Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term
UDC 517.9 The regularized asymptotics of a solution of the first boundary value problem for a two-dimensional differential equation of parabolic type is constructed when the phase derivative vanishes at one point. It is shown that angular and multidimensional boundary layer functions appear in such...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/93 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507120563126272 |
|---|---|
| author | Omuraliev , A. S. Abylaeva, E. Омуралiєв, А. С. Абилаєва, E. Абилаєва, Е. |
| author_facet | Omuraliev , A. S. Abylaeva, E. Омуралiєв, А. С. Абилаєва, E. Абилаєва, Е. |
| author_sort | Omuraliev , A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 517.9
The regularized asymptotics of a solution of the first boundary value problem for a two-dimensional differential equation of parabolic type is constructed when the phase derivative vanishes at one point. It is shown that angular and multidimensional boundary layer functions appear in such problems in addition to other boundary layers. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.93 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.93
УДК 517.9
А. С. Омуралiєв, Е. Абилаєва (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бiшкек)
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНЕ БАГАТОВИМIРНЕ ПАРАБОЛIЧНЕ РIВНЯННЯ
ЗI ШВИДКООСЦИЛЮЮЧИМ ВIЛЬНИМ ЧЛЕНОМ
The regularized asymptotics of a solution of the first boundary-value problem for a two-dimensional differential equation of
parabolic type is constructed when the phase derivative vanishes at one point. It is shown that angular and multidimensional
boundary layer functions appear in such problems in addition to other boundary layers.
Побудовано регуляризовану асимптотику розв’язку першої крайової задачi для двовимiрного диференцiального
рiвняння параболiчного типу, коли похiдна фази дорiвнює нулю в однiй точцi. Показано, що в таких задачах поряд
з iншими примежовими шарами виникають кутовi та багатовимiрнi функцiї примежового шару.
1. Вступ. Сингулярно збуренi звичайнi диференцiальнi рiвняння зi швидкоосцилюючим вiль-
ним членом вивчалися в роботi [1]. Там побудовано асимптотику розв’язкiв рiзних задач для
звичайних диференцiальних рiвнянь.
Параболiчнi рiвняння, що мiстять швидкоосцилюючi вiльнi члени, методом [2] вивченi в [3,
5]. Побудованi асимптотики, крiм функцiй примежового шару, що мають швидкоосцилюючий
характер змiни, мiстять i параболiчнi функцiї примежового шару. В цих роботах припускається,
що вiльний член є вiдмiнним вiд нуля похiдної фази.
Випадок, коли фаза вiльного члена має стацiонарнi точки, для скалярного диференцiального
рiвняння параболiчного типу вивчено в [4, 5]. Показано, що асимптотика мiстить додатково
новий тип сингулярностi вигляду
t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
i[\theta (s) - \theta (0)]
\varepsilon
\biggr)
ds,
який при \varepsilon \rightarrow 0 має степеневий характер спадання.
В цiй статтi вивчається перша крайова задача для двовимiрного параболiчного рiвняння,
асимптотика якої, крiм зазначених вище функцiй примежового шару, мiстить кутовi [6] i бага-
товимiрнi [7] функцiї примежового шару.
2. Постановка задачi. Розглянемо крайову задачу для двовимiрного рiвняння:
L\varepsilon \equiv \partial tu - \varepsilon 2
2\sum
l=1
\alpha l(xl)\partial
2
xl
- b(x, t)u = f(x, t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
i\theta (t)
\varepsilon
\biggr)
, (x, t) \in \Omega ,
u| t=0 = 0, u| xl=r - 1=0 = 0, l = 1, 2, r = 1, 2,
(1)
де \varepsilon — малий параметр, u = u(x, t, \varepsilon ), x = (x1, x2), \Omega = (0, 1)\times (0, 1)\times (0, T ].
Задачу (1) будемо розв’язувати при таких припущеннях:
1) al(xl) \in C\infty [0, 1], b(x, t), f(x, t) \in c\infty (\=\Omega );
2) \theta (t) \in C\infty [0, T ], \theta \prime (0) = 0.
