьому пунктi i
u\prime \ast =
5u\prime
4
\eta - 3u\prime
2
, v\prime =
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
u\prime
6
,
v1 = 6e0e
\prime
\Bigl[
b - 3 + b2
\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) - 5
2
\Bigr]
= u\prime (1 - \eta ) -
3
2 + u\prime (1 - \eta ),
v2 = 6e0e
\prime 3a2 + b2\bigl(
(2a)2 + b2
\bigr) 5
2
=
3u\prime
4
\eta + (1 - \eta )u\prime = u\prime - u\prime
4
\eta .
Цi рiвностi доведено у третьому пунктi. Застосовуючи перенумерацiю змiнних iз попереднього
пункту, отримуємо
U0 =
\Biggl(
v\prime - u\prime \ast - u\prime
- u\prime v\prime - u\prime \ast
\Biggr)
\oplus
\left( v\prime - v1
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - v1
\right) \oplus
\left( v\prime - v2
u\prime
2
u\prime
2
v\prime - v2
\right) .
Характеристичний полiном U0 є добутком трьох квадратичних полiномiв. Перший iз них має
коренi \zeta j , j = 1, 2, визначенi у другому пунктi. Решта з них задаються так (0 < \eta < 1):
\zeta 3 = u\prime \zeta \prime 3 = v\prime - v1 -
u\prime
2
= - 2u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
\biggl(
1
6
- 3
2
\biggr)
u\prime + \eta u\prime =
= - 2u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 4
3
u\prime + \eta u\prime < 0,
\zeta 4 = u\prime \zeta \prime 4 = v\prime - v1 +
u\prime
2
= - 2u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - u\prime
3
+ \eta u\prime < 0,
\zeta 5 = u\prime \zeta \prime 5 = v\prime - v2 -
u\prime
2
=
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 +
u\prime
6
+
u\prime
4
\eta - 3u\prime
2
=
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - 4u\prime
3
+
u\prime
4
\eta ,
\zeta 6 = u\prime \zeta \prime 6 = v\prime - v2 +
u\prime
2
=
u\prime
3
(1 - \eta ) -
3
2 - u\prime
3
+
\eta
4
u\prime > 0.
Проаналiзуємо тепер можливiсть виключення резонансiв серед цих коренiв. Важливу роль
при цьому вiдiграють лiнiйнi спiввiдношення мiж ними. При 0 < \eta < 1 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ПЕРIОДИЧНА КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ РIВНИХ ВIД’ЄМНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1695
\zeta \prime 5 = \zeta \prime 1 - 2 +
3\eta
2
= \zeta \prime 2 - 4 +
3\eta
2
, \zeta \prime 5 < \zeta \prime 1, \zeta \prime 2,
\zeta \prime 6 = \zeta \prime 1 - 1 +
3\eta
2
= \zeta \prime 2 - 3 +
3\eta
2
< \zeta \prime 1 +
1
2
, \zeta \prime 6 < \zeta \prime 2.
Це означає, що резонансу немає для \zeta 2 . Оскiльки \zeta \prime 1 >
2
3
(доведено у другому пунктi), то
\zeta \prime 6
\zeta \prime 1
< 1 +
3
4
.
Це означає, що квадратичного резонансу немає для \zeta 1, якщо \eta \not = 2
3
, тобто \zeta 6 \not = \zeta 1 . Ми також
маємо
\eta >
2
3
\rightarrow \zeta \prime 6 > \zeta \prime 1, \zeta \prime 2 < \zeta \prime 6 +
3
2
, \zeta \prime 6 >
4
3
,
\zeta \prime 2
\zeta \prime 6
< 1 +
9
8
< 3.
Цi нерiвностi свiдчать про те, що квадратичного резонансу немає для \zeta 6, якщо \eta >
2
3
. Ми
також маємо
\eta \geq 3
4
\rightarrow \zeta \prime 5 >
4
3
,
\zeta \prime 6
\zeta \prime 5
=
1
\zeta \prime 5
+ 1 < 2, \zeta \prime 1 < \zeta \prime 5 + 1,
\zeta \prime 1
\zeta \prime 5
< 2, \zeta \prime 2 < \zeta \prime 5 + 3,
\zeta \prime 2
\zeta \prime 5
< 1 +
9
4
< 4.
Цi нерiвностi свiдчать про те, що квадратичного резонансу немає для \zeta 5, якщо \eta \geq 3
4
.
Отже, ми довели таке твердження.
Твердження 5.1. Нехай виконується одна з чотирьох умов \eta =
2
3
, \eta <
2
3
,
2
3
< \eta <
3
4
,
\eta \geq 3
4
. Тодi вiдсутнi квадратичнi резонанси вiдповiдно для \zeta 2; \zeta 2, \zeta 1; \zeta 2, \zeta 1, \zeta 6; \zeta 2, \zeta 1, \zeta 6, \zeta 5.
З центральної теореми Ляпунова випливає така теорема.