c\bigcirc А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12 1647
1648 А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА
3. Регуляризацiя задачi. Дотримуючись [2, 3], введемо регуляризуючi змiннi
\eta =
t
\varepsilon 2
, \tau =
i[\theta (t) - \theta (0)]
\varepsilon
, \xi l,r =
\varphi lr(xr)
\varepsilon
,
\varsigma l,r =
\varphi lr(xr)
\varepsilon 2
, l, r = 1, 2, (2)
\sigma =
t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
i[\theta (s) - \theta (0)]
\varepsilon
\biggr)
ds \equiv \psi (t, \varepsilon ), \varphi l,r(xr) = ( - 1)l - 1
xr\int
l - 1
ds\sqrt{}
ar(s)
i розширену функцiю \~u(M, \varepsilon ), M = (x, t, \xi , \varsigma , \eta , \tau , \sigma ), \xi = (\xi 1,1, \xi 2,1, \xi 1,2, \xi 2,2), \varsigma = (\varsigma 1,1, \varsigma 2,1,
\varsigma 1,2, \varsigma 2,2) таку, що
\~u(M, \varepsilon )| \mu =\nu (x,t,\varepsilon ) \equiv u(x, t, \varepsilon ), \mu = (\xi , \varsigma , \eta , \tau , \sigma ),
\nu =
\biggl(
\varphi (x)
\varepsilon
,
\varphi (x)
\varepsilon 2
,
t
\varepsilon 2
,
i(\theta (t) - \theta (0))
\varepsilon
, \psi (t, \varepsilon )
\biggr)
.
(3)
Використовуючи (2) i (3), знаходимо
\partial tu =
\biggl(
\partial t\~u+
1
\varepsilon 2
\partial \eta \~u+
i\theta \prime (t)
\varepsilon
\partial \tau \~u+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )\partial \sigma \~u
\biggr)
\mu =\nu (x,t,\varepsilon )
,
\partial 2xr
u=
\left( \partial 2xr
\~u+
2\sum
l=1
\left\{
\Biggl(
\varphi \prime
l,r(xr)
\varepsilon
\Biggr) 2
\partial 2\xi l,r \~u+
\Biggl(
\varphi \prime
l,r(xr)
\varepsilon 2
\Biggr) 2
\partial 2\varsigma l,r \~u+
1
\varepsilon
L\xi l,r +
1
\varepsilon 2
L\varsigma l,r
\right\}
\right)
\mu =\nu (x,t,\varepsilon )
, (4)
L\xi l,r = 2\varphi \prime
l,r(xr)\partial
2
\xi l,rxr
+ \varphi \prime \prime
l,r(xr)\partial \xi l,r .
Тодi на основi (1), (3), (4) сформулюємо розширену задачу:
\~L\varepsilon \~u(M, \varepsilon ) = \partial t\~u+
1
\varepsilon 2
[\partial \eta \~u - \Delta \varsigma \~u] +
1
\varepsilon
i\theta \prime (t)\partial \tau \~u - \Delta \xi \~u+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )\partial \sigma \~u - b(x, t)\~u -
- L\varsigma \~u - \varepsilon L\xi \~u+ \varepsilon 2Lx\~u = f(x, t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
i\tau +
i\theta (0)
\varepsilon
\biggr)
,
\~u| t=\tau =\sigma =\varsigma =0 = 0, \~u| xr=l - 1,\xi l,r=\varsigma l,r=0 = 0, (5)
\Delta \xi \equiv
2\sum
l,r=1
\partial 2\xi l,r , L\xi \equiv
2\sum
l,r=1
ar(xr)L\xi l,r , Lx \equiv
2\sum
r=1
ar(xr)\partial
2
xr
.
Розширена задача (5) є регулярною щодо \varepsilon при \varepsilon \rightarrow 0. При цьому справджується тотожнiсть\Bigl(
\~L\varepsilon \~u
\Bigr)
\mu =\nu (x,t,\varepsilon )
\equiv L\varepsilon u. (6)
Розв’язок задачi (5) будемо визначати у виглядi ряду
\~u(M, \varepsilon ) =
\infty \sum
k=0
\varepsilon kuk(M). (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНЕ БАГАТОВИМIРНЕ ПАРАБОЛIЧНЕ РIВНЯННЯ . . . 1649
Для коефiцiєнтiв цього ряду, використовуючи (5), отримуємо iтерацiйнi рiвняння
T0u0 \equiv \partial \eta u0 - \Delta \varsigma u0 = 0, T0u1 \equiv - i\theta \prime (t)\partial \tau u0,
T0u2 \equiv - i\theta \prime (t)\partial \tau u1 - T1u0 + L\varsigma u0 + f(x, t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\tau +
i\theta (0)
\varepsilon
\biggr)
, (8)
T0uk \equiv - i\theta \prime (t)\partial \tau uk - 1 - T1uk - 2 + L\varsigma uk - 2 + L\xi uk - 3 + Lxuk - 4,
де T1 = \partial t - \Delta \xi + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )\partial \sigma - b(x, t).
4. Розв’язнiсть iтерацiйних задач. Введемо клас функцiй, в якому будемо розв’язувати
iтерацiйнi задачi:
U1 =
\Biggl\{
uk(M) : uk(M) = vk(x, t) + c1k(x, t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau ) +
+
2\sum
l,r=1
\biggl(
wl,r
k (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ wl,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr)
,
vk(x, t), c
1
k(x, t), w
l,r
k (x, t), wl,r+2(x, t) \in C\infty (\=\Omega )
\Biggr\}
,
U2 =
\left\{ uk(M) : uk(M) =
2\sum
l,r=1
(Y l,r
k (Nl,r) + Y l,r+2
k (Nl,r+2)) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\right\} ,
Nl,r = (x, t, \varsigma l,r, \eta ),
Nl,r+2 = (x, t, \varsigma l1, \varsigma r2, \eta ),\bigm| \bigm| \bigm| Y l,r
k (Nl,r)
\bigm| \bigm| \bigm| < c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\varsigma 2l,r
8\eta
\Biggr)
,
\bigm| \bigm| \bigm| Y l,r+2
k (Nl,r+2)
\bigm| \bigm| \bigm| < c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\varsigma 2l,1 + \varsigma 2r,2
8\eta
\Biggr)
,
U3 =
\left\{ uk(M) : uk(M) =
=
\left[ c2k(x, t) + 2\sum
l,r=1
\biggl(
zl,rk (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ zl,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr) \right] \sigma
\right\} ,
c2k(x, t), zl,rk (x, t), zl,r+2(x, t) \in C\infty (\=\Omega ),
i побудуємо новий клас функцiй: U = U1 \oplus U2 \oplus U3. Довiльний елемент uk(M) \in U запишемо
у виглядi
uk(M) = vk(x, t) +
2\sum
l,r=1
\biggl(
wl,r
k (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ wl,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr)
+
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ c1k(x, t) + 2\sum
l,r=1
(Y l,r
k (Nl,r) + Y l,r+2
k (Nl,r+2))
\right] +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1650 А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА
+
\left[ c2k(x, t) + 2\sum
l,r=1
\biggl(
zl,rk (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ zl,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr) \right] \sigma . (9)
Теорема 1. Рiвняння
T0uk = Fk(M) (10)
при додаткових умовах:
1) u| t=\tau =\varsigma =0 = u| xl=l - 1,\xi l,r=0 = 0,
2) T1uk - 2 + i\theta \prime (t)\partial \tau uk - 1 + Fk(M) \in U2,
3) L\xi uk = L\varsigma uk = 0
має в U єдиний розв’язок.
Доведення. Пiдпорядковуючи функцiю uk(M) \in U крайовiй умовi 1, визначаємо
vk(x, 0) = - c1k(x, 0),
Y l,r
k (Nl,r)| \eta =t=0 = 0,
Y l,r+2
k (Nl,r+2)| t=\eta =0 = 0,
wr
k(x, t)| xr=l - 1 = - vk(x, t)| xr=l - 1,
wl,r+2
k (x, t)| x1=l - 1 = - wr,2
k (x, t)| x1=l - 1,
wl,r+2
k (x, t)| x2=r - 1 = - wl,1
k (x, t)| x2=r - 1,
zl,rk (x, t)| xr=l - 1 = - c2r(x, t)| xr=l - 1,
zl,r+2
k (x, t)| x1=l - 1 = - zr,2k (x, t)| x1=l - 1,
zl,r+2
k (x, t)| x2=r - 1 = - zl,1k (x, t)| x2=r - 1,
Y l,r
k (N)| \varsigma l,r=0 = dl,rk (x, t),
dl,rk (x, t)| xr=l - 1 = - c1k(x, t)| xr=l - 1,
Y l,r+2
k | \varsigma l,1=0 = - Y r,2(\varsigma r,2),
Y l,r+2
k | \varsigma r,2=0 = - Y l,r(\varsigma l,1), l, r = 1, 2.