Теорема 5.1. Покладемо
e0
3e\prime
= \eta
3
2 < 1. Нехай виконується одна з чотирьох умов \eta =
2
3
,
\eta <
2
3
,
2
3
< \eta <
3
4
, \eta \geq 3
4
. Тодi рiвняння руху Кулона (1.1) при d = 3, N = 2, m1 =
m2 = m з потенцiальною енергiєю (4.1) i вершинами октаедра bj , заданими формулами
(5.1), (5.2), має рiвновагу (a, 0, 0), ( - a, 0, 0), а також вiдповiдно один, два, три та чотири
перiодичних розв’язки в її околi. Вони залежать вiд дiйсних параметрiв cj для вiдповiдного
j, j = 1; j = 1, 2; j = 1, 2, 3 та j = 1, 2, 3, 4. Цi розв’язки та їхнi перiоди \tau j(cj) є дiйсно
аналiтичними функцiями цих параметрiв в околi початку координат i \tau 1(0) = 2\pi
\surd
m(
\surd
\zeta 2)
- 1,
\tau 2(0) = 2\pi
\surd
m(
\surd
\zeta 1)
- 1, \tau 3(0) = 2\pi
\surd
m(
\surd
\zeta 6)
- 1, \tau 4(0) = 2\pi
\surd
m(
\surd
\zeta 5)
- 1 .
Лiтература
1. W. Skrypnik, Periodic and bounded solutions of the Coulomb equation of motion of two and three point charges
with equilibrium on line, Ukr. Math. J., 66, № 5, 668 – 682 (2014).
2. В. Скрипник, Кулонiвська динамiка двох та трьох рiвних вiд’ємних зарядiв на площинi у полi фiксованих двох
рiвних додатних зарядiв, Укр. мат. журн., 68, № 11, 1528 – 1539 (2016).
3. W. Skrypnik, Coulomb dynamics near equilibrium of two equal negative charges in the field of fixed two equal
positive charges, Ukr. Math. J., 68, № 9, 1273 – 1285 (2016).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1696 В. I. СКРИПНИК
4. W. Skrypnik, Coulomb dynamics of three equal negative charges in field of fixed two equal positive charges, J. Geom.
and Phys., 127, 101 – 111 (2018).
5. A. Lyapunov, General problem of stability of motion, Moscow (1950); English translation: Internat. J. Control, 55,
№ 3, 521 – 790 (1992).
6. M. S. Berger, Nonlinearity and functional analysis, Lectures on Nonlinear Problems in Math. Analysis, Acad. Press,
New York etc. (1977).
7. J. Marsden, M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York (1976).
8. C. Siegel, J. Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, Berlin ect. (1971).
9. В. Немыцкий, В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, Москва, Ленинград (1947).
10. W. Skrypnik, Coulomb planar periodic motion of n equal charges n the field of n equal positive charges fixed at a
line and constant magnetic field, Adv. Math. Phys., 2018, Article ID 2548074 (2018), 10 p.
11. C. Siegel, Über eine periodische Lösung in ebenen Dreikörper Problem, Math. Nachr., 4, 28 – 35 (1950-1951).
Одержано 06.05.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-917 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:06:04Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/36/a2209941685c351ac051dce35e041836.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-9172025-03-31T08:49:28Z Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges Періодична кулонівська динаміка двох рівних від’ємних зарядів у полі фіксованих шістьох рівних додатних зарядів Skrypnyk, V. I. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник , В. І. Рівновага заряди Кулон періодичний рух Equilibrium charges Coulomb periodic motion UDC 517.9 Periodic solutions of the Coulomb $d$-dimensional $(d=1,2,3)$ equation of motion for two equal negative point charges in the field of six equal positive point charges fixed at vertices of a convex symmetric hexagon and octahedron are found. These systems possess an equilibrium configuration. Their periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov central limit theorem. УДК 517.9Знайдено періодичні розв'язки $d$-вимірних $(d=1,2,3)$ рівнянь руху Кулона двох від'ємних точкових однакових зарядів у полі шістьох однакових додатних точкових зарядів, зафіксованих у вершинах опуклого симетричного шестикутника та октаедра. Ці системи мають рівноважний стан. Періодичні розв'язки отримано за допомогою центральної теореми Ляпунова. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-12-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/917 10.37863/umzh.v72i12.917 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 12 (2020); 1682-1696 Український математичний журнал; Том 72 № 12 (2020); 1682-1696 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/917/8876 Copyright (c) 2020 В. І. Скрипник |
| spellingShingle | Skrypnyk, V. I. Skrypnyk, Volodymyr Скрипник , В. І. Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title_alt | Періодична кулонівська динаміка двох рівних від’ємних зарядів у полі фіксованих шістьох рівних додатних зарядів |
| title_full | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title_fullStr | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title_full_unstemmed | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title_short | Periodic Coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| title_sort | periodic coulomb dynamics of two equal negative charges in the field of six equal positive fixed charges |
| topic_facet | Рівновага заряди Кулон періодичний рух Equilibrium charges Coulomb periodic motion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/917 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnykvi periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivefixedcharges AT skrypnykvolodymyr periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivefixedcharges AT skripnikví periodiccoulombdynamicsoftwoequalnegativechargesinthefieldofsixequalpositivefixedcharges AT skrypnykvi períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihšístʹohrívnihdodatnihzarâdív AT skrypnykvolodymyr períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihšístʹohrívnihdodatnihzarâdív AT skripnikví períodičnakulonívsʹkadinamíkadvohrívnihvídêmnihzarâdívupolífíksovanihšístʹohrívnihdodatnihzarâdív |