(11)
Тут ми знехтували доданками, що мiстять erfc
\biggl(
\varphi l,1(1)
2\varepsilon
\surd
t
\biggr)
, erfc
\biggl(
\varphi r,2(0)
2\varepsilon
\surd
t
\biggr)
. Розглянемо умову
2 теореми 1. Пiдставляючи в цю умову функцiю uk(M), а також вiльний член
Fk(M) = fk,v(x, t) +
2\sum
l,r=1
\biggl(
f l,rk,w(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ f l,r+2
k,w (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr)
+
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ f1c (x, t) + 2\sum
l,r=1
(f l,rk,Y (Nl,r) + f l,r+2
k,Y (Nl,r+2))
\right] +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНЕ БАГАТОВИМIРНЕ ПАРАБОЛIЧНЕ РIВНЯННЯ . . . 1651
+
\left[ f2k,c(x, t) + 2\sum
l,r=1
\biggl(
f l,rk,z(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ f l,r+2
k,z (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr) \right] \sigma ,
маємо
H(M) \equiv T1uk - 2 + i\theta \prime (t)\partial \tau uk - 1 + Fk(M) = \partial tvk - 2(x, t) +
+
2\sum
l,r=1
\biggl\{
\partial tw
l,r
k (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ \partial tw
l,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr\}
+
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ \partial tc1k - 2(x, t) +
2\sum
l,r=1
(\partial tY
l,r
k - 2 + \partial tY
l,r+2
k - 2 )
\right] + \sigma
\left[ \partial tc2k - 2(x, t) +
+
2\sum
l,r=1
\biggl\{
\partial tz
l,r
k - 2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ \partial tz
l,r+2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr\} \right] +
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ c2k - 2(x, t) +
2\sum
l,r=1
\biggl[
zl,rk - 2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ zl,r+2
k - 2 (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr] \right] -
- b (x, t)
\left\{ vk - 2(x, t) +
2\sum
l,r=1
\biggl[
wl,r
k - 2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ wl,r+2
k - 2 (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr]
+
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ c1k - 2(x, t) +
2\sum
l,r=1
(Y l,r
k - 2 + Y l,r+2
k - 2 )
\right] +
\left[ c2k - 2(x, t) +
+
2\sum
l,r=1
\biggl\{
zl,rk - 2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ zl,r+2
k - 2 (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr\} \right] \sigma
\right\} +
+ i \theta \prime (t)
\left\{ c1k - 1(x, t) +
2\sum
l,r=1
(Y l,r
k - 1 + Y l,r+2
k - 1 )
\right\} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau ) + fk,v(x, t) +
+
2\sum
l,r=1
\biggl[
f l,rk,w(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ f l,r+2
k,w (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr]
+
+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left\{ f1k,c(x, t) +
2\sum
l,r=1
\Bigl[
f l,rk,Y (Nl,r) + f l,r+2
k,Y (Nl,r+2)
\Bigr] \right\} +
+ \sigma
\left\{ f1k,c(x, t) +
2\sum
l,r=1
\biggl[
f l,rk,z(Nl,r) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ f l,r+2
k,z (Nl,r+2) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr] \right\} .
(12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1652 А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА
Задовольняючи умову 2 i зважаючи на те, що функцiї erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
, erfc
\biggl(
\xi l,r+2
2
\surd
t
\biggr)
є
розв’язками рiвняння \partial tu - \Delta \xi u = 0, покладаємо
i\theta \prime (t)c1k - 1(x, t) - b(x, t)c1k - 2(x, t) + c2k - 2(x, t) + f1k,c(x, t) + \partial tc
1
k - 2(x, t) = 0,
\partial tvk - 2(x, t) - b(x, t)vk - 2(x, t) + fk,v(x, t) = 0,
\partial tc
2
k - 2(x, t) - b(x, t)c2k - 2(x, t) + f2k,c(x, t) = 0,
\partial tw
l,r
k - 2(x, t) - b(x, t)wl,r
k - 2(x, t) + f l,rk,w(x, t) = 0,
\partial tw
l,r+2
k - 2 (x, t) - b(x, t)wl,r+2
k - 2 (x, t) + f l,r+2
k,w (x, t) = 0,
\partial tz
l,r
k - 2(x, t) - b(x, t)zl,rk - 2(x, t) + f l,rk,z(x, t) = 0,
\partial tz
l,r+2
k - 2 (x, t) - b(x, t)zl,r+2
k - 2 (x, t) + f l,r+2
k,z (x, t) = 0,
\partial tY
l,r
k - 2 - b(x, t)Y l,r
k - 2 + f l,rk,Y (x, t) = 0,
\partial tY
l,r+2
k - 2 - b(x, t)Y l,r+2
k - 2 + f l,r+2
k,Y (x, t) = 0.
(13)
Тодi
H(M) \equiv T1uk - 2 + i\theta \prime (t)\partial \tau uk - 1 + Fk(M) =
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
2\sum
l,r=1
\biggl\{
zl,rk - 2(x, t) erfc
\biggl(
\xi l,r
2
\surd
t
\biggr)
+ zl,r+2
k - 2 (x, t) erfc
\biggl(
\xi l,1
2
\surd
t
\biggr)
erfc
\biggl(
\xi r,2
2
\surd
t
\biggr) \biggr\}
+
+i\theta \prime (t)
2\sum
l,r=1
(Y l,r
k - 1 + Y l,r+2
k - 1 ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau ).
Переходячи тут вiд
\xi l,r
2
\surd
t
до змiнних
\varsigma l,r
2
\surd
\eta
, l, r = 1, 2, забезпечуємо належнiсть H(M) до U2.
Перше рiвняння з (13) розв’язне, якщо
c2k - 2(x, t)| t=0 = -
\bigl(
f1k,c(x, t) + \partial tc
1
k - 2(x, t) - b(x, t)c1k - 2(x, t)
\bigr)
t=0
.
Це спiввiдношення використовується як початкова умова для рiвняння щодо c2k - 2(x, t) iз (13).
Пiдставимо функцiю uk(M) \in U з (9) у рiвняння (10). Вона буде розв’язком, якщо функцiї
Y l,r
k (Nl,r), Y
l,r+2
k (Nl,r+2)є розв’язками рiвнянь
T0Y
l,r
k = T2Y
l,r
k (Nl,r) = \partial \varsigma Y
l,r
k - \partial \xi l,rY
l,r = f l,rk,Y (Nl,r),
T0Y
l,r+2
k = T3Y
l,r+2
k (Nl,r+2) = \partial \varsigma Y
l,r+2
k - \Delta \varsigma \partial \varsigma l,rY
l,r+2 = f l,r+2
k,Y (Nl,r+2), l, r = 1, 2.
Розв’язки цих рiвнянь при крайових умовах з (11) мають вигляд [9, c. 62]
Y l,r
k (Nl,r) = dl,rk (x, t) erfc
\biggl(
\varsigma l,r
2
\surd
\eta
\biggr)
+ I1(Nl,r),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНЕ БАГАТОВИМIРНЕ ПАРАБОЛIЧНЕ РIВНЯННЯ . . . 1653
Y l,r+2
k (Nl,r+2) =
\infty \int
0
\infty \int
0
f l,r+2
k,Y G(Nl,r+2, z, \eta - \tau )dzd\tau +
+
\varsigma \int
0
\infty \int
0
( - Y l,1) [\partial \varsigma G(Nl,r+2, z, \eta - \tau )]\varsigma =0 dzd\tau , (14)
G(Nl,r+2, \varsigma , \sigma , \eta ) =
1
4\pi \eta
\biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (\varsigma l,1 - \sigma )2
4\eta
\biggr)
+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (\varsigma l,1 + \sigma )2
4\eta
\biggr) \biggr\}
\times
\times
\biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (\varsigma r,2 - \sigma )2
4\eta
\biggr)
+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (\varsigma r,2 + \sigma )2
4\eta
\biggr) \biggr\}
.
На пiдставi теорем 2 i 3 з роботи [7] для цих функцiй маємо оцiнки
\bigm| \bigm| \bigm| Y l,r
k (Nl,r)
\bigm| \bigm| \bigm| < c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\varsigma 2l,r
8\eta
\Biggr)
,
\bigm| \bigm| \bigm| Y l,r+2
k (Nl,r+2)
\bigm| \bigm| \bigm| < c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\varsigma 2l,1 + \varsigma 2r,2
8\eta
\Biggr)
.
(15)
Функцiї Y l,r
k i Y l,r+2
k мiстять довiльнi функцiї dl,rk (x, t), якi задовольняють при xr = l - 1
умови з (11). Оскiльки функцiя dl,rk (x, t) множиться на функцiю erfc
\biggl(
\varsigma l,r
2
\surd
\eta
\biggr)
, яка при t = \eta =
= 0 дорiвнює нулю, то за значення dl,rk (x, t) при t = 0 вiзьмемо довiльну функцiю \~dl,rk (x):
dl,rk (x, t)| t=0 = \~dl,rk (x). (16)
Пiдставимо значення Y l,r
k (Nl,r) i Y l,r+2
k (Nl,r+2) в рiвняння з (13). Тодi отримаємо рiвняння
щодо dl,rk (x, t), з якого при початковiй умовi (16) визначимо dl,rk (x, t), що залежить вiд \~dl,rk (x).
Це дозволить задовольнити умову 3. Пiдставляючи функцiю (9) в умову L\varsigma uk = 0, отримуємо
диференцiальне рiвняння щодо \~dl,rk (x), яке розв’язуємо при початковiй умовi
dl,1k (x, t)| xr=l - 1 = - c1k(x, t)| xr=l - 1. (17)
Цей процес буде детально описано при побудовi розв’язкiв iтерацiйних задач у наступному
пунктi. У такий спосiб однозначно визначається функцiя Y l,r
k (Nl,r), а отже i Y l,r+2
k (Nl,r+2). Iз
таких же мiркувань, забезпечуючи умову L\xi uk = 0, однозначно визначають функцiї
wl,r
k (x, t), zl,rk (x, t). Решта рiвнянь (13) при початкових умовах з (11) мають однозначнi розв’язки.
Теорему 1 доведено.
5. Розв’язання iтерацiйних задач. Використовуючи теорему 1, послiдовно визначаємо
uk(M), k = 0, 1, 2, . . . , n. Рiвняння T0u0(M) = 0 має розв’язок в U, що зображується у виглядi
(9) при k = 0, якщо функцiї Y l,r
0 (Nl,r) i Y l,r+2
0 (Nl,r+2) — розв’язки рiвнянь \partial \eta Y
l,r
0 = \partial 2\varsigma l,rY
l,r
0 ,
\partial \eta Y
l,r+2
0 = \Delta \varsigma Y
l,r+2
0 , якi при крайових умовах з (11) мають розв’язки вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1654 А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА
Y l,r
0 = dl,r0 (x, t) erfc
\biggl(
\varsigma l,r
2
\surd
\eta
\biggr)
,
Y l,r+2
0 =
\eta \int
0
\infty \int
0
( - Y l,1) [\partial \varsigma G(Nl,r+2, \sigma , \eta - \tau )]\varsigma =0 d\sigma d\tau -
(18)
-
\eta \int
0
\infty \int
0
(Y r,2) [\partial \sigma G(Nl,r+2, \sigma , \eta - \tau )]\sigma =0 d\sigma d\tau .
Вони на пiдставi теорем 2 i 3 з [7] належать U2. Пiдставимо функцiю u0(M) у вiльний член
рiвняння (8) при k = 1:
F1(M) = - i\theta \prime (t)\partial \tau u0 = - i\theta \prime (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\tau )
\left[ c10(x, t) + 2\sum
l,r=1
(Y l,r
0 + Y l,r+2
0 )
\right] .
Задовольняючи умову F1(M) \in U2, покладаємо c10(x, t) = 0. Рiвняння з таким вiльним членом
має розв’язок в U, якщо функцiї Y l,r
1 (Nl,r) i Y l,r+2
1 (Nl,r+2) є розв’язками рiвнянь
\partial \varsigma Y
l,r
1 = \partial 2\varsigma l,rY
l,r
1 - i\theta \prime (t)Y l,r
0 (Nl,r),
\partial \varsigma Y
l,r+2
1 = \Delta \varsigma Y
l,r+2
1 - i\theta \prime (t)Y l,r+2
0 (Nl,r+2).
Розв’язуючи цi рiвняння при крайових умовах (11), знаходимо розв’язки у виглядi (14), для яких
справджуються оцiнки (15). Згiдно з обчисленнями (12) i умовою 2 теореми 1, на наступному
кроцi iтерацiї (k = 2) отримуємо однорiднi рiвняння (13), а замiсть першого одержуємо таке:
i\theta \prime (t)c11(x, t) = - c20(x, t) + f(x, t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \theta (0)
\varepsilon
\biggr)
.
Це рiвняння розв’язне, якщо
c20(x, t)| t=0 = f(x, 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \theta (0)
\varepsilon
\biggr)
.
Отримане спiввiдношення буде використано в початковiй умовi рiвняння щодо c20(x, t). Рiвнян-
ня щодо wl,r
0 (x, t), wl,r+2
0 (x, t) розв’язуємо при довiльних початкових умовах
wl,r
0 (x, t)| t=0 = \~wl,r
0 (x),
wl,r+2
0 (x, t)| t=0 = \~wl,r+2
0 (x).
При цьому отримуємо
wl,r+2
0 (x, t) = \~wl,r+2
0 (x)p0(x, t),
wl,r
0 (x, t) = \~wl,r
0 (x)p0(x, t),
p0(x, t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
b(x, s)ds
\right) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНЕ БАГАТОВИМIРНЕ ПАРАБОЛIЧНЕ РIВНЯННЯ . . . 1655
Таке припущення випливає з того, що функцiї wl,r
0 (x, t) i wl,r+2
0 (x, t) множаться на функцiї, якi
дорiвнюють нулю при t = 0. Це справедливо i щодо функцiй zl,r0 (x, t) i zl,r+2
0 (x, t), тобто для
них маємо спiввiдношення
zl,r0 (x, t)| t=0 = \~zl,r0 (x),
zl,r+2
0 (x, t)| t=0 = \~zl,r+2
0 (x).
Використовуючи їх, визначаємо
zl,r+2
0 (x, t) = \~zl,r+2
0 (x)p0(x, t),
zl,r0 (x, t) = \~zl,r0 (x)p0(x, t).
Пiдставляючи u0(M) в умову 3 теореми 1, з урахуванням знайдених wl,r
0 (x, t), wl,r+2
0 (x, t),
zl,r0 (x, t) i zl,r+2
0 (x, t) отримуємо рiвняння
T l,r
\varsigma wl,r
0 (x, t) \equiv 2\varphi \prime
l,r(xr)( \~w
l,r
0 (x)p0(x, t))
\prime
xr
+ \varphi \prime \prime
l,r(xr) \~w
l,r
0 (x)p0(x, t) = 0,
T l,r
\varsigma wl,r+2
0 = 0, T l,r
\varsigma zl,r0 (x, t) = 0, T l,r
\varsigma zl,r+2
0 (x, t) = 0.
Iз (11) визначимо початковi умови у виглядi таких спiввiдношень:
wl,r
0 (x, t)| xr=l - 1 = \~wl,r
0 (x)p0(x, t)| xr=l - 1 = - v0(x, t)| xr=l - 1,
zl,r0 (x, t)| xr=l - 1 = \~zl,r0 (x)p0(x, t)| xr=l - 1 = - c2k(x, t)| xr=l - 1,
wl,r+2
0 (x, t)| x1=l - 1 = \~zl,r+2
0 (x)p0(x, t)| x1=l - 1 = - \~wl,2
0 (x)p0(x, t)| x1=l - 1,
wl,r+2
0 (x, t)| x2=r - 1 = \~wl,r+2
0 (x)p0(x, t)| x2=r - 1 = - \~wl,1
0 (x)p0(x, t)| x2=r - 1,
zl,r+2
0 (x, t)| x1=l - 1 = \~zl,r+2
0 (x)p0(x, t)| x1=l - 1 = - \~zl,20 (x)p0(x, t)| x1=l - 1, l, r = 1, 2.
Вибором \~wl,r
0 , \~wl,r+2
0 ми забезпечимо виконання умови L\xi u0(M) = 0. Пiдставляючи перше
спiввiдношення з (18) у друге, знаходимо
Y l,r+1
0 (Nl,r) = dl,10 (x, t)I1(Nl,r) + dr,20 (x, t)I1(Nl,r),
де I0(Nl,r) i I1(Nl,r) — вiдомi функцiї. Знайденi функцiї Y l,r
0 (Nl,r) i Y l,r+2
0 (Nl,r+2) пiдставимо
в останнє рiвняння з (13). Тодi отримаємо таке рiвняння щодо dl,r0 (x, t), dl,r+2
0 (x, t):
\partial td
l,r
0 (x, t) - b(x, t)dl,r0 (x, t) = 0, l = 1, 2, r = 1, 2, 3, 4.
Розв’язуємо цi рiвняння при довiльних початкових умовах (16). Тодi, пiдставляючи в L\varsigma u0(M) =
= 0 \~dl,r0 (x), отримуємо рiвняння, яке розв’язуємо при початковiй умовi, що визначається з (17).
Далi, повторюючи описаний вище процес, знаходимо всi коефiцiєнти частинної суми:
u\varepsilon ,n(M) =
n\sum
k=0
\varepsilon kuk(M).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1656 А. С. ОМУРАЛIЄВ, Е. АБИЛАЄВА
Для залишкового члена R\varepsilon ,n(M) = u(M, \varepsilon ) - u\varepsilon ,n(M) сформулюємо задачу
\~L\varepsilon R\varepsilon ,n(M) = \varepsilon n+1g\varepsilon ,n(M), R\varepsilon ,n| t=\tau =\varsigma =0 = R\varepsilon ,n| \varsigma l,r=\xi l,r=0 = 0,
де g(M) = L\varsigma uk - 1 - T1uk - 1 - i\theta \prime (t)\partial \tau un + b(x, t)un - 1 + L\xi un - 2 + Lxun - 3.
Проводячи звуження за допомогою регуляризуючих функцiй, з урахуванням (6) отримуємо
задачу
L\varepsilon R\varepsilon ,n(M) = \varepsilon n+1gn(x, t, \varepsilon ), R\varepsilon ,n| t=0 = 0, R\varepsilon ,n| xr=l - 1 = 0, l, r = 1, 2.
Згiдно з нашими припущеннями i побудовою un(M) функцiя g(x, t, \varepsilon ) = gn(M)\mu =\nu (x,t,\varepsilon ) рiв-
номiрно обмежена по \varepsilon i неперервна по x i t \in \=\Omega .
Застосовуючи принцип максимуму [8], можна встановити оцiнку
| R\varepsilon ,n(x, t)| < c\varepsilon n+1, n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Теорема 2. Нехай виконано умови 1, 2. Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0 справджується
оцiнка | R\varepsilon ,n(x, t)| < c\varepsilon n+1, n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Лiтература
1. С. Ф. Фещенко, Н. И. Шкиль, Л. Д. Николаенко, Асимптотические методы в теории линейных дифференци-
альных уравнений, Киев (1966).
2. С. А. Ломов, И. С. Ломов, Основы математической теории пограничного слоя, Изд-во Моск. гос. ун-та,
Москва (2011).
3. А. С. Омуралиев, Асимптотика решения сингулярно возмущенных параболических задач, Lambert Acad. Publ.
(2017).
4. A. Omuraliev, E. Abylaeva, Asymptotics of the solution of parabolic problems with multipoint stationary phase, AIP
Conf. Proc. 1880, 1 – 6 (2017); DOI: http://dx.doi.org/10.1063/1.5000623.
5. А. Омуралиев, Э. Абылаева, Асимптотика решения параболической задачи со стационарной фазой, Иссле-
дования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 47, 120 – 127 (2014).
6. А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. шк.,
Москва (1990).
7. А. С. Омуралиев, М. Имаш кызы, Сингулярно возмущенная параболическая задача с многомерными пограни-
чными слоями, Дифференц. уравнения, 13, № 12, 1664 – 1678 (2017).
8. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа, Наука, Москва (1967).
9. А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям математической физики, Физматлит, Москва (2001).
Одержано 22.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-93 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:16Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/b86f1055fa028919162177c05cee3078.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-932025-03-31T08:46:08Z Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term Сингулярно возмущенное многомерное параболическое уравнение с быстроосцилирующим свободным членом Сингулярно збурене багатовимірне параболічне рівняння зі швидкоосцилюючим вільним членом Omuraliev , A. S. Abylaeva, E. Омуралiєв, А. С. Абилаєва, E. Абилаєва, Е. . UDC 517.9 The regularized asymptotics of a solution of the first boundary value problem for a two-dimensional differential equation of parabolic type is constructed when the phase derivative vanishes at one point. It is shown that angular and multidimensional boundary layer functions appear in such problems in addition to other boundary layers. Построена регуляризованная асимптотика решения первой краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения параболического типа, когда производная фаза обращается в нуль в одной точке. Показано, что&nbsp; в таких задачах наряду с другими погранслоями, возникает&nbsp;угловые&nbsp; и многомерные погранслойные функции. УДК 517.9Побудовано регуляризовану асимптотику розв’зку першої крайової задачi для двовимiрного диференцiального рiвняння параболiчного типу, коли похiдна фази дорiвнює нулю в однiй точцi. Показано, що в таких задачах поряд з iншими примежованими шарами виникають кутовi та багатовимiрнi функцiї примежового шару. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/93 10.37863/umzh.v73i12.93 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1647 - 1656 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1647 - 1656 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/93/9161 Copyright (c) 2021 Ella Abylaeva |
| spellingShingle | Omuraliev , A. S. Abylaeva, E. Омуралiєв, А. С. Абилаєва, E. Абилаєва, Е. Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title | Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title_alt | Сингулярно возмущенное многомерное параболическое уравнение с быстроосцилирующим свободным членом Сингулярно збурене багатовимірне параболічне рівняння зі швидкоосцилюючим вільним членом |
| title_full | Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title_fullStr | Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title_full_unstemmed | Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title_short | Singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| title_sort | singularly perturbed multidimensional parabolic equation with rapidly oscillating free term |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/93 |
| work_keys_str_mv | AT omuralievas singularlyperturbedmultidimensionalparabolicequationwithrapidlyoscillatingfreeterm AT abylaevae singularlyperturbedmultidimensionalparabolicequationwithrapidlyoscillatingfreeterm AT omuraliêvas singularlyperturbedmultidimensionalparabolicequationwithrapidlyoscillatingfreeterm AT abilaêvae singularlyperturbedmultidimensionalparabolicequationwithrapidlyoscillatingfreeterm AT abilaêvae singularlyperturbedmultidimensionalparabolicequationwithrapidlyoscillatingfreeterm AT omuralievas singulârnovozmuŝennoemnogomernoeparaboličeskoeuravneniesbystroosciliruûŝimsvobodnymčlenom AT abylaevae singulârnovozmuŝennoemnogomernoeparaboličeskoeuravneniesbystroosciliruûŝimsvobodnymčlenom AT omuraliêvas singulârnovozmuŝennoemnogomernoeparaboličeskoeuravneniesbystroosciliruûŝimsvobodnymčlenom AT abilaêvae singulârnovozmuŝennoemnogomernoeparaboličeskoeuravneniesbystroosciliruûŝimsvobodnymčlenom AT abilaêvae singulârnovozmuŝennoemnogomernoeparaboličeskoeuravneniesbystroosciliruûŝimsvobodnymčlenom AT omuralievas singulârnozburenebagatovimírneparabolíčnerívnânnâzíšvidkooscilûûčimvílʹnimčlenom AT abylaevae singulârnozburenebagatovimírneparabolíčnerívnânnâzíšvidkooscilûûčimvílʹnimčlenom AT omuraliêvas singulârnozburenebagatovimírneparabolíčnerívnânnâzíšvidkooscilûûčimvílʹnimčlenom AT abilaêvae singulârnozburenebagatovimírneparabolíčnerívnânnâzíšvidkooscilûûčimvílʹnimčlenom AT abilaêvae singulârnozburenebagatovimírneparabolíčnerívnânnâzíšvidkooscilûûčimvílʹnimčlenom |